数值分析总复习

定理 设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在 唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU .
3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素 非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和 矩阵的范数；了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。
4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的谱半径和条 件数。
整体收敛 若1.a(x)b; 2.|(x)| L<1, x[a,b].
则xk+1=(xk),x0[a,b]都收敛于方程的唯一根. 局部收敛 若|()|<1, 则对充分接近的初值x0,迭代 法xk+1=(xk)收敛.
3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.
(1)
xkp阶收敛于是指: lim k
解:
3x1 2x2 2x3 1
1 2 3 1
1 2 3
A 2 1 3 2 1 5 9
3 2
2
3
8 5
1
17 5
先解
1 2
1
y1 1 y2 5
,得
y1 y2
11 33
3
8 5
1 y3
1
y3
34 5
再解
1
2 5
3 x1 9 x 2
第六章、数值积分
1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.
掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。
2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法
确定求积公式。
3. 会用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分并
会用误差估计式.
b a
f (x)dx
h [ f (a) 2 n1
2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。
x(k ) x* M k x(1) x(0) 1 M
,k
ln(
ε(1 M ) x(1) x(0)
)/
ln
M
第四章、解非线性方程的迭代法
1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-|2-(k+1)(b-a). 2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收
敛性。
总复习
第一章、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差 限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。 会计算误差限和有效数字。
一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其 绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限 是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数 字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近似x*时具有n位有效数字。
xk 1 xk p
C
(2) 若()0,则迭代法线性收敛.
(3) 若()=()=…=(m-1)()=0, 但(m)()0,
则迭代法是m阶收敛的.
4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺
点.了解Newton迭代法的变形.
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
局部平方收敛.
令 5λ 5
所以
5 10 λ
0
,得
λ
1
15
5 2
5 ,λ
2
15
5 2
5
A 15 5 5
2
2
例3 设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3
(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时, 预估误差x*-x(10) (取三位有效数字).
2
k 1
f (xk )
f
(b)]
(b a)3 12n2
f ()
b a
f (x)dx h [ f (a) 4 n
6
k 1
n1
f
( xk
1 2
)
2
k 1
f (xk )
f
(b)]
(b a)5 2880n4
f (4) ()
第七章、 常微分方程数值解法
1.了解构造数值解法的基本思想及概念。 2.掌握差分公式局部截断误差和阶的概念。 如差分公式的局部截断误差为O(hp+1),则称p阶方法.
n
max
1 jn
i1
a
ij
maxλ (ATA),也称为谱范数.
n
max
1in
a ij
j1
n
a
2 ij
i, j1
,也称为行范数.
例2 设矩阵 A 1 1
2 3
求矩阵A的范数‖A‖p ,p=1,2, ,F. (求谱半径、条件数）
Baidu Nhomakorabea
解 ‖A‖1=4 , ‖A‖=5 , ‖A‖F
15
AT A 1 2 1 1 5 5 1 3 2 3 5 10
1 3
,得
x1 1 x2 3
17 5
x
3
34 5
x3 2
向量的1-范数:‖x‖1=|x1|+|x2|+…+|xn|
向量的2-范数:‖x‖2=
x12
x
2 2
x
2 n
向量的-范数:‖x‖=
max
1in
|
xi
|
矩阵的1-范数:‖A‖1 矩阵的2-范数:‖A‖2 矩阵的-范数:‖A‖ 矩阵的F-范数:‖A‖F
第三章、解线性方程组的迭代法
1.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭 代方法的收敛性。
（1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1. （2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1. （3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(0<1)收敛. （4）A对称正定,则GS法,SOR法(0<<2)收敛.J_法收敛 的充分必要条件是2D-A也正定.
3.会判断单步方法的收敛性和稳定性，求稳定区间。 定理 设单步方法的增量函数(x, y, h)关于y满足 Lipschitz条件, 则方法是收敛的. 若单步方法用于试验方程为: yn+1=g(h)yn ,则方法 的绝对稳定区域是: |g(h)|<1 .
例1 利用三角分解方法解线性方程组 例题讲解
x1 2x2 3x3 1 2x1 x2 3x3 5
2.了解数值计算中应注意的一些问题.
第二章、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零. 主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
2.掌握矩阵的直接三角分解法。 会对矩阵进行Doolittle分解 、Crout分解 熟练掌握用三角分解法求方程组的解。 了解平方根法和追赶法的思想。
第五章、插值与逼近
1.了解差商的概念和性质. 2.会建立插值多项式并导出插值余项. Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法 及待定系数法。
3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。 会构造简单的三次样条插值函数.
4. 了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。 5. 掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方 误差.