江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高二下学期期中数学试题
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A． B． C． D．
7．已知 为正整数，若 ，则 的值为（）
A．2B．3C．4D．5
8．如图，湖面上有4个相邻的小岛 ，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有m种不同的方案，则m的值为（）
A．4B．8C．12D．16
二、多选题
9．若 的展开式中存在常数项，则n的取值可以是（）
A．3B．4C．5D．6
【点睛】
本题主要考查二项分布对应的概率最大问题，涉及组合数的运算，属于基础题型.
6．D
【解析】
，因为 ，由 ，得 ，函数 的单调递增区间是 ，故选D.
7．C
【分析】
由 ，根据二项式定理，将式子展开，估算 ，进而可得 ，再由题意，即可得出结果.
【详解】
因为
，
而 ，
所以 ，
因此 ，
又 为正整数， ，所以 ；
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题型.
10．BD
【分析】
根据导数的方法逐项判定各选项对应函数的单调性，即可得出结果.
【详解】
A选项，由 得 ，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减，故排除A；
B选项，由 得 显然恒成立且不恒为零，所以 在 上单调递增，故B满足题意；
故总的建桥方案有 种.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查组合的简单应用，属于基础题型.
9．BD
【分析】
根据二项展开式的通项公式，得到展开式的通项为 ，令 ，即可根据选项判定出结果.
【详解】
因为 的展开式的第 项为 ，
若 的展开式中存在常数项，
则只需 ，即 ，又 ， ，
所以 只需为正偶数即可，故AC排除，BD可以取得；
展开式的通项为： .
取 得到常数项为 ，解得 .
故选： .
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．D
【分析】
直接利用插空法计算得到答案.
【详解】
根据题意将 进行全排列，再将 插空得到 个.
故选： .
【点睛】
本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5．D
D． 上存在四个点构成的四边形为菱形
三、填空题
13．若直线 （e是自然对数的底）是曲线 的一条切线，则实数m的值是______．
14．已知随机变量X的概率分布如下表所示， ，则 _____， _____．
X
0
1
2
3
P
aBiblioteka Baidu
b
15．从集合 中任取3个数构成递增的等比数列，则这样的不同的等比数列共有_____种．
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为 ，求 的概率分布和数学期望.
20．如图，已知海岛 到海岸公路 的距离 为50km， 间的距离为100km，从 到 ，
必须先坐船到 上的某一点 ，船速为 ，再乘汽车到 ，车速为 ，记 ．
（1）试将由 到 所用的时间 表示为 的函数 ；
【详解】
因为 ，
所以其虚部为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查复数的运算，考查求复数的虚部，属于基础题型.
2．C
【分析】
根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.
【详解】
平均变化率为 .
故选：C
【点睛】
本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.
3．A
【分析】
直接利用二项式定理计算得到 ，解得答案.
【详解】
【分析】
先记投篮命中的次数为随机变量 ，根据题意，得到 服从二项分布，求出 取最大时 的值，即可得出结果.
【详解】
记投篮命中的次数为随机变量 ，
由题意， ，
则投篮命中 次的概率为 ，
由 得 ，即 ，即 ，
解得 ，又 ，
因此 时， 取最大值.
即该运动员10次投篮中，最有可能投中的次数为 次.
故选：D.
江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 的虚部为（）
A． B．1C．2D．
2．函数 在[0，π]上的平均变化率为( )
A．1B．2C．πD．
3．若 展开式中常数项为60.则常数a的值为（）
10．下列选项中，在 上单调递增的函数有（）
A． B．
C． D．
11．已知复数 满足 ，在复平面内，复数 对应的点可能在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．记函数 的图象为 ，下列选项中正确的结论有（）
A．函数 既有极大值又有极小值
B．至少存在两条直线与 恰有两个公共点
C． 上存在三个点构成的三角形为等腰三角形
16．已知数列 的前n项和为 ，若 ，则 ______．
四、解答题
17．已知 ， 为虚数，且满足 ， ．
（1）若 是纯虚数，求 ；
（2）求证： 为纯虚数．
18．设 ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
19．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目 ， ， 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过 ， ， 每个项目测试的概率都是 .
C选项，由 得 ，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减，故排除C；
D选项，由 得 显然恒成立且不恒为零，所以 在 上单调递增，故D满足题意；
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查导数的方法判定函数单调性，属于基础题型.
（2）问 为多少时，由 到 所用的时间 最少？
21．已知 ，函数 的导函数为 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的值．
22．已知函数 ．
（1）求函数 的最大值；
（2）若函数 有两个零点，求实数m的取值范围；
（3）若不等式 仅有一个整数解，求实数a的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
根据复数的乘法与除法运算法则，直接计算，再由复数的概念，即可得出结果.
A．4B．2C．8D．6
4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（）
A．36B．72C．600D．480
5．某篮球运动员每次投篮投中的概率是 ，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为 ，则 的值为（）
A．5B．6C．7D．8
6．函数 的单调递增区间是（ ）
故选：C.
【点睛】
本题主要考查近似计算的问题，灵活运用二项式定理即可，属于常考题型.
8．D
【分析】
要把四个小岛连接起来，共有六个位置可以建设桥梁，从中选择三个位置建桥，去掉不满足题意的，即可的出结果.
【详解】
要把四个小岛连接起来，共有 个位置可以建设桥梁，
要建3座桥梁，则有 种结果，
但 ； ； ； 这四种建桥方式不满足题意，
7．已知 为正整数，若 ，则 的值为（）
A．2B．3C．4D．5
8．如图，湖面上有4个相邻的小岛 ，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有m种不同的方案，则m的值为（）
A．4B．8C．12D．16
二、多选题
9．若 的展开式中存在常数项，则n的取值可以是（）
A．3B．4C．5D．6
【点睛】
本题主要考查二项分布对应的概率最大问题，涉及组合数的运算，属于基础题型.
6．D
【解析】
，因为 ，由 ，得 ，函数 的单调递增区间是 ，故选D.
7．C
【分析】
由 ，根据二项式定理，将式子展开，估算 ，进而可得 ，再由题意，即可得出结果.
【详解】
因为
，
而 ，
所以 ，
因此 ，
又 为正整数， ，所以 ；
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题型.
10．BD
【分析】
根据导数的方法逐项判定各选项对应函数的单调性，即可得出结果.
【详解】
A选项，由 得 ，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减，故排除A；
B选项，由 得 显然恒成立且不恒为零，所以 在 上单调递增，故B满足题意；
故总的建桥方案有 种.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查组合的简单应用，属于基础题型.
9．BD
【分析】
根据二项展开式的通项公式，得到展开式的通项为 ，令 ，即可根据选项判定出结果.
【详解】
因为 的展开式的第 项为 ，
若 的展开式中存在常数项，
则只需 ，即 ，又 ， ，
所以 只需为正偶数即可，故AC排除，BD可以取得；
展开式的通项为： .
取 得到常数项为 ，解得 .
故选： .
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．D
【分析】
直接利用插空法计算得到答案.
【详解】
根据题意将 进行全排列，再将 插空得到 个.
故选： .
【点睛】
本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5．D
D． 上存在四个点构成的四边形为菱形
三、填空题
13．若直线 （e是自然对数的底）是曲线 的一条切线，则实数m的值是______．
14．已知随机变量X的概率分布如下表所示， ，则 _____， _____．
X
0
1
2
3
P
aBiblioteka Baidu
b
15．从集合 中任取3个数构成递增的等比数列，则这样的不同的等比数列共有_____种．
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为 ，求 的概率分布和数学期望.
20．如图，已知海岛 到海岸公路 的距离 为50km， 间的距离为100km，从 到 ，
必须先坐船到 上的某一点 ，船速为 ，再乘汽车到 ，车速为 ，记 ．
（1）试将由 到 所用的时间 表示为 的函数 ；
【详解】
因为 ，
所以其虚部为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查复数的运算，考查求复数的虚部，属于基础题型.
2．C
【分析】
根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.
【详解】
平均变化率为 .
故选：C
【点睛】
本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.
3．A
【分析】
直接利用二项式定理计算得到 ，解得答案.
【详解】
【分析】
先记投篮命中的次数为随机变量 ，根据题意，得到 服从二项分布，求出 取最大时 的值，即可得出结果.
【详解】
记投篮命中的次数为随机变量 ，
由题意， ，
则投篮命中 次的概率为 ，
由 得 ，即 ，即 ，
解得 ，又 ，
因此 时， 取最大值.
即该运动员10次投篮中，最有可能投中的次数为 次.
故选：D.
江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数 的虚部为（）
A． B．1C．2D．
2．函数 在[0，π]上的平均变化率为( )
A．1B．2C．πD．
3．若 展开式中常数项为60.则常数a的值为（）
10．下列选项中，在 上单调递增的函数有（）
A． B．
C． D．
11．已知复数 满足 ，在复平面内，复数 对应的点可能在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．记函数 的图象为 ，下列选项中正确的结论有（）
A．函数 既有极大值又有极小值
B．至少存在两条直线与 恰有两个公共点
C． 上存在三个点构成的三角形为等腰三角形
16．已知数列 的前n项和为 ，若 ，则 ______．
四、解答题
17．已知 ， 为虚数，且满足 ， ．
（1）若 是纯虚数，求 ；
（2）求证： 为纯虚数．
18．设 ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
19．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目 ， ， 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过 ， ， 每个项目测试的概率都是 .
C选项，由 得 ，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减，故排除C；
D选项，由 得 显然恒成立且不恒为零，所以 在 上单调递增，故D满足题意；
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查导数的方法判定函数单调性，属于基础题型.
（2）问 为多少时，由 到 所用的时间 最少？
21．已知 ，函数 的导函数为 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的值．
22．已知函数 ．
（1）求函数 的最大值；
（2）若函数 有两个零点，求实数m的取值范围；
（3）若不等式 仅有一个整数解，求实数a的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
根据复数的乘法与除法运算法则，直接计算，再由复数的概念，即可得出结果.
A．4B．2C．8D．6
4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（）
A．36B．72C．600D．480
5．某篮球运动员每次投篮投中的概率是 ，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为 ，则 的值为（）
A．5B．6C．7D．8
6．函数 的单调递增区间是（ ）
故选：C.
【点睛】
本题主要考查近似计算的问题，灵活运用二项式定理即可，属于常考题型.
8．D
【分析】
要把四个小岛连接起来，共有六个位置可以建设桥梁，从中选择三个位置建桥，去掉不满足题意的，即可的出结果.
【详解】
要把四个小岛连接起来，共有 个位置可以建设桥梁，
要建3座桥梁，则有 种结果，
但 ； ； ； 这四种建桥方式不满足题意，