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离散型随机变量的均值教案

离散型随机变量的均值教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念举例说明离散型随机变量1.2 离散型随机变量的概率分布概率分布的定义概率分布的性质概率分布的图像表示1.3 离散型随机变量的数学期望数学期望的定义数学期望的计算方法数学期望的性质第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值的定义均值的定义均值的计算方法均值的性质2.2 离散型随机变量的均值的计算均值的计算公式均值的计算实例均值的近似计算方法均值的估计方法均值的估计误差均值的估计实例第三章：离散型随机变量的方差3.1 离散型随机变量的方差的定义方差的定义方差的计算方法方差的性质3.2 离散型随机变量的方差的计算方差的计算公式方差的计算实例方差的近似计算方法3.3 离散型随机变量的方差的估计方差的估计方法方差的估计误差方差的估计实例第四章：离散型随机变量的标准差4.1 离散型随机变量的标准差的定义标准差的定义标准差的计算方法标准差的性质标准差的计算公式标准差的计算实例标准差的近似计算方法4.3 离散型随机变量的标准差的估计标准差的估计方法标准差的估计误差标准差的估计实例第五章：离散型随机变量的均值的性质与应用5.1 离散型随机变量的均值的性质均值的线性性质均值的单调性质均值的连续性质5.2 离散型随机变量的均值的应用均值在统计推断中的应用均值在决策分析中的应用均值在概率论中的应用5.3 离散型随机变量的均值的估计的应用均值的估计在置信区间中的应用均值的估计在假设检验中的应用均值的估计在样本调查中的应用第六章：离散型随机变量均值的极限收敛性的定义收敛性的判定条件收敛性的性质6.2 大数定律与均值的极限大数定律的定义及其意义大数定律的证明方法均值的极限性质6.3 中心极限定理与均值的极限中心极限定理的定义及其意义中心极限定理的条件均值的极限应用第七章：离散型随机变量均值的变换7.1 离散型随机变量的函数随机变量函数的定义随机变量函数的性质随机变量函数的图像表示7.2 离散型随机变量均值的变换均值的变换公式均值的变换性质均值的变换应用7.3 离散型随机变量条件的均值条件概率与条件均值的概念条件均值的计算方法条件均值的应用第八章：离散型随机变量均值的推断8.1 离散型随机变量均值的估计均值的估计方法均值的估计误差均值的估计应用8.2 离散型随机变量均值的置信区间置信区间的概念置信区间的计算方法置信区间的应用8.3 离散型随机变量均值的假设检验假设检验的概念与步骤均值的假设检验方法均值的假设检验应用第九章：离散型随机变量均值的实际应用9.1 离散型随机变量均值在经济学中的应用均值在需求与供给分析中的应用均值在市场预测中的应用均值在决策分析中的应用9.2 离散型随机变量均值在工程中的应用均值在质量控制中的应用均值在信号处理中的应用均值在其他工程领域的应用9.3 离散型随机变量均值在社会科学中的应用均值在社会调查中的应用均值在心理学研究中的应用均值在其他社会科学领域的应用第十章：总结与展望10.1 离散型随机变量均值的重要性质与方法总结均值的性质与方法强调均值在概率论与统计学中的重要性10.2 离散型随机变量均值的研究进展介绍均值研究的新进展展望均值研究的发展方向10.3 离散型随机变量均值的进一步学习建议推荐进一步学习的教材与参考书鼓励学生参与实际应用与研究项目强调理论与实践相结合的学习方法重点和难点解析一、离散型随机变量的概念：理解离散型随机变量的定义及其与连续型随机变量的区别是教学的重点。

教学设计7：2.3.1 离散型随机变量的均值

2.3.1 离散型随机变量的均值整体设计教材分析本课是一节概念新授课，数学期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数．学习数学期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测、经济统计、风险与决策等领域有着广泛的应用，对今后学习数学及相关学科产生深远的影响．具体做法如下：(1)先通过创设情境激发学生学习数学的情感，引导学生分析问题、解决问题．经历概念的建构这一过程，培养学生归纳、概括等合情推理能力．(2)再通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识．培养其严谨治学的态度，积极探索的精神，从而实现自我的价值．“授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题．课时分配1课时教学目标知识与技能了解离散型随机变量的均值或数学期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望．过程与方法理解公式“E(aX＋b)＝aE(X)＋b”，以及“若X～B(n，p)，则E(X)＝np”，能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或数学期望．情感、态度与价值观培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神．体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：离散型随机变量的均值或数学期望的概念．教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望．教学过程复习回顾1．分布列：设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ， X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列．2．分布列的两个性质：(1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；(2) i ＝1np i ＝1.教师指出：前面，我们认识了随机变量的分布列．对于离散型随机变量，确定了它的分布列，可以方便地得出随机变量的某些特定的概率，也就掌握了随机变量取值的统计规律．但在实际上，分布列的用途远不止于此，提出问题：已知某射手射击所得环数X 的分布列如下设计意图：抛砖引玉，引出课题．教师指出：在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或数学期望．提出问题：如何估计该射手n 次射击的平均环数，还需知道哪些信息？如何得到？学情预测：学生联系以前所学样本平均数的求法，自然想到需要估计各射击成绩的项数．活动结果：根据射手射击所得环数X 的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有P (X ＝4)×n ＝0.02n 次得4环； P (X ＝5)×n ＝0.04n 次得5环； …………P (X ＝10)×n ＝0.22n 次得10环．故n 次射击的总环数大约为4×0.02×n ＋5×0.04×n ＋…＋10×0.22×n ＝(4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22)×n ，从而，预计n 次射击的平均环数约为4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22＝8.32.这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．探究新知推而广之，对于任一射手，若已知其射击所得环数X 的分布列，即已知各个P (X ＝i )(i ＝0,1,2，…，10)，我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数：0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋…＋10×P (X ＝10)．接下来我们一起学习一下均值的定义 1．均值(或数学期望)：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望． ※教师补充：(1)区别ξ与Eξ.随机变量ξ是可变的，可取不同的值；均值Eξ是不变的，它是离散型随机变量的一个特征数，由ξ的分布列唯一确定，它反映了ξ取值的平均水平．(2)区别随机变量的均值与相应数值的算术平均数．均值表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义上的平均值，不同于相应数值的算术平均数．理解新知章首问题回顾：商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益10万元，如果遇到雨天则带来经济损失4万元．假设国庆节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？(商场外) 解：商场外平均效益为10×P (ξ＝10)＋(－4)×P (ξ＝－4)＝10×0.6－4×0.4＝4.4. 提出问题：离散型随机变量X 的数学期望E (X )与x 1，x 2，…，x i ，…，x n 的平均数 x ＝(x 1＋x 2＋…＋x n )×1n，有何关系？活动结果：一般地，在有限取值的离散型随机变量X 的概率分布中，若p 1＝p 2＝…＝p n ，则有p 1＝p 2＝…＝p n ＝1n ，E (X )＝(x 1＋x 2＋…＋x n )×1n ，所以此时X 的数学期望就是x 1，x 2，…，x i ，…，x n 的平均数．继续探究：根据以前所学我们知道，若一组数据x i (i ＝1,2，…，n )的平均数为x ，那么另一组数据ax i ＋b (a 、b 是常数且i ＝1,2，…，n )的平均数为a x ＋b .类似地，我们可以联想得到离散型随机变量X 的均值也具有类似的性质：2．均值的一个性质：若Y ＝aX ＋b (a 、b 是常数)，X 是随机变量，则Y 也是随机变量，它们的分布列为：于是E (Y )＝(ax 1＋b )p 1＋(ax 2＋b )p 2＋…＋(ax i ＋b )p i ＋…＋(ax n ＋b )p n ＝a (x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n )＋b (p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ) ＝aE (X )＋b ，由此，我们得到了期望的一个性质：E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .运用新知例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的均值．解：因P (ξ＝1)＝0.7，P (ξ＝0)＝0.3，所以Eξ＝1×0.7＋0×0.3＝0.7. 活动结果：此为两点分布，可猜想当X 服从两点分布时，有E (X )＝p .继续发问：两点分布是一个特殊的二项分布，那么一般地，若X ～B (n ，p )，则E (X )＝？活动结果：若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 证明如下：设1－p ＝q .∵P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ＝C k n p k qn －k， ∴E (X )＝0×C 0n p 0q n ＋1×C 1n p 1q n －1＋2×C 2n p 2q n －2＋…＋k ×C k n p k q n －k ＋…＋n ×C n np n q 0.又∵k C k n ＝k ·n ！k ！(n －k )！＝n ·(n －1)！(k －1)！[(n －1)－(k －1)]！＝n C k －1n －1， ∴E (X )＝np (C 0n －1p 0q n －1＋C 1n －1p 1q n －2＋…＋C k －1n －1pk －1q (n －1)－(k －1)＋…＋C n －1n －1pn －1q 0) ＝np (p ＋q )n －1＝np .故若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .例2 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (Ⅰ)求ξ的分布列，均值；(Ⅱ)若η＝aξ＋4，Eη＝1，求a 的值．解：(Ⅰ)ξ的分布列为：ξ的均值：Eξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝32.(Ⅱ)Eη＝aEξ＋4＝1，又Eξ＝32，则a ×32＋4＝1，∴a ＝－2.例3 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(Ⅰ)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13，P (C i )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η.所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ的数学期望Eξ＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法2：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ， i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且 P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是ξ的数学期望Eξ＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.变练演编有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利？解：Eξ＝16×8＋12×(－3)＋13×0＝－16.对你不利，劝君莫赌博！变式：准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样．每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红赢得100元 5红1白赢得50元 4红2白赢得20元 3红3白输100元 2红4白赢得20元 1红5白赢得50元 6个全白赢得100元这一次你动心了没有？略解：结果出现的概率 6个全红 0.1% 5红1白 3.9% 4红2白 24.4% 3红3白 43.2% 2红4白 24.4% 1红5白 3.9% 6个全白 0.1% 达标检测1．随机地抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为所以Eξ＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．2．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km 时租车费为10元，若行驶路程超出4 km ，则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η. (Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？解：(Ⅰ)依题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2；(Ⅱ)Eξ＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.∵η＝2ξ＋2，∴Eη＝2Eξ＋2＝34.8.故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38＝2ξ＋2，得ξ＝18,5×(18－15)＝15.所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟．课堂小结1．离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平；2．求离散型随机变量ξ的均值的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由均值的定义求出Eξ.公式E(aξ＋b)＝aEξ＋b，以及服从二项分布的随机变量的均值Eξ＝np.补充练习基础练习1．随机变量ξ的分布列是(1)则Eξ＝________________________________.(2)若η＝2ξ＋1，则Eη＝____________________________. 【答案】(1)2.4 (2)5.8 2．随机变量ξ的分布列是Eξ＝7.5，则a ＝________，b ＝______. 【答案】0.1 0.43．(1)若Eξ＝4.5，则E (－ξ)＝______. (2)E (ξ－Eξ)＝______. 【答案】(1)－4.5 (2)0 拓展练习1．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(Ⅰ)记“函数f (x )＝x 3＋ξ为R 上的奇函数”为事件A ，求事件A 的概率； (Ⅱ)求ξ的分布列和数学期望．解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z . 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x(1－y)(1－z)＝0.08，xy(1－z)＝0.12，1－(1－x)(1－y)(1－z)＝0.88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4，y ＝0.6，z ＝0.5.(Ⅰ)若函数f (x )＝x 3＋ξ为R 上的奇函数，则ξ＝0.当ξ＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z ) ＝0.4×0.5×0.6＋(1－0.4)(1－0.5)(1－0.6)＝0.24. ∴事件A 的概率为0.24.(Ⅱ)依题意知ξ＝0或2，则ξ的分布列为：∴ξ的数学期望为Eξ＝0×0.24＋2×0.76＝1.52.2．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为13，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：(Ⅰ)随机变量ξ的分布列； (Ⅱ)随机变量ξ的均值．解法一：(Ⅰ)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4. 由等可能性事件的概率公式得P (ξ＝0)＝(23)4＝1681，P (ξ＝1)＝C 14·2334＝3281，P (ξ＝2)＝C 24·2234＝827，P (ξ＝3)＝C 34·234＝881，P (ξ＝4)＝(13)4＝181.从而ξ的分布列为(Ⅱ)由(Ⅰ)得ξ的均值为Eξ＝0×1681＋1×3281＋2×827＋3×881＋4×181＝43.解法二：(Ⅰ)考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验．故ξ～B (4，13)，即有P (ξ＝k )＝C k 4(13)k (23)4－k，k ＝0,1,2,3,4. 解法三：(Ⅱ)由对称性与等可能性，在三个景点任意一个景点下车的人数有相同的分布列，故均值相等．即3Eξ＝4，从而Eξ＝43.设计说明本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法．通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用．教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上．。

教学设计5：2.3.1 离散型随机变量的均值

2.3.1离散型随机变量的均值三维目标1.知识与技能(1)通过实例，理解取有限个值的离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义．(2)能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)，并能解决一些实际问题．(3)会求两点分布和二项分布的均值．2．过程与方法通过实例理解取有限值离散型随机变量均值的含义，通过对比体会随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别．3．情感、态度与价值观体验数学的价值，增强学习数学的兴趣．重点、难点重点：离散型随机变量均值的概念与计算．难点：离散型随机变量均值的性质及应用．引导学生结合分布列的知识，认识均值的概念，通过例题与练习让学生在应用离散型随机变量均值概念的过程中深入地理解其概念及性质．教学建议教学时以形象的混合糖的定价问题的解释为例，引出离散型随机变量的均值的定义，引导学生根据均值的定义推导E(ax＋b)，接着计算两点分布和二项分布的均值，让学生在推导过程中加深理解均值的含义．教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解离散型随机变量的均值及性质．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握求离散型随机变量的均值．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握二项分布的均值的应用．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握均值的实际应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．课标解读1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．2．掌握两点分布、二项分布的均值．3．会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关问题.知识离散型随机变量的均值【问题导思】某城市随机抽样调查了1000户居民的住房情况，发现户型主要集中于160 m 2、100 m 2、60 m 2三种，相应住房的比例为1∶5∶4，能否说该市的人均住房面积为160＋100＋603≈106.7 m 2吗？显然此种计算不合理，忽略了不同住房面积的居民所占的权重，造成了“被平均”现象．如何计算人均住房面更为合理？【提示】户型面积与权数相结合即160×110＋100×510＋60×410＝90(m 2)．1．离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义：若离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X 为(离散型)随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是随机变量，且P (Y ＝ax i ＋b )＝P (X ＝x i )，i ＝1,2,3，…，n .E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .2．两点分布和二项分布的均值 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p . (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .类型1求离散型随机变量的期望例1 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．【思路探究】 (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率．(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和期望．解只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1C 26＝115. 从而知ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1341515215115∴E (ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.规律方法1．准确列出分布列是求均值的关键． 2．求离散型随机变量ξ的均值的步骤：(1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值； (2)求出ξ的每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)利用定义求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．变式训练甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25，投中得1分，投不中得0分．甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和X 的数学期望．解依题意，记“甲投一次命中”为事件A ， “乙投一次命中”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝25，P (A )＝12，P (B )＝35.甲、乙两人得分之和X 的可能取值为0、1、2，则X 的分布列为：X 0 1 2 P3101215E (X )＝0×310＋1×12＋2×15＝910.∴每人在罚球线各投球一次，两人得分之和X 的数学期望为910.类型2二项分布的均值例2 某运动员投篮命中率为p ＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望．【思路探究】 (1)投篮1次命中次数X 服从两点分布，故由两点分布的均值公式可求得；(2)重复5次投篮，命中次数X 服从二项分布，代入公式E (X )＝np 可得．解 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：X 0 1 P0.40.6则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3. 规律方法1．如果随机变量X 服从两点分布，则其期望值E (X )＝p (p 为成功概率)．2．如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．互动探究若本例中命中率为0.8.求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望．解重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.8)，∴E (Y )＝np ＝5×0.8＝4.类型3数学期望的实际应用例3 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X .(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【思路探究】根据利润的意义写出ξ的取值→写出ξ的分布列→求出数学期望E (X )→利用期望回答问题解 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2. P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02.故X 的分布列为：X 6 2 1 －2 P0.630.250.10.02(2)E (X )＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为 E (x )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01 ＝4.76－x (0≤x ≤0.29)．依题意，E (x )≥4.73，即4.76－x ≥4.73. 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%. 规律方法1．本题利用数学期望解决实际问题，运用了方程与不等式的思想，利用已知条件构建不等式，通过解不等式求得三等品率的最大值．2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，在解决实际问题的过程中，关键是把实际问题模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应的各事件可能性的大小，并列出分布列，最后用数学期望等知识解决问题．变式训练学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中， (ⅰ)摸出3个白球的概率； (ⅱ)获奖的概率．(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12710×(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝(710)2＝49100.所以X 的分布列是X 0 1 2 P9100215049100X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.易错易误辨析不能准确理解题意致错典例根据统计，一年中，一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者交保险费100元，若在一年之内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a 元(a ＞100)，问a 如何确定，可使保险公司获益？【错解】设保险公司获益ξ元，则可得ξ的分布列如表1：表1ξ 100 －a P0.990.01所以E (ξ)＝100×0.99＋(－a )·0.01＝99－0.01a . 由E (ξ)＞0，得100＜a ＜9 900.故当100＜a ＜9 900时，可使保险公司获益．【错因分析】由于没有理解题意而把随机变量的取值弄错了，因为当该家庭失窃时，保险公司需赔偿a 元，但是已收取了100元，故其损失为(－a ＋100)元．【防范措施】对于以实际问题为背景的应用题，解题时要准确理解题意，明确各量之间的关系，避免出现错误．【正解】设保险公司获益ξ元，则可得ξ的分布列如表2：表2ξ 100 －a ＋100 P0.990.01所以E (ξ)＝100×0.99＋(－a ＋100)·0.01＝100－0.01a ＞0. 所以100＜a ＜10 000，即当100＜a ＜10 000时，可使保险公司获益．课堂小结1．随机变量的均值反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中，往往把均值最大的方案作为最佳方案进行选择．2．二项分布的数学期望是求期望的一种常见形式，在理解的基础上应熟练记住．对于二项分布的解答，如果采用E (X )＝np ，会大大减少运算量.当堂检测1．若随机变量X 服从二项分布B (4，13)，则E (X )的值为( )A.43B.83C.133D.89 【解析】 E (X )＝np ＝4×13＝43.【答案】 A 2．随机变量X 的分布列为X 1 3 5 P0.50.30.2则其数学期望为( ) A.1 B.13C.4.5D.2.4【解析】 E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 【答案】 D3．设E (X )＝10，则E (3x ＋5)＝________.【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 354．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚球不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分X 的均值．解得分X 的可能取值为0,1.P (X ＝0)＝1－0.7＝0.3，P (X ＝1)＝0.7，故X 的概率分布列为X 1 0 P0.70.3∴E (X )＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.。

《离散型随机变量的均值》教学设计

2.3.1 离散型随机变量的均值授课人：教学目标：知识与技能：1. 通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值；2. 理解离散型随机变量的性质；3. 掌握两点分布和二项分布的均值；4. 会利用离散型变量的均值解决一些相关的实际问题.过程与方法：学生自主学习、合作学习、展示交流，老师解疑和拓展. 情感、态度与价值观：感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.教学重点：求离散型随机变量的均值教学难点：二项分布均值公式的推导，求离散型随机变量的均值教具：多媒体教学过程：一、课题导入离散型随机变量的分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律，但在实际问题中，我们对随机变量的某些数字特征也很感兴趣.例如，要了解我班同学在一次数学考试中的总体水平，很重要的是看平均分.二、讲解新课思考1：已知某射手射击所得环数X 的分布列如下X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．根据射手射击所得环数X 的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ次得5环；…… n n P 22.0)10(=⨯=ξ次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．则称 ()E X =+11p x +22p x …n n x p + 为X 的均值或数学期望，简称期望．均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平思考2：均值与算术平均数的联系与区别.思考3：若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，η的期望与ξ的期望有什么关系？于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()n n ax b p ++ ＝+11(p x a +22p x …n n x p +)++1(p b +2p …n p +) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)(. 基础练习：1(1)则)=(2)若η=2ξ+1，则E(η)= 2、E(X-E(X))的值为（）A 、无法求B 、0C 、E(X)D 、2E(X) 三、例题讲解例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ，所以.03.007.01=⨯+⨯=ξE思考1：这名篮球运动员罚球一次的得分一定是0.7吗？均值为0.7的含义是什么？思考2：若X 服从两点分布，则E(X)=？思考3: 若X ～B(n,p)，则E(X)=？∵k n k k n k n k k nq p C p p C k P --=-==)1()(ξ，∴=ξE 0×n nq p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×k n k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴=ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n qp C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(．故若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．基础练习：一名射手击中靶心的概率是0.9，如果他在同样的条件下连续射击10次，求他击中靶心的次数X 的均值.解：连续射击10次，相当于做了10次独立重复试验故X ～B(10,0.9) 故E(X)=10×0.9=9例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例3. 教材64页第4题四、提高练习根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．解：用X 1 、X 2和X 3分别表示三种方案的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X 1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即⎧⎨⎩262000，有大洪水；X =2000,无大洪水.同样，采用第 3 种方案，有⎧⎪⎨⎪⎩360000，有大洪水；X =10000,有小洪水；0,无洪水.于是，EX 1＝3 800 ,EX 2＝62 000×P (X 2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X 2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX 3 = 60000×P (X 3 = 60000) + 10 000×P(X 3 =10 000 ) + 0×P (X 3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．五、课堂小结（1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； (2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np六、课后作业P64练习 3 ； P69 B 组 1七、教学后记。

离散型随机变量的均值教案

＋
(
－
3)×15＋(－1)×16＋1×210＝－6125.
【思维总结】 (1)该类题目属于已知离散型分布列求期望，求解方法直接套用公式， E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解． (2)对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方法显然前者较简便．
称成功概率．
知新益能
1．一般地，若离散型随机变量X的分布列是
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则称E__(X__)＝__x_1_p_1_＋__x_2p_2_＋__…__＋__x_i_p_i＋__…__＋__x_n_p_n 为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2．3.1
课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．样本平均数的定义假组数设据样的本平数均据数是，x则1，x ＝x2，_n1_(…_x_1，＋__xx_n2_，＋__…x_表_＋_示_x_n这_)．
2．两点分布的分布列是
X
0
1
P
1－p
p
3 ．若 X ～ B(n ， p) ，则 P(X ＝ k) ＝ _C_kn_p_k_(1_－__p_)_n_－_k__，k＝0,1,2，…，n，其 p
件一等品的结果数为
C
k 3
C
3－k 7
，
其
中
k＝
0,1,2,3.
∴P(X＝k)＝Ck3CC31370－k，k＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X0 1 2 3

2.3.1离散型随机变量的均值教案

2．3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值[学习目标]1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．2．理解离散型随机变量均值的性质．3．掌握两点分布、二项分布的均值．4．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．[知识链接]1．某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？答由于平均在每1 kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是12kg、13kg和16kg，所以混合糖果的合理价格应该是18×12＋24×13＋36×16＝23(元/kg)．这里的23元/kg就是混合糖果价格的均值2．已知随机变量ξ的分布列为则x＝________，P(1≤ξ<3)＝________.答x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；P(1≤ξ<3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5. [预习导引]1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．离散型随机变量的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝x i)＝P(Y＝ax i＋b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．3．两点分布与二项分布的均值(1)如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p(p为成功概率)．(2)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.要点一利用定义求离散型随机变量的均值例1袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的数学期望．解取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C03C47＝135，故X的分布列如下：∴E(X)＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447(分)．规律方法求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P (ξ＝k )；(3)写出分布列；(4)利用E (ξ)的计算公式计算E (ξ)．跟踪演练1 在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望．解从10件产品中任取3件，共有C 310种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7，其中k ＝0，1，2，3. ∴P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0，1，2，3.所以随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910. 要点二二项分布的均值例2 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的数学期望．解 (1)依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故ξ＝2时的概率P ＝C 24(23)2(13)2＝827. (2)法一 ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，依题意知：P (ξ＝k )＝C k 4(23)k (13)4－k (k ＝0，1，2，3，4)． ∴ξ的概率分布列为∴E(ξ)＝0×18＋1×881＋2×2481＋3×3281＋4×1681＝83.法二∵ξ服从二项分布，即ξ～B(4，2 3)，∴E(ξ)＝4×23＝83.规律方法将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键．二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②每次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量ξ是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．跟踪演练2某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．解(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：则E(X)＝p＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.要点三离散型随机变量均值的应用例3某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及期望E(η)．解(1)由题意可知每一位顾客不采用1期付款的概率为0.6，记A的对立事件“购买该商品的3位顾客中，都不采用1期付款”为A－，则P(A－)＝0.63＝0.216，∴P(A)＝1－P(A－)＝0.784.(2)由题意可知η可以取200，250，300，分布列如下∴E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.规律方法解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率．跟踪演练3据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元(a＞100)．问a如何确定，可使保险公司期望获利？解设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”，则X的取值为X＝100和X＝100－a，则P(X＝100)＝0.99.P(X＝100－a)＝0.01，所以E (X )＝0.99×100＋0.01×(100－a )＝100－0.01a ＞0，所以a ＜10 000.又a ＞100，所以100＜a ＜10 000.即当a 在100和10 000之间取值时保险公司可望获利.1．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( ) A ．0.6 B ．1 C ．3.5 D ．2 答案 C解析抛掷骰子所得点数ξ的分布列为所以，E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.2．若随机变量ξ～B (n ，0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.64 答案 C解析 ∵ξ～B (n ，0.6)，E (ξ)＝3，∴0.6n ＝3，即n ＝5.故P (ξ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 300·(13)k ·(23)300－k (k ＝0，1，2，…，300)，则E (X )＝________. 答案 100解析由P (X ＝k )＝C k 300·(13)k ·(23)300－k，可知X ～B (300，13)，∴E (X )＝300×13＝100.4．A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为X ，Y .(1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3，2，1，0.P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25，P (X ＝0)＝13×35×35＝325；根据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875； P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325. X 的分布列为Y 的分布列为(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215；因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝2315.1．求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量X 的取值； (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3)根据公式求出均值．2．若X ，Y 是两个随机变量，且Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.一、基础达标1．(2013·广东理)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )等于( ) A.32 B ．2 C.52 D ．3 答案 A解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32，故选A.2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是( ) A ．0.7 B ．6 C ．4.2 D ．0.42 答案 C解析总得分X ～B (6，0.7)，E (X )＝6×0.7＝4.2.3．已知ξ～B (n ，12)，η～B (n ，13)，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 答案 B解析 ∵E (ξ)＝12n ＝15，∴n ＝30， ∴η～B (30，13)，∴E (η)＝30×13＝10.4．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( ) A.13 B.23 C ．2 D.83 答案 D解析 X ＝2，3.P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 23＝23.故E (X )＝2×13＋3×23＝83.5．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为________．答案 10解析次品率为p ＝1 00015 000＝115，由于产品数量特别大，次品数服从二项分布，由公式，得E (X )＝np ＝150×115＝10.6．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )＝________. 答案 1.75解析 P (X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015； P (X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22； P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.7．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和． (1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )．解 (1)X ＝3，4，5，6，P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 25C 14C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 15C 24C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121，所以X 的分布列为(2)X 的数学期望E (X )＝15＋80＋75＋1242＝9121.二、能力提升8．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的期望是( ) A.43 B.139 C.53 D.137 答案 B解析试验次数ξ的可能取值为1，2，3，则P (ξ＝1)＝23，P (ξ＝2)＝13×23＝29， P (ξ＝3)＝13×13×(23＋13)＝19. 所以ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.9．(2013·湖北理)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.75 答案 B解析根据题意易知X ＝0，1，2，3.分布列如下所以E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.故选B.10．某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满120分拿二等奖，满140分拿一等奖，有一选手选对任一题的概率是0.8，则该选手可望能拿到________等奖．答案二解析选对题的个数X ～B (30，0.8)，所以E (X )＝30×0.8＝24，由于24×5＝120(分)，所以可望能得到二等奖．11．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为13，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求： (1)随机变量ξ的分布列；(2)随机变量ξ的均值．解法一 (1)ξ的所有可能值为0，1，2，3，4. 由等可能性事件的概率公式得P (ξ＝0)＝(23)4＝1681，P (ξ＝1)＝C 14·2334＝3281， P (ξ＝2)＝C 24·2234＝827，P (ξ＝3)＝C 34·234＝881，P (ξ＝4)＝(13)4＝181. 从而ξ的分布列为(2)由(1)得ξ的均值为E (ξ)＝0×1681＋1×3281＋2×827＋3×881＋4×181＝43.法二 (1)考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验．故ξ～B (4，13)，即有P (ξ＝k )＝C k 4(13)k (23)4－k，k ＝0，1，2，3，4.ξ的分布列如法一． (2)E (ξ)＝4×13＝43.12．(2013·天津理)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．(2)再取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P(A)＝C12C35＋C22C25C47＝67.所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为6 7.(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47.所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E(X)＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.三、探究与创新13．(2013·福建理)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？解(1)由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X ＝5”，∵P(X＝5)＝23×25＝415，∴P(A)＝1－P(X＝5)＝1115，所以这两人的累计得分X≤3的概率为11 15.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知：X1～B(2，23)，X2～B(2，25)∴E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝45，∴E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝125.∵E(2X1)>E(3X2)他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．。

离散型随机变量的均值教案

离散型随机变量的均值教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义解释离散型随机变量的概念通过实际例子说明离散型随机变量的特点1.2 离散型随机变量的概率分布介绍离散型随机变量的概率分布的概念解释概率分布表的构成及意义1.3 离散型随机变量的数学期望引入离散型随机变量的数学期望的概念解释数学期望的计算方法及意义第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值的定义解释离散型随机变量的均值的概念通过实际例子说明均值的意义和作用2.2 离散型随机变量的均值的计算方法介绍离散型随机变量的均值的计算方法解释如何根据概率分布表计算均值2.3 离散型随机变量的均值的性质介绍离散型随机变量的均值的性质解释均值的单调性、可加性等性质第三章：离散型随机变量的均值的估计3.1 离散型随机变量的均值的估计的概念解释离散型随机变量的均值的估计的概念通过实际例子说明均值估计的意义和作用3.2 离散型随机变量的均值的估计的方法介绍离散型随机变量的均值的估计的方法解释如何利用样本数据估计总体均值3.3 离散型随机变量的均值的估计的性质介绍离散型随机变量的均值的估计的性质解释估计的准确性、可靠性等性质第四章：离散型随机变量的均值的应用4.1 离散型随机变量的均值在实际问题中的应用通过实际例子说明离散型随机变量的均值在实际问题中的应用解释均值在决策、预测等方面的重要性4.2 离散型随机变量的均值的优化问题介绍离散型随机变量的均值的优化问题解释如何利用均值解决最值问题4.3 离散型随机变量的均值与其他统计量的关系介绍离散型随机变量的均值与其他统计量的关系解释均值与方差、标准差等统计量的联系和区别第五章：离散型随机变量的均值的扩展5.1 离散型随机变量的均值的推广介绍离散型随机变量的均值的推广概念解释如何将均值的概念扩展到更广泛的随机变量5.2 离散型随机变量的均值的极限介绍离散型随机变量的均值的极限概念解释均值的极限性质及意义5.3 离散型随机变量的均值的收敛性介绍离散型随机变量的均值的收敛性概念解释均值的收敛性及其在概率论中的应用第六章：离散型随机变量的均值的不等式6.1 离散型随机变量的均值的不等式概念解释离散型随机变量的均值的不等式概念通过实际例子说明均值的不等式在概率论中的应用6.2 均值的不等式证明及应用介绍均值的不等式证明方法解释均值的不等式在概率论中的重要性和应用6.3 离散型随机变量的均值的不等式与其他数学工具的关系介绍离散型随机变量的均值的不等式与其他数学工具的关系解释均值的不等式与方差、协方差等统计量的不等式联系和区别第七章：离散型随机变量的均值的估计的改进7.1 离散型随机变量的均值的估计的改进概念解释离散型随机变量的均值的估计的改进的概念通过实际例子说明均值估计的改进方法及其意义7.2 均值的估计的改进方法介绍离散型随机变量的均值的估计的改进方法解释如何利用改进方法提高均值估计的准确性和可靠性7.3 离散型随机变量的均值的估计的改进与其他统计方法的关系介绍离散型随机变量的均值的估计的改进与其他统计方法的关系解释均值估计的改进与假设检验、置信区间等统计方法的联系和区别第八章：离散型随机变量的均值的实际应用案例分析8.1 离散型随机变量的均值在经济学中的应用分析离散型随机变量的均值在经济学中的应用案例解释均值在市场需求、价格预测等方面的作用8.2 离散型随机变量的均值在工程学中的应用分析离散型随机变量的均值在工程学中的应用案例解释均值在信号处理、质量控制等方面的作用8.3 离散型随机变量的均值在其他领域中的应用分析离散型随机变量的均值在其他领域中的应用案例解释均值在生物学、环境科学等方面的作用第九章：离散型随机变量的均值的软件实现9.1 离散型随机变量的均值的软件实现方法介绍离散型随机变量的均值的软件实现方法解释如何利用编程语言和统计软件计算均值9.2 离散型随机变量的均值的软件实现案例分析离散型随机变量的均值的软件实现案例解释均值软件实现的具体步骤和结果分析9.3 离散型随机变量的均值的软件实现与实际应用的关系介绍离散型随机变量的均值的软件实现与实际应用的关系解释均值软件实现对实际应用的重要性和影响第十章：总结与展望10.1 离散型随机变量的均值的概念、计算和应用总结总结离散型随机变量的均值的概念、计算和应用的主要内容强调均值在概率论和实际应用中的重要性10.2 离散型随机变量的均值的研究趋势和发展方向探讨离散型随机变量的均值的研究趋势和发展方向预测均值在未来概率论和实际应用中的发展前景重点和难点解析一、离散型随机变量的概念：理解离散型随机变量的定义及其与连续型随机变量的区别是学习均值的基础。

2.3.1离散型随机变量的均值教案

2．3．1离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E （aX+b ）=a E(X)+b ”，以及“若X ~B （n,p ），则E(X)=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课教具：小黑板教学过程：一、复习引入：离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率是P ，则在这n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数二、讲解新课：1.问题情境前面我们学习了离散型根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数X 的分布列如下X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数X 的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010 +⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数X 的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为X x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为X 的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量X 的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以X 的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，X 是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为Xx 1 x 2 … x n … ηb ax +1 b ax +2… b ax n +… Pp 1p 2…p n…于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5.若X B （n,p ），则EX=np证明如下：∵ k n k k n kn kkn q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ =ξE 0×nn q p C 0＋1×111-n n qp C ＋2×222-n n qp C ＋…＋k ×kn k k n qp C -＋…＋n ×q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴ =ξE (np 001n n C pq --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(．故若X ～B (n ，p )，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ，所以7.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．解：用X 1 、X 2和X 3分别表示三种方案的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X 1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即⎧⎨⎩262000，有大洪水；X =2000,无大洪水. 同样，采用第 3 种方案，有⎧⎪⎨⎪⎩360000，有大洪水；X =10000,有小洪水；0,无洪水.于是，EX 1＝3 800 ,EX 2＝62 000×P (X 2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X 2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX 3 = 60000×P (X 3 = 60000) + 10 000×P(X 3 =10 000 ) + 0×P (X 3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 . 值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：985.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P0.150.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316根据以上的概率分布，可得ξ的期望35.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X 的数学期望．解：抛掷骰子所得点数X 的概率分布为X 1 2 3 4 5 6P6161 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数X 的数学期望，就是X 的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程X 是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程X 的关系式； (Ⅱ)若随机变量X 的分布列为X 15 16 17 18 P0.10.50.30.1求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(X -4)十10，即 η=2X +2；(Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2X +2∴ =ηE 2EX +2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2X +2，得X =18，5⨯(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75 答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分X 的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分X 的数学期望．解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP⑵η的概率分布为η0 1 2P23.0 3.07.012⨯⨯C 27.0所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4． ⑶X 的概率分布为X ０１ 2 3P33.02133.07.0⨯⨯C 3.07.0223⨯⨯C37.0所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为X ，求X 的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“X =k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (X =k ),进而可求EX .解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m1． ∴ P (X =k )=P n (k )=C knm 1)k (1－m1)n －k（k =0,1,2,….,n ）． ∴ X ～B (n ,m 1)，故 EX =n ×m 1=mn五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量X 的期望的基本步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX 公式E （aX+b ）= aEX+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望EX=np六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A 组1,2,31.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为ξ 012p103 53101 于是 E （ξ）=0×103+1×53+2×101=0.8故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=612924=C Cξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31291314=⋅C C C ξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611291412=⋅C C C ξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61291213=⋅C C C ξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 3612922=C C∴ξ分布列为（2）期望E ξ=0×61+1×31+2×3611+3×61+4×361=914 3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设ξ表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3）i A 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(ξ=1)=p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·3A )+ p(1A ·2A ·A 3) =p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(ξ=2)=p(A 1· A 2·A )+ p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3 p(ξ=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3∴ξE =1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)= p 1+p 2+p 3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.2ξ 0 1 2 3 4p61 31 3611 61 361解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为ξ12P1.02522=C C 6.0251213=⋅C C C 3.02523=C C 2.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=∴ξE5. A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是321,,A A A ，B 队队员是321,,B B B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员 A 队队员胜的概率B 队队员胜的概率A 1对B 1 32 31 A 2对B 2 52 53 A 3对B 352 53 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得分分别为ξ，η （1）求ξ，η的概率分布；（2）求ξE ，ηE 解：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0()()()()2535353310,525253315352315353321,75285253325252315352322,2785252323=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξξξP P P P 根据题意知3=+ηξ，所以 ()()()()()()()()25303,5212,752821,75830================ξηξηξηξηP P P P P P P P （Ⅱ）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；因为3=+ηξ,所以15233=-=ξηE E七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量X的期望的基本步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX公式E（aX+b）= aEX+b，以及服从二项分布的随机变量的期望EX=np 。

离散型随机变量的均值与方差_教案

离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念通过实例说明离散型随机变量的特点1.2 离散型随机变量的取值讨论离散型随机变量的取值范围解释离散型随机变量的概率分布1.3 离散型随机变量的概率质量函数定义概率质量函数（PMF）示例说明如何计算离散型随机变量的概率第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值定义引入离散型随机变量的均值概念解释均值的意义和重要性2.2 计算离散型随机变量的均值介绍计算离散型随机变量均值的方法通过实例演示如何计算均值2.3 均值的性质讨论离散型随机变量均值的性质证明均值的线性性质第三章：离散型随机变量的方差3.1 方差的概念引入方差的概念和意义解释方差在描述随机变量离散程度方面的作用3.2 计算离散型随机变量的方差介绍计算离散型随机变量方差的方法通过实例演示如何计算方差3.3 方差的性质讨论离散型随机变量方差的性质证明方差的线性性质第四章：离散型随机变量的标准差4.1 标准差的概念引入标准差的概念和意义解释标准差在描述随机变量离散程度方面的作用4.2 计算离散型随机变量的标准差介绍计算离散型随机变量标准差的方法通过实例演示如何计算标准差4.3 标准差的性质讨论离散型随机变量标准差的性质证明标准差的线性性质第五章：离散型随机变量的期望和方差的关系5.1 期望和方差的关系引入期望和方差的关系概念解释期望和方差在描述随机变量特性方面的作用5.2 计算离散型随机变量的期望和方差介绍计算离散型随机变量期望和方差的方法通过实例演示如何计算期望和方差5.3 期望和方差的性质讨论离散型随机变量期望和方差的性质证明期望和方差的线性性质这五个章节涵盖了离散型随机变量的均值和方差的基本概念、计算方法和性质。

通过这些章节的学习，学生可以掌握离散型随机变量的均值和方差的计算方法，并了解它们在描述随机变量特性和规律方面的应用。

离散性随机变量的均值(教学设计).doc

学习必备欢迎下载2． 3．1 离散型随机变量的均值宁波北仑明港高级中学柳勋一、教学内容解析《离散型随机变量的均值》是《随机变量及其分布》第三节第一小节的内容，本节课是第一课时 . 本节课主要的学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的概念，引导学生通过实际问题建立取有限值的离散型随机变量均值的概念，然后推导出离散型随机变量均值的线性性质 E aX b aE X b 以及离散型随机变量服从两点分布的期望 E X P 和服从二项分布期望 E X nP 取有限值的离散型随机变量的均值是在学生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上，进一步研究离散型随机变量取值特征的一个方面.学习本节课的内容既是随机变量分布的内容的深化，又是后续内容离散型随机变量方差的基础，所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础 .离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征，是从一个侧面刻画随机变量取值的特点 .在实际问题中，离散型随机变量的均值具有广泛的应用性 .因此我以为本节课的重点是：取有限值的离散型随机变量均值的概念 . 二、教学目标设置：依据《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求，并考虑到学生的实际和学习能力，特将本节课的教学目标设定为：1.通过实际问题，使学生体会离散型随机变量均值的概念，理解离散型随机变量均值的线性性质，会计算简单的离散型随机变量的均值，并能解决一些简单的实际问题 .学习必备欢迎下载使学生学会概括、抽象数学问题的方法，通过简单的应用，培养学生的数学应用意识 .重点：离散性随机变量的均值概念以及求法难点：对离散型随机变量的均值的理解，并能解决简单的实际问题。

三、学生学情分析本节课之前，学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其分布列，二项分布及其应用等基础知识，具备了学习本节知识的知识储备 .本节课是一节概念新授课，教材从学生熟悉的平均值出发，从身边的实际问题中抽象出了取有限值的离散型随机变量均值的概念，这需要一定的概括和抽象能力.鉴于学生的概括、抽象能力不是太强，因此学生对概念的形成和理解会有一定的困难 .基于以上认识，我以为本节课的教学难点是：离散型随机变量均值概念的形成和理解。

离散型随机变量的均值与方差_教案

离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念举例说明离散型随机变量1.2 离散型随机变量的概率分布概率分布的定义概率分布的性质概率分布的图形表示1.3 离散型随机变量的期望值期望值的定义期望值的计算方法期望值的意义第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值的概念均值的定义均值的意义2.2 离散型随机变量的均值的计算方法均值的计算公式均值的计算步骤2.3 离散型随机变量的均值的性质均值的性质1：线性性质均值的性质3：单调性第三章：离散型随机变量的方差3.1 离散型随机变量的方差的概念方差的定义方差的意义3.2 离散型随机变量的方差的计算方法方差的计算公式方差的计算步骤3.3 离散型随机变量的方差的性质方差的性质1：非负性方差的性质2：对称性方差的性质3：单调性第四章：离散型随机变量的协方差4.1 离散型随机变量的协方差的概念协方差的定义协方差的意义4.2 离散型随机变量的协方差的计算方法协方差的计算公式协方差的计算步骤4.3 离散型随机变量的协方差的性质协方差的性质1：线性性质协方差的性质3：对称性第五章：离散型随机变量的相关系数5.1 离散型随机变量的相关系数的定义相关系数的定义相关系数的意义5.2 离散型随机变量的相关系数的计算方法相关系数的计算公式相关系数的计算步骤5.3 离散型随机变量的相关系数的性质相关系数的性质1：取值范围相关系数的性质2：单调性相关系数的性质3：对称性第六章：离散型随机变量的标准化6.1 离散型随机变量标准化的概念标准化的定义标准化的意义6.2 离散型随机变量的标准化方法标准化的计算公式标准化的计算步骤6.3 离散型随机变量标准化后的性质标准化后的分布标准化后的期望值和方差第七章：离散型随机变量的均值的估计7.1 离散型随机变量均值估计的概念均值估计的定义均值估计的意义7.2 离散型随机变量均值的点估计点估计的定义点估计的计算方法7.3 离散型随机变量均值的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第八章：离散型随机变量的方差的估计8.1 离散型随机变量方差估计的概念方差估计的定义方差估计的意义8.2 离散型随机变量方差的点估计点估计的定义点估计的计算方法8.3 离散型随机变量方差的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第九章：离散型随机变量的协方差的估计9.1 离散型随机变量协方差估计的概念协方差估计的定义协方差估计的意义9.2 离散型随机变量协方差的点估计点估计的定义点估计的计算方法9.3 离散型随机变量协方差的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第十章：离散型随机变量的相关系数的估计10.1 离散型随机变量相关系数估计的概念相关系数估计的定义相关系数估计的意义10.2 离散型随机变量相关系数的点估计点估计的定义点估计的计算方法10.3 离散型随机变量相关系数的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法重点和难点解析重点环节1：离散型随机变量的期望值和方差的计算方法。

《离散型随机变量的均值》示范公开课教案【高中数学北师大】

《离散型随机变量的均值》教案1.通过实例理解离散型随机变量的均值的含义，了解随机变量的均值与样本均值的区别与联系．2.能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题．3.体会运用离散型随机变量的均值思想描述和分析某些随机现象的方法，在简单应用中培养学生分析和解决问题的能力．教学重点：离散型随机变量均值的含义及其应用．教学难点：离散型随机变量均值的含义及其应用．一、新课导入问题1：已知在10件产品中有2件不合格品，从这10件产品中任取3件，用X 表示取得产品中不合格品的件数，求X 的分布列．答案：根据分布列的求法，可以求得X 的分布列如下表：k 012P (X=k )715 715 115问题2：在问题1的条件下，从这10件产品中任取3件，平均会取到几件不合格品？可否根据分布列得到一个数，这个数能“代表”这个随机变量取值的平均水平呢？探究：由于随机变量X 可能的取值为0，1，2．可否将三者的算术平均“1”“代表”这个随机变量的平均水平呢？为什么？探究新知：问题3：设有12个西瓜，其中有4个质量是5kg ，3个质量是6kg ，5个质量是7kg ，求这12个西瓜的平均质量．分析：西瓜的平均质量应为12个西瓜的总重量除以西瓜的总个数，即54+63+7573=1212⨯⨯⨯ （kg ），也即54637573++=12121212⨯⨯⨯（kg ）． ◆教学目标◆教学重难点◆教学过程显然，西瓜的平均质量不是5kg ，6 kg ，7kg 的算术平均，而是等于各个质量乘相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例后再求和，是5kg ，6kg ，7 kg 的加权平均，其中权数是相应质量的西瓜个数在西瓜总个数中所占的比例．引导分析：类比问题3的方法，给出问题2的解决方法．用随机变量X 三个取值0，1，2的加权平均7710+1+2=0.6151515⨯⨯⨯来代表随机变量X 的平均取值，其中0，1，2的权重分别是X 取这个值时的概率，即在一次抽取中，3件产品中平均有0.6件是不合格品．思考1：用上述方法求得随机变量X 的平均取值是否合理？答案：合理，这种取平均值的方法，考虑到了不同变量在总体中的比例份额，变量所占份额越大，对整组数据的平均数影响越大．思考2：抽出的不合格品的平均值是否可以是小数？可以，这个平均值的意义在于告诉我们抽出的不合格品最有可能出现的一个值，作用在于对结果的估计，得到的结果可能是与它接近的一个整数．问题4. 能否将上述求离散型随机变量平均值的方法推广到一般情形？ 1．概念形成设离散型随机变量X 的分布列如下表：则称1122i i n n EX x p x p x p x p =+++++为随机变量X 的均值或者数学期望（简称期望）．2.概念理解（1）均值EX 刻画的是X 取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X 取值的平均水平，是随机变量X 的一个重要特征．（2）均值EX 是随机变量X 取各个值的加权平均，由X 的分布列完全确定．问题5.随机变量的均值与样本均值的联系与区别是什么？答案：随机变量的均值是一个常数，而样本均值是一个随机变量，样本均值随样本的变化而变化，这是两个均值的根本区别，在随机变量均值未知的情况下，通常用随机变量的观测值的平均值估计随机变量的均值．三、应用举例例1 设随机变量X 服从参数为p 的两点分布，求EX ．解：由均值定义，得EX =0•P （X =0）+1•P （X =1）=0•（1-p ）+1•p =p ．所以，服从参数为p 的两点分布的均值EX =p ．例2 设X 表示抛掷一枚均匀殷子掷出的点数，求EX ．解：依题意知X 的分布列为()()11234566P X i i ===,,,,, 如下表：根据均值的定义，可知11111171234566666662EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ．例3一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则取出的红球个数的均值是多少？解：设X 表示取出红球的个数，则X 的取值为0，1，2．()023225C C 10C 10P X === ， ()113225C C 631C 105P X ====，()203225C C 32C 10P X ===．因此，Ｘ的分布列如下表：根据均值的定义，可知：1336012105105EX =⨯+⨯+⨯=．总结：求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的实际意义，写出X 全部可能取值； (2)求出X 取每个值时的概率； (3)写出X 的分布列；(4)利用定义公式E (X )=∑x i p i n i=1求出均值．例4 根据气象预报，某地区近期暴发小洪水的概率为0.25，暴发大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建一保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元．试比较哪一种方案好．解：用1X ，2X 和3X 分别表示以上3种方案的损失．采用方案1，无论有无洪水，都损失3 800元，即1X =3 800，故E 1X =3 800元．采用方案2，遇到大洪水时，损失62 000元；没有大洪水时，损失2000元，因此 E 2X =62 000×0.01+2 000×（1-0.01）=2 600（元）；采用方案3，遇到大洪水时，损失60 000元；遇到小洪水时，损失10000元；无洪水时，损失为0元，因此E 3X =60 000×0.01+10 000×0.25=3 100（元）．由此可见，就平均而言，方案2的损失最小．思考3：为什么可以通过比较均值作出决策？答案：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，进而做出决策．四、课堂练习则数学期望E （X ）=（）． A.13B. 23 C.1 D.22.甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X 1，X 2表示)的分布列如下：甲得分：乙得分：则甲、乙两人的射击技术相比（）．A ．甲更好B ．乙更好C ．甲、乙一样好D ．不可比较 3. “四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为______．4.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A 类问题，记Ｘ为小明的累计得分，求Ｘ的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．参考答案：1.由题意可知：1111232333EX =⨯+⨯+⨯=．故选Ｄ．2.因为E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E (X 2)>E (X 1)，故乙的射击技术更好．故选：B ．3.记抽到自己准备的书的学生数为Ｘ，则Ｘ可能值为0，1，2，4 ()1344C 390A 24P X ⨯===，()1444C 281A 24P X ⨯===，()2444C 162A 24P X ⨯===，()44114A 24P X ===，则98610124124242424EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 4.（1）由题可知，Ｘ的所有可能取值为0，20，100．P (X=0)=1-0.8=0.2; P (X=20)=0.8(1-0.6)=0.32; P (X=100)=0.8×0.6=0.48．所以Ｘ的分布列为（2）由（1）知，E (X )=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100． P (Y =0)=1-0.6=0.4； P (Y =80)=0.6(1-0.8)=0.12； P (Y =100)=0.8×0.6=0.48．所以E (Y )=0×0.4+80×0.12+100×0.48=54.4．．因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B 类问题．五、归纳小结【课堂小结】1. 离散型随机变量均值的概念：则称1122i i n n EX x p x p x p x p =+++++为随机变量X 的均值或者数学期望（简称期望）．2.求离散型随机变量X 的均值的步骤： (1)理解X 的实际意义，写出X 全部可能取值； (2)求出X 取每个值时的概率； (3)写出X 的分布列；(4)利用定义公式E (X )=∑x i p i n i=1求出均值．六、布置作业教材第200页练习第1~3题．。

教学设计1：7.3.1　离散型随机变量的均值

7.3.1 离散型随机变量的均值教学目标1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．教学知识梳理知识点一离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n ＝ i ＝1nx i p i 为随机变量X 的均值或数学期望．2．离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 均是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .证明如下：如果Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，X 是随机变量，那么Y 也是随机变量．因此P (Y ＝ax i ＋b )＝P (X ＝x i )，i ＝1,2,3，…，n ，所以Y 的分布列为于是有E (Y )1122i i n n 11＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n )＋b (p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n )＝aE (X )＋b ，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . 思考离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？【答案】(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．知识点二两点分布的均值如果随机变量X 服从两点分布，那么E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p .教学检测1．下列说法正确的有________．(填序号)①随机变量X 的数学期望E (X )是个变量，其随X 的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.【答案】③【解析】①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . 2．已知离散型随机变量X 的分布列为：则X 【答案】32【解析】E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.3．若随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，13，则E (X )的值为________．【答案】43【解析】E (X )＝np ＝4×13＝43.教学探究探究一利用定义求离散型随机变量的均值例1.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及均值．解：X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.反思感悟求随机变量X 的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X 的意义，写出X 所有可能的取值． (2)求出X 取每个值的概率P (X ＝k )． (3)写出X 的分布列． (4)利用均值的定义求E (X )．跟踪训练1．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)P (当天商店不进货)＝P (当天商店销售量为0件)＋P (当天商店销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知X 的可能取值为2，3，P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14，P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34. 故X 的分布列为所以X 的数学期望为E (X )＝2×14＋3×34＝114.探究二离散型随机变量均值的性质例2.已知随机变量ξ的分布列为若η＝aξ＋3，E (η)＝73，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由分布列的性质得12＋13＋m ＝1，所以m ＝16，所以E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，法一：E (η)＝E (aξ＋3)＝aE (ξ)＋3 ＝－13a ＋3＝73.所以a ＝2.法二：因为η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：E (η)＝(－a ＋3)×12＋3×13＋(a ＋3)×16＝73.所以a ＝2.反思感悟求线性关系的随机变量η＝aξ＋b 的均值方法 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值．(2)性质法：直接套用公式，E (η)＝E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ，求解即可．跟踪训练2.已知随机变量X 的分布列为：(1)求E (X )；(2)若Y ＝2X －3，求E (Y )．解：(1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16，所以E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(2)法一：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3 ＝2×(－1730)－3＝－6215.法二：由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：Y －7 －5 －3 －1 1 P14131516120所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.探究三均值的实际应用例3．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X 稳定在7,8,9,10环．将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P (X 乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．解：(1)由图乙可知P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2，P (X 乙＝10)＝0.35. 所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15，P (X 甲＝9)＝0.3，所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35. P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为E (X 甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8， E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高．反思感悟解答概率模型的三个步骤 (1)建模：即把实际问题概率模型化． (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值． (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．跟踪训练3.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X . (1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解：(1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2， P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02.故X 的分布列为(2)E (X )＝6×0.63＋2×0.25即1件产品的平均利润为4.34万元．(3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为E (X )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01＝4.76－x (0≤x ≤0.29)，依题意，E (X )≥4.73，即4.76－x ≥4.73，解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%. 课堂小结 1．知识清单：(1)离散型随机变量的均值． (2)离散型随机变量的均值的性质． (3)两点分布的均值．2．方法归纳：函数与方程、转化化归．3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．当堂检测1.毕业生小王参加人才招聘会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历．假定小王得到A 公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________．【答案】712【解析】由题意，得P (ξ＝2)＝13p ，P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3，ξ的分布列为由12＋1＋p 3＋13p ＝1，得p ＝14. 所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.2.抛掷两颗骰子，若至少有一颗出现4点或5点时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的数学期望为________．【答案】509【解析】一次试验成功的概率为1－4×46×6＝59，故X ～B ⎝⎛⎭⎫10，59，因此X 的数学期望为509. 3.随机变量ξ的概率分布列如下表：尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，则E (ξ)＝________. 【答案】2【解析】设“？”处的数值为t ，则“！”处的数值为1－2t ，所以E (ξ)＝t ＋2(1－2t )＋3t ＝2. 4.某班将要举行篮球比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次，在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知某参赛选手在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别是910和13.如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由．解：设该选手在A 区投篮的进球数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫2，910，故E (X )＝2×910＝95. 则该选手在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6，设该选手在B 区投篮的进球数为Y ，则Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，13，故E (Y )＝3×13＝1，则该选手在B 区投篮得分的期望为3×1＝3，因为3.6>3，所以该选手应选择在A 区投篮．5.交5元钱可以参加一次抽奖，一袋中有同样大小的10个球，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望．解：设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下：ξ＝2(抽到2个1元)，ξ＝6(抽到1个1元，1个5元)，ξ＝10(抽到2个5元)．所以由题意得P (ξ＝2)＝C 28C 210＝2845，P (ξ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645，P (ξ＝10)＝C 22C 210＝145.所以E (ξ)＝2×2845＋6×1645＋10×145＝185.又设η为抽奖者获利的可能值，则η＝ξ－5，所以抽奖者获利的数学期望为E (η)＝E (ξ)－5＝185－5＝－75.。

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5. 若 ξ B（ n,p ），则 Eξ =np 证明如下：
∵ P(
k)
C
k n
pk
(1
p) n k
Cnk p kqn k ，
∴E
0×
C
0 n
p0 qn ＋ 1×
C
1 n
p
1q
n
1 ＋ 2×
C
2 n
p2 q n
2
＋,
＋
k×
C
k n
pk q n
k
＋,
＋
n×
C
n n
p
nq
0
．
又∵ kCnk k
n!
n (n 1)!
nC
k n
1 1
，
k! (n k )! (k 1)![( n 1) (k 1)]!
∴
E
np (
Cn0 1
p0 nq
1＋
C
1 n
1 p1q n
2
＋,
C p q k 1 k 1 ( n 1) ( k 1)
＋ n1
＋,
＋
C
n n
1 1
pn
1q0 )
np( p q)n 1
np ．
故若 ξ ～ B( n， p) ，则 E np．
性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点。
此外，学生初次应用概念解决实际问
题也较为困难，故把其作为本节课的教学难点。
三、教学目标
1、知识目标
1）了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均
值或期望．
2、能力目标
1 ）理解公式“ E（ aξ +b）=aEξ +b”，以及“若 ξ B（ n,p ），则 Eξ =np” . 能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

高中数学 251离散型随机变量的均值教案苏教版选修2 教案

§.1离散型随机变量的均值教学目标1．了解离散型随机变量的期望的意义， 2．会根据离散型随机变量的分布列求出期望．3．能计算简单离散型随机变量均值，并能解决一些实际问题．教学重点：离散型随机变量的期望的概念．教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望．教学过程一、自学导航 1．情景：前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．2．问题：如何比较甲、乙两个工人的技术？ 3．学生活动⑴直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．⑵学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ ⑶引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法． ①如果有n 个数x 1,x 2,… ,x n ,那么②如果n 个数中x 1,x 2…x k 分别出现f 1,f 2… ,f k 次（f 1+ f 2+… + f k =n ）则③某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？④某射手射击的环数ξ的分布列为: 则他射击n 次,射击环数的平均值为．那么，再回到前面的情境问题中来，如何来比较两工人的技术呢？二、探究新知 1．定义在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式1122...n n x p x p x p +++计算样本的平均值，其中i p 为取值为i x 的频率值．类似地，若离散型随机变量X 的分布列或概率分布如下：其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X的数学期望，记为()E X 或μ．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2．性质（1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）三、例题精讲例1高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X ，求X 的数学期望．分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取5n =个产品，随机变量X 为5个球中的红球的个数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ．解：由2．2节例1可知，随机变量X 的概率分布如表所示：从而258480758550380070042()01234523751237512375123751237512375151.66673E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈答：X 的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r nM N Mnr N r C C M E X n C N --===∑．例2从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X 的数学期望()E X ．解：由于批量较大，可以认为随机变量~(10,0.05)X B ，()k P X k p ==1010(1),0,1,2, (10)k k C p p k -=-=，随机变量X 的概率分布如表所示：故10()0.5kk E X kp===∑ 即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．说明：例2中随机变量X 服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当~(,)X B n p 时，()E X np =．例3设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B 在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望．分析：先由题意求出分布列，然后求期望解：（1）事件“4X =”表示，A 胜4场或B 胜4场（即B 负4场或A 负4场），且两两互斥．440044411112(4)()()()()222216P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=；（2）事件“5X =”表示，A 在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B 在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A 负且4场中A 负了3场），且这两者又是互斥的，所以33431141441111114(5)()()()()22222216P X C C --==+=（3）类似地，事件“6X =”、 “7X =”的概率分别为33532252551111115(6)()()()()22222216P X C C --==+=，33633363661111115(7)()()()()22222216P X C C --==+=比赛场数的分布列为E X=⨯+⨯+⨯+⨯=（场）故比赛的期望为()4567 5.812516161616这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．四、课堂精练1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望．2．据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1运走设备，此时需花费3800元；方案2建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；方案3不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失1000元．试选择适当的标准，对3种方案进行比较．五、回顾小结1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．二项分布：若X~H(n,M,N)则E(X)＝nM N超几何分布：若X~B(n,p)则E(X)＝np另：如果随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p（E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p）六、拓展延伸七、课后作业课本671,2,3,4P，71P第1题八、教学后记。

《2.5.1 离散型随机变量的均值》教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.5.1 离散型随机变量的均值》教案教学目标:1.理解随机变量的意义;2.学会区分离散型与非离散型随机变量,并能举出离散性随机变量的例子;3.理解随机变量所表示试验结果的含义,并恰当地定义随机变量.教学重点:随机变量､离散型随机变量､连续型随机变量的意义教学难点:随机变量､离散型随机变量､连续型随机变量的意义授课类型:新授课教具:多媒体､实物投影仪教学过程:思考1:掷一枚骰子,出现的点数可以用数字1 , 2 ,3,4,5,6来表示.那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢?掷一枚硬币,可能出现正面向上､反面向上两种结果.虽然这个随机试验的结果不具有数量性质,但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上(图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.定义1:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable ).随机变量常用字母X , Y,ξ,η,… 表示.思考2:随机变量和函数有类似的地方吗?随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数.在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域.例如,在含有10件次品的100 件产品中,任意抽取4件,可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化,是一个随机变量,其值域是{0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件.例如{X=0}表示“抽出0件次品” , {X =4}表示“抽出4件次品”等.你能说出{X< 3 }在这里表示什么事件吗?“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢?定义2:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多.例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量,它的所有可能取值为0,1,…,10;某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量,它的所有可能取值为0, 1,2,….思考3:电灯的寿命X 是离散型随机变量吗?电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数,而所有非负实数不能一一列出,所以 X 不是离散型随机变量.在研究随机现象时,需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量.例如,如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时,那么就可以定义如下的随机变量:⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较,随机变量Y 的构造更简单,它只取两个不同的值0和1,是一个离散型随机变量,研究起来更加容易.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达30米,则林场树木的高度ξ是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出注意:(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但可以用数量来表达币,ξ=0,表示正面向上,ξ=1,表示反面向上(2)若ξ是随机变量,b a b a ,,+=ξη是常数,则η也是随机变量三､讲解范例:例1. 写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数ξ;(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η解:(1) ξ可取3,4,5ξ=3,表示取出的3个球的编号为1,2,3;ξ=4,表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4;ξ=5,表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3或3,4,5(2)η可取0,1,…,n ,…η=i ,表示被呼叫i 次,其中i=0,1,2,…例2. 抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ,试问:“ξ> 4”表示的试验结果是什么?答:因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一,由已知得-5≤ξ≤5,也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以,“ξ>4”表示第一枚为6点,第二枚为1点例3 某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4km,则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km,则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按lkm 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量,他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解:(1)依题意得η=2(ξ-4)+10,即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(18-15)=15.所以,出租车在途中因故停车累计最多15分钟.四､课堂练习:1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ;②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ;③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是( )A.①;B.②;C.③;D.①②③2.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …,若()40.3P ξ<=,则( )A.3n =;B.4n =;C.10n =;D.不能确定3.抛掷两次骰子,两个点的和不等于8的概率为( ) A.1112; B.3136; C.536; D.1124.如果ξ是一个离散型随机变量,则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数;B. ξ取所有可能值的概率之和为1;C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和;D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案:1.B 2.C 3.B 4.D五､小结:随机变量离散型､随机变量连续型随机变量的概念随机变量ξ是关于试验结果的函数,即每一个试验结果对应着一个实数;随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(其中a､b是常数)也是随机变量六､课后作业:七､板书设计(略)八､教学反思:1､怎样防止所谓新课程理念流于形式,如何合理选择值得讨论的问题,实现学生实质意义的参与.2､防止过于追求教学的情境化倾向,怎样把握一个度.。

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