数值分析总复习
数值分析复习资料
数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
数值分析_期末总复习-习题课.
2 0 2
矩阵A的特征值为 1 0, 2 1, 3 3
所以谱半径 A max0,1,3 3
简述题
1. 叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则 是什么？
解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概 率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。
误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远 远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数 相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化 计算步骤，减少运算次数。
,
(
x( A) 2
0).
1. 下列各数
都是经过四舍
五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，
并给出其误差限与相对误差限。
解： 有 5 位有效数字，其误差限
，相对
误差限
有 2 位有效数字，
有 5 位有效数字，
例2 设有三个近似数 a 2.31，b 1.93，c 2.24，
它们都有三位有效数字。试计算 p=a+bc 的误差界， 并问 p 的计算结果能有几位有效数字？
n
Ln( x） f (xk) l k( x) k0
Rn(x)
f (x) Ln(x)
f (n1) ( ) (n 1)!
n1(
x),
其中lk(x)
n
j0
x xj xk xj
(k 0,1,...n)
jk
显然，如此构造的L(x) 是不超过n次多项式。当n=1时，称为线性插值。当n=2时，
称为抛物线插值。
解 pA 2.311.93 2.24 6.6332, 于是有误差界
（pA）
（a
A）
（bAc
）
A
（aA） bA （cA） cA （bA）
0.005 0.00（ 5 1.93 2.24） 0.02585
数值分析总复习
例1
已知 2 1.414有4位有效数字， 问u (3 2 2)3 0.005088448有几位有效数字.
解：x 2, x* 1.414, (x*) 0.0005,设f (x) (3 2x)3
( f (x*)) f (x*) (x*)
6(3 21.414)2 0.0005 0.00008875 0.0005
a (0, f ) 6.28;b (1, f ) 1.93
(0 ,0 )
(1 , 1 )
y 6.28 1.92(x2 2.625) 1.93x2 1.21为所求.
第4章 数值积分
1.代数精度 2.牛顿-柯特斯公式 3.复化求积公式 4.龙贝格求积公式 5.高斯求积公式
xn+1＝0.5e -xn x0 ∊ (0,1) 3) 用上述迭代法求解f(x)=0.(取初值x0=0.50, 要求绝对误差小于0.005)
解答:1) ∵f(x)为[0,1]上连续函数，且f(0)f(1)<0,由连续
函数的介值定理，
f(x)=0在(0，1)内至少有一个根。 又∵在[0,1]上f’(x)<0，∴f(x)严格单调减， ∴f(x)=0在(0，1)内只有一个根。
误差分析 1.基本概念
1）绝对误差
2）相对误差
第1章 绪 论
e x*x
er
e x*
x*x x*
3）有效数字 若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单位， 该位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位，就说 x* 有n 位有效数字.
2.一元函数运算的误差估计
( f (x*)) f (x*) (x*).
9 16
数值分析期末知识点总结
数值分析期末知识点总结一、引言数值分析是一门研究如何使用计算机提高数学模型数值计算精度和效率的学科。
它是计算数学的一个重要分支，涉及到数值计算、数值逼近和误差分析等一系列内容。
在数值分析课程中，我们将学习到数值解微分方程、线性代数问题的求解、插值与拟合、积分等一系列内容。
本文将对数值分析期末知识点进行总结，以便帮助大家复习。
二、常见数值计算方法1. 插值与拟合插值与拟合是数值分析中重要的内容，它们用于在给定数据点集上构造一个函数，以便在其他点上进行求值。
插值是通过一些已知数据点来求得一个函数，使得这个函数能够通过这些点，而拟合则是通过已知数据点来求得一个函数，使得这个函数在这些点附近能够比较好地拟合数据。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等；而拟合方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合等。
2. 数值解微分方程数值解微分方程是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用计算机对微分方程进行数值求解。
微分方程是自然界中描述变化的数学方程，它们在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
数值解微分方程的方法包括欧拉法、中点法、四阶龙格-库塔法等。
3. 数值线性代数数值线性代数是数值分析领域的另一个重要内容，它讨论如何使用数值方法解决线性代数问题。
原始的线性代数问题可能非常大或者非常复杂，因此我们常常需要使用计算机进行数值计算。
数值线性代数的方法包括高斯消元法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法等。
4. 数值积分数值积分是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用数值方法对积分进行数值求解。
在实际问题中，有很多积分问题是无法解析求解的，因此我们需要使用数值方法进行近似求解。
数值积分的方法包括复合辛普森法、复合梯形法、龙贝格积分法等。
三、数值分析的误差分析在数值计算过程中，我们会遇到误差的问题。
这些误差可能来自于测量、舍入、截断等各种原因。
因此，误差分析是数值分析中一个非常重要的内容。
东北大学数值分析-总复习+习题
二、(13分)设函数(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,…计算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.
解 (1)因为0<x1时,(x)<0,x2时,(x)>0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1<x<2 时,(x)>0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.
(1) xkp阶收敛于是指: (2) 若()0,则迭代法线性收敛.
lim xk1 C k xk p
4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法的变形.
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
局部平方收敛.
五、矩阵特征值问题
1. 了解Gerschgorin圆盘定理, 会估计特征值. 2. 了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧. 3. 了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.
总复习
一、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差 限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。
一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的 半个单位。
定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并 且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近 似x*时具有n位有效数字。
是不是一种向量范数_____. 是
数值分析考试复习总结
第一章1 误差相对误差和绝对误差得概念 例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差:建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.解 a 的相对误差：由于31021|)(|-⋅≤-≤a x x E . x ax x E r -=)(,221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ）)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.|11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---ax x a =310-33104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □2有效数字基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题:4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） ;1||,11211<<+--+x xxx 对（2）;1,11>>--+x xx xx 对（3）1||,0,cos 1<<≠-x x xx对.解 (1) )21()1(22x x x ++. (2) )11(2x x x x x-++.(3) xxx x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □第二章拉格朗日插值公式（即公式（1））插值基函数（因子）可简洁表示为其中: ()∏∏≠==-='-=nij j j i i nnj jn x x x xx x 0)(,)()(ωω. 例1 n=1时，线性插值公式 )()()()()(010110101x x x x y x x x x y x P --⨯+--⨯=， 例2 n=2时，抛物插值公式 牛顿（Newton ）插值公式由差商的引入，知（1） 过点10,x x 的一次插值多项式为其中（2） 过点210,,x x x 的二次插值多项式为其中重点是分段插值:例题:1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1） （2） 解(2)：方法一. 由 Lagrange 插值公式 可得： )21()(23-=x x x L 方法二. 令由 23)1(3-=-L ， 21)1(3=L ， 定A ，B （称之为待定系数法） □15.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等距节点，且10/1=h .解 2)(x x f =， ih x i = ， 10,,1,0Λ=i ， 101=h设 1+≤≤i i x x x ，则： 误差估计： ))1(()(!2|)()(|max)1(h i x ih x f x f x f hi x ix h +--''≤-+≤≤. □第三章最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形：1. 连续意义下在空间],[2b a L 中讨论2. 离散意义下在n 维欧氏空间n R 中讨论，只要求提供f 的样本值1. 最佳逼近多项式的法方程组设],[2b a L 的1+n 维子空间 n P =span },,,1{2n x x x Λ, 其中 n x x x ,,,12Λ是],[2b a L 的线性无关多项式系.对],[2b a L f ∈∀，设其最佳逼近多项式*φ可表示为: ∑==ni i i x a 0**φ由 n P f ∈∀=-φφφ ,0),(*即 ∑===nj ij j i n i x f a x x 0*)1(0),,(),(（*2） 其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）. 由n i i x 0}{=的线性无关性，可证明G 正定，即 上述法方程组的解存在且唯一 .11、 求x x f πcos )(= ，]1,0[∈x 的一次和二次最佳平方逼近多项式. 解： 设 x a a x P 10*1)(+= ， 2210*2)(x b x b b x P ++= 分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。
数值分析期末复习
《数值分析》期末复习提纲第一章数值分析中的误差(一) 考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
误差的定性分析(二)复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
4. 避免误差危害的若干原则第二章插值法(一) 考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数。
(二)复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。
2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。
3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。
4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。
第三章函数逼近(一) 考核知识点函数逼近的基本概念，内积，范数，勒让德与切比雪夫正交多项式，最佳一次一致逼近，最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法（二）复习要求1. 熟练掌握内积，范数等基本概念。
2. 熟练掌握勒让德与切比雪夫正交多项式的性质。
3. 掌握用多项式做最佳平方逼近的方法。
4. 最小二乘法及其计算方法。
第四章数值积分与数值微分(一) 考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿―科特斯求积公式，牛顿―科特斯系数及其性质，(复合)梯形求积公式，(复合)Simpson求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯―勒让德求积公式；(二) 复习要求1. 熟练掌握数值积分和代数精度等基本概念。
2. 熟练掌握牛顿−科特斯求积公式和科特斯系数的性质。
熟练掌握并推导(复合)梯形求积公式和(复合)Simpson求积公式。
3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。
会用高斯−勒让德求积公式求定积分的近似值。
数值分析总复习
yn+1=yn+h/2 (yn+yn+1)
解出yn+1得
y n 1
1 1 h 2 yn 1 1 2 h
类似前面分析,可知绝对稳定区域为
1 1 h 2 1 1 1 2 h
由于Re()<0,所以此不等式对任意步长h恒成立,这是隐式
公式的优点.一些常用方法的绝对稳定区间为
会构造简单的三次样条插值函数. 4. 了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。 5. 掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方 误差.
七、数值积分
掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。 2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法 确定求积公式。 3. 会用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分并
点.了解Newton迭代法的变形.
x k 1
局部平方收敛.
f ( xk ) xk f ( x k )
六、插值与逼近
1.了解差商的概念和性质. 2.会建立插值多项式并导出插值余项. Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法 及待定系数法。
3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。
祝大家考试好运！
字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近似x*时具有n位有效数字。 2.了解数值计算中应注意的一些问题.
二、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.
主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
方 法 Euler方法 梯形方法 改进Euler方法 二阶R-K方法 三阶R-K方法 四阶R-K方法 方法的阶数 1 2 2 2 3 4 稳定区间 (-2 , 0) (- , 0) (-2 , 0) (-2 , 0) (-2.51 , 0) (-2.78 , 0)
数值分析总复习
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
解: l11 a11 16 4,
l21 a21 l11 4 4 1,
l31 a31 l11 2,
4
b
3
.
10
l11 a11 , l21 a21 l11 , l22 a22 l221 ,
l31 a31 l11 , l32 a32 l21l31 l22 , l33 a33 l321 l322 . 19 第20页/共36页
l11 a11 , l21 a21 l11 , l22 a22 l221 ,
l31 a31 l11 , l32 a32 l21l31 l22 , l33 a33 l321 l322 . 18 第19页/共36页
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中
16 4 8
x1
26
第27页/共36页
六. 确定求解初值问题
y' f ( x, y), a x b,
y(a)
y0 .
的二步隐式Adams方法
yn1
yn
h 12
(5
fn1
fn
fn1 )
中的参数, 使该方法成为三阶方法, 并写出其局部截断误差主项.
可用数值积分方法或Taylor展开方法
8,
Rn1
1 24
h4
解 (1) 由已知, 当 f (x)分别为1, x, x2时, 求积公式等号成立. 即
11x3dx 1
0 1dx 14
11 2
((1x13
1)x23
)
2
故该公式具有3次代数精确度.
1 xdx 1
0
数值分析期末复习要点总结省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
15
Lagrange插值
Lagrange插值基函数
设 lk(x) 是 n 次多项式，在插值节点 x0 , x1 , … , xn 上满足
1, j k lk ( x j ) 0, j k
则称 lk(x) 为节点 x0 , x1 , … , xn 上旳拉格朗日插值基函数
16
线性与抛物线插值
两种特殊情形
x0 ƒ(x0)
x1 ƒ(x1) ƒ[x0, x1]
x2 ƒ(x2) ƒ[x1, x2] ƒ[x0, x1, x2]
x3 ƒ(x3) ƒ[x2, x3] ƒ[x1, x2, x3] ƒ[x0, x1, x2, x3]
…
xn ƒ(xn) ƒ[xn-1, ƒ[xn-2, xn-1, ƒ[xn-3, xn-2, xn-1, … ƒ[x0, x1,2…7 ,
ln 0.54 旳精确值为：-0.616186···
可见，抛物线插值旳精度比线性插值要高
Lagrange插值多项式简朴以便，只要取定节点就可写 出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。
19
Lagrange插值
lk(x) 旳体现式 由构造法可得
lk (
x)
( x x0 ) ( xk x0 )
Rn(x)
n1
Nn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )( x x1 ) an ( x xi )
i 1
其中 a0 f ( x0 ), ai f [x0 ,, xi ], i 1,2,, n
Nn(x) 是 n 次多项式
Rn( x) f [x, x0 , ... , xn]( x x0 )...( x xn1)( x xn )
若
e(x*) x x*
数值分析总复习
样条插值；整体连续光滑，且不需知导数值。
插值问题提法：已知
x y f(x)
x0 y
x1 y
xn y
0
1
n
求一个三次分段函数 S(x) 使
1,
S(
xi
)
y i
x x 2, 在 [ , ] 上是三次多项式
i
i 1
C 3, S(x) 2 ( a,b )
i 0, 1, , n
计算三次样条算法
由边界条件 i , i , , i 0 ,1,, n
插值基函数方法
插值问题解的一般形式 ：
n (x) a0 a1 x an xn
(1 )
实质上是在求多项式的 自然基底 Bn Span{1, x , ,xn}
张成的线性空间中的一 个点 —一个多项式 (1) ,由(2 18)
式知,解存在唯一 ,只要解方程组求出线 性组合系数 {ai}
就可以了 , 但计算量太大 .
定理2.5(余项) .
(2 - 35)
设H (x)是过 x0 , x1 的 Hermite 插值多项式 , C f f(x) 3 , ( 4 )(x)在 (a,b) 内存在, (a,b)是
(a,b)
含点 x0 , x1 的任一区间, 则对任意给定的
x (a,b) 总存在一点ξ (x)使
R(x)
f(x) H(x)
f
( 4 )(ξ
4!
)
(x
x0
)2(x
x1
)2
分段三次 Hermite 插值多项式及余项
∑ y h m H n
H (x) [ (x)
( x)]
i0
ii
ii
定理2.7(余项) :
数值分析总复习提纲
数值分析总复习提纲数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去⽐较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说⽆⾮是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。
在实际的分析计算中，所采⽤的⽅法也⽆⾮是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等⼏个基本⽅法。
⼀、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样⼏个⽅⾯：（⼀）误差计算 1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进⾏计算。
基本的问题是(1)1()(01)(1)!n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。
例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。
解：令f(x)=e x ,⽽f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。
由麦克劳林公式，可知211(01)2!!(1)!n x xn x x e e x x n n θθ+=+++++<<+当x=1时，1111(01)2!!(1)!e e n n θθ=+++++<<+故3(1)(1)!(1)!n e R n n θ=<++。
当n ＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。
此时， e≈2.718 285。
2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利⽤公式即可。
基本的计算公式是：①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx② *()()()ln r e x e x dxe x d x x x x====③(())()()()e f x f x dx f x e x ''== ④(())(ln ())r e f x d f x =⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+ ⑥121212((,))((,))(,)f x x f x x f x x εδ=⑦ xεδ=注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限⼀般不是根据误差的关系⽽是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套⽤定义式()()r e x e x x =或xεδ=，这样计算简单。
数值分析期末复习要点总结
数值分析期末复习要点总结数值分析是一门研究用数值方法来解决数学问题和科学工程问题的学科。
它包括数值计算、数值逼近、数值求解以及数值模拟等内容。
本文将从数值计算的基础知识、数值逼近方法、数值求解方法以及数值模拟方法等方面进行复习要点总结。
一、数值计算的基础知识1. 计算误差：绝对误差、相对误差、有效数字、舍入误差等等。
2. 机器精度：机器数、舍入误差、截断误差等等。
3. 数值稳定性：条件数、病态问题等等。
4. 误差分析：前向误差分析、后向误差分析等等。
二、数值逼近方法1. 插值方法：拉格朗日插值、Newton插值、Hermite插值等等。
2. 曲线拟合：最小二乘法、Chebyshev逼近等等。
3. 数值微分：前向差分、后向差分、中心差分等等。
4. 数值积分：梯形法则、Simpson法则等等。
三、数值求解方法1. 非线性方程求解：二分法、牛顿迭代法、弦截法等等。
2. 线性方程组求解：直接法（Gauss消元法、LU分解法）和迭代法（Jacobi法、Gauss-Seidel法）。
3. 特征值和特征向量：幂法、反幂法、QR分解法等等。
4. 非线性最优化问题：牛顿法、拟牛顿法、梯度下降法等等。
四、数值模拟方法1. 常微分方程数值解法：Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta法等等。
2. 偏微分方程数值解法：差分法、有限元法、有限差分法等等。
3. 数值优化方法：线性规划、非线性规划、整数规划等等。
五、数值计算软件1. MATLAB基础：向量、矩阵、符号计算等等。
2. MATLAB数值计算工具箱：插值与拟合工具箱、符号计算工具箱等等。
3. 其他数值计算软件：Python、R、Octave等等。
总结数值分析是一门重要的数学学科，它为解决实际问题提供了有效的数值方法。
在数值计算的基础知识中，我们需要了解计算误差、机器精度和数值稳定性等概念，同时也需要掌握误差分析的方法。
数值逼近方法包括插值、曲线拟合、数值微分和数值积分等内容，其中插值和拟合是常见的逼近方法。
数值分析复习总结
数值分析复习总结数值分析课本重点知识点第一章P4定义一P5定义二P6定理1P7例题3P10条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式第二章P26定理2（以及余项推导过程）P36两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念第三章P63例题3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式第四章P106复合梯形公式P107复合辛普森求积公式P108例题3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度第五章P162定义3向量的范数P165定理17P169定义8（1）左中右矩形公式（2）LU分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数第六章P192定理9第1条P192例题8第七章P215不动点和不动点迭代法P218定理3P228弦截法P229定理6第九章P280欧拉法与后退欧拉法P283改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数逼近所以无解19。
观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(m)10305080110求运动方程。
解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ=22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,s s =====则法方程组为614.728014.753.631078a b = ??? ?从而解得7.85504822.25376a b =-??=? 故物体运动方程为22.253767.855048S t =-20。
已知实验数据如下：i x 19 25 31 38 44 j y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如2s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零. 主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
2.掌握矩阵的直接三角分解法。 会对矩阵进行Doolittle分解 、Crout分解 熟练掌握用三角分解法求方程组的解。 了解平方根法和追赶法的思想。
整体收敛 若1.a(x)b; 2.|(x)| L<1, x[a,b].
则xk+1=(xk),x0[a,b]都收敛于方程的唯一根. 局部收敛 若|()|<1, 则对充分接近的初值x0,迭代 法xk+1=(xk)收敛.
3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.
(1)
xkp阶收敛于是指: lim k
定理 设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在 唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU .
3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素 非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和 矩阵的范数；了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。
4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的谱半径和条 件数。
1 3
,得
x1 1 x2 3
17 5
x
3
34 5
x3 2
向量的1-范数:‖x‖1=|x1|+|x2|+…+|xn|
向量的2-范数:‖x‖2=
x12
x
2 2
x
2 n
向量的-范数:‖x‖=
max
1in
|
xi
|
矩阵的1-范数:‖A‖1 矩阵的2-范数:‖A‖2 矩阵的-范数:‖A‖ 矩阵的F-范数:‖A‖F
令 5λ 5
所以
5 10 λ
0
,得
λ
1
15
5 2
5 ,λ
2
15
5 2
5
A 15 5 5
2
2
例3 设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3
(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时, 预估误差x*-x(10) (取三位有效数字).
第六章、数值积分
1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.
掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。
2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法
确定求积公式。
3. 会用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分并
会用误差估计式.
b a
f (x)dx
h [ f (a) 2 n1
n
max
1 jn
i1
a
ij
maxλ (ATA),也称为谱范数.
n
max
1in
a ij
j1
n
a
2 ij
i, j1
,也称为行范数.
例2 设矩阵 A 1 1
2 3
求矩阵A的范数‖A‖p ,p=1,2, ,F. (求谱半径、条件数）
解 ‖A‖1=4 , ‖A‖=5 , ‖A‖F
15
AT A 1 2 1 1 5 5 1 3 2 3 5 10
2
k 1
f (xk )
f
(b)]
(b a)3 12n2
f ()
b a
f (x)dx h [ f (a) 4 n
6
k 1
n1
f
( xk
1 2
)
2
k 1
f (xk )
f
(b)]
(b a)5 2880n4
f (4) ()
第七章、 常微分方程数值解法
1.了解构造数值解法的基本思想及概念。 2.掌握差分公式局部截断误差和阶的概念。 如差分公式的局部截断误差为O(hp+1),则称p阶方法.
xk 1 xk p
C
(2) 若()0,则迭代法线性收敛.
(3) 若()=()=…=(m-1)()=0, 但(m)()0,
则迭代法是m阶收敛的.
4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺
点.了解Newton迭代法的变形.
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
局部平方收敛.
3.会判断单步方法的收敛性和稳定性，求稳定区间。 定理 设单步方法的增量函数(x, y, h)关于y满足 Lipschitz条件, 则方法是收敛的. 若单步方法用于试验方程为: yn+1=g(h)yn ,则方法 的绝对稳定区域是: |g(h)|<1 .
例1 利用三角分解方法解线性方程组 例题讲解
x1 2x2 3x3 1 2x1 x2 3x3 5
第三章、解线性方程组的迭代法
1.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭 代方法的收敛性。
（1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1. （2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1. （3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(0<1)收敛. （4）A对称正定,则GS法,SOR法(0<<2)收敛.J_法收敛 的充分必要条件是2D-A也正定.
第五章、插值与逼近
1.了解差商的概念和性质. 2.会建立插值多项式并导出插值余项. Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法 及待定系数法。
3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。 会构造简单的三次样条插值函数.
4. 了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。 5. 掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方 误差.
总复习
第一章、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差 限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。 会计算误差限和有效数字。
一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其 绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限 是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数 字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近似x*时具有n位有效数字。
2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。
x(k ) x* M k x(1) x(0) 1 M
,k
ln(
ε(1 M ) x(1) x(0)
)/
ln
M
第四章、解非线性方程的迭代法
1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-|2-(k+1)(b-a). 2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收
敛性。
解:
3x1 2x2 2x3 1
1 2 3 1
1 2 3
A 2 1 3 2 1 5 9
3 2
2
3
8 5
1
17 5
先解
1 2
1
y1 1 y2 5
,得
y1 y2
11 33
3
8 5
1 y3
1
y3
34 5Leabharlann 再解1 2 5
3 x1 9 x 2