圆切线、相似和锐角三角函数综合题中考专题复习(无答案)

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中考数学专题复习锐角三角函数的综合题

中考数学专题复习锐角三角函数的综合题/ABC=/ ACB,以AC 为直径的。

0分别交 AB> BC 于点M 、N,点 P 在AB 的延长线上,且 / CAB=2/ BCP（1）求证：直线CP 是。

的切线.（3）在第（2）的条件下，求 4ACP 的周长.【答案】（1）证明见解析（2） 4 （3） 20试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角， 2/CAN=/ CAB, /CAB=2/ BCP判断出/ ACP=90 即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可.试题解析：（1） ZABC=Z ACB, .•.AB=AC,.「AC 为。

0的直径，/ ANC=90 ；• •• / CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB,• •• / CAB=2/ BCP,• •• / BCP 玄 CAN,/ ACP=ZACN+Z BCP 之 ACN+Z CAN=90 ；•・•点D 在。

O 上，，直线CP 是。

的切线；(2)如图，作BF,AC (2) 若 BC=2-., 史sin/BCP=5 ,求点B 到AC 的距离.一、锐角三角函数1 .如图，在4ABC 中,4,. AB=AC, /ANC=90；111・•.C N/CB W^,••• / BCP=Z CAN, sin/ BCP=5, 唧sin / CAN=」，CN.X 丁.•.AC=5,.•.AB=AC=5,设AF=x,贝U CF=5- x,在Rt^ABF 中，BF?=AB2-AF2=25-x2,在Rt^CBF中，BF2=BC2—C声=2O— (5—x) 2,25 - x2=2O - ( 5 - x) 2 , ..x=3, . •BF2=25 - 32=16,BF=4,即点B到AC的距离为4. 考点：切线的判定2.如图，平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45。

，底部点C的俯角为30。

，求楼房CD的高度(J3=1. 7).【答案】32. 4米.【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解.试题解析：如图，过点 B 作BE ，CD 于点E,根据题意，/DBE=45, /CBE=30.• . ABXAC, CD± AC,••・四边形ABEC 为矩形，• .CE=AB=12m,在 Rt^CBE 中，cot Z CBE=BE ,CEBE=CE?cot30 ° 百2=俘 £ ,在 Rt^BDE 中，由 /DBE=45,得 DE=BE=12/3.• .CD=CE+DE=12(/+1) =32.4答：1娄房CD 的高度约为32.4m .3.如图，AB 是。

圆、解锐角三角函数、相似基础练习

5
A．
3
2
B．
3
25
C．
5
D
3．如图 3，在△ ABC 中，∠ C =90°，sin A = 4 ， AB =15，则△ ABC 的周长是
3
Ｂ．
2
Ｄ．
5
D．
5
2
2
2
图3 图4
4．如右上图 4，测量河宽 AB（假设河的两岸平行），在 C 点测得∠ACB＝30°，D 点测得∠ADB＝60°，
又 CD＝60m，则河宽 AB 为
B
AC
图 12
12．如图 12,⊙O 中，AB、AC 是弦，O 在∠ABO 的内部， ABO ， ACO ， BOC ，
则下列关系中，正确的是
3．如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点 O (0,0)，B 是 y 轴右侧⊙A 优
弧上一点,则∠OBC 的余弦值为.
1
A．
2
3
C．
2
3
B．
4
4
D．
5
4．在 RtABC中, C 90 , B 35 , AB 7 ，则 BC 的长为
A． 7 sin 35
7 B． cos 35
4．如图，在⊙O 中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC 的周长为________．
O D A
第 1 题图
C
BA
D
O
第 2 题图
5．如图，已知 ACB 是 A O 的圆周角， ACB 50 ，则 AOB
A ． 40
B ． 50
C
B
A
CE
D
O
第 3 题图
C ． 80

中考数学压轴专练专题05圆与三角函数、相似结合的综合问题(教师版)

【典例分析】例 1 如图， AD 是△ABC 的外接圆⊙ O 的直径，点 P在 BC 延长线上，且满足∠ PAC=∠B．（1）求证： PA是⊙O 的切线；（ 2）弦 CE⊥AD 交 AB 于点 F，若 AF?AB=12 ，求 AC 的长．思路点拨（1）先根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两锐角互余得出∠CAD +∠ D=90°，再根据同弧所对的圆周角相等和已知条件等量代换可得∠ CAD + ∠PAC=90°，根据切线的判定定理即可得出结论；2）先判断出∠ B=∠ ACF ，进而判断出△ABC∽△ ACF，得出比例式即可得出结论．满分解答（ 2），，［来，DP，使∠ PDA＝∠ ADC．（1）求证： PD是⊙ O的切线；（2）若 AC＝3， tan∠ PDC ＝，求 BC 的长．思路点拨（1）求出∠ ODA+ ∠PDA=∠ADC+ ∠ DAO=9°0 ，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠ PDC= ∠DOC ，解直角三角形求出 = ，设 DC=4x ， OC=3x ，求出 3x+3=5x ，求出 x，即可得出答案．满分解答（ 1）证明：连接 OD∵OD=OA∴∠ ODA= ∠ OAD∵CD⊥AB 于点 C∴∠ OAD+∠ ADC=90°∴∠ ODA+∠ADC= 90°∵∠ PDA=∠ ADC ∴∠ PDA+∠ ODA =90° 即∠ PDO=90° ∴PD ⊥OD∵D 在⊙O 上∴PD 是⊙ O 的切线例3已知：如图①，在 Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于点 D ，且AB=5，AD=4 ，在AD 上取一点 G ，点P 是折线 CB ﹣BA 上一动点，以 PG 为直径作⊙ O 交AC 于点E ，连结PE ． 1）求 sinC 的值；使 AG=（2）当点 P 与点B 重合时如图②所示，⊙ O 交边AB 于点F ，求证：∠ EPG=∠FPG ；（3）点 P 在整个运动过程中：①当 BC 或AB 与⊙ O 相切时，求所有满足条件的 DE 长；②点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到P ′，当P ′恰好落在 AB 边上时，求 △OPP ′与△OGE 的（3）①⊙ O 与AB 相切有两种情况，与 BC 相切有一种情况，如图 3、4、5，灵活运用切线的性质，三角函数与勾股定理分别求解即可；②如图 3中，用（ 2）可知，点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转 90°得到 P ，当 P 恰好落在 AB 边上时，此时 △OPP ′与△OGE 的面积之比满分解答 = × × ： ×× × 如图 6中，当△POH 是等腰直角三角形时，连接 PE ，利用相似三角形的性质求得 7.AE= ，PE= ，即 GE=AE=25： 24 ；× × ×（2）如图 2 中，连接 GF,在 Rt△ABD 中， BD= =3 ，∵ BG 是直径，∴∠ BFG=∠ AFG=90° ，∴ FG= ，∵DG=AD ﹣AG=4 ﹣ = ，∴GD=GF ，∴∠ EPG= ∠FPG；（3）①如图 3中，当⊙ O与 BC相切时，作 OH⊥AB 于H，∴ GPC=∠ABC=90° ，∴GP∥AB，∴∠ CGP=∠ A，∴ sin ∠A=sin ∠ PGC，∴PC= ，∴ PG= =3，OH=PB=∴此时⊙ O 与 AB 相切，连接 PE，∵PG是⊙O 的直径，∴∠ PEC=∠CDB=9°0 ，∴PE∥BD，∴DE：CD=PB ：BC，∴DE= ；如图 4中，当点 P 在 AB 上，⊙O 与 BC 相切时，设切点为 T ，连接 OT ， GH ，延长 TO 交GH 于N ，连接易证四边形 BTNH 是矩形，∴ AE= ， ∴DE=AD ﹣ AE=4﹣ = ；如图 5 中，当⊙ O 与 AB 相切时， GP ⊥ AB ，连接PH，∴ PA=PH+AH= ， [ 来源 :]PE ，∵PE ∥BD，当 P 恰好落在 AB 边上时，如图 6中，当△POH 是等腰直角三角形时，满足条件；连接 PE ，∵PH=GH= ，AH=2 ，∴ PA= ，OP=OH= ， ∵PE ∥BD ， ∴PA ：AB=AE ：AD=PE ：BD ，=× × ： × × × =25 ：24；此时 △OPP ′与△OGE 的面积之比 5=AE ： 4=PE ：3， ②如图 3 中，用（ 2）可知，点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到 P ，∴ GE=AE ﹣ AG= ，∴△ OPP ′与△OGE 的面积之比 = × × ： × × × =25： 7；综上所述，满足条件的 △OPP ′与△OGE 的面积之比为 25：24 或 25：7．例 4 如图，已知在中，，，是边上一点，以为圆心，为半径的⊙ 与边的另一个交点为，连结、．1) 求△ABC 的面积；2) 设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；3) 如果是直角三角形，求的长．(1) 分别求出 BC 和BC 上的高； (2)作DM ⊥ AB 垂足为 M ，用含 x 的式子表示出AP 和DM ；(3)分∠ ADP ＝90° 和∠ PAD ＝ 90°两种情况求解 .满分解答(2) 如图，作 DM ⊥AB 垂足为 M ，（3） ∠ APD < 90 °，过 C 作CE ⊥AB 交 BA 的延长线于 E ，可得 cos ∠ CAE ＝. ∴ AE= ， PE= ，[ 来源:ZXXK]①当∠ ADP＝ 90°时，cos∠APD ＝cos∠CAE＝，则，解得 x＝；②当∠ PAD ＝ 90°时，，解得 x＝ .所以 PB 的值为或 .例 5 已知：如图， AB 为⊙ O 的直径， C 是 BA 延长线上一点， CP 切⊙ O 于 P，弦 PD⊥ AB 于 E ，过点 B 作 BQ⊥CP于Q，交⊙ O于 H，（1）如图 1，求证： PQ＝ PE；（2）如图 2，G是圆上一点，∠ GAB ＝ 30°，连接 AG交PD于F，连接 BF，若tan∠BFE＝3 ，求∠C的度数；（3）如图 3，在（ 2）的条件下， PD＝6 ，连接 QC交BC于点M，求 QM的长．思路点拨（1）连接 OP，PB，由已知易证∠ OBP= ∠ OPB= ∠QBP，从而可得 BP平分∠ OBQ，结合BQ⊥CP于点Q， PE⊥AB 于点 E 即可由角平分线的性质得到 PQ=PE；（2）如下图 2，连接 OP，则由已知易得∠ CPO=∠PEC=90°，由此可得∠ C=∠ OPE，设 EF=x，则由∠ GAB=3°0 ，∠ AEF=90°可得 AE= ，在 Rt△BEF 中，由 tan∠ BFE= 可得BE= ，从而可得 AB= ，则OP=OA= ，结合 AE= 可得 OE= ，这样即可得到 sin∠ OPE= ，由此可得∠ OPE=30°，则∠C=30°；满分解答（1）如下图 1，连接 OP，PB，∵ CP切⊙ O于 P，∴OP⊥CP于点 P，又∵ BQ ⊥CP 于点 Q，∴OP∥BQ，∴∠ OPB=∠ QBP，∵ OP=OB ，∴∠ OPB=∠ OBP，∴∠ QBP=∠OBP，又∵ PE⊥ AB 于点 E，在 Rt 中 ,tan∠ B FE=3 ∴∴∴∴∴在 Rt PEO 中,∴30°；∴在 Rt 中，，∴，∴ QB=9 ，在△ABG 中，AB 为⊙O 的直径，∴ AGB=9°0 ，∵ BAG=3°0 ，∴BG=6 ， ABG=6°0 ，过点 G作 GN ⊥QB交QB的延长线于点 N，则∠ N=90°，∠ GBN=18°0 -∠ CBQ- ∠ABG=6°0 ，∴BN=BQ· cos∠GBQ=3 ，GN=B·Q sin∠GBQ= ，∴ QN=QB+BN=12 ，∴在 Rt△QGN 中， QG= ，∵∠ ABG= ∠ CBQ=6°0 ，∴ BM 是△BQG 的角平分线，∴QM ：GM=QB ：GB=9：6，∴ QM= .点睛：解本题第 3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ、 BG的长及∠ CBQ= ∠ABG=6°0 ；（2）再过点 G作GN⊥QB并交 QB的延长线于点 N，解出 BN和GN的长，这样即可在 Rt△QGN 中求得 QG 的长，最后在△BQG 中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得 QM 的长了 .例 6已知如图，抛物线与轴相交于 B（1，0），C（5，0）两点，与 y轴的正半轴相交于 A 点，过 A，B，C 三点的⊙ P与 y轴相切于点 A，M 为轴负半轴上的一个动点，直线 MB 交抛物线于N，交⊙ P 于 D ．（1）填空:A 点坐标是___________________ ，⊙ P半径的长是 __ _ ， = ， = ， = ；（2）若 S△BNC :S△AOB ＝ 48:5，求 N 点的坐标；（3）若△AOB与以 A，B，D为顶点的三角形相似，求 MB·MD 的值．思路点拨1）先将 B、C 两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得⊙P半径，进而求得抛物线方程；2）根据 S△BNC ：S△AOB=48 ：5求出 N点的 y坐标，将 yN 代入抛物线方程即可求得MB?MD 的值．N点坐标；（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得满分解答（1）⊙ P 的半径 =3, = , = , = ；（3）过点 A 作直径 AQ 联接 BQ ，∴∠ ABQ=90o,∠BAO+ ∠AOB=90o,∵MA 与⊙ P相切于点 A，∴∠ OAB+∠BAO=90o, ∴∠ OAB= ∠AOB,而∠ AQB= ∠ADB,∴∠ OAB= ∠ADB, 而∠ AMB=AMD,∴△ MAB ∽△ MDA,,当△AOB ∽△ DBA 时，∠ ABD= ∠ AOB=90o,易证△AOB ∽△ BOM,则∴OM=∴; ⅱ当△AOB ∽△ DAB 时，∠ BAD= ∠AOB=90o,【变式训练】1．如图，直线 l 1∥l 2，⊙O 与 l 1和l 2分别相切于点 A 和点 B ．点 M 和点 N 分别是 l 1和l 2上的动点， MN 沿若∠ MON=9°0 ，则 MN 与⊙ O 相切；④ l 1和l 2的距离为 2，其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1 个答案】 B解析】分析】首先过点 N 作NC ⊥AM 于点C ，直线 l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点 A 和点 B ，⊙O 的半径为 1，易求l 1和 l 2平移．⊙ O 的半径为 1，∠ 1=60 °．有下列结论：① MN=；②若 MN 与⊙ O 相切，则 AM= ；③得 MN= = ，l1和 l2的距离为 2；若∠ MON=90° ，连接 NO并延长交 MA 于点 C，易证得CO=NO ，继而可得即 O到MN 的距离等于半径，可证得 MN 与⊙ O相切；由题意可求得若 MN 与⊙ O相切，则AM= 或．【详解】如图 1，如图 3，若∠ MON=9°0 ，连接 NO 并延长交 MA 于点 C，则△AOC ≌△ BON，故 CO=NO ，△MON ≌△ MOM′ ，故 MN 上的高为 1，即 O 到 MN 的距离等于半径．故③正确；如图 2，2．如图， AB ，BC 是⊙ O 的弦，∠ B=60°，点 O 在∠ B 内，点 D 为上的动点，点 M ，N ，P 分别是 AD ，DC ，CB 的中点．若⊙ O 的半径为 2，则 PN+MN 的长度的最大值是（）A ．【答案】 D 【解析】【分析】连接 OC 、OA 、 BD ，作 OH ⊥AC 于 H ．首先求出 AC 的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题【详解】解：连接 OC 、OA 、BD ，作 OH ⊥AC 于 H ．【点睛】B ．C ．本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．3．如图，AB是⊙ O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，CD ＝3，则 AB 的值是（）A ．3 B．C．6 D．【答案】 B【解析】【分析】连接 OD ，由圆周角定理可得∠ DOC ＝ 60°，根据三角函数可求 OD的长，即可求 AB 的长．【详解】连接 OD ，【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键．4．如图，已知 AD ＝ 30，点B ，C 是 AD 的三等分点，分别以 AB 、BC 、CD 为直径作圆，圆心分别为 E 、F 、N ，则弦 MN 的长是答案】 8解析】连接 PG 、MF ，过 F 作 FQ ⊥MN 于点 Q ，根据 AP 是⊙G 的切线，可证明 △AFQ ∽△AGP ，利用相似比，可求得 FQ=3，连接 F M ，在直角 △FQM 中根据勾股定理得到 MQ=4 ，则 MN=8 ．【详解】分析】[来源 :Z §X§X § K]G ，AP 切⊙ G 于点 P ，交⊙ F 于 M 、∴ FQ= PG=3，在直角△FQM 中， MQ== =4 ，则 MN=2MQ=8 ．故答案为： 8【点睛】本题主要考查切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，并且本题还考查了相似三角形的性质，对应边的比相等．5．如图，四边形 ABCD 中， AD ∥ BC，∠ ABC=90°，AB=5 ，BC=10 ，连接 AC 、 BD ，以 BD为直径的圆交 AC 于点 E．若 DE=3 ，则 AD 的长为.【答案】 2【解析】【分析】先证明△ADF ∽△ CAB，利用相似三角形的性质可得.再证明△DEF ∽△ DBA，利用相似三角形的性质可得，据此可求出 DF 的值，进而求出 AD 的值 .详解】如图所示，过点 D作DF ⊥AC于点 F，在 Rt △ABD 中，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ DEF=∠ DBA，又∵∠ DFE=∠ DAB =90°，∴ △DEF ∽△ DBA，即∴DF=2，∴AD=2 .故答案为： 2 .【点睛】本题主要了平行线的性质、勾股定理、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键 .6．如图，五边形是边长为的正五边形，是正五边形的外接圆，过点作的切线，与、的延长线交分别于点和，延长、相交于点，那么的长度是________答案】解析】分析】先证明 AG=AF ，由 SSS得到△OHD与△OED全等，得出∠ ODH= ∠ODE=5°4 ，证出∠ B=∠C=72°，设 GB=xcm ，由△DHB ∽△ GBD ，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，求出x 的值，即可得出结果．详解】连接 DG ，如图所示：∵BC 是⊙ O 的切线，∴OD⊥BC，∴∠ BFO=∠ CFO=9°0 ，在△OHD 与△OED 中，∴△ OHD≌△ OED （ SSS），∴∠ ODH= ∠ ODE=5°4 ，∴∠ HDB= ∠ EDC=3°6 ，∴∠ B=∠ C=72°，∴ BD=DH=DE=DC=GF ，∴GF= BC ，设 GB=x ，∵∠ BDH= ∠BGD ，∠ B=∠B，∴△ DHB∽△ GBD，∴ ，即，整理得： x2-2x-4=0 ，解得： x=1± （负值舍去），∴ AG=GB=1+ ，∴ AB=2+2 ；故答案为： 2+2 ．【点睛】本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，切线的性质；熟练掌握正五边形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．7．如图，已知在⊙ O中，直径 AB＝ 4，点 E是OA上任意一点，过 E作弦 CD⊥AB，点 F是上一点，连接 AF 交 CE 于点 H，连接 AC，CF，BD， OD.（1）求证： △ACH ∽△ AFC ；（2）猜想： AH ·AF 与AE ·AB 的数量关系，并证明你的猜想；（3）探究：当点 E 位于何处时， S △AEC ∶ S △BOD ＝ 1∶4？并加以说明．【答案】（ 1）详见解析；（ 2）AH ·AF ＝ AE ·AB ，证明详见解析；（3）当 OE ＝（或 AE ＝）时，S △AEC ∶S △BOD ＝1∶4.解析】分析】（1）根据垂径定理得到弧 AC=弧 AD ，再根据圆周角定理的推论得到∠ F=∠ACH ，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；（ 2）连接 BF ，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质证明；（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为 AE ：OB ，进一步转化为 AE ：AO 的比，再根据半径的长求得 OE 的长．详解】(3)解：当 OE ＝ (或 AE ＝ )时， S △AEC ∶S △BOD ＝ 1∶ 4.∵直线 AB ⊥CD ，∴ CE ＝ED ，又∵ S △AEC ＝ AE ·CE ，【点睛】能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形的判定和性质．8．如图，是的直径，是上一点，，S △BOD ＝ OB ·ED ，∴ ＝＝ ∵⊙ O 的半径∴ OE（2）若，，求的长 .【答案】（1）详见解析；（ 2） 2【解析】【分析】（1）连接 OC，由 AB 是直径可得∠ ACB=90° ，由 OA=OC 可得∠ BAC=OCA ，根据∠ ACD=∠B，∠B+∠ BAC=90°，通过等量代换可得∠ OCD=90°，即可得答案；根据∠ ACD= ∠B，∠ BAC=∠ADC=90°，可证明△ABC ∽△ ACD ，根据相似三角形的性质即可求出AC 的长.【详解】∴∴∴ 是的切线；【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质是解题关键 . 9．如图所示，△ABC内接于⊙ O，AC是⊙O的直径，点 D是劣弧 AB的中点，过点D作直线 BC的垂线，分别交 CB，CA 的延长线于 E，F 两点．（1）求证： EF是⊙ O的切线；（2）若 EF＝8，EC＝6，求⊙ O的半径．【答案】（1）证明见解析；（ 2） .【解析】【分析】（1）连接 OD 交 AB 于点 G，依据垂径定理的推论可以得出OD ⊥ AB，结合题意易得 AB∥ EF ，进而不难得到 OD⊥ EF，即可证明结论；（2）先根据勾股定理求出 CF的长，由（ 1）知 OD∥CE，然后利用平行线分线段成比例列式求解即可求出⊙ O 的半径 .【详解】（1）证明：连结 OD，∵ D 是的中点，∴OD⊥AB.又∵ AC 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AB ，∴ OD ∥ CE.又∵ C E ⊥EF ，∴ OD ⊥ EF ，即 EF 是⊙ O 的切线．本题主要考查了切线的判定，圆周角定理的推论，垂径定理定理的推论，平行线分线段成比例定理条直线是圆的切线常用的方法有：①若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连结过此点的半径，再证其与直线垂直；②若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径 .10．如图， AB 是⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上一点，经过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 D ，连接 ∠BCD ＝∠ CAB ． E 是⊙ O 上一点，弧 CB ＝弧 CE ，连接 AE 并延长与 DC 的延长线交于点 F ．（1）求证： DC 是⊙O 的切线；（ 2）若⊙ O 的半径为 3， sin ∠ D ＝，求线段 AF 的长．答案】（1）见解析；（ 2） .解析】分析】（1）连接 OC ，BC ，由 AB 是⊙ O 的直径，得到∠ ACB=90° ，即∠ 1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到 ∠1=∠2．得到∠ DCB+ ∠3=90°．于是得到结论；.证明一AC ，BC ，（2）根据三角函数的定义得到 OD=5，AD=8 ．根据弧 CB＝弧 CE得到∠ 2=∠4．推出 OC∥AF ．根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（2）解：在 Rt△OCD 中， OC＝ 3， sinD ＝∴ OD ＝ 5，AD ＝ 8．∵弧 CB ＝弧 CE，∴∠ 2＝∠ 4．∴∠ 1＝∠ 4．∴OC∥AF．∴△ DOC∽△ DAF．=本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图， AB 是半圆 O的直径，点 P在 BA的延长线上， PD切⊙O于点 C，BD⊥PD，垂足为 D，连接 BC.（1）求证： BC 平分∠ PBD；（2）求证： PC2＝PA·PB；（3）若 PA＝ 2，PC＝ 2 ，求阴影部分的面积（结果保留π）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） S阴影＝2 －π.【解析】【分析】（1）连接 OC，由 PD切⊙O 于点 C，得到 OC⊥PD，根据平行线的性质得到∠ DBC= ∠BCO ，根据的预计实现的性质得到∠ OCB= ∠OBC ，等量代换得到∠ OBC= ∠ CBD ，于是得到即可；（2）连接 AC，由 AB 是半圆 O的直径，得到∠ ACB=90° ，推出∠ ACP= ∠ABC ，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据图形的面积公式即可得到结果．【详解】（ 1）连接 OC，∵PD切⊙O 于点 C，∴OC⊥PD，∵BD ⊥PD，∴BD ∥OC，∴∠ DBC＝∠ BCO，∵OC＝OB，∴∠ OCB＝∠ OBC，∴∠ OBC＝∠ CBD，∴BC 平分∠ PBD ；（3）∵ PC2＝PA·PB， PA＝2，PC＝2 ，∴PB＝6，∴ AB ＝ 4 ，∴O C＝2，PO＝4，∴∠ POC＝60°，∴ S阴影＝S△POC－ S扇形＝×2 ×2－＝2 －π.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．12．如图， AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点， AD⊥CE 于点 D，AC 平分∠DAB．（1）求证：直线 CE 是⊙ O 的切线；（2）若 AB＝10，CD＝ 4，求 BC 的长．【答案】(1)证明见解析； ( 2) BC＝2 或 4 ．【解析】【分析】(1)如图，连接OC，由 AC 平分∠ DAB 得到∠ DAC= ∠CAB ，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA= ∠CAB ，接着利用平行线的判定得到 AD ∥CO，而 CD⊥AD ，由此得到 CD ⊥ AD ，最后利用切线的判定定理即可证明 CD 为⊙ O 的切线；(2)证明△DAC ∽△ CAB ，根据相似三角形对应边成比例进行求解即可 .【详解】∴AD ∥CO，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙ O直径且 C在半径外端，∴CD 为⊙ O 的切线；【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键 .13．如图，在⊙ O中，AB是⊙ O的直径， AE是弦， OG⊥AE于点 G，交⊙O 于点D，连结BD交AE 于点F，延长 AE 至点 C，连结 BC．（1）当 BC=FC 时，证明： BC是⊙O 的切线；（2）已知⊙ O的半径，当tanA= ，求 GF 的长．答案】（1）见解析；（2）1解析】分析】1）由 OD⊥AE 可知∠ D + ∠ GFD =90°，由等腰三角形的性质可得∠ BFC=∠ FBC，∠OBD=∠D，从而可证∠ OBC =90°；(2)连接 BE，在 Rt△AOG 中，可求出 OG= 3， AG=4，由垂径定理得 GE= AG=4，然后通过证明FEB，可求出 GF 的长 .【详解】∵⊙ O 半径， tanA= ，∴ sinA= ,cosA= ．∴在Rt△AOG 中，OG=OA sinA=5× =3，AG=OA cosA=5× =4=GE ．△FGD ∽△【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质熟记切线的判定定理是解（ 1）的关键，证明△FGD∽△ FEB是解（ 2）的关键 . 14．如图， AB是⊙ O的直径，弦 CD⊥AB于点E，点 P在⊙ O上，弦 PB与CD交于点 F，且 FC＝FB．（1）求证： PD∥CB ；（2）若 AB＝26，EB＝8，求 CD 的长度．答案】（1）证明见解析；（2）CD ＝24．解析】分析】1）欲证明 PD∥ BC，只要证明∠ P＝∠ CBF 即可；2）由△ACE ∽△ CBE，可得，求出 EC，再根据垂径定理即可解决问题详解】2）连接 AC ，∵ AB 是直径，∴∠ ACB ＝90°，∵AB ⊥CD，∴CE＝ED，∠AEC＝∠ CEB ＝ 90°，∵∠ CAE+ ∠ ACE ＝90°，∠ ACE+∠BCE＝90°，∴∠ CAE ＝∠ BCE ，∴EC2＝144，∵EC>0，∴EC＝12，∴CD＝2EC＝24．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．15．如图⊙ O的内接△ABC中，外角∠ ACF 的角平分线与⊙ O相交于 D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为 H.问：（1） ∠PDC 与∠ HDC 是否相等，为什么？（2）图中有哪几组相等的线段？（3）当△ABC 满足什么条件时， △CPD ∽△ CBA ，为什么？答案】（ 1）相等，理由详见解析；（ 2）PC ＝HC ，DP ＝DH ，AP ＝BH ，ADACB ＝ 60 °时， △CPD ∽△ CBA.【解析】【分析】（1）根据“AAS ”证明△CDH ≌△ CDP 即可；（2）发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；（3）根据其中一个是直角三角形得到 AC 必须是直径．再根据另一对角对应相等，＝∠ DCF ＝∠ ACB=60°才可．【详解】又∵ CD=CD ，∴△ CDH ≌△ CDP ，∴∠ PDC ＝∠ HDC .(2) ∵△ CDH ≌△ CDP ， ∴PC ＝HC ，DP ＝DH ，∵∠ DAP=∠ DBH ，∠ APD =∠BHD =90°， ∴△ADP ≌△ BDH ， ∴AP ＝BH ，AD ＝BD.BD ；(3)∠ ABC ＝ 90°且∠ 结合利用平角发现∠ PCD综上可得： PC ＝HC ，DP ＝DH ，AP ＝BH ，AD ＝BD.【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，圆周角定理的推论等知识 .掌握全等三角形的判定和性质，能够根据已知的三角形的形状探索若相似应满足的条件是解答本题的关键．16．如图 ,AB 是⊙ O 的直径, ⊙O 过 BC 的中点 D,DE ⊥ AC.求证: △BDA ∽△ CED.【答案】证明见解析 .【解析】【分析】不难看出 △BDA 和△CED 都是直角三角形，证明 △BDA ∽△ CED ，只需要另外找一对角相等即可，由于是△ABC 的中线，又可证 AD ⊥BC ，即 AD 为 BC 边的中垂线，从而得到∠ B=∠C ，即可证相似．【详解】【点睛】本题重点考查了圆周角定理、直径所对的圆周角为直角及相似三角形判定等知识的综合运用．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙ O ，交BC 于点D ，连接 AD ．过点 D 作DE ⊥ AC ，垂足为点 E ．（1）求证： DE 是⊙O 的切线；（2）当⊙ O 半径为 3，CE ＝ 2 时，求 BD 长．AD【答案】（1）证明见解析；（2）BD ＝2 ．【解析】【分析】（1）连接OD，AB为⊙ 0的直径得∠ ADB=90° ，由AB=AC ，根据等腰三角形性质得 AD平分BC，即DB=DC ，则 OD 为△ABC 的中位线，所以 OD∥AC，而 DE⊥AC，则 OD ⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90° ，得出△DEC∽△ ADB ，得出，从而求得 BD?CD=AB?CE ，由 BD=CD ，即可求得 BD2=AB?CE ，然后代入数据即可得到结果．【详解】（1）证明：连接 OD ，如图，∵AB 为⊙ 0 的直径，∴∠ ADB ＝ 90°，∴AD ⊥BC，∵AB ＝AC，∴AD 平分 BC，即 DB ＝DC，∵OA ＝OB，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙ 0 的切线；【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．18．如图，为的直径，，为上一点，且 AC=BC ，为 BC 上的一动点，延长至，使得，连接．1）求证：直线是的切线；2）若点由点运动到点，则线段扫过的面积是_______ ．（结果保留）答案】（1）见解析；（2）解析】分析】1）做辅助线根据证明,由相似三角形性质即可解题 ,（ 2）作出图像得 S 阴影=S△ABQ -S△AOC -S扇形BOC,即可解题 .【详解】（ 1）证明：连接．，即．是的直径，直线是的切线．[来源 :ZXXK]【点睛】本题考查了三角形的相似 ,切线的证明 ,不规则图形求面积 ,中等难度 ,证明切线是解题关键 . 19．如图，⊙ O是△ABC 的外接圆， AB 是⊙ O的直径，经过点 A作AE⊥OC，垂足为点 D，AE 与BC交于点 F，与过点 B 的直线交于点 E，且 EB＝ EF．（1）求BE 是⊙ O 的切线；答案】（1）见解析；解析】分析】1）由 OB ＝ OC可得∠ OBC ＝∠ OCB ，由EB ＝ EF可知∠ EBC ＝∠ EFB，根据∠ AFC+ ∠OCB＝ 90°可知∠EBC+ ∠OBC＝90°，即可得结论；（2）由（ 1）可知∠ AEB+ ∠ EAB ＝ 90°，由∠ AOD+ ∠ EAB ＝90°即可证明∠ AOD ＝∠ AEB ，设⊙ O 的半径为 r，根据 cos∠ AOD ＝ cos∠ AEB ＝可求出 r 的值，即可得 AB 的值，根据cos∠ AEB ＝＝可得 AE＝ BE，利用勾股定理求出 BE 的长即可 .【详解】（2）设⊙ O 的半径为 r，则 OA ＝OC＝r，又 CD＝ 1，∴OD＝r﹣1，∵∠ AOD+ ∠ EAB ＝90°，∠ AEB+ ∠ EAB ＝90°，∴∠ AOD＝∠ AEB，∴cos∠ AOD ＝ cos∠AEB ＝，∴在 Rt△AOD 中， cos∠ AOD ＝＝，即＝解得： r＝，∵AB 是⊙ O 的直径，∴ AB ＝ 5 ，在 Rt △AEB 中，∴AE ＝ BE ，又 AE 2＝AB 2+BE 2，即（ BE ）2＝ BE 2+52，解得： BE ＝．20．如图，已知 Rt △ACE 中，∠ AEC=90°，CB 平分∠ ACE 交AE 于点 B ，AC 边上一点 O ，⊙O 经过点 B 、C ，与 AC 交于点D ，与 CE 交于点F ，连结 BF 。

【精编版】数学中考专题训练——相似三角形与圆的综合

中考专题训练——相似三角形与圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．参考答案与试题解析1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．【分析】（1）由垂径定理得出OD⊥AC，进而得出∠F AO+∠AOF＝90°，由圆周角定理结合已知条件得出∠AOF＝∠CAE，得出∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；（2）连接AD，利用解直角三角形得出tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，由⊙O的半径10，得出AB＝5x＝20，求出x＝4，求出AD＝12，BD＝16，继而证明△ADH∽△BDA，利用相似三角形的性质即可求出DH的长．【解答】（1）证明：如图1，∵D是的中点，∴OD⊥AC，∴∠AFO＝90°，∴∠F AO+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠AOF＝∠CAE，∴∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，∵OA是半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵∠C＝∠B，，tan B＝，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，∵⊙O的半径10，∴AB＝5x＝20，∴x＝4，∴AD＝3×4＝12，BD＝4×4＝16，∵D是的中点，∴AD＝CD＝12，∴∠DAC＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠ADH＝∠BDA∴△ADH∽△BDA，∴，即，∴DH＝9．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．【分析】（1）延长BO交⊙O于点E，连接AE，先证明△PBA∽△ABD，得出∠P AB＝∠ADB，由圆周角定理得出∠P AB＝∠E，由等腰三角形的性质得出∠OAE＝∠E，进而得出∠P AB＝∠OAE，由圆周角定理得出∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，进而得出∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，即可证明P A是⊙O的切线；（2）延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，利用勾股定理列方程求出⊙O的半径为3，进而得出OA＝3，OP＝5，BE＝6，再证明△P AO∽△EDB，利用相似三角形的性质即可求出BD的长度．【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点E，连接AE，∵AB2＝PB•BD，∴，∵∠ABP＝∠ABD，∴△PBA∽△ABD，∴∠P AB＝∠ADB，∵∠ADB＝∠E，∴∠P AB＝∠E，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠E，∴∠P AB＝∠OAE，∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，∴∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，∵OA是半径，∴P A是⊙O的切线；（2）解：如图2，延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，∵P A＝2PB＝4，∴PB＝2，设OA＝OB＝x，则OP＝x+2，∵∠P AO＝90°，∴P A2+AO2＝OP2，即42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OA＝3，OP＝2+3＝5，BE＝3+3＝6，∵△PBA∽△ABD，∴∠P＝∠BAD，∵∠BAD＝∠BED，∴∠P＝∠BED，∵BE为直径，∴∠BDE＝90°，∴∠P AO＝∠EDB＝90°，∴△P AO∽△EDB，∴，即，∴BD＝．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．【分析】（1）利用垂径定理的推论得到AB⊥CD，利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）过点F作FM⊥AB于点M，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出线段OE，OM，MF的长，利用全等三角形的判定与性质求得线段BH的长，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．【解答】（1）证明：∵点B是弧CD的中点，AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，∵AE∥CD，∴AE⊥OA．∵OA为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FM⊥AB于点M，如图，∵AO＝5，AE＝，AE⊥OA，∴OE＝＝．∵AE⊥AB，FM⊥AB，∴FM∥AE，∴△OMF∽△OAE，∴，∴，∴OM＝3，MF＝4．∴BM＝OB+OM＝5+3＝8，∴BF＝＝4．在△OFM和△ODH中，，∴△OFM≌△ODH（AAS），∴OM＝OH＝3，∴BH＝OB﹣OH＝2．∵FM⊥AB，AB⊥CD，∴CD∥FM，∴△BGH∽△BFM，∴，∴，∴BG＝．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，证明DE是⊙O的切线，关键是证明OD⊥DE；（2）连接BD，根据（1）中OD∥AE得△OGD∽△AEG，从而求出AE的长，再根据△AED∽△ADB求出AD的长，再利用三角函数求出DF的长，利用S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB求出阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图所示，连接BD，∵OD//AE，∴△OGD∽△EGA，∴，∵，⊙O的半径为2，∴，∴AE＝3．∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠CAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴，即，∴，在Rt△ADB中，，∴∠DAB＝30°，∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，∴∠F＝30°，∵OD＝2，∴，∴．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由等腰三角形的性质得出AD＝BD＝6，OC＝5，由勾股定理得出AC＝10，证明△CHO∽△CDA，，由相似三角形的性质得出OH＝3，继而得出AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，AB是⊙O的切线，即可得出⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）延长DC交FE于点M，由正方形的性质得出BE＝AB＝12，EF∥AB，由CA＝CB，CD⊥AB，得出AD＝BD＝6，DM⊥EF，继而得出FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，由三角形中位线的性质得出GE＝8，进而得出BG＝4，即可求出BG：GE的值．【解答】解：（1）小红的方法正确，理由如下：如图①，过点O作OH⊥AC于点H，∵等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，OD＝3，∴AD＝BD＝6，OC＝CD﹣OD＝8﹣3＝5，∴AC＝＝＝10，∵∠CHO＝∠CDA＝90°，∠HCO＝∠DCA，∴△CHO∽△CDA，∴，即，∴OH＝3，∵OH⊥AC，∴AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，∵OD⊥AB，OD＝3，∴AB是⊙O的切线，∴⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）如图②，延长DC交FE于点M，∵四边形ABEF是正方形，AB＝12，∴BE＝AB＝12，EF∥AB，∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝6，DM⊥EF，∴FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，∴MC是△EFG的中位线，MC＝DM﹣CD＝12﹣8＝4，∴GE＝2CM＝2×4＝8，∴BG＝BE﹣GE＝12﹣8＝4，∴，故答案为：．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质求得∠ACD+∠ABD＝180°，推出∠ABD＝∠ACE，即可证明；（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE＝3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；②证明△EAG∽△EDA，利用三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AE⊥CE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ACD+∠ABD＝180°，又∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：①在Rt△BDA中，AB＝5，BD＝5，∴AD＝＝15，∵△ABD∽△ACE，∴，即，∴AE＝3CE，在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，∴152＝（3CE）2+（9+CE）2，解得：CE＝﹣（舍去）或CE＝3；∴EC的长为3；②∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠CAG＝∠F，∠EAG＝∠CAE+∠CAG，∠EDA＝∠BAD+∠F，∴∠EAG＝∠EDA，∴△EAG∽△EDA，∴，∴AE2＝GE•ED，即AE2＝（EC+CG）•ED，∵CE＝3，∴AE＝3CE＝9，∴92＝（3+CG）×12，∴CG＝．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．【分析】（1）连接OD，证明BF∥AE，BC∥EF，可得结论；（2）根据平行四边形的性质可得CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，证明四边形CODG是正方形，△ABC∽△GCE，列比例式可得AE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵BF⊥AB，∴∠ABF＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC+∠ABF＝180°，∴BF∥AE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BC⊥OD，∵EF切⊙O于D，∴EF⊥OD，∴BC∥EF，∴四边形BCEF为平行四边形；（2）解：由（1）知：四边形BCEF为平行四边形，∴CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，∴∠COD＝∠ODG＝∠CGD＝90°，∵OC＝OD，∴四边形CODG是正方形，∴CG＝OC，∠BCG＝90°，∴∠ACB+∠ECG＝90°，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠CGE＝∠BAC＝90°，∴△ABC∽△GCE，∴＝，设⊙O的半径是r，则BC＝2r，∴＝，∴r＝（负值舍），∴BC＝2，∴AC＝＝＝2，∴AE＝AC+CE＝2+＝．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．【分析】（1）由点D为的中点，可得∠CBD＝∠ABD，根据AB为⊙O的直径，有∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，又AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，有∠F＝90°﹣∠ABD，即得∠AEF＝∠F，AE＝AF；（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC 便可．【解答】（1）证明：∵点D为的中点，∴＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，∵AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠ABD，∴∠AEF＝∠F，∴AE＝AF；（2）∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠F AD＝90°，∴∠ABD＝∠F AD，∵∠ABD＝∠CAD，∴∠F AD＝∠EAD，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴AF＝AE，DF＝DE，在Rt△ADE中，AB＝4，BF＝5，∴AF＝＝3，∴AE＝AF＝3，∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AD，∴AD＝＝＝，∴DE＝＝＝，∴BE＝BF﹣2DE＝，∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△BEC∽△AED，∴＝，∴BC＝＝，∴sin∠BAC＝＝，∵∠BDC＝∠BAC，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°∴sin∠BDC＝．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）连接OF，证明△DAO≌△DFO（SAS），可得∠DAO＝90°＝∠DFO，即可得DF与半圆O相切；（2）连接AF，证明△AOD∽△FBA，可得＝，DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝，即可得矩形ABCD的面积是．【解答】（1）证明：连接OF，如图：∵＝，∴∠DOA＝∠FOD，∵OA＝OF，OD＝OD，∴△DAO≌△DFO（SAS），∴∠DAO＝∠DFO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO＝90°＝∠DFO，∴OF⊥DF，又OF是半圆O的半径，∴DF与半圆O相切；（2）解：连接AF，如图：∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆直径，∴∠AFB＝90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF，∴∠AOD＝∠ABF，∵∠OAD＝∠AFB＝90°，∴△AOD∽△FBA，∴＝，即＝，∴DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AD•AB＝×10＝，答：矩形ABCD的面积是．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形性质及圆周角定理可得∠PCO＝90°，然后由切线的判定定理可得结论；（2）连接EC，FC，OC，证明Rt△ECD∽Rt△CFD，得出CD2＝DE•DF，继而得出CD2＝DE•OD+DE•OE，同理得出CD2＝OD•DE+OD•PE，进而得出DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，即可证明PE•OD＝DE•OE．【解答】证明：（1）如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠PCA＝90°，即∠PCO＝90°，∵OC是圆O的半径，∴PC是圆O的切线；（2）如图2，连接EC，FC，OC，∵EF是直径，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠CFE＝90°，∵D是AC的中点，EF是直径，∴AC⊥EF，∴∠CEF+∠ECD＝90°，∠EDC＝∠CDF＝90°，∴∠ECD＝∠CFD，∴Rt△ECD∽Rt△CFD，∴，∴CD2＝DE•DF，∴CD2＝DE（OD+OF）＝DE（OD+OE）＝DE•OD+DE•OE，同理Rt△PCD∽Rt△COD，∴，∴CD2＝OD•PD＝OD（PE+DE）＝OD•DE+OD•PE，∴DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，∴PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．【分析】（1）因为BD是⊙O的切线，所以∠∠CBD＝∠A，因为BC＝EC，所以∠E＝∠EBC，由同弧所对的圆周角相等可得，∠A＝∠E，所以∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）由（1）可知，tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以tan A＝＝，即AC＝2BC，由AB＝2结合勾股定理可得，BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，解得BC＝2，AC＝4，又因为tan∠EBC＝＝，所以CF＝1，AF＝3，BF＝，易证△ABF∽△ECF，所以AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解之即可．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠∠CBD＝∠A，∵BC＝EC，∴∠E＝∠EBC，∵∠A＝∠E，∴∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）解：由（1）知，∠A＝∠E＝∠EBC，∴tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan A＝＝，即AC＝2BC，∵AB＝2，∴BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，∴BC＝2，AC＝4，∵tan∠EBC＝＝，∴CF＝1，AF＝3，BF＝，∵∠A＝∠E，∠ABF＝∠ECF，∴△ABF∽△ECF，∴AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解得EF＝．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．【分析】（1）作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD ＝CD，再通过导角得出AC是∠F AB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH＝OE，从而证明结论；（2）根据BC＝6，sin B＝，可得AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．【解答】（1）证明：如图，作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD＝，∴∠CAD＝∠ACD，∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，又∵∠F AC＝，∴∠F AC＝∠CAB，即AC是∠F AB的平分线，∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin B＝，∴可设AC＝4x，AB＝5x，∴（5x）2﹣（4x）2＝62，∴x＝2，则AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，∵Rt△AOE∽Rt△ABC，∴，即，∴r＝3，∴AE＝4，又∵AD＝5，∴DE＝1，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质可得∠DAO＝90°，从而可得∠D+∠ABD＝90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，从而可得∠ACB+∠EBC＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；（2）根据已知可得BD＝3BC，然后利用（1）的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB＝3EC，然后根据AB＝AC，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴∠DAO＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，∴∠ACB+∠EBC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠D＝∠EBC；（2）解：∵CD＝2BC，∴BD＝3BC，∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，∴△DAB∽△BEC，∴＝＝3，∴AB＝3EC，∵AB＝AC，AE＝3，∴AE+EC＝AB，∴3+EC＝3EC，∴EC＝1.5，∴AB＝3EC＝4.5，∴⊙O的半径为2.25．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝∠AEB＝90°，进而得出∠F+∠FBE＝90°，由∠F＝∠ABE，得出∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，即可证明BF是⊙O的切线；（2）连接OE交BC于点G，由∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，得出BC＝12，，由圆周角定理得出，进而得出OE垂直平分BC，即可求出，OG是△ABC的中位线，得出，求出EG＝4，由∠CAE＝∠CBE，得出tan∠CAD＝tan∠EBG，得出，即可求出．【解答】（1）证明：如图1，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∴∠F+∠FBE＝90°，∵∠F＝∠ABE，∴∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，∴AB⊥BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OE交BC于点G，∵∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，，∵AF平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴，∴OE垂直平分BC，∴，OG是△ABC的中位线，∴，∴EG＝OE﹣OG＝﹣＝4，∵∠CAE＝∠CBE，∴tan∠CAD＝tan∠EBG，∴，即，∴．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．【分析】（1）由切线的性质及圆周角定理得出∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，证明△F AD≌△BAD，得出∠ADF＝∠ADB，即可证明∠FDE＝∠CDE；（2）由解直角三角形得出BC＝16，由勾股定理得出AC＝20，由全等三角形的性质得出AF＝AB＝12，进而得出CF＝8，由解直角三角形得出DF＝6，进而得出BD＝DF＝6，由勾股定理得出AD＝6，证明△EAD∽△DAB，由相似三角形的性质得出AE＝15，再利用勾股定理即可求出DE＝3．【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，AD为直径，∴AD⊥DE，∴∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，∵AD是直径，∴∠AFD＝∠ABD＝90°∵AD平分∠BAC，∴∠F AD＝∠BAD，在△F AD和△BAD中，，∴△F AD≌△BAD（AAS），∴∠ADF＝∠ADB，∴∠FDE＝∠CDE；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝12，tan∠C＝，∴BC＝＝＝16，∴AC＝＝＝20，∵△F AD≌△BAD，∴AF＝AB＝12，∴CF＝AC﹣AF＝20﹣12＝8，在Rt△CDF中，DF＝CF•tan∠C＝8×＝6，∴BD＝DF＝6，∴AD＝＝＝6，∵∠ABD＝∠ADE＝90°，∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB，∴，即，∴AE＝15，∴DE＝＝＝3．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O的直径可得出AD⊥BC，由点D为弧BE的中点利用圆周角定理可得出∠BAD＝∠DAC，利用等角的余角相等可得出∠ABD＝∠ACD，进而可证出△ABC为等腰三角形；（2）连接OD，则OD⊥GF，由OA＝OD可得出∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，利用“内错角相等，两直线平行”可得出OD∥AC，根据平行线的性质可得出＝、∠GOD ＝∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质可得出GO＝DO＝BO，进而可得出＝＝＝．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：连接AD，如图1所示．∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC．∵点D为弧BE的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠ABD＝∠ACD，∴△ABC为等腰三角形．（2）连接OD，如图2所示．∵直线l是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥GF．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，∴OD∥AC，∴＝，∠GOD＝∠BAC＝45°，∴△GOD为等腰直角三角形，∴GO＝DO＝BO，∴＝＝＝．∴＝．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．【分析】（1）连接OD，证DO∥AB，得出∠ODB＝90°即可得出结论；（2）连接DE，证△CDE∽△CAD，根据线段比例关系即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAO＝∠ADO，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．【分析】（1）连接OC，由垂径定理的推论得出OC⊥BD，由CE∥BD，得出OC⊥CE，即可证明CE是⊙O的切线；（2）连接OC，BC，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝∠E，由圆周角定理得出∠BOC ＝2∠E，由OC⊥CE，得出∠BOC+∠E＝90°，求出∠E＝30°，进而求出CH＝3，EH ＝3，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝30°，AE＝6，由圆周角定理得出∠ACB ＝90°，由解直角三角形求出AB＝4，由CE∥BD，得出，代入计算即可求出BF＝4，得出答案．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵弧CD＝弧CB，OC是半径，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∵OC是半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OC，BC，∵CA＝CE＝6，∴∠CAB＝∠E，∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝2∠E，∵OC⊥CE，∴∠BOC+∠E＝90°，∴2∠E+∠E＝90°，∴∠E＝30°，∵CH⊥AE，∴CH＝CE＝×6＝3，EH＝＝＝3，∵CA＝CE＝6，CH⊥AE，∴∠CAB＝∠E＝30°，AE＝2EH＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝，∴AB＝＝＝＝4，∵CE∥BD，∴，即，∴BF＝4，∴CH的长为3，BF的长为4．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC＝90°，由∠A＝40°，得出∠ACB＝50°，由点D是的中点，即可求出∠DCB＝∠ACB＝25°；（2）由圆周角定理得出∠BCD+∠CEF＝90°，由点D是的中点，得出∠DCB＝∠DCA，由等腰三角形的性质得出∠FCE＝∠FEC，进而得出∠ACF＝90°，即可证明CF 是⊙O的切线；（3）由解直角三角形得出＝，设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，由勾股定理得出方程（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解方程求出x＝3，得出BC＝12，CF＝15，BF＝9，再证明△CFB∽△AFC，利用相似三角形的性质求出AC＝20，即可求出⊙O的半径长为10．【解答】（1）解：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝×50°＝25°；（2）证明：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BCD+∠CEF＝90°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∴∠DCA+∠FCE＝90°，即∠ACF＝90°，∴AC⊥CF，∵AC是直径，∴CF是⊙O的切线；（3）解：在Rt△CBF中，sin∠F＝，∵，BE＝6，∴＝，∴设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，∵BC2+BF2＝CF2，∴（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解得：x＝3或（不符合题意，舍去），∴BC＝12，CF＝15，BF＝9，∵∠CBF＝∠ACF＝90°，∠CFB＝∠AFC，∴△CFB∽△AFC，∴，即，∴AC＝20，∴OA＝AC＝×20＝10，∴⊙O的半径长为10．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，利用圆心角，弦，弧，弦心距之间的关系定理可得OE＝OF，AE＝CF＝AB，利用等式的性质可得EM＝FN，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；（2）连接OB，利用相似三角形的判定与性质得到∠AOM＝∠B，利用同圆的半径线段，等腰三角形的性质和角平分线性质定理的逆定理得到∠AOM＝∠OAC，则得OM∥ON，利用等腰梯形的定义即可得出结论．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图，∵AB＝AC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF，AE＝CF＝AB．∵AM＝CN，∴AE﹣AM＝FC﹣CN，即：EM＝FN．在△OEM和△OFN中，，∴△OEM≌△OFN（SAS）．∴OM＝ON；（2）连接OB，如图，∵AO2＝AM•AC，AC＝AB，∴AO2＝AM•AB，∴．∵∠MAO＝∠OAB，∴△OAM∽△BAO，∴∠AOM＝∠B．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠OAB＝∠AOM，∴OM＝AM．∵OM＝ON，∴AM＝ON．∵OE＝OF，OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠AOM＝∠OAC，∴OM∥AN．∵AM＜AN，∴OM＜AN，∴四边形AMON为梯形，∵AM＝ON，∴四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC．∵AC⊥BC，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠F．∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠F，∴BD＝BF；（2）解：连接BE，如图，∵∠BDE＝∠F，∴tan∠BDE＝tan∠F＝2，∵CF＝1，tan∠F＝，∴CE＝2．∵BD是⊙O直径，∴∠BED＝90°，∴BE⊥EF．∵EC⊥BF，∴△ECF∽△BCE，∴，∴EC2＝BC•CF．∴BC＝4．∴BF＝BC+CF＝5．∴BD＝BF＝5，即⊙O的直径为5．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，即可证明△CED∽△BAD；（2）过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A＝60°，AC＝AB＝6，由DC＝2AD，得出AD＝2，DC＝4，由相似三角形的性质得，得出EC＝3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，进而得出FC＝5x，利用勾股定理得出一元二次方程（x）2+（5x）2＝42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．【解答】（1）证明：如图1，∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，∴△CED∽△BAD；（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，∵△ABC是边长为6等边三角形，∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，∵DC＝2AD，∴AD＝2，DC＝4，∵△CED∽△BAD，∴，∴EC＝3DE，∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，∴FC＝5x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（x）2+（5x）2＝42，解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），∴EC＝6x＝．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．【分析】（1）连接OE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠AEO+∠OEB＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠AEO，从而可得∠BEF＝∠AEO，然后可得∠BEF+∠OEB＝90°，从而求出∠OEF＝90°，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠BEF＝∠EAO，从而可证△FEB∽△F AE，然后利用相似三角形的性质可求出BE的长，再在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，从而求出EF 的长，即可解答．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEO+∠OEB＝90°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠CAB，∴∠EAO＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEO，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴∠OEF＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵∠BEF＝∠AEO，∠EAO＝∠AEO，∴∠BEF＝∠EAO，∵∠F＝∠F，∴△FEB∽△F AE，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝6，∴AB＝＝＝30，∴＝，∴EF＝20，∴⊙O的半径为15，EF的长为20．。

初三九年级数学中考复习专题相似三角形、圆、锐角三角函数综合

相似三角形、圆、锐角三角函数综合1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC=，求的值．2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC=2CD•OE；（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．3.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）求证：EF＝4OD·OP；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．4.如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，sin ∠BFA＝，求△ACF的面积．.5.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足=，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）若tan∠CBA=，AE=3，求AF的长．6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．7.如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：；（2）如图②，若，求的值．。

中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习及详细答案

中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习及详细答案一、锐角三角函数1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE ，∵OA=OD ，∴∠A=∠ADO ，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE ⊥OD ，又OD 为圆的半径，∴DE 为⊙O 的切线；（2）∵E 是BC 的中点，O 点是AB 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴AC=2OE ，∵∠C=∠C ，∠ABC=∠BDC ，∴△ABC ∽△BDC ， ∴，即BC 2=AC•CD ．∴BC 2=2CD•OE ；（3）解：∵cos ∠BAD=， ∴sin ∠BAC=，又∵BE=，E 是BC 的中点，即BC=， ∴AC=．又∵AC=2OE ，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数2．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP = 【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∵//CD AB ，∴OCD COA ∠=∠，∴POA QDO ∠=∠．在AOP ∆和ODQ ∆中， {OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=，∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =，∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ，∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP yCP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<；（3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ，∴AOQ DQO ∠=∠，∵AOP ∆≌ODQ ∆，∴DQO APO ∠=∠，∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去；综上，线段OP 的长为8．3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm ，AD 是斜边BC 上的高，垂足为D ，BE=1cm ．点M 从点B 出发沿BC 方向以1cm/s 的速度运动，点N 从点E 出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN 为边在BC 的上方作正方形MNGH ．点M 到达点D 时停止运动，点N 到达点C 时停止运动．设运动时间为t （s ）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.【解析】试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：.（3）分两种情况：①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm∴t=（15﹣6）s故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.4．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：（1）点的坐标（用含的代数式表示）；（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．【答案】解：（1）过作轴于，，，，，点的坐标为．（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，，，．②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，过作于，则，，．③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，则，，．过作轴于，则，，化简，得，解得，，．所求的值是，和．【解析】（1）过作轴于,利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点的坐标⊙P与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应分三种情况探讨：①当圆P与OC相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC垂直于OC，再由OA=+t，根据菱形的边长相等得到OC=1+t，由∠AOC的度数求出∠POC为30°，在直角三角形POC中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op，表示出OC，等于1+t列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②当圆P与OA，即与x轴相切时，过P作PE垂直于OC，又PC=PO，利用三线合一得到E为OC的中点，OE为OC的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③当圆P与AB所在的直线相切时，设切点为F，PF与OC交于点G，由切线的性质得到PF垂直于AB，则PF垂直于OC，由CD=FG，在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义由OC表示出CD，即为FG，在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG，用PG+GF表示出PF，根据PF=PC，表示出PC，过C作CH垂直于y轴，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值．5．如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点F.（1）求证：DF⊥AC；（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值.3【答案】(1)证明见解析; (2) tan∠【解析】试题分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．试题解析：证明:连接OD∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE∵O为AB中点, D为BC的中点∴OD‖AC∴DE⊥AC(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD 在Rt△BFO中，∠ABC=30°∴OF=12OB, BF=32OB∵BD=DC, BF=FD，∴FC=3BF=332OB在Rt△OFC中，tan∠BCO=13233OBOFFCOB==.点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=12OB，BF=3OB，FC=3BF=33OB是解题关键．6．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．【详解】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG3，∴FG=tan3AGAFG=∠，在Rt△ACG中，tan∠ACG=AGCG，∴CG =tan AG ACG ∠=3AG ．又∵CG ﹣FG =24m ，即3AG ﹣3=24m ， ∴AG =123m ，∴AB =123+1.6≈22.4m ．7．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）【答案】215.6米．【解析】【分析】过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离.【详解】解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒，∴AM=CM=200米，又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米，在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米∴115.6tan 60BN DN =≈o米， ∴215.6MN MD DN AB =+=≈米即A ，B 两点之间的距离约为215.6米．【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.8．如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上一点，C 在AB 的延长线上，AD ⊥CE 交CE 的延长线于点D ，且AE 平分∠DAC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝6，∠ABE ＝60°，求AD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）92【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE ＝∠DAE ，再利用半径相等得∠AEO ＝∠OAE ，等量代换即可推出OE ∥AD ，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos30°，在Rt △ADE 中，AD=cos30°×AE 即可解题.【详解】证明：如图，连接OE ，∵AE 平分∠DAC ，∴∠OAE ＝∠DAE ．∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ．∴∠AEO ＝∠DAE ．∴OE ∥AD ．∵DC ⊥AC ，∴OE ⊥DC ．∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∠ABE ＝60°．∴∠EAB ＝30°，在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos30°=6×3=33，在Rt △ADE 中，∠DAE ＝∠BAE ＝30°，∴AD=cos30°×AE=32×33=92. 【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.9．如图①，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式．【答案】（1）233384y x x =-++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--. 【解析】【分析】（1）设出交点式，代入C 点计算即可（2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，易证△CDP ∽△COB ，得到比例式PC PD BC OB =，得到PD=45PC ，所以5PA+4PC ＝5（PA+45PC ）＝5（PA+PD ），当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小，利用等面积法求出AE=185，即最小值为18 （3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°，即∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q ，∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个；此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，利用cos ∠QFT 求出QG ，分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时，分别代入直接l 得到解析式即可【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交点为A （﹣2，0）、B （4，0）∴y ＝a （x+2）（x ﹣4）把点C （0，3）代入得：﹣8a ＝3∴a ＝﹣38∴抛物线解析式为y ＝﹣38（x+2）（x ﹣4）＝﹣38x 2+34x+3 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D∴∠CDP ＝∠COB ＝90°∵∠DCP ＝∠OCB∴△CDP ∽△COB ∴PC PD BC OB= ∵B （4，0），C （0，3）∴OB ＝4，OC ＝3，BC∴PD ＝45PC ∴5PA+4PC ＝5（PA+45PC ）＝5（PA+PD ） ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小∵A （﹣2，0），OC ⊥AB ，AE ⊥BC∴S △ABC ＝12AB•OC ＝12BC•AE ∴AE ＝631855AB OC BC ⨯==n ∴5AE ＝18∴5PA+4PC 的最小值为18．（3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90° ∴∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q∵当Q 在⊙F 上运动时（不与A 、B 重合），∠AQB ＝90°∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G∴∠FQT ＝90°∵F 为A （﹣2，0）、B （4，0）的中点∴F （1，0），FQ ＝FA ＝3∵T （﹣4，0）∴TF ＝5，cos ∠QFT ＝35FQ TF = ∵Rt △FGQ 中，cos ∠QFT ＝35FG FQ =∴FG ＝35FQ ＝95∴x Q ＝1﹣9455=-，QG ＝2222912FQ 355FG ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭①若点Q 在x 轴上方，则Q （41255-，）设直线l 解析式为：y ＝kx+b ∴4041255k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线l ：334y x =+ ②若点Q 在x 轴下方，则Q （41255--，） ∴直线l ：334y x =-- 综上所述，直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论10．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB ＝45°，∵EG ⊥AC ，∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ，∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°，∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ），∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上，∴BG ＝DG ，∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°，∴∠CGF+∠AGB ＝90°，∴∠AGD+∠CGF ＝90°，∴∠DGF ＝90°，∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示,在Rt △ADG 中，∵∠DAC ＝45°，∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°，∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6，∴DF 2DG ＝3在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝23．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．11．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A 、B 分别为地球仪的南、北极点，直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ，所夹的角度约为67°，半径OC 所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E ，DE =15cm ，AD =14cm ．（1）求半径OA 的长（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）（2）求扇形BOC 的面积（π取3.14，结果精确到1cm ）【答案】(1)半径OA 的长约为24.5cm ；(2)扇形BOC 的面积约为2822cm ．【解析】【分析】(1)在Rt △ODE 中，DE=15，∠ODE=67°，根据∠ODE 的余弦值，即可求得OD 长，减去AD 即为OA ．(2)用扇形面积公式即可求得.【详解】(1)在Rt △ODE 中，15cm DE =，67ODE ∠=︒．∵cos DE ODE DO ∠=， ∴150.39OD ≈， ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈．．，答：半径OA 的长约为24.5cm ．(2)∵67ODE ∠=︒，∴157BOC ∠=︒， ∴2360BOC n r S π=扇形 2157 3.1424.52360⨯⨯≈ ()2822cm ≈．答：扇形BOC 的面积约为2822cm ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键．12．如图，AB 为O e 的直径，C 、D 为O e 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒.（2）若2ABD BDC ∠=∠.①求证：CF 是O e 的切线.②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ．【详解】解：（1）AB 是O e 的直径，且D 为O e 上一点，90ADB ∴∠=︒，CE DB ⊥Q ，90DEC ∴∠=︒，//CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒.（2）①如图，连接OC .OA OC =Q ，12∴∠=∠.312∠=∠+∠Q ，321∴∠=∠.42BDC Q ∠=∠，1BDC ∠=∠，421∴∠=∠，43∴∠=∠，//OC DB ∴.CE DB ⊥Q ，OC CF ∴⊥.又OC Q 为O e 的半径，CF ∴为O e 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠，3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =Q483AD BD ∴==， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==.OC CF Q ⊥，90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==，解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．过点P 作PD ⊥AC 于点D (点P 不与点A ，B 重合)，作∠DPQ ＝60°，边PQ 交射线DC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）用含t 的代数式表示线段DC 的长：_________________；（2）当t =__________时，点Q 与点C 重合时；（3）当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，求出t 的值．【答案】（1）；（2）1；（3）t 的值为或或. 【解析】【分析】（1）先求出AC ，用三角函数求出AD ，即可得出结论；（2）利用AQ=AC ，即可得出结论；（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（1）∵AP= , AB=4,∠A ＝30°∴AC=, AD= ∴CD=；（2）AQ=2AD=当AQ=AC 时，Q 与C 重合即=∴t=1；（3）①如图，当PQ 的垂直平分线过AB 的中点F 时，∴∠PGF ＝90°，PG ＝PQ ＝AP ＝t ，AF ＝AB ＝2.∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，∴∠QMN＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.在Rt△NMQ中，∵AN＋NQ＝AQ，∴③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°.∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t.∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5，∴t＝.即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．14．如图，正方形ABCD2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为．22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC2，∵BC2+1，∴x+x2+1，∴x＝1，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，∴tan ∠EAB ＝1221BE AB ＝＝+﹣1．（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •（2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+，在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．15．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC 的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.。

2023年九年级中考数学一轮复习：锐角三角函数(含答案)

2023年中考数学一轮复习：锐角三角函数（含答案）一、单选题1．如图，在ABC 中， 45B ∠=︒ ， 30C ∠=︒ ，分别以 A 、 B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 D 、 E ．作直线 DE ，交 BC 于点 M ；同理作直线 FG 交 BC 于点 N ，若 6AB = ，则 MN 的长为（）A ．1B 3C ．3D ．232．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则sin∠OMN 的值为（）A ．12B ．1C ．2 D 33．如图，在 Rt ABC 中， 9053C AB BC ∠=︒==，，，则 sin B 的值为（）A ．45B ．34C ．35D ．43二、填空题4．cos60︒ = .5．两块等腰直角三角形纸片 AOB 和 COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，210AB = ， 4CD = .保持纸片 AOB 不动，将纸片 COD 绕点O 逆时针旋转 α()090α<<︒ .当BD 与 CD 在同一直线上（如图2）时， α 的正切值等于 .6．在 ABC ∆ 中， 903016ACB A AB ︒︒∠=∠==，，，点 P 是斜边 AB 上一点，过点 P 作PQ AB ⊥ ，垂足为 P ，交边 AC （或边 CB ）于点 Q ，设 AP x = ，当 APQ ∆ 的面积为 3时， x 的值为 .三、综合题7．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4，将∠ABC 绕点A 逆时针旋转60°，使点B 落在点E 处，点C 落在点D 处．P 、Q 分别为线段AC 、AD 上的两个动点，且AQ ＝2PC ，连接PQ 交线段AE 于点M ．（1）AQ ＝，∠APQ 为等边三角形；（2）是否存在点Q ，使得∠AQM 、∠APQ 和∠APM 这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ 的长；若不存在请说明理由；（3）AQ ＝，B 、P 、Q 三点共线．8．（1）计算：3tan30°-(cos60°)-1+8 cos45°+()1tan 60-︒（2）先化简，再求代数式 221(1)122x x x --÷++ 的值，其中x=4cos30°-tan45° 9．如图，AB 是∠O 的直径，点P 在∠O 上，且PA ＝PB ，点M 是∠O 外一点，MB 与∠O 相切于点B ，连接OM ，过点A 作AC OM 交∠O 于点C ，连接BC 交OM 于点D ．（1）求证：MC是∠O的切线；（2）若152OB=，12BC＝，连接PC，求PC的长．10．如图，在∠ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF.（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长.11．如图，∠ABC内接于∠O，AB是∠O的直径，∠O的切线AP与OC的延长线相交于点P，∠P＝∠BCO.（1）求证：AC＝PC；（2）若AB＝6 3，求AP的长.12．（12744 sin603233-︒-（2）先化简，再求值：342111xxx x-⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中22x=.13．如图，以AB为直径作O，过点A作O的切线AC，连接BC，交O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证： 2AEB C ∠=∠ ；（2）若 5AB = ， 3cos 5B =，求 DE 的长． 14．（1）计算： 2cos 45sin 30tan 45︒︒︒+⋅ . （2）求二次函数 21212y x x =++ 图象的顶点坐标. 15．如图，直线y =-x +b 与反比例函数 3y x=-的图象相交于点A （a ，3），且与x 轴相交于点B ．（1）求a 、b 的值；（2）若点P 在x 轴上，且∠AOP 的面积是∠AOB 的面积的12，求点P 的坐标． 16．如图， PA 、 PB 为O 的切线，A 、B 为切点，点C 为半圆弧的中点，连 AC 交 PO于E 点.（1）求证： PB PE = ；（2）若 3tan 5CPO ∠=，求 sin PAC ∠ 的值. 17．（120313213(202248)64---⨯--（）．（2）先化简，再求值：2243()22ab a ba b a b b a a b---⨯÷+-+，代入你喜欢的a ，b 值求结果． 18．矩形AOBC 中，OB ＝4，OA ＝3，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F 是BC 边上一个动点（不与B ，C 重合），过点F 的反比例函数 ky x= （k ＞0）的图象与边AC 交于点E.（1）当点F 为边BC 的中点时，求点E 的坐标；（2）连接EF ，求∠EFC 的正切值.19．如图1，已知矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，O 是对角线AC 的中点，点E 从A 点沿AB 向点B运动，运动过程中连接OE ，过O 作OF∠OE 交BC 于F ，连接EF ，（1）当点E 与点A 重合时，如图2，求 tan OEF ∠ 的值；（2）运动过程中， tan OEF ∠ 的值是否与(1)中所求的值保持不变，并说明理由；（3）当EF 平分∠OEB 时，求AE 的长.20．如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()10A -，、()20B ，，与y 轴交于点C ，且2tan OAC ∠=.（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作CD x 轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBCBCDSS=，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q.设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQOQ的最大值. 21．如图1，四边形 ABCD 内接于O ， BD 为直径， AD 上存在点E ，满足AE CD = ，连结 BE 并延长交 CD 的延长线于点F ， BE 与 AD 交于点G.（1）若 DBC α∠= ，请用含 α 的代数式表列 AGB ∠ . （2）如图2，连结 ,CE CE BG = .求证； EF DG = . （3）如图3，在（2）的条件下，连结 CG ， 2AG = . ①若 3tan 2ADB ∠=，求 FGD 的周长. ②求 CG 的最小值.22．如图，直线364y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 为线段AB 上一动点（不与A 、B 重合），以C 为顶点作OCD OAB ∠=∠，射线CD 交线段OB 于点D ，将射线OC 绕点O 顺时针旋转90︒交射线CD 于点E ，连接BE .（1）证明：CD ODDB DE=；（用图1）（2）当BDE 为直角三角形时，求DE 的长度；（用图2）（3）点A 关于射线OC 的对称点为F ，求BF 的最小值.（用图3）23．如图，在二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象与x 轴交于A ，B两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D.其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F.连接AC ，BD.（1）求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求 OBC ∠ 的度数；（2）若 ACO CBD ∠=∠ ，求m 的值；（3）若在第四象限内二次函数 2221y x mx m =-+++ （m 是常数，且 0m > ）的图象上，始终存在一点P ，使得 75ACP ∠=︒ ，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.24．如图，已知 AB 是O 的直径，点 E 是O 上异于 A ， B 的点，点 F 是 EB 的中点，连接 AE ， AF ， BF ，过点 F 作 FC AE ⊥ 交 AE 的延长线于点 C ，交 AB 的延长线于点 D ， ADC ∠ 的平分线 DG 交 AF 于点 G ，交 FB 于点 H ．（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）求 sin FHG ∠ 的值；（3）若 GH 42=， HB 2= ，求 O 的直径．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 ()240y ax bx a =++≠ 的图象经过 ()3,0A - ，()4,0B 两点，且与 y 轴交于点 C .点 D 为 x 轴负半轴上一点，且 BC BD = ，点 P ，Q 分别在线段 AB 和 CA 上.（1）求这个二次函数的表达式.（2）若线段 PQ 被 CD 垂直平分，求 AP 的长. （3）在第一象限的这个二次函数的图象上取一点 G ，使得 GCBGCASS= ，再在这个二次函数的图象上取一点 E （不与点 A ， B ， C 重合），使得 45GBE ∠=︒ ，求点 E 的坐标.参考答案1．【答案】A【解析】【解答】如解图，连接AM、AN，由作法可知，DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，∴AM=BM，AN=CN．∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAM=45°，∠CAN=30°．∴∠AMB=∠AMC=90°．∴∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°．∵AB= 6，∴AM= 3，∴MN=AM·tan30°=1，故答案为：A．【分析】利用线段垂直平分线的性质得到AM=BM，AN=CN，∠BAM=45°，∠CAN=30°．求得∠MAN=90°−∠C−∠CAN=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数一、综合题1．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交∠O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE.（1）求证：AD为∠O切线；（2）若sin∠BAC＝35，求tan∠AFO的值.2．如图，一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为2m，斜面AB的坡角为∠BAC，且tan∠BAC= 3 4．（1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点B离开地面AC的距离；（2）当点E离开地面AC的距离是3.1m时，求AB的长．3．如图，在∠ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与∠ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．4．如图，以∠ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点E，点D，且D是BE⌢的中点．（1）若∠A＝80°，求∠DBE的度数．（2）求证：AB＝AC．（3）若∠O 的半径为5cm，BC＝12cm，求线段BE的长．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且∠DAM和∠BCE相似，求点M坐标．6．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC∠OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD∠OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，∠AMC和∠BOD相似；（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断∠AOB的形状，并说明理由；（3）连结BC．当S∠AMC=S∠BOC时，求AC的长．7．如图1，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点(不与A 重合)，连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；，其他条件不（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= √6+√22变，求线段AM的长．8．（1）【基础巩固】如图1，在∠ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∠BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG∠DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在∠ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∠BD交AD于点G，EF∠EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．9．在锐角∠ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将∠ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到∠DBE．（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是度；（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若∠ABD的面积为4，求∠CBE的面积；（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在∠ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别从点B，D同时出发沿AB延长线和射线DA以相同的速度运动，连结EF，交射线DB于点G.连结CG.（1）当BE＝2时，求BD，EG的长.（2）当点F在线段AD上时，记∠DCG为∠1，∠AFE为∠2，那么tan∠1tan∠2的值是否会变化？若不变，求出该比值；若变化，请说明理由.（3）在整个运动过程中，当∠DCG为等腰三角形时，求BE长.11．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C ＝．（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长．（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣√3），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．12．如图，已知BC为∠O的直径，点D为CE⌢的中点，过点D作DG∠CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．（1）求证：AD是∠O的切线；（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．13．已知：如图，AB为∠O的直径，C是BA延长线上一点，CP切∠O于P，弦PD∠AB于E，过点B作BQ∠CP于Q，交∠O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3√3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6 √3，连接QC交BC于点M，求QM的长．14．定义：一边上的中线与另一边的夹角为30°的三角形称作美妙三角形。

中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)

中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)一、单选题1．如图，在△ABC中CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为（）A．√102B．√153C．√64D．√1042．在Rt△ABC中,△C=90°,cosA=35,那么tanB=()A．35B．45C．43D．34 3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sinA=√32B．tanA=12C．cosB=√32 D．tanB=√34．如图，已知△ABC内接于△O，△BAC=120°，AB=AC，BD为△O的直径，AD=6，则BC的长为（）A．2√3B．6C．2√6D．3√3 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里6．在矩形ABCD中AD=2,AB=1,G为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点E、F设∠AGE=α(0°<α<90°)，下列四个结论：①AE= CF；②∠AEG=∠BFG；③AE+CF=1；④S△GEF=1cos2α，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得△PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．11−sinαB．11+sinαC．11−cosαD．11+cosα8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2√10+√2；③点C到AB边的距离是38√10；④tan∠ACB的值为2，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．在Rt△ABC 中△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A ．sinA=√32B ．cosA=√32C ．tanA=12D ．cotA=√3310．已知：如图，正方形网格中∠AOB 如图放置，则cos∠AOB 的值为（）A ．2√55B ．2C ．12D ．√5511．如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE△AB ，垂足为E ，cosA=45，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD =15cm 2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．如图，在Rt △ABC 中 ∠ABC =90°，以其三边为边向外作正方形，连接EH ，交AC 于点P ，过点P 作PR ⊥FG 于点R.若tan∠AHE =12，EH =8√5，则PR 的值为（）A．10B．11C．4√5D．5√5二、填空题13．如图，在RtΔABC中∠B=90°，AB=3 ，BC=4 ，点M、N分别在AC、AB两边上，将ΔAMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当ΔDCM是直角三角形时，则tan∠AMN的值为.14．如图，在△ABC中∠ABC=60°，AB=6，BC=10将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1，A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．15．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C 的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=米.16．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．17．如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A 测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：√3，大楼底端B 到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝米．18．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）三、综合题19．（1）已知Rt△ABC中△C=90°，△A=30°，BC= √3，解直角三角形.（2）已知△ABC中△A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.20．如图1，已知∠PAQ=60°．请阅读下列作图过程，并解答所提出的问题．△如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AP，AQ交于B，C两点；△如图3，分别以B，C两点为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点D；△如图4，作射线AD，连接BC，与AD交于点E．问题：（1）∠ABC的度数为．（2）若AB=4，求AE的长．21．如图，在△ABC中△C=60°，△O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB=2 √3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）22．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中在OA的位置时俯角△EOA=30°，在OB的位置时俯角△FOB=60°，若OC△EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（√3≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．已知：如图，AB是△O的直径，C是△O上一点，OD△BC于点D，过点C作△O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与△O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin△ABC= 23，求BF的长．24．如图，AB是△O的直径，OE垂直于弦BC，垂足为F，OE交△O于点D，且△CBE=2△C.（1）求证：BE与△O相切；（2）若DF=9，tanC= 34，求直径AB的长.参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】A12．【答案】B13．【答案】1或214．【答案】1415．【答案】(20√3−20)16．【答案】√31817．【答案】（25﹣5 √3）18．【答案】45.8米19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中△C=90°，△A=30°∴△B=90°-△A=60°，AB=2BC=2 √3∴AC= √AB2−BC2=√(2√3)2−(√3)2=3；（2）解：如图，过点B作BD△AC于D∵△A=45°∴△ABD=△A=45°∴AD=BD∵AB=4，AD2+BD2=AB2∴AD=BD= 2√2在Rt△BCD中BC=3∴CD=√BC2−BD2=1∴AC=AD+CD= 2√2+1.20．【答案】（1）60°（2）由作图可知AB=AC，AD平分∠PAQ∴AE⊥BC．∵∠PAQ=60°∴∠BAE=30°．在Rt△ABC中AE=AB⋅cos30°=4×√32=2√3．答：AE的长为2√3．21．【答案】（1）解：如图，连接OA；∵△C=60°∴△AOB=120°；而OA=OB∴△OAB=△OBA=30°；而AB=AP∴△P=△ABO=30°；∵△AOB=△OAP+△P∴△OAP=120°﹣30°=90°∴PA是△O的切线．（2）解：如图，过点O作OM△AB，则AM=BM= √3∵tan30°= OMAM sin30°=OMAO∴OM=1，OA=2；∴S△AOB=12·AB·OM= 12× 2√3×1= √3S扇形OAB =120π⋅22360= 4π3∴图中阴影部分的面积= 4π3−√3．22．【答案】（1）解：如图，过点A作AP△OC于点P，过点B作BQ△OC于点Q∵△EOA=30°、△FOB=60°，且OC△EF∴△AOP=60°、△BOQ=30°设OA=OB=x则在Rt△AOP中OP=OAcos△AOP= 1 2x在Rt△BOQ中OQ=OBcos△BOQ= √32x由PQ=OQ﹣OP可得√32x﹣12x=7解得：x=7+7 √3≈18.9（cm）答：单摆的长度约为18.9cm（2）解：由（1）知，△AOP=60°、△BOQ=30°，且OA=OB=7+7 √3∴△AOB=90°则从点A摆动到点B经过的路径长为90⋅π⋅(7+7√3)180≈29.295答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm 23．【答案】（1）证明：连接OC∵OD△BC∴△COE=△BOE在△OCE和△OBE中∵{OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE∴△OCE△△OBE∴△OBE=△OCE=90°，即OB△BE∵OB 是△O 半径∴BE 与△O 相切．（2）解：过点D 作DH△AB ，连接AD 并延长交BE 于点F∵△DOH=△BOD ，△DHO=△BDO=90°∴△ODH△△OBD∴OD OB =OH OD =DH BD又∵sin△ABC= 23，OB=9 ∴OD=6易得△ABC=△ODH∴sin△ODH= 23 ，即 OH OD = 23∴OH=4∴DH= √OD 2−OH 2 =2 √5又∵△ADH△△AFB∴AH AB = DH FB 1318 = 2√5FB∴FB= 36√51324．【答案】（1）证明：∵OE 垂直于弦BC∴△BOE+△OBF=90°∵△CBE=2△C ， △BOE=2△C∴△CBE=△BOE∴△CBE+△OBF=90°∴△OBE=90°∴BE 与△O 相切；（2）解：∵OE 垂直于弦BC∴△CFD=△BFO=90°，CF=BF.∵DF=9，tanC= 34∴CF=BF=12.设半径长是x，则OF=x-9在Rt△BOF中∵x2=(x-9)2+122∴x= 25 2∴直径AB=25.。

2023年中考数学专题复习——锐角三角函数与圆的综合

2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合一、综合题1．如图，△ABC 内接于△O ，直径DE△AB 于点F ，交BC 于点 M ，DE 的延长线与AC 的延长线交于点N ，连接AM.（1）求证：AM=BM ；（2）若AM△BM ，DE=8，△N=15°，求BC 的长.2．如图，D 、E 是以AB 为直径的△O 上两点，且△AED ＝45°.（1）过点D 作DC△AB ，求证：直线CD 与△O 相切；（2）若△O 的半径为12，sin△ADE ＝34，求AE 的长. 3．如图，四边形ABCD 内接于△O ，BD 是△O 的直径，点A 为 BD 的中点，切线AE 交CB 的延长线于点E 。

（1）求证：AE△BD 。

（2）若△O 的半径为2.5，CD=4，求AE 的长。

4．如图，四边形ABCD 内接于△O ，对角线AC 为△O 的直径，过点C 作CE△AC 交AD 的延长线于点E ，F为CE 的中点，连结DB ，DF.（1）求△CDE 的度数. （2）求证：DF 是△O 的切线.（3）若tan△ABD ＝3时，求ACDE的值. 5．如图，在△O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A 的切线于点E.（1）求证：AE△CE.（2）若AE ＝2，sin△ADE ＝13，求△O 半径的长. 6．如图，以△ABC 的边AB 为直径的△O 与边AC 相交于点D ，BC 是△O 的切线，E 为BC 的中点，连接BD 、DE ．（1）求DE 是△O 的切线；（2）设△CDE 的面积为S 1，四边形ABED 的面积为S 2，若S 2＝5S 1，求tan△BAC 的值；（3）在（2）的条件下，连接AE ，若△O 的半径为2，求AE 的长．7．如图，O 是 ABC ∆ 的外接圆，连接 OC ，过点 A 作 AD OC 交 BC 的延长线于点 D ，45ABC ∠= .（1）求证： AD 是O 的切线；（2）若 3sin 5CAB ∠=， O 的半径为22，求 AB 的长. 8．如图，AB 是△O 的直径， BC 交△O 于点D ，E 是 BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，△ACB =2△EAB.（1）判断直线AC 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若 3cos 4C =， 8AC = ，求BF 的长. 9．如图，以AB 为直径的△O 交△ABC 的边AC 于D 、BC 于E ，过D 作△O 的切线交BC 于F ，交BA 延长线于G ，且DF△BC.（1）求证：BA ＝BC ；（2）若AG ＝2，cosB ＝35，求DE 的长. 10．如图，AB 是△O 的直径，AC 是△O 的切线，连接OC 交△O 于E ，过点A 作AF △AC 于F 交△O 于D ，连接DE ，BE ，BD（1）求证：△C ＝△BED ；（2）若AB ＝12，tan△BED＝34，求CF 的长．11．如图， AB 为O 的直径， BC 为 O 的切线， AD OC ‖ ，交 O 于点D ，E 为弧 AB 的中点，连接 DE ，交 AB 于点F.（1）求证： CD 为O 的切线；（2）求证： 22AD OC OA ⋅= ；（3）若 3cos 5A =，求 tan E. 12．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 边为直径作O 交BC 边于点D ，过点D 作DE△AB 于点E，ED 、AC 的延长线交于点F.（1）求证：EF 是 O 的切线；（2）若EB=6，且sin△CFD=35，求 O 的半径.13．如图，在Rt△ABC 中，点在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连结AD 。

(完整)圆与相似三角形、三角函数专题(含答案),推荐文档

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE ＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC ＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD ＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH(2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S △OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y ＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3(2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。

圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习-9(学生版)

个性化教学辅导教案学生姓名年级初三学科数学授课老师日期上课时间课题圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习教学目标1、巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定2、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函3、数值，熟练应用它们解决相应的问题复习检查问题定位1、巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定2、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函3、数值，熟练应用它们解决相应的问题。

原因分析精准突破1.如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点， AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF=EF ；（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若FG=BF ，且⊙O 的半径长为,求BD 和FG 的长度．2.如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC 交△ABC 的外接圆⊙O 于点H ，过点H 作EF ∥BC 交AC 、AB 的延长线于点E 、F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若AH=8，DH=2，求CH 的长；（3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求弧BHC 的长．3.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于点E ，∠POC=∠PCE ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若OE ：EA=1：2，PA=6，求⊙O 的半径；（3）求sin ∠PCA 的值．4.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求DB 的长；（3）求S ：S 的值．△FAD △FDB 5.如图i ，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为劣弧BC上的一动点，P 在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA ．（1）求证：AP 是半圆O 的切线；（2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD =BE•BC 成立？说明理由；2（3）如图ii，在满足（2）问的前提下，若OD⊥BC与H，BE=2，EC=4，连接PD，请探究四边形ABDO是什么特殊的四边形，并求tan∠DPC的值．6.如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC 平分∠DAB，延长AB交DC于点E．（1）判定直线DE与圆O的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：AC=AD•AB；（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分）①若CF⊥AB于点F，试讨论线段CF、CE和DE三者的数量关系；②若EC=，EB=5，求图中阴影部分的面积．27如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE 垂直AB于点F，交BC于点G，连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP是⊙O的切线．（2）当∠ABC=30°，BG=，CG=时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG=BF•BO成立？试写出你的猜想，并说明理由．28.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．（1）求证：点E是弧BD的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）若sin∠BAD=，，⊙O的半径为5，求DF的长．9.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．巩固练习1.已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．1）求证：AC是⊙O的切线；2）若OA=10，AD=16，求AC的长．2.如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=。

专题35 锐角三角函数与圆综合-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)

专题35 锐角三角函数与圆综合（解析版）第一部分典例剖析+针对训练类型一利用垂径定理构造直角三角形典例1（2022•三水区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，以A为圆心，AB 为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．思路引领：（1）过点A作AH⊥BD于H，利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定理即可解决问题；（2）过点D作DM⊥AC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题．解：（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，∴AB=BC2―AC2=62―(42)2=2，∵12AB•AC=12BC•AH，∴AH=AB⋅ACBC=2×426=432，∴BH=AB2―AH2=22―(432)2=23，∵AH⊥BD，∴BH＝HD=2 3，∴BD=4 3；（2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：由（1）得：AH=432，BD=43，AB＝2，∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6―43=143，∵12AH•CD=12DM•AC，∴DM=AH⋅CDAC=432×14342=149，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=AD2―DM2=22―(149)2=892，∴cos∠DAC=AMAD=8922=492．总结提升：本题考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tan A=34．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1B．75C．32D．2思路引领：根据已知易求BC，AB的长，进而可以求出直角三角形斜边上的高，所以想到过点C作CE⊥AB，垂足为E，利用等面积法求出CE，然后放在Rt△BCE中，利用勾股定理求出BE，再利用垂径定理求出BD，最后求出AD即可．解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tan A=3 4，∴BCAC=34，∴BC ＝3，∴AB =AC 2+BC 2=32+42=5，∵△ABC 的面积=12AB •CE =12AC •BC ，∴5CE ＝12，∴CE =125，在Rt △BCE 中，BE =BC 2―CE 2=32―(125)2=95，∵CE ⊥BD ，∴BD ＝2BE =185，∴AD ＝AB ﹣BD ＝5―185=75，故选：B ．总结提升：本题考查了解直角三角形，垂径定理，根据题目的已知条件添加辅助线是解题的关键．2．（2022秋•鄞州区期末）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在BC 延长线上，且满足∠CAD ＝∠B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC 是∠BAD 的平分线，sin B =35，BC ＝4，求⊙O 的半径．思路引领：（1）连接OA ，OC 与AB 相交于点E ，如图，由OA ＝OC ，可得∠OAC ＝∠OCA ，根据圆周角定理可得∠B =12∠AOC ，由已知∠CAD ＝∠B ，可得∠AOC ＝2∠CAD ，根据三角形内角和定理可得∠OCA +∠CAO +∠AOC ＝180°，等量代换可得∠CAO +∠CAD ＝90°，即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得∠BAC ＝∠DAC ，由已知可得∠BAC ＝∠B ，根据垂径定理可得，OC ⊥AB ，BE ＝AE ，在Rt △BEC 中，根据正弦定理可得sin B =CE BC =CE 4=35，即可算出CE 的长度，根据勾股定理可算出BE =BC 2―CE 2的长度，设⊙O 的半径为r ，则CE ＝OC ﹣CE ＝r ―125，在Rt △AOE 中，OA 2＝OE 2+AE 2，代入计算即可得出答案．证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC=AC，∴∠B=12∠AOC，∵∠CAD＝∠B，∴∠AOC＝2∠CAD，∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，∴∠CAO+∠CAD＝90°，∴∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠CAD＝∠B，∴∠BAC＝∠B，∴OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，∵BC＝4，∴sin B=CEBC=CE4=35，∴CE=12 5，∴BE=BC2―CE2=42―(125)2=165，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r―12 5，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，r2＝（r―125）2+(165)2，解得：r =103．总结提升：本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．类型二利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形典例2（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（）A ．21313B ．31313C ．23D ．53思路引领：由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，又∵点A ，B ，C 都在格点上，∴∠ADC ＝∠ABC ，在Rt △ABC 中，cos ∠ABC =BC AB =332+22=31313=cos ∠ADC ，故选：B ．总结提升：本题考查圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．针对训练1．（2021•东海县模拟）如图，某广场上有一块半径125米的圆形绿化空地⊙O ，城市管理部门规划在这块空地边缘顺次选择四点：A，B，C，D，建成一个从A﹣B﹣C﹣D﹣A的四边形循环健身步道（步道宽度忽略不计）．若∠A＝90°，∠B＝53.2°，AB＝200米．（1）求步道AD的长；（2）求步道围成的四边形ABCD的面积．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）思路引领：（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径可得BD是⊙O的直径，根据勾股定理即可求解；（2）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，解直角三角形求出AE、BE、AF、DF的长，证出四边形CDFE是矩形，即可求得四边形ABCD的面积．解：（1）连接BD，∵∠A＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴BD＝125×2＝250（米），∵AB＝200米，∴AD=BD2―AB2=2502―2002=150（米），答：步道AD的长是150米；（2）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，在Rt△ABE中，∠B＝53.2°，AB＝200米，∴AE＝AB•sin 53.2°≈200×0.80＝160（米），BE ＝AB •cos 53.2°≈200×0.60＝120（米），∵∠BAE +∠ABE ＝∠BAE +∠DAF ＝90°，∴∠DAF ＝∠ABE ＝53.2°，在Rt △ADF 中，DF ＝AD •sin 53.2°≈150×0.80＝120（米），∴AF ＝90（米），∴EF ＝AE ﹣AF ＝70（米），∵AE ⊥BC ，DF ⊥AE ，∠BCD ＝90°，∴四边形CDFE 是矩形，∴四边形ABCD 的面积为：12×120×160+120×70+12×120×90＝23400（平方米）．答：步道围成的四边形ABCD 的面积是23400平方米．总结提升：此题主要考查了解直角三角形的应用，以及圆周角定理，勾股定理的应用，关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．类型三利用圆周角定理把角转化到直角三角形中典例3 （2021春•中原区校级月考）如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在圆O 上．（1）求证：AE ＝AB ；（2）填空：①当∠CAD ＝ °时，四边形OBED 是菱形．②当∠CAB ＝90°，cos ∠ADB =13，BE ＝2时，BC ＝．思路引领：（1）利用折叠的性质得出AC ＝AE ，∠C ＝∠AED ，再判断出∠C ＝∠ABC ，得出AB ＝AC ，即可得出结论；（2）①先判断出△AOD 是等边三角形，得出∠ADO ＝60°，进而求出∠ADE ＝120°，再求出∠C ＝∠ABC ＝∠DAC ＝30°；②先求出EF＝1，再判断出∠AEB＝∠ADB，利用锐角三角函数求出AE，进而求出AB，即可得出结论．（1）证明：由折叠知，AC＝AE，∠C＝∠AED，∵∠ABC＝∠AED，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∴AE＝AB；（2）解：①如图，∵四边形AOED是菱形，∴DE＝OA＝AD，连接OD，∴OA＝OD，∴AD＝OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝60°，同理：∠ODE＝60°，∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝120°，由折叠知，CD＝DE，∠ADC＝∠ADE，∴∠ADC＝120°，∵AD＝DE，∴CD＝AD，∴∠CAD＝∠C=12（180°﹣∠ADC）＝30°，故答案为：30°．②如图，过点A作AF⊥BE于F，由（1）知，AE＝AB，∴EF=12BE＝1，∵∠ADB＝∠AEB，cos∠ADB=1 3，∴cos∠AEB=1 3，在Rt△AFE中，cos∠AEB==1 3，∴AE＝3EF＝3，由（1）知，AE＝AB，∴AB＝3，由（1）知，AB＝AC，∵∠CAB＝90°，∴BC=2AB＝32，故答案为：32．总结提升：此题是圆的综合题，主要考查了折叠的性质，圆周角定理，锐角三角函数，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求出∠ADC是解本题的关键．针对训练1．（2019•临河区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝6，BC＝3，则tan∠ADC 的值为．思路引领：先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再利用勾股定理计算出AC＝33，利用正且的定义得到tan∠ABC=3，然后根据圆周角定理得到∠ADC＝∠ABC，从而得到tan∠ADC的值．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，AC=AB2―BC2=62―32=33，∴tan∠ABC=ACBC=333=3，∵∠ADC＝∠ABC，∴tan∠ADC=3．故答案为3．总结提升：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．2．（2019春•西陵区期中）如图，已知AD是⊙O的直径，弦BD＝弦BC，经过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：∠EBD＝∠CAB；（2）若BC=3，AC＝5，求sin∠CBA．思路引领：（1）连接OB，根据切线的性质得出∠OBD+∠EBD＝90°，由圆周角定理得出∠CAB＝∠BAD，∠ABO+∠OBD＝90°，即可证得∠EBD＝∠ABO，根据等腰三角形的性质即可证得∠OAB＝∠OBA，从而证得结论；（2）连接CD，交OB于M，根据垂径定理得出OB⊥CD，CM＝DM，然后根据三角形中位线定理求得OM=52，然后G根据勾股定理得出r2﹣（52）2＝（3）2﹣（r―52）2，解得r＝3，解直角三角形求得sin∠ADC=ACAD=56，根据圆周角定理∠CBA＝∠ADC，即可求得sin∠CBA=56．（1）证明：连接OB，∵BE是⊙O的切线，∴OB⊥BE，∴∠OBD+∠EBD＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠OBD＝90°，∴∠EBD＝∠ABO，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OAB＝∠EBD，∵弦BD＝弦BC，∴BC=BD，∴∠CAB＝∠BAD，∴∠EBD＝∠CAB；（2）解：连接CD，交OB于M，∵BC=BD，∴OB⊥CD，CM＝DM，∵OA＝OD，∴OM=12AC=52，设圆的半径为r，∴BM＝r―5 2，∵BD＝BC=3，∵OD2﹣OM2＝BD2﹣BM2，∴r2﹣（52）2＝（3）2﹣（r―52）2，解得r＝3或r=―12（舍去），∴AD＝2r＝6，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴sin∠ADC=ACAD=56，∴sin∠CBA=5 6．总结提升：本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．类型四利用切线与相关半径的关系构造直角三角形典例4（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．（1）求证：CD是圆的切线；（2）已知sin∠OCD=45，AB＝45，求AC长度及阴影部分面积．思路引领：（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，进而得出EC是切线；（2）根据直角三角形的边角关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质可求出EC，根据S阴影部分＝S△COE﹣S扇形进行计算即可．（1）证明：如图，连接OD，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠ABO＝90°，又∵OB＝OD，∴∠ODB +∠BDE ＝90°，即OD ⊥EC ，∵OD 是半径，∴EC 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △COD 中，由于sin ∠OCD =45，设OD ＝4x ，则OC ＝5x ，∴CD =OC 2―OD 2=3x ＝AC ，在Rt △AOB 中，OB ＝OD ＝4x ，OA ＝OC +AC ＝8x ，AB ＝45，由勾股定理得，OB 2+OA 2＝AB 2，即：（4x ）2+（8x ）2＝（45）2，解得x ＝1或x ＝﹣1（舍去），∴AC ＝3x ＝3，OC ＝5x ＝5，OB ＝OD ＝4x ＝4，∵∠ODC ＝∠EOC ＝90°，∠OCD ＝∠ECO ，∴△COD ∽△CEO ，∴OC EC =CD OC ，即5EC =35，∴EC =253，∴S 阴影部分＝S △COE ﹣S 扇形=12×253×4―90π×42360=503―4π=50―12π3，答：AC ＝3，阴影部分的面积为50―12π3．总结提升：本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．针对训练1．（2019•东河区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且sin∠CFD=35，则线段AE的长是（）A．245B．5C．194D．225思路引领：连接OD，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到OD∥AB，再根据切线的性质得到OD⊥DF，则AE⊥EF，接着在Rt△ODF中利用正弦的定义求出OF＝5，然后在Rt△AEF中利用正弦定义可求出AE的长．解：连接OD，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∴AE⊥EF，在Rt△ODF中，∵sin∠CFD=ODOF=35，OD＝3，∴OF＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠F=AEAF=35，∴AE=35（3+5）=245．故选：A．总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．第二部分专题提优训练1．（2022•东城区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BCD的值为．思路引领：连接AD、BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BCD＝∠BAD，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义解答即可．解：连接AD、BD，∵AB为圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB=AD2+BD2=42+32=5，∴sin∠BAD=BDAB=35，由圆周角定理得：∠BCD＝∠BAD，∴sin∠BCD=3 5，故答案为：3 5．总结提升：本题考查的是解直角三角形、圆周角定理，熟记正弦的定义、掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2022•青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC可运动（平移或旋转），且∠C＝90°，BC=5+4，tan A=12，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的⊙M始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点O的距离的最小值为．思路引领：如图，设⊙M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于F．解直角三角形求出CM，OM，根据OC≥OM﹣CM即可解决问题．解：如图，设⊙M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于F．∵AC，AB是⊙O的切线，∴MJ⊥AC，MT⊥AB，∴∠AJM＝∠ATM＝90°，∴∠A+∠JMT＝180°，∵∠JMT+∠FMT＝180°，∴∠A＝∠FMT，∴tan A＝tan∠FMT=1 2，∵MT＝2，∴TF＝1，FM=MT2+FT2=22+12=5，∴JF＝MJ+MF＝2+5，∴AJ＝2FJ＝4+25，∵AC＝2BC＝8+25，∴CJ＝4，∵∠CJM＝90°，∴CM=CJ2+MJ2=42+22=25，∵M（3，6），∴OM=32+62=35，∵OC≥OM﹣CM，∴OC≥35―25，∴OC≥5，∴OC的最小值为5．故答案为5．总结提升：本题考查解直角三角形，切线的性质，坐标由图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3．（2020秋•上虞区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．（1）求CD与PC的长；（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．思路引领：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，解直角三角形求得OH，PH，然后根据勾股定理求得CH，进而即可求得CD和PC；（2）求得△APD和△PBC的面积，进而即可求得四边形ABCD的面积．解：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，在Rt△OPH中，∠P＝30°，OP＝OB+BP＝2+1＝3，∴OH=12OP=12×3=32，PH＝OP•cos30°＝3×32=332，在Rt△OHC中，CH=OC2―OH2=22―(32)2=72．∵CD＝2CH，∴CD=2×72=7．∴PC=PH―HC=332―72=33―72．（2）由（1）知：PD=CD+PC=7+33―72=33+72，PA＝5，∠P＝30°，∴S△PBC=12PB⋅PC⋅sin30°=12×1×33―72×12=33―78，S△PAD=12PD⋅PA⋅sin30°=12×33+72×5×12=5(33+7)8，∴S四边形ABCD=S△PAD―S△PBC=5(33+7)8―33―78=63+374．总结提升：本题考查垂径定理，解直角三角形以及勾股定理的应用，三角形的面积，通过解直角三角形其实三角形的高是解题的关键．4．（2022秋•思明区校级期中）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD上不与B，D重合的点，∠A＝30°．（1）求∠BED的大小；（2）若点F在AB的延长线上，且BF＝AB，求证：DF与⊙O相切．思路引领：（1）根据切线的性质，得出∠ABO＝90°，进而求出∠AOB＝60°，∠BOD＝120°，再根据圆周角定理得出答案；（2）根据等腰三角形的判定和性质可得AB＝DB，进而得出DB＝AB＝BF，根据“三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形”得出OD⊥DF即可．（1）解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，即∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED=12∠BOD＝60°，（2）证明：连接BD，∵OB＝OD，∠BOD＝120°，∴∠ODB=12（180°﹣60°）＝30°＝∠A，∴AB＝DB，又∵AB＝BF，∴DB＝AB＝BF，∴△ADF是直角三角形，即∠ADF＝90°，∵OD⊥DF，OD是半径，∴DF是⊙O的切线．总结提升：本题考查切线的性质和判定，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形性质，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形的性质是正确解答的前提．5．（2020秋•平邑县期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB＝BE；（2）如果PD＝23，∠ABC＝60°，求BC的长．思路引领：（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥PC，则可判断OD∥BE，所以∠ODA＝∠E，加上∠ODA＝∠OAD，所以∠OAD＝∠E，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）利用OD∥BE得到∠DOP＝∠ABC＝60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝2，PO ＝4，则PB＝6，然后在Rt△PBC中利用∠P＝30度得到BC的长．（1）证明：连接OD，如图，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PC，∵PC⊥BE，∴OD∥BE，∴∠ODA＝∠E，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠E，∴AB＝BE；（2）解：∵OD∥BE，∴∠DOP＝∠ABC＝60°，在Rt△POD中，∵∠P＝90°﹣∠POC＝30°，∴OD=33PD=33×23=2，∴PO＝2OD＝4，∴PB＝PO+OB＝6，在Rt△PBC中，BC=12PB＝3．总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．6．（2022•松阳县二模）如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为O，弦AC平分∠BAD，点D在半圆上，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF与半圆O相切于点C．（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．思路引领：（1）根据垂直定义可得∠E＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证AE∥OC，然后利用平行线的性质可求出∠OCF＝90°，即可解答；（2）根据已知可求出OF＝5，AF＝8，再在Rt△OCF中，利用勾股定理求出CF＝4，然后证明A字模型相似三角形△FCO∽△FEA，从而利用相似三角形的性质求出AE，EF的长，最后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．（1）证明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠EAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCF＝90°，∵OC是半⊙O的半径，∴EF与半圆O相切于点C；（2）∵AO＝3，BF＝2，∴OF＝OB+BF＝5，OC＝3，∴AF＝OF+OA＝8，∵∠OCF＝90°，∴CF=OF2―OC2=52―32=4，∵∠E＝∠OCF＝90°，∠F＝∠F，∴△FCO∽△FEA，∴FCEF=OCEA=OFAF，∴4EF=3EA=58，∴EA=245，EF=325，∴CE＝EF﹣CF=12 5，在Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE=245125=2，∴tan∠ACE的值为2．总结提升：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握切线的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2022•石家庄模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图1，P是⊙O外一点，．求证：．（2）如图2，在（1）的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD，BC，若∠ADC＝50°，∠BCD＝70°，OC＝2，求OP的长．思路引领：（1）根据命题的条件和结论即可写成已知和求证，连接OA、OB，根据切线的性质可得∠OAP ＝∠OBP＝90°，然后证明Rt△OAP≌Rt△OBP，从而可得∠AOP＝∠BOP，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；（2）连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出∠AOD和∠BOC，从而求出∠AOB，然后在Rt△OBP 中利用锐角三角函数进行计算即可解答．解：（1）已知：如图1，P是⊙O外一点，PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP，求证：OP垂直平分AB，证明：连接OA、OB，∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP＝∠BOP，∵OA＝OB，∴OP垂直平分AB，故答案为：PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP；OP垂直平分AB；（2）连接OA、OB，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠DAO＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠ADC﹣∠DAO＝80°，∵OB＝OC，∴∠DCB＝∠OBC＝70°，∴∠BOC＝180°﹣∠DCB﹣∠OBC＝40°，∴∠AOB＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝60°，由（1）得：∠BOP＝∠AOP=12∠AOB＝30°，∵∠OBP＝90°，OB＝OC＝2，∴OP=OBcos30°=232=433，∴OP的长为43 3．总结提升：本题考查了解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，根题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．。

2025年中考数学二轮复习专题圆与锐角三角函数综合题(第二课时)练习

2025年中考数学二轮复习专题圆与锐角三角函数综合题（第二课时）练习例1.已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊙BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且⊙ODB＝⊙AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sin A＝，求BH的长．练习1.如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊙CD于点E．（1）求证：⊙BME＝⊙MAB；（2）求证：BM2＝BE•AB；（3）若BE＝，sin⊙BAM＝，求线段AM的长．例2.如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊙AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求P A的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．练习2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG⊙AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．（1）求证：⊙ECF⊙⊙GCE；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan G＝，AH＝3，求EM的值．例3.如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分⊙ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．（1）求证：⊙ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC：（3）求tan⊙ACD的值．练习3如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO⊙AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan⊙CAD＝，求sin⊙CDA的值．例4.如图，已知在⊙ABP中，C是BP边上一点，⊙P AC＝⊙PBA，⊙O是⊙ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊙AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB＝12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD＝1：2，GF＝1，求⊙O的半径及sin⊙ACE的值．练习4.如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT．（1）如图1，求证：BT是⊙O的切线；（2）在图1中连接CB，DB，若＝，求tan T的值；（3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊙CD于点P，若BT＝6，DT＝6．求：DG的长．例5.如图，已知AO为Rt⊙ABC的角平分线，⊙ACB＝90°，，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan⊙CAO的值；（3）求的值．课后练习1.如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，连结AD，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB．（2）若⊙O的半径为1，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，若，求tan∠AEC的值．2.如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．3.如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．（1）求sin∠AOQ的值；（2）求的值；（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．4.如图，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为上一点（不与点A，C重合），连接AD，BD，CD，且BC＝3CD＝18．（1）如图1，若BD为⊙O直径．①求tan∠BAC的值；②求四边形ABCD的面积．（2）如图2，在上取一点E，使，连接CE，交AB于点F，若∠BDC＝∠AFC，求AD的长度．5.如图1，AB是⊙O的直径，点P是直径AB上一动点，过点P作直径AB的垂线交⊙O于C，D两点．（1）若⊙O的半径为2，，连接CO，DO，求劣弧的长度；（2）如图2，点K是劣弧上一点，连接AK，BK，AK交CD于点Q，连接BQ，记∠BAK＝α，∠ABQ＝β，若BQ恰好平分∠ABK，且，求β的正切值；（3）如图3，当动点P移动到点O时，点K是劣弧上一点，连接AK，DK，AK交CD于点Q，DK交AB于点N，连接AD，QN．①求证：△DAQ∽△AND；②记∠OND＝θ，△ANQ的面积为S1，△DON的面积为S2，求的值（结果用含有θ的三角函数值的式子进行表示）．。

备战中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题附答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．【解析】试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．试题解析：（1）如图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．∵KG2=KD•GE，即，∴，又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如图3所示，∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．∵sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．2．如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º．(1)点B的坐标是，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标为；(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．【答案】（1）（6，3）． 30．（3，3）（2）()()()()243x 430x 3331333x x 3x 5232S {23x 1235x 93543x 9x+≤≤-+-<≤=-+<≤> 【解析】解：（1）（6，23）． 30．（3，33）．（2）当0≤x≤3时，如图1，OI=x ，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x ；由题意可知直线l ∥BC ∥OA ，可得EF PE DC 31==OQ PO DO 333==，∴EF=13（3+x ），此时重叠部分是梯形，其面积为：EFQO 14343S S EF OQ OC 3x x 43233==+⋅=+=+梯形（）（）当3＜x≤5时，如图2，)HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ 243331333 3x 3=∆=-=-⋅⋅=+---梯形梯形当5＜x≤9时，如图3，12S BE OAOC 312x 2323 =x 1233=+⋅=--+（）（）。

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圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习
复习目标：巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函数值，熟练应用它们解决相应的问题。

复习过程
一、热身练习
、实战演练
三、巩固提高
2.如图， A 是以 BC 为直径的 ⊙O 上一点， AD ⊥BC 于点 D ，过点 B 作⊙O 的切线，与 CA 的延长线相交于点 E ，G 是 AD 的中点，连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F ，延长 AF 与 CB 的延
1）求证： BF=EF ；
2）求证： PA 是⊙O 的切线；
3）若 FG=BF ，且⊙O 的半径长为 3 2,求 BD 和
FG
3.如图， △ ABC 中， AD 平分∠ BAC 交△ABC 的外接圆 ⊙O 于点 H ，过点 H 作 EF ∥BC 交
AC 、AB 的延长线于点 E 、 F ．
（1）求证： EF 是⊙O 的切线；
（2）若 AH=8，DH=2，求 CH 的长；
（3）若∠ CAB=60°，在（ 2）的条件下，求弧 BHC 的
长线相交于点 P ．
长．
5. 如图，在 △ ABC 中， ∠ ABC=90°， AB=6， BC=8．以 AB 为直径的 ⊙O 交 AC 于 D ，E 是
BC 的中点，连接 ED 并延长交 BA 的延长线于点
F ．
（1）求证： DE 是⊙O 的切线；
（2）求 DB 的长；
（3）求 S △ FAD ： S △ FDB 的值．
6. 如图 i ，半圆 O 为△ABC 的外接半圆， AC 为直径， D 为劣弧 BC 上的一动点， P 在 CB 的延长线上，且有 ∠ BAP=∠ BDA ．
（1）求证： AP 是半圆 O 的切线；
（2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有 BD 2=BE?BC 成立？说明理由；
（3）如图 ii ，在满足（ 2）问的前提下，若 OD ⊥BC 与 H ，BE=2，EC=4，连接 PD
，
求证： PC 是⊙O 的切线；若 OE ： EA=1： 2，
PA=6，求 sin ∠ PCA 的
4.如图， AB 是⊙O 的直
径，点
（1）（2）（3）
请探究四边形 ABDO 是什么特殊的四边形，并求tan∠DPC的值．
7.如图， AB 为圆 O 的直径， C 为圆 O 上一点， AD 和过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，且 AC平分∠DAB，延长 AB 交 DC于点 E．
（1）判定直线 DE与圆 O 的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：
AC2=AD?AB；
（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分）① 若 CF⊥ AB 于点 F，试讨论线段 CF、 CE和 DE三者的数量
关系；② 若 EC=5 3 ， EB=5，求图中阴影部分的面积．
8.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线 PDE垂直 AB于点 F，交 BC 于点 G，连接 PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（ 1）求证： CP是⊙O 的切线．（2）当∠ ABC=30°， BG=2 3 ，CG=4 3 时，求以 PD、PE的长为两根的一元二次方程．
3）若（ 1）的条件不变，当点 C在劣弧 AD 上运
动时，应再具备什么条件可使结论
BG2=BF?BO成立？试写出你的猜想，并说明理
由．
9.如图， AB是⊙O的直径， BC⊥AB于点 B，连接 OC交⊙O于点 E，弦 AD∥OC，弦DF⊥ AB 于点 G．
（1）
（2）
求证：点 E是弧 BD 的中点；求证： CD是
⊙O 的切线；
4
若sin∠ BAD= ，，⊙O 的半径为 5，求 DF的3）
长．5
10. 如图， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径作 ⊙O 交 AC 边于点 D ，E 是边 BC 的
DE ．直线 DE 是⊙O 的切线； OC 交 DE 于点 F ，若 OF=CF ，求 tan ∠
ACO
11. 已知：如图， AB 是⊙ O 的直径，
AD 是弦，且∠ C=∠BED ．
（1）求证： AC 是⊙O 的切线；
（2）若 OA=10， AD=16，求 AC 的长．
OC 垂直 AD 于 F 交⊙O 于 E ，连接 DE 、 BE ，
12. 如图，以线段 AB 为直径的 ⊙O 交线段 AC 于点
E ，点 M 是弧 AE 中点， OM 交 AC 于点 D ，
∠BOE=6°0，cosC=1 ，BC=2 3 。

2
（1）求 ∠A 的度数；
（2）求证： BC 是⊙O 的切线；
（3）求 MD 的长度．
中点，连接
（1）求证：
13.如图， AB是⊙O的直径， CD是⊙O的切线，切点为 C．延长 AB交 CD于点E．连接 AC，
14.已知，如图：在 Rt△ ABC中，∠ C=90°，以 BC为直径作⊙O 交 AB于 D，取 AC 中点 E，连
结 OE，ED 的延长线与 CB的延长线交于 F．
（1）求证： DE 是⊙O 的切线；
（2）如果⊙O 的半径为 3cm， ED=4cm，求 sin∠F
的值．
15.如图， AB为⊙O的直径，弦 CD⊥ AB于点M，过点连接 BC．
（1）求证： BE为⊙O 的切线；
1
（2）如果 CD=6，tan∠BCD= ,求⊙O 的直径．
2 B 作 BE∥ CD，交 AC 的延长线
于点
E，
16.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径， E是 CB延长线上一点，且∠ BAE=∠ C．
1）求证：直线 AE是⊙O 的切线；
4
2）若 EB=AB，cosE= ， AE=24，求 EB的长及⊙O 的半径．
5
17.如图，在△ ABC中，∠ ABC=∠ACB，以 AC为直径的⊙O分别交 AB、BC于点M、N，点 P 在 AB 的延长线上，且∠ CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线 CP是⊙O 的切线．
2）若 BC=2 5 ， sin∠ BCP= 5，求点 B 到 AC的距离．
5
3）在第（ 2）的条件下，求△ ACP的周长．
18.如图 1，△ABC内接于⊙O，AD 平分∠ BAC，交直线 BC于点 E，交⊙O于点D．
（1）过点 D作 MN∥BC，求证： MN 是⊙O 切线；
（2）求证： AB?AC=AD?AE；
（3）如图 2，AE平分∠BAC的外角∠FAC，交 BC的延长线于点 E，EA的延长线交⊙O于点
D．结
论理
由．
11。