角平分线辅助线专题练习

D

A

B

C

角平分线专题

1、 轴对称性:

内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。

思路和方法:边角等 造全等,也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图,

2、 角平分线的性质定理：注意两点(1)距离相等 （2）一对全等三角形

3、 定义：带来角相等。

4、 补充性质：如图，在△AB Ｃ中,AD 平分∠BAC ，则有ＡB:ＡC=BD:DC

针对性例题:

例题1：如图，AB=2ＡC ,∠ＢＡＤ＝∠ＤAC ，DA ＝ＤB

求证：DC ⊥AC

B

例题2：如图,在△ＡB Ｃ中，∠Ａ等于60°,BE 平分∠ＡBC,C Ｄ平分∠ACB 求证:ＤH=E Ｈ

例题3:如图1，B Ｃ>A Ｂ,BD 平分∠A ＢC,且∠A+∠Ｃ=18０0， 求证:AD=D Ｃ．:

思路一:利用“角平分线的对称性”来构造

因为角是轴对称图形,角平分线是其对称轴，因此,题中若有 角平分线,一般可以利用其对称性来构成全等三角形.

证法1:如图１，在ＢC 上取B Ｅ=ＡB,连结DE ，∵BD 平分

∠A ＢＣ，∴∠A ＢＤ=∠D ＢE ，又BD=BD,∴△ABD ≌△EBD （S ＡＳ),

∴∠A ＝∠DB Ｅ,ＡＤ＝D Ｅ,又∠A+∠C=1８00，∠D ＥＢ+∠DE Ｃ=1８０0,∴∠Ｃ=∠D ＥC,D Ｅ=ＤC ，

则AD ＝DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、B Ｄ于E 、F ，

连结DE,由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△ＥBF,则ＡB=B Ｅ,

ＢD 平分∠A ＢC,BD ＝ＢD ，∴△ＡBD ≌△E ＢＤ(SA Ｓ）,

∴AD ＝ED ，∠ＢAD ＝∠DEB,又∠BA Ｄ+∠Ｃ=1８０0, ∠BED+∠CE Ｄ=180０

,∴∠C=∠DEC ，则ＤE=DC,∴AD=DC ． 说明:证法１,2，都可以看作将△ＡB Ｄ沿角平分线BD 折向B Ｃ而构成 全等三角形的．

证法3:如图３，延长BA 至E ，使BE=B Ｃ，连结D Ｅ, ∵BD 平分∠A ＢＣ，∴∠CBD ＝∠DBE ，又BD=BD ，∴△CB Ｄ≌△EBD （SAS)， ∴∠C=∠E ，ＣD=ＤＥ，又∠BA Ｄ+∠C=１８00,∠DA Ｂ+∠D ＡＥ=１800, ∴∠E=∠D ＡＥ，DE ＝ＤA ，则AD=ＤC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线B Ｄ折向B Ａ而构成全等三角形的．

B A

C D E 图1

B A

C

D

E

F 图2

B A

C

D E

图3

思路二:利用“角平分线的性质”来构造

由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以 过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形.

证法4:如图4,从D 分别作ＢC 、BA 的垂线,垂足为Ｅ、F ，∵BD 平分

∠ABC ，∴DE ＝D Ｆ，又∠B ＡD ＋∠Ｃ=180０

，∠BAD+∠FAD=1８00， ∴∠FAD=∠Ｃ,∴△FAD ≌△E ＣＤ(AA Ｓ）,则AD=DC ．

例题4 已知:如图５,在△ABC 中，∠C =90°,ＡC =ＢＣ，AD 平分∠CAB .

求证：ＡC +CD ＝ＡB

证明：在AB 上截取A Ｅ=ＡC,∵A Ｄ平分∠CAB ，∴∠ＣAD = ∠DAB ,ＡＤ＝AD ， ∴△CA Ｄ≌△EAD ,∴∠DEA =９0°,∵∠C =90°,AC =BC ，∴∠Ｂ=４5°, ∴∠B =∠ＢDE =4５°

∴DE =B Ｅ,∴AC +CD =AE +DE =AE ＋BE ＝AB ，即AC +CD =ＡＢ．

例题5.已知：如图6,在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过B 点的一条 直线BE 折叠这个三角形,使C 点与AB 边上的一点D 重合, 当∠A 满足什么条件时，点D 恰为ＡB 中点?写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 中点.

解:当∠A =30°时,点D 恰为AB 的中点.∵∠A =30°，∠Ｃ=90°(已知）,∴∠CBA =６0°(直角三角形两锐角互余）.又△ＢEC ≌△B ＥD (已知)，∴∠CBE =∠DBE =30°,且∠E ＤB =∠C ＝９0°(全等三角形对应角相等)，∴∠ＤＢE =∠Ａ(等量代换).∵ＢE =A Ｅ(等角对等边）,又∠EDB ＝90°，

即ED ⊥A Ｂ,∴Ｄ是A Ｂ的中点(三线合一)．

B A

C

D F

E 图4

角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、已知角平分线，构造三角形

例题、如图所示，在△ＡＢC 中,∠A ＢＣ=3∠C ，ＡD 是∠BAC 的平分线,ＢE ⊥ＡD 于F 。

求证:1

()2

BE AC AB =

- 证明:延长BE 交AC 于点Ｆ。

因为角是轴对称图形,对称轴是角的平分线所在的直线，

所以A Ｄ为∠B ＡＣ的对称轴, 又因为BE ⊥ＡＤ于Ｆ,

所以点B 和点F 关于AD 对称， 所以BE=FE ＝

1

2

B Ｆ,AB=A Ｆ,∠ＡBF=∠AF Ｂ。 因为∠ABF+∠ＦB

C ＝∠AB Ｃ=３∠C ，

∠AB Ｆ＝∠ＡFB=∠F ＢC+∠C ， 所以∠FBC ＋∠C+∠F ＢC=3∠C ， 所以∠FBC=∠C ，所以FB=FC ，

所以BE ＝

12ＦＣ=12(A Ｃ－A Ｆ）=1

2（ＡC －AB)， 所以1

()2

BE AC AB =-。

二、已知一个点到角的一边的距离,过这个点作另一边的垂线段

如图所示，∠1＝∠２,Ｐ为ＢN 上的一点，并且P Ｄ⊥BC 于D ，A Ｂ+BC=２BD 。 求证:∠BAP+∠ＢＣＰ=18０°。 证明：经过点Ｐ作ＰE ⊥AB 于点E 。 因为PE ⊥ＡB,P Ｄ⊥BC ，∠1＝∠2， 所以P Ｅ＝P Ｄ。

在R ｔ△PBE 和Rt △ＰBC 中

BP BP

PE PD

=⎧⎨

=⎩ 所以Ｒｔ△PBE ≌Rt △PB Ｃ(ＨL ）, 所以BE=BD 。

因为AB+BC=2BD,B Ｃ=ＣD ＋BD,A Ｂ=B Ｅ-AE, 所以AE=CD 。

因为PE ⊥AB,P Ｄ⊥ＢC, 所以∠PE Ｂ=∠PDB=９０°. 在△ＰＡE 和Rt △PCD 中

2

1F E

D

C

B

A

N

P

E D

C

B

A