哈尔滨工程大学老师特别讲解相平面法例题解析相平面法例题详细步骤解析
相平面法
0
x2
0
x1
x1
(a)稳定焦点
(b)不稳定焦点
17
图8-31 共轭复根对应的相轨迹
1, 2
a d (a d )2 4(ad bc ) 2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。
x2
0
x1
图8-32
纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系 统的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部 平面两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不 能。
将（4）式代入（2）式整理得
( 4)
1
23
r r (1 r 2 ) 1
有r 0和1 r 2 0两种情况
(1) r 0
x1 0, x2 0 系统的平衡点（奇点）
b P ( x1 , x 2 ) 1 x 2 ( 0,0 )
为一常数。
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通 过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同， 称之为等倾线。如果取不同的值 1 , 2 ,则可 在相平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
x1
3
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。
P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
非线性控制系统的相平面分析法讲解
7-5 非线性控制系统的相平面分析法相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。
但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。
因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。
一、线性控制系统的相平面分析1、阶跃响应 设线性二阶控制系统如图7-38所示。
若系统开始处于平衡状态。
试求系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ⋅= 作用下，在e e -平面上的相轨迹。
建立系统微分方程式，由图示系统可得Ke c cT =+ 因为c r e -=，代入上式得r r T Ke e e T +=++ （7-31） 对于->⋅=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r因此上式可写成0=++Ke e e T （7-32）方程（7-32）与（7-22）式相仿。
因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条件是0)0(R e =和0)0(=e。
e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。
当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)所示。
根据ee -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。
由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差为零。
因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在cc -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。
2、斜坡响应 对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r= 及0)(=t r 。
因此，方程（7-31）可以写成0V Ke e eT =++ 或 0)(0=-++KV e K e e T 令v e K V e =-0，代入上式，则有0V Ke ee T =++ννν （7-33） 在v v ee -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。
第7章_2相平面法
12
极限环的分类 稳定极限环 当 t → ∞ 时，在极限环邻域内的所有轨迹都收敛 于该极限环， 这样的极限环称为稳定极限环 稳定极限环。 稳定极限环 它表示系统的运动是一种稳定的带固有周期的 自持振荡。 在系统设计时，应尽可能减小极限环， 以满足稳态精度的要求。
13
& x
极限环外部稳定 极限环内部不稳定
5
4 负阻尼情形
−1 < ζ < 0
jω
& x
λ1
0
σ
λ2
0
x
不稳定焦点
λ1,2 = −ζωn ± jωd
6
ζ < −1
jω
& x
λ1 λ2
0
σ
0
x
不稳定节点 正实特征根 −ζωn ± ωn ζ 2 − 1
7
5 给定二阶线性系统的微分方程
2 && + 2ζωn x − ωn x = 0 & x
I区
II区
27
& e
a=0
KM
−e0
0
e0
e
a=0
II区
28
− KM
III区 I区
& e
KM
−e0
0
e0
e
− KM
III区 I区 II区
29
2 输入信号为 r (t ) = R + vt 时 a）v > KM ， M = e0 ） 稳态误差为无穷大！
& e
v + KM
A
v − KM
−e0
0
e0
2
1 无阻尼情形（ζ = 0 ）
《自动控制原理》 相平面法
(8-24) (8-25) (8-26) (8-27)
c(t) = − b c(t) = kc(t)
+a
(8-28)
其中k为等倾线的斜率。当 a2 − 4b 0时，且 b 0 时，可得满
足k＝a的两条特殊的等倾线，其斜率为: ???
k1,2 = 1,2 = s1,2 = − a
a2 2
− 4b
(2)线性二阶系统的相轨迹
c + ac + bc = 0
当b>0时，上述(运动)微分方程又可以表示为
c + 2wnc + wn2c = 0
线性二阶系统的特征根
s1,2 = − a
a2 − 4b 2
相轨迹微分方程为 (相轨迹切线斜率ZX)
dc dc
=
−
ac − c
bc
令
−
ac − bc c
=
，可得等倾线方程为：
初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，而由一簇相轨
迹所组成的图形称为相平面图。
若已知x和 x 的时间响应曲线如图8-10(b),(c)所示，则可根据 任一时间点的x(t)和 x(t)的值，得到相轨迹上对应的点，并由此获
得一条相轨迹，如图8—10(a)所示。
相轨迹在某些特定情况下，也可以通过积分法，直接由微分方
U+jV 表示根为复数
2
2.00
2
7.46
s2 // jV -2.41 -2.00 0.00 -2.24 -7.46 -3.00 -2.00 -2.24 2.00 0.54
1)b<0。系统特征根
− a + a2 + 4b
s1 =
2
第七章相平面法2010
一、相平面的基本概念 二、相轨迹的绘制 三、由相轨迹求系统的瞬态响应 四、奇点与极限环 五、非线性系统的相平面分析
1
一、相轨迹的基本概念
解决两个问题： 1.什么是相轨迹？ 2.相轨迹的几个重要性质。
2
（一）相轨迹的基本概念
相平面法是状态空间法在二维空间特殊情况下的应用。 它是一种通过图解法求解一阶或二阶线性或非线性系统的 准确方法。它可以给出某一平衡状态稳定性的信息和系统 运动的直观图像。所以，它属于时间域的分析方法。
12
等倾线与相轨迹
x n2 x 2n
设系统参数 ξ=0.5，ω＝1。求得 对应于不同α 值的等 倾线
x
－ 1.2 － 1.4
k＝ － 1
A
B
－ 1.6 － 1.8 －2
C D
－ 2.5 －3
0
－ 1.4 － 1.2
－ 0.8－ 0.6－ 0.4－ 0.20
1 0.5
－4 －6
对于二阶时不变系统，可用以下常微分方程来描述：
x f (x, x) 0
设: x1 x x2 x
x1 x x2 则: x2 x f (x1 , x2 )
3
相平面、相轨迹、相平面图
x
定义：
X
(t
)
x1 x2
为状态变量。
0
x
我们将 (x , x ) 构成的直角平面叫做相平面。
－ 11 x
9 4 2
13
用等倾线法相轨迹绘制
14
三、由相轨迹求系统的瞬态响应
相轨迹是消去时间后画出的，尽管它直观地给出了系 统状态的运动轨迹，但却将时间信息隐含其中，使时间信 息变得不直观了。有时我们希望给出时间响应以便得到与 时间有关的性能指标，这就需通过相轨迹求出时间信息。
7-2相平面法
当c > 0时，上述微分方程又可以表示为
2 2 n x n x 0 x
线性二阶系统的特征根
b b 4c s1 2
2
b b 2 4c s2 2
相轨迹方程为
dx bx cx dx x
假设由初始条件确定的点为图中的A点。则过A点作斜率为[ (1) + (1.2) ] / 2 = 1.1的直线，与a = 1.2的等倾线交于B点。再过B 点作斜率为的[ (1.2 ) + (1.4) ] / 2 = 1.3 直线，与a = 1.4的等 倾线交于C点。如此依次作出各等倾线间的相轨迹线段，最后即 得系统近似的相轨迹。
x t4
(x, x0)
t3
0 t2 0
t1
x
x
t1
t2 t3 t4
4
当t变化时，系统状态在相 平面上移动的轨迹称为相轨迹。
t
而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图 叫做相平面图。 利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。
7.3.2 相平面图的绘制
绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。 1. 解析法 解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可 以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时 一般有二种方法：一种是对式（7-35）直接进行积分。 显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。 另一种方法是先求出x和对t的函数关系，然后消去t， 5 从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。
x
0
x
22
④ = 0。系统特征根为一对纯虚根。系统的自 由运动为等幅正弦振荡。给定初始点，系统的相平 面图为围绕坐标原点的一簇椭圆（参阅例7-1），系 统相平面图:
7-3相平面法2
令x1 = x，x2 = x ，
x1 = x 2 & & x 2 = −a1 ( x1 , x 2 ) x 2 − a0 ( x1 , x 2 ) x1
x1 = P( x1 , x 2 ) & & x 2 = Q( x1 , x 2 )
P ( x1 , x 2 ) = 0 Q ( x1 , x 2 ) = 0
3
奇点的分类：根据奇点附近相轨迹的特征。 奇点的分类：根据奇点附近相轨迹的特征。由于 此时是研究奇点附近系统的运动状态， 此时是研究奇点附近系统的运动状态，因此可以用小 偏差理论，在奇点（ 偏差理论，在奇点（x10，x20）附近展开成泰勒级数
x
0
x
14
（2）不稳定极限环 ） 若极限环两侧的相轨迹从极限环发散， 若极限环两侧的相轨迹从极限环发散，这种极限 环称为不稳定极限环。 环称为不稳定极限环。系统的运动状态与初始条件有 若初始状态在环内， 关，若初始状态在环内，则系统状态将趋于平衡点 坐标原点）。反之，系统状态将远离平衡点。 ）。反之 （坐标原点）。反之，系统状态将远离平衡点。所以 具有不稳定极限环的系统， 具有不稳定极限环的系统，其平衡状态是小范围稳定 大范围是不稳定的。通常在设计系统时， 的，大范围是不稳定的。通常在设计系统时，应尽量 增大极限环。 增大极限环。 x
1
※7．3．4 奇点和奇线 ． ．
引入相平面图的概念，不单是求取相轨迹， 引入相平面图的概念，不单是求取相轨迹， 而是要通过对相平面的研究， 而是要通过对相平面的研究，确定系统所有可能 的运动状态及性能。 的运动状态及性能。因此需要进一步研究相平面 图的基本特征，从而找出相平面图与系统的运动 图的基本特征， 状态和性能之间的关系。 状态和性能之间的关系。系统的相平面图有以下 两个基本特征。 两个基本特征。
相平面
dx
x
横轴上的点皆为奇点。
积分法
由于相轨迹方程表示成
dx dx
f ( x, x)
x
当 f ( x, x) ( x) 即仅是x的函数
则有 x d x ( x)dx 两边分别积分，即解出该方程的相轨迹
例：
x M
x
d
x
M
可解得
dx
x
2
2
因此
T c c Kx (1)
而 e r c (或c r e)
代入（1）式，得
T (r e) (r e) Kx (2)
e 0
T e e KM T r r
e 0
T e e KM T r r
非线性控制系统的相平面分析法
描述函数对非线性环节有限定条件，并且不能 直接分析初始条件对非线性系统的影响。也就 是说，它只能用于非线性系统的稳定性分析。
相平面以运动中的两个重要的状态量（速度和 位置）作为坐标，将运动的变迁过程表现在平 面上，不仅可直观地表现线性系统运动特点， 更为非线性系统提供了一种有效的分析手段。
II区是欠阻尼运动，相应的奇点（0，0）是
稳定的焦点。轨迹越过区域边界，运动规律
随之改变。由于两个线性方程具有共同的奇
点。且在I区内，运动最终以过 阻尼形式收
敛于该奇点。
e
II
I
II
0
e
r
e GN
xK
s(Ts 1)
M -M
C
c(s) K
非线性控制系统分析(第八章)
c(t ) c10 e c20 e 由初始条件决定。当取初始条件使 或 ， c10 , c 20 c10 0 则相轨迹为 或 ；而在其它情况下，由于特征 c20 0 根 远离虚轴，故第二项很快衰减，系统运动过程特别是过 c s2 c c s c 1 渡过程的后期主要取决于第一项。这一结果与相平面分析的 s2 结果一致。
s1
s2
a a 4b 2
0
a a2 4b 2
0
s1 , s 2 为两个符号相反的互异实根，系统相平面图见下张图。
13
Байду номын сангаас
三、相平面法（17）
由图可见，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其它相轨 迹的渐近线，此外作为相平 面的分隔线，还将相平面划 分为四个具有不同运动状态 的区域。当初始条件位于 c s2 c 对应的相轨迹，系 统的运动将趋于原点，但只 要受到极其微小的扰动，系 统的运动将偏离该相轨迹， 并最终沿着c s1 c对应的相 轨迹的方向发散 至无穷。 因此 b 0 时，线性二阶系统的运动是不稳定的。 14
15
dc
a
三、相平面法（19）
3）b 0 。取 a /(2 b ) ，并分以下几种情况加以分析： ① 0 1 。系统特征根为一对具有负实部的共轭复根。 系统的零输入响应为衰减振荡形式。取 ＝0.5, n 1， 运用等倾线法绘制系统的 相轨迹如右图所示。相 轨迹为向心螺旋线，最 终趋于原点。
f ( x, x ) a x
7
三、相平面法（11）
4）一般地，等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确。 但随所取等倾线的增加，绘图工作量增加，同时也使 作图产生的积累误差增大。为提高作图精度，可采用 平均斜率法，即取相邻两条等倾线所对应的斜率的平 均值为两条等倾线间直线的斜率。
相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析
相平面法例题解析x2x s x=1x sx=x2s x =1s x※稳定焦点不稳定焦点中心点xx2x s x=1x s x=220n n x x x ζωω+-=220n n x x x ζωω++=例已知线性系统的运动方程0=++e b e a e，分别给出系统在相平面中具有(a)稳定焦点和(b)鞍点时，参数a 和b 的取值范围。
解：由方程求出两根为1,2s =(a)稳定焦点10<<ζ，系统具有一对负实部共轭复根，0>a 、b a 42<且0>b ； (b)鞍点，系统具有符号相反的两个实极点0<b 。
例已知某二阶线性系统的运动方程为240e e e ++=，则系统的奇点类型和当输入()51()r t t =⋅时的系统稳态误差分别为__ B ____。
A ．稳定的节点，∞；B ．稳定的焦点，0；C ．稳定的焦点，∞；D ．稳定的节点，0 。
例8.6：设线性系统开始处于静止状态（即输出初始值为0），试利用相平面法对系统稳定性及稳态误差进行分析。
其中，1）()1(),r t R t R =⋅为常数：2）(),r t R t R =⋅为常数：解：因分析系统稳定性故从闭环系统传递函数出发，由闭环系统传递函数2()()C s KR s Ts s K=++，则2()[]()C s Ts s K KR s ++=。
于是描述该系统的运动方程为： Tc c Kc Kr ++=绘制e e -相平面相轨迹。
【注】：把相变量变成误差，分析最终奇点位置表示稳态误差情况。
当然c c -也行。
但是若没要求，一般建议e e -相平面。
因为e r c =-，即c r e =-，所以，Te e Ke Tr r ++=+————————（1）1）()1(),r t R t R =⋅为常数：0r r ==，于是得出关于误差e 的运动方程：0Te e Ke ++=，注：如果线性系统运动方程为典型的二阶系统运动方程，可以不用解析法求相轨迹，而直接根据此时特征方程根的分布情况，分析奇（异）点类型并绘制该区域的相轨迹。
非线性系统的分析-相平面1PPT课件
ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
2021
7
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
止条件。
2021
43
(1) 具有死区特性的非线性控制系统
2021
44
取
作为状态变量，
因为
，
2021
45
给定参数T=1, K k =1，根据二阶线性系统相
轨迹分析结果，可得奇点类型
区域 I：奇点(-△，0)为稳定焦点，相轨迹为向心
螺旋线(
);
区域 II：奇点(x，0)，x∈(-△, △)为稳定焦点，
x+axbx0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面
上的位置。设特征根为 1 , 2 ，根据 1 , 2 在复平面
的位置，可以有以下几种情况：
2021
12
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都
以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以
态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
2021
15
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中
两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。
2021
16
相平面法
度同时为0。 ⑸ 对于二阶系统来说，系统在奇点处不再发生运动， 处于平衡状态，故相平面的奇点亦称为平衡点。且
二阶系统的平衡点即为原点(0，0)。
3、线性二阶系统奇点的类型： ⑴ 焦点——特征根为共轭复根
根据这一方程可在相 平面上作一曲线，称为等倾线。
当轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相
等，均为 。取
为若干不同 的常数，即可在相平
相平面上绘制出若干 条等倾线。在等倾线上各点处 作斜率为 的短直线，并以箭头表示切线方向，则 构成相轨迹的切线方向场。 所以，根据给定的初始条件，从初始点出发，便可
<一>奇点：
) 表示的二阶系统，其相轨 x f ( x , x 1、定义： 以微方
) dx f ( x, x 迹上每一点切线的斜率为 ， dx x
)和 x 同时为0， 若在某点处 f ( x ， x
0 dx 则称该点为相平面 即有 的不定形式， dx 0
的奇点。
的共轭复根（ 0 1) 稳 定 焦 点 ： 一 对 负 实 部 部的共轭复根（ - 1 0) 不 稳 定 焦 点 ： 一 对 正 实
2 n x dx dx x
dx n2 x d x 则 有x
2 x 2 x 2 A2 n
其中A是初条决定的积分常数，此为同心椭圆。
2、 0 1:
由第三章知： x ( t ) A e n t s in( d t ), d n 1
x02
01 x
x01
02 x
x01
x
现代控制理论补充内容(2)——相平面法
当k < 0时， 开口向右。
5
例3.2
设系统运动方程为：x + ax
=0
⎧ dx ⎪ dt = x = − ax ⎪ ⎨ ⎪ dx = x ⎪ dt ⎩
dx − ax = = −a dx x
dx = −adx
当a
x = − ax + 常数 ——直线方程
x x
> 0时， 斜率为负； 当a < 0时， 斜率为正。 x
=0
x
称：x 及 x为 相变量（状态变量）
x
以x及x为坐标轴构成的平面, 为相平面。 ( 当t从t0 → ∞变化时，x, x )在相平面图上
叫做相轨迹。 形成的轨迹， 在相轨迹图上，用箭头“ ”表示 t 增加的方向 相平面
变换初始条件， 就会变换相轨迹； ——一簇相轨迹， 多个初始条件，就会对应多条相轨迹 称相轨迹簇为相平面图。
b b
k
e (t )
继电线性
b
b
-a -ma
ma a
-b -b
-a a
-b -b
一般继电特性
理想继电特性
死区继电特性
滞环继电特性
2
3.2
相平面法的基本概念
相平面法是一种图解法。 适用于线性部分为一阶或二阶的非线性系统。 设系统运动方程为： x 例如： x + ωn 2 x
= f ( x, x )
——二阶定常系统 （线性或非线性）
增量式简化为 ： x =
∂f ( x, x) ∂x
x = x0 x + x = x0
∂f ( x, x) ∂x
x = x0 x = x0
x
20
本例， x + 0.5 x + 2 x + x 2 = 0
相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析
相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析相平面法例题解析xx2x s x=1x sx=x2s x =1s x※稳定焦点不稳定焦点1s 2中心点xx2x s x=1x s x=220n n x x x ζωω+-=220n n x x x ζωω++=例已知线性系统的运动方程0=++e b e a e ，分别给出系统在相平面中具有(a)稳定焦点和(b)鞍点时，参数a 和b 的取值范围。
解：由方程求出两根为1,2s =(a)稳定焦点10<<ζ，系统具有一对负实部共轭复根，0>a 、b a42<且0>b ； (b)鞍点，系统具有符号相反的两个实极点0例已知某二阶线性系统的运动方程为240e e e ++=，则系统的奇点类型和当输入()51()r t t =?时的系统稳态误差分别为__ B ____。
A ．稳定的节点，∞；B ．稳定的焦点，0；C ．稳定的焦点，∞；D ．稳定的节点，0 。
例：设线性系统开始处于静止状态（即输出初始值为0），试利用相平面法对系统稳定性及稳态误差进行分析。
其中，1）()1(),r t R t R =?为常数：2）(),r t R t R =?为常数：解：因分析系统稳定性故从闭环系统传递函数出发，由闭环系统传递函数2()()C s KR s Ts s K=++，则2()[]()C s Ts s K KR s ++=。
于是描述该系统的运动方程为： Tc c Kc Kr ++=绘制e e -相平面相轨迹。
【注】：把相变量变成误差，分析最终奇点位置表示稳态误差情况。
当然c c -也行。
但是若没要求，一般建议e e -相平面。
因为e r c =-，即c r e =-，所以，Te e Ke Tr r ++=+————————（1）1）()1(),r t R t R =?为常数：0r r ==，于是得出关于误差e 的运动方程：0Te e Ke ++=，注：如果线性系统运动方程为典型的二阶系统运动方程，可以不用解析法求相轨迹，而直接根据此时特征方程根的分布情况，分析奇（异）点类型并绘制该区域的相轨迹。
相平面法ppt课件
绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性； 由于系统的平衡点有无穷根相轨迹离开或到达，因此平衡 点附近的相轨迹，最能反映系统的运动特性。 平衡点又称为奇点。
另一反映系统运动特性的相轨迹是极限环（奇线）。 极限环是相平面上一根孤立的封闭的相轨迹，反映了系统 的自激振荡状态，它将无穷大的相平面分为两个部分，有 利于与奇点特性一起分析系统的运动特性。
e
y
0.5 0.5
e e 0 e e 0
e
区域（1） 区域（2）
（1）
0
e
（2）
e e 0
28
区域（1）：
e 0.5 e 0.5t c1 e 0.25t 2 c1t c2
代入初始条件 e(0) 6, e，(0有) 0
e
0 （2）
（1）
A(6,0) e
e e 0
c1 0, c2 6
1,2
2
根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况：
13
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
1) 同号相异实根
(a d )2 4(ad bc)
当 a d时 ，0 两根同负，奇点称为稳定的节点； 当 a d时 ，0 两根同正，奇点称为不稳定的节点。
图。
6
令
P( Q(
x1 x1
, ,
x2 x2
) )
0 0
联立求解出的点 ( x10 , x称20为) 系统的平衡点。
相轨迹的特点：
1、相平面上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。 2、由式 dx2 Q可知0 ，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，
dx1 P 0 意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。
相平面法
7-4 相 轨 迹一、相轨迹的概念设二阶系统可以用下列常微分方程描述),(x x f x= 或),(xx f dtxd = 式中),(xx f 一般是x 和x 的非线性函数。
该系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表示。
也可把时间t 作为参变量，用x 与x之间的关系曲线来表示。
下面以线性二阶系统为例加以说明。
设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。
即可把系统的阶跃响应用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，xx -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。
从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。
显然，如果把方程),(x x f x=看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。
用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速度）来表示该质点的运动。
在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。
在自动控制理论中，把具有直角坐标xx -的平面称为相平面。
相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的一个运动状态，这个点就称为相点。
相点随时间t 的变化在xx -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。
对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。
对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。
对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。
相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。
首先把二阶常微分运动方程),(x x f x= 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =∙则有12212(,)dx x dt dx f x x dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 (,)dxx dtdx f x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （7-20）用（7-20）式的第一个方程除第二个方程，可得xx x f dx xd ),(1= （7-21）解（7-21）式就可得相轨迹方程，作出相迹来。
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相平面法例题解析：要求：1.正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程，也就是e e -之间关系的方程（或c c -）。
会画相轨迹（模型中是给具体数的）。
※※关键是确定开关线方程。
2. ※※※如果发生自持振荡，计算振幅和周期。
注意相平面法一般应：1）按照信号流向与传输关系。
线性部分产生导数关系，非线性部分形成不同分区。
连在一起就形成了不同线性分区对应的运动方程，即含有c 或者e 的运动方程。
2）※※※根据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定开关线方程。
开关线方程确定很关键。
3）※※※根据不同线性分区对应的运动方程，利用解析法（分离变量积分法或者消去t 法）不同线性分区对应的相轨迹方程，即c c -和e e -之间关系。
4）※根据不同分区的初始值绘制出相轨迹，并求出稳态误差和超调、以及自持振荡的周期和振幅等。
例2问题1. 用相平面法分析系统在输入r (t ) = 4.1(t )时的运动情况。
问题2. 如果发生自持振荡 ，求自持振荡的周期和振幅。
解：问题1：1）设系统结构图，死区特性的表达式：0,||22,22,2x e x e e x e e =≤⎧⎪=->⎨⎪=+<-⎩2）线性部分：2()1()C s X s s =，则运动方程为：c x = 3）绘制e e -平面相轨迹图。
因为e r c =-，c r e =-，c r e =-，c r e =-。
代入则e x r =-+ （1）当0t ≥，0r =，0r =。
代入，则各区的运动方程0,||2I 2,2II 2,2III e e e e e e e e =≤--⎧⎪=->---⎨⎪=--<----⎩由于非线性特性有3个分区，相平面ee -分为3个线性区。
注意，当相平面选好后，输入代入后，最后代入非线性特性。
4） 系统开关线：2e =±。
5） 由题意知初始条件(0)(0)(0)4e r c =-=，(0)(0)(0)0e r c =-=在II 区，则从初始值出发绘制相轨迹：【注】：用解析法中的斜率法求：上课时按照此方法求相轨迹方程： II 区： e e-20 += ------不是标准线性系统运动方程的形式。
根据斜率方程2e de ede e e-==，则分离变量积分得 40(2)e e e de ede -=⎰⎰ 则ee -之间的相轨迹方程为 22(2)4e e -+= 结论：II 区以20奇点（，）为中心的圆，与右开关线2e =的交点A （2，-2） I 区：0e =，2e ==-常数，水平线，与左开关线2e =-的交点B （-2，-2） III 区：e e 20 ++= ------不是标准线性系统运动方程的形式。
根据斜率方程2de e e e d ee --==，则分离变量积分得 22(2)eee de ede ---+=⎰⎰（注意新的初始值B （-2，-2））则ee -之间的相轨迹方程为 22(2)4e e ++= 结论：III 区以20奇点（-，）为中心的圆。
以此例推，出现了一个封闭椭圆。
——极限环e ）e=2问题2：若相平面中出现了稳定的极限环——对应着非线性的自持振荡。
问题：自持振荡的周期怎么算呢？如图： 这是个椭圆，1）周期：4()CA AD T t t =+II 区：22441CA t de e e d ==-⎰⎰，这是因为： 22(2)4e e +-=→ 4(e =--，注意， e 在图中为负的。
I 区： 00221112AD t de de e ==-=⎰⎰例3：具有继电器特性的非线性系统分析 2006-B (15分)非线性控制系统如图。
问题1：设0r =，绘制起点在02c =，00c =的c c -相轨迹图。
(10分) 问题2：计算相轨迹旋转一周所需时间。
(5分)解：问题1：(10分)1）非线性环节数学表达式：0,||12,12,1e x e e ≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩；2）线性部分：2()1()C s X s s=所以描述线性部分的运动方程为：c x = 则0||12121c e c e c e =≤⎧⎪=>⎨⎪=-<-⎩3）绘制c c -平面相轨迹。
e r c =-，令0r =，e c =-，则各区的运动方程0,||1I 2,1II 2,1III c c c c c c =≤⎧⎪=->⎨⎪=<-⎩注意：条件方程也要改成c c -的。
4）开关线方程：1c =±5）由已知条件，起点02c =，0c 0=，)0,2(从II 区开始，下面绘制相轨迹： 【注】：用解析法中消去参变量时间t 的方法求相轨迹方程：上课时按照此方法求的，以下同。
当然如果用斜率法求相轨迹方程也可以。
不过，这个例子c 为常数，消去参变量时间t 的方法更适合。
Ⅱ区：2c =-，则022c t c t =-+=-；22002c t c t c t =-++=-+；相轨迹为开口向左的抛物线，222000.250.250.252c c c c c =-++=-+； 在右开关线1c =处的交点为01c =1 , 210.252c =-+ 012c =----(1,-2)Ⅰ区：0c =，则012c c ==-；010121c c t c t =-+=-+；相轨迹为平行横轴的直线（因为纵坐标不变-2，而横坐标虽时间变化）；在左开关线处的交点为02c =-1 , 022c =----(-1,-2)Ⅲ区： 02222c t c t =+=-；22020221c t c t c t t =++=--；22202020.250.250.252c c c c c =-+=-----相轨迹为开口向右的抛物线，在开关线处的交点 (-1, 2)以此类推，求得如图的极限环。
注意: 每个区的初始值是不同的。
当进入II 区时的第一个位置即为II 的初始值， 每个区的初始值的求法就是根据上一个区的区域根轨迹方程可以求出进入下一区的初始值，以此一个个区经过后，会变成一个连续的曲线轨迹——非线性系统的相轨迹。
问题：自持振荡的周期怎么算呢？幅值怎么算呢？ 问题2：运动一周所需时间为1010********()4()62T dcdc dc c c =+=+=--⎰⎰⎰⎰（因为II 区20.252c c =-+,则c =，注意，c 在图中为负的。
）振幅——代表此时的位移，也就是此时与横轴的交点位置大小——即C 点的横坐标。
这是因为，对于整个非线性系统的奇点是（0，0 ）。
对于该点，最大的位移就是振幅，因此是C 点的横坐标2。
注意: 并不是所有开关线都是垂直于横轴的，开关线关键要看各个线性区域的边界条件。
例4 ：20XX 年 非线性控制系统如下图所示。
图中()21()r t t =⋅。
1、以c c -为相变量，写出相轨迹分区运动方程（8分）； 2、若M =0.5，画出起始于(0)0c =、(0)0c =的相轨迹（4分）； 3、利用相轨迹计算稳态误差及超调量（3分）。
b解：1. 1）非线性特性：0,0b M c >⎧⎨=-<⎩2） 线性部分： c e b =- （1）注意：线性部分关键是产生c 的运动方程，但是更关键的是，此运动方程必须能与非线性特性的输出产生关系。
3）绘制以c c -平面的相轨迹。
因此，e r c =-代入式（1）中，则则 c r c b =--即运动方程为 0c c b r -++=因为()21()r t t =⋅，则 20c b c +-+=（2）式（2）中代入非线性特性，于是各区的运动方程：2,0I 2,0II c r c M c c M c c r c M c c M c =--⇒+=->---⎧⎨=-+⇒+=+<---⎩区区M =0.5，则各区的运动方程：1.50,0I2.50,0II c c c c c c +-=>---⎧⎨+-=<---⎩区区4）开关线方程：0c =2. 绘制相轨迹：起点为（0，0）在I 区。
I 区： 1.5dc c dc c-=-，积分分离后00( 1.5)c c c dc cdc -+=⎰⎰则 222( 1.5) 1.5c c -+=， 相轨迹为奇点为 1.5c =，0c =的圆。
与开关线交于3c =，0c =的点II 区： 2.5dc c dc c-=-，积分分离后30( 2.5)c c c dc cdc -+=⎰⎰，则222( 2.5)0.5c c -+=，相轨迹为奇点为 2.5c =，0c =的圆。
则相轨迹如图：c00c =3. 稳态误差：()()ss e r c =∞-∞=2-2=0超调量： 32%=50%2σ-=可见：开关线不一定垂直于或者平行于横轴，见本章的作业P477 8-7 。