微分方程应用题

Population
3.00 2.00 1.00 0.00
1950-1970年增长率
Growth rate
Year 1951 1953 1955 1957 1959 1961 1963 1965 1967 1969
1961年人口预测
1961年地球上的人口总数为3.06×109 而在以后 的t 年中。人口总数以每年2%的速度增长。这样
月数 0 2
观察到的P 2 5 计算出的P 2 4.5
6 l0
20 109 22 109.1
Year
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960
1950-1970年人口及增长率
Population
Growth rate
2,555,360,972 1.47
0.02＝a-b(3.06)×109 因此，b＝2．941×10-12．这样，根据群体增长 的逻辑律．地球上的人类人口将趋于极限值
a b

0.029 2.9411012
9.86 109
1.E+10 5.E+09 0.E+00
预测人口
Population
Year 1957 1965 1973 1981 1989 1997 2005 2013 2021 2029 2037 2045
1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
4,528,511,458 4,608,410,617 4,689,840,421 4,769,886,824 4,851,592,622 4,934,892,988 5,020,809,215 5,107,404,183 5,194,105,912 5,281,653,820
Growth rate
3,784,957,162 2.00
4,528,511,458 1.75
5,365,480,276 1.55
6,153,801,961 1.18
简化图像
Population
8.E+09 6.E+09 4.E+09 2.E+09 0.E+00
Year
1971
1981
Growth rate
2,832,880,780 1.95 1966 3,416,184,968
2,888,699,042 1.94 1967 3,485,881,292
2,945,196,478 1.76 1968 3,557,690,668
2,997,522,100 1.39 1969 3,632,294,522
3,039,585,530 1.33 1970 3,707,475,887
Year 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999
1951-2004人口 Population
1951-2004增长率
Growth rate
3.00 2.00 1.00 0.00
Year 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999
Year
1951 1956 1961 1966 1971 1976 1981 1986 1991 1996 2001
简化数据表
Population
Growth rate Year
2,593,139,857 2,832,880,780 3,080,367,474 3,416,184,968
1.61 1.95 1.80 2.02
ln 4t
t
y(t) 100e 24 100 212
y(12) 200
例2 将室内一支读数为260的温度计放到室外。 10min后，温度计的读数为300；又过了10min， 读数为320．先不用计算，推测一下室外的温度。
然后，利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案。
分析： dT k(T m) dt
3.00 2.00 1.00 0.00
Year 1971 1981
1991 1991
逻辑律
当群体异常地庞大时，个体成员相互间要为有限 的生存空间、自然资源以及可以得到的食物而进 行竞争。考虑改进的方程，其中b是一个常数。
dp ap bp2 dt
这个方程被称作群体增长的逻辑律，数字a、b称为 群体的生命系数。
1.75 1.75 1.69 1.70 1.70 1.73 1.71 1.68 1.67 1.57
1991-2004年人口及增长率
1991 5,365,480,276 1992 5,449,369,636 1993 5,531,014,635 1994 5,611,269,983 1995 5,691,759,210 1996 5,770,701,020 1997 5,849,885,301 1998 5,927,556,529 1999 6,004,170,056 2000 6,079,603,571
dp ap(t) , (a const) dt
如果所给物种在t0时刻的总数p0，则p(t)满足初值问题
dp ap(t) , dt
p(t0 ) p0
这个初值问题的解是
p(t)

p ea(tt0 ) 0
啮齿动物的增长
观察一种很小的啮齿动物，其繁殖速度为每月增长 群体总数的40%，
dp 0.4 p(t) , p(0) 2 dt p 2e0.4t
分析：输入率=2500 cal／天
输出率=健身训练16 cal/kg/天×体重w (kg)
+新陈代谢1200 cal ／天

dw dt

1300 16w 10000
w(0) w0
w

325 4


w0

325 4

1t
e 625
w 325
4
例4 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安 德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验 室，作碳14年代测定。分析表明，C14与C12的比例 仅仅是活组织内的6.24%，此人生活在多少年前?
m?
T (0) 26 T (10) 30 T (20) 32

30 26

m m
2

32 26
m m
m 34
主要步骤 翻译； 建立瞬时表达式； 配备物理单位； 叙述给定的条件； 写出清楚的框架。
净变化率＝输入率一输出率
例3 某人的食量是2500 cal／天，其中1200 cal用 于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中， 他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。 假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效，而1kg脂 肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是怎样随时 间变化的。
微分方程应用题
例1 细菌的增长率与总数成正比。如果培养的 细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h 后总数是多少?
分析：
dy

dt

ky
y(0) 100

y(24)

400
y(12) ?
y Cekt C 100 , k ln 4 ln 2
24 12
1.55 1.49 1.44 1.42 1.38 1.36 1.32 1.28 1.25 1.21
2001 2002 2003 2004
6,153,801,961 1.18 6,226,933,918 1.16 6,299,763,405 1.15 6,372,797,742 1.14
8.E+09 6.E+09 4.E+09 2.E+09 0.E+00
草履虫实验
数学生物学家G．F．Gause对草履虫做了一个实验：
把五只草履虫个体放入一个很小的试管中，管内盛有
0.5cm3的培养基，每天计算一下个体的数量．共持续
六天。结果发现，当数量不大时．这种草履虫以每天
230.9%的速度增长。最初个体的数量迅速地增加，后 来就比较慢了，到了第四天使达到375的最高水平，虫
1971 1981 1991
3,784,957,162 2.00 2001
4,157,827,615 1.72
4,528,511,458 1.75
4,934,892,988 1.73
5,365,480,276 1.55
5,770,701,020 1.36
6,153,801,961 1.18
Population
体占满了试管。从这个数据我们得出结论，如果草履虫
依照逻辑律 dp/dt＝ap-bp2增长，那么a＝2.309，b＝ 2.309/375；因此，逻辑律预测
p(t)

5
2.309
/
5

2.309 5
2.309 5 2.309
/
375
e2.309t
375 1 74e2.309t
模型求解
p(t) 3.06 109 e0.02t1961
用过去的人口总数可以检验这个公式的结果。 1700──1961年间的人口总数每35年就翻了一番， 而方程预测每34.6年地球的人口总数将翻一番。
预测 25l0年： 2,000,000亿； 2635年：18,000,000亿； 2670年：36,000,000亿。
2,593,139,857 1.61 1961 3,080,367,474
2,635,192,901 1.71 1962 3,136,451,432
2,680,522,529 1.77 1963 3,205,956,565
2,728,486,476 1.87 1964 3,277,024,728
2,779,929,940 1.89 1965 3,346,002,675
3.00 2.00 1.00 0.00
预测增长率
Growth rate
Year 1956 1963 1970 1977 1984 1991 1998 2005 2012 2019 2026 2033 2040 2047
1、证明对于 t0 t , a bp / a bp t)是正的。
dp ap bp2 dt
p dr
t
ds
p0 ar br 2 t0
p dr
1

p0 ar br 2 a
p p0

1 r

a
b br

dr

1 a
ln
p p0
ln
a bp0 a bp


1 a
ln

ห้องสมุดไป่ตู้
p p0
a bp0 a bp

p(t)
ap0ea(tt0 ) a bp0 bp0ea(tt0 )

bp0

(a
ap0 bp0
)ea(tt0 )
常数估算
某些生态学家已经估算出a的正常值是 0.029．我们还知道，当人口总数为(3.06)×109 时，人类人口以每年2%的速率增长。因为 (1/p)/(dp/dt)＝a-bp，我们看到
1.80 2.19 2.19 2.08 2.08 2.02 2.04 2.08 2.05 2.07
4.E+09 3.E+09 2.E+09 1.E+09 0.E+00
Year 1951 1953 1955 1957 1959 1961 1963 1965 1967 1969
1950-1970年人口
分析：
dp

dy

p 8000
p(0) p0
y ?, p 0.0624 p0
y
p p0e 8000
y 8000 ln 0.0624 22194
人口预测 设 p(t) 表示一种给定物种在时刻 t 的总 数，r(t,p) 表示该物种出生率和死亡率之差。如果
这个群体是孤立的．即不出现净迁出或迁入．那么 总数的变化率 dp/dt 就等于 r(t,p)p．在大多数简化 了的模型中，假定r是常数，即它不随时间或总数 而变。于是
2、选择三个时间 t0 , t1, t2 ， 且 t1 t0 t2 t1
证明根据 p(t0 ), p(t1), p(t2 ) 可以唯一a确,b定
1971-1990年人口及增长率
1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
3,784,957,162 2.00 3,861,537,222 1.95 3,937,599,035 1.90 4,013,016,398 1.81 4,086,150,193 1.74 4,157,827,615 1.72 4,229,922,943 1.69 4,301,953,661 1.73 4,376,897,872 1.71 4,452,584,592 1.69