第5章 基于系统辨识的建模方法

u(0) u(1)
y( N n) u( N 1)
u(1 n) u(2 n) （5.11） u( N n)
式中， θ是待估计的 2n维参数向量； ζ(N)是 N维观测向 量； ε(N) 是 N 维误差向量； Φ(N) 是 N2n 维数据矩阵。 (5.8)式和(5.9)
i 1 N
w( N )e 2 ( N )
用矩阵表示，就是
JW εT ( N )Wε( N )
(5.18)
式中，权矩阵W为N维对角线矩阵，并规定它是个 对称正定阵。 ˆ 加权最小二乘估计量 θ LSW 应满足的方程为
T ˆ Φ T ( N )WΦ( N )θ Φ ( N )Wξ ( N ) LSW
冷水
Q(蒸汽流量) T(出口温度) 热水
热交换过程示意图
选定一模型类（离散差分方程）：
T (k ) a1T (k 1) anT (k n) b1Q(k 1) bnQ(k n) e(k )
和一个等价准则：
J e (k ) T (k ) a1T (k 1)
系统辨识方法的分类如下图所示：
阶跃函数法 脉冲函数法 经典辨识方法（非参数模型辨识） 频率特性法 相关分析法 模型参数辨识 谱分析法 系 最小二乘法 统 现代辨析方法 梯度法 辨 极大似然法 识 差分方程 线性系统 状态方程 模型验前结构的假定 差分方程 非线性系统 模型结构辨识 状态方程 线性（单变量过程为阶次n） 模型结构参数的辨识 非线性（较复杂）
v u 被识系统 y + + z + zm e 准则函数
z
可调模型
ˆ
参数迭代估计算法
辨识的迭代估计法原理图
5.1.3 系统辨识的基本过程
辨识的目的 及先验知识
实 验 设 计
被识 系统 的输 入和 输出 数据
确定模型结构
参数估计 模型校验
满意?
N
Y
最终模型
系统辨识的一般步骤
系统辨识大致分为下述几个步骤：
这里假设待辨识系统的阶次为n。 由于观测数据有误差，实际上观测到的系统输出不是 {z(i)}，而是{y(i)} ，如图5.2所示。
图5.2
将{y(i)}代入（5.7）式，得
y( k ) ai y( k i ) bi u(k i ) e(k )
i 1 i 1 n n
如果令z0=a，z0α =b，则上述函数关系可写成 z=a+bt （5.1) 每次观测中总带有测量误差。因此，每次观测所得 的轴长并不是真正的轴长zi，而是yi。yi可写成 yi=zi(真值)+vi(随机观测误差) 或 yi=a+bti+vi （5.2)
式中，yi是可观测的随机变量，ti是可观测的独立变 量(非随机变量)，vi是不可预测的随机性观测噪声，a 和b是待估计的未知参数。 根据N次观测数据{ti, yi},i=1,…N，来估计出模型 (5.1) 中的未知参数a和b的值。
y(2) ξ( N ) y( N )
e(2) ε( N ) e( N )
（5.10）
y(0) y(1) Φ( N ) y( N 1)
y(1 n) y(2 ห้องสมุดไป่ตู้)
J 0 j
( j 1, 2, ..., m )
ˆ
模型
辨识的直接估计法原理图
(2) 迭代方式（闭环方式）：如果可以通过适当的 方式测出ƏJ/ Əθj 之值，同时，如果可以利用这些 导数值对数学模型中的参数 θ 进行调整，调整的方 向是逐步使 ƏJ/ Əθj 趋近于零(j=1,2, …,m)。也就是 根据所测得的 ƏJ/ Əθj 值，在参数空间中逐次地调 整或修改模型的参数值，这样，参数向量 θ 逐次地 变为 θ(1) ，θ(2) ，…，相应的，准则函数J的值变为 J(1)， J(2) ， …，其改变的方向逐次使各个 ƏJ/ Əθj (j=1,2, …,m)均趋向于零，从而最后确定使J值为最 小的参数 。这种辨识算法就是迭代估计法。
5.1.2 系统辨识的有关概念
辨识的目的是根据系统所提供的观测数据，估计出 模型的一组未知参数 θ=(θ1,θ2, …, θm)T,使准则 J的值 最小。估计方式有： (1) 直接方式（开环方式）对准则函数 J ，如果能利 用数学关系推出 J (j=1,2,…,m)，令其等于零，即
j
v u 被识系统 y + + z + zm e 准则 函数 参数直接 估计算法
(2) 加权最小二乘法 (5.9)式表示的准则函数中，假定了每次观测都具 有相同的重要性。若考虑到各次观测的不同情况， 则可以在准则函数中引入对每次观测的重视程度因 子（称为权重）w(i)，得
J w w(1)e 2 (1) w(2)e 2 (2) w( i )e 2 ( i )
5.1.1 系统辨识的定义
1. 1962 年，扎德：“辨识就是在输入和输出数据 的基础之上，从一组给定的模型类中，确定一个与 所测系统等价的模型。” 2. 1978年，L.Ljung：“辨识有三个要素：数据、 模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一模型类 中选择一个与数据拟合得很好的模型。” 例如，一个热交换过程，如下图所示。
将J对θ求导，得
J 2ΦT ( N )ξ( N ) 2ΦT ( N )Φ( N )θ θ
(5.15)
ˆ(N ) 在(5.15)式中令 J 0 , 由可求得的最小二乘估计 θ
θ
ˆ ΦT ( N )ξ( N ) ΦT ( N )Φ( N )θ
(5.16)
由此方程就可以得到最小二乘估计值为
ξ( N ) Φ( N )θ ε( N )
（5.12） （5.13）
J εT ( N )ε( N )
(1) 普通最小二乘法
将(5.12)式代入(5.13)式，可得
J ξ( N ) Φ( N )θ ξ( N ) Φ( N )θ
T
ξT ( N )ξ( N ) θT ΦT ( N )ξ( N ) ξT ( N )Φ( N )θ θT ΦT ( N )Φ( N )θ (5.14)
得
(5.6)
ˆ称为最小二乘估计量(LSE)。 ˆ 和b 通常将 a
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5.2.2 最小二乘估计的批处理算法
把上述最小二乘法原理应用到 离散模型(5.7)
z( k ) ai z( k i ) bi u( k i )
i 1 i 1 n n
k 1, 2,
,N
(5.7)
通常采用各次误差的平方和作为总误差
J vi2 yi (a bt i )
j 1 i 1 N N 2
（5.4）
这个误差平方和函数就是在估计参数时所采用的准 则函数 ( 或称为性能指标 ) 。由于平方运算也称为“二 乘”运算，因此，按照这种原则来估计参数 a和 b的值 的方法称为最小二乘估计法(LS法)。 要使 J 达到极小值，只需分别对 a 和 b 求偏导数，并 令它们等于零。a和b的估计值应满足下列条件
ˆ [Φ T ( N )Φ( N )]1 Φ T ( N )ξ ( N ) θ
(5.17)
ˆ 是根据N组实际观测 (5.17)式所示的参数向量 θ 数据 Φ(N) 和 y 对参数 θ 的估计值。选用的准则是最 小二乘准则，所以称它为最小二乘估计量。为了与 ˆ 表示。显然，估计 其它估计量区别起见，用符号 θ LS ˆ 是被观测数据y的线性函数，所以最小二乘估 量θ LS 计是一种线性估计。 在获得全部数据后进行一次性计算，称为批处理 算法（或离线算法）。
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5.2 最小二乘参数估计
5.2.1 最小二乘法原理 5.2.2 最小二乘估计的批处理算法 5.2.3 最小二乘估计量的统计性质
5.2.4 参数个数的递推
5.2.1 最小二乘法原理
假设z是一根金属轴的长度, t是该金属轴的温度，希望 确定轴长 z 和温度 t 之间的关系。
具体方法是：首先在不同温度t下对变量z进行观测，得 到试验数据；然后根据试验数据，寻找一个函数去拟 合它们，同时要确定该函数关系式中的未知参数的值。 假设已经确定了模型的类型和结构，即轴长z和温度t之 间有如下的线性关系 z=z0 (1+αt ) 式中，z0是0℃时金属轴的长度，α是膨胀系数。
(5.19)
当 ΦT ( N )WΦ( N )非奇异时，可求得加权最小二乘估 计量为
1) 明确建模目的和验前知识：目的不同，对模型的 精度和形式要求不同；事先对系统的了解程度。 2) 实验设计：变量的选择，输入信号的形式、大 小，正常运行信号还是附加试验信号，数据采样速 率，辨识允许的时间及确定量测仪器等。 3) 确定模型结构：选择一种适当的模型结构。
4) 参数估计：在模型结构已知的情况下，用实验方 法确定对系统特性有影响的参数数值。 5) 模型校验：验证模型的有效性。
（5.8）
式中， e(k) 称为残差，表示用观测值 {y(i)} 取代模型 (5.7)式的计算结果产生的误差。 取
J e 2 (i )
i 1 N
（5.9）
作为模型参数估计的准则函数，则使 J 为极小的参 数估计就是最小二乘估计。 a 令 e(1) y(1)
1
an θ b1 bn
J a
ˆ aa ˆ bb
ˆ )0 ˆ bt 2 ( yi a i
i 1
N
J b
ˆ aa ˆ bb
ˆ )t 0 ˆ bt 2 ( yi a i i
i 1
N
ˆ 由下列方程组确定 ˆ 和b 因此， a
N ˆ N ˆ yi b t i aN i 1 i 1 N N N 2 b ˆ t a ˆ t i yi t i i i 1 i 1 i 1
2 k 1 k 1 l l
(1)
anT (k n) b1Q(k 1) bnQ(k n)
2
(2) 那么，所谓热交换器的蒸汽流量 Q与热水温度 T之间 的数学模型辨识问题就是根据所观测的数据{Q(k)}和 {T(k)} ，从模型类（式 1 ）中寻找一个模型，即确定 式(1)中未知参数n和ai和bi(i=1,2, ……,n) ，使准则J（ 式2）取极小值。
(5.5)
N N N N 2 t yi t i t i y i i 1 i 1 i 1 ˆ i 1 i N a N 2 2 N t ( t ) i i i 1 i 1 N N N N t i yi t i yi ˆ i 1 i 1 i 1 b N N N t i2 ( t i )2 i 1 i 1
第5章 基于系统辨识的建模方法
5.1 系统辨识概述 5.2 最小二乘参数估计 5.3 模型的阶次辨识
5.4 仿真建模的步骤
5.5 基于MATLAB的系统模型的估计 小结
5.1 系统辨识概述
5.1.1 系统辨识的定义 5.1.2 系统辨识的有关概念 5.1.3 系统辨识的基本过程
5.1.4 系统辨识方法
建模的目的对建模的要求 建模目的 模型类型 模型精度要求 实时性 要求 有
自适应数字 线性参数 控制 离散模型 数字控制算 线性参数 法的CAD 离散模型
中等（对输入 输出特性而言）
中等（对输入 无 输出特性而言）
无
监视过程参 线性、非线 较高（对系统 数故障诊断 性、参数模 参数而言） 型
5.1.4 系统辨识方法