时间序列分析(第一章、第二章)

正态平稳序列
概率极限
正态序列收敛定理
正态线性序列
证明 平稳序列已证。下证为正态序列 先证对任何 m N ,有
X ( X1 , X 2 ,, X m )T ~ N (0, m ), (4.9)
其中 m
( j k ) mm , i 2 j a j a j i
x1, x2 ,, xn

x1 , x2 , (1.3) 称序列 是时间序列(1.1)的一次实现或一条轨道
二、时间序列的分解
X t Tt St Rt , t 1,2, (1.4)
趋势项 {Tt }、季节项 {St } 、随机项 {Rt }
模型的描述、解释


自然规律：一年四季变化 (降雨量、气温等等) 生活规律：周六、周日休息日 每天的上下班 (用水量、用电量 旅游人数、乘客人数)
杭州近三年房价走势
房地产业、房价



关乎国计民生的支柱产业 影响着城镇居民的住房消费 影响着水泥，钢铁，建材，冶金等相关 行业的发展 影响着地方政府财政收入 …………………………….


股市是经济的晴雨表 从股市本身看，我国股市的确有自己的 特点 股票是一种高风险的资本投资 ………………………………
2. 随机项，可设 ERt 0, t.
3.
三、分解方法
例一. 某城市居民季度用煤消耗量
例图
分解一般步骤
ˆ 1. 趋势项估计 {Tt }

分段趋势(年平均) 线性回归拟合直线 二次曲线回归 滑动平均估计
2. 估计趋势项后,所得数据
由季节项和随机项组成, 季节项估计 可由该数据的每个季节平均而得.
《应用时间序列分析》
目

录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章
时间序列 自回归模型 滑动平均模型与自回归滑动平均模型 均值和自协方差函数的估计 时间序列的预报 ARMA模型的参数估计
第一章
时间序列
时间序列、平稳序列 线性平稳序列、平稳序列的谱函数
§ 1.1 时间序列的分解
参数为1的Poisson白噪声的60个 样本I
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1
0
10
20
30
40
50
60
样本II
2 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
10
20
30
40
50
60
例：布朗运动
标准正态白噪声的60个样本: A=randn(1,60)；plot(A)
随机相位
随机相位独立白噪声的60个样本
X t b cos(at U t ),t Z
独立白噪声的60个样本，其中 U1 ,U 2 , 独立同分布且都在上服从(0,2 ) 均匀分布
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
10
20
30
40
50
60
1.5
其中 m 定理4.4成立.

( j k ) mm , i 2 j a j a j . i
1.
2.
时间序列的分解中趋势项和季节项通 常可以用非随机函数来描述。 随机项通常呈现出沿一水平波动的性 质，且前后数据具有一定的相关性， 与独立序列有所不同。
一、平稳序列
例2.1 平稳序列的线性变换
EYt a b
例2.2 调和平稳序列
自协方差函数的性质
性质(2)的证明
证 任取一个n维实向量
6500 6000
5500
5000
4500
4000
3500
3000
0
5
10
15
20
25
30
1. 趋势项（5项平均）
2.季节项和随机项
800 600 400 200 0 -200 -400 -600 -800 -1000
0
5
10
15
20
25
30
例三、化学溶液浓度变化数据
18.5
18
17.5
17
16.5
3. 随机项估计即为
方法一：分段趋势法
1、趋势项(年平均)
减去趋势项后,所得数据{X Tˆ }
t t
ˆ 2、季节项 {St }
3.随机项的估计
ˆ ˆ ˆ Rt xt Tt St , t 1,2,,24.
方法二：回归直线法
一、趋势项估计 一元线性回归模型
xt a bt t , t 1,2, ,24. 1 1 1 X ( x1 , x2 , , x) , Y 1 2 24

按照时间的顺序把随机事件变化发展的过 程记录下来就构成了一个时间序列。对时 间序列进行观察、研究，找寻它变化发展 的规律，预测它将来的走势就是时间序列 分析。
一、时间序列的定义

时间序列:按时间次序排列的随机变量序列
X 1 , X 2 ,

(1.1)
(1.2)
n 个观测样本:随机序列的 n 个有序观测值
| j| N
2a2 0 j

证 当 k 时
| k | | j a j a j k |
2
2 | j| k / 2 | a j a j k | 2 | j| k / 2 | a j a j k | [ j a 2 | j| k / 2 a 2 k ]1/ 2 j j
80
100
120
140
160
Y (t ) log X (t 1) log X (t )
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
0
50
100
150
例六、国际航空公司的月客数
700 600
500
400
300
200
100
0
50
100
150
y2=log(y1); plot(y2);
8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
MA的平稳性
概率极限定理
线性平稳序列
1. 线性序列的a.s.收敛性
2. 线性序列的平稳性
注:绝对可和下的线性序列
注:均方意义下的线性序列
E( a j t j )2
| j| N
6.6 6.4 6.2 6 5.8 5.6 5.4 5.2 5 4.8 4.6
0
50
100
150
y3=diff(y2); y=y3(13:143)-y3(1:131);
数据处理后的图 0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
0
20
40
60
80
100
120
140
§1.2 平稳序列
T
最小二乘估计为
ˆ ˆ (a, b)T (YY T )1YX
可得到
ˆ Tt 57801 21.9t, t 1,2,,24. .
1. 直线趋势项
消去趋势项后,所得数据{X
ˆ Tt } t
2、季节项估计
ˆ {St , t 1,2,,24}
为
3. 随机项估计为
ˆ ˆ ˆ Rt xt Tt St , t 1,2,,24.
2
[ j a 2 | j| k / 2 a 2 ]1/ 2 j j
2
2 [ j a
2
2 j

| j| k / 2
a
2 1/ 2 jk
]
0.
单边线性序列
线性滤波
矩形窗滤波器
例3.1 余弦波信号的滤波
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2
方法三： 二次曲线法
xt a bt ct t ,
2
t 1,2,,24
(a, b, c) (YY ) YX
T
T 1
xt 59485 17.0t 1.6t .
2
1. 二次项估计（趋势项）
数据和二次趋势项估计
2. 季节项、随机项
例二、美国罢工数（51-80年） （滑动平均法）

.
对任何 b (b1 , b2 ,, bm )T
, 定义
则有当 n 时, 有
E | k (n) X k | 0
E (| Y n |) E[| k 1 bk ( X k k (n)) |]
m
E | bk | k 1[| X k k (n) |] 0
参考书： 1. 时间序列的理论与方法 田铮 译 高等教育出版社 2. Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric Methods Jianqing Fan Qiwei Yao 3.应用时间序列分析 王燕 中国人民大学出版社 4.时间序列分析 易丹辉 中国人民大学出版社 5. 时间序列分析的小波方法 机械工业出版社
1985至2000年广州月平均气温
国际航空公司月旅客数
700 600
500
400
300
200
100
0
50
100
150
化学反应过程中溶液浓度数据
18.5 18
17.5
17
16.5
16
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
目的：描述、解释、预测、控制 本书主要介绍时间序列的基本知识、常用的 建模和预测方法
16
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
例四、Canadian lynx data（猞猁）
例五、沪深1209（股指期货）
2800 2700
2600
2500
2400
2300
2200
0
20
40
60
m
由定理4.2, 得到 n 依分布收敛到 Y ， 且
则 Y ~ N ( EY,VarY ). 从而由 EY 0,VarY bTΣ mb 和定理4.1得到(4.9).
用同样方法可以证明: 对任何 l N 有
X ( X1l , X 2l ,, X ml )T ~ N (0, m ), (4.10)
非负定性、随机变量的线性相关
自相关系数
白噪声、白噪声模拟
例2.3 Poisson过程
Poisson白噪声
Poisson白噪声的60样本的产生
1. 随机产生服从(0,1)上均匀的200个样本: 2. 给出服从参数为1的指数分布的200个独立 样本; 3. 给出参数为1的Poisson过程一条样本轨道 在i=1,…,61上的取值；
有
T n n
(a1, a2 ,, an )T
n i 1 j 1 ai a j i j
E i 1 j 1 ai a j ( X i )( X j )
n n
E[i 1 ai ( X i )] 0
n 2
性质(3)、Schwarz不等式
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100

注:
j M j M
b cos( (t j ) U ) b cos(j ) cos(t U )
j M
j M
j M
j M
cos(j ) sin( / 2)
j M
1 2
[sin(j / 2) sin(j / 2)]
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
10
20
30
40
50
60
二、正交和不相关性
定理2.2
§1.3 线性平稳序列和线性滤波

有限运动平均 线性平稳序列 时间序列的线性滤波
有限运动平均
X t t 0.36* t 1 0.85* t 2 , t ~ WN (0,22 )



经济发展规律：螺旋型上升 (国民生产总值、股市价 格、外率等等) 社会的发展规律: (道路是曲折的、前途是光明的) ………………………
注：1. 单周期s季节项，则
S (t s) S (t ), t 1,2,.
此时在模型中可要求

s j 1
St j 0, t 1,2,
j M
sin(M / 2)
4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
ຫໍສະໝຸດ Baidu
100
余弦波信号的滤波
§1.4 正态时间序列和随机变量的 收敛性

随机向量的数学期望和方差 正态平稳序列
随机向量的数学期望和方差
随机向量线性变换
多维正态分布
多维正态分布的充要条件
《应用时间序列分析》
何书元 编著
北京大学出版社
概率统计学科中应用性较强的一个分支 广泛的应用领域：
金融经济 气象水文 信号处理 机械振动 …………
Wolfer记录的300年的太阳黑子数
太阳黑子对地球的影响


会出现磁暴现象 会引起地球上气候的变化 会影响地球上的地震 会影响树木生长 会影响到我们的身体 ………………………