控制工程数学基础课后习题答案

第三章答案

3-2、试用阶跃函数表示如下的图形。

答案：

()()()()315324f t t t t εεε=---+-

3-6、求解方程

11

42

du u t dt +=+,()00u =。 解：齐次方程为

104du

u dt

+=

特征方程：1

104

λ+=

特征根：

4λ=-

则该方程的齐次解为

4()t

h u t Ae

-=

注意，此时不要去解A ，留待特解求得后再去解决。

激励函数为

1

2

t +，因此特解为 01 ()p u t Q Q t =+

代入原微分方程,求得 0

11

,14

Q Q ==

所以特解为

1

()4

p u t t =+

完全解为

41()()()4

t

h p u t u t u t Ae

t -=+=++ 代入初始条件 (0)

0u =

1

(0)04

u A =+=

求得

14

A =-

所以有 411

()44

t u t e t -=-++ 3-7、下图所示电路系统，以电容上电压()C u t 为响应列写其微分方程。

解：由于 （课本例3-9）

:()()():()()()()

1:()()()()()

C S L C R t

L C C R KCL i t i t i t KVL u t u t u t di t VCR u t L

u t i d u t Ri t dt

C ττ

-∞

=-=-===⎰联合以上各式，有

()()()C di t L u t Ri t dt

=- （3-4）

因为 ()

()()C S du t i t i t C dt =-

把上式代入（3-4），整理得到：

''

''11()()()()()C

C C S S R R u t u t u t i t i t L LC C LC

++=+ （3-7）

上式表明，系统的微分方程不但含有输入信号()S i t ，而且还含有()S i t 的导数。

3-8、如图？所示LC 振荡电路，1

16

L H =

,4C F =,()()01,01c L u V i A ==,求零输入响应()c u t ， ()L i t 。

()

L t

答案：

()1

cos 2sin 28c u t t t =-。

()()8sin 2cos 2c L du t i t C t t dt

==-

3-9、设某二阶系统的方程为()()()22220d d

y t y t y t dt dt

++= 其对应的0+状态条件为()()'01,02y y ++==，求系统的零输入响应。

答案：

()()()cos 3sin t y t e t t t ε-=+

11、电路如图所示，

500,1,1R C F L H μ=Ω==,()()s i t t A ε=，当系统0t

=时，

把开关K 拉开，试求的阶跃响应()()(),,L

c c i t u t i t 。

(s i L u L

答案：

()()()()()()()()()()3333

10610310111010110t

L L t

c c t

c i t t e t A di t u t L te t V

dt

du t i t C t e t A

dt

εεε---⎡⎤=-+⎣⎦====-

14、化简函数22[sin()()]4

d t t dt +π

ε

解：

22[sin()()][cos()()sin()()]444

d d t t t t t t dt dt +=+++πππ

εεδ ()[cos()sin()()]44

sin()'()cos()()sin()()

444'()()sin()()224

d t t t dt t t t t t t t t t =++=++-+=+-+ππ

εδπππ

δδεπδδε

第4章 习题解答

4-1、将图所示的信号展成三角形式傅立叶级数。

（a ） （b ） 4-2、求图所示周期矩形脉冲信号复指数形式的傅立叶级数n F 。

解：直接代入公式有

112

2

-j -j 2

2

11111()e

d e

d sin 2=Sa 2

2

T n t

n t

n T F f t t A t

T

T

n n A A n T

T τ

ωωτωτωτττωτ-

-

=

=

⎛⎫

⎪⎛⎫

⎝⎭=

⎪⎝⎭

⎰

⎰

3、求双边指数信号

()e ,0a t

f t a -=>的傅里叶变换。（课堂讲过）