六年级数学工程问题(附例题答案)

第七讲 工程问题

一、知识要点

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是

工作总量=工作效率×工作时间.

在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.

举一个简单例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？

一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，因此甲的工作效率是

101，乙的工作效率是151，我们想求两人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效率

15

1101+，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率

=6（天）.

两人合作需要6天.

这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.

为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），可把工作量多设份额.如上题，10与15的最小公倍数是

30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是

30÷（3+ 2）= 6（天） 实际上我们把111(

)1015

÷+这个算式，先用30乘了一下，都变成整数计算，就方便些. 10天与15天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系11:3:21015=.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也是非常实用的.根据3:2，两人合作时，甲应完成全部工作的33325=+，所需时间是31065

⨯=（天）. 因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用 “把工作量设为整体1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.

二、典型例题

例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？

解析： 甲的工效：1÷9＝1/9 乙的工效：1÷6＝1/6 甲三天做了的：1/9 × 3＝1/3

余下的工作：1 － 1/3 ＝2/3 乙需做的天数：2/3 ÷ 1/6＝4（天）

例2. 有一工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成，甲、乙两队合做8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。这个工程由丙队单独做需几天完成？

解析：1-（1/24+1/30）×8=2/5 6÷2/5=15天

例3. 某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，若由甲乙两人合作，需48天完成，现在甲先单独做42天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？

解析：某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天，甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84，乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天，然后由乙接着做，还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天

另一个方法：令甲每天做工程的百分比为x，乙每天做工程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天，则完成工程的42/84，即1/2，剩下1/2由乙完成，需要1/2÷1/112=56天

例4.一项工程，甲乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的1 30

，

甲乙单独做这项工程各需要多少天？

甲单独做需X天，乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天，乙单独做需15天

设甲单独做需X天，那么甲平均每天完成工程的1/X；

因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一，就是说，乙平均每天完成1/X-1/30；

按照已知条件，甲乙合作4天，4/X+4*(1/x-1/30)，

随后，乙单独做了5天，5*(1/x-1/30)，

加在一起，完成了这项工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1

x=10

乙每天完成1/10-1/30=1/15，即，乙单独做需15天

例5. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？

16天中甲实际休息了16-3=13天

甲完成了13/20

乙完成了1-13/20=7/20

需要时间：7/20÷1/30=10.5天

所以乙休息了16-10.5=5.5天

例6. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

解析1：先让张某单独完成乙，李某单独完成甲。乙还剩1-8/15=7/15

两人合作时间为：7/15/（1/15+1/20)=4 所以至少要工作：8+4=12（天）

解析2：小李做甲工效高

小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再和小张一起做乙

至少需要:(1-8/15)÷(1/15+1/20)+8=12天

例7.甲、乙合做一件工作要15天才能完成，现在甲、乙合做10天后，再由乙独做6天，还剩下这件工作的1/10，甲单独完成这件工作要多少天？

解析：甲乙合作10天，完成了：10×1/15＝2/3 乙独做6天完成了：1－2/3－1/10＝7/30 乙每天完成：7/30÷6＝7/180 甲独做需要：1÷（1/15－7/180）＝36（天）

例8. 一项工程甲队单独做15天可以完成，乙队独坐10天可以完成。现在开始两队合作，但中间乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9天，乙队比甲队少工作了多少天？

解析：甲独做一天的工效为1/15，乙独做一天的工效为1/10。

合做分想：这项工程甲做了9天，剩下的都是由乙队完成的。

可以用工作总量减去甲队9天的工作量，求出乙队工作量，再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间：（1－1/15×9）÷1/10＝4（天）。所以乙队比甲队少工作天数为：9－4＝5

例9. 甲、乙合做一件工作，合作8天后，乙又独做5天，还剩下这件工作的1/6。已知乙单独完成这件工作要30天，那么甲单独完成这件工作要多少天？

解析：1-1/30×（8+5）-1/6=12/30=2/5 2/5÷8=1/20 所以需要20天

例10. 甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的1/12，甲单独做6天，乙又单独做10天后，还剩下全部工作的11/30没有完成，甲单独完成全部工作要多少天？

解析：6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20