电子能带理论
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2
x （ 2m 1) (2m 1) a ,波函数振幅为2A.........波. 腹
4
2
11
E
E7
3 2
a
aa
E6
0
a
2 a
3 EEEEE41325 k
a
E ~ k 曲线的表达图式
12
（3）布洛赫理论（Bloch theory): 三维晶体结构
• 晶体结构具有周期性电子所处势场 V(x) 是周期函数，
这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。
只有在 uk (x) 等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。
14ຫໍສະໝຸດ Baidu
因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。
• 在一定波长和角度时幅度为零（对应能隙）
• 其它位置原子能级被调幅（有增有减）成为能带。
电子可在外场作
用下跃迁到高一
级的能级形成电
流。故称为导带。
E
c、空带：各能级都没有被电子填充的能带
d、价带：价电子所处的带称为价带
17
e、金属、半导体、绝缘体的能带结构
导体：价带是导带或等效导带
导带
空带
空带
满带
满带
满带
重叠
相连
绝缘体：只有满带和空带，且禁带宽度较大
Eg 禁带
空带
(Eg 3 ~ 6eV )
因为当有N个相同的自由原子时，每个原子内的电子有相同的 分立的能级，它们是N重简并的，当这N个原子逐渐靠近时，原 来束缚在单原子中的电子，不能在一个能级上存在（违反泡利不 相容原则）从而只能分裂成N个非常靠近的能级（10-22ev），因为 能量差甚小，可看成能量连续的区域，称为能带。
8
电
电 子
2p 2s
例如金刚石中两个碳原 3 ~ 6eV 子相距15纳米时，
满带
Eg=5.33电子伏。 18
半导体：价带是满带，但是禁带宽度较小
空带
Eg 禁带 0.1 ~ 2eV
满带
(Eg 0.1 ~ 2eV )
例如硅Eg=1.14电子伏，锗 Eg=0.67电子伏，砷化镓
Eg=1.43电子伏。
导体、半导体、绝缘体的不同，主要是能带结构不同
第二章 电子能带理论
教学目的：
●掌握近自由电子近似方法、 ●理解能带的物理意义、能带的形成 ●理解布里渊区概念 ●了解密度泛函理论基本思想
1
2.1近自由电子近似
一、能带的形成
零势场中的电子 H 2 2 2m
单电子的运动 — 势场的单电子：
自由电子的运动： V(r) 0
加一项其他粒子对电子的作用势
k
u (r k
Rn
)
(r)
u k
(r)eikr;
其中u
(r )
k
u k
(r
Rn
)
13
布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子
波函数为：一个自由电子波函数 ei与k x一个具有
晶体结构周期性的函数 uk (的x) 乘积。
它是按照晶格的周期 a 调幅的平面波，通解称
布洛赫波，调幅函数与晶体周期相同
n=2
子 能
能
量
量
1s n=1
孤立原子的能级
2p 2s n=2
1s n=1 原子间距 能级分裂
分裂的能级数计算： 两个原子组成晶体时 2s能级分裂为二个能级； 2p能级本身是三度简并，分裂为六个能级。
9
能带
E
2p
禁带
禁带
2s
1s
o
原子间距
10
（2）电子的Bragg散射与能带
电子被晶格散射后的波：
能带模型：
• 其一：近自由电子近似 • 其二：紧束缚近似、克隆尼克 — 潘纳近似、
瓦格纳 — 赛茨近似、原胞和原子轨道线性组合法
二、能带形成的微观解释：
（1）外层电子共有化
4
晶体中电子的运动
a. 原子的能级
b.电子的共有化运动
+
+
+
原子的能级（电子壳层）
5
+
+
+
+
+
+
+
原子结合成晶体时晶体中电子的共有化运动
问题：a、能带理论 b、能带模型 c、能隙的宽度可用来区分
15
（4）能带理论解释导体、半导体、绝缘体形成
a、满带：各能级都被两个自旋相反电子填满的能带
满带
E
当电子从原来状态转移到另一状态时，另一电子必作相反的转 移，没有额外的定向运动。满带中电子不能形成电流。
16
b、导带：能级没有被电子填满的能带 导带
20
晶格的周期性
1 晶格周期性的描述 —— 原胞和基矢
晶格共同特点 —— 周期性，可以用原胞和基矢来描述
• 周期势函数可展开成级数： 单电子的运动 — 势场的单电子， 其它粒子对电子的作用看作势
H 2 2 V (r) 2m
V
(r )
V0
Vneikr
V
(r
Rn )
n1
• 代入单电子薛定谔方程：
H(r) [
2
2
V
(r )]
E(r)
2m
求得通解：
(r)
u (r)eikr; 其中u (r)
k
金属导电与半导体导电的差别：金属导电的载流子是自 由电子，半导体导电的载流子是导带中的电子和价带中 的空穴。
19
2.2 布里渊区理论
• 描述能带结构的模型 — 布里渊区理论：
格矢量：
Rn
n1a1 n2a2 n3a3
定
义：
ai
bj
2 ij
倒格矢： Gl l1b1 l2b2 l3b3
1 2Acos(2kx) cos(2vt)
x m ma时， 电子波函数振幅为2A............波腹
2
x （ 2m 1) (2m 1) a ,波函数振幅为0.........波. 节
4
2
2 Ae j 2kxe j 2vt Ae j 2kxe j 2vt
x m ma时， 电子波函数振幅0............波节
H 2 2 V (x) 2m
一维晶体的Schodinger方程：
[
2 2m
d2 dx2
V
(x)]
E
2
n
电子在周期性V的(势x场)中运V动0 ，满足：Vnei2nz / a N 1
V (x) V (x a)
E
h2 2m
(n) 2a
V0
| Vn
|
E0
| Vn
|
3
能带理论：
• 求解金属晶体中电子的容许能态的能带模型
6
U • r
单个原子
U
• •
r
两个原子
U
r 由于晶体中原子的周期
• • •••
E2
性排列而使价电子不再
E1
为单个原子所有的现象，
晶体中周期性势场
称为电子的共有化。
7
对大量原子有规则地排列成晶体时，由于原子离得很近， 每个电子不仅受到本身原子核的作用，而且受到邻近原子 核的影响,内层电子因受原子核的牢牢束缚而影响较小；价 电子或外层电子却不同，外层电子受邻近原子的作用更强， 容易脱离原来的原子而进入到其他原子当中。 即电子不再 分属各个原子所有，而是属于整个原子所共有，这称电子 的共有化。
x （ 2m 1) (2m 1) a ,波函数振幅为2A.........波. 腹
4
2
11
E
E7
3 2
a
aa
E6
0
a
2 a
3 EEEEE41325 k
a
E ~ k 曲线的表达图式
12
（3）布洛赫理论（Bloch theory): 三维晶体结构
• 晶体结构具有周期性电子所处势场 V(x) 是周期函数，
这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。
只有在 uk (x) 等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。
14ຫໍສະໝຸດ Baidu
因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。
• 在一定波长和角度时幅度为零（对应能隙）
• 其它位置原子能级被调幅（有增有减）成为能带。
电子可在外场作
用下跃迁到高一
级的能级形成电
流。故称为导带。
E
c、空带：各能级都没有被电子填充的能带
d、价带：价电子所处的带称为价带
17
e、金属、半导体、绝缘体的能带结构
导体：价带是导带或等效导带
导带
空带
空带
满带
满带
满带
重叠
相连
绝缘体：只有满带和空带，且禁带宽度较大
Eg 禁带
空带
(Eg 3 ~ 6eV )
因为当有N个相同的自由原子时，每个原子内的电子有相同的 分立的能级，它们是N重简并的，当这N个原子逐渐靠近时，原 来束缚在单原子中的电子，不能在一个能级上存在（违反泡利不 相容原则）从而只能分裂成N个非常靠近的能级（10-22ev），因为 能量差甚小，可看成能量连续的区域，称为能带。
8
电
电 子
2p 2s
例如金刚石中两个碳原 3 ~ 6eV 子相距15纳米时，
满带
Eg=5.33电子伏。 18
半导体：价带是满带，但是禁带宽度较小
空带
Eg 禁带 0.1 ~ 2eV
满带
(Eg 0.1 ~ 2eV )
例如硅Eg=1.14电子伏，锗 Eg=0.67电子伏，砷化镓
Eg=1.43电子伏。
导体、半导体、绝缘体的不同，主要是能带结构不同
第二章 电子能带理论
教学目的：
●掌握近自由电子近似方法、 ●理解能带的物理意义、能带的形成 ●理解布里渊区概念 ●了解密度泛函理论基本思想
1
2.1近自由电子近似
一、能带的形成
零势场中的电子 H 2 2 2m
单电子的运动 — 势场的单电子：
自由电子的运动： V(r) 0
加一项其他粒子对电子的作用势
k
u (r k
Rn
)
(r)
u k
(r)eikr;
其中u
(r )
k
u k
(r
Rn
)
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布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子
波函数为：一个自由电子波函数 ei与k x一个具有
晶体结构周期性的函数 uk (的x) 乘积。
它是按照晶格的周期 a 调幅的平面波，通解称
布洛赫波，调幅函数与晶体周期相同
n=2
子 能
能
量
量
1s n=1
孤立原子的能级
2p 2s n=2
1s n=1 原子间距 能级分裂
分裂的能级数计算： 两个原子组成晶体时 2s能级分裂为二个能级； 2p能级本身是三度简并，分裂为六个能级。
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能带
E
2p
禁带
禁带
2s
1s
o
原子间距
10
（2）电子的Bragg散射与能带
电子被晶格散射后的波：
能带模型：
• 其一：近自由电子近似 • 其二：紧束缚近似、克隆尼克 — 潘纳近似、
瓦格纳 — 赛茨近似、原胞和原子轨道线性组合法
二、能带形成的微观解释：
（1）外层电子共有化
4
晶体中电子的运动
a. 原子的能级
b.电子的共有化运动
+
+
+
原子的能级（电子壳层）
5
+
+
+
+
+
+
+
原子结合成晶体时晶体中电子的共有化运动
问题：a、能带理论 b、能带模型 c、能隙的宽度可用来区分
15
（4）能带理论解释导体、半导体、绝缘体形成
a、满带：各能级都被两个自旋相反电子填满的能带
满带
E
当电子从原来状态转移到另一状态时，另一电子必作相反的转 移，没有额外的定向运动。满带中电子不能形成电流。
16
b、导带：能级没有被电子填满的能带 导带
20
晶格的周期性
1 晶格周期性的描述 —— 原胞和基矢
晶格共同特点 —— 周期性，可以用原胞和基矢来描述
• 周期势函数可展开成级数： 单电子的运动 — 势场的单电子， 其它粒子对电子的作用看作势
H 2 2 V (r) 2m
V
(r )
V0
Vneikr
V
(r
Rn )
n1
• 代入单电子薛定谔方程：
H(r) [
2
2
V
(r )]
E(r)
2m
求得通解：
(r)
u (r)eikr; 其中u (r)
k
金属导电与半导体导电的差别：金属导电的载流子是自 由电子，半导体导电的载流子是导带中的电子和价带中 的空穴。
19
2.2 布里渊区理论
• 描述能带结构的模型 — 布里渊区理论：
格矢量：
Rn
n1a1 n2a2 n3a3
定
义：
ai
bj
2 ij
倒格矢： Gl l1b1 l2b2 l3b3
1 2Acos(2kx) cos(2vt)
x m ma时， 电子波函数振幅为2A............波腹
2
x （ 2m 1) (2m 1) a ,波函数振幅为0.........波. 节
4
2
2 Ae j 2kxe j 2vt Ae j 2kxe j 2vt
x m ma时， 电子波函数振幅0............波节
H 2 2 V (x) 2m
一维晶体的Schodinger方程：
[
2 2m
d2 dx2
V
(x)]
E
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n
电子在周期性V的(势x场)中运V动0 ，满足：Vnei2nz / a N 1
V (x) V (x a)
E
h2 2m
(n) 2a
V0
| Vn
|
E0
| Vn
|
3
能带理论：
• 求解金属晶体中电子的容许能态的能带模型
6
U • r
单个原子
U
• •
r
两个原子
U
r 由于晶体中原子的周期
• • •••
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性排列而使价电子不再
E1
为单个原子所有的现象，
晶体中周期性势场
称为电子的共有化。
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对大量原子有规则地排列成晶体时，由于原子离得很近， 每个电子不仅受到本身原子核的作用，而且受到邻近原子 核的影响,内层电子因受原子核的牢牢束缚而影响较小；价 电子或外层电子却不同，外层电子受邻近原子的作用更强， 容易脱离原来的原子而进入到其他原子当中。 即电子不再 分属各个原子所有，而是属于整个原子所共有，这称电子 的共有化。