微分方程应用题
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第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y 的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22sxs x s的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2d d 满足条件1|'0xy 的特解是 .1-6-45、微分方程0d d yxy的通解是 .1-7-46、方程y e y x'的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '的通解是 .1-9-48、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''yy y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y ''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y xsin ''2的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(yy x Q y x P 是全微分方程, 则Q P,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f yx x d ),(0等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22yxy xx y xy 化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(C C e C eC yxx 为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y 2'满足条件0xy 的特解是 .1-19-59、方程0dy1dx2x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'的通解是1-21-61、方程x yxyxy xyd d d d 22化为齐次方程是1-22-62、若t ycos 是微分方程09''yy 的解, 则.1-23-63、若ktCe Q 满足Qdt dQ03.0, 则k.1-24-64、y y 2'的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x 1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r yx 满足的微分方程是1-27-67、ax ae y满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q yx P x的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y是微分方程y xy 2'的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''qypy y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxy xdxy xy写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy 的通解是 ( )A.2x yB.25x y C.2Cx yD.Cxy 2-2-57、微分方程0dy 1dx 2x xy 的通解是 ( ) A.21x eyB.21x CeyC.x C yarcsin D.21xC y 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2x y xB. 0dy dx x yC.0dy)(1dx)1(xy y xy D.dydx)(22xy y x2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A.xxe e 32, B.x x 2sin ,2cos C. x x x sin cos ,2sin D.2ln ,ln xx 2-5-60、方程03'2''y y y 的通解是 ( )A.xxe C eC y 321 B. xxeC eC y 321 C.xx eC eC y 321 D.xxeC e C y3212-6-61、方程0''y y 的通解是 ( ) A.x C ysin B.x C ycos C.x C xycos sin D.xC xC ycos sin 212-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )A.xyyx 33dxdy B.dy 2dx)3(2xy y exC.234dxdy xyyx D.yx xyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cot 'x y y 的通解是 ( ) A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC ycsc2-9-64、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'yy 的通解是 ( )A.C x y2sin B.C eyx24 C.xCe y2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dx dy的通解是 ( )A.C ex2B.Cxe2C.2CxeD.2)(C x e2-12-67、xe y ''的通解为y( )A.xe B.xe C.21C xC exD.21C x C ex2-13-68、微分方程xe21dxdy满足1xy 的特解为 ( )A.1221xeyB.3221x ey C.C ey x212 D.212121xey2-14-69、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( ) A.Cyx2422B.Cyx2422C.2422yxD.12422yx2-15-70、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( )A.222yxB.933yxC.133yxD.13333yx2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32xyB.52xy C.53xey D.5xCe y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )A.2ux yB.22x u yC.ux yD.33xu y2-18-73、设方程)()('x Q y x P y 有两个不同的解21,y y ,若21y y 也是方程的解,则( ) A.B.0 C. 1 D.,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x 的通解是 ( ) A.x Cxy2B. x xC y2sin C.C xy 2cos D.Cxy 22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.xyxy 2'B .xxyy sin 'C .xyy' D.xyy 2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y xy' B.y xy'C.x yy' D.xy y'2-22-77、方程2)3(,0'y yy 的解是 ( )A.xey 32 B.xey 32 C.32x ey D.32x ey 2-23-78、微分方程x y y ln '的通解是 ( ) A.xx eyln B. xx Ceyln C.xx x ey ln D.xx x Cey ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''的解 ( )A. xey22 B.xe y2 C.xey 2 D.xey 22-25-80、方程0sin '''653)4(yy y y x xyy的阶是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2，则这条曲线是( )A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A.xyy x dxdy33B.2)3(2xydy dxy exC. xy yx dxdy D.yx xyy dxdy 3212-28-83、微分方程0cot 'xy y 的通解是 ( )A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC y csc 2-29-84、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx ,则p 的值( )A. 1B. 0C.21D.41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22y x y x y x 3-2-53、0ln 'yy xy 3-3-54、0d sec )2(d tan 32yy e x y e x x3-4-55、yx y y x xy22222')1(3-5-56、yx eye x dxdy3-6-57、0)1()1(xdy y ydxx3-7-58、x x y yy x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-8-59、0)0(,02')1(22y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'e y x y y 3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-11-62、0y)dx -(x dy)(y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y y x 3-13-64、0)2(22dyx dx xy y3-14-65、xy x y xy tan'3-15-66、xyx y x y xy ln)('3-16-67、dxdy xydxdy xy223-17-68、x y yx y', 2|1x y 3-18-69、x y xy y', ey ex|3-19-70、2|,'122xy y xyxy3-20-71、xx yxy sin 1', 1|xy 3-21-72、xex y xy 43'3-22-73、342'xxyy 3-23-74、xyxy ln 11'3-24-75、xeyxxy x21'3-25-76、x xy y sec tan ', 0|0xy 3-26-77、xx yxy sin 1', 1|xy 3-27-78、22112'xy xx y ,|0xy 3-28-79、x x yxy ln ', ey ex|3-29-80、22d dyx xexy x3-30-81、)sin (cos d dy2x xy yx3-31-82、5d dyxyy x3-32-83、02d dy4xyxy x3-33-84、4)21(3131d dy yx yx3-34-85、xyxy x 2d dy23-35-86、xy y '''3-36-87、01)'(''2y yy 3-37-88、01''3y y 3-38-89、y y 3'', 1|0xy , 2|'0xy 3-39-90、223''yy ,1|3xy ,1|'3xy 3-40-91、02''yy 3-41-92、013'4''y y y 3-42-93、0'2''y y y 3-43-94、04'5''y y y 3-44-95、04'3''y y y , 0|0xy , 5|'0xy 3-45-96、029'4''y y y , 0|0x y ,15|'0xy 3-46-97、0'4''4y y y , 2|0x y , 0|'0x y 3-47-98、0'4''4y y y , 2|0xy , 0|'0xy 3-48-99、013'4''y y y , 0|0x y , 3|'0x y 3-49-100、04'4''y y y , 0|0x y , 1|'0xy 3-50-101、xey y y 2'''23-51-102、x eyy xcos ''3-52-103、xex y y y 3)1(9'6''3-53-104、'''22xy y ye3-54-105、123'2''x y y y 3-55-106、''sin 20y yx, 1|xy , 1|xy 3-56-107、52'3''yy y , 1|0xy , 2|'0xy 3-57-108、xe y y y 29'10'',76|0x y ,733|'0x y 3-58-109、xxe yy 4'', 0|0xy , 1|'0xy 3-59-110、xxeyy y 26'5''四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知xxxy t t y tt 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x2.4-4-14、试求x y ''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12x y相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x 满足xx t t t x x 01d sin )(2cos )(, 求)(x .4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22pEpEQ, 最大需求量为1000Q, 求需求函数)(p f Q.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dL L Ak x，（其中0,0Ak）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且A L 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101,投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31. 设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w 证明: )(x w 满足方程0)('wx p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x的3个相异特解,证明1213y y y y 为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).解. 设)(t i i, 由回路电压定律tE dtdi LRisin 0, 即tLE LR dtdisin 0]sin [)(0C dt teLE et i t dtLRLR =]sin [0C dt te LE et t LR LR =)cos sin (2220t L t R LRE CetLR将0|0ti 代入通解得222LRLE C)cos sin ()(2220t L t R LeLRE t i t LR488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w, 阻力为kv R , 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dtdv m ,从而得线性方程gv mk dtdv ,|0tv tmkdtdtCeg km C dt gee v km m k ][, 将0|0tv 代入通解得gkm C)1(t mk eg km v, 再积分得122C gekm gtkm Stmk,将0|0t S 代入求得gkm C 221)1(22t mkeg km gtkm S 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y 1'0, 又弧OP 的长度为x tv dxy 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x , 即2'121'')1(y y x 根据题意, 初始条件为0)0(y , 0)0('y 令p y', 原方程化为2121')1(pp x , 它是可分离变量得方程,解得21)1(112x C pp , 即21)1('1'12x C y y 将0)0('y 代入上式得11C , 故21)1('1'2x y y 而21)1(''1'1'122x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y 积分得22321)1(31)1(C x x y, 将0)0(y 代入上式得322C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dLL A k x ，（其中0,0Ak ）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且AL 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL,|L L x, 解可分离变量得微分方程, 得通解kxCeAL , 将00|L L x 代入通解, 得AL C 0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxeA LAx L )()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31.设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dt dyI31, 解之得通解tCe y103, 将5|0ty 代入通解得5C, 所以国民收入函数为tey 1035492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dtdp,)0(p p , 其中0p 为0t时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kpr p f ),(, d cpp g )(, 则方程为)()(d b k p c k k dtdp ,)0(p p , 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为ckd b eckd b p t p tc k k )(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(p g r p f , 即dpc bpk ,则c kdb p, 从而价格函数pep p t p c k k )(0)()(,取极限:pt p t)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p 0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k ec kk p pdtdp)(0)()(, 所以当p p 0时, 0dtdp,)(t p 单调下降向p 靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
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第十章 微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是 .1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、 方程x y xy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、 axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的 解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dx dy=的通解是 ( )A.2x y = B. 25x y = C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、 微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. x x e C e C y 321+=C. x x e C e C y 321-+=D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( ) A.x C y sin = B.x C y cos = C.x C x y cos sin += D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、 微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、 xe y -=''的通解为=y ( )A.x e --B. xe - C. 21C x C ex++- D. 21C x C e x ++--2-13-68、微分方程xe 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x ey B. 3221-=-x ey C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、 微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、 过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y =2-18-73、 设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、 方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .x yy =' D .xy y -=2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、 微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. x x x Ce y -=ln2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B.02)3(2=++xydy dx y e x C. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-29-84、 已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、 0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、 y xe y e x dx dy +-=- 3-6-57、 0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x 3-9-60、 1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-11-62、 0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、 )ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-65、x yx y xy tan'=-3-15-66、x yx y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、 342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、 22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y 3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y 3-44-95、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y ,15|'0==x y3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y ,2|0==x y ,|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y3-49-100、04'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+3-51-102、x e y y x cos ''+=+ 3-52-103、x e x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --=3-54-105、123'2''+=--x y y y 3-55-106、''sin 20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y3-56-107、52'3''=+-y y y ,1|0==x y ,2|'0==x y3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、xxe y y y 26'5''=+-四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为L , 且AL <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明 1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律tE dt diLRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dt dv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v∴ ⎰--+=+⎰⎰=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v km m k ][, 将0|0==t v 代入通解得 g k m C -=∴ )1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得g k m C 221-=∴ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去tv 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程,解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y 将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL-=,00|LL x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为te y 1035=492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(pp =, 其中p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(pp =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
高中数学中的微分方程应用题
高中数学中的微分方程应用题微分方程是数学中的一个重要分支，也是高中数学的一部分。
它能够描述许多实际问题，并提供解决问题的方法。
本文将聚焦于高中数学中微分方程的应用题，通过一些具体的例子来展示微分方程在实际问题中的应用。
第一节：人口增长模型假设一个城市的人口增长速度与当前人口成正比，可以建立以下微分方程：$\frac{{dp}}{{dt}}=k \cdot p$其中，$p$代表城市的人口数量，$t$代表时间，$k$代表增长率。
以某城市的人口增长为例，已知该城市当前的人口数量为100万，增长率为10%。
我们可以利用上述微分方程来求解未来几年该城市的人口数量。
解微分方程可得：$\frac{{dp}}{{p}}=0.1 \cdot dt$对上式两边同时积分，可得：$\ln|p|=0.1t+C$其中，$C$为常数。
由已知条件可知，当$t=0$，$p=100$。
代入上式得：$\ln|100|=C$解得$C=\ln 100$。
因此，原微分方程的通解为：$\ln|p|=0.1t+\ln 100$化简得：$\ln|p|=0.1t+\ln 100=0.1t+\ln e^{4.60517}$再次化简得：$\ln|p|=0.1t+\ln(e^{4.60517})$$\ln|p|=0.1t+4.60517$取指数得：$p=e^{0.1t+4.60517}$经过计算可得，当$t=10$时，$p\approx22026$。
即在10年之后，该城市的人口数量约为22万。
第二节：放射性衰变模型放射性衰变是非常常见的物理现象，可以使用微分方程来描述。
某放射性元素的衰变速率与其当前的数量成正比，可以建立以下微分方程：$\frac{{dN}}{{dt}}=k \cdot N$其中，$N$代表放射性元素的数量，$t$代表时间，$k$代表衰变常数。
以某放射性元素的衰变为例，已知初始时刻$t=0$时，放射性元素的数量为1000克，衰变常数为0.1年$^{-1}$。
微分方程相关习题和答案
微分方程相关习题和答案微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是函数与其导数之间的关系。
微分方程广泛应用于物理、工程、经济等领域，是解决实际问题的有力工具。
在学习微分方程的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解习题可以加深对微分方程理论的理解和掌握。
下面我将给大家介绍几个微分方程相关的习题和答案。
1. 题目：求解一阶线性微分方程y' + 2xy = 3x。
解答：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。
首先，将方程改写成标准形式y' + p(x)y = q(x)，其中p(x) = 2x，q(x) = 3x。
然后，求出齐次线性微分方程y' + 2xy = 0的通解y_h(x)。
通过分离变量法可得y_h(x) =Ce^{-x^2}，其中C为常数。
接下来，我们猜测特解y_p(x)为形如y_p(x) = Ax + B的一次多项式。
将y_p(x)代入原方程，整理得到2Ax + 2(Ax + B)x = 3x，比较系数可得A = 3/2，B = -1/4。
因此，特解为y_p(x) = (3/2)x - 1/4。
最后，将通解和特解相加，得到原方程的通解为y(x) = Ce^{-x^2} + (3/2)x - 1/4，其中C为常数。
2. 题目：求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解答：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以使用特征方程法求解。
首先，写出特征方程r^2 - 4r + 4 = 0，并求出其特征根r_1 = r_2 = 2。
由于特征根相等，所以通解形式为y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x}，其中C_1和C_2为常数。
如果题目给出了初始条件，可以利用初始条件求解出具体的解。
例如，若已知y(0) = 1和y'(0) = 2，代入通解中的x = 0和x = 0的导数，得到C_1 = 1和C_2 = 1。
微分方程的应用于物理问题练习题及解析
微分方程的应用于物理问题练习题及解析1. 问题描述：在一个平面上，有一条弹性绳，两端固定在两个点上。
弹性绳的形状遵循一维波动方程。
求解弹性绳的形状。
解析：设弹性绳的形状为y(x, t)，其中x为沿绳的长度坐标，t为时间。
根据一维波动方程，有：∂²y/∂t² = v²(∂²y/∂x²)其中，v为波速。
上式是一个二阶线性偏微分方程。
2. 问题描述：一个简谐振子悬挂在天花板上，无摩擦地在竖直方向上运动。
振子的运动遵循二阶线性微分方程，其中含有阻尼项和回复力项。
求解振子的运动方程。
解析：设振子的位移为x(t)，则振子的运动方程可表示为：m(d²x/dt²) + γ(dx/dt) + kx = 0其中，m为振子的质量，γ为阻尼系数，k为回复力的系数。
3. 问题描述：一个电容与一个电感串联，电容的电压与电感的电流满足一阶线性微分方程。
求解电路的响应。
解析：设电容的电压为V(t)，电感的电流为I(t)，则电路的微分方程可表示为：L(dI/dt) + 1/C ∫V(t)dt = V0其中，L为电感的感值，C为电容的容值，V0为给定的电压。
4. 问题描述：在一个水槽中，有一根垂直的金属棒，棒的一端固定在水槽底部，另一端悬空。
棒的温度满足一维热传导方程。
求解棒的温度分布。
解析：设棒的温度为T(x, t)，其中x为沿棒的长度坐标，t为时间。
根据一维热传导方程，有：∂T/∂t = α(∂²T/∂x²)其中，α为热扩散系数。
5. 问题描述：在一个电动机中，有一个旋转轴承。
轴承的运动满足一阶线性微分方程。
求解轴承的运动方程。
解析：设轴承的位移为x(t)，则轴承的运动方程可表示为：m(d²x/dt²) + γ(dx/dt) + kx = F(t)其中，m为轴承的质量，γ为阻尼系数，k为弹性系数，F(t)为外力。
以上是几个物理问题的微分方程求解。
大学数学微分方程练习题及答案
大学数学微分方程练习题及答案微分方程是大学数学中重要的一门学科，它在科学和工程领域中有着广泛的应用。
掌握微分方程的求解技巧对于学生来说至关重要。
以下是一些常见的微分方程练习题及详细解答，希望对你的学习有所帮助。
题目一：求解一阶线性常微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。
求解该微分方程。
解答一：为了求解上述微分方程，我们可以利用一阶线性常微分方程的常数变易法。
首先将方程写成标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。
设通解为$y=e^{\int P(x)dx}u(x)$，其中$u(x)$是一个待定的函数。
将该通解代入原微分方程中，经过简化后得到：$u(x)=\int e^{-\int P(x)dx}Q(x)dx+C$，其中$C$是常数。
因此，该微分方程的通解为$y=e^{\int P(x)dx}(\int e^{-\intP(x)dx}Q(x)dx+C)$。
题目二：求解分离变量的微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，其中$f(x)$和$g(y)$是已知的函数。
求解该微分方程。
解答二：为了求解上述微分方程，我们可以利用分离变量的方法。
首先将方程重写为$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$。
对两边同时积分，得到$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$。
经过积分运算后可得到$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$，其中$C$是常数。
因此，该微分方程的通解为$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$。
题目三：求解二阶常系数齐次线性微分方程给定微分方程：$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$，其中$a$和$b$是已知的常数。
第七章 微分方程经典例题
第七章 微分方程例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为62.0dtdVQ ⋅=＝孔口截面面积 重力加速度,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ①设在微小的时间间隔],,[t t t ∆+水面的高度由h 降至,h h ∆+则,2dh r dV π-=,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ②比较①和②得:,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h gdt ---=π,1000==t h ,101514262.05⨯⨯=∴gC π所求规律为 ).310107(265.45335h h gt +-⨯=π例10 求解微分方程.2222xyy dyy xy x dx -=+-解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫⎝⎛x y x y x y x y 令,xy u =则,dx dux u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--112212121u u u u ,x dxdu = 两边积分得,ln ln ln 21)2ln(23)1ln(C x u u u +=----整理得.)2(12/3Cx u u u =--所求微分方程的解为 .)2()(32x y Cy x y -=-例13 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面 ——旋转抛物面. 解 设旋转轴Ox 轴，光源在),0,0( ),(:x y y L =设),(y x M 为L 上任一点，MT 为切线，斜率为,y 'MN 为法线，斜率为,1y '-,NMR OMN ∠=∠ ,t a n t a n N M R O M N ∠=∠∴由夹角正切公式得,11tan y x y x yy OMN '--'-=∠ ,1t a n y N M R '=∠ 得微分方程 ,02=-'+'y y x y y ,12+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-='y x yxy 令 ,x y u =方程化为 ,112uu dx du x u +±-=+ 分离变量得,1)1(22xdxu u udu -=+±+ 令 ,122t u =+得,)1(xdxt t tdt -=±积分得 ,ln |1|ln xCt =± 即.112±=+x C u平方化简得,2222x CxC u += 代回,xyu =得 .222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x C y所求旋转轴为Ox 轴得旋转抛物面的方程为 .2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+C x C z y 例14（E07）设河边点O 的正对岸为点A , 河宽h OA =, 两岸为平行直线, 水流速度为a, 有一鸭子从点A 游向点O , 设鸭子(在静水中)的游速为)(a b b >, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 求鸭子游过的迹线的方程.解 设水流速度为),|(|a a a =鸭子游速为),|(|b b b = 则鸭子实际运动速度为.b a v += 取坐标系如图，设在时刻t 鸭子位于点),,(y x P 则鸭子运动速度},,{},{t t y x y x v v v == 故有.yxt t v v y x dy dx ==现在),0,(a a = 而,be b = 其中e 为与PO 同方向的单位向量. 由},,{y x PO -=故,},{22y x y x e +-=于是},,{22y x yx b b +-==+=b a v .,2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-y x byy x bxa 由此得微分方程,22yx by y x a v v dy dx y x++-== 即 ,12y xy x bady dx ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 初始条件为.0|==h y x 令,u yx =则,yu x =,u dy du y dy dx +=代入上面的方程,得,12+-=u ba dy du y分离变量得,12dy byau du -=+ 积分得),ln (ln C y b a arshu +-=即b a Cy sh u /)ln(-=],)()[(21//b a b a Cy Cy -=-故].)()[(21])()[(2/1/1//b a b a b a b a Cy Cy CCy Cy y x +---=-=将初始条件代入上式得,/1h C =故所求迹线方程为 2h x =,/1/1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a b a h y h y .0y h ≤≤一、一阶线性微分方程 形如)()(x Q y x P dxdy=+ (3.1) 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当,0)(≡x Q 方程(3.1)成为0)(=+y x P dxdy(3.2) 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.方程(3.2)的通解.)(⎰-=dx x P Ce y (3.3)其中C 为任意常数.求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为 ,)()(⎰-=dxx P ex u y一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为[]⎰-⎰+=⎰dx x P dx x P e C dx e x Q y )()()( (3.5)二、伯努利方程：形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ (3.7) 的方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n .伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以ny ，得),()(1x Q y x P dxdyy n n=+-- 或 ),()()(1111x Q y x P y nn n =+'⋅--- 于是，令nyz -=1，就得到关于变量z 的一阶线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+. 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解.)1)(()()1()()1(1⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰⎰⎰----C dx e n x Q e y dx x P n dx x P n n 例5（E03）求方程0)12(23=-+dy xy dx y 的通解.解 当将y 看作x 的函数时，方程变为2321xy y dx dy -=这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将x 看作y 的函数，方程改写为1223=+x y dydxy 则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为0223=+x y dy dx y 分离变量，并积分得,2⎰⎰-=y dy x dx 即211yC x = 其中1C 为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为,1)(2y y u x =代入原方程,得yy u 1)(=' 积分得 C y y u +=||ln )(故原方程的通解为)||(ln 12C y yx +=，其中C 为任意常数.例6（E04）在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L 的汽油，其中包含100g 的添加剂. 为冬季准备，每升含2g 添加剂的石油以40L/min 的速度注入存储罐. 充分混合的溶液以45L/min 的速度泵出. 在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？解 令y 是在时刻t 罐中的添加剂的总量. 易知100)0(=y . 在时刻t 罐中的溶液的总量 ()()t t t V 5800045408000-=-+= 因此，添加剂流出的速率为()()()()tt y t t y t V t y 58000454558000-=⋅-=⋅溶液流出的速率 添加剂流入的速率80402=⨯，得到微分方程 t ydt dy 580004580--= 即805800045=⋅-+y tdt dy 于是，所求通解为()()9580004558000451600101600080-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=---⎰t C t C dt e e y dt t dt t由100)0(=y 确定C ，得()()016000010160009=-+⨯-C ，8160010=C ，故初值问题的解是()()9816001600101016000-+-=t t y ， 所以注入开始后20分钟时的添加剂总量是()()58.1512160020160010201016000)20(98≈-+⨯-=y g. 注：液体溶液中（或散布在气体中）的一种化学品流入装有液体（或气体）的容器中，容器中可能还装有一定量的溶解了的该化学品. 把混合物搅拌均匀并以一个已知的速率流出容器. 在这个过程中，知道在任何时刻容器中的该化学品的浓度往往是重要的. 描述这个过程的微分方程用下列公式表示：容器中总量的变化率=化学品进入的速率—化学品离开的速率.例10（E06） 求方程1)()(23=-+-+x y x x y x dxdy的通解. 解 令,u x y =-则,1+=dx du dx dy 于是得到伯努利方程.23u x xu dxdu -=+ 令,121u u z ==-上式即变为一阶线性方程.3x xz dxdz=- 其通解为 22x e z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-C dx e x x 232.2222--=x Ce x 回代原变量，即得到题设方程的通解.211222--+=+=x Ce x zx y x例11（E07）求解微分方程.)(sin 12xy xy x dx dy -= 解 令,xy z =则,dxdy x y dx dz += ∴x y dxdz+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y xy x )(sin 12,sin 12z = 利用分离变量法解得 ,42s i n2C x z z +=- 将xy z =代回，得所求通解为 .4)(2s i n2C x xy xy +=- 二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdyϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为).,(p y f dydpp= 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy+=⎰ϕ例7设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.解 设绳索的最低点为.A 取y 轴通过点A 铅直向上，并取x 轴水平向右，且||OA 等于某个定值(这个定值将在以后说明).设绳索曲线的方程为).(x y y =考察绳索上点A 到另一点),(y x M 间的一段弧,AM 设其长为.s 假定绳索的线密度为，ρ则弧AM 的重量为.gs ρ由于绳索是柔软的，因而在点A 处的张力沿水平的切线方向，其大小设为;H 在点M处的张力沿该点处的切线方向，设其倾角为,θ其大小为T (如图).因作用于弧段AM 的外力相互平衡，把作用于弧段AM 上的力沿铅直及水平两方向解得.cos ,sin H T gs T ==θρθ两式相除得 .1t a n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==g H a s aρθ由于⎰'+='=xdx y s y 02,1,tan θ代入上式即得 .1102⎰'+='x dx y ay 将上式两端对x 求导，便得)(x y y =满足得微分方程 .112y ay '+='' (1) 取原点O 到点A 的距离为定值,a 即,||a OA =则初始条件为.0,00='===x x y a y对方程(1)，设,p y ='则,dxdpy ='''代入并分离变量得： adxp dp =+21.1C a x p arsh +=由00='=x y 得01=C .a x p arsh =即a x sh y =' .2C axa c h y += 将条件a y x ==0代入上式，得 .02=C于是该绳索的曲线方程为 .2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-a xa x e e a a x a c h y 这曲线叫做悬链线.),(y y f y '=''型二、二阶变系数线性微分方程的一些解法对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法. 一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法.对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换,1⎰=zdx y y , 就可将其降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式.1)(21211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎰-⎰dx e y C C y y dx x P三、常数变易法在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.设有二阶非齐次线性方程),()()(22x f y x Q dx dyx P dx y d =++ (5.10) 其中)(),(),(x f x Q x P 在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程0)()(22=++y x Q dx dyx P dxy d的通解2211y C y C y +=已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.设非齐次方程(5.10)具有形如2211*y u y u y += (5.11)的特解, 其中)(),(2211x u u x u u ==是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数. 降阶法例2（E01）已知x xy sin 1=是方程0222=++y dx dy x dxy d 的一个解, 试求方程的通解. 解 作变换⎰=,1zdx y y 则有dxdy⎰+=,11zdx dx dy z y 22dx y d ⎰++=.221211zdx dx y d z dx dy dx dz y 代入题设方程，并注意到1y 是题设方程的解,有,022111=⎪⎭⎫+ ⎝⎛+z x y dx dy dx dz y 将1y 代入，并整理,得x z dx dzcot 2-=⇒.sin 21xC z = 故所求通解为y ⎰=zdx y 1⎢⎣⎡⎥⎦⎤+=.sin sin 221C dx x C x x )cot (sin 21C x C x x+-=).cos sin (112x C x C x -= 常数变易法例3（E02）求方程x dx dyx dxy d =-122的通解. 解 先求对应的齐次方程的通解.由0122=-dx dy x dx y d dx dy x dx y d 122＝ dx x dx dy d dxdy 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅ ，||ln ||ln lnC xdxdy+= 即 .Cx dx dy = 从而得到对应齐次方程的通解.221C x C y +=为求非齐次方程的一个解,*y 将21,C C 换成待定函数,,21u u 设,221u x u y +=*则根据常数变易法，21,u u 满足下列方程组⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x u u x u u x 212121201.21,21221x u u -='=' 积分并取其一个原函数得 .6,21321x u x u -== 于是，题设原方程得一个特解为.3621333221x x x u x u y =-=⋅+⋅=*从而题设方程的通解为 .33221x C x C y ++= 例4（E03）求方程1111-=--'-+''x y xy x x y 的通解. 解 因为,01111=---+xx x 易见题设方程对应的齐次方程的一特解为,1x e y =由刘维尔公式求出该方程的另一特解2y dx e eedx x xx x⎰--⎰=121,x = 从而对应齐次方程的通解为,21x e C x C y +=可设题设方程的一个特解为,11*x e u x u y += 由常数变易法, 21,u u 满足下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧-='+'='+'102121x u e u u e u x x x ⇒,11-='u x xe u -='2 积分并取其一个原函数得,1x u -=',2x x e xe u ----=' 于是，题设方程的通解为 .1221---+=x x e C x C y x内容要点一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法0=+'+''qy y p y (6.1) 特征方程 ,02=++q pr r (6.2) 称特征方程的两个根,1r 2r 为特征根.)sin cos ()(,002121212121212121x C x C e y i r i r e x C C y r r e C e C y r r qy y p y q pr r x xr xr x r βββαβαα+=-=+=+==+==+'+''=++有一对共轭复根有二重根有二个不相等的实根的通解微分方程的根特征方程 这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法.二、 n 阶常系数齐次线性微分方程的解法 n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n (6.6)其特征方程为0111=++++--n n n n p r p r p r (6.7)根据特征方程的根，可按下表方式直接写出其对应的微分方程的解:xk k k k rxk k e x x D x D D x x C x C C i k e x C x C C r k αβββα]sin )(cos )[()(111011101110------+++++++±+++ 复根重共轭是重根是通解中的对应项特征方程的根注: n 次代数方程有n 个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 这样就得到n 阶常系数齐次线性微分方程的通解为 .2211n n y C y C y C y +++=例8（E05）求方程x x y y 2cos =+''的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解x C x C Y sin cos 21+=作辅助方程.2ix xe y y =+''i 2=λ 不是特征方程的根，故设,)(2*ix e B Ax y +=代入辅助方程得,034=-B Ai 13=-A ⇒,31-=A i B 94-=∴*y =⎪⎭⎫ ⎝⎛--i x 9431ix e 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--i x 9431)2sin 2(cos x i x +i x x x -+-=2sin 942cos 31⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 2sin 312cos 94取实部得到所求非齐次方程的一个特解:.2sin 942cos 31x x x y +-=所求非齐次方程的通解为.2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=例11 已知函数x x e x e y )1(2++=是二阶常系数非齐次线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个特解, 试确定常数b a ,与c 及该方程的通解. 解 将已知方程的特解改写为,2x x x xe e e y ++=因对应齐次方程的解应是rx e 型的,如x e 2是对应齐次方程的解, x e 也可能是，因原方程的自由项是,x Ce 而x xe 或x e x )1(+是原非齐次方程的解,故x e 也是对应齐次方程的解(即1=r 也是特征方程的根).故原方程所对应的齐次方程的特征方程为,0)1)(2(=--r r 即,0232=+-r r于是得.2,3=-=b a 将x xe y =*代入方程x Ce y y y =+'-''23得,2)1(3)2(x x x x Ce xe e x e x =++-+原方程的通解为 .221x x x xe e C e C y ++=内容要点形如)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++--- 的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21 为常数.欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同. 作变量替换 t e x = 或 ,ln x t =将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(8.1)化为以t 为自变量的常系数线性微分方程, 求出该方程的解后, 把t 换为ln x , 即得到原方程的解. 如果采用记号D 表示对自变量t 求导的运算,dtd则上述结果可以写为 ,Dy y x =' y D D y x )1(2-=''，y D D D y D D D y x )2)(1()23(233--=+-='''，一般地，有y k D D D y x k k )1()1()(+--= .例3 设有方程 ,0)0(),0(),1ln(])1(2[)1(02='≥+-''++=+⎰y x x dx y x y y x x求由此方程所确定的函数).(x y 解 将方程两边对x 求导，整理后得y y x y x +'+-''+)1()1(2,11x+=且有,0)0(=y ,0)0(='y 这是欧拉方程,令t e x =+1或),1ln(x t +=将它化为常系数非齐次线性微分方程,222t e y dt dydty d -=+- 其通解为,41)(21t t e e t C C y -++=故原方程的通解为,)1(41)1)](1ln([21x x x C C y +++++=由初始条件,0)0(=y ,0)0(='y 可求得,411-=C ,212=C故由题设方程确定的函数为.)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=例1（E01）求解微分方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++)2(035)1(02y x dty x dtdydt dx 解 由(2)得,5351y dt dy x --=,535122dt dy dt y d dt dx --= (3) 把(3)代入(1),得.022=+y dtyd 这是一个二阶常系数线性微分方程,易求出它的通解为.sin cos 21t C t C y += (4)将上式代入(3),得.cos )3(51sin )3(512121t C C t C C x +--= (5)联立(4),(5)即得所求方程组的通解.例3（E03）解微分方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+.0,2222y dt dx dt y d e x dt dydtx d t解 记,dtdD =则方程组可写成 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-0)1()1(22y D Dx e Dy x D t )2()1( 设法消去变量,x 为此作如下运算:D ⨯-)2()1(得t e y D x =--3 (3)D ⨯+)2()1(得t De y D D =++-)1(24，即t e y D D =++-)1(24 (4)方程(4)对应的齐次方程的特征方程为0124=++-r r 特征根为,2512,1+±=±=αr 2514,3-±=±=βi r 又易求得方程(4)一个特解为,*t e y =故方程(1)的通解为t t t e t C t C e C e C y ++++=-ββααsin cos 4321 (5)将其代入方程(3),可得t t e C e C x αααα2313-=-t e t C t C 2sin cos 4333-+-ββββ (6)联立(5),(6)即得所求方程组的通解.追迹问题例3（E03）设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速0v 向正北行走；甲从乙的左侧O 点出发, 始终对准乙以)1(0>n nv 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.解 设所求追迹曲线方程为).(x y y =经过时刻,t 甲在追迹曲线上的点为),,(y x P 乙在点).,1(0t v B 于是 .1tan 0xyt v y --='=θ (1) 由题设，曲线的弧长OP 为 ⎰='+xt nv dx y 002,1解出,0t v 代入(1)，得⎰'+=+'-xdx y n y y x 02.11)1( 整理得.11)1(2y ny x '+=''- 追迹问题的数学模型 设,),(p y x p y '=''='则方程化为 211)1(p np x +='- 或 ,)1(12x n dxp dp -=+两边积分，得|,|ln |1|ln 1)1ln(12C x n p p +--=++ 即 .1112n xC p p -=++将初始条件000=='==x x p y 代入上式，得.11=C 于是 ,1112nxy y -='++' (2)两边同乘,12y y '+-'并化简得,112n x y y --='+-' (3)(2)式与(3)式相加得 ,11121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---='nnx x y 两边积分得 .)1(1)1(121211C x n n x n ny nn nn +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---=+- 代入初始条件00==x y 得,122-=n nC 故所求追迹曲线为 ),1(1)1(1)1(121211>-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---=+-n n n x n n x n n y nn nn 甲追到乙时，即点P 的横坐标,1=x 此时.)1(2-=n n y 即乙行走至离A 点)1(2-n n 个单位距离时被甲追到.例4（E04）一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).解 取连结地球中心与该物体的直线为y 轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点O (如图).设地球的半径为,R 物体的质量为,m 物体开始下落时与地球中心的距离为),(R l l >在时刻t 物体所在位置为),(t y y =于是速度为.)(dtdyt v =由万有引力定律得微分方程 ,222y kmM dt y d m -= 即 ,222ykMdt y d -=其中M 为地球的质量，k 为引力常数. 因为当R y =时，g dtyd -=22 (取负号是因此时加速度的方向与y 轴的方向相反).,,22gR kM RkM g ==代入得到,2222ygR dt y d -=初始条件为 ,0l y t ==.00='=t y先求物体到达地面时的速度. 由,v dtdy=得 ,22dy dvv dt dy dy dv dt dv dty d =⋅== 代入并分离变量得dy y gR vdv 22-=.2122C y gR v +=把初始条件代入上式，得 ,221gR C -=于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=l y gR v 11222 .112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=l y g R v 式中令,R y =就得到物体到达地面时得速度为.)(2lR l gR v --= 再求物体落到地面所需的时间.,112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==l y g R v dt dy,0l y t == 分离变量得 .21dy yl yg l R dt --=由条件,0l y t ==得.02=C.a r c c o s 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l y l y ly g l R t 在上式中令,R y =便得到物体到达地面所需得时间为.arccos 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l R l R lR g l R t例6（E06）在图7-10-8的电路中, 设,1,40H L R =Ω= ,10164F C -⨯= t t E 10cos 100)(=且初始电量和电流均为0, 求电量)(t Q 和电流).(t I解 由已知条件知，可得到方程,10cos 1006254022t Q dt dQdt Q d =++其特征方程为 ,0625402=++r r 特征根,15202,1i r ±-= 故对应齐次方程的通解为).15sin 15cos ()(2120t C t C e t Q t c +=- 而非齐次方程的特解可设为.10sin 10cos )(t B t A t Q p += 代入方程，并比较系数可得 .69764,69784==B A 所以 .10sin 6410cos 84(6971)(）t t t Q p += 从而所求方程的通解为 .10sin 1610cos 21(6974)15sin 15cos ()(2120）t t t C t C et Q t+++=- 利用初始条件,0)0(=Q 得到 ,069784)0(1=+=C Q .697841-=C 又 t C C t C C e dtdQt I t 15sin )2015(15cos )1520[()(212120--++-==- )],10cos 1610sin 21(69740t t +-+ 由,06976401520)0(21=++-=C C I 得.20914642-=C 于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=-)10sin 1610cos 21()15sin 11615cos 63(36974)(20t t t t e t Q t[].)10cos 1610sin 21(120)15sin 1306015cos 1920(20911)(20t t t t e t I t +-++-=- 解)(t Q 中含有两部分，其中第一部分[])(0.)15sin 11615cos 63(20911)(20∞→→--=-t t t e t Q t c 即当t 充分大时，有).10sin 1610cos 21(6974)()(t t t Q t Q p +=≈ 因此，)(t Q p 称为稳态解。
微分方程应用问题案例
第四章微分方程一、微分方程的概念案例1 [曲线方程]已知曲线过点(１，２)，且曲线上任一点处切线的斜率是该点横坐标的倒数，求此曲线方程．解:设曲线方程为，于是曲线在点处切线的斜率为．根据题意有（4.1.1）又曲线过点（１，２），故有（4.1.2）对式（4.1.1）两边积分，得将式(4.1.2)代入上式，得，即．故所求曲线方程为．案例2 [自由落体运动]一质量为的质点,在重力作用下自由下落,求其运动方程.解:建立坐标系如图（1）所示，坐标原点取在质点开始下落点, 轴铅直向下.设在时刻 质点的位置为,由于质点只受重力 作用,且力的方向与轴正向相同，故由牛顿第二定律，得质点满足的方程为，即．方程两边同时积分，得上式两边再同时积分，得其中是两个独立变化的任意常数．案例3[列车制动] 列车在直线轨道上以20米/秒的速度行驶，制动列车获得负加速度-0.42米秒，问开始制动后要 经过多少他长时间才能把列车刹住？在这段时间内列车行驶了多少路程？解: 记列车制动的时刻为t=0，设制动后t 秒列车行驶了s 米.由题意知，制动后列车行驶的加速度220.4d sdt =-， （4.1.3）初始条件为当0t =时，0s =，20dsv dt ==.将方程（4.1.3）两端同时对t 积分，得1()0.4dsv t t C dt ==-+， (4.1.4)式(4.1.4)两端对t 再积分一次，得2120.2C C s t t =-++ ， (4.1.5)其中1C ，2C 都是任意常数，把条件当t=0时， 20dsdt =代入（4.1.4）式，得1C 20=,把t=0时，s=0代入式（4.1.5），得2C ＝0．于是，列车制动后的运动方程为20.220s t t =-+ ， （4.1.6）速度方程为0.420dsv t dt ==-+ . （4.1.7）因为列车刹住时速度为零，在式（4.1.7）中，令 0dsv dt ==,得0=-0.4t+20，解 出得列车从开始制动到完全刹住的时间为2050()0.4t s ==再把t=50代入式（4.1.6），得列车在制动后所行驶的路程为20.22050500()50s m =-⨯+⨯=二、可分离变量的微分方程案例1 [国民生产总值] 1999年我国的国民生产总值（GDP ）为80,423亿元，如果我国能保持每年8%的相对增长率， 问到2010年我国的GDP 是多少？ 解: (1)建立微分方程记0t =代表1999年，并设第t 年我国的GDP 为()P t ．由题意知，从1999年起，()P t 的相对增长率为8%，即 ()8%()dP t dt P t =，得微分方程()8%()dP t P t dt =，且(0)80,423.P =（2）求通解 分离变量得()8%()dP t dtP t =,方程两边同时积分，得 ln ()0.08ln P t t C =+ (3) 求特解将(0)80,423.P =代入通解，得80,423C =，所以从1999年起第t 年我国的GDP 为()P t =0.08t 80,423e ,将2010199911t =-=代入上式，得2010年我国的GDP 的预测值为(11)P =0.081180,423e 193891.787⨯=(亿元) ．案例2 [落体问题] 设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与速度成正比．运动员离塔时（t=0）的速度为零，求运动员下落过程中速度与时间的函数关系． 解: （1）建立微分方程运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影响．重力的大小为mg ，方向与速度v 的方向一致；阻力的大小为kv(k 为比例系数)，方向与v 相反．从而运动员所受的外力为F mg kv =-，其中m 为运动员的质量.又由牛顿第二定律有F ma =，其中a 为加速度，dva dt =．于是在下落过程中速度()v t 满足微分方程dvmmg kv dt =-，初始条件为00==t v .（2）求通解方程是一个可分离变量的微分方程．分离变量后，得m dtkv mg dv =-．两端积分得1)ln(1C m t kv mg k +=--,即 tmk e C kv mg -=-2(其中12kC C e -=)，或 t m kCe k mg v -+=（其中2C C k =）.（3）求特解把初始条件0==t v 代入通解，得k mg＝－C ．于是所求速度与时间的关系为 )1(t m ke k mgv --=.由上式可见，当t 很大时，t mke-很小，此时v 接近于mgk ．由此可见，跳伞运动员开始跳伞时是加速运动， 以后逐渐接近于匀速运动，其速度为k mg v =.案例3 [环境污染问题] 某水塘原有50000t 清水(不含有害杂质)，从时间0=t 开始，含有有害杂质%5的浊水流入该水塘．流入的速度为2t ／min ，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2t ／min 的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到%4?解:（1）建立微分方程 设在时刻t 塘中有害物质的含量为()t Q ，此时塘中有害物质的浓度 为()50000t Q ， 不妨设单位时间内有害物质的 变化量为 M 单位时间内流出塘的有害物质的量 为S 2,于是有 d 12d QM S S t ==-即 ()()2500010125000021005d d t Q t Q tQ -=⨯-⨯= , 初始条件为()00Q =. （2）求通解方程是式是可分离变量方程，分离变量得d 12500-()25000Q dtQ t =-,积分，得()250002500tCet Q -=-,即()250002500t Q t Ce-=+．（3）求特解由初始条件0=t ，0=Q 得2500-=C ，故()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2500012500t e t Q ．当塘中有害物质浓度达到%4时，应有2000%450000=⨯=Q (t)，这时t 应满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-25000125002000te ．由此解得6.670≈t (min)，即经过6.670min 后，塘中有害物质浓度达到%4，由于()2500lim =+∞→t Q t ，塘中有害物质的最终浓度为 25005%50000=．案例4 [刑事侦察中死亡时间的鉴定] 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定．当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变， 试求出尸体温度H 随时间t 的变化规律．又如果尸体发现时的温度是30℃， 时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？ 解: （1）建立微分方程设尸体的温度为)(t H (t 从谋杀后计)，根据题意，尸体的冷却速度t Hd d 与尸体温度H 和空气温度20之差成正比．即t Hd d ()20--=H k ，其中0>k 是常数，初始条件为()037H =．（2）求通解分离变量得d d 20Hk tH =--积分得kt Ce H -=-20（3）求特解把初值条件()370=H 代入通解，求得17=C ．于是该初值问题的解为kt e H -+=1720为求出k 值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条件，有2172035⋅-+=k e求得063.0≈k ，于是温度函数为te H 063.01720-+=将30=H 代入上式有 te 063.01710-=，即得4.8≈t （h ）．于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的4.8h ，即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的．案例5 [第二宇宙速度] 地球对物体的引力F 与物体的质量m 以及物体离地心的距离s 间的关系为22s mgR F -=，这里g 是重力加速度，R 为地球半径．验证：如果物体以gR v 20≥的初速度发射，则永远不会返回地球． 解:（1）建立微分方程 由牛顿第二定律ma F =，其中dt dva =，有v s v m t s s v m t v mF ⋅=⋅==d d d d d d d d ，故有22d d s R mg s v mv -=， 初始条件为R s =时，0v v =.（2）求通解变量分离后为s s gR v v d d 22--= 两边积分ss gR v v d d 22-⎰⎰-=得 Cs gR v +=222（3）求特解 把R s =时，0v v =，代入通解得gR v C 22120-=，故有 gRv s gR v 222022-+=由此可见，当s 很大时，s gR 22很小，当gR v 20≥时，速度v 永远大于0，所以物体永远不会返回地面．三、一阶线性微分方程案例1 [溶液的混合] 一容器内盛有50L 的盐水溶液，其中含有10g 的盐．现将每升含盐2g 的溶液以每分钟5L 的速度注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以3L 升/min 的速度流出溶液，问在任一时刻t 容器中含盐量是多少？ 解: （1）建立微分方程设t 时刻容器中含盐量为x 克，容器中含盐量的变化率为dt dx=盐流入容器的速度－盐流出容器的速度 （4.3.1）其中，盐流入容器的速度=2（克/升）×5（升/分）=10(克/分),盐流出容器的速度=t x 250+（克/升）×3（升/分）=t x2503+(克/分)由式（4.3.1）可得310502dx x dt t =-+即102503=++x t dt dx由题意知初始条件为10t x==．（2）求通解直接应用求一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得3350250210dt dt t tx e e dt C -++⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰)250(2)250()250(10)250(232323t t C C dt t t +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=--⎰32(502)4100C t t -=+++（3）求特解将初始条件10t x==代入通解，得C=-225002.所以，在时刻t 容器中的含盐量为=x 100+4t-22500223)250(-+t (g)．案例2 [RL 电路] 在一个包含有电阻R （单位：Ω），电感L （单位：H ）和电源 E （单位：V ）的RL 串联回路中，由回路电流定律，知电流（单位：A ）满足以下微分方程dI R E I dt L L +=,若电路中电源t 2sin 3伏，电阻10Ω，电感0.5H 和初始电流6A ，求在任何时刻t 电路中的电流． 解:（1）建立微分方程这里t E 2sin 3=，10=R ，5.0=L ，将其代入RL 电路中电流应满足的微分方程，得t I dt dI 2sin 620=+， 初始条件为06t I == ．（2）求通解 此方程是一阶线性微分方程，应用公式(4.3.4)，得通解2020(6sin 2)dt dt I e t e dt C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰()20206sin 2t t e te dt C -=+⎰20303sin 2cos 2101101t Ce t t -=+-，（3）求特解 将 0t =时, 6I =代入通解，得2003036sin 20cos 20101101Ce -⨯=+⨯-⨯（）（），解之，得609101C =，所以，在任何时刻 t 的电流为 20609303sin 2cos 2101101101t I e t t -=+-．案例3 [RC 回路] 在一个包含有电阻 R （ Ω），电容C （F ）和电源 E （V ）的 RC 串联回路中，由回路电流定律，知电容上的电量q （C ）满足以下微分方程1dq E q dt RC R +=,若回路中有电源 400cos2t (V),电阻100 Ω，电容0.01F ，电容上没有初始电量.求在任意时刻 t 电路中的电流．解: （1）建立微分方程我们先求电量 q .这里 400cos 2,100,0.01E t R C ===，将其代入RC 回路中电量q 应满足的微分方程得4cos 2dq q t dt +=，初始条件为 00t q ==.（2）求通解此方程是一阶线性微分方程，应用公式(4.3.4)，得84sin 2cos 255t q Ce t t -=++，将 0t =, 0q =代入上式，得0840sin 20cos 2055Ce -=+⨯+⨯（）（），解之，得45C =-．于是 484sin 2cos 2555t q e t t -=-++，再由电流与电量的关系 dq I dt =，得4168cos 2cos 2555t I e t t -=+-．。
常微分方程期末试题复习资料
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的 充分 条件．4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
微分方程应用题
质量 m 体积 B
用分离变量法解上述初值问题得
m m ( m g B ) m g B k v y v ln 2 k m g B k
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(2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) F ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g ( x) f ( x) [ g ( x) f ( x)] 2 f ( x) g ( x) (2 e x ) 2 2 F ( x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
例1. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 M 0 , 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. dM M ( 0 ) dt 解: 根据题意, 有 M t 0 M 0 (初始条件) dM ( ) d t 对方程分离变量, 然后积分: M
得 ln M t ln C , 即 利用初始条件, 得
故所求铀的变化规律为
M Ce
t
M
C M0
M0
t
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M M 0 e t . O
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例2. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系. dv 解: 根据牛顿第二定律列方程 m mg k v dt 初始条件为 v t 0 0 dv dt 对方程分离变量, 然后积分 : mg k v m 1 t ln ( m g k v ) C ( 此处 m g k v 0 ) 得 k m 1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( m g ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
微分方程应用题
1、美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。
生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。
原子能委员会分辨说这是不可能的。
为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉速度超过12.2m/s与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。
这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少？这时已知圆桶重量为239.46kg，体积为0.2058m3，海水密度为1035.71 kg /m3。
如果圆桶速度小于12.2m/s，就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。
假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。
（1）建立解决上述问题的微分方程数学模型。
（2）用数值和解析两种方法求解微分方程，并回答是否要禁止用这种方法来处理放射性废料。
m=圆筒的质量p=海水的密度k=比例常数v=体积数学模型：m2、一只小船度过宽为d的河流，目标是起点A正对着的B点，设河水流速1v，船在静止的水中的速度为2v。
求：（1）建立描述小船航线的微分方程模型。
（2）设d=100m, 1v=1m/s, 2v=2m/s，用数值方法求渡河所需时间，任意时刻小船位置及航行曲线，作图并与解析解比较；（3）若流速1v=0, 0.5, 1.5, 2（m/s），结果将如何？3、设想自然界有两个种群为了争夺有限的同一食物来源和生活空间时，从长远的眼光来审视，其最终结局是它们中的竞争力弱的一方首先被淘汰，然后另一方独占全部资源而以单种群模式发展；还是存在某种稳定的平衡状态，两个物种按照某种规模构成双方长期共存？试建立两种群相互竞争的数学模型，并讨论该模型是否有解析解？若无解析解，就用数值方法求解模型，通过改变各种参数进行讨论和结果解释。
4、海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向15海里处有一艘走私船正以20 海里/小时的速度向正北方向行驶，缉私艇立即以40 海里/小时的速度前往拦截。
微分方程应用题
1951-2004增长率
Growth rate
Ye ar 19 54 19 59 19 64 19 69 19 74 19 79 19 84 19 89 19 94 19 99
简化数据表
Year 1951 1956 1961 1966 1971 1976 1981 1986 Population 2,593,139,857 2,832,880,780 3,080,367,474 3,416,184,968 3,784,957,162 4,157,827,615 4,528,511,458 4,934,892,988 Growth rate Year 1.61 1.95 1.80 2.02 2.00 1.72 1.75 1.73 Population
Year 1956 1963 1970 1977 1984 1991 1998 2005 2012 2019 2026 2033 2040 2047
p p0e
y 8000
y 8000ln 0.0624 22194
人口预测 设 p(t) 表示一种给定物种在时刻 t 的总 数，r(t,p) 表示该物种出生率和死亡率之差。如果 这个群体是孤立的．即不出现净迁出或迁入．那么 总数的变化率 dp/dt 就等于 r(t,p)p．在大多数简化 了的模型中，假定r是常数，即它不随时间或总数 而变。于是 dp ap(t ) , (a const ) dt
dp ap bp 2 dt
这个方程被称作群体增长的逻辑律，数字a、b称为 群体的生命系数。
草履虫实验 数学生物学家G．F．Gause对草履虫做了一个实验： 把五只草履虫个体放入一个很小的试管中，管内盛有 0.5cm3的培养基，每天计算一下个体的数量．共持续 六天。结果发现，当数量不大时．这种草履虫以每天 230.9%的速度增长。最初个体的数量迅速地增加，后 来就比较慢了，到了第四天使达到375的最高水平，虫 体占满了试管。从这个数据我们得出结论，如果草履虫 依照逻辑律 dp/dt＝ap-bp2增长，那么a＝2.309，b＝ 2.309/375；因此，逻辑律预测 2.309 5 p(t ) 5 2.309 / 5 2.309 5 2.309 / 375 e2.309t
数学下册综合算式专项练习题运用微分方程进行计算
数学下册综合算式专项练习题运用微分方程进行计算微分方程是数学中的一个重要分支，它是描述变量之间关系的方程。
在数学下册的综合算式专项练习题中，我们可以运用微分方程进行计算。
本文将通过实例来介绍如何运用微分方程解决这些问题。
1. 题目一：已知函数f(x) = x^2，求f'(x)。
解答：根据微分方程的定义，f'(x)表示函数f(x)对变量x的导数。
对于给定的函数f(x) = x^2，我们可以通过微分方程来计算它的导数。
首先，我们将f(x)视为x的函数，即f(x) = x^2。
然后，对f(x)求导数，可以得到f'(x) = 2x。
因此，函数f(x) = x^2的导数为f'(x) = 2x。
2. 题目二：已知函数g(x) = e^x，求g''(x)。
解答：题目要求我们计算g(x) = e^x的二阶导数g''(x)。
根据微分方程的定义，g''(x)表示函数g(x)对变量x的二阶导数。
对于给定的函数g(x) = e^x，我们可以通过微分方程来计算它的二阶导数。
首先，我们将g(x)视为x的函数，即g(x) = e^x。
然后，对g(x)求导数，可以得到g'(x) = e^x。
再次对g'(x)求导数，可以得到g''(x) = e^x。
因此，函数g(x) = e^x的二阶导数为g''(x) = e^x。
通过以上两个例子，我们可以发现，在综合算式专项练习题中，运用微分方程进行计算是一种简便且有效的方法。
通过对给定函数视为变量的方式，我们可以使用微分方程来求解导数或者二阶导数。
除了以上的例子，我们可以将微分方程应用到更多的综合算式专项练习题中，从而解决更加复杂的问题。
通过灵活运用微分方程的知识，我们可以提高数学下册综合算式的解题效率。
综上所述，微分方程是数学下册综合算式专项练习题中的一个重要工具。
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p(t)
ap0ea(tt0 ) a bp0 bp0ea(tt0 )
bp0
(a
ap0 bp0
)ea(tt0 )
常数估算
某些生态学家已经估算出a的正常值是 0.029．我们还知道，当人口总数为(3.06)×109 时，人类人口以每年2%的速率增长。因为 (1/p)/(dp/dt)＝a-bp，我们看到
1.55 1.49 1.44 1.42 1.38 1.36 1.32 1.28 1.25 1.21
2001 2002 2003 2004
6,153,801,961 1.18 6,226,933,918 1.16 6,299,763,405 1.15 6,372,797,742 1.14
8.E+09 6.E+09 4.E+09 2.E+09 0.E+00
分析：输入率=2500 cal／天
输出率=健身训练16 cal/kg/天×体重w (kg)
+新陈代谢1200 cal ／天
dw dt
1300 16w 10000
w(0) w0
w
325 4
w0
325 4
1t
e 625
w 325
4
例4 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安 德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验 室，作碳14年代测定。分析表明，C14与C12的比例 仅仅是活组织内的6.24%，此人生活在多少年前?
dp ap bp2 dt
p dr
t
ds
p0 ar br 2 t0
p dr
1
p0 ar br 2 a
p0
1 r
a
b br
dr
1 a
ln
p p0
ln
a bp0 a bp
1 a
ln
p p0
a bp0 a bp
dp ap(t) , (a const) dt
如果所给物种在t0时刻的总数p0，则p(t)满足初值问题
dp ap(t) , dt
p(t0 ) p0
这个初值问题的解是
p(t)
p ea(tt0 ) 0
啮齿动物的增长
观察一种很小的啮齿动物，其繁殖速度为每月增长 群体总数的40%，
dp 0.4 p(t) , p(0) 2 dt p 2e0.4t
3.00 2.00 1.00 0.00
Year 1971 1981
1991 1991
逻辑律
当群体异常地庞大时，个体成员相互间要为有限 的生存空间、自然资源以及可以得到的食物而进 行竞争。考虑改进的方程，其中b是一个常数。
dp ap bp2 dt
这个方程被称作群体增长的逻辑律，数字a、b称为 群体的生命系数。
草履虫实验
数学生物学家G．F．Gause对草履虫做了一个实验：
把五只草履虫个体放入一个很小的试管中，管内盛有
0.5cm3的培养基，每天计算一下个体的数量．共持续
六天。结果发现，当数量不大时．这种草履虫以每天
230.9%的速度增长。最初个体的数量迅速地增加，后 来就比较慢了，到了第四天使达到375的最高水平，虫
ln 4t
t
y(t) 100e 24 100 212
y(12) 200
例2 将室内一支读数为260的温度计放到室外。 10min后，温度计的读数为300；又过了10min， 读数为320．先不用计算，推测一下室外的温度。
然后，利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案。
分析： dT k(T m) dt
1.80 2.19 2.19 2.08 2.08 2.02 2.04 2.08 2.05 2.07
4.E+09 3.E+09 2.E+09 1.E+09 0.E+00
Year 1951 1953 1955 1957 1959 1961 1963 1965 1967 1969
1950-1970年人口
Population
3.00 2.00 1.00 0.00
1950-1970年增长率
Growth rate
Year 1951 1953 1955 1957 1959 1961 1963 1965 1967 1969
1961年人口预测
1961年地球上的人口总数为3.06×109 而在以后 的t 年中。人口总数以每年2%的速度增长。这样
1971 1981 1991
3,784,957,162 2.00 2001
4,157,827,615 1.72
4,528,511,458 1.75
4,934,892,988 1.73
5,365,480,276 1.55
5,770,701,020 1.36
6,153,801,961 1.18
Population
Year
1951 1956 1961 1966 1971 1976 1981 1986 1991 1996 2001
简化数据表
Population
Growth rate Year
2,593,139,857 2,832,880,780 3,080,367,474 3,416,184,968
1.61 1.95 1.80 2.02
1971-1990年人口及增长率
1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
3,784,957,162 2.00 3,861,537,222 1.95 3,937,599,035 1.90 4,013,016,398 1.81 4,086,150,193 1.74 4,157,827,615 1.72 4,229,922,943 1.69 4,301,953,661 1.73 4,376,897,872 1.71 4,452,584,592 1.69
2、选择三个时间 t0 , t1, t2 ， 且 t1 t0 t2 t1
证明根据 p(t0 ), p(t1), p(t2 ) 可以唯一a确,b定
1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
4,528,511,458 4,608,410,617 4,689,840,421 4,769,886,824 4,851,592,622 4,934,892,988 5,020,809,215 5,107,404,183 5,194,105,912 5,281,653,820
Year 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999
1951-2004人口 Population
1951-2004增长率
Growth rate
3.00 2.00 1.00 0.00
Year 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999
月数 0 2
观察到的P 2 5 计算出的P 2 4.5
6 l0
20 109 22 109.1
Year
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960
1950-1970年人口及增长率
Population
Growth rate
2,555,360,972 1.47
分析：
dp
dy
p 8000
p(0) p0
y ?, p 0.0624 p0
y
p p0e 8000
y 8000 ln 0.0624 22194
人口预测 设 p(t) 表示一种给定物种在时刻 t 的总 数，r(t,p) 表示该物种出生率和死亡率之差。如果
这个群体是孤立的．即不出现净迁出或迁入．那么 总数的变化率 dp/dt 就等于 r(t,p)p．在大多数简化 了的模型中，假定r是常数，即它不随时间或总数 而变。于是
1.75 1.75 1.69 1.70 1.70 1.73 1.71 1.68 1.67 1.57
1991-2004年人口及增长率
1991 5,365,480,276 1992 5,449,369,636 1993 5,531,014,635 1994 5,611,269,983 1995 5,691,759,210 1996 5,770,701,020 1997 5,849,885,301 1998 5,927,556,529 1999 6,004,170,056 2000 6,079,603,571
m?
T (0) 26 T (10) 30 T (20) 32
30 26
m m
2
32 26
m m
m 34
主要步骤 翻译； 建立瞬时表达式； 配备物理单位； 叙述给定的条件； 写出清楚的框架。
净变化率＝输入率一输出率
例3 某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用 于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中， 他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。 假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效，而1kg脂 肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是怎样随时 间变化的。
微分方程应用题
例1 细菌的增长率与总数成正比。如果培养的 细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h 后总数是多少?
分析：
dy