趋肤效应的定量分析

域，t 时刻的瞬时功率输入
为：
p(t) bc[S(0,t) S(,t)]
1 bc E02 cos(t z) cos(t z ) 2

1 2
bcE02
(1 cos 2t sin 2t) 2
注：值得注意的是流入的能流密度取为 S(+0)而非简单的 S(0)。事实上我
CONTENTS
一、引言 二、模型分析
电磁波在导电介质中传播理论：物理模型及数学 分析。 三、结果讨论 良导体的情况 ：能量耗散和趋肤效应电阻。 四、结论
一、引言
在普通物理的电磁感应相关部分中，用涡流 观点定性地解释了趋肤效应的产生原因。
当导体中通有时变的电流 I 时，在它周围
产生变化的环形磁场。根据法拉第定律，将在


1


2


1 4


exp{ j
1 2
arctan

}
(这里
是复数,
为其幅角)
于是我们可以作出导 电介质中的电磁波波形示意 图（如右图）。

与自由空间的平面电

磁波不同之处在于：
1） 电场、磁场不同相位；
2） 电场、磁场的振幅在传播方向上衰减。
我们开始时提出的证明目的 J J0 exp{z /}。所不同的是这里要考虑时变部
分。(2)式很重要，是我们进一步的定量讨论的基础。
(1)电磁波传播过程中的能量耗散
先从能流密度角度分析。根据(1)式，玻印廷矢量：
S(z,t) E H
E0 exp zcos(t z)
其中定义复介电常数



j

1
j


由于复介电常数的引入，我们得到了与自由空间相同形式的麦克斯韦方程组，因
此它的解也应与我们熟悉的自由空间电磁波的解有相同形式。
比较自由空间导电介质空间的电磁场方程
自由空间
电
磁
2 E k2 E 0
场
方
k
程
导电介质空间
导体中产生涡旋电场从而生成涡流 i，方向如图 所示。在表面附近 I0 与 i 是同向的（加强），而 在轴线附近与 i 反向（部分抵消）。所以导体的
横截面上电流密度的分布是边缘大于中心。这 被形象地称为“趋肤效应”。
疑问
这种说法只是对现象的一种解释而非严格的推导。不过书上指出 了理论分析的方向，应当求解电磁场方程组。一些参考书上仅仅作为 结论给出了电流密度随深度变化的公式
j j0 expd / dS
其中把 d S 称为趋肤深度。这个结果形式非常简单。那么它是如何 得到的呢？下面我们将就这个问题展开一些定量的讨论。
二、模型分析
如果从电磁场的观点来看交变 电流，它实际上是空间电磁波进入导 体传播的结果。因此我们分析的出发 点是电磁波在导电介质内的传播理 论。
如右图，半无限导体在 z 0 区 域，沿 z 方向传播的电磁波其电场方 向为 x 方向，激发此方向上的电流。
导电介质中的电磁波（数学推导）
由介质中的麦克斯韦方程组（复数形式）：
E j H H J j E
及欧姆定律的微分形式：
可以变换为：
J E，
E j H H j E ，
1
2

1


2
2 1




, 2


1



2


1 4



, 1 arctan 45

2

一般资料上定义趋肤深度 ：场的幅度衰减为表面的 e1 所传播的距离，则
1 2
2 E k2 E 0
k
电
E(r,t) E0 exp{ j(t k r)}
磁 波
H (r,t) 1 E 1 k E
j
k
的
解

E(r,t) E0 exp{ j(t k r)}
H (r,t) 1 E 1 k E
j
k

三、结果讨论
1、平面波解
设电磁波沿 z 轴方向传播，波矢量 k ( j)ez ，则导电介质中的电磁波解为：
E(z,t) E0 exp{ z}exp{ j(t z)}
H (z, t)
1
ez
E0
exp{ z}exp{ j(t
z)}


1
ez
E0
exp{ z}cos(t
z
)

ezE02 exp{2 z}cos(t z) cos(t z )
由 S 的物理意义，流入的
能流密度为 S( +0),流出的
S(z), 那 么 在 平 面 导 体 上
0 x b,0 y c,0 z 的 区
复波数的物理意义：实部 与自由空间的波数有相同意义，描述空间
相位分布；虚部 是导电介质的特征量，描述电磁波强度（振幅）的分布，
并且这分布是呈指数衰减的。
2、良导体的具体情况
对一般良导体，有 1。事实上这个式子是良导体的一个广泛的定义。于
是有下面的近似：
1




2
1
ez
E0
exp{ z}exp{ j(t

z
)}
(1)
不难确定这些常数（显然 、 >0）：



1
2
1
2
1
1
2


2

1



1
2

1
2
2 1
2
要注意的是，对良导体，趋肤深度 一般是很小的，例如铜，在频率为106 Hz 的交流
下， 6.37105m 。
根据式(1)，结合欧姆定律，我们得到电流密度分布：
J (z,t) J0 exp{ z }exp{ j(t z)}
(2)
如果我们把(2)中的 J0 exp{ j(t z)}作为复振幅 J0 ，那么式(2)就变成
们考虑
S(-0)
，
这
是
在
自
由
空
间
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的
能
流
密
度
，
S (0)

1 2
E02
，与
S (0)

1 2
E02
是不同的，即 S 在界面发生了跃变。这是电磁波在界面部分