第9章数学形态学原理第2讲教学案例

2020/9/19
与求补、映射相关的膨胀、腐蚀是有互补性的， 即：
(f b)c(x,y)(f b)x (,y) （9—53）
其中:
fcf(x,y); b(x,y)
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9.4.1 膨胀 9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
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灰度图像开运算和闭运算的表达式与二值 图像相比具有相同的形式。结构元素b对图像f
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图 9—20 灰度腐蚀图例
正如公式(9—51)所示，腐蚀是在结构元素 定义的领域内选择(f-b)的最小值，因而，通常 对灰度图像的膨胀处理可得到两种结果： （1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像 将趋向比输入图像暗；
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• （2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节经腐 蚀处理后其效果将减弱。减弱的程度取决于环绕亮 度区域的灰度值以及结构元素自身的形状和幅值。
(9—51) 公式中 D f 和 D b 分别是 f 和 b 的定义域。平移参 数 (s+x) 和 (t+y) 必须包含在f的定义域内，
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与二元腐蚀的定义类似，所有的结构元素将完全包 含在与被腐蚀的集合内。还应注意到公式 (9—51) 的形式与二维相关公式相似，只是用“最小”取代 求和，用减法代替乘积。
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其条件是(s-x)必须在f的定义域内，x的值必须在b 的定义域内。这意味着f和b将相覆盖，即b应包含 在f内。这和二值图像膨胀定义要求的情形是类似 的，即俩个集合至少应有一个元素是相互覆盖的。 最后，与二值图像的情况不同，不是结构元素b而 是f平移。
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公式(9—49)可以使b代替f写成平移的形式。 然而，如果 D b 比 D f 小（这是实际中常见的）， 公式(9—49)所给出的形式就可在索引项中加以 简化，并可以获得同样的结果。就概念而言，在 f上滑动b和在b上滑动f是没有区别的。
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如果只有一个变量时，我们可以用一维的腐蚀 来说明公式(9—51)的原理。此时，表达式可简化 为:
( f b )s ) ( m f( s i x n ) b ( { x ) ( s x ) D f;( x ) D b }
(9—52)
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在相关情况下，当s为正时，函数f(s+x)将向 右平移，当s为负时，函数f(s+x)将移向左边，同
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9.4.1 膨胀 9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
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函数b对函数f进行灰度膨胀可定义 f b ，运 算式如下：
( f b ) s , t ) ( m f ( s x a , t y ) x b ( x , y ) { ( s x ) ( t , y ) D f ; ( x , y ) D b }
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9.4 灰度图像的形态学处理
前边针对二值图像的形态学处理的基本运算 作了系统的介绍，这些基本算法可方便地推广至 灰度图像的处理。这一节我们将讨论对灰度图像 的基本处理，即：膨胀、腐蚀、开运算、闭运算。 由此建立一些基本的灰度形态运算法则。
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这一节的重点是运用灰度形态学提取描述和表示图 像的有用成分。特别是，我们将通过形态学梯度算 子开发一种边缘提取和基于纹理的区域分割算法。 同时，我们将讨论在预处理及后处理步骤中非常有 用的平滑及增强处理算法。
2020代换的方法运
用于公式(9—49)可以用来计算 b f ，结
果都是一样的，而且b是平移函数。相反，腐蚀是 不可交换的，因而，这种函数也是不可互换的。 膨胀的例子可参见图9—19。
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9—19 灰度膨胀图例
由于膨胀操作是由结构元素形状定义的邻域 中选择f+b的最大值，因而通常对灰度图像的膨胀 处理方法可得到两种结果：（1）如果所有的结构 元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像亮； （2）黑色细节减少或去除取决于在膨胀操作中结 构元素相关的值和形状。
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下面我们将用一维函数来解释公式(9—49)中 的运算原理。对于仅有一个变量的函数，公式 (9—49)可以简化为：
( f b )s ) ( m f( s a x ) x b ( x ) { ( s x ) D f;x D b }
(9—50)
在卷积中，f(-x)仅是f(x)关于x轴原点的 映射，正象卷积运算那样，相对于正的s，函 数f(s-x)将向右移，对于-s，函数f(s-x)将向 左移。
(9—49)
其中 D f 和 D b 分别是函数f和b的定义域， 和前面一样, b是形态处理的结构元素，不过在 这儿的b是一个函数而不是一个集合。
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位移参数(s-x)和(t-y)必须包含在函数f的定义域 内，此时它模仿二值膨胀运算定义。在这里两个集 合必须至少有一个元素相交叠。还可以注意到，公 式(9—48)很类似与二维卷积公式，同时，在这里 用“最大”代替卷积求和并以“相加”代替相乘。
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9.4.1 膨胀 9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
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灰度图像的腐蚀定义为 fb ，其运算公式为：
( f b ) s , t ) ( m f ( s x i , t n y ) b ( x { , y ) ( s x ) ( t , y ) D f ; ( x , y ) D b }
时，要求 (sx)Df ， x Db 意味着b将包含在
f的范围内。这一点同二值图像腐蚀定义的情况 相似，所有的结构元素将完全包含在被腐蚀的集 合内。
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不同于二值图像腐蚀定义，操作中是f在平 移,而不是结构元素b在平移。公式(9—51)可以 把b写成平移函数，由于f在b上滑动同b在f上滑 动在概念上是一致的。图9—20展示了通过图 9—20(b)的结构元素腐蚀图9—20(a)函数的结 果。