牛顿迭代法及其应用教学提纲

编号毕业设计（论文）题目 Newton Raphson 算法及其应用二级学院数学与统计学院专业信息与计算科学班级108010101学生姓名侯杰学号10801010106指导教师职称时间目录摘要 (3)Abstract (3)一、绪论 (4)1.1 选题的背景和意义 (4)1.2 牛顿迭代法的优点及缺点 (4)二、Newton Raphson 算法的基本原理 (5)2.1 Newton Raphsn算法 (5)2.2 一种修正的Newton Raphsn算法 (7)2.3 另外一种Newton Raphsn算法的修正 (11)三、Newton Raphson 算法在计算方程中的应用 (18)四、利用牛顿迭代法计算附息国债的实时收益率 (21)4.1附息国债实时收益率的理论计算公式 (22)4.2附息国债实时收益率的实际计算方法 (22)4.3利用牛顿迭代法计算 (23)五、结论 (26)致谢 (27)参考文献 (28)摘要牛顿在17世纪提出的一种近似求解方程的方法，即牛顿拉夫森迭代法.迭代法是一种不断的用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或被称为一次解法，即一次性解决的问题.迭代法又分为精确迭代以及近似迭代.“牛顿迭代法”就属于近似迭代法，本文主要讨论的就是牛顿迭代法，方法本身的发现到演变到修正的过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，以及用牛顿迭代法解方程，利用牛顿迭代法计算国债的实时收益率。

关键词：Newton Raphson迭代算法；近似解；收益率；AbstractIn the 17th century，Newton raised by an approximate method of solving equations，that is Newton Iteration，a process of recursion new value constantly with the old value of variable. Correspond with the iterative method is a direct method or as a solution，that is a one-time problem solving. Iteration is divided into exact iterative and approximate iterative. "Newton Iterative Method" are approximate iterative method. This article mainly focuses on the Newton Iteration. The main contents of this article include the discovery，evolution and amendment process of this methods; an improve of avoiding calculating Newton Iteration with second-order derivative; Newton Raphson iterative method of solving equations and Calculating the real-time yield of government bonds. Keywords: Newton Iterative Algorithm; approximate solution; Yield；一、绪论1.1 选题的背景和意义牛顿拉夫森迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数)f的泰勒级数的前面几项来寻找(x方程0f的根。

牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程x)(=xf的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时(=)线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。

利用牛顿迭代法来解决问题需要做好的工作：（1）确定迭代变量。

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

（2）建立迭代关系式。

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。

迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

（3）对迭代过程进行控制。

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。

不能让迭代过程无休止地重复执行下去。

迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。

对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

1.2 牛顿迭代法的优点及缺点迭代法是求方程近似根的一个重要方法，也是计算方法中的一种基本方法，它的算法简单，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。

牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程0f的单根附近具有平方收敛，x(=)而且该法还可以用来求方程的重根、复根。

牛顿法是方程求根的一个有力方法，常常能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。

假定有一个函数)(x f y =，方程0)(=x f 在r x =处有一个根，对于此根，先估计一个初始值 0x （可以是猜测的）。

得到一个更好的估计值1x 。

为此0)(x x f =处作该曲线切线，并将其延长与x 轴相交。

切线与x 轴的交点通常很接近r ，我们用它作为下一个估计值1x ，求出1x 后，用1x 代替0x 。

重复上述过程，在1x x =处作曲线的另一条切线，并将其延长至与x 轴相交，用切线的x 轴截距作为下一个近似值2x ……这样继续下去，所得出的这个x 轴截距的序列通常迅速接近根r 。

缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不到收敛的结果。

再者，牛顿迭代法计算量比较大。

因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。

二、Newton Raphson 算法的基本原理2.1 Newton Raphsn 算法牛顿迭代法(Newton method )又称为牛顿-拉夫森方法(Newton-Rapfson method )，它是牛顿在17世纪提出的一种近似求解方程的方法.多数方程不存在的求根公式，因此求精确根相当困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就会显得特别重要.方法在使用函数)(x f 的泰勒级数的前面几项来寻找方程0)(=x f 的根.牛顿迭代法是求方程的根的重要方法之一，其最大的优点是在方程0)(=x f 的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根.牛顿迭代法方法简单，每次迭代都是简单的去重复运算，易于编制程序；与求解线性方程的精确法相比较，简单迭代法对于字长位数较少的计算机更加的适用，它可以用增加迭代的次数来弥补字长位数少的不足.初值可以任意的取，因而中间结果偶然的错误不影响最后结果的获得。

多数情况下是得不到一般的数学方法所需的函数表达式，或者难以找到原函数。

线性方程组中的求解更是让人望而生畏，往往因为计算机的工作量太大而无法实施。

对于这些问题，都可以利用数值的方法来求解，在计算机中实现的数值方法也被称之为数值算法。

牛顿迭代法是数值分析中一个重要的计算方法和思想。

迭代法的一个主要功能：计算方程时可以比较的快速。

解非线性方程0)(=x f 的Newton-Rapfson 算法是把非线性的方程线性化为一种近似方法.把)(x f 的0x 点附近展开泰勒(Taylor ）级+-+-+=!2)()()()()()(0''200'00x f x x x f x x f x f x f . 取其线性部分用来作为非线性方程0)(=x f 的近似方程，则有：0))(()(00'0=-+x x x f x f .设0)(0'≠x f ，则其解为： )()(0'001x f x f x x -=. 再把)(x f 在1x 附近展开泰勒(Taylor )级数，取其现行部分作为0)(=x f 的近似方程.若0)(0'≠x f ，则得：)()(1'112x f x f x x -=. 这样，得到牛顿(Newton-Rapfson )算法的一个迭代的序列：)()('1n n n n x f x f x x -=+. 牛顿迭代法有十分明显的几何意义，如下图所示：当选取初值0x 以后，过（0x ，)(0x f ）做)(x f 的切线，其切线的方程为：))(()(00'0x x x f x f y -=-. 求此切线方程和x 轴的交点，即得： )()(0'001x f x f x x -=. 牛顿迭代法正因为有这一明显的几何意义，所以也叫切线法.：2.2 一种修正的Newton Raphsn 算法给出了牛顿(Newton-Rapfson )算法的一种修正的形式，并证明了当21≠r 时修正的牛顿(Newton-Rapfson )算法是二阶收敛的，当参数21=r 时是三阶收敛时，数值实验得出结果，与经典牛顿迭代法相比，该修正牛顿(Newton-Rapfson )算法具有一定的优势.众所周知的，数值求解非线性方程0)(=x f 的根的方法很多.经典的牛顿迭代法是非线性方程组求根的一个基本的方法，它二次收敛到单根，线性收敛到重根.牛顿 图1法因收敛速度快而得到广泛应用，也倍受学者的重视，近年来很多文献中提出各种改进的牛顿方法.文献［8］中利用Newton-Rapfson 迭代法和微分中值定理“中值点”的渐进性，提出的一种多点迭代的算法.设)(x f 满足下述条件：[]b a c x f ,)(2∈，0)()(<b f a f .0)('≠x f ，)(''x f 在[]b a ,上保号。

（A)根据微分中值定理，即存在),(b a ∈ξ，使得：)()()('ξf a b a f b f =--，而21lim =--→a b a a b ξ. 因此，当b 与a 的距离无限接近时有：)(21a b a -+≈ξ.也就是说，在区间),(b a 不甚大的时候，中值点ξ一定在其渐近的位置)(21a b a -+≈ξ附近，并随区间变小而趋于其渐近的位置.图所示的迭代算法构造图本方案基于上述考虑，给出一种通过迭代点而选取另一个点，利用两个点进行迭代求近似根的新方法.这种方法虽然在迭代中又只利用了一个其它的点，但其计算精度却相当的高，它的某一种特殊情形恰是通常的Newton-Rapfson 迭代算法.为了更加直图2观起见，我们通过几何直观图来构造这种迭代算法.设)(x f 满足条件(A)，当选定初值0x(仅要求0)()(''0>⋅x f x f )，如图所示，作交点的切线交x 轴于B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,)()(0'00x f x f x ，AQ 线段的斜率为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)()()()()(0'0000'000x f x f x x x f x f x f x f . 由微分中值定理得知，存在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈00'00,)()(x x f x f x ξ使得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)()()()()(0'0000'000x f x f x x x f x f x f x f )(0'x f =. 而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≈)()(21)()(0'000'00x f x f x x f x f x ξ，因此，我们取数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21r ，在点 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----)()()1(,)()()1(0'000'00x f x f r x f x f x f r x P 作切线PC ，图中AD 平行于PC.即用点P 的导数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)()()1(0'00'x f x f r x f 取代点A 的导数，而继续用点A 的迭代格式得到的点D 的坐标⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0,)()()1()(0'00'00x f x f r x f x f x D .重复上述过程，得到多点迭代公式： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+)()()1()(''1k k k k k k x f x f r x f x f x x . (1)其中[]b a x k ,∈， ,2,1=k .下面我们对上述事实，从理论上加以严格的证明.定理 设)(x f 满足条件(A)，则由多点迭代公式(1)产生的序列{n x }必收敛于[]b a ,上的唯一a ，这里[]b a x n ,∈，0)(=a f .证明: 函数)(x f 在[]b a ,上连续，由连续函数根的存在定理，从0)()(<b f a f 知道)(x f 在[]b a ,上的根存在，又由条件0)('≠x f 以及)(''x f 保号知道，)('x f 在[]b a ,上不变号，故)(x f 在[]b a ,上是单调函数，因此)(x f 在[]b a ,上的根a 存在且唯一.由定理条件曲线)(x f y =可有如下四种不同的情况：(1)0)(<a f ，0)(>b f ，0)(''>x f ，则)('x f 单调上升，0)()(''>b f a f ；(2)0)(<a f ，0)(>b f ，0)(''>x f ，则)('x f 单调下降，0)()(''>b f a f ；(3)0)(>a f ，0)(<b f ，0)(''>x f ，则)('x f 单调上升，0)()(''>b f a f ；(4)0)(>a f ，0)(<b f ，0)(''<x f ，则)('x f 单调下降，0)()(''>b f a f .通过对自变量的变号或者对函数的变号可将四种情况归结为一种情况，所以我们只需对其情况(一)证明迭代过程(1)收敛就可以了.若初值[]b a x n ,∈，a x >0，所以0)(0>x f ，故有00'00'001)()()1()(x x f x f r x f x f x x <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=)()()1()(0'00'001x f x f r x f x f x x⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-=)()()1())(()()()1())(()(0'00'0'00'00'0'0x f x f r x f a x f x x f x f r x f a x f a f x ξξ.一方面，),(0x a ∈ξ，且)()(0'0a x f x f -=.下证⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<)()()1()(0'00''x f x f r x f x f .若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-->)()()1()(0'00''x f x f r x f x f ，由)('x f 的单调性有：x ，ξ<--)()()1(0'00x f x f r x ，又因)()()()()1(0'000'00x f x f x x f x f r x ->--，因此就有)()()('0'00'ξf x f x f x f <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，与Newton 迭代算法的收敛性矛盾.由(一)的假设及⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<)()()1()(0'00''x f x f r x f f ξ可得： a a x x x f x f r x f a x f x x =->⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=)()()()1())((000'00'0'01ξ.一般地，若a x n =，同样可以证明由式(1)得到1+n x 满足n n x x a <<+1.依极限理论的必有极限.对式(1)两边取极限，由极限理论可求得0)('=a f .再由0)('≠x f ，[]b a x n ,∈，可知函数方程0)(=x f 在[]b a ,上的根是唯一的，因此有a a ='.当1=r 时，式(1)即为Newton-Rapfson 迭代公式.本文给出的这种多点迭代方法不仅可以广泛应用于方程的近似求根，更重要的是它为人们提供了一种新的迭代算法思想，拓宽人们求方程近似求根方面的思路.2.3 另外一种Newton Raphsn 算法的修正Newton-Rapfson 迭代算法是方程求根的一种简单而直观的近似方法，但在实际运用中，我们常常发现到，这种方法仅是利用了迭代点及该点的导数值，而没有充分利用其他点及其导数的值.是否存在可利用的点，这些点我们应怎样的去确定.文[1]给出了一种新的方法，但这种方法求根的关键在适当地去选取0x 和r 或n r .选取不适当时，就会出现某次迭代的值不是迭代序列中的值.因此，我们会问这些值特别是0x 能否不依靠人为选取，而通过迭代点来选取，本文将利用Newton-Rapfson 迭代算法和微分中值定理“中值点”的渐近性，来寻找除迭代点以外的可以利用点，给出一种多点迭代方法.设)(x f 满足下列叙述条件：[]b a c x f ,)(2∈，0)()(<b f a f ；0)('≠x f ，)('x f 在[]b a ,上保号. (A)根据微分中值定理，存在),(b a ∈ξ，使)()()('ξf a b a f b f =--而21lim =--→a b a a b ξ.因此，当b 与a 的距离无限接近时就有：)(21a b a -+≈ξ.也就是说，在区间()b a ,不甚大的时候，中值点ξ一定在其渐近的位置)(21a b a -+≈ξ附近，并随区间变小而趋于其渐近的位置.本方案基于上述考虑，给出一种通过其迭代点选取另一个点，利用两个点去迭代求近似根的新方法.设)(x f 满足下列的条件(A)：(1) )(x f 在区间在区间[]b a ,上存在二阶导数； (2) )('x f 在[]b a ,上不等于零； (3) )(''x f 在[]b a ,上不变号； (4) 0)()(<b f a f ；为了更为直观，我们通过几何直观图来构造多点迭代算法.设)(x f 满足条件(A)，当选定初值0x （仅要求0)()(''0>x f x f ）后，如图所示：做A 点的切线交X 轴于B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,)()(0'00x f x f x ，AQ 线段斜率为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()()()()(0'0000'000x f x f x x x f x f x f x f ；由微分中值定理可知，存在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈00'00,)()(x x f x f x ξ使得：)()()()()()(0'0'0000'000x f x f x f x x x f x f x f x f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--.而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≈)()(21)()(0'000'00x f x f x x f x f x ξ，因此，我们可以取数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21r ，就在点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----)()()1(,)()()1(0'000'00x f x f r x f x f x f r x P 作切线PC ，图中的AD 平行于PC.即用点P 的导数⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()()1(0'00'x f x f r x f 代替点A 的导数，而仍用点A 的迭代格式去得到点D 的坐标图3⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0,)()()1()('0'00k k x f x f r x f x f x D (2)主要对(2)式的分子)(0x f 用)(k x f 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---)()()1()(''k k k k k x f x f r x f x f x f 的和取代，这样就能得到新的迭代公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=+)()()1()()()1()()(''''1k k kk k k k k k k k x f x f r x f x f x f r x f x f x f x f x x . (3)如果令)()()1()('k k x f x f r x x --=μ .)()()('1μf x f x x w x k kk k -==+.则： ())('111x f x f x x k k k μ⎪⎭⎫⎝⎛-=+-+-+. 从而可知(3)式中迭代函数为：()())()()()('x w f x w f x w x -=Φ. 引理1[5] 对于迭代公式)(1k k x x Φ=+，如果p Φ在所求根*x 的邻近连续并且：0)()()(1'''=Φ==Φ=Φ*+**x k x x p ，0)(*)(≠Φx p ，则该公式在*x 的邻近是p 阶收敛的.定理1 设方程)(x f 的根为*x ，函数)(x f 在*x 的的邻域内有至少四阶连续的导数，且0)('≠x f ，则就迭代公式(3)在的*x 邻近至少是三阶收敛的.证明 迭代公式(3)的迭代函数为：))(())(()()('x w f x w f x w x -=Φ，在其中)()()('μf x f x x w k k k -=，由于方程)(x f 的根为*x所以0)(*=x f ，从而可知**)(x x w =，0)(*'=x w ；()3*''*'*'*''))(()()()(x f x x f x w μμ=对)(x Φ求导数得：()()()()()0)()()()()()()()()()(*'2''''''''''''=Φ⇒--=Φx x u f x u x u f x w f x f x w x w f x w x μ；同理可得：()0)()()()()(*''*''*''''''=-=Φ⇒Φ=Φx w x w x x x . 由引理可知迭代公式(3)在*x 邻近至少是三阶收敛的.引理2[4] 假设函数)(x f 在区间[]b a ,上存在二阶导数，且满足下列条件 (1))('x f 在[]b a ,上不等于零； (2))(''x f 在[]b a ,上不变号； (3) 0)()(<b f a f ；(4) 设[]b a x ,∈，且满足条件0)()(''>x f x f ； 则由Newton-Rapfson 迭代法)()(0'1x f x f x x n n n -=+得到序列{}nx 收敛于0)(=x f 的惟一根*x .定理2 假设函数)(x f 在区间[]b a ,上存在二阶导数，且满足下列条件 (1) )('x f 在[]b a ,上不等于零； (2) )(''x f 在[]b a ,上不变号； (3) 0)()(<b f a f ；(4) 设[]b a x ,∈，且满足条件0)()(''>x f x f .则由多点迭代公式(3)得到的序列{}n x 收敛于0)(=x f 的惟一根*x .证明 函数)(x f 在[]b a ,上连续，由连续函数根的存在的定理，从0)()(<b f a f 知道)(x f 在[]b a ,上的根存在，又由条件0)('≠x f 及)(''x f 的保号性可以知道，)('x f 在[]b a ,上不变号，因此)(x f 在[]b a ,上是单调函数，因此)(x f 在[]b a ,上的根*x 存在并且惟一.由定理条件，曲线)(x f y =可有如下四种不同的情况：(a)0)(,0)(,0)(''>><x f b f a f ，则)('x f 单调上升，0)()(''>≥a f b f ； (b) 0)(,0)(,0)(''>><x f b f a f ，则)('x f 单调下降，0)()(''>≥b f a f ； (c)0)(,0)(,0)(''><>x f b f a f ，则)('x f 单调上升，0)()(''<≥b f a f ； (d)0)(,0)(,0)(''<<>x f b f a f ，则)('x f 单调下降，0)()(''<≥a f b f . 通过对自变量的变号或着对函数的变号可以将四种情况归结为一种情况，所以我们只需对其中一种情况证明迭代过程(3)是收敛的就可以了.下面仅就情况(a)证明定理2，其余情况的证明也就类似.对情况(a)来说此时0)(=x f 在[]b a ,上的根存在并且惟一，且)(x f 在[]b a ,上单调递增.首先证明，对任何初始的近似),(*b x x ∈，由迭代公式(3)求出的逐次近似k x 都属于()b x ,*，并且单调递减. 事实上，由引理2的证明我们可以知道，只要),()()()1()(*'b x x f x f r x x k k k k ∈--=μ，就有),(*1b x x k ∈+-，即k k k x x u x <<+-)(1，再由(2)式可以得11+-+<k k x x ，另一方面(2)式可化为：()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-+-+-+-+-+)()(1)()()()(''*1*1''*1'*1*1*1k k k k k k k k k x f f x x x x x f f x x x f x f x f x x x x μξμξμ . 其中的())(,,*1*1k k x x x x μξ⊂⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-.由)('x f 单调递增且0)('>x f 知()1)()(''<k x f f μξ，故0*1>-+-x x k 因而由(3)式产生的序列{}n x 单调递减并且有下界，故n n x ∞→lim 存在.设-∞→=x x n n lim ，(3)式两边当∞→k 时求极限可得：''''(1)0(1)f x f x x x f x f x f x r f x f x f x r f x -----------⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=-+---= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.''''(1)(1)f x f x f x f x f x r f x f x f x r f x ---------⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+--- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.可知 ''0(1)f x f x f x f x f x r f x ------⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭+-= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()b x x f x f r x f x f x x ,)1(,*''∈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛------- ，)(x f 在[]b a ,上单调递增，且0)(*=x f所以：0)1(,0''=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛------x f x f r x f x f x f x f ；因此得：-=x x *.本方法代方法比Newton-Rapfson 算法的收敛速度明显要快，而且对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21r ，r 越大效果越差！当21<r 时，在0*=→x x k 之前迭代格式会产生负值.所以，格式(3)的收敛速度和r 的选取有关.三、Newton Raphson 算法在计算方程中的应用非线性方程求根最为常用的是迭代法。