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帮你解含字母系数的方程组

帮你解含字母系数的方程组在解与二元一次方程组有关问题时,经常会遇到含字母系数的方程组,解此类题的一般思路是根据条件采用代入求值的方法求得最后结果.常见的有以下几种类型: 一、代入求值型一、代入求值型例1.已知关于x 、y 的二元一次方程组{35ax by ax by +=-=，的解是{21x y ==，.求a b +的值。

值。

解析：由二元一次方程组解的定义，将{21x y ==，代入方程组得代入方程组得{2325a b a b +=-=，，再解关于a 和b 的二元一次方程组，得{21a b ==-，。

所以a b +＝1. 二、添加（赋予）条件型二、添加（赋予）条件型例 2.若关于x 、y 的二元一次方程组{2527x y k x y k +=-=，①，②的解满足方程1253x y -=，那么k 的值为的值为。

解析:观察方程组发现可利用加减消元法把其中的一个字母消去，观察方程组发现可利用加减消元法把其中的一个字母消去，由①＋②得，412x k =，即3x k =③；由①－②得，22y k =-，即y k =-④，将③④分别代入方程1253x y -=，得132()53k k ´-´-=，解得53k =。

例3.如果方程组{35223x y k x y k +==＋，①＋②的解x ，y 的和为2，求k 的值及方程组的解。

组的解。

解析:由①－②得22x y +=③，③，将2x y +=与③联立方程组{2,22x y x y +=+=，解得{2,0x y ==，将x ，y 的值代入②得k ＝4. 解此类题首先要观察方程组的特征，解此类题首先要观察方程组的特征，采取加减或代入的方法进行消元，采取加减或代入的方法进行消元，采取加减或代入的方法进行消元，使之使之变形为二元一次方程组，从而求得最后结果。

三、同解型三、同解型例4.已知关于x 、y 的二元一次方程组{5,27ax by ax by +=+=与方程组{237324x y x y +=-=，的解相同，求a 和b 的值。

数学人教版七年级上册含字母系数的方程的解法

4 x 2 10 x 1 6
4 x 10 x 6 2 1
合并同类项，得系数化为1，得
6x 5
5 x 6
知识巩固
1.判断下列说法的正误. （1）关于 x 的方程 3x-a=0，若a=0 ，则方程无解.
（ × ）（ √ ）（√ ）
（4）关于 x 的方程 ax=a 的解为x=1 .
2. 当 a ,b 满足什么条件时，关于x的方程 2a(x+1)-2=3(2x+b)-1 有解？解：将原方程化简，得 (2a-6)x=3b-2a+1 ∵原方程有解１.原方程有唯一解２.原方程有无数解 ∴2a-6≠0,3b-2a+1为任意数 ∴a≠3,b为任意实数 ∴2a-6=0（ ×）
2.填空.
x x a 例1.解关于的 x方程 a ( x 12) 3 2 6
解下列关于 x 的方程. （1） ax b bx
随堂演练
（2）x 3( x 1)
kx k
例2.已知关于x 的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-3b+4有无数解，求b的值. 解：将原方程化简，得 (3x+2b-8)x=2a+4 ∵原方程有无数解 ∴ 3a+2b-8=0 , 2a+4=0 ∴a=-2 , b=7
含字母系数的方程的解法
武汉实验外国语学校余聪焕
复习回顾
1.概念方程：含有未知数的等式叫做方程. 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.
回顾解一元一次方程的过程
解：去分母，得
去括号，得移项，得
2 x 1 10 x 1 1 3 6
22 x 1 10 x 1 6

含字母系数的一元一次方程初中数学教案

1．使学生正确认识含有字母系数的一元一次方程．2．使学生掌握含有字母系数的一元一次方程的解法．3．使学生会进行简单的公式变形．4．培养学生由特殊到一般、由一般到特殊的逻辑思维能力．5．通过公式变形例题，培养学生解决实际问题的能力，激发学生的求知欲望和学习兴趣．教学重点：(1)含有字母系数的一元一次方程的解法．(2)公式变形．教学难点：(1)对字母函数的理解，并能准确区分字母系数与数字系数的区别与联系．(2)在公式中会准确区分未知数与字母系数，并进行正确的公式变形．教学方法启发式教学和讨论式教学相结合教学手段多媒体教学过程(一)复习提问提出问题：1．什么是一元一次方程？在学生答的基础上强调：(1)“一元”——一个未知数；“一次”——未知数的次数是1．2．解一元一次方程的步骤是什么？答：(1)去分母、去括号．(2)移项——未知项移到等号一边常数项移到等号另一边．注意：移项要变号．(3)合并同类项——提未知数．(4)未知项系数化为1——方程两边同除以未知项系数，从而解得方程．(二)引入新课提出问题：一个数的a倍(a≠0)等于b，求这个数．引导学生列出方程：ax=b(a≠0)．让学生讨论：(1)这个方程中的未知数是什么？已知数是什么？(a、b是已知数，x是未知数)(2)这个方程是不是一元一次方程？它与我们以前所见过的一元一次方程有什么区别与联系？(这个方程满足一元一次方程的定义，所以它是一元一次方程．)强调指出：ax=b(a≠0)这个一元一次方程与我们以前所见过的一元一次方程最大的区别在于已知数是a、b(字母)．a是x的系数，b是常数项．(三)新课1．含有字母系数的一元一次方程的定义ax=b(a≠0)中对于未知数x来说a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程，今天我们就主要研究这样的方程．2．含有字母系数的一元一次方程的解法教师提问：ax=b(a≠0)是一元一次方程，而a、b是已知数，就可以当成数看，就像解一般的一元一次方程一样，如下解出方程：ax=b(a≠0)．由学生讨论这个解法的思路对不对，解的过程对不对？在学生讨论的基础上，教师归纳总结出含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系．含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同．(即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤．)特别注意：用含有字母的式子去乘或者除方程的两边，这个式子的值不能为零．3．讲解例题例1 解方程ax+b2=bx+a2(a≠b)．解：移项，得 ax-bx=a2-b2，合并同类项，得(a-b)x=a2-b2．∵a≠b，∴a-b≠0．x=a+b．注意：1．在没有特别说明的情况下，一般x、y、z表示未知数，a、b、c表示已知数．2．在未知项系数化为1这一步是最易出错的一步，一定要说明未知项系数(式)不为零之后才可以方程两边同除以未知项系数(式)．3．方程的解是分式形式时，一般要化成最简分式或整式．。

含字母系数的一元一次方程

含字母系数的一元一次方程引言一元一次方程是代数中最基本的方程类型之一。

在解一元一次方程时，我们通常会遇到含有字母系数的情况。

这种方程的解法与常规的一元一次方程类似，但需要特别注意字母系数的处理。

本文将介绍如何解含有字母系数的一元一次方程的步骤和技巧。

步骤解含有字母系数的一元一次方程的一般步骤如下：1.整理方程，将字母系数与常数项分开；2.使用移项原则，将含有字母的项移至方程的一边，将常数项移至另一边；3.化简方程，通过合并同类项简化方程；4.根据字母系数的类型，分别处理解方程的情况。

解字母系数为正数的一元一次方程当方程中的字母系数为正数时，解方程的步骤如下：1.整理方程，保证字母系数与常数项分开；2.使用移项原则，将含有字母的项移至方程的一边，将常数项移至另一边；3.化简方程，通过合并同类项简化方程；4.将常数项除以字母系数，得到方程的根。

例如，考虑方程 2x + 5 = 15，我们可以按照上述步骤解方程：1.整理方程，将字母系数与常数项分开：2x = 15 - 5；2.使用移项原则，将含有字母的项移至方程的一边，将常数项移至另一边：2x = 10；3.化简方程，通过合并同类项简化方程：x = 10/2；4.计算常数项除以字母系数，得到方程的解：x = 5。

因此，方程 2x + 5 = 15 的解为 x = 5。

解字母系数为负数的一元一次方程当方程中的字母系数为负数时，解方程的步骤与解字母系数为正数的方程类似，只需要注意符号的处理。

例如，考虑方程 -3x - 8 = 4，我们可以按照以下步骤解方程：1.整理方程，将字母系数与常数项分开：-3x = 4 + 8；2.使用移项原则，将含有字母的项移至方程的一边，将常数项移至另一边：-3x = 12；3.化简方程，通过合并同类项简化方程：x = 12/-3；4.计算常数项除以字母系数，得到方程的解：x = -4。

因此，方程 -3x - 8 = 4 的解为 x = -4。

关于含有字母系数方程的解法

关于含有字母系数方程的解法知识总结归纳：含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是一样的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。

公式变形本质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程ax b =型，讨论如下：〔1〕当a ≠0时，此时方程ax b =为关于x 的一元一次方程，解为：x b a= 〔2〕当a =0时，分以下两种情况：<1>假设b =0，原方程变为00x =，为恒等时，此时x 可取任意数，故原方程有无数个解；<2>假设b ≠0，原方程变为00x b b =≠()，这是个矛盾等式，故原方程无解。

含字母系数的分式方程主要有两类问题：〔一〕求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：〔二〕方程解的情况，确定字母的条件。

下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程1. 求含有字母系数的一元一次方程的解例1. 解关于x 的方程2362ax b bx ac a b -=+≠c () 分析：将x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。

解：去分母得：1226ax bc bx ac -=+移项，得1262ax bx bc ac -=+2. 求含字母系数的分式方程的解例2. 解关于x 的方程a ax b b bx a x-++=2 分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。

解：假设a 、b 全不为0，去分母整理，得对b a 22-是否为0分类讨论：〔1〕当b a 220-=，即a b =±时，有02⋅=-x ab ，方程无解。

〔2〕当b a 220-≠，即a b ≠±时，解之，得x ab a b =-2 假设a 、b 有一个为0，方程为12x x=，无解假设a 、b 全为0，分母为0，方程无意义检验：当x ab a b =-2时，公分母()()ax b bx a -+≠0，所以当ab a b ≠≠±0，时，x ab a b =-2是原方程的解。

初中数学含字母系数的方程

含字母系数的方程【典型例题】例1．解下列关于x 的方程：①ax+b=bx+a;(a ≠b); ②)53(3)4(4)13(-≠-=+m x m x m .例2．已知关于x 的方程21ax+5=237-x 的解x 与字母a 都是正整数，求a 。

例3．已知方程x =ax+1有一个负根而没有正根，求a 的取值范围.例4．选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+cy ax y x 275① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解例5．a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x ay x 的解是正数？例6．m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？例7．已知关于x ，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，当a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a 值它都能使方程成立吗？一、填空1．若2（3-a ）x-4=5是关于x 的一元一次方程，则a ≠ . 2．关于x 的方程ax=3的解是自然数，则整数a 的值为： .3．x=2是方程2x-3=m-x 21的解，则m=. 4．若-2x2-5m+1=0 是关于x 的一元一次方程，则m=.5．当m=时，方程65312215--=--x m x 的解为0. 6．已知a ≠0.则关于x 的方程3ab-(a+b)x=(a-b)x 的解为.7．若23234+x a 与43152+x a 是同类项，则x=.8．当a=时，方程14523-+=-ax a x 的解是x=0. 9．若a ≥0,且方程a+3x=10的解是自然数，则a= .10．若（1-3x ）2+mx -4=0,，则6+m 2=.11．已知方程2+-=-axb b a x 是关于x 的一元一次方程，则a,b 之间的关系是.二、1．要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x kky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？2．如果方程35425x m xm +=-与方程4103365+=-x x +1的解相同，求m 的值.一、选择1．方程ax=b 的解是（）. A ．有一个解x=ab B ．有无数个解 C ．没有解D ．当a ≠0时，x=ab 2．若关于x 的方程3(x-1)+a=b(x+1)是一元一次方程，则（）. A ．a,b 为任意有理数 B ．a ≠0 C ．b ≠0D ．b ≠33．若关于x 的方程10-4)2(35)3(--=+x k x x k 与方程8-2x=3x-2的解相同，则k 的值为( ) A.0 B.2C.3D.4二、解答题1．a 取什么值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+=+229691322a a y x a a y x 的解是正数？2．a 取哪些正整数值，方程组⎩⎨⎧=--=+a y x ay x 24352的解x 和y 都是正整数？。

关于含有字母系数方程的解法

关于含有字母系数方程的解法知识总结归纳：含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。

公式变形实质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程ax b =型，讨论如下：（1）当a ≠0时，此时方程ax b =为关于x 的一元一次方程，解为：x b a=（2）当a =0时，分以下两种情况：<1>若b =0，原方程变为00x =，为恒等时，此时x 可取任意数，故原方程有无数个解；<2>若b ≠0，原方程变为00x b b =≠()，这是个矛盾等式，故原方程无解。

含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。

下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程 1. 求含有字母系数的一元一次方程的解例1. 解关于x 的方程2362ax b bx ac a b -=+≠c ()分析：将x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。

解：去分母得：1226ax bc bx ac -=+ 移项，得1262ax bx bc ac -=+()1262212602126a b x bc aca ba b x bc ac a b-=+≠∴-≠∴=+-2. 求含字母系数的分式方程的解例2. 解关于x 的方程aax bb bx ax-++=2分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。

解：若a 、b 全不为0，去分母整理，得 ()b a x ab 222-=-对b a 22-是否为0分类讨论：（1）当b a 220-=，即a b =±时，有02⋅=-x ab ，方程无解。

（2）当b a 220-≠，即a b ≠±时，解之，得x ab a b=-2若a 、b 有一个为0，方程为12xx=，无解若a 、b 全为0，分母为0，方程无意义检验：当x ab a b=-2时，公分母()()ax b bx a -+≠0，所以当ab a b ≠≠±0，时，x ab a b=-2是原方程的解。

第8讲_绝对值方程

第八讲含字母系数的方程、绝对值方程一、知识要点1. 关于x 的方程ax b =有：(1)当0a ≠时，方程有唯一解b x a =；(2)当0,0a b =≠时，方程无解； (3)当0,0a b ==时，方程有无数多个解，且解为任意数。

以上结论，反过也是正确的。

2.含有绝对值符号的方程，应去掉绝对值符号而转化为一个或几个一元一次方程。

含绝对值方程的解法：含绝对值方程指的是绝对值符号内含有未知数的方程，最简单的绝对值方程是x a =，它的解的情况是：(1)当a ＞0时，方程的解为x a =或x a =-；(2)当0a =时，方程的解为0x =；(3)当a ＜0时，方程无解。

二、知识运用典型例题例1:当1b =时，关于x 的方程(32)(23)87a x b x x -+-=-有无数多个解，则a 等于（）.2A .2B - 2.3C - .D 不存在例2:方程5665x x +=-的解是_______________。

例3:解关于x 的方程 (1)11()(2)34m x n x m -=+ (2)22mnx n mn m x -=-例4:若a b c x b c a c a b ===+++，试求x 的值。

例5:解方程：421x x x +--=+。

例6: 是否存在整数x ，使322411?x x x x ++++-+-=如果存在，求出所有整数x ；如果不存在，请说明理由。

例7:有12个方格，每个方格都有一个数字，已知任何相邻三个数的和都第八讲知识运用课后训练等级1.已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+有无数多个解，那么___,a = ____b =。

2.方程214x x -+=的解是______________.3. 已知关于x 的方程(38)70a b x ++=无解，则ab 是（）.A 正数 .B 非正数 .C 负数 .D 非负数4.已知2220012c a b +=-==，且2001a b c k ++=，那么k 的值为（） 1.4A .4B 1.4C - .4D - 5.方程550x x -+-=的解的个数为（）.A 不确定 .B 无数个 .C 2个 .D 3个6.(1)解关于x 的方程2(1)1a x ax -=+ (2)解方程： 31x x x ++-=7.若1abc =，试解关于x 的方程2001111x x x a ab b bc c ac++=++++++。

含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题

含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题【要点梳理】要点一分式方程的增根分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；要点二分式方程的无解而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.【典型例题】类型一、概念理解1.分式方程的增根概念：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做________．检验方法：将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．【答案】增根解：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做增根，故答案为：增根．2.分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的________方程的根，也是使________方程的分母为0的根．【答案】整式分式分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．故答案为：整式，分式类型二、含参分式方程的增根3、关于x 的方程225111m x x x +=+--去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值．【答案】－10或－4【分析】方程两边同时乘以21x -将分式方程化为整式方程，再将整式方程的增根代入整式方程中计算求解即可.解：方程两边同乘以21x -，得2(1)5(1)x x m --+=，当210x -=时，1x =±，∴关于x 的方程225111m x x x +=+--的增根为±1，当1x =时，2(11)5(11)10m =--+=-；当1x =-时，2(11)5(11)4m =----+=-，故m 的值为10-或4-．【点拨】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解增根产生的原因，并能从整式方程中代入增根求解对应参数.举一反三：【变式1】如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，求m 的值．【答案】-3【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．解：由分式方程1134x m x x +-=-+去分母，整理得（m+2）x=-4m-15，由分母可知，分式方程的增根可能是3或-4，当x=3时，（m+2）×3=-4m-15，解得m=-3，当x=-4时，（m+2）×（-4）=-4m-15，此方程无解．故m 的值为-3．【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知关于x 的方程214339m m x x x +-=+--．（1）若m ＝﹣3，解这个分式方程；（2）若原分式方程无解，求m 的值．【答案】（1）x ＝5.5；（2）m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47．【分析】（1）把m ＝−3代入原方程得23134339x x x -+-=+--，方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），可以把分式方程转化为整式方程求解；（2）方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），分式方程转化为整式方程，m （x −3）＋（x ＋3）＝m ＋4，整理得（m ＋1）x ＝1＋4m ，原分式方程无解，m ＋1＝0，m ＝−1，然后把x ＝3．x ＝−3分别代入整式方程求m 值．解：（1）依题意把m ＝﹣3代入原方程得23134339x x x --+-=+--．方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3）得，﹣3（x ﹣3）+（x +3）＝1，解得x ＝5.5，检验：把x ＝5.5代入（x +3）（x ﹣3）≠0．∴x ＝5.5是原方程的解；（2）当（x +3）（x ﹣3）＝0时．x ＝±3．方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3），得，m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4，整理得（m +1）x ＝1+4m ，∵原分式方程无解．∴m +1＝0，m ＝﹣1．把x ＝±3代入m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4． m ＝2，m ＝﹣47． ∴m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47．【点拨】分式方程转化为整式方程求解，最后注意需检验．无解注意整式方程一次项系数带字母系数，字母系数为零，再把增根代入化简的整式方程，这样不漏m 的值．类型三、含参分式方程的有解、无解问题4、若关于x 的分式方程212111m x x x -=--+无解．求m 的值．【答案】2或－4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x ＝1或−1，代入整式方程即可求出m 的值．解：分式方程两边同乘（x ＋1）（x −1），去分母得：m －（x ＋1）＝2（x −1），整理得：3x ＝m ＋1，由分式方程无解得到x −1＝0，或x ＋1＝0，即x ＝1或−1，代入整式方程得：m ＝2或－4．【点拨】此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解即最简公分母为0．举一反三：【变式1】关于x 的分式方程3601(1)x k x x x x ++-=--有解，则k 该满足什么条件？【答案】3k ≠-且5k ≠.【分析】根据分式方程有解的条件进行求解即可；解：方程去分母得：()()3160x x x k -+-+=，去括号得：3360x x x k -+--=，移项、合并得：83x k =+，∵该分式方程有解，∴0x ≠且1x ≠，即30k +≠，且38k +≠，解得：3k ≠-目5k ≠．【点拨】本题主要考查了分式方程有解的相关计算，准确分析计算是解题的关键．【变式2】若关于x 的方程：234393ax x x x +=--+无解，求a 的值．【答案】a ＝1或8或﹣6．【分析】分式的无解分两种情况来解：（1）是分式有增根，即分母为零；（2）是分式方程转化成整式方程后，整数方程无解，即未知数系数为0．解：分式方程去分母得：3x +9+ax ＝4x ﹣12，（1）由分式方程有增根，得到（x +3）（x ﹣3）＝0，即x ＝3或x ＝﹣3，把x ＝3代入整式方程得：18+3a ＝0，即a ＝﹣6；把x ＝﹣3代入整式方程得：﹣3a ＝﹣24，即a ＝8，综上，a 的值为﹣6或8．（2）整式方程整理得：（a ﹣1）x ＝﹣21，由方程无解，得到a ﹣1＝0，即a ＝1或8或﹣6．【点拨】注意区分分式方程无解和有增根两种情况．分式方程无解包括有增根和化成整数方程后无解的情况，而有增根仅仅是分式分母为0一种情形．类型四、分式方程的增根和无解综合5、有下列说法：①不论k 取何实数，多项式x 2﹣ky 2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x 的分式方程3122++=--x m x x 无解，则m ＝1；③关于x 、y 的方程组252ax y x ay a +=-⎧⎨-+=⎩，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31x y =⎧⎨=-⎩，其中正确的是____．（填序号）【答案】②③【分析】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断．解：①当k 为负值时，多项式x 2﹣ky 2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；②将关于x的分式方程3122++=--x mx x两边同时乘以（x﹣2）得3﹣x﹣m＝x﹣2∴x＝52m，∵原分式方程无解，∴x＝2，∴52m＝2，解得m＝1，故②正确；③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，∴225x yy x+=⎧⎨-=-⎩，解得：31 xy=⎧⎨=-⎩则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31xy=⎧⎨=-⎩，故③正确．综上，正确答案为：②③．【点拨】本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算．举一反三：【变式1】已知关于x的分式方程512x ax x+-=-．(1)若分式方程的根是5x=，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值；(3)若分式方程无解；求a的值的．【答案】(1)1;(2)-2;(3)3或-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，（1）把x=5代入整式方程求出a的值即可；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；（3）分a-3=0与a-3≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．解：(1)去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），整理得：(3)100a x -+=把x =5代入(3)100a x -+=得，5(3)100a -+=，∴a =1；(2) 由分式方程有增根，得到x （x -2）=0，解得：x=2或x=0，把x=2代入整式方程(3)100a x -+=得：a=-2；把x=0代入整式方程(3)100a x -+=得：a 的值不存在，∴分式方程有增根，a=-2(3) 化简整式方程得：（a -3）x =-10，当a -3=0时，该方程无解，此时a =3；当a -3≠0时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由（2）得：a =-2，综上，a 的值为3或-2．【点拨】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知W ＝（1122a a +-+）÷2244a a a -+．（1）化简W ；（2）若a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，求W 的值．（3）若12k W a +=+的解为正数，求k 的取值范围．【答案】(1)22a a -+；(2)W 的值为13；(3)3k >-. 【分析】（1）先算括号里的，再运用完全平方公式进行化简即可得；（2）根据a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长可得a ＝4，将a ＝4代入即可得；（3）根据题意得2122a k a a -+=++，解得3a k =+，根据12k W a +=+的解为正数得30k +>，进行计算即可得．(1)解：2112()2244a W a a a a =+÷-+-+ =2222(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a ⎡⎤+-+÷⎢⎥+-+--⎣⎦ =22(2)(2)(2)2a a a a a-+- =22a a -+ 解：∵a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，∴a ＝4，2422124263a W a --====++． (3) 解：由题意得，2122a k a a -+=++， 21a k -=+3a k =+ ∵12k W a +=+的解为正数， ∴30k +>，2320a k +=++≠3k >-．【点拨】本题考查了分式的化简求值，等腰三角形，分式方程，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3】阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14a x =-的解为正数，求a 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x 的方程，得到方程的解为4x a =+，由题目可得40a +>，所以4a >-，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证4a ≠-才行．(1)请回答：的说法是正确的，正确的理由是．完成下列问题：(2)已知关于x 的方程233m x x x -=--的解为非负数，求m 的取值范围； (3)若关于x 的方程322133x nx x x --+=---无解，求n 的值．【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；(2)6m ≥-且3m ≠-；(3)1n =或53．【解析】【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出m 的取值范围；（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出n 的范围．(1)解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0∴小聪说得对，分式的分母不能为0．(2) 解：原方程可化为233m x x x +=-- 去分母得：2(3)m x x +=-解得：6x m =+∵解为非负数∴60m +≥，即6m ≥-又∵30x -≠∴63m +≠，即3m ≠-∴6m ≥-且3m ≠-(3) 解：去分母得：322(3)x nx x -+-=--解得：(1)2n x -=∵原方程无解∴10n -=或者3x =①当10n -=时，得：1n =②当3x =时，23(1)n =-，得：53n = 综上：当1n =或53n =时原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．。

二元一次方程组“看错”系数问题解法例析

1、“看错”系数问题解法例析2、含字母系数的方程组的解法3、二元一次方程组错解剖析4、二元一次方程组名题赏析5、列方程组解调配问题两例6、图象法解二元一次方程组7、解好方程组的图表信息题8、领悟方程组中数学思想1、“看错”系数问题解法例析在解二元一次方程组时，由于一时粗心大意出现看错系数、抄错符号的现象，这样求得的是错解，其实错解中也包含着一些合理成份，只要我们细心领会，就会发现正确信息，从而巧妙求出原方程组中字母系数的值．例1．在解方程组222ax cy x by a +=⎧⎨+=⎩时，甲同学正确解得32x y =⎧⎨=-⎩，乙同学由于把b 抄写错了，解得22x y =-⎧⎨=⎩，请问b 的值应该是多少？乙同学错把b 错抄写成了几？分析：甲同学解对了，因此他的解满足原方程组；乙同学只写错了b 的值，但他所求得的错解适合看错的方程组，当然也就满足2ax cy +=．析解：把32x y =⎧⎨=-⎩代入2ax cy +=，得322a c -= …①把22x y =-⎧⎨=⎩也代入2ax cy +=，得222a c -+= …②解由①、②组成的方程组，得45a c =⎧⎨=⎩．把32x y =⎧⎨=-⎩和a ＝4代入方程22x by a +=，得628b -=，所以b ＝－1．再把22x y =-⎧⎨=⎩和a ＝4代入方程22x by a +=，得428b -+=，所以b ＝6．所以的值应该是－1，乙同学错写成了6．例2．在解方程组134ax by cx y -=⎧⎨-=⎩时，甲同学因看错了b 的符号，从而求得解为32x y =⎧⎨=⎩，乙同学因看错了c 的值，从而求得解为51x y =⎧⎨=⎩，试求a ，b ，c 的值．析解：因为甲同学仅看错了b 的符号，所以他的错解实际上满足看错了的方程组：134ax by cx y =⎧⎨-=+⎩，因此把32x y =⎧⎨=⎩代入13ax by +=，得3132a b +=；把32x y =⎧⎨=⎩代入4cx y -=，得c ＝2．同理乙同学看错了c 的值，但没看错a ，b 的值．所以把51x y =⎧⎨=⎩代入方程13ax by -=，得513a b -=．于是得到关于a ，b 的方程组3213513a b a b +=⎧⎨-=⎩，解之得32a b =⎧⎨=⎩．所以a ＝3，b ＝2，c＝2．2、含字母系数的方程组的解法一、给出方程组的解当含有字母系数的方程组的解已经给出时，可先把解直接代入原方程组，构造出关于字母系数的方程，进而求得其值．例1．若方程组2331x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩ 的解是11x y =-⎧⎨=⎩，求a 、b 的值．析解：由方程组解的意义，知11x y =-⎧⎨=⎩满足方程组2331x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩，所以有2331a b --=-⎧⎨-+=⎩，解这个关于a 、b 的方程组，得12a b =⎧⎨=⎩．∴a 、b 的值分别为1，2．二、方程组的解满足关系式当关于方程组的解满足一定的等式的字母求值问题，常常应把方程组中的字母当作已知数，用它的代数式表示方程组的解．再根据满足的等式，构造出关于字母的方程．例2．已知方程组3213325x y m x y m +=⎧⎨-=⎩…①…②的解适合x ＋y ＝10，求m 的值．析解：①＋②，得x ＝18m ，所以x ＝3m ．①－②，得4y ＝8m ，所以y ＝2m ．把x ＝3m ，y ＝2m 代入x ＋y ＝10，得３m ＋２m ＝10，解之，得m ＝２．三、字母系数看错问题在解二元一次方程组时，由于一时粗心大意出现看错系数、抄错符号的现象，这样求得的是错解，其实错解中也包含着一些合理成份，只要我们细心领会，就会发现正确信息，从而巧妙求出原方程组中字母系数的值．例3．在解方程组222ax cy x by a +=⎧⎨+=⎩时，甲同学正确解得32x y =⎧⎨=-⎩，乙同学由于把b 抄写错了，解得22x y =-⎧⎨=⎩，请问b 的值应该是多少？乙同学错把b 错抄写成了几？分析：甲同学解对了，因此他的解满足原方程组；乙同学只写错了b 的值，但他所求得的错解适合看错的方程组，当然也就满足2ax cy +=．析解：把32x y =⎧⎨=-⎩代入2ax cy +=，得322a c -= …①把22x y =-⎧⎨=⎩也代入2ax cy +=，得222a c -+= …②解由①、②组成的方程组，得45a c =⎧⎨=⎩．把32x y =⎧⎨=-⎩和a ＝4代入方程22x by a +=，得628b -=，所以b ＝－1．再把22x y =-⎧⎨=⎩和a ＝4代入方程22x by a +=，得428b -+=，所以b ＝6．所以的值应该是－1，乙同学错写成了6．3、二元一次方程组错解剖析同学们在学习二元一次方程组时，由于对概念理解和解法掌握程度不够，常会出现一些错误．现举几例常见错误，望引起大家注意．例1．已知方程(a ＋1)x ||a ＋(b ＋1)y12-b ＝7是关于x 、y 二元一次方程，求2a ＋3b 的值．【错解】由题意得：⎩⎨⎧=-=1121||b a ∴ ⎩⎨⎧=±=11b a所以当a ＝1，b ＝1时，2a ＋3b ＝5；当a ＝－1，b ＝1时，2a ＋3b ＝1．剖析：根据二元一次方程定义可知，方程应含有两个未知数且未知数系数不能为0．正解：（接上）因为a ＋1≠0，所以 ∴a ≠－1，所以当a ＝1，b ＝1时，2a ＋3b ＝5；故，填：5．例2．解方程组⎩⎨⎧-=-=-222y x y x ②①⋯⋯⋯⋯【错解】①－②得： y ＝4，把y ＝4 代入②得，x ＝2，原方程组的解是：⎩⎨⎧==42y x ．剖析：错在①－②在上的符号方面，正解：①－②得：－y ＝4，解得：y ＝－4，把y ＝－4 代入②得，x ＝－6，原方程组的解是：⎩⎨⎧-=-=46y x ．例3．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=+--8)2(2)(3142y x y x yx y x ②①⋯⋯⋯⋯【错解】一：①×4得：2(x －y )－(x ＋y )＝－1，剖析：去分母时漏乘．（你来填一填！）【错解】二；①×4得：2x －2y －x ＋y ＝－1，剖析：忽略．【错解】三：由②得：3x ＋y －4x －y ＝8 剖析：忘了括号前的．正解：①×4得：2(x －y )－(x ＋y )＝－4， 2x －2y －x －y ＝－4，x －3y ＝－4， ……③②变形得：3x ＋3y －4x ＋2y ＝8，－x ＋5y ＝8， ……④③＋④，得：y ＝2把y ＝2带入③，得：x ＝2，这个方程组的解为：⎩⎨⎧==22y x你填对了吗？三个空分别是：不含分母的项；分数线的括号作用；负号和乘法分配律．4、二元一次方程组名题赏析一些数学问题初看似乎与二元一次方程组没有关联，但若运用二元一次方程组来解却简单．例1．如图1，射线OC 的端点O 在直线AB 上，∠AOC 的度数比∠BOC 的2倍多10°，求∠AOC 和∠BOC 的度数．【分析】本题有一隐含条件是：∠AOC 和∠BOC 组成平角180°，再依据已知中的x ,y 的另一个关系：∠AOC 的度数比∠BOC 的2倍多10°，又可得一方程．解：设∠AOC 和∠BOC 的度数分别为x 、y ，依题意得 ⎩⎨⎧+==+102180y x y x ，解（略）．还有些实际应用问题有时比较复杂，但也常利用方程和方程组来解决．例2．某通讯器材商店计划用6万元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知一厂家生产三种型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．若商场同时购进其中两种．．不同型号的手机共40部，并将6万元恰好用完．请你帮助商场算一下如何购买．【分析】由于商场只同时购进三种手机中的两种．．不同型号的手机40部，所以商店可以有购甲乙、乙丙、甲丙三种选择，因此本题应列三个二元一次方程组的应用问题叠加在一起，所以应分情况来解答．解：设甲、乙、丙三种型号的手机分别购买x 部、y 部、z 部，① 若选购甲乙两种型号，根据题意可列方程组⎩⎨⎧=+=+60000600180040y x y x ，解这个方程组，得⎩⎨⎧==1030y x ；图10C B A② 若选购乙丙两种型号，则有方程组⎩⎨⎧=+=+60000120060040z y z y ，解这个方程组，得⎩⎨⎧=-=6020z y ；③ 若选购甲丙两种型号，则有方程组⎩⎨⎧=+=+600001200180040z x z x ，解这个方程组，得⎩⎨⎧==2020z x ；第二种方案不行，舍去。

含字母系数的一次方程

a b c ，求 x 的值 = = b+c c+a a+b n ； m
分析：题目给出的是一个连等式，可以分别拆开再求出 x 由已知条件得 x =+ (b c) x, b =+ (c a) x, c =+ ( a b) x 三式相加，得 a + b + c= 2(a + b + c) x 当 a + b + c ≠ 0 时，则 x =
答案： a 7或a 2
1 ； 2 c = −1 a+b
当a+b+c = 0 时，则 a + b = −c ，则 x = 3、如果关于 x 的方程
2( kx + 3) 1 5(2 x + 3) 有无数个解，那么 k = __ + = 3 2 6
分析：经化简后一定是 0 ⋅ x = 0 ，从而求出 k 结果 k =
5 2
a 3x + a 1 − 5 x 4、已知关于 x 的方程 3[ x − 2( x − )] = 4x 和 − = 1 有相同的解，那么这个解是 3 12 8
答案：
答案： 3, 2 10. 如果方程 m( x − 1) = 2001 − n( x − 2) 有无数个根，则 m 2001 + n 2001 = ___ （第 12 届初一希望杯）答案： 0 。
0 m + n = 可化为 (m + n) x = 2001 + m + 2n 有无数个根，所以 0 2001 + m + 2n =
含字母系数的一次方程如果方程中的已知数用字母表示，那么这样的方程就叫做含字母系数的方程。最简一元一次方程 ax=b 的解有以下三种情况： ①当 a≠0 时，方程有且仅有一个解； ②当 a=0，b≠0 时，方程无解； ③当 a=0，b=0 时，方程有无穷多个解. 例题： 1、解关于 x 的方程 mnx − n 2 = mn − m 2 x 分析：移项合并同类项得 m(m + n) x =(m + n)n 当 m + n ≠ 0 ，且 m ≠ 0 时，方程有唯一解 x = 当 m + n ≠ 0 ，且 m = 0 时，方程无实数解；当m+n = 0 时，方程的解为任意数。 2、 = 若x

初中数学竞赛——一元一次方程进阶

word格式可编辑感谢下载支持第10讲一元一次方程进阶知识总结归纳一.含字母系数的一次方程的解法关于x的方程ax二b(1)当a主0时，方程有唯一解x=I;a(2)当a二b二0时，方程的解为任意实数；(3)当a二0且b主0时，方程无解.二.对于特殊的一元一次方程，可以用验根法解方程，即代入某数验证它就是方程的根，然后说明此方程有唯一解(一次项系数不为0).三.当一个一元一次方程有两个或者两个以上的解时，它必有无穷多个解，即它的一次项系数和常数都为0.四.整数根的两种解法：方法1：先解方程，然后把解的代数式适当变形，根据整数的整除性求解；方法2：直接把方程化成一个整式，利用因式分解的方法求解.典型例题一.解方程例题1解方程：兰=出-土卫246word格式可编辑感谢下载支持例题2解方程：2[2（x-3）+3]=1.例题3解方程：x-例题4解方程：1(x———51x)x——6丿52例题5解方程：击+吕+走+ x2009x20102009word 格式可编辑感谢下载支持例题6 _(y +2013)=2013；2014' 2) 3) 解方程：~((y +1)+(y +2)+~((y +3)+234二. 含参数的方程例题7解下列关于x 的方程.4x +b =ax -8；11m (x 一n )=(x +2m )；34 例题8解关于x 的方程匕-口=b ，其中a 丰0，b 丰0. baa例题9解关于x 的方程:(mx -n )(m +n )=0.1) mx -1=nx ；word格式可编辑感谢下载支持例题10解关于x的方程:(a+x一b)(a一b一x)=(a2-x)(b2+x)一a2b2三.解的情况的讨论例题11关于x的方程mx+4二3x-n，分别求m、n为何值时，原方程：(1)有惟一解；(2)有无数解；(3)无解.例题12已知关于x的方程2aC-1)=(5-ah+3b无穷多解，求a、b.例题13已知关于x的方程2m(3x+2)-1=(2n+必无穷多解，求m、n.例题14已知关于x的方程a(2x-D=3x-2无解，试求a的值.例题15证明：若一元一次方程ax二b有两个不同的解x和x，求证：这个方程必有有无数多个解。

含字母系数的一元二次方程-初中数学知识点

含字母系数的一元二次方程
1．含字母系数的一元二次方．
一元二次方程问题的基础，是方程概念、方程的四种常见解法，以及由公式法引申出来的根与系数的关系，
代入法是解决一元二次方程问题的基本方法。

代入法的应用，主要反应在以下几个方面:概念问题，限制二次项系数不能为零，这是容易出现失误的地方;
根的合理应用，代入方程，可以保证等式的成立;求根公式的运用，首先是根的判别式的作用,确定方程是否
有实数根，然后，决定是否运用求根公式。

当我们在无法判断判别式的情况下，求出了某些字母的值，就需
要我们反过来代入判别式,以验证字母的值是否符合题意。

运用根与系数的关系的关系，同样面临这样的情况，应当引起我们的关注。

有时，一元二次方程会和实际问题相互结合，需要我们验证字母值的合理性。

我们应该明确:细心解题，是
十分宝贵的学习素质。

以下，我们通过典型例题,体验解决这类问题的方式、方法。

例1.已知关于x的方程()
22
+++-=有实数根，求的取值范围;
x k x k
2130
分析:直接运用判别式就可以。

例2、已知关于x的一元二次方程()22
1230
-+--+=有一根是0 ,求m的值及这个方程的另一个
m x x m m
根.
分析:利用根的定义，代入原方程;注意，保证二次项系数不为零。

1 / 1。

几种类型的一元一次方程的解法

几种类型的一元一次方程的解法解一元一次方程时，一般按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等步骤来进行，但是对于某些特殊类型的一元一次方程，需根据实际情况来进行求解.下面分类举例说明.一、含绝对值的方程的解法解含有绝对值符号的一元一次方程的基本思路就是去掉绝对值符号.转化为一般方程来求解.常用的转化方法有以下几种：（一）、对于最简绝对值方程，依据绝对值的定义，去掉绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即：若||x a = ，则x a =± .例1.（2001年湖南常德中考题）已知|31|2x -=，则x =（）.（A ）1 （B ）－13 （C ）1或－13（D ）无解解：由绝对值的定义，得312312x x -=-=-或，分别解得113x x ==-或，故选（C ）. 例2.（1996年“希望杯”赛题）若||,x a =则||x a -=（）.（A ）0或2a （B ）x a - （C ）a x - （D ）0 解：由绝对值的定义，得x a =±，分别代入||x a -中得：当x a =时，||0x a -=；当x a =-时，||2x a a -=.故选（A ）. 例 3.（2001年重庆市竞赛题）若|20002000|202000x +=⨯.则x 等于（）.（A ）20或－21 （B ）－20或21（C ）－19或21 （D ）19或－21 解：由绝对值的定义，得|20002000|202000x +=±⨯，分别解得1921x x ==-或.故选（D ）.同步练习：1.（1997年四川省初中数学竞赛题）方程|5|25x x -+=-的根是_________.2.（2000年山东省初中数学竞赛题）已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足1||102x --=，则x 的值是（）.（A ）10或25 （B ）10或－25（C ）－10或25 （D ）－10或－253.（2000年重庆市初中数学竞赛题）方程|56|65x x +=-的解是_________.答案：1.x =－10；2.（C ）；3.11x = .（二）、对于含有双重或多重绝对值符号的较复杂的绝对值方程，可用零点分段法分类讨论转化为最简绝对值方程来解.例4.（“迎春杯”竞赛题）解方程|3||1|1x x x +--=+ 分析与解：（1）定零点令x ＋3＝0，x －1＝0.解得x ＝－3，x ＝1.（2）对x 的取值分段讨论以－3，1为界将数轴分为三段，即x ≤－3，－3＜x ≤1，x ＞1.（3）分别在每一段上讨论当x ≤－3时，－x －3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－5.当－3＜x ≤1时，x ＋3＋x －1＝x ＋1，解得x ＝－1.当x ＞1时，x ＋3－x ＋1＝x ＋1，解得x ＝3.同步练习：1.（2000年“希望杯”竞赛题）若0a <，则200011||a a+等于（）.（A ）2007a （B ）－2007a （C ）－1989a （D ）1989a2.（“江汉杯”竞赛题）方程|1||99||2|1992x x x +++++=共有（）个解.（A）4 （B）3 （C）2 （D）1答案：1.（D）；2.（C）.（三）、对于某些特殊的绝对值方程，还可借助数轴用绝对值的几何意义求解.例5.（第11届“希望杯”竞赛题）适合|27||21|8++-=a a的整数的值的个数有（）.（A）5 （B）4 （C）3 （D）2解：由已知知，即在数轴上表示2a的点到－7和＋1的点的距离的和等于8，所以2a表示－7到＋1之间的偶数，有－6、－4、－2、0四个.故选（B）.例 6.（1999年武汉市竞赛题）若0,0><则使a b-+-=-成立的的取值范围是_______.x a x b a b||||解：||-表示数x和b的x bx a-表示数x和a的点的距离，||点的距离，a－b表示a、b的点的距离，可知，表示x的点应位于表示a、b的两点之间.故b≤x≤a即为所求的x的取值范围.同步练习：1.（1998年“希望杯”竞赛题）适合关系式|34||32|6-++=x x的整数的值是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）大于2的自然数2.（“祖冲之杯”竞赛题）解方程x x-+-=：.|1||5|4答案：1.（C）；2.1≤x≤5.二、含字母系数的一元一次方程一个一元一次方程中，除了未知数以外，还有其它字母的方程叫做含有字母系数的方程，那么，这类方程怎样解呢？含字母系数的一元一次方程总可化为ax b=的形式.其方程的解由a b、的取值范围确定或对解方、的取值范围确定，当字母a b程的过程并未产生实质性的影响时，其解法同数字系数的一元一次方程一样；当字母a b、的取值范围围给出时，则需讨论解的情况.例7.解下列关于的方程：()()()(0)cx b c x a b x b a x a c--=---+≠.分析：这个方程中除了字母x外，还有字母a b c、、，由于说明是关于x的方程，应视为x未知数，a b c、、为已知数，故去括号，移项，合并同类项等整理时都要以x为未知数进行.例8.解关于x的方程：.分析：这个方程仍然以x为未知数，看作已知数来解.同步练习：解关于的方程.答案：11 xa =-.。

字母系数

一元二次方程中字母系数的求解思路(河北星星老师) 字母系数的确定是难点。

一直以来，学生解答一元二次方程问题的错误主要集中在含有字母系数的一元二次方程这类题型上，也正是这个原因，各省市的中考命题总爱在此设下陷阱，为增加同学们的免疫力，给同学们打以下预苗：一．如果题目中没有指明方程的次数和根的个数，应注意二次项系数可能为零。

例：m为何值时，关于x的方程mx2+(2m-1)x+m+2=0有实数根？分析：由于题设对含字母系数的方程次数未做任何规定，因此，“关于x的方程mx2+(2m-1)x+m+2=0有实数根”可理解为“一元二次方程mx2+(2m-1)x+m+2=0有实数根”和“一元一次方程mx2+(2m-1)x+m+2=0有实数根”两种情况。

解：分两种情况，1(1)当m≠0时，由△≥（2m-1）2-4m(m+2)≥0,即m≤121且m≠0时，原方程有两个实数根。

∴当m≤12（2）当m=0 时，原方程为-x+2=0.看得出方程有一个实数根。

说明：当二次项系数中含有字母且对方程没有作明确规定时，求解时一定要对“方程的次数”做以讨论，否则将进入陷阱。

二．当题目中指明是二次方程或有两个实数根，应注意二次项系数不能为零。

例：已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2，求k的取值范围1且k≠0 解：由题目意可知：k≠0, △＞0,（2k-1）2-4k2解得k＜4说明：不能只考虑△＞0，而忽视了二次项系数k≠0这一隐含条件。

否则原二次方程的二次项消失，变成了一次方程，与已知条件有两个不相等的实数根相违背。

三．运用根的判别式解一元二次方程时，注意方程有实根的隐含条件△≥0。

例：若关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0两实根的平方和等于9，求x的值。

分析：条件已明确一元二次方程有两实数根，因而必须满足△≥0，然后再根据韦达定理解题。

解：设方程的两根为x1,x2，由韦达定理得，x1+x2=-(2k-1), x1x2=k2-1. ∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=［-(2k-1)］2-2(k2-1)=9整理得，k2-2k-3=0, k1=-1 ,k2=3 注意到二次方程有两个实根。

含字母系数方程与绝对值方程

含字母系数方程与绝对值方程【知识要点】1.关于x 的方程ax=b ，我们有：（1）当a ≠0时，方程有唯一解；（2）当a=0,b ≠0时，方程无解；（3）当a=0,b=0时，方程有无数多个解，且解为任意数.反过来，结论也是正确的,即对方程ax=b,我们有：（1）若方程有唯一解，则a ≠0；（2）若方程无解，则a=0且b ≠0；（3）若方程有无数多个解，则a=0且b=0.2.关于x 的方程a x =:（1）当a>0时，方程有两个解:a x a x -==,;（2）当a=0时，方程有一个解:0=x ；（3）当a<0时，方程无解;注: (1) 绝对值方程不是一元一次方程.(2) 解绝对值方程的关键:根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号，化为一般方程，从而解决问题．【典型例题】例1．已知关于x 的方程 23()ax a x -=+ 的根是2，求a 的值.例2．关于x 的方程n x mx -=+34，分别求m ，n 为何值时原方程：（1）有惟一解；（2）有无数多解；（3）无解．例3．解关于x 的方程nx mx =-1．例4．解关于x 的方程),0,0(b a b a ab a b x b a x ≠≠≠=---例5．若1x =是关于x 的方程(0)ax b c a +=≠的解，求：（1）2001)(c b a -+的值；（2）ba c +的值；（3）1c ab ---的值.例6．（1）解关于x 的程4(1)(5)2a x a x b -=-+有无数多个解，试求b a ,（2）当k 取什么整数时，方程24kx kx +=的解是正整数？例7. 先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：｜x+3｜=2解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3=2，解得x=-1当x+3＜0时，原方程可化为：x+3=-2，解得x=-5所以原方程的解是x=-1，x=-5（1）解方程：｜3x-2｜-4=0（2）探究：当b为何值时，方程｜x-2｜=b+1 ①无解；②只有一个解；③有两个解.例8. 解方程：（1）123=-x （2）2173x -=*（3）45x -= *（4）310x x --+=* 思考题: 当a 为何值时,关于x 的方程a x =--32恰有三个解?【初试锋芒】1. 若方程()0122=++-c bx x a 是关于x 的一元一次方程,则( ) A.为任意数c b a ,0,21==B.0,0,21=≠≠c b aC.0,0,21≠≠=c b aD.为任意数c b a ,0,21≠= 2. 要使方程a ax =有唯一的解1=x ,必须满足条件( )A. a 任意B. a>0C. a<0D. a ≠03．已知1x =是方程12()23m x x --=的解，那么方程(3)2(25)m x m x --=-的解是（） A ．10x = B ．0x = C ．x=1 D ．以上答案都不对4．如果a 、b 互为相反数，（a ≠0）,则ax +b =0的根为（）A ．1B ．－1C ．－1或1D ．任意数5. 方程 x x -=|| 的解是 ( )A.1-B.负整数C.所有负有理数D. 所有非正有理数* 6. 若k 为整数,则使得方程x x k 20002001)1999(-=-的解也是整数的k 的值有( )个.A.4B.8C.12D.167. 关于x 的方程357x a bx -+=+有唯一解，那么a 、b 应满足条件为（）A ．a 、b 是不为0的数；B ．a b ≠C ．1a ≠D ．3b ≠8. 若2=a ,且02=+b a ,则b=9. 关于x 的方程)(b a a bx b ax ≠+=+的解为 .10. 若15.0=x 与方程ax a x =+3的解相同,则=a .11．已知12x =是关于x 的方程432ax ax +=-的解，那么a = . 12．已知方程1(2)40a a x--+=是一元一次方程,求a 与x 的值.13. 已知12x =是方程23)2(6+=+x m x 的解，求关于x 的方程)21(2x m mx -=+的解.14. 已知3x =是方程45(1)8(2)ax x a x x a a x -+=++--+的解，0y =是方程232()yb ab y ab y b +-=++的解，求22()()a b a b --+的值.15．m 为何值时方程(1)72m x x -+=的解为：（1）3；（2）12；（3）零.【大展身手】1．当a 时，方程b ax =的解为a b x = 2．方程2=x 的解为．3．（1）已知1=x 是方程x k x k 3)2(+=-的解．求k 的值；（2）已知-4适合方程0623=-kx ，求2001k 的值.4. 当k 取何值时，方程 k x x k -=-4)1(的解为2-=x ？5．解关于x 的方程x n m x n m m )()(2-=+-.6.若1-=y 是方程)(76)(34y a y y a y --=--的解，求a a 1+的值.7.解关于x 的方程，13)21(2-=---x x k ),2(为有理数且k k -≠8．已知03242=--+-x y ax y ，问a 为何值时x 为负值？9．已知关于x 的方程b x a x a 3)5()1(2+-=-有无数多解，试求b a ,的值．* 10．()()()()112120k k x k k +--++=.Word 资料* 11．如果m 、n 为常数，关于x 的方程()2232x km kx n -+-=无论k 取何值，方程的根总是12，试求m 、n 的值.。

六年级含字母系数的方程(组)的解法

学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间 A / B / C / D / E / F 段主题含字母系数的方程（组）的解法教学内容1．会解形如ax b =的方程；2．理解二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解有多种可能性．（此环节设计时间在10-15分钟）说明：本讲内容如果没有特别说明，在含有字母系数的方程（组）或不等式（组）中，一般用a 、b 、c 等表示已知数，用x 、y 、z 表示未知数。

回顾上次课的预习思考内容形如ax b =的方程的解的情况讨论：◆ 当0a ≠时，方程有唯一解，为b x a=（等式基本性质） ◆ 当0,0a b ==时，即00x ⨯=，方程有无数个解，即解为一切数◆ 当0,0a b =≠时，方程无解二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解的可能性：◆ 当1112a b b b ≠时，方程组有唯一的解； ◆ 当111122a b c b b c =≠，方程组无解； ◆ 当111122a b c b b c ==时，方程组有无数多个解练习：1．关于x 的方程53ax x =-无解，则a ＝；2．关于x 的方程2354mx x n -=-无解，则m ，n ；3．已知二元一次方程组3221ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值是（） A ．a ＝－2 B ．a ＝6 C ．a ＝2 D ．a ＝－6参考答案：1、5； 2、5324m n =≠、； 3、D （此环节设计时间在50-60分钟）例题1：解关于x 的方程(1)32m x x -=+教法说明：首先回顾下等式的基本性质：等式的两边同乘以（除以）同一个不为零的数，等式的性质不变参考答案：(3)22303330305m x m m m m x m m m x -=++-≠≠=--==⨯=解：原方程整理得当，即时，原方程的解为当，即时，原方程变为,所以原方程无解试一试：解关于x 的方程23ax b x -=-(2)332022203023203023a x b b a a x a a b a b a b a b -=---≠≠=--=-≠=≠-=-===解：原方程整理得当，即时，原方程的解为当，，即，时，所以原方程无解当，，即，时，所以原方程有无数个解例题2：解关于x 、y 的二元一次方程组 2(1)(20)3(2)mx y n m n nx y m +=⎧+≠⎨-=⎩教法说明：解关于字母系数的二元一次方程组通常用加减消元比较简便参考答案：222222(1)(2)2(2)662(1)(2)(2)3326232m n x m nm n x m nn m m n y n m n m y m nm n x m n n m y m n +⨯+=++=+⨯-⨯+=--=++⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解：得得所以原方程组的解为试一试：解关于x 、y 的方程组：1(0,0)2ax by a b bx ay -=⎧≠≠⎨+=⎩ 参考答案： 222222222222(1)(2)()22(1)(2)2()2222a b a b x a ba bx a b b a b y a b a by a b a b x a b a by a b ⨯+⨯+=++=+⨯-⨯+=--=++⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解：得得所以原方程组的解为例题3：若方程组223x y m x y +=-⎧⎨-=⎩的解x 与y 均为正数，求m 的取值范围．教法说明：要求学生会解简单的含字母系数的二元一次方程组，将本方程组中字母m 的看成是常数参考答案：解：解方程组得1383m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 因为x 与y 均为正数，即00x y >⎧⎨>⎩ 所以103803m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩. 解不等式组得， 8m >所以m 的取值范围是8m >．试一试：已知关于x y 、的二元一次方程组26322x y m x y m +=⎧⎨-=⎩的解满足二元一次方程435x y -=，求m 的值。