九年级数学正切1

正切和余切

【学习目标】

1．了解正切、余切概念的意义及正切和余切互为倒数的关系．

2．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并会用这些数值计算、化简含有特殊角的三角函数的式子，会根据特殊角的三角函数值说出对应角的度数．

3．了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系． 4．会用有关锐角三角函数的知识解决一些求直角三角形中未知元素的问题． 【主体知识归纳】

1．正切：如图6—6，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan ．即tan ＝b

a

A A =∠∠的邻边的对边．

v

2．余切：如图6—6，∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotB ＝A

a b A A tan 1

=

=∠∠的对边的邻边． 3．锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．

4．互余两个锐角的正切值与余切值之间的关系：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值，即

tanA ＝cot （90°－A ），cotA ＝tan （90°－A ）． 5．特殊角的正切、余切值

【基础知识讲解】

1． 理解锐角三角函数的意义，必须注意：

一个锐角的三角函数值实际上是一个比值，无单位，只是一个数值；当这个锐角取任意一个固定值时，这一比值也是一个固定值．这个值与它所在三角形的大小没有关系．如图6—7的甲、乙两个直角三角形，

大小显然不等，但∠A ＝∠A ′＝30°，tan ＝

33，tan ′＝3

3，也就是说，∠A 的正切值没有因为所在三角形的大小而改变，同样，余切值也没有改变．

2．求锐角三角函数的值

我们知道，求一个锐角的三角函数值，就是应用相关概念、性质、定理等，求该锐角所在直角三角形某两边的比值．而确定有关比值的方法，在常见的题目中，根据已知条件的不同，一般可分为两类：第一类是已知各边的大小或能够求出各边的大小；第二类是无法求出各边的大小，已知各边间的倍数关系或能够求出各边间的倍数关系．

解决第二类问题一般采用辅助元的方法，通过已知条件的转化，用辅助元表示直角三角形的各边，消元后求得．显然，此类问题体现着概念的灵活运用，题目常具有一定的综合性，涉及到初中代数、几何等知识．

3．直角三角形中各元素之间的关系：

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则 (1)两个锐角的关系——互余，即A ＋B ＝90°；

(2)边与边的关系——勾股定理，即a 2＋b 2＝c 2

； (3)边与角的关系——锐角三角函数，即

sinA ＝

c

a ＝cosB ， cosA ＝c b

＝sinA ，

tanA ＝b a ＝cotB ， cotA ＝a

b

＝tanB ．

【例题精讲】 例1：计算：

（1）2)60tan 1(︒-–sin60°; （2）

︒+︒︒

∙︒--

︒

-︒60tan 45cot 30cot 45tan 160cot 130tan 22; （3）

)

45cos()

45cos(72cos 18sin 72cos 30sin 4αα-︒+︒+

︒+︒︒∙︒–cot(45°＋α)(0°＜α＜45°)； （4）tan 2

60°–2cos45°＋sin 2

25°＋sin 2

65°–3cot 2

60°． 解：（1）原式＝｜1–tan60°｜–sin60°＝｜1–3｜–

23＝2

3

–1． (2)原式＝

)32(3313193133

231311)

3

3(13322+--=+---=+⨯---⨯

＝2． (3)原式＝

)

45cos()45cos(72cos 72cos 72cos 2αα-︒+︒+

︒+︒︒

–cot(45°＋α)

＝

︒

︒

72cos 272cos 2＋cot(45°＋α)–cot(45°＋α)＝1．

(4)原式＝(3)2–2×2

2＋(sin 225°＋cos 2

25°)–3×(33)2＝3–2＋1–1＝3–2．

说明：（1）三角函数的计算要遵循以下原则：

当所给的角是特殊角时，只要把特殊角的三角函数值代入计算即可；当所给的角不是特殊角而又要求不查表时，要注意灵活运用同角的三角函数关系和互为余角的三角函数关系进行化简．

(2)本例的第（4）题，用到了“sin 2α＋cos 2

α＝1”这个关系式，你不妨证明一下． 例2：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边长都扩大3倍，那么∠B 的正切值和余切值( ) A ．没有变化 B ．都扩大3倍 C ．都缩小3倍 D ．不能确定

剖析：在Rt △ABC 中，各边长都扩大3倍后，三角形是否是直角三角形，若是，则可用三角函数定义；

若不是，则不能直接用三角函数定义．由(3a)2＋(3b)2＝9(a 2＋b 2)＝9c 2＝(3c)2

．所以三角形还是直角三角函数，故可用三角函数的定义．

解法一：∵a 2＋b 2＝c 2

，

(3a)2＋(3b)2＝9a 2＋9b 2＝9(a 2＋b 2

)

∴(3a)2＋(3b)2＝(3c)2

．

即各边长扩大3倍后，三角形仍然是直角三角形． 由三角函数定义，得

tan ＝b a b a =33， cot ＝a

b a b =33．

∴∠B 的正切值和余切值不变．故选A ． 解法二：∵三角形各边扩大相同的倍数， ∴得到的三角形与原三角形相似． ∴对应角相等．

即∠B 的三角函数值不变．

例3:在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且已知AC ＝b ，∠A ＝α，那么边BC 的长为( )

A ．b ·sin α

B ．b ·cos α

C ．b ·tan α

D ．b ·cot α

剖析：在直角三角形中，由三角函数定义知，已知三角函数中三个量的任何两个量，都可以求出另外一个量．

解：在Rt △ABC 中，由三角函数定义，得

tan α＝AC

BC

，∴BC ＝AC ·tan α．

即a ＝b ·tan α． 故应选C ．

说明：由于AC 、∠A 是已知的，所以要求a 的值，就必须用与AC 、与∠A 有关的三角函数来表示．本题主要考查两点，其一是正确理解如何用已知元素表示未知元素；其二是能熟练地用直角三角形两边的比表示一锐角的三角函数．

例4:计算：tan 2

60°＋tan(43°＋α)–cot(47°–α)–tan44°·tan45°·tan46°． 剖析：要求上式的值，必须知道各项的值，或者可以把未知项消去．显然本式中的 tan60°、tan45°的值都是已知的，tan （43°＋α）、cos(47°–α)、tan44°、tan46°的值都不知道．通过观察分析可知，tan(43°＋α)与cot(47°–α)的值相等，tan44°与tan46°的积等于1．所以上式的值可求．

解：原式＝(3)2

＋tan(43°＋α)–tan ［90°–(47°–α)］–tan44°·1·cot(90°–46°)