八年级因式分解专题(内部资料)

B．(x－y)(x－y－1)
C．(x＋y)(x－y＋1)
D．(x＋y)(x－y－1)
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例3分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符合完全平 方式，再与“1”又组成平方差公式.
解：－x2－2xy＋1－y2 ＝1－(x2＋2xy＋y2) ＝1－(x＋y)2 ＝(1＋x＋y)(1－x－y)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
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知识点3：提公因式法分解因式
1.提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而 将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方 法叫做提公因式法。用字母表示：ma+mb+mc=m(a+b+c). 要点： （1）把公因式提到括号外面，与剩下的多项式写成积的形式。 （2）实质上是逆用乘法的分配律. （3）把一个多项式分解成两个因式积的形式，其中的一个因式是各项的公
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例2：下列各式中，可用平方差公式分解因式的有( B ) ①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个
B．4个
C．3个 D．2个
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例3：将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( B )
A．a(a－1)
因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商。 （4）提公因式法的一般步骤：第一步找出公因式；第二步确定另一个因式；
第三步写成积的形式。
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2.易错警示： （1）找底数互为相反数的幂的公因式时符号出错； （2）提取公因式后，漏掉另一个因式中商是1的项； （3）提取公因式后，多项式中各项还含有公因式。
B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1)
D．(a－2)(a＋1)
例4：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，
则△ABC的形状为( D )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
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例5：已知|x－y＋2|＋ x + y - 2 ＝0，则x2－y2的值为___－__4___．
知识点4：公式法分解因式
1、平方差公式法：
a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 数的差的乘积.
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例1：下列各式不能用平方差公式分解因式的是( C )
A．－x2＋y2 C．－m2－n2
B．x2－(－y)2 D．4m2－ n21
(2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2 ＝(a2－2－a2)2
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例4：把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( C )
A．2a(4a2－4a＋1)
B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2
D．2a(2a＋1)2
例5：因式分解：－x2－4y2＋4xy.
易错点：分解不彻底导致出错
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2、完全平方公式法：
a2 2ab b2 ab 2 a2 2ab b2 ab 2
我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因 式我们称之为：运用完全平方公式分解因式 .
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例1：若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，求m的值． 错解：因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22，x2＋(m－3)x＋4是完 全平方式，所以(m－3)x＝2x·2. 因此m－3＝4. 所以m＝7.
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例4：分解因式： (1)a2－ab＋ac－bc； (2)x3＋6x2－x－6.
导引：(1)按公因式分组，第一、二项有公因式a，第三、四项有公因式c， 各自提取公因式后均剩下(a－b)；(2)按系数特点分组，由系数特点知， 第一、三项为一组，第二、四项为一组．
解：
(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)． (2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1) ＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
例1：下式用提公因式法分解因式的结果是否正确？ 4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；
不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数项“1”； 正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．
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例2：因式分解：－24x3＋12x2－28x
解：－24x3＋12x2－28x
例1：把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应 该是( B )
A．(4x2－y)－(2x＋y2) B．(4x2－y2)－(2x＋y) C．4x2－(2x＋y2＋y) D．(4x2－2x)－(y2＋y)
例2：分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A )
A．(x－y)(x－y＋1)
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【例1总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公 因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反 数的因式可变形为公因式．
例2：式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( C )
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
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知识小结
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三“分”、
四“变”的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看
能否直接利用乘法公式；如前两个步骤不能实施，可
用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可
提或可利用公式法继续分解，若上述方法都行不通，
则可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类
四项 分组 分解 五项 法
六项
.
分组方法 二项、二项 三项、一项
特点 ①按字母分组②按系数分组③符合公 式的两项分组
先完全平方公式后平方差公式
三项、二项
各组之间有公因式
三项、三项二项、二 项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
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解：－x2－4y2＋4xy＝ －(x2＋4y2－4xy) ＝ －(x2－4xy＋4y2) ＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝ －(x－2y)2.
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知识点5：十字交叉法分解因式
在二次三项式 ax2 bx c (a ≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之 积，即a a1a2 ，常数项可以分解成两个因数之积，即 c c1c2，把 a1，a2，c1，c2 排列如下：
例1：分解因式：（1） 【答案】解：（1）
（2） （2）
例2：分解因式： x2 x2 8 x2 x 12
解：
x2
2
x
8
x2
x
12
= x2 x 2x2 x 6
= x 1 x 2 x 2 x 3
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例3：分解因式：（1） （3）
【答案】解：（1） （2 ) (3)
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例2：已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
例3：计算或化简：(1)2022＋202×196＋982； (2)(a2－2)2－2a2(a2－2)＋a4.
解：(1)原式＝2022＋2×202×98＋982＝(202＋98)2＝3002＝ 90000.
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
＝ －4x(6x2－3x＋7).
当多项式第一项的系数是负数时， 通常先提出“—”号，使括号内 第一项的系数成为正数.在提出 “—”号时，多项式的各项都要 变号.
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例3：利用提公因式法解答下列各题：
(1)计算：978×85＋978×7＋978×8； (2)已知2x－y＝ 1 ，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
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第四章：因式分解
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知识点2：提公因式
一、公因式的定义：一个多项式各项都含有的相同因式 ,叫做这 个多项式各项的公因式
怎样确定多项式各项的公因式？（三定） 定系数：公因式的系数是多项式各项系 数的最大公约数； 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax2 bx c
的一次项系数b，即a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与 a2x c2 之积，即ax2 bx c a1x c1 a2x c2
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拆项(添项)等方法．
例7：分解因式：(a＋b)2－4a2. 解：(a＋b)2－4a2＝(a＋b)2－(2a)2 ＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a) ＝(3a＋b)(b－a)．
易错点：忽视系数变平方的形式 导致出错
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例8：分解因式： a4－1. 解：a4－1 ＝(a2＋1)(a2－1) ＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
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（2）
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知识点6：分组分解法分解因式
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法、公 式法和十字交叉法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法， 即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再 对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组， 然后再分解因式.
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3 导引：(1)题每一项都含有公因数978，把978作为公因式提出；
(2)题先对所求式提取公因式，再运用整体思想；整体代入计算．
解： (1)原式＝978×(85＋7＋8)＝978×100＝97
800.
(2)2x4y3－x13y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－1 y)．8 .
3
33
3
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错解解析：错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间项的符号是负的情况，产
生漏解．（要注意中间项的符号有“＋”“－”两种情形）
正确解法：因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22，x2＋(m－3)x＋4是完 全平方式， 所以(m－3)x＝±2x·2. 所以(m－3)x＝±4x. 因此m－3＝±4. 所以m＝7或 m＝－1.
例6：小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：
a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、
我、宜、游C、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信
息可能是( )
A．我爱美 B．宜昌游
C．爱我宜昌
D．美我宜昌
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