蒙特卡洛仿真

实验12 检测性能的蒙特卡洛仿真
1、实验目的
了解蒙特卡洛仿真的基本概念，掌握蒙特卡洛仿真方法在分析检测性能方面的应用，通过蒙特卡洛仿真，对检测性能作出评估，通过和理论比较。

2、实验原理
正如(8.1.16)式所指出的那样，最佳检验总可以化简为
10()
H T H >γ<z （1) 判决的性能为
0(|)F T P f t H dt ∞γ=
∫ (2) 1(|)D T P f t H dt ∞γ
=∫ (3) 要确定检测器的性能，需要确定检验统计量T(z )的概率密度。

如果检验统计比较简单，这是比较容易的；但如果检验统计量T(z )比较复杂，要确定它的概率密度是很难的，在这种情况下可以采用蒙特卡洛仿真方法来分析判决的性能。

蒙特卡洛方法也称为统计试验方法，它是采用统计的抽样理论来近似求解数学问题或物理问题，它即可以求解概率问题，也可以求解非概率问题，蒙特卡洛方法是系统模拟的重要方法。

下面举例说明蒙特卡洛方法的基本思想。

假定要计算下面的积分：
1
0()I f x dx =∫ 其中2
()0.5(0.5)f x x =−−，直接积分得到的结果为I=0.417。

下面采用蒙特卡洛方法来求积分I ，设有两个相互独立的随机变量(X,Y)，X 和Y 都在(0,1)区间上服从均匀分布。

将(X,Y)的样本点(x,y)投放到x-y 平面上，如下页图所示，那么(X,Y)落在区域G 的概率为区域G 的面积与正方形的面积之比（正方形面积为1），即 1
0{(,)}()P X Y G f x dx ∈=∫
可见积分的数值计算问题就转化成了一个概率的计算问题，而概率可以用相对频数来近似，相对频数可通过统计试验的方法求得。

具体方法是将M 个随机点(X,Y)均匀地投放到x-y 平面上的正方形区域内，如果有N 个点落在区域G 内，那么相对频数为N/M ，因此，
ˆN I M
= (4) (8.3.8)式是对积分I 的一个估计，很显然，估计的精度取决于试验次数M ，M 也称为蒙特卡洛仿真次数。

下面给出了用蒙特卡洛方法计算积分I 的MATLAB 程序。

syms x;
y1=int(0.5-(0.5-x).^2,0,1);
zhenshizhi=eval(y1)
N=0;
x1=unifrnd(0,1,1,M);
y1=unifrnd(0,1,1,M);
for i=1:M
if y1(i)<=(0.5-(0.5-x1(i)).^2)
N=N+1;
end
end
fangzhenzhi=N/M
从以上的例子可以看出应用蒙特卡洛仿真的一般步骤：
1 建立合适的概率模型；
2 进行多次重复试验；
3 对重复试验结果进行统计分析（估计相对频数、均值等）、分析精度。

利用蒙特卡洛仿真方法，可以仿真检测器的性能。

假定判决表达式如（1）式所示，(3)式给出了检测概率的表达式，如果用蒙特卡洛仿真方法估计检测概率，则
11ˆ(()M i i P U T M ==−γ∑z
(5)
其中z i 表示第i 次仿真试验所用到的观测矢量。

由于
{}[]1111ˆ[][()]()M M i i D i i E P E U T P T P M M ===−γ=>γ=∑∑z z
可见，ˆP
是无偏的，估计的方差为 {}[]{}[]{}{}
21
2221
21ˆ()[()]1()()1)1()M i i M
i i i D D D D VAR P VAR U T M E U T E U T M P P P P M M ===−γ=−γ−−γ−=−=∑∑z z z （ 如果定义估计的相对误差δ为估计的标准差与检测概率之比，那么，相对误差为
δ==例如，假定P D =0.8，要求相对误差小于5％，那么M ≥100。

但需要注意的是，如果是仿真数值较低的虚警概率，那么仿真次数可能会非常大，例如，P F =10-4，δ<5%，那么要求仿真次数M>4×106。

这个仿真次数是惊人的，不仅仿真时间很长，而且需要的随机数也相当多，仿真中使用如此多的随机数，要保证这些随机数都有很好的品质也是很困难的。

如果虚警概率更低，问题将更加严重，在这种情况下可以采用重要抽样技术，利用重要抽样技术可以用较少的仿真次数仿真很低的虚警概率，有关重要抽样技术在本书不作深入的阐述，读者可以参考相关的文献。

3、实验内容
4、 用Matlab 的imwrite 函数产生如图一所示的四个灰度等级的图像；
5、 在步骤1中产生的图像中加入高斯白噪声；
6、 利用最大似然准则判断被污染象素点原来的灰度值，恢复整幅图像的面貌。

4、实验要求
4、
实验内容由Matlab 语言实现，要求加入噪声，计算灰度距离等功能要由可移植，
交互性好的子函数实现；
5、 窗口大小，噪声强度可以更改，并比较二者对图像恢复效果的影响；
建议编写该实验的Matlab GUI 程序。