椭圆手绘方法
数学中常用几何画板绘制椭圆
数学中常⽤⼏何画板绘制椭圆圆锥曲线是⾼中数学的重点和难点，也是历来⾼考的必考内容，所以对于⾼中⽣来说，弄懂圆锥曲线这块难啃的⾻头，是很有必要的。
其中要熟练掌握的圆锥曲线之⼀就是椭圆，它是圆锥与平⾯的截线，其实要想画出椭圆，其⽅法不⽌⼀种，下⾯就⼀起来通过学学椭圆的五种画法。
⽅法⼀、利⽤椭圆第⼀定义构造椭圆椭圆第⼀定义：平⾯内到两个定点的距离之和等于定长2a（a>0）的点的轨迹就是椭圆，按照此定义可画出椭圆，具体步骤如下：1.单击“圆⼯具”，在画板的适当位置任意画⼀个圆，将圆⼼的标签改为F1。
单击“点⼯具”，在圆上任意画⼀点C，同时选中点F1和点C，执⾏“构造”-“线段”命令，构造出线段F1C。
单击“点⼯具”，在线段F1C任意画⼀点F2。
2.在圆上任意画⼀点E，并构造线段EF1和线段EF2。
选中线段EF2，执⾏“构造”-“中点”命令，构造线段EF2的中点F。
3.选中线段EF2和点F，执⾏“构造”-“垂线”命令，构造出线段EF2的垂直平分线j。
同时选中线段EF1和直线j，选择“构造”-“交点”命令，构造线段EF1和直线j的交点G。
4.选中点G和点E（把点E称做是点G的相关点，改变G点的位置，点E的位置也跟着改变），选择“构造”-“轨迹”命令，可画出椭圆。
拖动点B 和点F2可改变椭圆的形状。
⽅法⼆、利⽤椭圆第⼆定义画椭圆椭圆的第⼆定义：设动点M（x， y）与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l： x＝a2/c的距离的⽐是常数（a>c>0），则点M的轨迹是椭圆。
点F 是椭圆的⼀个焦点，直线l是椭圆中对应于焦点F的准线，常数e＝c/a（0<e<1）。
具体的操作步骤如下：步骤⼀打开⼏何画板，使⽤“点⼯具”画任意⼀点F，使⽤“线⼯具”画直线L（点F不在L上）。
过点F作⼀条直线，在直线上取⼀点P；步骤⼆选中点F、P执⾏“度量”--“距离”命令，度量FP的长度；选中点F和度量的FP的长度，执⾏“构造”--“以圆⼼和半径绘圆”构造以点F为圆⼼，FP为半径的圆。
椭圆的画法
椭圆的画法常用的椭圆近似画法为同心圆法和四心圆法。
图1-20是由长短轴作椭圆的一种画法：以O为圆心长轴半径OA和短轴半径OC为半径分别作圆。
由O作若干射线与两圆相交，再由各交点分别作长、短轴的平行线，即可相应的求出椭圆上的各点。
最后用曲线板将这些点连成椭圆。
图1-21是用四段圆弧连接起来的图形近似代替椭圆的方法。
如果已知椭圆的长、短轴AB、CD，则其近似画法的步骤如下：(1)连AC，以O为圆心，OA为半径画弧交CD延长线于E，再以C为圆心，CE为半径画弧交AC于E1；(2)作AE1线段的中垂线分别交长、短轴于O1、O2，并作O1、O2的对称点O3、O4，即求出四段圆弧的圆心。
分别以O1、O2、O3、O4为圆心，O1A、O2C、O3B、O3D为半径作弧画成近似椭圆，切点为K、N、N1、K1。
椭圆是一种常见的非圆曲线，一般根据其长轴及短轴绘制。
一、手工绘图时椭圆的画法在一般绘图中，如对椭圆作图精度要求不高时，常用四心扁圆法，也称四心法。
四心法是一种近似画法。
作图步骤：1、作出椭圆的中心线，并分别定出长轴AB、短轴CD，连AC，从C点截取CF=OA-OC，并作线段AF 的垂直平分线，交长轴于O1和短轴的延长线于O2，同时取相应的对称点O3和O4，则O1、O2、O3、O4分别为椭圆上四段圆弧的圆心。
2、连接O1O2、O2O3、O3O4、O4O1为四条连心线；以O2、O4为圆心，O2C（或O4D）为半径画弧12(或34)。
3、以O1、O3为圆心，O1A（或O3B）为半径画弧41（或23），即完成作图。
如何用几何画板画椭圆
如何用几何画板画椭圆一、定义法（到两定点的距离和等于定长）选取“线段”工具，在绘图板中作一线段AB（线段AB的长度为椭圆的长轴长2a）。
用“点”工具在线段上任取一点C，按住shift键先后选中A，C点，选择“变换”→“标记向量"A→C"”。
再用“点”工具再用点工具任取一点D，选中点D，选择“变换”→“平移”，选中“按标记的向量”，然后确定，会得到点D'。
按住shift键，先后选中点D和D'，选择“作图”→“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点D'，按Ctrl+H键将其隐藏。
按住shift键，先后选中B，C点，选择“变换”→“标记向量"B→C"”。
用点工具另作一点E，使其与D点的距离小于线段AB的长（线段DE的长为2c），选中点E，选择“变换”→“平移”，选中“按标记的向量”，然后确定，会得到点E'。
按住shift键，先后选中点E和E'，选择“作图”→“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点E'，按Ctrl+H键将其隐藏。
按住shift键，选中两个圆的圆周，选择“作图”→“交点”（或按Ctrl+I键），作出交点F 和G。
以下可以分两个方向进行：1.按住shift键，先后选中点F和点C，选择“作图”→“轨迹”，作出椭圆的上半部分；同理先后选中点G和点C，作出椭圆的下半部分（如图1）。
2.按住shift键，先后选中点F，选择“显示”→“追踪点”，同样选中点G和点C，选择“显示”→“追踪点”。
按住shift键，先后选中点C和线段AB，选择“编辑”→“操作类按钮”→“动画”，弹出“匹配路径”对话框，选择“双向”、“沿着线段j”、“慢慢地”，按“动画”按钮完成设置。
这时，绘图板上会出现一个“动画”按钮，双击“动画”按钮，就会自动画出椭圆。
完成，存盘退出。
二、准线法（到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e）打开一个新的绘图板，选择“图表”→“建立坐标轴”。
椭圆的标准画法
椭圆的标准画法标题："椭圆的标准画法"椭圆作为几何图形中的一种，具有广泛的应用。
在绘制椭圆时，我们需要遵循一些标准的画法，以确保正确的形状和比例。
本文将介绍椭圆的标准画法，并提供一些技巧和注意事项。
第一，绘制椭圆的第一步是确定椭圆的中心点和两个轴线。
中心点是椭圆的几何中心，轴线是通过中心点的两条相互垂直的线。
这两条轴线被称为长轴和短轴，分别决定了椭圆的长度和宽度。
第二，根据确定的中心点和轴线，我们可以使用传统的绘图工具如铅笔或者画板上的直尺和圆规来绘制椭圆。
以中心点为起点，将圆规的一只脚放在长轴上，另一只脚放在短轴上。
然后，沿着这两个轴线来回移动圆规，直到覆盖整个椭圆。
第三，为了保证椭圆的形状和比例准确无误，我们可以使用更精确的工具如椭圆模板或计算机辅助设计软件。
椭圆模板是一个带有不同大小椭圆的图形工具，可以轻松地选择所需的椭圆尺寸。
而计算机辅助设计软件则提供了更多灵活性和精确性，使我们能够根据具体需求绘制椭圆。
第四，除了绘制标准的椭圆外，我们还可以通过椭圆的焦点和直径来绘制其他类型的椭圆。
椭圆的焦点是椭圆上所有点到两个焦点的距离之和相等的点。
直径是通过焦点的直线段，且经过椭圆的中心点。
这些绘制方法可以提供更多的创意和变化，使椭圆更具多样性。
在绘制椭圆时，我们需要注意以下几点。
首先，保持手的稳定性，确保绘制出的椭圆线条流畅。
其次，使用合适的绘图工具和辅助工具，以提高绘制的准确性。
最后，不断练习和尝试，只有通过不断的实践才能掌握椭圆的标准画法。
总结起来，椭圆的标准画法需要遵循一些基本原则和技巧。
通过正确的步骤和准确的工具，我们可以绘制出美观而准确的椭圆形状。
无论是在绘画、工程设计还是其他领域，椭圆都是重要的图形之一，掌握它的标准画法将会对我们的工作和学习有所帮助。
用几何画板绘制椭圆的方法
用几何画板绘制椭圆的方法作椭圆的方法很多，在此仅举4种方法。
例1：利用椭圆的定义作椭圆。
[简要步骤]：（1）作点A、B，以及线段CD（定长）；（2）以点A为圆心，CD为半径作圆，并在圆A上任意取一点E；（3）连接AE、BE，并作BE的垂直平分线FG，交BE于点F，交AE于点G；（4）同时选中点G和点E，作轨迹，如图1。
图1例2：利用椭圆的参数方程作椭圆。
本例的作图原理就是先计算x = a cos t，y = b sin t（-π≤t ≤π），然后根据算得的x、y的值作出点（x，y），最后作出轨迹。
[简要步骤]：（1）显示坐标轴，在x、y轴上分别取点C、D，测量并计算出点C的横坐标和点D的纵坐标，然后将标签分别改为a和b；（2）以任意点E为圆心，点F为圆上一点作圆，在圆上任取一点G，测量角FEG的值，并将标签改为t；（3）将角度设置为弧度制，计算a cos t和b sin t的值，并依次选中，画出点H (a cos t，b sin t)；（4）同时选中点H和点G，作轨迹，如图2。
图2例3：利用椭圆的参数方程的几何意义作椭圆。
[简要步骤]：（1）作水平线段AB，在线段AB上取一点C，以点A为圆心，分别以点B、C为圆上一点作两个同心圆，在大圆上任取一点D，连接AD，交小圆于点E；（2）过点D作线段AB的垂线，并过点E作垂线的垂线，两线交于点F；（3）同时选中点D和点F，作轨迹，如图3。
图3例4：利用压缩圆的方法作椭圆。
我们知道，将圆压缩就成了椭圆，因此，我们可以以椭圆的短轴与长轴之比作为压缩比，将圆压缩成椭圆。
[简要步骤]：（1）作线段AB，以线段AB的中点C为圆心，以点B为圆上一点作圆，在圆上任取一点D；（2）过点D作线段AB的垂线，交线段AB于点E；（3）作线段FG、GH，依次选中线段FG、GH，并标识为比例；（4）以点E为缩放中心，将点D以标识的比例压缩，得点D'；（5）同时选中点D和点D'，作轨迹，如图4。
椭圆的几种画法
课题2：椭圆的几种画法（本课题适合于高一数学必修课）机型：92-Plus教学过程：例1．已知椭圆的长a，短半轴的长为b。
1．显示直角坐标系，以原点为圆心作二个同心圆，半径分别为a、b。
（见图1）2．过原点作一条射线（F2、6 Ray），此射线交二个圆于M、N（F2、3 Intersection Point）（见图2）（图1）（图2）3．按F4、1 Perpendicular Line，分别过M点作垂直于y轴的直线，过N点作垂直于x轴的直线。
4．两直线的交点为P（F2、3 Intersection Point），隐藏不需要的线。
5．按F7、2 （Trace On/Off），将光标指向P点，按Enter，再将光标指向射线，按住，并配合移动光标方向键，即会出现点P的轨迹——椭圆（长轴在x轴上）。
（见图3）6．在上述过程中，如果过M点作垂直于x轴的直线，过N点作垂直于y轴的直线，则两线的交点P的轨迹（长轴在y轴上）。
（见图4）（图3）（图4）例2．根据椭圆的定义，条件是两个定点，及一条线段AB（线段AB的长大于两个定点间距离）。
方法一：1．在一个新的窗口中，作画两个点F1、F2及一条线段AB。
2．以线段AB的长为半径，以一个定点F1为圆心作一个圆（F4、8 Compass）。
（见图5）3．在作好的圆上取一点P（F2、2），连接PF1（F2、5）（见图6）（图5）（图6）4．作PF2的垂直平分线（F4、4 Perpendicular Bisector），交PF1于M（F2、3），再连接MF2（F2、5），这样使MF2、MF1的和等于定长AB。
（见图7）5．可以按F7、1隐藏不需要的线。
6．按F4、A（Locus），先选择点M，再选择点P，7．等待一会儿，即会出现椭圆的曲线。
（见图8）（图7）（图8）方法二、1．在一个新的窗口中，作画两个点F1、F2（F2、1）并在线段AB上任取一点P。
（见图9）2．以线段PA的长为半径，以F2为圆心，作一个圆，再以PB的长为半径，以F1为圆心，作另一个圆（F4、8 Compass），并按F2、3作出两圆的交点M、M'。
椭圆形怎么画简单方法
椭圆形怎么画简单方法
椭圆形是几何图形中的一种，它具有特殊的形状和性质。
在绘画、工程制图和数学等领域，椭圆形都有着重要的应用价值。
本文将介绍椭圆形的简单画法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握椭圆形的绘制方法。
首先，我们需要准备一张纸和一支铅笔。
在纸上确定椭圆形的长轴和短轴，长轴是椭圆形的长直径，短轴是椭圆形的短直径。
我们可以用尺子或直尺来测量和标记长轴和短轴的长度，确保它们的比例和位置符合要求。
接下来，我们以长轴为基准，在纸上画出一个与长轴垂直的直线，这条直线的长度应该等于短轴的长度。
然后，我们在长轴的两端分别画出两个点，这两个点将成为椭圆形的两个焦点。
接着，我们使用一根绳子或者一条软尺，将其固定在两个焦点上，并拉直到能够覆盖整个椭圆形的轮廓。
然后，我们用铅笔沿着绳子或软尺的边缘轻轻地画出椭圆形的轮廓。
在绘制椭圆形的过程中，我们需要注意以下几点，首先，保持绳子或软尺的张力均匀，以确保绘制出的椭圆形轮廓平滑；其次，在画椭圆形的过程中，要尽量保持手的稳定，避免出现抖动或偏差；最后，需要仔细观察和调整椭圆形的轮廓，确保其形状和比例符合要求。
除了使用绳子或软尺来绘制椭圆形外，我们还可以借助一些绘图工具来简化绘制的过程，例如椭圆模板、椭圆绘图仪等。
这些工具能够帮助我们更快速、更准确地绘制出符合要求的椭圆形。
总的来说，绘制椭圆形的方法并不复杂，只要掌握了正确的步骤和技巧，就能够轻松地完成。
希望通过本文的介绍，大家能够对椭圆形的绘制有一个更清晰的认识，并能够在实际应用中灵活运用。
如果有需要，也可以结合实际情况选择合适的绘制工具，提高绘制效率和准确度。
机械制图：椭圆的画法
第六节 斜度和锥度 一、斜度 图2-16 斜度的画法 2斜度的画法 图2-16a所示斜度为1∶6，其作图方法如图2-16b所示。
第六节 斜度和锥度 一、斜度 图2-17 斜度的标注 3斜度的标注 斜度的符号如图2-17a所示。符号的方向应与斜度的方向一致。 标注斜度时，可按图2-17b、c、d所示的方法标注。
第六节 斜度和锥度 二、锥度 图2-19 锥度的画法 2锥度的画法 图2-19a所示物体的右部是一个锥度为1∶3的圆锥台，其作图方法如图2-19b所示。
锥度的画法和标注
55
25
2
18
14
1:3
3个单位
1个单位
3锥度的标注
在图样上应采用图2-20a所示的图形符号表示圆锥，该符号应配置在基准线上(图2-20b)。表示圆锥的图形符号和锥度应靠近圆锥轮廓标注，基准线应通过指引线与圆锥的轮廓素线相连。基准线应与圆锥的轴线平行，图形符号的方向应与圆锥方向相一致。 锥度在图样上的标注如图2-20c、d、e所示(图中的C为锥度)。 当所标注的锥度是标准圆锥系列之一(尤其是莫氏锥度或米制锥度)时，可用标准系列号和相应的标记表示(图2-20f)。
第五节 椭圆的画法 一、理论画法
01
02
同心圆法作椭圆
D
C
B
A
O
第五节 椭圆的画法 二、近似画法
已知椭圆长轴AB和短轴CD，用四心圆法作椭圆的步骤如下： (1) 画出相互垂直且平分的长轴AB与短轴CD； (2) 连接AC，并在AC上取CE=OA-OC,如图2-14a所示； (3) 作AE的中垂线，与长、短轴分别交于O1、O2，再作对称点O3、O4，如图2-14b所示； (4) 以O1、O2、O3、O4各点为圆心，O1A、O2C、O3B、O4D为半径，分别画弧，即得近似椭圆，如图2-14c所示。
手工画椭圆
已知长短轴，四点画椭圆的画法（理论画法和近似画法）及几何性质
很多人都知道椭圆的近似画法，但是几何性质可能不记得了
椭圆的画法
椭圆有两条相互垂直而且对称的轴，即长轴和短轴。
它的几何性质是：自椭圆上任意一点到两定点(焦点)的距离之和恒等于椭圆的长轴。
椭圆的画法很多，常见的椭圆画法有两种。
(1)理论画法(同心圆法) 先求出曲线上一定数量的点，再用曲线板光滑地连接起来；
同心圆法画椭圆
(2)近似画法(四心圆法) 求出画椭圆的四个圆心和半径，用四段圆弧近似地代替椭圆。
下面介绍这两种椭圆的作图方法和步骤。
椭圆的画法(4)
椭圆的画法（四）
椭圆的画法（四）
作者：佚名文章来源：本站原创点击数：2652 更新时间：2005-4-27
椭圆的画法（四）
功能：用不同的方法制作椭圆。
七、极坐标方程法。
打开一个新的绘图板，选择“图表”->“建立坐标轴”，选中点B，按Ctrl+H隐藏。
选择“显示”->“参数选择”，打开“对象参数选择”对话框，将角度单位改为“弧度”（如图1）。
图1 对象参数设置
用“圆”工具作一圆，圆心为C，圆周上的控制点为D。
在圆周上任取一点E，选中点C、D，按Ctrl+L键连接CD，同样连接CE。
按住shift键，按顺序选中点D、圆周和点E，选择“作图”->“圆上的弧”，此时DE之间的一段圆弧被选中，再选择“作图”->“扇形内部”，扇形DCE就被涂上了颜色。
按顺序选中点D、C和E，选择“度量”->“角度”，量出∠DCE的弧度值。
在横坐标轴上任取一点F，在纵坐标轴上任取一点G，同时选中点A和点F，选择“度量”->“距离”量出A和F之间的距离，将距离的名称改为a；同样量出A和G之间的距离，将距离的名称改为b。
几何画板画椭圆的几种方法介绍.
<<几何画板>>画椭圆的几种方法介绍随着课改的发展，数学问题“视觉化”显得越来越重要（“视觉化”直观，学生更容易接受，课程改革也是朝这个发展方向），《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。
下面介绍几种椭圆画法：一、到两定点的距离和等于定长具，在绘图板中作一线段AB（线段AB的长度为椭圆的长轴长2a）。
用“点”工具在线段上任取一点C，先后选中A，C点，选择“变换”->“标记向量"A->C"”（下图）。
再用“线段”工具作线段DE（线段DE的长为2c），选中点D，选择“变换”->“平移”，显示按标记的向量“从A到C”，点击“平移”，会得到点D'。
先后选中点D和D'，选择“作图”->“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点D'，先后选中B，C点，选择“变换”->“标记向量"B->C"”。
同样的把点E，按向量BC平移，得到点E'。
以E为圆心过E'作圆选中两个圆的圆周，选择“作图”->“交点”，作出交点F和G。
让点C在线段AB上移动（选中点C，点击“编辑”下的“操作类按钮”中的“动画”可以生成动画），交点F、G的轨迹就是我们要作的椭圆（最后可以把无用的点、线隐藏）。
二、同心圆法（教材例5）选择“图表”->“定义坐标系”，用“圆”工具作两圆心为原点的同心圆（外圆半径长就是最终椭圆的长半轴长a，内圆半径长就是最终椭圆的短半轴长b），光标放原点处，击左键拖动光标，松开左键就得到所需圆。
在外圆圆周上任取一点E（可以选中圆，点击“作图”下的“对象上的点”；或者选取“点”工具，然后把光（选中点A（原点）和点E，点击“作图”下的“线段、射线或直线”），再作AE与小圆的交点（选中线段AE和内圆圆周，可用快捷键Ctrl+I作出交点）F。
椭圆画法以及圆的透视
椭圆画法：先画出长方形，画出长方形的中轴，然后在中轴划分出的小长方形长边大概取1/2的位置，短边大概取1/3的位置，然后连出斜线。
在这个切出来的多边形里画出椭圆就可以啦~~圆的画法：画圆是相似的画法，可以也用1/2和1/3的比例来画斜线~而且画正圆的时候，其实我们画素描的时候因为是用手画的，不会那么精准，所以在取斜线的时候一般采用两边都1/2的来画斜线就可以了，也有上下都是1/3的取法~那个斜线主要还是用来参考用的~圆的透视：然后说圆的透视问题~圆透视之后其实就是一个很正的这种椭圆，所以画圆透视后的椭圆就按照刚刚说的方法来画就可以了~但是在画圆透视后的椭圆要注意椭圆的扁度，这个扁度要通过确定长轴和短轴的比例来确定，这样就可以啦~~~短轴和长轴的比例要观察得来啦~因为同一个杯子，你从不同高度观察它的时候，它顶部的椭圆会有扁度的变化对吧很多小伙伴想不明白圆透视之后是正椭圆的问题，现在来解释一下：圆透视之后，其实根据近大远小的原理，圆心是在偏上的位置，也就是图中红点的位置，黄线为圆原本的直径。
但是这个透视后产生的椭圆的长轴是图中蓝线的位置，椭圆的中心和圆心并不在同一个位置~只是透视之后的圆恰好是个正的椭圆而已~我们通过画这个蓝色的轴来帮助自己画出这个椭圆就可以啦，不需要去找这个圆心的位置~圆柱体的画法画圆柱体的上下表面的椭圆的时候也是一样的道理哈~就是要分别观察上下两个椭圆的长轴和扁轴长度比例，不过我们在实际操作中会发现，顶面的长短轴比例很容易观察，底面的因为看不完整不方便检查~这个时候，我们只需要观察好顶面，底面就以顶面的那个椭圆圆弧去参考就好啦~然后根据透视，离我们更远的底面会更圆，顶面会更扁~上面那个长方形扁一些~然后画出十字中轴之后，按照刚刚说的画椭圆的方法画出椭圆就可以啦~。
椭圆的五种画法及各种弦的制作(很不错的几何画板教程).
椭圆的画法和性质一．椭圆的定义： 1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2．椭圆的标准方程：设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,∴a y c x y c x 2)()(2222=+-+++, 图9－1整理化简，并且设b 2＝a 2－c 2得椭圆的标准方程12222=+b y a x . 3．椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca2的距离的比是常数ac(a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。
点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。
常数e ＝ac(0<e <1)是椭圆的离心率。
图9－24．椭圆的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。
设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ,y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ,∴ 椭圆的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=sin cos b y a x (φ是参数).二．椭圆的画法：画法1：1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段CD ，使|CD |＝2a ，(|CD |>|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|CD |；4．在CD 上分别取C '、D '，使|CC '|＝|A 1F 1|＝|DD '|；作线段C 'D '，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'D '上作点M ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|CM |、|MD |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|DM |、|CD |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点M 、点P 1 (或点M 、点P 2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。
画出椭圆的形状,并标出它的两个焦点。
画出椭圆的形状，并标出它的两个焦点。
画出椭圆的形状，并标出它的两个焦点椭圆是一种特殊的曲线，它具有两个焦点。
下面将介绍如何画出椭圆的形状并标出它的两个焦点。
步骤一：准备工作首先，我们需要准备以下工具和材料：- 画图纸- 铅笔- 直尺- 花瓶或者其他类似形状的对象步骤二：确定椭圆的中心点和长短轴1. 在画图纸上选择一个合适的位置，这将是椭圆的中心点。
2. 用直尺连接中心点和画纸的边缘，画出椭圆的两条相互垂直的直径。
这两条直径是椭圆的主轴和次轴，也就是长轴和短轴。
步骤三：确定椭圆的焦点1. 使用直尺将椭圆的长轴平分，并画出一个垂直于长轴的直线。
2. 将这条直线的两个中点分别命名为A和B。
3. 将直尺的一端放在A上，向外延伸并画出一条直线，直到它与椭圆的边缘相交。
这个交点就是椭圆的一个焦点。
4. 重复步骤3，在B上做同样的操作，找到另一个焦点。
步骤四：画出椭圆形状1. 使用花瓶或其他形状的对象，在椭圆的中心点附近放置。
2. 使用铅笔沿着对象的边缘轻轻地画出椭圆的形状。
步骤五：标注焦点1. 使用直尺和铅笔，连接两个焦点与椭圆上的两个端点，画出标示线。
2. 在标示线上方或下方写下焦点的符号（通常是"F"）。
完成以上步骤后，你已经成功画出了椭圆的形状并标出了它的两个焦点。
记得在画图纸上标注清楚相关的尺寸信息，这将对椭圆的形状有所帮助。
请注意，以上步骤只提供了一种画椭圆的方法，实际操作时可以根据需要进行调整和变化。
参考资料：。
记住一个公式，可画任意椭圆
记住一个公式，可画任意椭圆
在大到宇宙天体轨道，小到游离的微型生物，特别是我们的工作和生活中处处存在着椭圆。
见图1。
我们知道有一种方法可以画椭圆，就是在平面上钉两个钉子，拴一条大于两个钉子间距的绳子就可以画椭圆。
这种画图方法如图2。
可是图2中两个钉子间距多远？要拴的绳子需多长？就需要知道如何计算。
见图3。
图3中，只要知道了需画椭圆的长就知道了画椭圆的绳子的长度，知道了要画椭圆的长和宽就可以计算两个铁钉的间距。
使画椭圆变得很简单。
例，如果我们需要在某大楼正门前修一个长36，宽20的椭圆形鱼池，见图4。
我们可以选大楼正门前与大楼走向平行的位置为长轴AB，以大楼门中心与长轴垂直的位置做短轴CD，两轴的交点为椭圆圆心O。
把长半轴AO等于18和短半轴CO等于10代入图3中公式，求得焦距EO 等于14.967。
以O点为椭圆圆心，分别在长轴AB上截取OE，OF等于14.967作为焦点E. F。
在焦点E. F上钉钉并拴繩长等于36无弹性细绳，用铁钉代替图3中铅笔紧靠细绳在地面画线即为所求椭圆。
这种画椭圆方法，只要记住公式长半轴的平方减去短半轴的平方并开平方就是椭圆圆心到焦点的距离。
从圆心在长轴上向两边量取等于焦距的两点就是两焦点。
在两焦点上拴繩长等于椭圆长轴的细绳画曲线，就能画出需要的椭圆。
掌握了这个方法，就可以画任意大小位置的椭圆。
希望大家喜欢。
（原创作品）。
园林制图-作椭圆
作椭圆
技能目标
熟练掌握四心法作椭圆
能够用曲线板作椭圆
椭圆在园林制图中常常见到，画法很多，常用的有四心法和同心圆法两种。
2.4.1 四心法作椭圆
四心法是已知椭圆长、短轴时的近似画法，方法如下（图2.14）：
（1）连BC，以O为圆心，OB为半径画圆弧，交CD延长线于E ；
（2）以C为圆心，CE为半径画圆弧，交BC于F ；
（3）作BF的垂直平分线，交长轴于1，交短轴于2，并找出1和2的对称点3和4；
（4）把1与2、2与3、3与4、4与1分别连直线；
（5）以1、3为圆心，1B、3A为半径；2、4为圆心，2C、4D为半径，分别画圆弧，各相连圆弧即可。
2.4.2同心圆法作椭圆
方法如下（图2.15）：
（1）已知椭圆的长轴AB和短轴CD；
（2）分别以AB和CD为直径作大小两圆，并等分两圆周为若干分，例如12等分；
（3）从大圆各等分点作竖直线，与过小圆各对应等分点所作的水平线相交，得椭圆上各点。
用曲线板连接起来即为所求。
小结。
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椭圆的性质一．椭圆的定义：1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2．椭圆的标准方程：设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,∴a yc x yc x 2)()(2222=+-+++, 图9－1整理化简，并且设b 2＝a 2－c 2得椭圆的标准方程12222=+by ax .3．椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca2的距离的比是常数ac (a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。
点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。
常数e ＝ac (0<e <1)是椭圆的离心率。
图9－2 4．椭圆的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。
设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ,y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ, ∴ 椭圆的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=sin cos b y a x (φ是参数).二．椭圆的画法：画法1：图9－41．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点；2．在图形外作一条线段CD ，使|CD |＝2a ，(|CD |>|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|CD |；4．在CD 上分别取C '、D '，使|CC '|＝|A 1F 1|＝|DD '|；作线段C 'D '，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'D '上作点M ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|CM |、|MD |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|DM |、|CD |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点M 、点P 1 (或点M 、点P 2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。
理论根据：点P 1是两圆的交点，∴ 点P 1到F 1与F 2的距离的和等于两圆的半径和,即 |PF 1|＋|PF 2|＝|CM |＋|MD |＝|CD |＝2a .说明：M 点不要直接在CD 上取，那样画出来的椭圆将在x 轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点M 在CD 上运动时，一般情况点C '、D '都取不到，于是画出来的图形就不好看了。
图9－5画法2：1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段，使它的长度为2a ，(2a >|F 1F 2|)； 3．以F 1为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任取一点P ；4．连接PF 1、PF 2，作PF 2的中垂线与PF 1交于点M ，连接MF 2；5．将点M 定义为“追踪点”，分别选中点M 、点P ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出椭圆。
理论根据：点M 在PF 2的中垂线上，∴ |MP |＝|MF 2|, ∴ |MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|F 1P |＝2a . 即点M 到两个定点F 1和F 2的距离的和等于定长。
点M 的轨迹是一个椭圆。
画法3：图9－61．在平面中作两条直线，使直线l 为准线，另一条直线AB 与直线l 垂直；两条直线的交点为C ；2．在图形外取两条线段a 和c ，使a >c ；3．计算c ca-2，在直线AB 上取一点F ，使|CF |＝c ca-2,点F 作为椭圆的焦点；4．在线段FC 上，取点A ，使|AF |＝a －c , 在CF 的延长线上，取点B ，使|FB |＝a ＋c ，作线段AB ，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P ；5．计算e ＝ac ，度量|CP |的长，计算|CP |×ac；6．以点F 为圆心，|CP |×ac为半径作圆，此圆与过点P 且垂直于AB 的直线相交于M 1，M 2两点；7．分别选中点M 1和点P (或点M 2和点)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。
理论根据：点M 1到点F 的距离是|CP |×a c，点M 1到准线l 的距离|M 1D |＝|CP |,∴的距离到直线点的距离到点l M F M 11＝ac ＝e . ∴ 点M 1在椭圆上。
画法4：1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径画两个圆; 2．在大圆上取一点A ，连接OA 与小圆交于点B ；3．过点A 作AN 垂直于Ox 轴，垂足为N ；作BM 垂直于AN ，垂足为M ； 4．分别选中点M 和点A ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。
理论根据：|ON |＝a cos φ, |NM |＝b sin φ, 根据椭圆的参数方程知，点M 的轨迹是一个椭圆。
画法5： 1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径画两个圆;2．在大圆上取一点P ，过点P 作PN ⊥Ox 轴，垂足为N ；3．计算两圆半径的比k ＝ab ，定义为“标记比”，选中点N ，定义为“缩放中心”；4．选中点P ，用“变换”菜单 图9－8中的“缩放”功能，将点P 用标记比缩放得到点M ；5．分别选中点M 和点P ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。
理论根据：设点M 的坐标是(x , y )，则点P 的横坐标为x ，纵坐标y 0＝bay ,∵ 点P 在圆x 2＋y 2＝a 2上，∴ 2222by a x +＝a 2, 整理得12222=+by ax .结论：只要动点P 在一个圆上运动，那么在一个方向上按一定比例压缩或延长PD ，所得到的点M 的轨迹都是椭圆。
三．椭圆中动弦的画法 (一)．椭圆焦点弦的画法：图9－91．用参数方程的画法画出一个椭圆，计算它的a , b , c 的值，在长轴上画出两个焦点F 1、F 2(使|OF 1|＝c )；2．在大圆上任取一点P ，相应作出它在椭圆上的对应点M ；3．连接PF 1延长与大圆交于点Q ； 4．作出点Q 在椭圆上的对应点N ；5．连接MN ，则线段MN 一定过焦点F 1，且点M 、N 都在椭圆上；6．保留坐标系、椭圆、焦点和焦点弦MN ，隐藏其它的内容，这时选中点M ，在椭圆上拖动它，则点N 相应在椭圆上移动，且MN 始终经过点F 1. 理论根据： 椭圆上的点M 、N 是由大圆上的点P 、Q 得到的，线段PQ 在大圆上经过定点F 1，则相应的线段MN 在椭圆上也经过定点F 1.(二) 椭圆中过定点M 的弦的画法：1．用参数方程的画法画出一个椭圆，标出定点M ；计算两圆半径的比k ＝ba ，定义为“标记比”；2．作MD ⊥Ox 轴，垂足是D ，以D 为缩放中心，把点M 用标记比缩放，得到点M '；3．在大圆上取一点P '，作出它在椭圆上的相应点P ；4．连接P 'M '，延长与大圆交于Q '，作出点Q '在椭圆上的对应点Q ； 图9－105．连接PQ ，则PQ 始终经过点M ，且P 、Q 都在椭圆上；a=3.116 cmb=2.592 cmc=1.729 cm6．保留坐标系、椭圆、定点M 和过定点M 的弦PQ ，隐藏其它的内容，这时选中点P ，在椭圆上拖动它，则点Q 相应在椭圆上移动，且PQ 始终经过点M .理论根据：椭圆上的点P 、Q 是由大圆上的点P '、Q '得到的，线段P 'Q '在大圆上经过定点M '，则相应的线段PQ 在椭圆上也经过定点M .。
问题的关键是怎样由点M 得到点M '，我们看到，只要在纵坐标是以定比ba 缩放点M ，就得到了对应点M '.(三) 椭圆中平行弦的画法的画法：图9－111．用参数方程的画法画出一个椭圆，计算两圆半径的比k ＝ba ，定义为“标记比”；2．在图形外画一条线段AC ，过点A 作水平线AD ，过C 作CD ⊥AD ；3．选中点D 作为“缩放中心”，再选中点C ，用“标记比”缩放，得到点B ，连接AB ； 4．在大圆上任取一点P '，过P '作AB 的平行线角大圆于Q '；5．用参数方程的作法，分别作出P '、Q '在椭圆上的对应点P 、Q ； 6．连接PQ ，则PQ 就是与AC 平行的椭圆中的弦；7．保留坐标系、椭圆、AC 和PQ ，隐藏其它的内容；选中点P 在椭圆上拖动点P ，则弦PQ 始终与AC 平行，且点P 、Q 在椭圆上；8．作PQ 的中点，标记为“追踪点”，则点P 运动时，可以看到中点的轨迹是一条线段。
理论根据：在大圆上，P 'Q '//AB ，这个关系保持不变，相应的点P 、Q 是点P '、Q '在椭圆上的对应点，∴ 线段PQ 的斜率保持不变。
那么我们只要找到线段AC 与AB 的关系就可以了。
在这个作法中，改变已知条件AC 的倾斜角，那么相应的PQ 的斜率也发生同样的变化。
四．椭圆切线的画法(一) 过椭圆上一个定点M 的切线： 1．在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点F 1、F 2；2．在椭圆上标出定点M ；3．以F 1为圆心，椭圆的长轴2a 为半径作圆； 4．连接F 1M 延长交大圆于点N ；5．连接F 2N ，作F 2N 的中垂线，这条中垂线过点M ，并且是椭圆的切线。
理论根据：∵ 点M 在椭圆上， ∴ |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,又|F 1N |＝2a ，∴ |MF 2|＝|MN |,点M 在F 2N 的中垂线上，直线MD 经过点M 且与椭圆有且仅有一个交点，所以直线MD 是椭圆过点M 的切线。