指数对数函数求导

一、自然常数e

1、求导x

a dx

d

令x a y = 已知导数差商公式定义式：

x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

()()(lim 0

'

由导数差商定义式得：

x

a a x a a x x f x x f x f x

x x x x x x x ∆-∙=∆-=∆-∆+=∆→∆∆+→∆→∆1

)()()(lim

lim lim 000'（因子x a 与x ∆无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即

x

a a f x x ∆-∙=∆→∆1)0(lim 00

'

因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且

x a f x f ∙=)0()('' 上述等式说明了任何指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的.

令x

a a f a M x x ∆-∙==∆→∆1

)0()(lim 00

'

0，因为x a 已知，要求)('x f 必须

求得)(0a M ，从x a a M x x ∆-=∆→∆1

)(l i m 0

0的定义式可以猜测)(0a M 可能

是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ∆值求得)(0a M 的估算值，

这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值.

h

h

h 1

2- h

h 1

3- 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.0001

0.6932

1.0987

在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且

当2=a ，69.012)0(lim 0

'

≈∆-=∆→∆x f x x

当3=a ，10.11

3)0(lim

0'

≈∆-=∆→∆x

f x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下：

693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0

≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有

x x dx d 2)69.0()2(∙≈ x x

dx

d 3)10.1()3(∙≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分

公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11

)(lim

00=∆-=∆→∆x

e e M x

x ，

则有当0→∆x 时，x e x ∆=-∆1，x e x ∆+=∆1，因此x x e ∆∆+=1，再次说明了存在x x x e ∆→∆∆+=1

)1(lim

使得1)(0=e M

，同样e 可能是一

个无限不循环小数.

再来看看上表中估计2=a 和3=a 时，)0('f 的数值，结合定义

式x

a a M x x ∆-=∆→∆1

)(lim 00可以看出)(0a M 大小决定于a 的取值，可以

证明)(0a M 在实数域单调递增，由)3()()2(000M e M M <<，可知

32<

数e 的定义：h h h e 1

)1(lim

+=→

即e 是使11

lim

0=-→h

e h h 成立的数. 这里要注意一点，一个确定的)(00a M 确定一个具体的数0a ，即当)(0a M 值确定时，原函数x a y =也确定了一个具有确切数值的底数

0a ，x y 2=与69.0)2(0≈M 和x y 3=与10.1)3(0≈M 都具有对应关

系，所以e 存在且使1)(0=e M 的意义在于我们可以求得x e y =的导函

数x x x e e M e e dx

d y =∙==)('0，当然

e 是一个确定的常数，即我们只

能求唯一的指数函数x e y =的导函数x e y ='.

自然指数求导公式：

x x

e e dx

d = 指数函数x a y =曲线有一个重要特点，当0=x 时，1=y 恒成立，

也就是说所有的指数函数均通过)1,0(点；再来看看1)(0=e M 在

x e y =图像中的几何意义.

0000')()(==∙=x y e M e e M ，也就是说)(0e M 表示指数函数在

0=x 处的切线斜率10=m ，也只有x e y =在0=x 处导函数

1)('0==e M y ，注意体会底数a 与0m 的唯一对应关系.

在指数函数x a y =中，a 值的大小直接影响图像的形状. a 值越大，x a y =曲线越陡峭，

即变化率越大，导函数值'y 越大；a 值越小，x a y =曲线越平顺，即变化率越小，导函数'y 越小.

当x 取值相等时，3232<<⇔<

x x a dx

d e dx d dx d

2. e 的含义 2.1 由定义式h h h e 1

)1(lim

+=→来理解e 的含义，

简单地说e 就是单位时间内，持续翻倍增长所能达到的极限值.

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