抛物线中的三角形面积.
双曲线抛物线焦点三角形面积公式
双曲线抛物线焦点三角形面积公式1. 概述双曲线和抛物线是数学中常见的曲线类型，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
而三角形则是几何学中的基本图形之一，研究三角形的性质和面积公式对于理解空间形态和解决实际问题都具有重要意义。
本文将结合双曲线和抛物线的性质，推导出利用焦点和顶点坐标计算三角形面积的公式。
2. 双曲线和抛物线的定义双曲线是平面上满足特定性质的点的集合，它的数学定义是平面上两条直线L1和L2，满足这两条直线的距离的差是一个常数，且常数小于0，那么平面上的点P(x, y)满足L1到P点的距离减去L2到P点的距离等于一个常数。
而抛物线则是平面上满足特定性质的点的集合，它的数学定义是平面上的一个点P(x, y)和一条直线L，使得点P到直线L的距离等于点P到定点F的距离。
其中，定点F称为焦点。
3. 双曲线和抛物线的焦点性质双曲线和抛物线都具有焦点的性质，利用这一性质可以推导出三角形的面积公式。
对于双曲线而言，对于平面上的两点A和B，满足A点到焦点的距离减去B点到焦点的距离等于一个常数。
而对于抛物线而言，对于平面上的三点A、B和C，满足A点到焦点的距离等于B点到焦点的距离等于C点到焦点的距离，并且这个距离等于直线L到焦点的距离。
4. 根据焦点坐标计算三角形面积公式根据双曲线和抛物线的焦点性质，我们可以推导出利用焦点和顶点坐标计算三角形面积的公式。
以双曲线为例，假设A(x1, y1), B(x2, y2)为双曲线上的两个点，F(p, q)为焦点坐标，则三角形FAB的面积可以表示为S = |(x1 - p)(y2 - q) - (x2 - p)(y1 - q)|而以抛物线为例，假设A(x1, y1), B(x2, y2),C(x3, y3)为抛物线上的三个点，F(p, q)为焦点坐标，则三角形ABC的面积可以表示为S = |x1(y2 - y3)+x2(y3 - y1)+x3(y1 - y2)|/25. 应用举例通过以上公式，我们可以快速、准确地计算双曲线和抛物线上任意三角形的面积。
第五讲+抛物线中三角形的面积问题
第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。
⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。
2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。
S△ABC。
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。
练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。
6.抛物线求三角形面积(割补法铅垂法)
抛物线与三角形面积问题
———割补法、铅垂法
例1：在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（7，3）、C（4，7），求△ABC 的面积．解：过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D。
1.如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴
于点B .
（1）求抛物线和直线AB 的解析式.
（2）求CAB S .2.如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,D 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点,连接DC,DB,
（1）求抛物线的表达式.
（2）求△BCD 面积的最大值,并写出D 点的坐标.
x
C O y A B 1
1C (4,7)
B (7,3）
A (1,1)
o x y D
121-=⨯k k (3)x y A B C P E O x y A B
C Q
O
(2)3.如图,二次函数的图象经过点A(0,1),它的顶点B(1,3).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)过点A 作AC⊥AB 交抛物线于点C,P 是直线AC 上方抛物线上的
一点,当△APC 面积最大时,求点P 的坐标和△APC 面积的最大
值.(提示：若两条直线互相垂直，则)
4.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(-3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.。
抛物线上动点p的三角形面积-定义说明解析
抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。
它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。
抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。
在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。
我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。
通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。
同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。
最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。
本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更深入的了解。
【1.2 文章结构】本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。
每个部分的内容如下：（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。
同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。
（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。
首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。
然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。
最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。
（3）结论：在结论部分，我们将对前面的研究结果进行总结，并探讨抛物线上动点P的三角形面积的一些意义和应用。
同时，我们也会展望未来可能的研究方向和可进一步发展的领域。
通过以上的安排，我们旨在全面而系统地介绍抛物线上动点P的三角形面积的计算方法，并探讨其应用的可能性，为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。
初中抛物线求三角形面积乐乐课堂
初中抛物线求三角形面积乐乐课堂导语：今天乐乐课堂为大家带来了一个有趣又实用的数学知识——初中抛物线求三角形面积。
抛物线是一个经典的曲线，在几何学和物理学中有着广泛的应用。
学习如何通过抛物线求三角形面积不仅能加深对抛物线性质的理解，还能拓展数学思维，培养创造解题方法的能力。
让我们一起来探索这个有趣的数学问题吧！一、抛物线的定义和性质抛物线是由平面上的一条直线与一个定点相互关联形成的图形。
这个定点称为焦点，与这条直线上的各点到焦点的距离相等。
抛物线的形状特点是左右对称，上半部分比下半部分开口大或开口小。
二、求抛物线与直线的交点1. 联立方程我们可以通过联立抛物线和直线所对应的方程，求得它们的交点坐标。
假设抛物线的方程为f(x)=ax^2+bx+c，直线的方程为y=mx+n，其中a、b、c、m、n为已知常数。
联立这两个方程，得到二次方程ax^2+bx+c=mx+n，化简为ax^2+(b-m)x+(c-n)=0。
2. 求交点坐标利用求解二次方程的方法，我们可以得到交点的x坐标。
再将x坐标代入抛物线方程中，即可得到交点的y坐标。
这样就求得抛物线与直线的交点坐标。
三、求三角形面积的步骤1. 求焦点坐标通过抛物线方程的形式可以得到焦点的坐标。
如果抛物线的方程为f(x)=ax^2+bx+c，在求交点的过程中已经得到了焦点坐标。
2. 确定三个交点由于抛物线是左右对称的，所以交点可以确定为两个。
将焦点的坐标设为F(a,b)，已知交点的横坐标为x1、x2，则交点的坐标为A(x1,y1)和B(x2,y2)。
3. 求三角形面积利用向量的方法可以求得三角形的面积。
设向量AB=a，向量AF=b，向量BF=c，则三角形的面积可以表示为|a×b|/2，其中×表示叉乘。
四、实例演练为了更好地理解如何利用初中抛物线求三角形面积，我们来看一个实际的例子。
例题：已知抛物线y=x^2与直线y=2x+1相交于A、B两点，求三角形OAB的面积。
抛物线中的三角形问题
抛物线中的三角形问题在数学中，抛物线是一种二次曲线，其形状类似于开口朝上的弧线。
抛物线与三角形之间有着紧密的联系，本文将探讨抛物线中的三角形问题。
一、抛物线的定义与性质抛物线是指平面上满足平方差关系的点的集合。
一般来说，抛物线可以由二次方程的图像表示，常见的抛物线方程形式包括标准型、顶点型等。
根据方程的不同形式，可以得到抛物线的不同性质，如焦点、顶点、对称轴等。
二、抛物线中的三角形问题抛物线与三角形之间存在着丰富的几何关系，其中一些经典问题如下：问题一：抛物线上的三点确定一个三角形，该三角形的面积如何计算？解析：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，并选取抛物线上三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
根据三点确定一个三角形，可以利用三角形的高度与底边长度来计算面积。
首先，我们可以通过求解方程组得到顶点的坐标(xv, yv) = (-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)是抛物线的函数。
然后，利用向量的几何性质，求出三角形的高度h，再计算底边长度d，最后利用面积公式S = 0.5 * d * h计算出面积。
问题二：给定一个抛物线和一个点P，如何确定在抛物线上选择两个点形成的三角形，使其面积最大？解析：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，设点P的坐标为(xp, yp)。
对于以点P为顶点的抛物线上的任意一条直线，其倾斜角为θ，直线的方程可以表示为y = tanθ * x + C，其中C是常数。
当直线与抛物线相交时，可将两个方程联立求解，得到交点的坐标(x1, y1)和(x2,y2)。
然后，利用这两个交点与点P形成的三角形面积公式S = 0.5 *|x1y2 - x2y1 - x1yp + xpy1 + x2yp - xpy2|，求解出最大的面积。
问题三：已知一个抛物线，如何确定两个定点，使其与抛物线上的另一个点形成的三角形周长最小？解析：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
抛物线中三角形面积公式
抛物线中三角形面积公式
抛物线中三角形面积公式：
1. 定义：当平行于抛物线准线交于抛物线上两点P1，P2时，形成的三角形称为抛物线上的三角形。
2. 公式：三角形面积可以求出：S=|P1P2·P3|/2，其中P3是平行于抛物线准线交于抛物线上三角形三边上的点。
3. 运用：若平行于抛物线准线即为x轴，则可以根据公式计算：
S=|P1P2·P3|/2=|x1x2·c|/2，其中c为抛物线在某点P的切线的斜率的倒数。
4. 应用：因为求不定积分的计算比求定积分快得多，所以应用抛物线中三角形面积公式常用于求定积分。
因为抛物线的斜率的倒数在抛物线的任一点P都存在，所以由于任一点P，可以将抛物线分解为若干个三角形，从而将求定积分问题转化为求不定积分问题，大大降低了计算难度。
抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略
图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。
.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在 性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段， 并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的 解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既 要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和 数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多 方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很 好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问 题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围 绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精 心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以 帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得 以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同 方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决 问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提 高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质 之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初 三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结 合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高 频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积 及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公 式（底乘髙的一半）来求,在平面 直角坐标系中求斜三角形的面 积用这个公式难度大，那如何求 呢？那就需要运用转化的方法 把斜三角形分割成底与高分别 与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分 割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜 三角形的面积不仅可以运用分 割法，也可以转换思路，用补形 的方法把不规则图形转化成规 则图形，将斜三角形面积转化 成矩形面积减去三角形的面 积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (： 一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点 ，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点 所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的 面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我 们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点 由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需 使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化 思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点 作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设 出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确 角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是 变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基 础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ， 利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用 公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教 学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、 数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念， 是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度 学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引 领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并 在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的 过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在 学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价 值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层 面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。
铅垂线法求解抛物线中三角形面积
新教师教学课例研究引题•如图，平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，-3）.（1）求直线BC 的解析式；（2）平移直线BC ，使它经过点A ，与y 轴相交于点D ，求平移后的直线AD 的解析式；（3）若抛物线经过A 、B 、C 三点，与直线AD 相交于点E.求抛物线的解析式及△BCE 的面积；解法：（1）将B （3，0）C （0，-3）代入到中，得到一个二元一次方程组解得，（2）根据BC ∥AD ，即k 相等，∴，将A （-1，0）代入可得m=1，将A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）代入到中，得到即，通过计算（3）中△EBC 的面积巩固学生对平行线间距离处处相等这一性质应用即同底等高：.通过引题目的复习巩固平行线的2个基本性质：直线平行即k 相等；平行线间距离处处相等（同底等高求面积）。
问题2：若P 为抛物线第四象限上一动点，当△BCP 面积最大时，求点P 的坐标。
解法一：在△BCP 中，BC 要使△BCP 的面积最大即BC ，作与BC 平行的直线PF ，当直线PF 与抛物线有且PF BC三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。
（歪：如图1，过△ABC 的三，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）法：。
坐标系中，三角形出现在抛物线中，们只要确定a ，h 的值代入公式求解即可2.归纳结论：一般地，直线BC ：与抛物线交于点C （x C ，y C ），B （x B ，y B ），如果我们把抛物线与直线围成的区域称之为“弓形”，点”的抛物线上的一个动点，则当点P 的横坐标，当△BCP 的面积最大，即点P 的横坐标是点C ，点，“弓形”中的内接三角形的面积最大。
结论证明：要使△CBP 的面积最大，作与y=kx+m 平行且与抛物线y=ax 2+bx+c 相切的直线，切点为P ，此时△CBP 的面积最大，设此直线为y=kx+n ，∴关于x 的方程ax 2+bx+c=kx+n 有且只有一个解，即ax 2+（b-k ）x +（c-n ）有一解，∴，∴由求根公式.又∵C ，B 的横坐标是方程的两个解，∴问题。
5抛物线中的三角形面积
抛物线中的三角形面积基本题型：AB 为()0≠+=k d kx y :l 与抛物线()02≠++=a c bx ax y 相交，点P 在抛物线上。
（1）已知ABP S ∆，求点P 的坐标： 利用斜弦长公式求出AB ，进而求出AB 边上的高AB h 。
设点P 为()c bt at ,t ++2，利用点到直线的距离公式列出点P 到直线AB 的距离A B l P d -，而AB l P h d A B=-，则可求得点P 的坐标。
（2）如图，若点P 在AB 上方的抛物线上时，求ABP S ∆的最大值： 利用斜弦长公式求出AB 。
作/l ∥AB l 且与抛物线相切，则切点为所求。
设/l 为/d kx y +=代入抛物线02≠++=a c bx ax y ，因为它们只有一个交点。
所（2）弦长公式抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121（3）斜弦长公式：一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 两个交点()()2211y x B y x A ，，，，由于1x 、2x 是方程02=-+-+)n c (x )k b (ax 的两个根，()()n c a k b /---=42∆()()()()()()()。
ak x x x x kx xk n kx n kx x x y y x x AB /221221222122212212212211411∆∙+=-++=-+=--++-=-+-=（4）两平行线之间的距离公式：已知两平行线11b kx y :l +=，与()21220b b ,k ,b kx y :l ≠≠+=，1l 与2l 之间的距离记作d ，则有1221+-=k b b d 。
抛物线求三角形面积最大值
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0<t<10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．解析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解.（2）设C点坐标为（x,y）,由题意可知.过点C作轴于点D,连接AB,AC.易证,根据对应线段成比例得出的关系式，再根据点C在抛物线上得，联立两个关系式组成方程组，求出的值，再根据点C所在的象限确定点C的坐标。
P为BC的中点，取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．可得,故点H的坐标为（5,0）再根据点P在BC上，可求出直线BC的解析式，求出点P的坐标。
（3）根据,得，所以求的最大值就是求MN的最大值，而M,N两点的横坐标相同，所以MN就等于点N的纵坐标减去点M的纵坐标,从而形成关于MN长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。
解：(1) ∵抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为.由抛物线过B(0,-1) 得，∴．∴抛物线的解析式为.即．(2)设C的坐标为(x，y).∵A在以BC为直径的圆上.∴∠BAC=90°．作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC．∵,∴∴△AOB∽△CDA．∴∴OB·CD=OA·AD．即1·=2(x-2).∴=2x-4．∵点C在第四象限.∴由解得．∵点C在对称轴右侧的抛物线上.∴点C的坐标为(10,-16)．∵P为圆心，∴P为BC中点．取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．∴PH=(OB+CD)=．∵D(10,0)∴H(5,0)∴P (5, )．故点P坐标为(5，)．(3)设点N的坐标为，直线x=t（0<t<10）与直线BC交于点M.，所以设直线BC的解析式为，直线BC经过B(0,-1)、C (10,-16)所以成立，解得：所以直线BC的解析式为，则点M的坐标为.MN====所以，当t=5时，有最大值，最大值是.点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h,k）一般可设其解析式为.(2)求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解.。
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yD
C
B(3,0) C(O,3) D(1,4)
o Bx
△BCD
此的时边，，割没那补有么法大△家BC期D待的的面横积向可或以纵用向别
的方法来求吗？
阅读材料
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条 直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)， 中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂 高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
在A△直Ao角BD/坐DB标系x 中S计A算BC三角121形A面B4积 D的4D基8本方法： 2
寻找横向或纵向的边为底，再利用面积公式
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3的另x一交点为B点，与y轴交
于点C，点D是抛物线的顶点。
（4）连结CD，BD,BC.则S△BCD= 3 .
A
铅垂高
h
C
B
水平宽
a
S ABC
1 2
ah
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
如图：抛物线 y x2 与2x轴的3 另一x交点为B点，与y
轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
（5）连结CD，AD,AC.则S△ACD= 1 .
yD
C
Ao
x
△ACD
A(-1,0) C(O,3) D(1,4)
3
❖
❖
即P点的坐标为P( 3 ,0) 或 P( 2 ,0)
．
2
3
抛物线中的三角形面积
交讨流 论讨 交论流
如图，抛物线的顶点D坐标为（1，4）,且经过 点A(-1，0）. (1)根据以上条件你能获得哪些信息？
y
D(1,4) C
3
A
-1 O
B
3
x
x 1
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3的另x一交点为B点，
与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
（2）连结AC，BC.则S△ABC= 6 .
在直角坐标系中求面积常用方法：
1.寻找横向或纵向的边为底是计算面积的基本方 法。 2.不能直接求出面积时，用割补法进行转化(构 造横向或纵向的边为底是常用的方法)
回顾
y
yD
yD
yD
C
C
C
Ao Bx Ao B x
o B x Ao
x
先计算顶点的坐标
点的坐标—核心
再ห้องสมุดไป่ตู้算面积
直接利用面积公式 割补法
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
y
C
Ao Bx
△ABC
A(-1,0) B(3,0) C(0,3)
1 SABC 2 AB CO
143 6 2
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3的另x一交点为B点，与y
轴交于点C，点D是抛物线的顶点。
（3）连结AD，BD.则S△ABD= 8 .
yD
A(-1,0) B(3,0) D(1,4)
拓展
（6）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB， 若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
y
D（1，4）
C
P
P3
3
A
-1 O
P
B
3
x
3
P
（7）若 3S△PAB=4 S△CAB，
则符合条件的点P有几个?
3个
y
PD（1，4）
C
3
4
A
-1 O
P
B
3
x
4
P
（8）点E是此抛物线(在第一象限内)上的一个动点，设
❖ 解：（3）设P点的坐标为（a，0），因为线段BC过B，C两点，所以BC所
在的直线方程为 y x 5 ．
那么，PH与直线 BC的交点坐标为 E(a，a 5．)
❖ PH与抛物线的交点坐标为 H (a,a2 4a． 5)
❖
由题意，得
❖ ❖ ❖ ❖ ❖
① ②
解解EE这H这H个个方方3223程程EE，，PP得得，aa，即即(32．2a(2或或a42 aa4a5)a5)(a5(a5)（55)（舍32 舍23(a去(a去5）5)）)．．．
顶点为D，试求出点C、D的坐标和 △BCD 的面积．
C（-5，0） D（-2，9）
27 25 S△BCD S梯形MDBO S△DMC S△BOC 14 2 2 15
M
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物 线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶3的 两部分，请求出P点的坐标
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
思考题
已知：m, n是方程 x2 6x 5 0 的两个实数根，
且 m n，抛物线的图像经过点 A(m，0)，B(0，n)．
(1）求这个抛物线 y x2 ax b 的解析式； y x2 4x 5 （2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的
它的横坐标为m，
试用m的代数式表示△ECB的面积.
y
S△ECB
3 2
m2
9 2
m
当点E运动到什么位置时，
DE
． C
3
H
△ECB的面积最大，
A
-1 O F
B
3
x
最大值为多少？并求出此时的
E点坐标。
小结
抛物线中面积问题的常用方法：
1.寻找横向或纵向的边为底是计算三角形面积 的基本方法。 2.不能直接求出面积时，用割补法进行转化(构造 横向或纵向的边为底是常用的方法)