全等三角形做辅助线-倍长中线,截长补短课程教案

,. 教学过程

一、复习预习

全等三角形的判定定理：

1、SSS：三边对应相等的两个三角形全等

2、SAS：两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等

3、AAS：两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

4、ASA：两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等

5、HL：在直角三角形中，直角边与斜边对应相等的两个三角形全等

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二、知识讲解

考点1

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

,. 考点2

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

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三、例题精析

【例题1】

【题干】已知：如图3所示，AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。A

D

B C

E

3

,. 【答案】

证明：延长AD至E，使DE=AD，连接EC

∵AD是中线

∴DC=DB

∵DE=AD，∠CDE=∠BDA，DC=DB

∴△CDE≌△BDA

∴CE=AB

在△AEC中CE+AC>AE，CE=AB

∴AB+AC>AE

∵DE=AD

∴AE=2AD

,. ∵AB+AC>AE

∴AB+AC>2AD

【解析】

分析：要证AB+AC>2AD，由图形想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

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【例题2】

【题干】已知：如图1所示，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。

求证：BE+CF>EF。

A

B

C

D

E F

N

1

图

1

234

,. 【答案】

证明：在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC

在△DEB和△DNE中

DN=DB

∠1=∠2

DE=DE

∴△DEB≌△DNE（SAS）

∴BE=NE

同理可得：CF=NF

在△EFN中，EN+FN>EF

∴BE+CF>EF

,.

【解析】

分析：要证BE+CF>EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

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四、课堂运用

【基础】

1、△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围（）

A．1＜AD＜4

B．3＜AD＜13

C．5＜AD＜13

D．9＜AD＜13

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【答案】

A

,.

【解析】

解：延长AD至M使得DM=AD显然三角形ABD全等于三角形CDM

所以AB=CM

又CM-AC

所以2<2*AD<8

所以1

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2、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，

求证：BD=CE

,. 【答案】

过D作DF∥AC交BC于F，

∵DF∥AC（已知），

∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB（平行线的性质），

∵AB=AC（已知），

∴∠B=∠ACB（等边对等角），

∴∠B=∠DFB（等量代换），

∴BD=DF（等角对等边），

∵BD=CE（已知），

∴DF=CE（等量代换），

∵∠DFC=∠FCE，∠DGF=∠CGE（已证），

,. ∴△DFG≌△ECG（AAS），

∴DG=GE（对应边相等）

,. 【解析】

过D作DF∥AC交BC于F，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△GDF≌△CEG即可.

,. 【巩固】

1、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，

求证：AF=EF

,.

【答案】

解：延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GC

∵△ABC中,AD是BC边上的中线

∴BD=DC

∵AD=DG

∴四边形ABGC为平行四边形

∴AC=BG,AC//BG

∴△AFE∽△GBE

∴AF/FE=GB/BE

∵AC=BE,AC=BG

,. ∴BE=BG

∴AF=FE

【解析】

延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GC，根据全等证明AF=EF

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2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

A

E

D C

B

,. 【答案】

延长AE到M，使EM=AE，连结DM

易证△DEM ≌△CEA

∴∠C=∠MDE, DM=AC

又BD=DC=AC

∴DM=BD,∠ADC=∠CAD

又∠ADB=∠C+∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC

∴∠ADM=∠ADB

∴△ADM ≌△ADB

∴∠BAD=∠MAD

即AD平分∠BAE