材料力学第6章
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材料力学 第6章 连接件的实用计算
故销钉安全
6.2 连接件的实用计算
D
思考题
(1)销钉的剪切面面积 A
h
(2)销钉的挤压面面积 AbS
d
F
6.2 连接件的实用计算
D
挤压面
思考题
(1)销钉的剪切面面积 A
h
(2)销钉的挤压面面积 AbS
A = πdh
d
剪切面
π(D2 - d2)
F
Abs =
4
挤压面
6.2 连接件的实用计算
冲床的最大冲压力F=400kN，冲头材料的许用压应力[]=440MPa，钢板的
对错动。
F
5. 连接处的破坏形式
6.1 引言
一、基本概念和实例
5. 连接处的破坏形式
FS n
(1)剪切破坏 连接件沿剪切面的剪断
(2)挤压破坏 连接件与被连接件在
相互接触面上因挤压 挤压面
而使连接松动，发生 破坏。
(3)拉伸破坏 被连接件在受连接件 处削弱的截面处，应 力增大，易在连接处 拉断。
F n
挤压面和挤压力为：
F AQ
b
仰视图
Abs
Fbs
F ：切应力和挤压应力
τ Fs F 40 107 0.952MPa
AQ bh 12 35
F
σbs
=
Fbs Abs
=
F cb
=
40 ×107 4.5×12
=
7.4MPa
6.2 连接件的实用计算
例6-2 齿轮与轴由平键连接,已知轴的直径d=70mm， 键的尺寸为b×h×L=20
2. 工程实例
(1) 螺栓连接
可拆卸
M
特点：可传递一般力
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
材料力学第六章
§6-1 一、多跨静定梁 3．求解变形：
其它平面弯曲构件的内力与变形
1)宜采用叠加法；
2)先求主梁的变形： 在自身载荷及中间铰处次梁作用力的共同作用 下变形。
3)再求次梁的变形： 主梁变形引起次梁的刚性转动；
简化成简支梁或外伸梁的次梁在自身载荷作用 下的变形；
§6-1
其它平面弯曲构件的内力与变形
a
Fz
B
a
Fy y
10
解：外力沿形心主轴分解： F F y F cosa A点最大拉应力(B点最大压应力) F F sina z F y l | y A | Fz l | z A | sA 60.7 MPa Iz Iy
§6-4
开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心
一、产生平面弯曲的条件
)
F
§6-1
a A
F B
其它平面弯曲构件的内力与变形
y
x Fa A B
b
C
F
C
例6-3 作图示刚架内力图，并求A截面的 转角、水平和铅垂位移(抗弯刚度为EI)。 2)求A点转角、水平和铅垂位移： 再将AB刚化，BC解除刚化，F由 A点简化到B点 Fab q B " ( ) EI 2 在B点产生qB"、 Fab xB"为 x B " ( ) 2 EI BC变形引 q A " q B " Fab ( ) EI 2 起A点刚性 Fab ( ) 转动产生的 x A " x B " 2 EI2 qA"、xA"、 Fa b y A " q B "a ( ) yA " EI
y、z为形心主轴，F平行y轴，通过弯心A； Fx 0 ：FN 2 FN1 t 'tdx 0 * * * * F S M z dMM ( M d M ) S M S d M S z z z z zz z z z z Qy FN 2 y d A s d A y d A t t ' 1 A AA I z I z dx I z t I zII t zz
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
材料力学第六章 应力状态理论和强度理论
单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为： 单元体的各个面均为主平面，其上的主t
9
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
3、三向应力状态（空间应力状态） 、三向应力状态（空间应力状态） 定义：三个主应力均不为零。 定义：三个主应力均不为零。 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点 的单元体 的单元体， 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点A的单元体， 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。
工程力学
Engineering mechanics
第六章 应力状态理论 和强度理论
1
工程力学
Engineering mechanics
引
言
前面的分析结果表明， 前面的分析结果表明，在一般情况下杆件横截面上不同点 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点” 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或 哪一点哪一个方向面上”的应力。 者“哪一点哪一个方向面上”的应力。 如果危险点既有正应力，又有切应力，应如何建立其强度 如果危险点既有正应力，又有切应力， 条件？ 条件？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 要全面了解危险点处各截面的应力情况。 要全面了解危险点处各截面的应力情况。
2
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
一、一点的应力状态 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 一点的应力状态的四要素 四要素： 一点的应力状态的四要素： ）、应力作用点的坐标 （1）、应力作用点的坐标； ）、应力作用点的坐标； ）、过该点所截截面的方位 （2）、过该点所截截面的方位； ）、过该点所截截面的方位； ）、应力的大小 （3）、应力的大小； ）、应力的大小； ）、应力的类型 （4）、应力的类型。 ）、应力的类型。 二、研究应力状态的目的 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， ）、扭转 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单， 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，可直 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。
材料力学第六章静不定
FN2
FN3
（c） F
材料力学
中南大学土木工程学院
13
静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大
A
F
材料力学
中南大学土木工程学院
C
刚度增加 内力不变
A
F
14
静不定结构的特点（2） 配应力
——装
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
中南大学土木工程学院
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联
立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
l1
FN1
2 3
EA
l ，l2
1F.5NE2lA，l3
FN3
2 3
2EA
l
代入变形协调方程得补充方程
2FN2 2FN1 FN3
联立平衡方程求得
14 2 3 FN1 23 F 0.76F
FN2 3
3 2 F 0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
32 2 3 FN3 23 F 1.24F ()
材料力学
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
材料力学第6章 弯曲内力
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6.1 梁的内力—剪力和弯矩
例题 6-2
（2）计算(jìsuàn)指定截面上的剪力和 弯矩
C截截面面C左（以侧梁的左力半：边为研究对象）：
FAy 2 kN () (+)
FSC Fy FAy 2kN
C截面左侧的力矩：
FAy * 2m (+)
M e 8kN m (-)
M C
M F 2m - M -4kN m O
19
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6.2 剪力图和弯矩图
例题 6-3
(2) 作剪力图(lìtú)和弯矩图
由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图。
注意： 画图时应将剪力图、弯矩图与计算简图 对齐，并注明图名（FS图、M图）、 峰值点的值及正负号。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内
20
力
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6.2 剪力图和弯矩图
(plane bending)。当所有外力均作用在纵向对称面内时，梁只发生平面弯曲。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内力
6
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯 矩
梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法确定。
（1）截：在横截面m-m处假想地将梁分为两段
原来处于平衡状态的梁，被截出的任意段也处于平衡状态。
秦飞A编y 著《材料力学(cái lieào lìxué)》 第6章 弯
16
曲内力
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯矩 例题 6-2
截面B（以梁右半边为研究对象）：
B左截面
F 2kN (+)
FBy 4kN (-)
FSB左 F FBy -2kN
精品课件-材料力学(张功学)-第6章
梁的抗弯刚度EI为常量，求此梁的转角方程和挠曲线方程，并 确定最大挠度值。
图6－4
6.1 引 言
解（1）求约束力。建立坐标系如图所示,求得约束力为
方向均竖直向上。
FAy
b l
F
,
FBy
a l
F
（2）写出弯矩方程。由于集中力加在两支座之间，弯矩方
程在AC、BC两段各不相同。
AC段:
M
1(
x)
b l
Fx
w(a )w(a ), (a ) (a )
(f)
利用式（e）和式（f），即可解得
D1 D2 0,
C1
C2
Fb(b 6l
2
l
2
)
于是，求得梁的转角方程和挠曲线方程分别为
6.1 引 言
AC段:
EI (x) Fb(3x2 b2 l 2 )
6l
EIw(x) Fbx[x3 (b2 l 2 )x] 6l
（a） （b） （c）
6.1 引 言
确定积分常数C和D的边界条件为：在固定端截面处，挠度 和转角均为零。即
w00, 00
将（b）、(c)两式代入，得
D0, C0
将所得积分常数代入（b）、(c)两式，得到梁的转角方程和挠
度方程分别为
(x)dw
1
Wx 2 (
Wlx )
dx EI 2
w(x) 1 (Wx 3 Wlx 2 ) EI 6 2
6.1 引 言 显然在自由端处转角与挠度最大，即当x=l时，得
m
ax
B
1 EI
(Wl 2
2
Wl
2
Wl 2 )
2EI
1 Wl 3 Wl 3 Wl 3
图6－4
6.1 引 言
解（1）求约束力。建立坐标系如图所示,求得约束力为
方向均竖直向上。
FAy
b l
F
,
FBy
a l
F
（2）写出弯矩方程。由于集中力加在两支座之间，弯矩方
程在AC、BC两段各不相同。
AC段:
M
1(
x)
b l
Fx
w(a )w(a ), (a ) (a )
(f)
利用式（e）和式（f），即可解得
D1 D2 0,
C1
C2
Fb(b 6l
2
l
2
)
于是，求得梁的转角方程和挠曲线方程分别为
6.1 引 言
AC段:
EI (x) Fb(3x2 b2 l 2 )
6l
EIw(x) Fbx[x3 (b2 l 2 )x] 6l
（a） （b） （c）
6.1 引 言
确定积分常数C和D的边界条件为：在固定端截面处，挠度 和转角均为零。即
w00, 00
将（b）、(c)两式代入，得
D0, C0
将所得积分常数代入（b）、(c)两式，得到梁的转角方程和挠
度方程分别为
(x)dw
1
Wx 2 (
Wlx )
dx EI 2
w(x) 1 (Wx 3 Wlx 2 ) EI 6 2
6.1 引 言 显然在自由端处转角与挠度最大，即当x=l时，得
m
ax
B
1 EI
(Wl 2
2
Wl
2
Wl 2 )
2EI
1 Wl 3 Wl 3 Wl 3
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
取微面积dA=dzdy，则：I zy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
I z y dA 2 y R y dy ; A R 4 64 D 4 由对称性：I y I z ; 由几何关系： 2＝y 2 z 2 , 64
2 2 2 2 R
R 4
D 4
I P 2 dA ( y 2 z 2 )dA I Z I y .
A A
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第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式：
A
z1 y1dA ( y a) 2 dA y 2 dA 2a ydA a 2 dA
z z1 z 2 117 2 17105 3.34105 cm4 ;
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小
结
ห้องสมุดไป่ตู้
S y z dA A zc ; 一、静矩： S z A y dA A yc ; A 性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc.
1 y1 2 y2 yc 1 2
500 5 500 10 25 20cm; 500 500
I z1 y1 I zy abA ;
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六、主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使 I zo yo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
材料力学(柴国钟、梁利华)第6章
材料力学(柴国钟、梁利华)第6章材料力学(柴国钟、梁利华)第6章6.1用积分法求图示各梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角，设梁的刚度EI 为常数。
解：（a ）()[]a x Fx x M ,0,111∈= ()()[]a a x x a F x M 2,,2222∈-= 由()()x M x w EI =''，可得 当[]a x ,01∈时，()11Fx x w EI =''，()12112C Fx x EI +=θ，()1113116D x C Fxx EIw ++= 当[]a a x 2,2∈时，()()222x a F x w EI -=''，()()2222224C x ax F x EI +-=θ，()()2223222266D x C x ax F x EIw ++-=边界条件：当01=x 时，()()000==w θ，代入，即得011==D C 连续性条件：当a x x ==21时，()()a a 21θθ=，()()a w a w 21=，代入22222232Fa C C Fa Fa -=⇒+=；3656322233FaD D a C Fa Fa =⇒++= 因此，梁的挠曲线方程为：()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+-=∈=a a x EI a x a ax x F x w a x EI Fx x w 2,,6266,0,62322223221311梁的转角为：()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-=∈=a a x EI a ax x F x a x EI Fx x 2,,224,0,22222221211θθ自由端的挠度和转角为： EI Fa w B3=，EIFaB2=θ （b ）()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--=∈--=a a x x a q x M a x ax a q x M 2,,221,0,232122221121由()()x M x w EI =''，可得 当[]a x ,01∈时，2Fax2B Aa C x 1x 2x 1aAaq()()112321x a qa x w EI --=''，()()1111321C x a qax x EI +--=θ，()()111121129121D x C x a qax x EIw ++--=当[]a a x 2,2∈时，()()222221x a q x w EI --=''，()()22222226612C x ax a qx x EI ++--=θ，()()222222222224824D x C x ax a qx x EIw +++--=边界条件：当01=x 时，()()000==w θ，代入，即得011==D C 连续性条件：当a x x ==21时，()()a a 21θθ=，()()a w a w 21=，代入66732233qaC C qa qa =⇒+-=-；2424171274222244qa D D x C qa qa -=⇒++-=- 因此，梁的挠曲线方程为：()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+--=∈--=a a x EI a x a x a ax x q x w a x EIx a qax x w 2,,244248,0,122924232223242211211梁的转角为：()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+--=∈--=a a x EI a x ax x a q x a x EI x a qax x 2,,6612,0,232332222221111θθ自由端的挠度和转角为：EI qa w B24414-=，EIqaB673-=θ （c ）()()lx l q x M 361--=由()()x M x w EI =''，可得()()lx l q x w EI 361--=''，()()C lx l q x EI +-=4241θ，()()D Cx lx l q x EIw ++--=51201边界条件：当0=x 时，()()000==w θ，代入，即得 243l q C -=，1204lq D =因此，梁的挠曲线方程为：xlBA q()()[]lEIl x l x l q x EIw 12055450-+--=梁的转角为：()()[]lEIl x l q x EI 2444--=θ 自由端的挠度和转角为： EI l q w B304-=，EIlq B243-=θ （d ）()[]()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-=∈-=a a x qa qax x M a x qx x M 2,,23,0,2122221211由()()x M x w EI =''，可得当[]a x ,01∈时，()21121qx x w EI -=''，()131161C qx x EI +-=θ，()111411241D x C qxx EIw ++-=当[]a a x 2,2∈时，()22223qa qax x w EI +-=''，()2222222321C x qa qax x EI ++-=θ()2222223224361D x C x qa qax x EIw +++-=边界条件：当a x 22=时，()()022==a w a θ，代入，即得32qa C -=，4231qa D = 连续性条件：当a x x ==21时，()()a a 21θθ=，()()a w a w 21=，代入，即得3161qa C =，41245qa D -= 因此，梁的挠曲线方程为：()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-+-=∈-+-=a a x EI a x a ax x qa x w a x EI a x a x q x w 2,,1241292,0,24542322223221413411梁的转角为：aBAaqqa 2x 2x 1()()[]()()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈---=∈-=a a x EI a x a x qa x a x EI x a q x 2,,22,0,6222213131θθ自由端的挠度和转角为：EI qa w B2454-=，EIqaB63=θ6.2用积分法求图示各梁的挠曲线方程、截面A 和截面B 的转角、跨度中点C 的挠度以及外伸端的挠度与转角，设梁的刚度EI 为常数。
材料力学第6章应力状态与强度理论
第6章 应 力 状 态 与 强 度 理 论 6.1 应 力 状 态 概 述
6.2 平 面 应 力 状 态 分析 6.3 三 向 应 力 状 态 分 析 6.4 广 义 胡 克 定 律 6.5 一般应力状态下的应变必能 6.6 工程中常用的四种强度理论
6.1 应 力 状 态 概 述
6.1.1、应力状态概念 （1）、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象 P M 低碳钢 铸铁拉伸
图c单元体的应变能为 : d: 畸变能密度 (Strain-Energy Density Corresponding to the Distortion)
1 2 2 2 ud s 1 s 2 s 2 s 3 s 3 s 1 6E —— 形状改变比能（歪形能） s 1 -s m
2t xy
s x s y
0 45
s x s y 2 2 t max （ ）t xy t 2 t min
s x s y tg21 0 1 0 2t xy
破坏分析
低碳钢: s s 240MPa;
t s 200MPa
低碳钢
灰口铸铁 : s Lb 98 ~ 280MPa
6.5.2 线弹性体的应变能
作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和 变形的增加而增加，这种情形下，力所作的功为变力功。
0
FP
FP
Δ Δ
O
对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件， 作用在杆件上的力与位移成线性关系。 这时，力所作的变力功为 1 W FP Δ 2
不考虑加载过程中的能量损耗，则外力功将转化为弹性变形能
s x s y 0
t
s
2
xy
6.2 平 面 应 力 状 态 分析 6.3 三 向 应 力 状 态 分 析 6.4 广 义 胡 克 定 律 6.5 一般应力状态下的应变必能 6.6 工程中常用的四种强度理论
6.1 应 力 状 态 概 述
6.1.1、应力状态概念 （1）、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象 P M 低碳钢 铸铁拉伸
图c单元体的应变能为 : d: 畸变能密度 (Strain-Energy Density Corresponding to the Distortion)
1 2 2 2 ud s 1 s 2 s 2 s 3 s 3 s 1 6E —— 形状改变比能（歪形能） s 1 -s m
2t xy
s x s y
0 45
s x s y 2 2 t max （ ）t xy t 2 t min
s x s y tg21 0 1 0 2t xy
破坏分析
低碳钢: s s 240MPa;
t s 200MPa
低碳钢
灰口铸铁 : s Lb 98 ~ 280MPa
6.5.2 线弹性体的应变能
作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和 变形的增加而增加，这种情形下，力所作的功为变力功。
0
FP
FP
Δ Δ
O
对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件， 作用在杆件上的力与位移成线性关系。 这时，力所作的变力功为 1 W FP Δ 2
不考虑加载过程中的能量损耗，则外力功将转化为弹性变形能
s x s y 0
t
s
2
xy
第六章 材料力学剪切与扭转
土木工程力学
第六章
• • • • 6.1 6.2 6.3 6.4
剪切与扭转
剪切和挤压的实用计算 扭矩的概念 圆轴扭转的应力及强度计算 圆轴扭转时的变形及刚度计算
6.1 剪切和挤压的实用计算
6.1.1
剪切和挤压的概念
1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如： 螺栓、铆钉等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 螺栓 P
F /2 F /2 2 d A 4
d
2F
11.97(mm)
选取d=1 2mm。 3)校核销钉的挤压强度为
jy
F 150( MPa) jy Ajy
故选取d= 1 2mm，可以同时满足挤压和剪切强度的要求。
Fs 4 F 2 A d Fbs F bs Abs dh
6.2.3 扭矩和扭矩图
1. 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2. 截面法求扭矩
M
x
0
Me Me
T Me 0 T Me
3. 扭矩的符号规定：
Me
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
P4 25 M 4 9550 9550 1194 ( N .m) n 200
2) 计算各截面上的扭矩(分段应用截面法) 各截面上的扭矩假设为正值。
• • • •
• • •
①沿截面I—I截开，取左侧为研究对象[图 6．11(b)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T1+M2=0 T1=–M2=–9 5 5N· m ②沿截面Ⅱ一Ⅱ截开，取左侧为研究对象[图 6．11(c)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T2+M2一M1=0 T2=M1一M2=3 8 2 0—9 5 5=2 8 6 5N· m ③沿截面Ⅲ一Ⅲ截开，取右侧为研究对象[图 6．11(d)]，则根据平衡条件∑m=0，有
第六章
• • • • 6.1 6.2 6.3 6.4
剪切与扭转
剪切和挤压的实用计算 扭矩的概念 圆轴扭转的应力及强度计算 圆轴扭转时的变形及刚度计算
6.1 剪切和挤压的实用计算
6.1.1
剪切和挤压的概念
1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如： 螺栓、铆钉等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 螺栓 P
F /2 F /2 2 d A 4
d
2F
11.97(mm)
选取d=1 2mm。 3)校核销钉的挤压强度为
jy
F 150( MPa) jy Ajy
故选取d= 1 2mm，可以同时满足挤压和剪切强度的要求。
Fs 4 F 2 A d Fbs F bs Abs dh
6.2.3 扭矩和扭矩图
1. 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2. 截面法求扭矩
M
x
0
Me Me
T Me 0 T Me
3. 扭矩的符号规定：
Me
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
P4 25 M 4 9550 9550 1194 ( N .m) n 200
2) 计算各截面上的扭矩(分段应用截面法) 各截面上的扭矩假设为正值。
• • • •
• • •
①沿截面I—I截开，取左侧为研究对象[图 6．11(b)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T1+M2=0 T1=–M2=–9 5 5N· m ②沿截面Ⅱ一Ⅱ截开，取左侧为研究对象[图 6．11(c)]，则根据平衡条件∑m=0，有 T2+M2一M1=0 T2=M1一M2=3 8 2 0—9 5 5=2 8 6 5N· m ③沿截面Ⅲ一Ⅲ截开，取右侧为研究对象[图 6．11(d)]，则根据平衡条件∑m=0，有
材料力学第六章
解 1）将梁上的载荷分解
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
2）查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
wC1
5ql 4 384EI
wC 2
ql 4 48EI
ql 4 wC3 16EI
B1
ql 3 24EI
B1
ql 3 16EI
B3
ql 3 3EI
wC1
wC2 wC3
3）进行变形比较，列出变形协调
条件
wB 0
4）叠加法
wB (wB )F (wB )FBy 0
MA A
MFAAy A
FAy A
A
MA A FA y
MA A AA
MA A A
F
B
C
2a (a) B
aF C
2a
Ba C
((ba))
B B (b)
F C
C
(c)
FBy F
B
FF C
BB
(c)
FBy
CC
B12 a
Fa 2l 3EI
w1 wB11 wB12
w2
B2a
Fl 2a 16 EI
w w1 w2
用叠加法求跨度中点挠度
解： wc wc1 wc2
由于 wc wc2
=
故
wc
1 2
wc1
1 5q0l 4 5q0l 4 2 384EI 768EI
-
解： wc wc1 wc2
当 d w 0 时，w为极值
dx
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
E I 2
Fb 2l
x22
材料力学第六章应力状态与强度理论
(c)
e
xy
x
b
a
a
f
y
yx
第6章
应力状态与强度理论
斜截面应力
由图 d 所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得：
(d)
e
xy dA cosa xdA cosa
b yx dA sina
adA
n
adA
f t
n 0
y dA sina
⇒
a dA x dA cos a cosa xy dA cos a sin a
x y
2
x y
2
因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且
B1B2 2 x y 2 CD1 B1D1 xy 2 2
该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述 圆确为应力圆。
2
2
第6章
应力状态与强度理论
由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：
OA1 OC CA1
OA2 OC CA2
第6章
应力状态与强度理论
主应力
由此可得两个主应力值为：
应力圆
2
1
x y
2
x y 2 2 xy
x y 2 2 xy
⇒
其中dA为斜截面ef的面积。 由此可得，任一斜截面上的应力分量为：
a
x y
2
x y
2
cos 2a xy sin 2a
a
x y
2
sin 2a xy cos 2a
第6章
应力状态与强度理论
e
xy
x
b
a
a
f
y
yx
第6章
应力状态与强度理论
斜截面应力
由图 d 所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得：
(d)
e
xy dA cosa xdA cosa
b yx dA sina
adA
n
adA
f t
n 0
y dA sina
⇒
a dA x dA cos a cosa xy dA cos a sin a
x y
2
x y
2
因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且
B1B2 2 x y 2 CD1 B1D1 xy 2 2
该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述 圆确为应力圆。
2
2
第6章
应力状态与强度理论
由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：
OA1 OC CA1
OA2 OC CA2
第6章
应力状态与强度理论
主应力
由此可得两个主应力值为：
应力圆
2
1
x y
2
x y 2 2 xy
x y 2 2 xy
⇒
其中dA为斜截面ef的面积。 由此可得，任一斜截面上的应力分量为：
a
x y
2
x y
2
cos 2a xy sin 2a
a
x y
2
sin 2a xy cos 2a
第6章
应力状态与强度理论
材料力学 第六章 弯曲变形
Q A
M E F A 0 .5l M 0 解得： Q E 2 P , M E 0
FA Q 0
M A F A M 0
FA
（3）计算截面A+ 和D-的剪力和弯矩
Y 0 M 0
A
同理：
FA 0 P D D
M D Q D
Q D P
Q ( x ) FA qx ql qx 0 x l 2 2 1 M ( x ) FA x qx x qlx q x 2 2 2 2 0 xl
l /2 M
ql 2
x
M ( x) |x0 0
M ( x ) |x l 0
l /2
ql 2 8
求弯矩的极值点：
O
B 1
1 — 1截面：
Q1 FB
1
M1
m2 M 1 0
Q1
FB
M 1 FB ( l x1 ) m1 m 2
4. 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系
Q2 FA P
a
M 2 F A x 2 P ( x 2 a ) m1 m 2
Q1 FB
一端为固定铰支座一端为活动铰支座。 2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。
3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。
§6-3 剪力与弯矩
一、剪力和弯矩
步骤： （1）先求约束反力FA 、FB ； y a P1
x
m
P2
P3
x
A y
m
B
（2）由截面法求横截面上的内力； FA （如：求 m — m 截面的内力）
说明：
Q向下假设为正； M逆时针假设为正。 Q向上假设为正； M顺时针假设为正。
M E F A 0 .5l M 0 解得： Q E 2 P , M E 0
FA Q 0
M A F A M 0
FA
（3）计算截面A+ 和D-的剪力和弯矩
Y 0 M 0
A
同理：
FA 0 P D D
M D Q D
Q D P
Q ( x ) FA qx ql qx 0 x l 2 2 1 M ( x ) FA x qx x qlx q x 2 2 2 2 0 xl
l /2 M
ql 2
x
M ( x) |x0 0
M ( x ) |x l 0
l /2
ql 2 8
求弯矩的极值点：
O
B 1
1 — 1截面：
Q1 FB
1
M1
m2 M 1 0
Q1
FB
M 1 FB ( l x1 ) m1 m 2
4. 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系
Q2 FA P
a
M 2 F A x 2 P ( x 2 a ) m1 m 2
Q1 FB
一端为固定铰支座一端为活动铰支座。 2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。
3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。
§6-3 剪力与弯矩
一、剪力和弯矩
步骤： （1）先求约束反力FA 、FB ； y a P1
x
m
P2
P3
x
A y
m
B
（2）由截面法求横截面上的内力； FA （如：求 m — m 截面的内力）
说明：
Q向下假设为正； M逆时针假设为正。 Q向上假设为正； M顺时针假设为正。
材料力学第6章扭转
第6章圆轴的扭转6.1扭转的概念扭转是杆件变形的一种基本形式。
在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多 的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆， 两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用； 图6-3所示为机器中的传动轴，它也同样受主动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。
这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。
这种形式的变形称为扭转变形（见图 6-4）。
以扭转变形为主的直杆件称为轴。
若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。
图6— 46.2扭矩和扭矩图6.2.1外力偶矩作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。
它们的关系式为其中：PM = 9550（ 6-1）nM外力偶矩（N • m ）;P ――轴所传递的功率（KW ）;n 轴的转速（r / min ）。
外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。
方向相反、且作用平面与杆图6 — 1图6—2 图6— 3L622扭矩圆轴在外力偶的作用下， 其横截面上将产生连续分布内力。
根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶， 从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。
由分布内力组成的合力偶的力偶矩， 称为扭矩，用M n 表示。
扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为N 巾或kN m 。
当作用在轴上的外力偶矩确定之后，应用截面法可以很方便地求得轴上的各横截面内 的扭矩。
如图6-5 (a )所示的杆，在其两端有一对大小相等、转向相反，其矩为 M 的外力偶作用。
为求杆任一截面 m-m 的扭矩，可假想地将杆沿截面 m-m 切开分成两段，考察其中任一部分的平衡，例如图 6-5 (b )中所示的左端。
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整体变形-微段变形累加的结果
x •拉压杆 杆长为l
•有限长杆子两端部相对变形
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
整体变形 -微段变形累加的结果
x
扭转杆 •杆长为l
•有限长圆轴两端部相对扭转角
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
整体变形 -弯曲变形
•弯曲梁变形基本的特征:
弹性范围加载
梁的轴线变成 光滑连续曲线
各个力偶和集中力作用的结果叠加
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
弯矩方程的奇异函数表示
单个力偶作用的情形 x坐标,正方向从左指向右
S
A
•第i个力偶Mi 作用于x=ai处 •考虑xai, xai内力弯矩
M ( M i ) M i x ai
•仅考虑左段的平衡
0
第10章 弹性杆件位移分析
BC段
F x P EI
F wx P EI
3 1 3 1 l 7 2 l x x x 6 4 128 8
加力点B处的挠度(x=l/4)和支承处A(x=0)和C(x=l) 的转角分别为
3 FP l 3 wB 256 EI
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
整体变形
O
转角 ：截面绕中性轴转角 定义角 1:挠曲线切线与x轴夹角.
P
a
dw t an1 1 dx 由 1 dw dx
梁弯曲变形后任一截面的位移： •可以用w,dw/dx描述
•需要确定挠度和转角的函数表达式
讨论:位移与约束的关系
•BC处为轴承支座,A 端为齿轮, 齿轮重量可 •看作外力，大小Fp
B
避免过度弹性变形发生, 需要了解 位移分布，为刚度设计奠定基础
•位移分析
刚度设计
目的：就是根据零件和构件的不同工艺 要求，将最大的位移限制在一定范围内
弹性体位移与弹性杆件的位移区别
•弹性体(弹力)：受力变形后,一点位置 的改变. •弹性杆件(材力)：横截面的位移
xa
n
0
( x a)
( x a)
n
( x a)
幂函数
•奇异函数图形
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数图形 •0阶奇异函数
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数图形 •1阶奇异函数
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数图形 •2阶奇异函数
3 2 2
1
1
第10章 弹性杆件位移分析
确定梁位移的积分方法
小挠度情形下
d2w dx 2 dw 1 dx
2
dw 1 dx
2
1
y
3
2
d2w M 2 EI dx
此即弹性挠曲线的小挠度微分方程
d2w M 2 EI dx
奇异函数的应用
弯矩方程的奇异函数表示
单个集中力作用的情形 •x坐标,正方向从左指向右 j
A
S
•第j个集中力FPj 作用于x=bj处
•考虑x bj, xbj内力弯矩
M ( FP j ) FP j x b j
1
若杆子上有
•m(1im)个力偶,n(1 j n)个集中力共同 作用, 弯矩方程如何用奇异函数表示?
•问题:仅仅已知梁变形是否可确定 梁位移？
•三种情况梁:
AB段弯矩相同，AB段长度相同，EI相同
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
没有约束无法确定绝对位移
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
约束对位移的影响
•AB段弯矩为 x
Fp a
w
•AB段位移为正:W>0
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
C
第10章 弹性杆件位移分析
确定梁位移的奇异方法
奇异函数法在求解梁位移中的应用
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数的定义 奇异函数图形 奇异函数微分和积分 奇异函数法求解梁位移中的应用
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
n阶奇异函数定义（Singular Function）
7 C1＝C2 FPl 2 128
x
FP 3 2 7 2 x l EI 8 128
AB段
wx
FP 1 3 7 2 l x x EI 8 128
2 3 2 1 l 7 2 l x x 8 2 4 128
奇异函数的应用
例题2
已知：FP、EI、l
用奇异函数确定加力点的挠度和支承处的转角
关键:弯矩方程用奇异函数表示 •首先建立坐标系 •求支反力 •标出梁的受力 •列弯矩方程
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
例题2
（1）弯矩方程（只需考虑左端约束力3FP/4 和载荷FP)
3 1 l M ( x) FP x 0 FP x 4 4
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
弯矩方程的奇异函数表示
一般情形: m个力偶和n个集中力共同作用 n m 1 0 M ( x ) M i x ai FP j x b j j 1 i 1
•叠加:各载荷单独作用下引起的奇异函数表示 的弯矩进行代数值相加
第10章 弹性杆件位移分析
•弯曲梁弯矩方程如何用奇异函数表示
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
M1
FP1
FP2
Mm
M2
……
……
FPn
•m(1im)个集中力偶,n(1 j n)个集中力,
i为集中力偶的下标,j为集中力的下标
•弯矩方程如何用奇异函数表示?
--弯矩用奇异函数表示
总体思路:
每个力偶单独作用的结果
每个集中力单独作用的结果
建立x-w坐标系, AB和BC两段的弯矩方程分别为
AB段
BC段
3 M 1 x FP x 4
0 x
l 4 l x l 4
3 l M 2 x FP x－FP x－ 4 4
3将弯矩表达式代入小挠度微分方程
基本概念
微段变形（拉压,扭转,弯曲） 整体变形（拉压,扭转,弯曲）
•为什么要研究微段的变形? •因为杆件的内力一般不是均匀的，选择 微段使问题简化； •是研究整体变形的基础
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
微段变形：拉压杆
•微元两截面的相对伸长
dx+dux
•EA为拉压刚度
第10章 弹性杆件位移分析
•正负号如何确定?
第10章 弹性杆件位移分析
确定梁ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ移的积分方法
d2w M 0, 2 0 dx
d2w M 0, 2 0 dx
d w M 2 EI dx
2
d w M 2 EI dx
2
d2w M 2 EI dx
应用积分法
dw M( x ) dx C dx EI M( x ) w ( dx ) Cx D EI
1
(0 x l )
上式可简化
M ( x)
3 FP x 0 4
1
l FP x 4
1
(0 x l )
可简化为
M ( x)
l 3 F x FP x P 4 4
1
(0 x l )
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
例题2
（2）挠度微分方程
A
B
D
Fp a
M
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
约束对位移的影响
•AB段弯矩为
Fp a
x
w
•AB段位移为负:W<0
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
C
A
B
Fp a
M
•归纳一下三种情况: •弯矩相同,变形相同,但位移不相同(?).
•约束条件
结论：梁的挠度不仅与梁变形有关而且 与约束有关.即使变形相同,不同约束 导致的位移是不同. •约束对位移起关键作用。
分析下列弹性杆件有哪些位移？ •拉压杆 •圆截面扭转杆 •弯曲梁
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念(微段变形和整体变形) 确定梁位移的积分方法 奇异函数求解梁位移的应用 工程中的叠加方法 简单的超静定问题 结论与讨论
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
第10章 弹性杆件位移分析
积分常数的确定：根据约束条件.
约束条件：指约束对于挠度和转角的限制.
•在固定端，约束条件为挠度和转角都等于 零，w=0,=0. •在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为 w=0。
积分法例题1
已知：简支梁受力如 图示。FP、EI、l均为 已知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
1． 确定梁约束力 2． 分段建立梁的弯矩方程
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数的微分和积分
d xa dx
n
0
( x a)
n 1
n( x a)
( x a)
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数的积分
x a dx
n
0
( x a)
1 n 1 ( x a) C n 1 ( x a)
3 EI 1 FP x 2 C1 8 1 EIw1 FP x 3 C1 x D1 8