《实变函数》第三章_测度论
实变函数 第三章 测度论习题解答
第三章 测度论习题解答1.证明：若E 有界，则+∞<E m *。
证明 E 有界，必有有限开区间E 使得I E ⊂,因此+∞<≤I m E m **.2.证明可数点集的外测度为零证明 设E ，对任意0>ε，存在开区间i I ，使得i i I x ∈，且i i I 2ε=（在p R 空间中取边长为pi2ε的包含i x 的开区间i I ），所以E Ii i⊃∞= 1，且ε=∑∞=1i i I ，由ε的任意性得0*=E m 。
3.设E 是直线上一有界集合0*>E m ，则对任意小于E m *的正数c ，恒有E 的子集1E ，使c E m =1*。
证明 设x b x a Ex Ex ∈∈==sup ,inf ，则[]b a E ,⊂，令[]E x a E x ,⊂，b x a ≤≤，)(x f =x E m *是[]b a ,上的连续函数；当0>∆x 时，xx x x m E E m E m E m x f x x f x x x x x x ∆=∆+≤-≤-=-∆+∆+∆+),()()()(****于是当0→∆x用类似方法可证明，当0>∆x ，0→∆x 时，)()(x f x x f →∆-，即)(x f 是[]b a ,上的连续函数。
由闭区间上连续函数的介值定理)(a f={}0)(**==a E m E m a ，)(b f =[]E m b a E m **),(= ，因此对任意正数c ，E m c *<，存在[]b a x ,0∈，使c x f =)(0， 即[]c E x a m E m x ==),(0**0 ，令[]E E x a E ⊂= 01,，则c E m =1*。
4.设n S S S ,,,21 是一些互不相交的可测集合，n i S E i i ,,2,1, =⊂，求证 n n E m E m E m E E E m *2*1*21*)(+++=证明 因为n S S S ,,,21 是一些互不相交的可测集合，由§2定理3推论1，对任意T有∑===ni i ni i S T m S T m 1*1*)()( ，特别取 ni i S T 1==，则i i nj j i E S E S T === )(1，ni in i i ES T 11)(===，所以∑∑=======ni i ni i ni i ni i E m S T m S T m E m 1*1*1*1*)())(()( 。
实变3-4
m( limE n） limm( E n )。 ≥
n →∞ n →∞
证明： En = ∩ ∪ En，由于{ ∪ En：k ∈ N }为递减集列，则 lim
n →∞ k ≥1 n ≥ k n ≥k k ≥1 n ≥ k
∩ ∪ En = lim ∪ En；而当k充分大时（k ≥ k 0），m( ∪ En） m( ∪ En） +∞, ≤ <
k →∞ n ≥ k n≥k n ≥ k0 n →∞ k →∞ n ≥ k k →∞ n ≥ k k ≥k 0
⇒ 由可测集列的上连续性知：m( limEn） m( lim ∪ En ) = m( lim ∪ En ) = = lim m( ∪ En ) = limm( ∪ En ) ≥ limm( Ek ) = limm( En ).
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞
9.
设E ⊆ R，则m( E ) > 0, 则存在x0 , x1 ∈ E使得：x1 − x0.为无理数。 证明：显然E不是至多可数集， G = {x − x0. | x ∈ E}, ⇒ 显然， = E > ℵ0 , 故G中至少含一个无理数y，即∃x1 ∈ E , x1 − x0. = y. G
而由习题 2 知： m ( G 1 ∪ G 2 ) + m ( G 1 ∩ G 2 ) = m ( G 1 ) + m ( G 2 )；
∗ 而 m（ A ∪ B ） m ∗ ( A ∩ B ) +
≤ m (G1 ∪ G 2 ) + m (G1 ∩ G 2 ) = m (G1 ) + m (G 2 )
2.R n空间中lebesgue测度的常见性质： 空间中lebesgue测度的常见性质： （定义中10条除外） （定义中10条除外）
实变函数与泛函分析
开 G n ， 集 E 使 G n 且 m ( G 得 n E ) 1 n
令O
n 1
Gn
,则 O为 G型集， EO 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 , L
故m(OE)0
例： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的G 型集或 F 型集。
可测集可由 G 型集去掉一零集， 或 F 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O 且 m (O E )0
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
(2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使F 得 E且 m(EF)
(1)若 E可测 ， 则 0,开G 集 ， (2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使E 得 G且 m(GE) 使F 得 E且 m(EF)
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
0 , 开 G ， 集 E c 使 G 且 m ( G 得 E c )
令 O n 1 G n ， 则 O 为 G 型 集 ， E O 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 ,
故m(OE)0 从 而 E O (O E ) 为 可 测 集
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小
测度集的开集和闭集。E{r1,r2,r3,}
取F=G c，则F为闭集 FE
且 m (EF )m (E F c)
m (E (c)c F c)m (F cE c)m (G E c)
第三章测度
第三章可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。
在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。
测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。
对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。
主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。
基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。
二、主要的数学思想与方法1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。
2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m*,然后通过条件m* A = m*A 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (∀T)称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。
两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。
3、合列极限定义的思想与方法。
4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。
5、一般可测集由Gδ集、Fδ集、零测集构成的思想与方法。
三、疑难点学习方法（一）直线上有界点集的测度点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。
用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。
先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。
《实变函数》第三章_测度论
第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————一、引言(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰，1ii i xx x -∆=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法无关。
几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。
（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==∆∑⎰下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==∆∑⎰二、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 n E R ⊂，称非负广义实数*({})R R ⋃±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。
下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ∀∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=0,ε∀>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=⊂⋃且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从而*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E =思考：１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =⨯-∈⨯=2.平面上的x 轴的外测度为0提示：找一列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+⨯-∈=，3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）非负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *= （2）单调性：若A B ⊂，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。
实变函数3.3
故m(O − E) = 0
例： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 [0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E 零测度集的 Gδ 型集或 Fσ 型集。
O ∩ Gδ 型集： = n =1( ∪1( ri − i=
∞
∞
2
1 n i +1
, ri +
2
1 n i +1
))
Fσ 型集：空集
证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知
∀ ε > 0 , ∃ 开区间列 { I i }, 使得 E ⊂ ∪ I i 且 m * E ≤
i =1 ∞
∑
i =1
∞
| Ii | ≤ m*E + ε
令G = ∪ I i , 则G为开集，E ⊂ G，且
i =1
∞
mE ≤ mG ≤ ∑ mI i ≤ ∑ | I i | < mE + ε
取F=G c，则F为闭集 F ⊂ E
且m( E − F ) = m( E ∩ F c ) = m(( E c ) c ∩ F c ) = m( F c − E c ) = m(G − E c ) < ε
(1).若 (1).若E可测，则 ∀ε
> 0, ∃开集G，使得E ⊂ G且m(G − E ) < ε
i =1 i =1Fra bibliotek∞∞
从而（这里用到mE<+∞ ）
m(G − E ) = mG − mE < ε
(2)当mE=+∞时， 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：
E = ∪ E i ( mE i < +∞ )
i =1 ∞
实变函数课程基本信息
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实变函数课程基本信息
目录
• 课程简介 • 实变函数的定义与性质 • 实变函数的积分与微分 • 实变函数的极限与连续性 • 实变函数的学习方法与建议
01
课程简介
课程背景
01
实变函数是数学专业的一门重要 课程，是进一步学习泛函分析、 概率论等课程的基础。
02
该课程主要介绍实变函数的定义 、性质、积分、微分等基本概念 和定理，以及其在数学分析中的 应用。
03
微分计算
实变函数的微分可以通过导数 的基本公式、链式法则、乘积 法则等计算方法进行计算。
04
微分应用
实变函数的微分在求函数极值 、优化问题、近似计算等领域 有着广泛的应用。
实变函数积分与微分的关系
微积分基本定理
实变函数的积分和微分之间存在密切的联系 ，微积分基本定理是它们之间的桥梁。
导数的积分
连续的性质
连续函数具有局部有界性、局部保序 性、介值定理和零点定理等性质。
实变函数极限与连续性的关系
1
极限与连续的关联
实变函数的极限和连续性是密切相关的 概念。函数的连续性可以由其极限性质 推导出来，而函数的极限性质也可以通 过连续性来研究。
2
连续不一定有极限
虽然连续函数在其定义域内每一点都存 在极限，但并不是所有函数都满足这一 性质。例如，狄利克雷函数在某些点处 不具有极限。
如果一个函数在某区间上可积，那么它的积 分函数在该区间上的导数等于原函数在该区
间上的值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
积分的导数
如果一个函数在某区间上可导，那么它的导 数在该区间上的积分等于原函数在该区间上 的增量。
微分与积分的关系
33实变函数与泛函分析第三章 测度论
Ei )
2i
令G
i1
Gi
,ห้องสมุดไป่ตู้
则G为开集，E
G，且
m(G
E)
m( i 1
Gi
i 1
Ei
)
m(i1(Gi
Ei ))
i 1
m((Gi
Ei )
i 1
2i
例1.设E Rn，若 0, 开集G，使得E G 且m(G E) ，则E是可测集。
证明：对任意的1/n，
开集 Gn，使得 E
Gn且m (Gn
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
G型O，使得E c O且m(O E c ) 0
取H=O c，则H为 F 型集 ，H E 且
m(E H ) m(E H c ) m((Ec )c H c ) m(H c Ec ) m(O Ec ) 0
下证(1)：
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O且m(O E) 0
n
2i1
, ri
)) n
2i1
F 型集：空集
注：上面的交与并不可交换次序
例5：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一 零测度集的G 型集或F 型集。
G型集： (0,1)
F 型集：H
[0,1] n1(i1(ri
1 n
2i1
, ri
1
)) n
2i1
定理7：若E可测，则
(1) mE inf{mG : G是开集，E G} (2) mE sup{mK : G是开集，K E} 外、内正规性
有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；
通过取余G 型集与 F 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）
第三章_测度论
趋于同一个数值，这个值便是图形的面积。
↓
外测度和内测度相等→可测
§1 外测度
1、勒贝格外测度 设E为 R n 中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间 Ii E ，
| 做出它的体积总和 | I i （ 可以等于
i 1 i 1
S 也可测。
i i 1
n
（5）设 S1 , S2 可测，则 S1 S2 也可测。 （6）设{Si } 是一列互不相交的可测集，则 Si 也是可测集，且
i 1
m Si mSi i 1 i 1
i 1
推广：设 {Si }是一列可测集，则 Si ， Si 也是可测集。
ðS 可测。
（3）设S1 , S2可测，则 S1 S2 也可测，并且当S1 S2 ,对于任 意集合T总有 m T S1 S 2 m (T S1 ) m (T S 2 )
推广：设 Si (i 1, 2,..., n) 可测，则 Si也可测，并且当 Si S j ,
i 1 n
3、勒贝格测度性质 （1） m() 0 （2）非负性：m E 0 （3）单调性：设A, B 可测，且 A B ，则 mA mB
（4）可列可加性：设 {Ei } 是一列互不相交的可测集 m Ei mEi i 1 i 1
为长度、面积、体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。
测度论的思想和方法已经是近代分析、概率论及其他学科必不可 少的工具。
实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要
的勒贝格测度与勒贝格积分理论。
长度公理： 设有实数直线上的一些点集所构成的集合族 ，若对于每
(0195)《实变函数》复习大纲、样题及
（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。
即或为有限集或为可数集。
（3）可数个可数集的并集是可数集。
（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。
3、常见的可数集：有理数及其无限子集。
三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
2、掌握集之间的并、交、差、余运算。
3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
4、理解集列的收敛、单调集列的概念。
5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。
五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。
即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。
我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。
第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。
二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。
2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。
3、开集、闭集具有对偶性。
4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。
10、开集体积、点集外测度
我们希望平面上的每个点集 E 都有类似区间面积 E ,同样 希望对一般空间点集 E 都有类似的量 E , 这个量应是一维 空间区间长度、二维空间矩形面积、三维空间长方体的体 积等概念的推广，保持面积如下的性质:
(1) 非负性：
E ≥0
(2)单调性： 若E1 ⊂ E2， 有 E1 ≤ E2 (3)可加性：若E1 ∩ E2 = Φ，有 E1 ∪ E2 = E1 + E2 (4)次可加性： E1 ∪ E2 ≤ E1 + E2 (5)平移不变性和旋转不变性：
n 均有外测度，即对任意的 E ⊂ R ，m∗ E
总存在，并且
0 ≤ m ∗ E ≤ +∞
∗ m 注2：由下确界的定义，对于 E
有（1）
（2）
∀覆盖E的开集G，有 m∗ E ≤ G
∀ε > 0, ∃覆盖E的开集G, 使得 G < m∗ E + ε
2、外测度的性质 定理 外测度具有如下的性质：
∗ n （1）非负性：对每一个 E ⊂ R 有m E ≥ 0，特别有m∗Φ = 0
（2）单调性： 若A ⊂ B ⊂ R n , 有m∗ A ≤ m∗ B
m( （3）次（准）可数可加性：
∗
∗ E ) ≤ m ∪ j ∑ Ej j =1 j =1
∞
∞
（4）分离条件下的可数可加性：设 E j ⊂ R n , j = 1, 2,
n 若存在一列互不相交的开集 {G j }∞ 使得 E j ⊂ G j , j = 1, 2, ⊂ R j =1
Q = {a1 , a2 ,..., an ,...}, ∀ε > 0, ∪ (an −
n =1
∞
ε
2
, an + n +1
第三章测度
第三章可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。
在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。
测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。
对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。
主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。
基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。
二、主要的数学思想与方法1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。
2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m*,然后通过条件m* A = m*A 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (∀T)称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。
两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。
3、合列极限定义的思想与方法。
4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。
5、一般可测集由Gδ集、Fδ集、零测集构成的思想与方法。
三、疑难点学习方法（一）直线上有界点集的测度点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。
用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。
先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。
实变函数复习要点
2011实变函数复习要点第一章 集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。
2. 对等和基数及其性质。
3. 可数集合的概念及其性质。
4. 不可数集合的概念及例子。
~（二）考核要求 1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。
2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。
De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=c cA A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。
?例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。
例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。
（2）综合应用：集合的对等的证明 例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。
4. 可数集合 -（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。
（2）综合应用：可数集合的性质。
5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。
第二章 点集 （一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。
2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。
|3. 开集、闭集及其性质。
4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。
（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。
2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。
如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系?如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。
(完整版)实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点第一章 集 合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A BC --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+；2、 对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1)； ②证明(0,1)[0,1]；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。
具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习：①P =，P'=，P=；②111,,,,2n'⎧⎫⎨⎬⎩⎭= ；第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ=，mP=；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章 积 分 论1、非负简单函数L 积分的定义；练习： ①Direchlet 函数在1上的L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积⇔f 在E 上可测；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；②设3,()10,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。
实变函数论课后答案第三章3
使得 则从 ，
是至多可数集，从而知也是至多可数集，从而有 （P54习题2）
（，，） 令，我们来证明是完备集 1）是闭集：，存在， 则，推出， 若，则，，为至多可数集， ，充分大时，， （）
实变函数课件
∞
}
为E的Lebesgue外测度。
注： 为 n = UIi ,其 Ii ={(x , x2,L xn )| −i < xj < i, j =1 L n}, 1 因 R 中 , ,2, , 1
i=1
所 集 以 合
{(I1, I2,L Ii (i =1 L 是 区 且 Ii ⊃ E} )| ,2, ,) 开 间 U
n =1 ∞
∗
∗
∑
∞
n =1
m * An
证明: (1)显然成立. 证明: (1)显然成立. (2): 设 Ii}i∞1为 一 覆 B的 区 , 由 A⊂ B,则 { = 任 列 盖 开 间 于
A⊂ B ⊂UIi
i= 1 ∞
因而
m A≤ ∑ Ii | |
∗ i= 1 ∞
对 有 盖的 区 列 下 界 得 所 覆 B 开 间 取 确 即
证明：由于E为可数集， 证明：由于E为可数集，
故不妨令E = [0,1] ∩ Q = {r1 , r2 , r3 ,L}
∀ε > 0, 作开区间I i = (ri − 2ε+1 , ri + 2ε+1 ), i = 1,2,3,L i i
则 E ⊂ ∪ I i且 Σ | I i |= Σ
i =1 i =1 ∞ ∞ ∞
ε
2i+2
ε
),(ri1, ri2)∈Q×Qi =1,2,3,L ,
2.平面上的x轴的外测度为0 2.平面上的x轴的外测度为0
I i = (ri − 1, ri + 1) × ( 2−i+ε2 , 2iε+2 ), ri ∈ Z，i = 1, 2,3,L
注 R中 限 和 数 都 零 . ： 有 集 可 集 是 集
实变函数论教案第三章
第三章 测 度 论实变函数论的核心内容是勒贝格（Lebesgue ）积分. 本章介绍勒贝格测度理论是为建立勒贝格积分作好必要的准备.在nR 中建立Lebesgue 积分理论，不可避免地要对nR 中的一般点集E 给出类似于R 中区间长度的“适当的度量”，这种度量就是以后所说的测度.对于R 中的区间长度的度量，归纳我们日常生活经验，不难发现我们已经在潜移默化地使用了以下约定俗成的公理，即长度公理：长度公理：对于实数直线上的一些点集所构成的集合族μ，若对于每个E μ∈，都对应一个实数mE ，使得1．（非负性）0mE ≥；2．（有限可加性）如果12,,,n E E E 两两不相交，那么1212()n n m E E E mE mE mE =+++ ；3．（正则性）[0,1]1m =.但是，仅仅根据凭经验得来的这三条长度公理，实际上只给出了区间[,]a b 的长度，能够量出“长度”的点集是不多的，能做到的也只是有限个线段之并那样的点集. 例如[0,1]中“有理数集合”是可数个点之并，就没有长度可言. 同样[0,1]中“无理数集合”的长度是多少也无法确定. 这样，我们应该修改长度公理，扩大集合族μ的范围，使更多的集合具有新意义的长度，也就是我们所说的测度.看来，非负性和正则性的要求非常自然，是不能修改的，那么只有修改第二条的有限可加性.我们很自然地想到把有限可加性改为“无限可加性”，然而无限可加性的提法是不能任意的，这是因为如果简单地提无限可加性会出现矛盾，例如，一点a 所成的集合的长度是([,])0m a a a a =-=，如果任意无限可加性可以成立，那么[0,1]中全体有理数和全体无理数所成集合的长度都是0，于是区间[0,1]的长度也是0，这是矛盾的.法国数学家Lebesgue 用可数可加性考察如下的“测度”：勒贝格测度公理：对于实数直线上的一部分集合族μ，使得每个E μ∈，都对应一个实数mE ，满足 1．（非负性）0mE ≥；2．（可数可加性）如果12,,,n E E E 两两不相交，那么1212()n n m E E E mE mE mE =++++ ；3．（正则性）[,]m a b b a =-.根据这一公理，[0,1]中有理数集是可数个点的集合，每点的测度是0，所以它的勒贝格测度是0；而[0,1]中无理数集不可数就不会是0了，应该是1.那么，满足勒贝格测度公理的在集合族μ上定义的集函数mE 是否存在？μ由哪些集合所构成？是否每个集合都有测度呢？这些问题都是本章要解决的.§1 外测度教学目的：让学生理解掌握nR 空间中Lebesgue 测度外测度的定义,并能通过Lebesgue 外测度定义推导Lebesgue 外测度的基本性质。
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第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————一、引言(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰，1ii i xx x -∆=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法无关。
几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。
（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==∆∑⎰下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==∆∑⎰二、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 nE R ⊂，称非负广义实数*({})R R ⋃±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。
下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ∀∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=0,ε∀>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=⊂⋃且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从而*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E = 思考：１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =+⨯+∈⨯=2.平面上的x 轴的外测度为0提示：找一列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+⨯-∈=，3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）非负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *= （2）单调性：若A B ⊂，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。
（3）次可数可加性**11()n n n n m A m A ∞∞==⋃≤∑证明：对任意的0ε>,由外测度的定义知，对每个n A 都有 一列开区间（即用一开区间{}nm I 列近似替换n A ）12,,,,n n nm I I I 使得1n nm m A I ∞=⊂⋃且**1||2n nm n nm m A I m A ε∞=≤≤+∑从而111n nm n n m A I ∞∞∞===⋃⊂⋃⋃，且**,11111||||()2nmnm n n nn m n m n n II m A m A εε∞∞∞∞∞======≤+≤+∑∑∑∑∑可见**1111()||n nm n n n m n m A I m A ε∞∞∞∞====⋃≤≤+∑∑∑由ε的任意性，即得**11()n n n n m A m A ∞∞==⋃≤∑注：（1）一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界（2）外测度的次可数可加性的等号即使,A B 不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:若(,)0d A B >则*()()()m A B m A m B **⋃=+当区间i I 的直径很小时候，区间i I 不可能同时含有A ，B 中的点从而把区间列i I 分成两部分，一部分含有A 中的点，一部分含有B 中的点.例2 对任意区间I ，有||m E I *=.思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？ 此例说明Lebesgue 外测度某种程度是区间长度概念的推广例3 Cantor 集的外测度为0.证明：令第n 次等分后留下的闭区间为()1,2,2n n iI i =从而222**()()11112()()||033nnnnn n i i n i i i m P m I I ===⎛⎫≤⋃≤≤=→ ⎪⎝⎭∑∑0m P *=故注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集.——————————————————————————————作业：P75 1, 2练习题1 如果将外测度的定义改为“有界集E 的外测度是包含E 的闭集的测度的下确界.”是否合理？2 设A B ⋂=∅，问在什么条件下有**()m A B m B +=3 对于有界集1E R ⊂，是否必有*m E <+∞？4设E 是直线上的一有界集，0m E *>，则对任意小于m E *的正数c ，恒有子集1E ，使1m E c *=§2 可测集合教学目的1、深刻理解可测集的定义，学会用Caratheodory 条件验证集合的可测性.2、掌握并能运用可测集的性质.本节要点 学会用Caratheodory 条件验证集合的可测性.本节难点 用Caratheodory 条件验证集合的可测性. 授课时数 4学时——————————————————————————————Lebesgue 外测度(外包)11inf{||:i ii i i m E I E I ∞∞*===⊂⋃∑且I 为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列“近似”替换集合E 次可数可加性(即使n A 两两不交) **11()n n n n m A m A ∞∞==⋃≤∑一、可测集的定义若,nT R ∀⊂有*()()cm T m T E m T E **=⋂+⋂（Caratheodory 条件），则称E 为Lebesgue 可测集，此时E 的外测度称为E 的测度，记作mE .注：Lebesgue 开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法.例1：零集E 必为可测集证明：nT R ∀⊂，有***()()()()()cm T m T E m T E m E m T m T ***≤⋂+⋂≤+≤ 从而*()()cm T m T E m T E **=⋂+⋂即E 为可测集。
二、Lebesgue 可测集的性质（1）集合E 可测（即*,()()ncT R m T m T E m T E **∀⊂=⋂+⋂有,,c A E B E ⇔∀⊂⊂有*()()()m A B m A m B **⋃=+证明：(充分性）n T R ∀⊂，,c A T E B T E =⋂=⋂令即可(必要性)令T A B =⋃（2）若,,i A B A 可测，则下述集合也可测11,,,,,ci i i i A A B A B A B A A ∞∞==⋃⋂-⋂⋃即可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭； 若A B ⋂=∅，则nT R ∀⊂，有*(())()()m T A B m T A m T B **⋂⋃=⋂+⋂注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得 若i A 两两不交，则（测度的可数可加性）11()i i i i m A mA ∞∞==⋃=∑.若,A B 可测，,,A B mA ⊂<+∞则有可减性()m B A mB mA -=-证明：由可测集的定义：n T R ∀⊂有*()()cm T m T E m T E **=⋂+⋂ 易知c A 可测若A B ⋃可测已证明，则易知()cc cA B A B ⋂=⋃，cA B A B -=⋂也可测。
若当i A 为两两不交时，1i i A ∞=⋃可测已证明，则通过令11n n n i i B A A -==-⋃可把一般情形转化为两两不交的情形，通过取余即可证明1ni i A =⋂下面证明若,A B 可测，则A B ⋃可测 证明：n T R ∀⊂，有*(())(())c m T m T A B m T A B **≤⋂⋃+⋂⋃**((1)(2))((3)(4))m m m m **≤+++*((1)(2))((3)(4))m m *=⋃+⋃（B 可测）*((1)(2)(3)(4))m =⋃⋃⋃（A 可测）*()m T =从而*(())(())cm T m T A B m T A B **=⋂⋃+⋂⋃ 下面证明若i A 两两不交，则11()i ii i m A mA ∞∞==⋃=∑证明：nT R ∀⊂，有*11(()(())nnc i i i i m T m T A m T A **===⋂⋃+⋂⋃*11(()(())nc i i i i m T A m T A ∞*==≥⋂⋃+⋂⋃*11()(())nc i i i i m T A m T A ∞*===⋂+⋂⋃∑从而*11()(())c i i i i m T m T A m T A ∞∞**==≥⋂+⋂⋃∑*11(())(())c i i i i m T A m T A ∞∞*==≥⋂⋃+⋂⋃ （*）另外显然有 *11(())(())c i i i i m T m T A m T A ∞∞**==≤⋂⋃+⋂⋃从而1i i A ∞=⋃可测，并用1i i T A ∞==⋃代入（*）式，即得结论例2：设[0,1]中可测集12,,,n A A A 满足条件11ni i mA n =>-∑，则1ni i A =⋂必有正测度。