第5章 基于系统辨识的建模方法

i 1 N
w( N )e 2 ( N )
用矩阵表示，就是
JW εT ( N )Wε( N )
(5.18)
式中，权矩阵W为N维对角线矩阵，并规定它是个 对称正定阵。 ˆ 加权最小二乘估计量 θ LSW 应满足的方程为
T ˆ Φ T ( N )WΦ( N )θ Φ ( N )Wξ ( N ) LSW
系统辨识方法的分类如下图所示：
阶跃函数法 脉冲函数法 经典辨识方法（非参数模型辨识） 频率特性法 相关分析法 模型参数辨识 谱分析法 系 最小二乘法 统 现代辨析方法 梯度法 辨 极大似然法 识 差分方程 线性系统 状态方程 模型验前结构的假定 差分方程 非线性系统 模型结构辨识 状态方程 线性（单变量过程为阶次n） 模型结构参数的辨识 非线性（较复杂）
冷水
Q(蒸汽流量) T(出口温度) 热水
热交换过程示意图
选定一模型类（离散差分方程）：
T (k ) a1T (k 1) anT (k n) b1Q(k 1) bnQ(k n) e(k )
和一个等价准则：
J e (k ) T (k ) a1T (k 1)
（5.8）
式中， e(k) 称为残差，表示用观测值 {y(i)} 取代模型 (5.7)式的计算结果产生的误差。 取
J e 2 (i )
i 1 N
（5.9）
作为模型参数估计的准则函数，则使 J 为极小的参 数估计就是最小二乘估计。 a 令 e(1) y(1)
1
an θ b1 bn
ˆ [Φ T ( N )Φ( N )]1 Φ T ( N )ξ ( N ) θ
(5.17)
ˆ 是根据N组实际观测 (5.17)式所示的参数向量 θ 数据 Φ(N) 和 y 对参数 θ 的估计值。选用的准则是最 小二乘准则，所以称它为最小二乘估计量。为了与 ˆ 表示。显然，估计 其它估计量区别起见，用符号 θ LS ˆ 是被观测数据y的线性函数，所以最小二乘估 量θ LS 计是一种线性估计。 在获得全部数据后进行一次性计算，称为批处理 算法（或离线算法）。
(2) 加权最小二乘法 (5.9)式表示的准则函数中，假定了每次观测都具 有相同的重要性。若考虑到各次观测的不同情况， 则可以在准则函数中引入对每次观测的重视程度因 子（称为权重）w(i)，得
J w w(1)e 2 (1) w(2)e 2 (2) w( i )e 2 ( i )
(5.19)
当 ΦT ( N )WΦ( N )非奇异时，可求得加权最小二乘估 计量为
这里假设待辨识系统的阶次为n。 由于观测数据有误差，实际上观测到的系统输出不是 {z(i)}，而是{y(i)} ，如图5.2所示。
图5.2
将{y(i)}代入（5.7）式，得
y( k ) ai y( k i ) bi u(k i ) e(k )
i 1 i 1 n n
(5.5)
N N N N 2 t yi t i t i y i i 1 i 1 i 1 ˆ i 1 i N a N 2 2 N t ( t ) i i i 1 i 1 N N N N t i yi t i yi ˆ i 1 i 1 i 1 b N N N t i2 ( t i )2 i 1 i 1
2 k 1 k 1 l l
(1)
anT (k n) b1Q(k 1) bnQ(k n)
2
(2) 那么，所谓热交换器的蒸汽流量 Q与热水温度 T之间 的数学模型辨识问题就是根据所观测的数据{Q(k)}和 {T(k)} ，从模型类（式 1 ）中寻找一个模型，即确定 式(1)中未知参数n和ai和bi(i=1,2, ……,n) ，使准则J（ 式2）取极小值。
建模的目的对建模的要求 建模目的 模型类型 模型精度要求 实时性 要求 有
自适应数字 线性参数 控制 离散模型 数字控制算 线性参数 法的CAD 离散模型
中等（对输入 输出特性而言）
中等（对输入 无 输出特性而言）
无
监视过程参 线性、非线 较高（对系统 数故障诊断 性、参数模 参数而言） 型
5.1.4 系统辨识方法
v u 被识系统 y + + z + zm e 准则函数
z
可调模型
ˆ
参数迭代估计算法
辨识的迭代估计法原理图
5.1.3 系统辨识的基本过程
辨识的目的 及先验知识
实 验 设 计
被识 系统 的输 入和 输出 数据
确定模型结构
参数估计 模型校验
满意?
N
Y
最终模型
系统辨识的一般步骤
系统辨识大致分为下述几个步骤：
5.1.2 系统辨识的有关概念
辨识的目的是根据系统所提供的观测数据，估计出 模型的一组未知参数 θ=(θ1,θ2, …, θm)T,使准则 J的值 最小。估计方式有： (1) 直接方式（开环方式）对准则函数 J ，如果能利 用数学关系推出 J (j=1,2,…,m)，令其等于零，即
j
v u 被识系统 y + + z + zm e 准则 函数 参数直接 估计算法
通常采用各次误差的平方和作为总误差
J vi2 yi (a bt i )
j 1 i 1 N N 2
（5.4）
这个误差平方和函数就是在估计参数时所采用的准 则函数 ( 或称为性能指标 ) 。由于平方运算也称为“二 乘”运算，因此，按照这种原则来估计参数 a和 b的值 的方法称为最小二乘估计法(LS法)。 要使 J 达到极小值，只需分别对 a 和 b 求偏导数，并 令它们等于零。a和b的估计值应满足下列条件
如果令z0=a，z0α =b，则上述函数关系可写成 z=a+bt （5.1) 每次观测中总带有测量误差。因此，每次观测所得 的轴长并不是真正的轴长zi，而是yi。yi可写成 yi=zi(真值)+vi(随机观测误差) 或 yi=a+bti+vi （5.2)
式中，yi是可观测的随机变量，ti是可观测的独立变 量(非随机变量)，vi是不可预测的随机性观测噪声，a 和b是待估计的未知参数。 根据N次观测数据{ti, yi},i=1,…N，来估计出模型 (5.1) 中的未知参数a和b的值。
u(0) u(1)
y( N n) u( N 1)
u(1 n) u(2 n) （5.11） u( N n)
式中， θ是待估计的 2n维参数向量； ζ(N)是 N维观测向 量； ε(N) 是 N 维误差向量； Φ(N) 是 N2n 维数据矩阵。 (5.8)式和(5.9)
得
(5.6)
ˆ称为最小二乘估计量(LSE)。 ˆ 和b 通常将 a
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5.2.2 最小二乘估计的批处理算法
把上述最小二乘法原理应用到 离散模型(5.7)
z( k ) ai z( k i ) bi u( k i )
i 1 i 1 n n
k 1, 2,
,N
(5.7)
5.1.1 系统辨识的定义
1. 1962 年，扎德：“辨识就是在输入和输出数据 的基础之上，从一组给定的模型类中，确定一个与 所测系统等价的模型。” 2. 1978年，L.Ljung：“辨识有三个要素：数据、 模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一模型类 中选择一个与数据拟合得很好的模型。” 例如，一个热交换过程，如下图所示。
1) 明确建模目的和验前知识：目的不同，对模型的 精度和形式要求不同；事先对系统的了解程度。 2) 实验设计：变量的选择，输入信号的形式、大 小，正常运行信号还是附加试验信号，数据采样速 率，辨识允许的时间及确定量测仪器等。 3) 确定模型结构：选择一种适当的模型结构。
4) 参数估计：在模型结构已知的情况下，用实验方 法确定对系统特性有影响的参数数值。 5) 模型校验：验证模型的有效性。
第5章 基于系统辨识的建模方法
5.1 系统辨识概述 5.2 最小二乘参数估计 5.3 模型的阶次辨识
5.4 仿真建模的步骤
5.5 基于MATLAB的系统模型的估计 小结
5.1 系统辨识概述
5.1.1 系统辨识的定义 5.1.2 系统辨识的有关概念 5.1.3 系统辨识的基本过程
5.1.4 系统辨识方法
ξ( N ) Φ( N )θ ε( N )
（5.12） （5.13）
J εT ( N )ε( N )
(1) 普通最小二乘法
将(5.12)式代入(5.13)式，可得
J ξ( N ) Φ( N )θ ξ( N ) Φ( N )θ
T
ξT ( N )ξ( N ) θT ΦT ( N )ξ( N ) ξT ( N )Φ( N )θ θT ΦT ( N )Φ( N )θ (5.14)
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5.2 最小二乘参数估计
5.2.1 最小二乘法原理 5.2.2 最小二乘估计的批处理算法 5.2.3 最小二乘估计量的统计性质
5.2.4 参数个数的递推
5.2.1 最小二乘法原理
假设z是一根金属轴的长度, t是该金属轴的温度，希望 确定轴长 z 和温度 t 之间的关系。
具体方法是：首先在不同温度t下对变量z进行观测，得 到试验数据；然后根据试验数据，寻找一个函数去拟 合它们，同时要确定该函数关系式中的未知参数的值。 假设已经确定了模型的类型和结构，即轴长z和温度t之 间有如下的线性关系 z=z0 (1+αt ) 式中，z0是0℃时金属轴的长度，α是膨胀系数。
将J对θ求导，得