1 2 2绝对值不等式的解法
绝对值不等式
绝对值不等式知识总结：1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a (－a ，a ) ∅∅ |x |>a(－∞，－a )∪(a ，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .题型一：绝对值不等式的解法例1：不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)例2：若关于x 的不等式|x －1|－|x －3|>a 2－3a 的解集为非空数集，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a <2 B.3－172<a <3＋172C ．a <1或a >2D ．a ≤1或a ≥2举一反三：变式1：设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，则a ＝________.变式2:不等式|x －2|＋|x ＋2|≥5的解集为______________．题型二：利用绝对值不等式求最值例1：对于任意实数a 和b (b ≠0)，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|b |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，则实数x 的取值范围是________．例2：记max{p ，q }＝⎩⎨⎧p ，p ≥q ，q ，p <q ，设M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，其中x ，y ∈R ，则M (x ，y )的最小值是________．举一反三：变式1：若关于x 的不等式|x ＋t 2－2|＋|x ＋t 2＋2t －1|<3t 无解，则实数t 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1 B ．(－∞，0] C ．(－∞，1]D ．(－∞，5]变式2：(2020·浙江第二次联盟联考)定义min{x ，y }＝⎩⎨⎧x ，x ≤y ，y ，x >y ，已知x 是不为2或8的实数，若S ＝min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2|x －2|，1|x －8|，则S 的最大值为________．题型三：绝对值不等式的综合应用例1：已知a ，b 为实数，不等式|x 2＋ax ＋b |≤|x 2－7x ＋12|对一切实数x 都成立，则a ＋b ＝________.例2：已知函数f (x )＝x |x －a |－1.①当a ＝1时，解不等式f (x )<x －1；②当x ∈(0,1]时，f (x )≤12x 2恒成立，求实数a 的取值范围．举一反三：变式1：已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．课后练习：1．不等式|2x －1|<3的解集是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)2．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |x >1}D ．{x |x <－1或x >1}3．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．74．已知数列{a n }为等差数列，且a 8＝1，则2|a 9|＋|a 10|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．设函数f (x )＝|2x －1|，若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)6．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或87．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π2x ，|x |≤1，x 2－1，|x |>1.若|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|>2(l >0)对任意的实数x都成立，则正数l 的取值范围为( ) A ．(0,23) B ．(23，＋∞) C ．(0,23]D ．[23，＋∞)8．若a ，b ，c ∈R ，且|a |≤1，|b |≤1，|c |≤1，则下列说法正确的是( ) A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2 B.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b －c 2 D ．以上都不正确9．若关于x 的不等式|x |＋|x ＋a |<b 的解集为(－2,1)，则实数a ＝________，b ＝________.10．已知f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x －a ＋2x －2a (x >0)的最小值为32，则实数a ＝________.11．当1≤x ≤3时，|3a ＋2b |－|a －2b |≤|a |⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x ＋1对任意的实数a ，b 都成立，则实数m 的取值范围是________．12．对任意的x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为________；若正实数x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋z 2＝1，则t ＝433xy ＋2yz ＋xz 的最大值是________．13．已知函数f (x )＝x －1，若|f (x )－1|＋1|f (x －1)|－a >0对任意的x ∈R 且x ≠2恒成立，则实数a的取值范围为________；不等式|f (2x )|≤5－|f (2x －1)|的解集为__________．14．已知a >0，若集合A ＝{x ∈Z ||2x 2－x －a －2|＋|2x 2－x ＋a －2|－2a ＝0}中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为______．15．已知a ，b ∈R ，f (x )＝|2x ＋ax ＋b |，若对于任意的x ∈[0,4]，f (x )≤12恒成立，则a ＋2b ＝________.。
高中数学 1.2.2 绝对值不等式的解法课件 新人教A版选修45[1]
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成立的 x 值,依据“大于取两边,小于取中间”的法则写出不等式的解集
即可.
(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号,以 a,b 为分界点,将实数
集分为三个区间,在每个区间上 x-a,x-b 的符号都是确定的,从而去掉绝
对值符号.
∴x-8≥3,或 x-8≤-3.∴x≥11,或 x≤5.
∴原不等式的解集为{x|x≥11 或 x≤5}.
本题题型已成为“公式”型的问题,即解不等式时,套用|ax+b|≥c 型
的转化方法,进而解之,而数形结合是从函数图象的角度解释不等式,从
中可找到适合的 x.
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问题
(wèntí)导
学
KETANG HEZUO TANJIU
预习(yùxí)
导引
预习交流
如何用分段讨论法解含绝对值的不等式?
提示:用分段讨论法解含绝对值的不等式时,先求出使每一个绝对
值符号内的多项式等于零的未知数的值(称为零点),再将这些值依次在
数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号
内的多项式在每一个区间上的符号,去掉绝对值符号,使之转化为不含
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
3
2
(3)当 x≥1 时,|x+2|+|x-1|<4⇔x+2+x-1<4⇔2x<3⇔x< ,即
≥ 1,
3
的解集为 1, .
2
| + 2| + |-1| < 4
【高中数学】绝对值不等式
【高中数学】绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a<x<a}∅∅|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一绝对值不等式的解法[典例](2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解](1)由题意得f (x )－4，x ≤－1，x －2，－1<x ≤32，x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1|x <13或x>5所以|f (x )|>1|x <13或1<x <3或x>5[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2.解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2，解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解；当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立；当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2，解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]．2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|，两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0，解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0≥a ，x －a ≤0<a ，x ＋a ≤0，≥a ，≤a 4<a ，≤－a 2.当a >0|x ≤－a 2由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0|x ≤a 4由a4＝－1，得a ＝－4.综上，a ＝2或a ＝－4.考点二绝对值不等式性质的应用[典例](2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解](1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，≥12，x －1<x ＋1x <12，－2x <x ＋1≤0，－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|≤|x ＋2019－x ＋2018|＝4037，所以函数f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|的最大值为4037.2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三绝对值不等式的综合应用[典例](2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围．[解](1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，≥12，x －1－2x －1≤1－12<x <12，－2x －2x －1≤1≤－12，－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为－14(2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)．[解题技法]两招解不等式问题中的含参问题(1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法．[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )x ＋4，x <－1，，－1≤x ≤2，2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1，当－1≤x ≤2时，显然满足题意，当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵34，2⊆A ，∴当x ∈34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立，即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈34，2上恒成立，∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈34，2上恒成立，∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈34，2上恒成立，∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是－114，0.[课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：<－12，－2x －2x －1≤6－12≤x ≤12，－2x ＋2x ＋1≤6>12，x －1＋2x ＋1≤6.解得－32≤x ≤32，|－32≤x ≤322．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a .(1)求实数a 的值；(2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|2x ＋6，x ≤2，，2＜x ≤4，x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立；当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5|12≤x ≤1123．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )2，x ≤－1，x ，－1<x <1，，x ≥1.故不等式f (x )>1|x >12(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1|0<x <2a 所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3.(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f(x)≤4的解集为0，12.(2)因为f(x)3＋a)x＋2，x≥13，a－3)x＋4，x<13，所以f(x)＋3≥0，－3≤0，解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)解不等式f(x)>－x；(2)若关于x的不等式f(x)≤a2－2a的解集为R，求实数a的取值范围．解：(1)原不等式等价于f(x)＋x＞0，不等式f(x)＋x>0可化为|x－2|＋x>|x＋1|，当x<－1时，－(x－2)＋x>－(x＋1)，解得x>－3，即－3<x<－1；当－1≤x≤2时，－(x－2)＋x>x＋1，解得x<1，即－1≤x<1；当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3，综上所述，不等式f(x)＋x>0的解集为{x|－3<x<1或x>3}．(2)由不等式f(x)≤a2－2a可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，当且仅当x∈(－∞，－1]时等号成立，∴a2－2a≥3，即a2－2a－3≥0，解得a≤－1或a≥3.∴实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．6．已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋1|.(1)若a＝2，求不等式f(x)＞x＋2的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)2x＋1，x＜－1，，－1≤x＜2，x－1，x≥2，不等式f(x)＞x＋2＜－1，2x＋1＞x＋21≤x＜2，＞x＋2≥2，x－1＞x＋2，解得x＜1或x＞3，故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}．(2)∵f(x)＝|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，当(x－a)(x＋1)≤0时取等号．∴若关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，只需|a＋1|＜2，解得－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．7．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即|x －a 2|＋|12－x |≥3－a2.又x －a 2|＋|12－x＝|12－a 2|，所以|12－a2|≥3－a2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R .(1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3<1，－2x ≤3≤x ≤2，≤3或>2，x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2)M ，所以当x f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x |x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为12，2.。
(部编本人教版)最新版高中数学 第一章 不等式和绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法试题 新人教A版选
2.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|-1<x<3}{x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},则A∩B={x|2<x≤3}.2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为()A.{x|x>3-a}B.{x|x>a-1}C.⌀D.R|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.3.不等式|3x-4|>x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞,-4)∪(1,+∞)|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4<x<1,故原不等式的解集为(-4,1).4.不等式<0的解集是()A.{x|-3<x<5}B.{x|-3<x<5,且x≠2}C.{x|-3≤x≤5}D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4<x-1<4,即-3<x<5.又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3<x<5,且x≠2}.5.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解集为()A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x·log2x>0.又x>0,所以log2x>0,解得x>1.6.不等式|2x-1|<3的解集为.2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1<x<2.-1,2)7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是.|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x)2,整理得10x>-5,即x>-,故原不等式的解集为.8.若关于x的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a=.0明显不符合题意.由|ax+2|<6得-8<ax<4.当a>0时,有-<x<,因为不等式的解集为(-1,2),所以解得两值相矛盾舍去.当a<0时,有<x<-,则解得a=-4.综上,a=-4.49.已知函数f(x)=(a∈R).(1)若a=3,解不等式:f(x)≥2;(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.当a=3时,不等式f(x)≥2即为≥2,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,所以|x+1|+|x-3|≥6.于是或从而x≥4,或x≤-2.故原不等式解集为{x|x≥4或x≤-2}.(2)f(x)的定义域为R,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0恒成立,所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立.而g(x)=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|,于是|a+1|≥2,解得a≥1,或a≤-3.故实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).10.已知函数f(x)=|x+a|+|2x-1|(a∈R).(1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;(2)若f(x)≤2x的解集包含,求a的取值范围.当a=1时,不等式f(x)≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.①当x≥时,不等式为3x≥2,解得x≥,故x≥;②当-1≤x<时,不等式为2-x≥2,解得x≤0,故-1≤x≤0;③当x<-1时,不等式为-3x≥2,解得x≤-,故x<-1.综上,原不等式的解集为.(2)因为f(x)≤2x,所以|x+a|+|2x-1|≤2x,所以不等式可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x≤-a+1.由已知得解得-≤a≤0.故a的取值范围是.B组1.不等式的解集为()A.[0,1)B.(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞),所以<0,解得0<x<1.2.导学号26394014关于x的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,1]∪[2,+∞)|x+3|-|x-1|≤4,又|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).故选A.3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为.|3x-b|<4得-4<3x-b<4,即<x<.因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则故5<b<7.5.导学号26394015解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.x≤-时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得x<-.当-<x≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.当1<x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.由1<x≤2,则1<x≤2.当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,解得x>.由x>2,则x>2.综上所述,原不等式的解集为.6.导学号26394016已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.解(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5.所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤.因为|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以于是a=3.。
绝对值不等式解法
(2)当1 x 2时, 原不等式可化为( x 1) ( x 2) 2,
5 (3)当x 2时, 原不等式可化为x 1 x 2 2, 得x , 2 5 2 x . 2 1 5 综上所述, 原不等式的解集是 , . 2 2
1 2显然成立,1 x 2.
ax b 0 ax b 0 | ax b | c(c 0) 或 ax b c (ax b) c
例1
解不等式|3x-1|≤2
解：原不等式等价于
1 原不等式的解集为{x | x 1} 3
2 3x 1 2 1 x 1 3
练:1. 解不等式|2-3x|≥7 解：原不等式等价于
2 3x 7或2 3x 7
5 x 或x 3 3 5 原不等式的解集为{x | x 或x 3} 3
2.解不等式 | 2 x 5 | 7 x
解：原不等式可化为
2x 5 7 x或2x 5 (7 x)
(2)当 2 x 1时, 原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5, 即3 5, 显然不成立,此时无解.
(3)当x 1时, 原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5, 解得x 2, x 2. 综上所述原不等式的解集为
, 3 2,
并
（2） x a x b c和 x a x b c 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间讨论法 ③构造函数法
例5
A1 -3
解不等式 x 1 x 2 5
A -2 B B1
1
2
x
解法2(分段讨论法) : (1)当x 2时,原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5, 解得x 3, x 3.
1.2.2.绝对值不等式的解法 课件(人教A选修4-5)
1 4 1 解得 ≤x＜ 或－2＜x＜ . 2 3 2 4 所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜ }. 3
[研一题] [例2] 解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3. [精讲详析] 解答本题，可以采用零点分段法求解，也
可以转化为分段函数，借助函数图象求解． 法一：当 x≤－1 时，原不等式可以化为 －(x＋1)－(x－1)≥3， 3 解得：x≤－ . 2 当－1<x<1 时，原不等式可以化为 x＋1－(x－1)≥3，即 2≥3.不成立，无解．
(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①当a＞0时，|f(x)|＜a⇒－a＜f(x)＜a. |f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a. ②当a＝0时，|f(x)|＜a无解． |f(x)|＞a⇔f(x)≠0.
③当a＜0时，|f(x)|＜a无解．
法二：原不等式可转化为：
x－2≥0， ① 1＜x－2≤3， x－2＜0， 或② 1＜－x－2≤3，
由①得 3＜x≤5，由②得－1≤x＜1， 所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1 或 3＜x≤5}． 法三：原不等式的解集就是 1＜(x－2)2≤9 的解集，即
x－22≤9， x－22＞1， －1≤x≤5， 解得 x＜1或x＞3，
∴－1≤x＜1 或 3＜x≤5. ∴原不等式的解集是{xБайду номын сангаас－1≤x＜1 或 3＜x≤5}．
(2)由不等式|2x＋5|＞7＋x， 可得 2x＋5＞7＋x 或 2x＋5＜－(7＋x)， 整理得 x＞2 或 x＜－4. ∴原不等式的解集是{x|x＜－4 或 x＞2}． (3)①当 x2－2＜0 且 x≠0，即当－ 2＜x＜ 2， 且 x≠0 时，原不等式显然成立． ②当 x2－2＞0 时，
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2含有绝对值的
【做一做3】 解不等式|2x-5|-|x+1|<2.
分析:利用零点分区间法解题.
解:令 2x-5=0,得 x= 5 . 令x+1=0,得 x=-1.
2
(1)当 x≤-1 时,原不等式等价于-(2x-5)+(x+1)<2,
即-x+6<2,即 x>4,无解.
(2)当-1<x<
5 2
时,原不等式等价于-(2x-5)-(x+1)<2,
题型一 题型二 题型三
解法一:(几何法)如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则A,B 两点的距离是3,因此区间[-2,1]上的数都不是原不等式的解.为了求 出不等式的解,关键要在数轴上找出与点A,B的距离之和为5的点. 将点A向左移动1个单位到点A1,这时有|A1A|+|A1B|=5;
同理,将点B向右移动1个单位到点B1,这时也有|B1A|+|B1B|=5. 从数轴上可以看到,点A1与B1之间的任何点到点A,B的距离之和 都小于5;点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离之和都 大于5. 所以,原不等式的解集是(-∞,-3]∪[2,+∞).
2.2 绝对值不等式的解法
1.会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围. 2.会解|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c四种类 型的绝对值不等式.
1.(1)解绝对值不等式的主要依据 解含绝对值的不等式的主要依据为绝对值的定义、绝对值的几 何意义及不等式的性质. (2)绝对值不等式的解法
【做一做1】 解下列绝对值不等式: (1)|x|<3;(2)|x|>4.
1.2.2 绝对值不等式的解法 课件(人教A选修4-5)
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比 |x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的范围为(－∞， －1)； (3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3| 的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞) 法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3| －|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1， 可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(3)若不等式解集为∅，这样的m不存在，即m∈∅.
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作出函数的图像，它是分段函数， 1 函数与 x 轴的交点是( ，0)，由图像可知， 2 1 当 x> 时，有 y<0， 2 即|x－3|－|x＋1|－1<0， 1 所以原不等式的解集是{x|x> }． 2
|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0) 型不等式
的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．
[解] 6 － ， 5
(1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤
6 ∴原不等式的解集为{x|x≥2或x≤－ }． 5
|x－2|≥2， (2)原不等式价于 |x－2|≤4.
由①得x－2≤－2，或x－2≥2， ∴x≤0，或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， ∴－2≤x≤6. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或4≤x≤6}．
1 (1)的解集为∅，(2)的解集为{x| <x<3}， 2 (3)的解集为{x|x≥3}． 1 综上，原不等式的解集为{x|x> }． 2
法三：将原不等式转化为|x－3|－|x＋1|－1<0， 构造函数 y＝|x－3|－|x＋1|－1， 3， 即 y＝－2x＋1， －5， x≤－1， －1<x<3， x≥3.
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件北师大版选修4_5
• [互动探究]若本例条件变为“若关于x的不等式|x＋2| －|x－1|≥a的解集为R”，求实数a的取值范围．
解：法一 令 y1＝|x＋2|－|x－1|，y2＝a， 3，x≥1，
则 y1＝2x＋1，－2≤x＜1， －3，x＜－2.
• 函数y1，y2的图像如图所示．由图可知当a＜－3时，
• 不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( ) • A．(－∞，4) B．(－∞，1) • C．(1,4) D．(1,5) • 解析：①当x＜1时，原不等式等价于 • 1－x－(5－x)＜2，即－4＜2， • 所以x＜1.
• ②当1≤x≤5时，原不等式等价于 • x－1－(5－x)＜2，即x＜4， • 所以1≤x＜4. • ③当x＞5时，原不等式等价于x－1－(x－5)＜2， • 即4＜2，无解． • 综合①②③知x＜4. • 答案：A
• 3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解
法 几何意义
• (1)可以利用绝对值不等式的___________零_.点
• (2)利用分类讨论的思想，以绝对值的
“____________”为分界点，将数轴分成几个区间，
然后确定符号各个绝对值中的多绝对项值式符号的____________，
• 所以实数a的取值范围是(－∞，－3)．
• 【点评】 (1)含参数的绝对值不等式的解法与不含 参数的绝对值不等式的解法完全一样，只不过要注 意对参数的取值的讨论．
• (2)对于已知含参数的绝对值不等式的解集情况或恒 成立情况，求参数的值或取值范围的问题，关键是 根据其解集或恒成立构建关于参数的方程、不等式 或函数，再求解．
第一章 不等关系与基本不等式
1.2.2绝对值不等式的解法
(2)当x∈[0,3]时,f(x)≤4即|x-a|≤x+7, 由此得a≥-7且a≤2x+7, 当x∈[0,3]时,2x+7的最小值为7, 所以a的取值范围是[-7,7].
【解析】(1)当a=-3时,f(x)≤6为|2x+1|+|2x-3|≤6,
3 1 1 3 x＞ ， x ， x＜ ， 等价于 2 2 或 2 或 2 2x 1 2x 3 6 2x 1 2x 3 6 2x 1 2x 3 6，
所以不等式的解集为(-≦,0]∪[6,+≦).
【方法技巧】含有一个绝对值号不等式的常见类型及 其解法
(1)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式.
①当a>0时,|f(x)|<a⇒-a<f(x)<a. |f(x)|>a⇔f(x)>a或f(x)<-a;
②当a=0时,|f(x)|<a无解. |f(x)|>a⇔f(x)≠0;
4
因为不等式|8x+9|<7和不等式ax2+bx-2>0的解集相同,
所以-2和 1 是方程ax2+bx-2=0的两根,
1 b 2 , a 4, 4 a 由根与系数的关系得: 解得 b 9. 2 ( 1 ) 2 , 4 a
2x a b c，x a， 段表达式.不妨设a<b,于是f(x)= b a c，a x b， 2x a b c，x b.
这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图 象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结 合的思想.
高中数学人教A版选修课件：1.2.2 绝对值不等式的解法
-5-6 < 0
-1 < < 6.
∴-1<x<2或3<x<6.
∴原不等式的解集为{x|-1<x<2或3<x<6}.
题型一
题型二
题型三
题型四
方法二:作函数y=x2-5x的图象,如图所示.
|x2-5x|<6表示函数图象中直线y=-6和直线y=6之间相应部分的自
故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4.
∴x>-3.∴原不等式的解集为{x|x>-3}.
反思本题形如|f(x)|>g(x),我们可以借助形如|ax+b|>c的解法转化
为f(x)<-g(x)或f(x)>g(x),当然|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).如果f(x)的
正负能确定的话,也可以直接去掉绝对值号再解不等式.
解法二:3≤|x-2|<4⇔3≤x-2<4或-4<x-2≤-3⇔5≤x<6或-2<x≤-1.
∴原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或5≤x<6}.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 不等式|5x-x2|<6的解集为(
)
A.{x|x<2或x>3} B.{x|-1<x<2或3<x<6}
C.{x|-1<x<6}
借助函数的图象,用数形结合来解得a的范围.而理解这几种表述方
式对掌握本节知识有很好的帮助.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 解|ax+b|≥c(c>0)和|ax+b|≤c(c>0)型的不等式
绝对值不等式的解法
从数轴上可以看到 , 点A1与点B1之间的任何点到 点A, B的距离之和都小于 5; 点A1的左边或点 B1的
右边的任何点到 A, B的距 A1 A B B1 x O 1 2 - 3 - 2 -1 离之和都大于 5 . 所以, 原不等式的解集是 图1.2 11 ,3 2, . 分析 上 述 解法, 可以发现 , 解 | x 1 | | x 2 | 5 时, 数轴上与 2 ,1 对应的点 A , B 把 实数 集分成 了三个区间 ,2 , 2,1 , 1, , 先 分别在这 三个区间上讨论不等式的 解 的情 况 , 然 后 把 它 们综合在一起就得到不等式的解集 .
x1 a
x
x1 a
x1
x1 a
x
| x x1 | a
图1.2 9
| x x1 | a
利用上述式及绝对值的几何意义 , 可以解一些含有绝对值 的不等式.
1 | ax b | c和 | ax b | c
型不等式的解法
例3 解不等式 | 3 x 1 | 2 .
探究 你能给出上述绝对值不 等式的 解的几何解释吗?
2 | x a | | x b | c和 | x a | | x b | c 型不
等式的解法 例5 解不等式| x 1 | | x 2 | 5 .
分析 这个绝对值不等式 A1 A B B1 x 比较复杂, 我们从它的几何 - 3 - 2 -1 O 1 2 意义来分析.如图1.2 11, 设 图1.2 11 数轴上与 2 ,1 对应的点分 别是A, B, 那么不等式的解就是数轴上到A, B两 点的距离之和不小于 5的点所对应的实数 .所以, 我们只要在数轴上确定出具有上述特点的点的 位置, 就可以得出不等式的解 .
1 2 2绝对值不等式的解法
(5)方法 1：分类讨论求解． (ⅰ)当 2x<0 时，即 x<0. ∵x2－12≥0 对任意 x∈R 恒成立， ∴x2－12>2x 恒成立． ∴x<0 是原不等式的解． (ⅱ)当 2x＝0 时，即 x＝0. ∵x2－12＝0－12＝12>0， ∴x＝0 是原不等式的解．
(ⅲ)当 2x>0 时，即 x>0.
4．解含绝对值不等式的核心任务 解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒 等变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题 方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 【例 1】 解下列不等式： (1)|x－1|≤2； (2)|2x－1|<2－3x； (3)3≤|x－2|<4； (4)|x＋2|>|x－1|； (5)x2－12>2x.
解 (1)|3－2x|－4≥0⇔|2x－3|≥4⇔2x－3≥4 或 2x－3≤－ 4⇔2x≥7 或 2x≤－1⇔x≥72或 x≤－12.所以原不等式的解集为 x|x≤－12或x≥72.
(2)2<|3x－1|<3 ⇔2<3x－1<3 或－3<3x－1<－2 ⇔3<3x<4 或－2<3x<－1
⇔1<x<43或－23<x<－13. 所以原不等式的解集为 x|－23<x<－13或1<x<43. (3)|x2－1|>3⇔x2－1>3 或 x2－1<－3 ⇔x2>4 或 x2<－2(无解) ⇔|x|>2⇔x>2 或 x<－2. 所以原不等式的解集为{x|x<－2 或 x>2}．
含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
[解] 由于 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，所以不 等式 f(1－ax－x2)<f(2－a)对于任意 x∈[0,1]都成立⇔不等式 1 －ax－x2<2－a 对于任意 x∈[0,1]都成立，即不等式 x2＋ax－a ＋1>0 在 x∈[0,1]上恒成立． 方法 1：令 g(x)＝x2＋ax－a＋1，只需 g(x)在[0,1]上的最小 值大于 0 即可． a 2 a2 g(x)＝x2＋ax－a＋1＝(x＋ ) － －a＋1. 2 4 a ①当－ <0，即 a>0 时，g(x)min＝g(0)＝1－a>0 2 ⇒a<1，故 0<a<1；
[答案] A
[拓展提升]
不等式恒成立问题是考查考生转化思想
的良好素材，本题考查了一个带有绝对值的函数(实际上就 是分段函数)最大值的求法、一元二次不等式的解，是两个 重要知识点交汇试题．
若不等式|x－4|＋|3－x|<a的解集是Ø，则实数a的取值 范围是__________．
解析：解法 1：分别求|x－4|和|3－x|的零点，即 4,3.由 3,4 将数轴分成三部分． ①当 x<3 时，原不等式化为 7－2x<a， 7 a 解得 x> － . 2 2 7 a 则据题意有 － ≥3⇒a≤1. 2 2 ②当 3≤x≤4 时，原不等式化为 4－x＋x－3<a⇒a>1， 据题意 a>1 不成立．
N＝{x|x2－3x＋2≥0}， ( )
则集合{x|x∉M 且 x∈N}为 A．{x|x≥4} C．{x|x≥4 或 x≤0}
B．{x|x>4} D．{x|x>4 或 x<0}
解析：化简集合M ＝{x|x<4}，N＝{x|x≤1或x≥2}，集合 {x|x∉M且x∈N}＝(∁RM)∩N＝{x|x≥4}，故选A.
一元二次不等式及绝对值不等式的解法
解析（1）若a=0时，解为x>0.
（2）若a>0时，Δ=4-4a2.
①当Δ>0时，即0<a<1时，
方程ax2-2x+a=0的两根为 1 1 a，2
所以不等式的解集为
a
{1x| 1 a2 <x<1 1 a2 };
a
a
②当Δ=0，即a=1时，x∈ ；
③当Δ<0，即a>1时，x∈ .
（3）若a<0时，
为(ax-1)(x+1)<0，然后根据a的 不同取值进行分类讨论，与不 等式的解集进行比较，确定a 的值.
解析
axx又11其<解 0集为(a(-x∞-1,-)1(x)∪+1()<01. ,+∞)，
2
可知a<0，
故(ax-1)(x+1)<0 (x1- )(x+1)>0.
a
结合原不等式的解集，有 故填-2.
故填{x|0<x<2}.
题型二 含绝对值不等式
例2 (2009·重庆卷）不等式|x+3|-|x-
1|≤a2-3a对任意实数x恒成立，则实数 a的取值范围为（ ） A A.（-∞，-1］∪［4，+∞) B.（-∞，-2］∪［5，+∞) C.［1，2］ D.（-∞，1］∪［2，+∞）
（方法二）求|x+3|-|x-1|的最值时，还可以 利用绝对值不等式求解.绝对值不等式是 |a|-|b|≤||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,只要利用其中
⑧.. 或{xx|x＞＜xx2}1
等实根 无实根
x1=x2= b
⑨
{.x|x≠
绝对值不等式的常见形式及解法
绝对值不等式的常见形式及解法绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：（1）绝对值定义法；（2）平方法；（3）零点区域法。
常见的形式有以下几种。
1. 形如不等式：利用绝对值的定义得不等式的解集为：。
在数轴上的表示如图1。
2. 形如不等式：它的解集为：。
在数轴上的表示如图2。
3. 形如不等式它的解法是：先化为不等式组：，再利用不等式的性质来得解集。
4. 形如它的解法是：先化为不等式组：，再利用不等式的性质求出原不等式的解集。
例如：解不等式：（1）（2）（3）解：（1）由绝对值的定义得：或解得（2）两边同时平方得：（3）令得。
所以和3把实数分为三个区间，即：；。
在这三个区间内来讨论原不等式的解集。
初等幂函数图像极坐标转直角坐标的办法两边都乘以r，比如说r=2sinX 两边同时乘以r成为r^2=2rsinXx^2+y^2=2y如2cos@，同乘r，即r^2=2rcos@,又因为r^2等于x^2+y^2，所以x^2+y^2=2y诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα k∈zcos（2kπ+α）=cosα k∈ztan（2kπ+α）=tanα k∈zcot（2kπ+α）=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=—sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式规律方法指导1、解绝对值不等式的基本思路解绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，因此如何去掉绝对值符号是解决这类问题的关键。
常利用绝对值的代数意义和几何意义。
2、解绝对值不等式常用的同解变形①|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x)②|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)③|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)④含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解；也可以用函数图像法来解决。
3、绝对值三角不等式等号成立的条件：①取等号②取等号③取等号④取等号经典例题透析类型一：含有一个绝对值符号的绝对值不等式的解法1、解下列不等式（1）；（2）；（3）解析：（1）由原不等式可得,得,∴原不等式的解集是；（2）原不等式可化为,得或整理得,或∴原不等式的解集是；（3）由原不等式可得或整理得或∴原不等式的解集是总结升华：不等式的解集为；不等式的解集为.举一反三：【变式】（2011山东，4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A）[-5,7] (B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D）(-∞，-4]∪[6,+∞)【答案】D2、解不等式|x2+4x-1|<4解析：原不等式-4<x2+4x-1<4-5<x<-3或-1<x<1.即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）.举一反三：【变式】解不等式|x2+4x-1|>4.【答案】原不等式的解集是（-∞,-5）∪(-3,-1)∪(1, +∞）3、解不等式1|2x-1|<5.解析：法一：原不等式等价于①或②解①得：1x<3 ；解②得：-2< x 0.∴原不等式的解集为{x | -2< x 0或1x<3}法二：原不等式等价于12x-1<5或–5<2x-1-1即22x<6或–4<2x0.解得1x<3或–2<x0.∴原不等式的解集为{x|-2<x0或1x<3}总结升华：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a|x|b a x b或-b x-a(a0).举一反三：【变式1】解不等式:【答案】原不等式的解集是【变式2】解不等式4＜|x2-5x|≤6.【答案】原不等式等价于不等式组不等式(1)等价于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(2)等价于-6≤x2-5x≤6利用数轴取不等式(1)，(2)的解的交集：∴原不等式的解集为：4、解不等式：|4x-3|>2x+1.思路点拨：关键是去掉绝对值符号。
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(ⅲ)当 2x>0 时，即 x>0.
x2－12>2x⇔x2－12>2x 或 x2－12<－2x.
由
x2－12>2x，得
2－ x< 2
6或
2＋ x> 2
6 .
由 x2－12<－2x，得－2－2
6 －2＋ <x< 2
6 .
综合 x>0 知，x>2＋2
6或
－2＋ 0<x< 2
6是原不等式的解．
综上所述，原不等式的解集是
{x|x<0}
∪
{x|x
＝
0}
∪
2＋
x|x>
2
6
∪
－2＋
x|0<x<
2
6
，
即
x|x<Biblioteka 1＋26或x>1＋
6
2
.
方法 2：直接去绝对值求解．
x2－12>2x⇔x2－12>2x 或 x2－12<－2x，即 2x2－4x－1>0 或 2x2＋4x－1<0.
3．|x－a|＋|x－b|≤c 和|x－a|＋|x－b|≥c 型不等式的解法 求解这类不等式，主要方法有如下三种： (1)利用绝对值的几何意义，借助数轴求解； (2)令绝对值符号内的式子为零，找出零点，这些零点把数 轴分成几个区间，分区间去掉绝对值，转化为多组不等式组求 解，最后取这些解集的并集为原不等式的解集； (3)构造函数利用函数的图象求解． 求解这类不等式时，可根据不等式的特点而适当选用不同 的方法求解．
由
2x2－4x－1>0，得
x<1－
26或
x>1＋
6 2.
由 2x2＋4x－1<0，得
－1－
26<x<－1＋
6 2.
4．解含绝对值不等式的核心任务 解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒 等变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题 方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 【例 1】 解下列不等式： (1)|x－1|≤2； (2)|2x－1|<2－3x； (3)3≤|x－2|<4； (4)|x＋2|>|x－1|； (5)x2－12>2x.
3.(2)正、负 (3)零点
思考探究 |x|的几何意义是什么？ 提示 |x|表示数轴上的点 x 到原点 O 的距离.
名师点拨 1.|ax＋b|≤c 和|ax＋b|≥c 型不等式的解法 |ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c. |ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. 变式：|ax＋b|≤f(x)的解法从理论上讲应分类讨论． 当 f(x)<0 时，解集为∅；
a＝0
a<0
|x|<a ________ ________ ________
|x|>a ________ ________ ________
2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔_____________________________________ __________________________. (2)|ax＋b|≥c⇔_____________________________________ __________________________________.
当 f(x)≥0 时，同解于aaxx＋＋bb≤≥f－xf，x. 事实上，|ax＋b|≤f(x) 同解于－f(x)≤ax＋b≤f(x)，不需要讨论．
|ax＋b|≥f(x)，同解于 ax＋b≥f(x)或 ax＋b≤－f(x)，也不需 要讨论．
2．|x－a|<|x－b|和|x－a|>|x－b|型不等式的解法 对于这种类型不等式的解决办法是两边同时平方去掉绝对 值． ①|x－a|<|x－b|⇔(x－a)2<(x－b)2； ②|x－a|>|x－b|⇔(x－a)2>(x－b)2. 再将这个式子整理，便可化为一般的不等式求解．
【解】 (1)∵|x－1|≤2⇔－2≤x－1≤2⇔－1≤x≤3， ∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)原不等式可转化为
2x－1<2－3x， 2x－1>3x－2
⇔ x<35， x<1
⇒x<35.
∴原不等式的解集为x|x<35.
(3)3≤|x－2|<4⇔3≤x－2<4 或－4<x－2≤－3. 即 5≤x<6 或－2<x≤－1. ∴原不等式的解集为 {x|－2<x≤－1 或 5≤x<6}． (4)|x＋2|>|x－1|⇔(x＋2)2>(x－1)2⇔x2＋4x＋4>x2－2x＋1⇔ 6x>－3，即 x>－12. ∴原不等式的解集为x|x>－12.
第一讲 不等式和绝对值不等式
二 绝对值不等式
2 绝对值不等式的解法
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式的 求解问题． 2．了解绝对值不等式的几何解法.
课前预习
1.含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式 a>0
(5)方法 1：分类讨论求解． (ⅰ)当 2x<0 时，即 x<0. ∵x2－12≥0 对任意 x∈R 恒成立， ∴x2－12>2x 恒成立． ∴x<0 是原不等式的解． (ⅱ)当 2x＝0 时，即 x＝0. ∵x2－12＝0－12＝12>0， ∴x＝0 是原不等式的解．
3．|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思 想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解 释． (2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用 “零点分段法”求解，体现分类讨论的思想，确定各个绝对值 符号内多项式的________，进而去掉绝对值符号．
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方 程的思想．正确求出函数的________并画出函数图象(有时需要 考查函数的增减性)是关键.
1.{x|－a<x<a} ∅ ∅ {x|x>a 或 x<－a} {x∈ 答 R|x≠0} R 案 2.(1)－c≤ax＋b≤c (2)ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c