1 2 2绝对值不等式的解法

【解】 (1)∵|x－1|≤2⇔－2≤x－1≤2⇔－1≤x≤3， ∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)原不等式可转化为
2x－1<2－3x， 2x－1>3x－2
⇔ x<35， x<1
⇒x<35.
∴原不等式的解集为x|x<35.
(3)3≤|x－2|<4⇔3≤x－2<4 或－4<x－2≤－3. 即 5≤x<6 或－2<x≤－1. ∴原不等式的解集为 {x|－2<x≤－1 或 5≤x<6}． (4)|x＋2|>|x－1|⇔(x＋2)2>(x－1)2⇔x2＋4x＋4>x2－2x＋1⇔ 6x>－3，即 x>－12. ∴原不等式的解集为x|x>－12.
(5)方法 1：分类讨论求解． (ⅰ)当 2x<0 时，即 x<0. ∵x2－12≥0 对任意 x∈R 恒成立， ∴x2－12>2x 恒成立． ∴x<0 是原不等式的解． (ⅱ)当 2x＝0 时，即 x＝0. ∵x2－12＝0－12＝12>0， ∴x＝0 是原不等式的解．
综上所述，原不等式的解集是
{x|x<0}
∪
{x|x
＝
0}
∪
2＋
x|x>

2Baidu Nhomakorabea
6

∪

－2＋
x|0<x<

2
6

，
即

x|x<－1＋

26或x>1＋
6
2
.

方法 2：直接去绝对值求解．
x2－12>2x⇔x2－12>2x 或 x2－12<－2x，即 2x2－4x－1>0 或 2x2＋4x－1<0.
(ⅲ)当 2x>0 时，即 x>0.
x2－12>2x⇔x2－12>2x 或 x2－12<－2x.
由
x2－12>2x，得
2－ x< 2
6或
2＋ x> 2
6 .
由 x2－12<－2x，得－2－2
6 －2＋ <x< 2
6 .
综合 x>0 知，x>2＋2
6或
－2＋ 0<x< 2
6是原不等式的解．
3．|x－a|＋|x－b|≤c 和|x－a|＋|x－b|≥c 型不等式的解法 求解这类不等式，主要方法有如下三种： (1)利用绝对值的几何意义，借助数轴求解； (2)令绝对值符号内的式子为零，找出零点，这些零点把数 轴分成几个区间，分区间去掉绝对值，转化为多组不等式组求 解，最后取这些解集的并集为原不等式的解集； (3)构造函数利用函数的图象求解． 求解这类不等式时，可根据不等式的特点而适当选用不同 的方法求解．
当 f(x)≥0 时，同解于aaxx＋＋bb≤≥f－xf，x. 事实上，|ax＋b|≤f(x) 同解于－f(x)≤ax＋b≤f(x)，不需要讨论．
|ax＋b|≥f(x)，同解于 ax＋b≥f(x)或 ax＋b≤－f(x)，也不需 要讨论．
2．|x－a|<|x－b|和|x－a|>|x－b|型不等式的解法 对于这种类型不等式的解决办法是两边同时平方去掉绝对 值． ①|x－a|<|x－b|⇔(x－a)2<(x－b)2； ②|x－a|>|x－b|⇔(x－a)2>(x－b)2. 再将这个式子整理，便可化为一般的不等式求解．
3.(2)正、负 (3)零点
思考探究 |x|的几何意义是什么？ 提示 |x|表示数轴上的点 x 到原点 O 的距离.
名师点拨 1.|ax＋b|≤c 和|ax＋b|≥c 型不等式的解法 |ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c. |ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. 变式：|ax＋b|≤f(x)的解法从理论上讲应分类讨论． 当 f(x)<0 时，解集为∅；
3．|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思 想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解 释． (2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用 “零点分段法”求解，体现分类讨论的思想，确定各个绝对值 符号内多项式的________，进而去掉绝对值符号．
第一讲 不等式和绝对值不等式
二 绝对值不等式
2 绝对值不等式的解法
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式的 求解问题． 2．了解绝对值不等式的几何解法.
课前预习
1.含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式 a>0
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方 程的思想．正确求出函数的________并画出函数图象(有时需要 考查函数的增减性)是关键.
1.{x|－a<x<a} ∅ ∅ {x|x>a 或 x<－a} {x∈ 答 R|x≠0} R 案 2.(1)－c≤ax＋b≤c (2)ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c
由
2x2－4x－1>0，得
x<1－
26或
x>1＋
6 2.
由 2x2＋4x－1<0，得
－1－
26<x<－1＋
6 2.
a＝0
a<0
|x|<a ________ ________ ________
|x|>a ________ ________ ________
2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔_____________________________________ __________________________. (2)|ax＋b|≥c⇔_____________________________________ __________________________________.
4．解含绝对值不等式的核心任务 解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒 等变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题 方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 【例 1】 解下列不等式： (1)|x－1|≤2； (2)|2x－1|<2－3x； (3)3≤|x－2|<4； (4)|x＋2|>|x－1|； (5)x2－12>2x.