指数对数函数求导
指数对数函数求导
一、自然常数e1、求导xa dxd令x a y = 已知导数差商公式定义式：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()()(lim 0'由导数差商定义式得：xa a x a a x x f x x f x f xx x x x x x x ∆-•=∆-=∆-∆+=∆→∆∆+→∆→∆1)()()(limlim lim 000'（因子x a 与x ∆无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即xa a f x x ∆-•=∆→∆1)0(lim 00'因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且x a f x f •=)0()('' 上述等式说明了任何指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的.令xa a f a M x x ∆-•==∆→∆1)0()(lim 00'0，因为x a 已知，要求)('x f 必须求得)(0a M ，从xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00的定义式可以猜测)(0a M 可能是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ∆值求得)(0a M 的估算值，这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值.hhh 12- hh 13- 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.00010.69321.0987在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且当2=a ，69.012)0(lim 0'≈∆-=∆→∆x f x x当3=a ，10.113)0(lim0'≈∆-=∆→∆xf x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下：693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有x x dx d 2)69.0()2(•≈ x xdxd 3)10.1()3(•≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11)(lim00=∆-=∆→∆xe e M xx ，则有当0→∆x 时，x e x ∆=-∆1，x e x ∆+=∆1，因此x x e ∆∆+=1，再次说明了存在x x x e ∆→∆∆+=1)1(lim使得1)(0=e M，同样e 可能是一个无限不循环小数.再来看看上表中估计2=a 和3=a 时，)0('f 的数值，结合定义式xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00可以看出)(0a M 大小决定于a 的取值，可以证明)(0a M 在实数域单调递增，由)3()()2(000M e M M <<，可知32<<e .数e 的定义：h h h e 1)1(lim+=→即e 是使11lim0=-→he h h 成立的数. 这里要注意一点，一个确定的)(00a M 确定一个具体的数0a ，即当)(0a M 值确定时，原函数x a y =也确定了一个具有确切数值的底数0a ，x y 2=与69.0)2(0≈M 和x y 3=与10.1)3(0≈M 都具有对应关系，所以e 存在且使1)(0=e M 的意义在于我们可以求得x e y =的导函数x x x e e M e e dxd y =•==)('0，当然e 是一个确定的常数，即我们只能求唯一的指数函数x e y =的导函数x e y ='.自然指数求导公式：x xe e dxd = 指数函数x a y =曲线有一个重要特点，当0=x 时，1=y 恒成立，也就是说所有的指数函数均通过)1,0(点；再来看看1)(0=e M 在x e y =图像中的几何意义.0000')()(==•=x y e M e e M ，也就是说)(0e M 表示指数函数在0=x 处的切线斜率10=m ，也只有x e y =在0=x 处导函数1)('0==e M y ，注意体会底数a 与0m 的唯一对应关系.在指数函数x a y =中，a 值的大小直接影响图像的形状. a 值越大，x a y =曲线越陡峭，即变化率越大，导函数值'y 越大；a 值越小，x a y =曲线越平顺，即变化率越小，导函数'y 越小.当x 取值相等时，3232<<⇔<<e xx x a dxd e dx d dx d2. e 的含义 2.1 由定义式h h h e 1)1(lim+=→来理解e 的含义，简单地说e 就是单位时间内，持续翻倍增长所能达到的极限值.假设你在银行存了1元钱，很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！ 银行一般1年才付一次利息，满1年后银行付给你1元利息，存款余额=2元，后来银行发善心，每半年付利息，半年后本息共计)2%1001(+，你可以把利息提前存入，利息生利息，1年本息共计2)2%1001(+元.假设银行超级实在，每4个月就付利息，4个月后本息共计)3%1001(+，8个月后本息共计2)3%1001(+，年底本息共计3)3%1001(+元 .假设银行人品爆发，时时刻刻都在付利息，则第一期本息共计)%1001(n+元，第二期本息共计2)%1001(n +元........第n 期本息共计nn)%1001(+元，这样年底本息余额7182817813.2≈元1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是nn n e )%1001(lim +=∞→，有兴趣可以用这个 网上计算器算一下.2.2.1一个有关复利的例子很久以前，一个名叫伯努力的家伙回答了一个有关复利的问题.下面就是该问题。
求导数公式
求导数公式24个基本求导公式可以分成三类。
第一类是导数的定义公式，即差商的极限. 再用这个公式推出17个基本初等函数的求导公式，这就是第二类。
最后一类是导数的四则运算法则和复合函数的导数法则以及反函数的导数法则，利用这些公式就可以推出所有可导的初等函数的导数。
1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]. 即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限，就是导数的定义。
其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。
包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，一共有如下求导公式：2、f(x)=a的导数， f'(x)=0, a为常数. 即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。
就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。
可以根据幂函数的求导公式求得。
3、f(x)=x^n的导数， f'(x)=nx^(n-1), n为正整数. 即系数为1的单项式的导数，以指数为系数，指数减1为指数. 这是幂函数的指数为正整数的求导公式。
4、f(x)=x^a的导数， f'(x)=ax^(a-1), a为实数. 即幂函数的导数，以指数为系数，指数减1为指数.5、f(x)=a^x的导数， f'(x)=a^xlna, a>0且a不等于1. 即指数函数的导数等于原函数与底数的自然对数的积.6、f(x)=e^x的导数， f'(x)=e^x. 即以e为底数的指数函数的导数等于原函数.7、f(x)=log_a x的导数， f'(x)=1/(xlna), a>0且a 不等于1. 即对数函数的导数等于1/x与底数的自然对数的倒数的积.8、f(x)=lnx的导数， f'(x)=1/x. 即自然对数函数的导数等于1/x.9、(sinx)'=cosx. 即正弦的导数是余弦.10、(cosx)'=-sinx. 即余弦的导数是正弦的相反数.11、(tanx)'=(secx)^2. 即正切的导数是正割的平方.12、(cotx)'=-(cscx)^2. 即余切的导数是余割平方的相反数.13、(secx)'=secxtanx. 即正割的导数是正割和正切的积.14、(cscx)'=-cscxcotx. 即余割的导数是余割和余切的积的相反数.15、(arcsinx)'=1/根号(1-x^2).16、(arccosx)'=-1/根号(1-x^2).17、(arctanx)'=1/(1+x^2).18、(arccotx)'=-1/(1+x^2).最后是利用四则运算法则、复合函数求导法则以及反函数的求导法则，就可以实现求所有初等函数的导数。
常用的基本求导公式
常用的基本求导公式1. 乘法法则（Product Rule）：如果y = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则y' = u'v + uv'。
2. 商法则（Quotient Rule）：如果y = u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则y' = (u'v - uv')/v²。
3. 链式法则（Chain Rule）：如果y=f(g(x))，其中g(x)是关于x的函数，f(u)是关于u的函数，则y'=f'(g(x))*g'(x)。
4.幂函数法则：如果y=xⁿ，其中n为常数，则y'=n*xⁿ⁻¹。
5.指数函数法则：如果y = aˣ，其中a为常数，x为变量，则y' = ln(a) * aˣ。
6.对数函数法则：如果y = logₐ(x)，其中a为常数，x为变量，则y' = (1/ln(a)) * (1/x)。
7.反三角函数法则：(1) 如果y = sin⁻¹(x)，则y' = 1/√(1-x²)。
(2) 如果y = cos⁻¹(x)，则y' = -1/√(1-x²)。
(3) 如果y = tan⁻¹(x)，则y' = 1/(1+x²)。
8.双曲函数法则：(1) 如果y = sinh(x)，则y' = cosh(x)。
(2) 如果y = cosh(x)，则y' = sinh(x)。
(3) 如果y = tanh(x)，则y' = sech²(x)。
9.导数的性质：(1) 常数的导数为0，即d/dx(c) = 0。
(2) 变量的导数为1，即d/dx(x) = 1(3) 导数的线性性质，即d/dx(c₁f(x) + c₂g(x)) = c₁f'(x) +c₂g'(x)，其中c₁和c₂为常数，f(x)和g(x)是关于x的函数。
常用导数基本公式
常用导数基本公式导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
在求导过程中，有一些常用的基本公式可以帮助我们简化计算。
本文将介绍一些常用的导数基本公式，并解释它们的应用。
1. 常数函数的导数对于常数函数f(x) = c，其中c 是一个常数，其导数为零，即f'(x) = 0。
这是因为常数函数在任何点处的斜率都为零，不随x 的变化而变化。
2. 幂函数的导数对于幂函数f(x) = x^n，其中n 是一个常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
这个公式可以通过求导的定义和幂函数的性质推导得到。
例如，对于 f(x) = x^3，其导数为 f'(x) = 3x^2。
3. 指数函数的导数对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是一个正常数且a ≠ 1，其导数为 f'(x) = a^x * ln(a)。
这个公式可以通过对指数函数的求导过程推导得到。
4. 对数函数的导数对于自然对数函数 f(x) = ln(x)，其导数为 f'(x) = 1/x。
这个公式可以通过对自然对数函数的求导过程推导得到。
5. 三角函数的导数对于正弦函数f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。
对于余弦函数 f(x) = cos(x)，其导数为 f'(x) = -sin(x)。
这个公式可以通过对三角函数的求导过程推导得到。
6. 反三角函数的导数对于反正弦函数f(x) = arcsin(x)，其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
对于反余弦函数 f(x) = arccos(x)，其导数为 f'(x) = -1/√(1-x^2)。
这个公式可以通过对反三角函数的求导过程推导得到。
7. 求和与差的导数对于函数f(x) = u(x) ± v(x)，其中 u(x) 和 v(x) 是可导函数，其导数为f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
求导法则与基本求导公式
求导法则与基本求导公式导数是微积分中的重要概念，用来描述函数的变化率。
在求导的过程中，可以用一些基本的求导公式和求导法则来简化计算。
下面将详细介绍一些基本求导公式和求导法则。
1.常数函数的导数对于常数函数y=a，其中a为常数，导函数为y'=0。
这是因为常数函数不随自变量的改变而改变，所以导数为0。
2.幂函数的导数对于幂函数y = x^n，其中n为实数，导函数为y' = nx^(n-1)。
这可以通过对幂函数进行逐项求导证明。
3.指数函数的导数对于指数函数y = a^x，其中a为正实数且a≠1，导函数为y' =a^x * ln(a)。
这可以通过对指数函数进行逐项求导证明。
4.对数函数的导数对于对数函数y = loga(x)，其中a为正实数且a≠1，导函数为y' = 1 / (x * ln(a))。
这可以通过对对数函数进行逐项求导证明。
5.三角函数的导数（1）sine函数的导数：y = sinx，导函数为y' = cosx。
（2）cosine函数的导数：y = cosx，导函数为y' = -sinx。
（3）tangent函数的导数：y = tanx，导函数为y' = sec^2x。
（5）secant函数的导数：y = secx，导函数为y' = secx * tanx。
（6）cosecant函数的导数：y = cscx，导函数为y' = -cscx * cotx。
6.反三角函数的导数（1）arcsine函数的导数：y = arcsinx，导函数为y' = 1 / √(1 - x^2)。
（2）arccosine函数的导数：y = arccosx，导函数为y' = -1 /√(1 - x^2)。
（3）arctangent函数的导数：y = arctanx，导函数为y' = 1 / (1 + x^2)。
（4）arccotangent函数的导数：y = arccotx，导函数为y' = -1 / (1 + x^2)。
高阶导数十个常用公式张宇
高阶导数十个常用公式
在微积分中，导数是表示函数变化率的重要指标。
高阶导
数则是导数的导数，反映了函数的曲率、凹凸性等更高阶的特征。
在实际问题中，高阶导数常常用于描述物理过程、工程问题以及经济学模型等各种领域。
下面列举了十个常用的高阶导数公式。
一阶导数
1.对常数函数y=y求导，导数为y′=0。
2.对幂函数y=y y求导，导数为y′=yy(y−1)。
3.对指数函数y=y y求导，导数为y′=y y。
4.对对数函数 $y = \\ln x$ 求导，导数为 $y' =
\\frac{1}{x}$。
二阶导数
5.对一阶导数y′求导，即求二阶导数，常表示为y″。
6.一阶导数为幂函数的情况下，二阶导数为y″=
y(y−1)y(y−2)。
三阶导数
7.对二阶导数y″求导，即求三阶导数，常表示为y‴。
n 阶导数
8.对 n-1 阶导数y(y−1)求导，即求 n 阶导数，常表示
为y(y)。
9.对幂函数y=y y求 n 阶导数，结果是y(y)=y!。
链式法则
10.对复合函数y=y(y(y))求导，应用链式法则，即
可得到高阶导数的求导规则。
这些高阶导数的公式是微积分中的基础内容，对于深入理解函数特性和求解实际问题都非常重要。
学生在学习微积分过程中，应熟练掌握这些高阶导数的计算方法，以便更好地应用于实际问题中。
求导基本公式16个
求导基本公式16个求导作为微积分中的重要内容，是研究一个函数的变化率的方法之一。
求导的基本公式共有16个，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，每个公式都具有特定的求导规律。
首先，我们来看一下常数函数的求导规则。
对于一个常数函数C，无论x取什么值，导数都是0。
这是因为常数函数的图像是一条平行于x轴的直线，没有变化，所以导数为0。
接下来，我们来看幂函数的求导规则。
对于函数y=x^n，其中n是常数，x是自变量。
根据幂函数求导法则，导数等于常数乘以幂次数与自变量减1次幂的乘积，即dy/dx= n*x^(n-1)。
例如，对于函数y=x^2，我们可以得到dy/dx=2*x^(2-1)=2x，也就是说斜率等于2乘以自变量x的值。
然后，我们来看指数函数的求导规则。
对于函数y=a^x，其中a是常数，x是自变量。
根据指数函数求导法则，导数等于函数值乘以底数的自然对数e为底的对数，即dy/dx=a^x * ln(a)。
这意味着指数函数的斜率与自变量x的值和底数a的自然对数有关。
接下来，我们来看对数函数的求导规则。
对于函数y=log_a(x)，其中a是常数且大于0且不等于1，x是自变量。
根据对数函数求导法则，导数等于自变量的导数除以自变量的自然对数为底的对数，即dy/dx=1/(x * ln(a))。
这意味着对数函数的斜率与自变量x的值和底数a的自然对数的倒数有关。
另外，我们还有三角函数的求导规则。
对于函数y=sin(x)，根据三角函数求导法则，导数等于余弦函数，即dy/dx=cos(x)。
同理，对于函数y=cos(x)，导数等于负的正弦函数，即dy/dx=-sin(x)。
对于函数y=tan(x)，导数等于正切函数的平方加1，即dy/dx=sec^2(x)。
除了以上所述的基本公式，还有其他函数的求导规则，如双曲函数、反双曲函数等。
无论是哪种类型的函数，求导公式都遵循特定的规律，这些规律对于解决实际问题及应用微积分具有重要的指导意义。
指数函数与对数函数的导数解析与归纳
指数函数与对数函数的导数解析与归纳指数函数与对数函数是数学中常见的两种函数类型，它们在微积分学中有着重要的地位。
本文将介绍指数函数和对数函数的导数的解析与归纳。
一、指数函数的导数解析与归纳1. 定义指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为常数且a>0，a≠1。
它具有以下性质：- 当x = 0时，y = 1；- 当x>0时，y随x的增大而增大，且y是递增的；- 当0<a<1时，y是递减的；- 当a>1时，y是递增的。
2. 导数的解析表达式为了求解指数函数的导数，我们先对其进行变形。
将y = a^x取对数，得到lny = ln(a^x)。
根据对数的性质，可以进一步化简为lny = xlna。
然后对等式两边关于x求导，得到1/y * dy/dx = ln a。
因此，指数函数的导数可以表示为dy/dx = ylna。
3. 归纳总结根据以上导数解析表达式，我们可以发现指数函数的导数与自身存在倍数关系。
具体来说，对于y = a^x，其导数为dy/dx = a^x * ln a。
当a>1时，导数为正数，说明指数函数是递增的；当0<a<1时，导数为负数，说明指数函数是递减的。
二、对数函数的导数解析与归纳1. 定义对数函数的一般形式为y = logₐx，其中a为常数且a>0，a≠1。
它具有以下性质：- 当x = 1时，y = 0；- 当x>1时，y随x的增大而增大，且y是递增的；- 当0<x<1时，y是递减的。
2. 导数的解析表达式为了求解对数函数的导数，我们先对其进行变形。
将y = logₐx取指数，得到a^y = x。
然后对等式两边关于x求导，得到1 = dy/dx * ln a。
因此，对数函数的导数可以表示为dy/dx = 1 / (x * ln a)。
3. 归纳总结根据以上导数解析表达式，我们可以得出结论：对数函数的导数与自身的倒数成反比关系。
一般常用求导公式
一般常用求导公式在数学中，求导是一项非常重要的运算，它用于计算函数在某一点的导数。
为了方便计算，数学家们总结出了一系列常用的求导公式，能够帮助我们更快速地求出函数的导数。
本文将介绍一般常用的求导公式，并给出相应的解释和使用示例。
一、基本导数法则1. 常数函数导数公式若y = C（C为常数），则y' = 0。
解释：常数函数的导数恒为0，因为其图像是一条水平线，斜率为0。
例如：如果y = 5，那么y' = 0。
2. 幂函数导数公式若y = x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。
解释：幂函数的导数可以通过将指数降低1并作为新的指数乘以原指数，得到幂函数的导数。
例如：如果y = x^3，那么y' = 3x^2。
3. 指数函数导数公式若y = a^x（a>0且a≠1），则y' = a^x * ln(a)。
解释：指数函数的导数等于函数的值乘以底数的自然对数。
例如：如果y = 2^x，那么y' = 2^x * ln(2)。
4. 对数函数导数公式若y = lo gₐ(x)（a>0且a≠1），则y' = 1 / (x * ln(a))。
解释：对数函数的导数等于1除以自变量乘以底数的自然对数。
例如：如果y = log₂(x)，那么y' = 1 / (x * ln(2))。
5. 指数对数函数导数公式若y = a^(bx + c)（a>0且a≠1，b和c为常数），则y' = (b * ln(a)) * a^(bx + c)。
解释：指数对数函数的导数等于指数项的系数乘以底数的自然对数，再乘以函数本身。
例如：如果y = 3^(2x + 1)，那么y' = (2 * ln(3)) * 3^(2x + 1)。
二、常用三角函数导数公式1. 正弦函数导数公式若y = sin(x)，则y' = cos(x)。
2. 余弦函数导数公式若y = cos(x)，则y' = -sin(x)。
初等函数求导
初等函数求导一、初等函数的定义初等函数是指可以用有限次代数运算、指数函数、对数函数和三角函数的有限次复合运算得到的函数。
二、初等函数的求导法则1. 常数函数求导法则：常数的导数为0。
2. 幂函数求导法则：幂函数f(x) = x^n (n为常数) 的导数为f'(x) = n*x^(n-1)。
3. 指数函数求导法则：指数函数f(x) = a^x (a>0且a≠1) 的导数为f'(x) = ln(a)*a^x。
4. 对数函数求导法则：对数函数f(x) = log_a(x) (a>0且a≠1) 的导数为f'(x) = 1/(ln(a)*x)。
5. 三角函数求导法则：- 正弦函数f(x) = sin(x) 的导数为f'(x) = cos(x)- 余弦函数f(x) = cos(x) 的导数为f'(x) = -sin(x)- 正切函数f(x)=tan(x）的导数为f’(x)=sec^2（x）- 余切函数 f（x）=cot（x）的导数为f’(x)= -csc^2（x）三、初等函数组合求导1. 基本组合法则：若u和v都是可导的，则(u+v)'=u'+v'，(uv)'=u'v+uv'。
2. 复合函数求导法则：若y=f(u)，u=g(x)是可导的，则y=f(u)在x处可导，且y' = f'(u) * u'。
四、例题解析1. 求f(x)=3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 1的导数。
解：f'(x) = (3*4)*x^(4-1) - (2*3)*x^(3-1) + (5*2)*x^(2-1) - 7*1 + 0= 12x^3 - 6x^2 + 10x - 72. 求f(x)=e^(3x-4)的导数。
解：f'(x) = e^(3x-4)*33. 求f(x)=log_2(5+x^2)的导数。
反函数求导公式大全
反函数求导公式大全1.幂函数的反函数求导公式设y=x^n(n≠0,1)，则x=y^(1/n)，对其求导可得：dy/dx = (1/n) * y^((1/n)-1) = (1/n) * x^((1/n)-1)2.指数函数的反函数求导公式设y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，则 x = log_a(y)，对其求导可得：dy/dx = (1/ln(a)) * (1/y) = (1/ln(a)) * (1/x)3.对数函数的反函数求导公式设 y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)，则 x = a^y，对其求导可得：dy/dx = (1/ln(a)) * (1/x)4.三角函数的反函数求导公式(1)正弦函数的反函数求导公式设 y = sin(x)，则 x = arcsin(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / sqrt(1 - y^2) = 1 / sqrt(1 - sin^2(x))(2)余弦函数的反函数求导公式设 y = cos(x)，则 x = arccos(y)，对其求导可得：dy/dx = -1 / sqrt(1 - y^2) = -1 / sqrt(1 - cos^2(x))(3)正切函数的反函数求导公式设 y = tan(x)，则 x = arctan(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / (1 + y^2) = 1 / (1 + tan^2(x))5.双曲函数的反函数求导公式(1)双曲正弦函数的反函数求导公式设 y = sinh(x)，则 x = arcsinh(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / sqrt(y^2 + 1) = 1 / sqrt(sinh^2(x) + 1) (2)双曲余弦函数的反函数求导公式设 y = cosh(x)，则 x = arccosh(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / sqrt(y^2 - 1) = 1 / sqrt(cosh^2(x) - 1) (3)双曲正切函数的反函数求导公式设 y = tanh(x)，则 x = arctanh(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / (1 - y^2) = 1 / (1 - tanh^2(x))6.反三角函数的反函数求导公式(1)反正弦函数的反函数求导公式设 y = asin(x)，则 x = sin(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / sqrt(1 - x^2)(2)反余弦函数的反函数求导公式设 y = acos(x)，则 x = cos(y)，对其求导可得：dy/dx = -1 / sqrt(1 - x^2)(3)反正切函数的反函数求导公式设 y = atan(x)，则 x = tan(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / (1 + x^2)。
各种导数公式
各种导数公式一. 常数函数的导数当函数f(f)=f为一个常数时，任何数f的函数的导数都为零。
即： $\\frac{d}{dx}c=0$二. 幂函数的导数1.对于幂函数f(f)=f f，其中f为常数，则它的导数为： $\\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$2.特殊情况下，当f=0时，f(f)=f0=1，导数为：$\\frac{d}{dx}1=0$三. 指数函数的导数1.对于指数函数f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则它的导数为： $\\frac{d}{dx}a^x=a^xln(a)$四. 对数函数的导数1.自然对数函数f(f)=ff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}ln(x)=\\frac{1}{x}$2.一般对数函数f(f)=fff f f的导数为：$\\frac{d}{dx}log_ax=\\frac{1}{xln(a)}$五. 三角函数的导数1.正弦函数f(f)=fff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)$2.余弦函数f(f)=fff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}cos(x)=-sin(x)$3.正切函数f(f)=fff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}tan(x)=sec^2(x)$六. 反三角函数的导数1.反正弦函数f(f)=ffffff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}arcsin(x)=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$2.反余弦函数f(f)=ffffff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}arccos(x)=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$3.反正切函数f(f)=ffffff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}arctan(x)=\\frac{1}{1+x^2}$七. 复合函数的导数法则1.若f=f(f)和f=f(f)，则复合函数f=f(f(f))的导数为：$\\frac{dy}{dx}=\\frac{dy}{du}\\cdot\\frac{du}{dx}$八. 导数的加减法则1.若$y=u\\pm v$，则导数之和为：$\\frac{d}{dx}(u\\pmv)=\\frac{du}{dx}\\pm\\frac{dv}{dx}$九. 导数的乘法法则1.若$y=u\\cdot v$，则导数之积为：$\\frac{d}{dx}(u\\cdotv)=u\\frac{dv}{dx}+v\\frac{du}{dx}$十. 导数的除法法则1.若$y=\\frac{u}{v}$，则导数之商为：$\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{u}{v}\\right)=\\frac{v\\frac{d u}{dx}-u\\frac{dv}{dx}}{v^2}$十一. 高阶导数1.高阶导数表示对函数导数的多次求导，用f次求导运算符′表示，例如f″表示f的二阶导数。
对数公式大全
对数公式大全对数公式大全：1、一般对数公式：loga(x)=y，其中a>0，a≠1，x>0，表示以a为底x的对数等于y。
2、对数运算律：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，loga(x/y)=loga(x)-loga(y)。
3、指数公式：a^y=x，其中a>0，a≠1，x>0，表示以a为底x的幂等于y。
4、指数运算律：a^(x+y)=a^x*a^y，a^(x-y)=a^x/a^ y。
5、对数换底公式：logb(x)=loga(x)/loga(b)，其中a>0，a≠1，b>0，b≠1，x>0，表示以b为底x的对数等于以a为底x的对数除以以a为底b的对数。
6、特殊对数公式：log2x=lnx/ln2，表示以2为底x的对数等于以e为底x的自然对数除以以e为底2的自然对数。
7、二次函数对数公式：log(ax^2+bx+c)=2logax+logab+logac，其中a>0，a≠1，b、c为任意实数，表示对于二次函数ax^2+bx+c，以a为底的对数等于a的2倍对数加上a的对数乘以b再加上a的对数乘以c。
8、立方函数对数公式：log(ax^3+bx^2+cx+d)=3logax+2logab+logac+logad，其中a>0，a≠1，b、c、d为任意实数，表示对于立方函数ax^3+bx^2+cx+d，以a为底的对数等于a的3倍对数加上a的2倍对数乘以b再加上a的对数乘以c再加上a的对数乘以d。
9、对数函数求导公式：(dy/dx)logax=a^x/x，其中a>0，a≠1，x>0，表示函数y=logax的导函数等于以a为底x的指数除以x。
对数和指数函数的导数
例3：求ylog2(x 1 x2 )的导数：
解 ： y/ x
1 1
x2
l
o
g2e
(
x
1 x2 )/
x
1 1
x2
l
o
g2e
[
1
1( 2
1
x2
)
1 2
2
x
]
log2e 1 x2
变式：求下列函数的导数
(1) y xx
本题解法的求导方法称 为“对数求导法”
xxn2xy)y/y// 2c1(oxx1tx-x21l)g
e
公式5：对数函数的导数
(5)(ln x) 1 x
(6)(log a
x)
1 x
log a
e
公式6：指数函数的导数
(7)(ex )/ ex
(8)(ax )/ axlna
例3：求y e2x cos3x的导数
分 析 ： 先 用 到 两 个 函 数乘 积 的 求 导 法 则 ， 再 用到复合函数求导法则
y/ e2x(2cos3x 3sin3x)
例4：求y a5x的导数
y/ 5a5xlna
练 习 2： 求 下 列 函 数 的导 数 (1)y x2 ex (2)y e3x (3)y x3 3x (4)y xn ex (5)y ex sinx (6)y ex lnx (7)y ax logax
两边取自然对数, ln y x ln x,
两边对x求导, 1 y ln x x 1
y
x
y x x (1 ln x).
知识回顾 Knowledge Review
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对数函数与指数函数的积分与导数
对数函数与指数函数的积分与导数数函数与指数函数是高中数学中常见的函数类型，它们在微积分中有着重要的作用。
在本文中，我们将探讨对数函数与指数函数的积分和导数，以及它们之间的关系。
一、对数函数的积分与导数对数函数是指数函数的逆运算，通常用符号$\log x$表示。
对数函数的积分与导数有以下规律：1. 对数函数的导数对数函数的导数可以通过求导公式得出。
对于自然对数函数$\ln x$，它的导数为$\frac{1}{x}$。
对于一般的对数函数$\log_a x$，它的导数为$\frac{1}{x \ln a}$，其中$a$为底数。
2. 对数函数的积分对数函数的积分可以通过积分公式得出。
对于自然对数函数$\ln x$，它的积分为$x \ln x - x$。
对于一般的对数函数$\log_a x$，它的积分为$\frac{x \ln x}{\ln a} - \frac{x}{\ln a}$，其中$a$为底数。
二、指数函数的积分与导数指数函数是以常数$e$为底的幂函数，通常用符号$e^x$表示。
指数函数的积分与导数有以下规律：1. 指数函数的导数指数函数的导数可以通过求导公式得出。
对于指数函数$e^x$，它的导数为$e^x$。
对于一般形式的指数函数$a^x$，它的导数为$a^x \lna$，其中$a$为底数。
2. 指数函数的积分指数函数的积分可以通过积分公式得出。
对于指数函数$e^x$，它的积分为$e^x$。
对于一般形式的指数函数$a^x$，它的积分为$\frac{a^x}{\ln a}$，其中$a$为底数。
三、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数之间存在着紧密的联系。
根据定义，对数函数是指数函数的逆运算。
换句话说，对于任意的正实数$x$和正实数$a$，$\log_a a^x = x$，$a^{\log_a x} = x$。
由此，我们可以得出以下结论：1. 对于对数函数的导数和积分公式，我们可以利用指数函数的性质进行推导。
常用函数的导数计算
常用函数的导数计算在数学中，导数是一个函数的变化率。
它描述了函数在每个点上的斜率。
导数在微积分中有广泛的应用，可以帮助我们解决最优化问题、理解曲线的形状以及求解方程等。
在本文中，我们将介绍一些常见函数的导数计算方法。
一、基本函数的导数计算：1.常数函数：常数函数的导数为零。
即，如果f(x)=c，其中c是一个常数，那么f'(x)=0。
2.幂函数：幂函数的导数可以使用幂的求导法则来计算。
如果f(x)=x^n，其中n是任意实数，那么f'(x)=n*x^(n-1)。
3.指数函数：指数函数的导数可以使用自然指数函数e^x的导数来计算。
如果f(x) = a^x，其中a是正数且不等于1，那么 f'(x) = a^x * ln(a)。
4.对数函数：对数函数的导数可以使用自然对数函数ln(x)的导数来计算。
如果f(x) = ln(x)，那么 f'(x) = 1/x。
5.三角函数：三角函数的导数可以通过使用三角函数的定义和三角恒等式来计算。
- sin(x)的导数为cos(x)。
- cos(x)的导数为-sin(x)。
- tan(x)的导数为sec^2(x)，其中sec(x)为余割函数，定义为1/cos(x)。
6.反三角函数：反三角函数的导数可以通过使用链式法则来计算。
设f(x)为反三角函数，那么f'(x)=1/(1-x^2)^(1/2)。
二、复合函数的导数计算：在计算复合函数的导数时，我们可以使用链式法则。
链式法则说明了复合函数导数的求解方法。
设f(x)和g(x)是两个可导函数，那么(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
例如，如果f(x)=(x^2+1)^3，那么f'(x)=3*(x^2+1)^2*2x。
三、常用函数的导数计算：1.多项式函数：多项式函数的导数可以通过使用幂的求导法则来计算。
例如，如果f(x)=3x^4-2x^3+5x^2-7x+1，那么f'(x)=12x^3-6x^2+10x-72.指数和对数函数的复合函数：如果f(x) = e^(2x)，那么f'(x) = 2e^(2x)。
常用的求导公式有哪些(大全)
常用的求导公式有哪些（大全）常用的求导公式有哪些1、f(x)=lim(h-0)[(f(x+h)-f(x))/h]. 即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限，就是导数的定义。
其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。
包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，一共有如下求导公式：2、f(x)=a的导数， f(x)=0, a为常数. 即常数的导数等于0;这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。
就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。
可以根据幂函数的求导公式求得。
3、f(x)=x^n的导数， f(x)=nx^(n-1), n为正整数. 即系数为1的单项式的导数，以指数为系数，指数减1为指数. 这是幂函数的指数为正整数的求导公式。
4、f(x)=x^a的导数， f(x)=ax^(a-1), a为实数. 即幂函数的导数，以指数为系数，指数减1为指数.5、f(x)=a^x的导数， f(x)=a^xlna, a0且a不等于1. 即指数函数的导数等于原函数与底数的自然对数的积.6、f(x)=e^x的导数， f(x)=e^x. 即以e为底数的指数函数的导数等于原函数.7、f(x)=log_a x的导数， f(x)=1/(xlna), a0且a不等于1. 即对数函数的导数等于1/x与底数的自然对数的倒数的积.8、f(x)=lnx的导数， f(x)=1/x. 即自然对数函数的导数等于1/x.9、(sinx)=cosx. 即正弦的导数是余弦.10、(cosx)=-sinx. 即余弦的导数是正弦的相反数.11、(tanx)=(secx)^2. 即正切的导数是正割的平方.12、(cotx)=-(cscx)^2. 即余切的导数是余割平方的相反数.13、(secx)=secxtanx. 即正割的导数是正割和正切的积.14、(cscx)=-cscxcotx. 即余割的导数是余割和余切的积的相反数.15、(arcsinx)=1/根号(1-x^2).16、(arccosx)=-1/根号(1-x^2).17、(arctanx)=1/(1+x^2).18、(arccotx)=-1/(1+x^2).19、(f+g)=f+g. 即和的导数等于导数的和。
第二节求导数的一般方法
第二节求导数的一般方法导数是微积分中的重要概念，求导数是微积分的基本方法之一。
下面我们将介绍求导数的一般方法。
一、基本初等函数的导数公式求导数的基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数的导数公式可以按照以下顺序排列：1.常数函数的导数为0；2.幂函数的导数为指数乘以幂函数；3.指数函数的导数为指数乘以幂函数再乘以指数函数的倒数；4.对数函数的导数为1除以函数值的平方；5.三角函数的导数为正弦函数、余弦函数和正切函数的导数之和。
二、求导数的四则运算法则求导数的四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
具体来说，如果两个函数分别可导，那么它们的和、差、积和商也可以求导数。
这些运算法则可以根据基本初等函数的导数公式进行推导。
三、复合函数的求导法则复合函数是指由多个基本初等函数通过四则运算得到的函数。
复合函数的求导法则可以通过链式法则和乘法法则进行推导。
链式法则是指对于复合函数f(u)，其导数等于f'(u)乘以u的导数。
乘法法则是指对于两个可导函数f和g，它们的乘积的导数等于f的导数乘以g加上g的导数乘以f。
四、高阶导数的求法高阶导数的求法可以通过重复运用一阶导数的求法进行计算。
具体来说，如果一个函数f(x)的n阶导数存在，那么它的n+1阶导数可以通过n阶导数和x的n 次方的乘积得到。
例如，一个函数f(x)的二阶导数可以通过一阶导数乘以x的一阶导数得到，再进一步可以通过基本初等函数的导数公式和四则运算法则进行计算。
五、微分学基本定理的应用微分学基本定理是指如果一个函数f(x)在某个区间内可导，那么它在这个区间内是线性的。
这个定理可以用来解决一些实际问题，例如最小二乘法估计参数等。
在应用微分学基本定理时，需要注意定理的条件和结论，以及如何使用定理来解决实际问题。
六、求导数的实际应用求导数在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有应用。
例如，在物理学中，求导数可以用来解决力学、电磁学等方面的问题；在工程学中，求导数可以用来解决优化问题、控制系统设计等方面的问题；在经济学中，求导数可以用来解决边际分析、弹性分析等方面的问题。
求导法则公式大全
求导法则公式大全求导法则是微积分中的重要内容，可以帮助我们计算函数的变化率和极值等问题。
以下是一些常用的求导法则：1.常数法则：若f(x)=C，则f'(x)=0，其中C为常数。
2. 幂函数法则：若 f(x) = x^n，则 f'(x) = nx^(n-1)，其中 n 为常数。
3. 指数函数法则：若 f(x) = a^x，则 f'(x) = ln(a) * a^x，其中a 为常数，ln 表示自然对数。
4. 对数函数法则：若 f(x) = logₐ(x)，则 f'(x) = 1 / (x *ln(a))，其中 a 为常数，ln 表示自然对数。
5. 三角函数法则：对于 sin(x)，cos(x)，tan(x)等三角函数，其导数为 cos(x)，-sin(x)，sec²(x)。
6. 反三角函数法则：对于 arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等反三角函数，其导数为 1 / √(1 - x²)，-1 / √(1 - x²)，1 / (1 + x²)。
7.基本初等函数法则：求导的基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
8.和差法则：若f(x)=u(x)±v(x)，则f'(x)=u'(x)±v'(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数。
9.积法则：若f(x)=u(x)*v(x)，则f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数。
10.商法则：若f(x)=u(x)/v(x)，则f'(x)=(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/v(x)²，其中u(x)和v(x)是可导函数。
11.复合函数法则：若f(x)=g(h(x))，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)，其中g(x)和h(x)是可导函数。
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一、自然常数e1、求导xa dxd令x a y = 已知导数差商公式定义式：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()()(lim 0'由导数差商定义式得：xa a x a a x x f x x f x f xx x x x x x x ∆-∙=∆-=∆-∆+=∆→∆∆+→∆→∆1)()()(limlim lim 000'（因子x a 与x ∆无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即xa a f x x ∆-∙=∆→∆1)0(lim 00'因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且x a f x f ∙=)0()('' 上述等式说明了任何指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的.令xa a f a M x x ∆-∙==∆→∆1)0()(lim 00'0，因为x a 已知，要求)('x f 必须求得)(0a M ，从x a a M x x ∆-=∆→∆1)(l i m 00的定义式可以猜测)(0a M 可能是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ∆值求得)(0a M 的估算值，这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值.hhh 12- hh 13- 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.00010.69321.0987在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且当2=a ，69.012)0(lim 0'≈∆-=∆→∆x f x x当3=a ，10.113)0(lim0'≈∆-=∆→∆xf x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下：693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有x x dx d 2)69.0()2(∙≈ x xdxd 3)10.1()3(∙≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11)(lim00=∆-=∆→∆xe e M xx ，则有当0→∆x 时，x e x ∆=-∆1，x e x ∆+=∆1，因此x x e ∆∆+=1，再次说明了存在x x x e ∆→∆∆+=1)1(lim使得1)(0=e M，同样e 可能是一个无限不循环小数.再来看看上表中估计2=a 和3=a 时，)0('f 的数值，结合定义式xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00可以看出)(0a M 大小决定于a 的取值，可以证明)(0a M 在实数域单调递增，由)3()()2(000M e M M <<，可知32<<e .数e 的定义：h h h e 1)1(lim+=→即e 是使11lim0=-→he h h 成立的数. 这里要注意一点，一个确定的)(00a M 确定一个具体的数0a ，即当)(0a M 值确定时，原函数x a y =也确定了一个具有确切数值的底数0a ，x y 2=与69.0)2(0≈M 和x y 3=与10.1)3(0≈M 都具有对应关系，所以e 存在且使1)(0=e M 的意义在于我们可以求得x e y =的导函数x x x e e M e e dxd y =∙==)('0，当然e 是一个确定的常数，即我们只能求唯一的指数函数x e y =的导函数x e y ='.自然指数求导公式：x xe e dxd = 指数函数x a y =曲线有一个重要特点，当0=x 时，1=y 恒成立，也就是说所有的指数函数均通过)1,0(点；再来看看1)(0=e M 在x e y =图像中的几何意义.0000')()(==∙=x y e M e e M ，也就是说)(0e M 表示指数函数在0=x 处的切线斜率10=m ，也只有x e y =在0=x 处导函数1)('0==e M y ，注意体会底数a 与0m 的唯一对应关系.在指数函数x a y =中，a 值的大小直接影响图像的形状. a 值越大，x a y =曲线越陡峭，即变化率越大，导函数值'y 越大；a 值越小，x a y =曲线越平顺，即变化率越小，导函数'y 越小.当x 取值相等时，3232<<⇔<<e xx x a dxd e dx d dx d2. e 的含义 2.1 由定义式h h h e 1)1(lim+=→来理解e 的含义，简单地说e 就是单位时间内，持续翻倍增长所能达到的极限值.假设你在银行存了1元钱，很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！ 银行一般1年才付一次利息，满1年后银行付给你1元利息，存款余额=2元，后来银行发善心，每半年付利息，半年后本息共计)2%1001(+，你可以把利息提前存入，利息生利息，1年本息共计2)2%1001(+元.假设银行超级实在，每4个月就付利息，4个月后本息共计)3%1001(+，8个月后本息共计2)3%1001(+，年底本息共计3)3%1001(+元 .假设银行人品爆发，时时刻刻都在付利息，则第一期本息共计)%1001(n+元，第二期本息共计2)%1001(n +元........第n 期本息共计nn)%1001(+元，这样年底本息余额7182817813.2≈元1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是nn n e )%1001(lim +=∞→，有兴趣可以用这个 网上计算器算一下.2.2.1一个有关复利的例子很久以前，一个名叫伯努力的家伙回答了一个有关复利的问题.下面就是该问题。
我们假设，你在一家银行有一个银行账户，该银行付给你一个慷慨的年利率12%，是一年一次的复利的形式.你将一笔初始存款1元存入账户.每一年你的财富增加12%.这意味着n 年后，你的财富将增加到原来的n %)121(+倍.特别地，一年后，你的财富就是%)121(+元.现在，假设你发现另一家银行.它也提供12%的年利率，但现在它是一年两次的复利的形式.当然，对于半年，你不会得到12%的利息；你必须用它除以2，这意味着半年你会得到6%的利息.一年后，它会以6%的利息复利两次；结果就是你的财富会增加到2%)61(+，其结果是1.1236元.第二个账户的收益比第一个账户略好一些.因此在相同的年利率下，复利越频繁结果会越好.我们试着计算一下年利率为12%的每年3次的复利.我们取12%，并将它除以3会得到4%,然后复利3次，我们的财富将会增加到原来的3%)41(+倍，其结果近似为1.1255元...同样一年时时刻刻都复利时即∞→n ，复利利率为n%12，复利n 次后，我们的财富会增长的倍数为nn n )%121(lim +∞→ 我们用r 代替0.12，并关心更一般的极限n n nr L )1(lim +=∞→首先，我们设n r h /=，这样n r n /=.那么，当∞→n 时，我们看到+→0h （由于r 是常数）故hr h h L /0)1(lim+=+→ 现在我们可以使用指数法则来写出 r h h h L ))1((/10lim+=+→我们来变个魔术，设h h h e /10)1(lim+=+→ 代入极限中有 r r h h e h L =+=+→))1((/10lim所以r n n e nr =+∞→)1(lim2.2.2 关于e 的更多内容让我们来更好地看一下这个极限，记得 r n n e nr =+∞→)1(lim这一次，设n h /1=，则h n /1=，当∞→n 时，有+→0h ，得到 rh h e rh L =+=+→/10)1(lim这是一个右极限.事实上，你可以用0→h 代替+→0h ，对于双侧极限仍成立.我们需要证明左侧极限也是r e ，然后左极限等于右极限，则双极限也等于r e .因此，我们考虑 ?)1(/10lim=+=-→h h rh L 用t -替换h ；那么，当-→0h 时，+→0t （当h 是一个很小的负数时，h t -=就是一个很小的正数）故 tt h h rt rh L /10/10)1()1(limlim -→→-=+=+-由于对于任意的0≠A ，有A A /11=-，我们可以将极限重新写成 []tt t r /10)(11lim-++→分母就是带有利率)(r -而不是r 的经典极限.这意味着，当+→0t 时，在极限中，分母趋于r e ，因此综合起来有[]rrtt tt hh e e t r rt rh L -→-→→==-+=-=+=++-1)(11)1()1(/10/10/10limlim lim 该极限在0=x 处可微且连续，所以有 r h h e rh =+→/10)1(lim二、自然对数求导 1.导数差商定义法由x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()()(lim 0'，令x y ln =，求'y 由定义式写出x x x x x xx x x xx x xx x x x x x x dx d ∆→∆→∆→∆→∆∆+=∆+∆=∆+∆=∆-∆+=1000)ln()1ln(1)ln(1ln )ln(ln lim lim lim lim令x x h /∆=，则有hx x =∆，当0→∆x 时，0→h ，上式可写成xe x h x h x dx dhx xhx 1ln 1)1ln(1)1ln(ln 11lim lim ==+=+=→∆→∆（通过换元巧妙地将x 从对数中提到极限号外面）2.隐函数微分法对自然对数求导，也可以用隐函数微分法，这是求导逆函数的一般办法；记住，这就是知道某函数的导数，求其逆函数导数的方法.原理如下：令x y ln = 左右同时取指数x e e x y ==lnx e y = 左右同时微分所以有 dxdye dy d e dx d y y ∙= ②1=x dxd③ 联立②③等式得：xe y y e yy 11'1'==⇔=∙ 代入x e y =是因为'y 最终要表达成关于x 的因式. 3.隐函数微分法求导指数函数原理如下：令x e y = 左右同时取对数 x e x e y x ===ln ln ln 则有 x y =ln 左右同时微分 所以yy dx dy y dy d y dx d 'ln ln =∙= ④1=x dxd⑤ 联立④⑤等式得：1'=yy所以x e y y =='代入x e y =是因为'y 最终要变达成关于x 的因式.三、换底公式 1.指数换底公式a e a ln = ⑥对等式⑥左右同时取对数得：e a e a a ln ln ln ln ln ∙==2.对数换底公式证：)(log )(log )(log a b b c c a =令x b a =)(log则有 b a x = 左右同时取以c 为底的对数 a x b a c c x c log )(log )(log ==则有 )(log )(log a b x c c = 其中底数c 任意取值且0>c 且1≠c又)(log b x a = 所以 )(log )(log )(log a b b c c a =如何对)(log x a 进行换底求导呢？a x x a ln ln )(log =所以 ax x a x dx d a a x dx d x dx d a ln 11ln 1)(ln ln 1)ln ln ()(log =∙=∙==四、求导任意指数函数1. e 底法令x a y =，求导x a dxd 办法就是用e 做底数，也就是把底数a 转化为e ，把x a 变成e 的某次幂，应用指数函数的求导办法.a e e M e e dxd e dx d a dx d a x a x a x x a x ln )()(ln 0ln ln ln ∙=∙=== 又因为x a x a e =ln联立两式得： a a a dxd x x ln ∙= a a M ln )(0= 2. 对数微分法求x a dxd 有时对原函数求导时会遇到问题，但求其对数导数会相对容易 因为uu u u dx du du u d u dx d ''1ln ln =∙=∙=（应用了链式法则及对数求导公式） 因此，令x a u = 直接求导较麻烦a x lina u x ln ln == 求导较容易所以 a u ln )'(ln = 又由uu u dx d 'ln =可知： a a a u u a uu x ln ln 'ln '∙==⇔= 所以有 a a u x ln '∙=:example 1.求导x x u =:example 2.求证1-∙=r r x r x dxd r 为实数 1.e 底法因为()x r rx r e e x ln ln ==所以()1ln ln '-∙=∙=∙==r r x r x r r x r x r x e x r e x dx d指数函数的定义域为什么是R （实数）.解：什么是实数，即一切可以测量长度的数，也即可以用直角坐标系x 轴表示的数.看看指数函数的图像x a y =（1,0≠>a a ）在x 轴可以无限延伸，也就是x 取值任何实数值，指数函数都成立.2. 对数微分法令r x u =则有x r x u r ln ln ln ==对u ln 求导有()()x r x r u uu ==='ln 'ln ' 所以 1'-=∙=∙=r r rx xr x x r u u五、求导任意对数函数1.自然对数化简法令()x y a log = 求()x dxd a log 将()x a log 化简成两个自然对数的形式，其中一个自然对数含有x .()ax x y a ln ln log == 则有 ()()a x x a x aa x x dx d a ln 11ln 1'ln ln 1ln ln log '=∙=∙=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 所以()a x x dx d a ln 1log =2.指数微分法令()x y a log = 求()x dxd a log 对()x y a log = 左右同时取指数则有 ()x a a x y a ==log 左右同时求导则有 ()()''ln 'x y a a a y y =∙∙= 所以有ax a a y y ln 1ln 1'=∙=3.现在来看看：如果原函数x a y =，那么我们知道()y x a log =，现在对()y x a log =关于y 求导，使用上述结论公式，我们得到ay dy dx ln 1=a a a y dx dy a y dy dx x ln ln ln 1∙==⇒= 也可以用结论公式a x dx dy ln 1=（对换→y x ,x 换成y ，y 换成x ），则有a y dy dx ln 1=，变换写成a a a y dxdy x ln ln ∙==。