2019-2020学年高中数学 三角函数诱导公式学案2 新人教A版必修4.doc
2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.3诱导公式(第1课时)诱导公式二、三、四课件新人教A版必修1
一二三
3.做一做
(1)sin(-390°)=
;
(2)cos
-
13π 6
=
.
解析:(1)sin(-390°)=-sin 390°
=-sin 30°=-12;
(2)cos
-
13π 6
=cos136π=cosπ6 =
于是 tan(595°-α)=tan(360°+235°-α)
=tan(235°-α)=tan(180°+55°-α)=tan(55°-α)
22
=csoins((5555°°--������������)) =
3
-13
=-2
2.
课堂篇 探究学习
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
利用诱导公式解决化简问题
=sin 45°cos 30°-cos 30°sin 30°-tan 45°
=
2 2
×
3 2
−
3 2
×
12-1
= 6-43-4.
探究一
探究二
探究三 随堂演练
课堂篇 探究学习
(2)因为 cos(α-55°)=-13<0,且 α 是第四象限角, 所以 α-55°是第三象限角.因此 sin(α-55°)=- 1-cos2(������-55°)=-232. 又因为 α+125°=180°+(α-55°),所以 sin(α+125°)=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55°)=232.
一二三
课前篇 自主预习
人教版高中数学A版必修4学案 1.3 三角函数的诱导公式(二)
明目标、知重点 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin_α. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．[情境导学] 对形如π－α、－α、π＋α的角的三角函数可以转化为α角的三角函数，对形如π2－α，π2＋α的角的三角函数与α角的三角函数，是否也存在着某种关系，需要我们作进一步的探究．探究点一 诱导公式五思考1 如图，在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有 sin α＝a c ，cos α＝b c，sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝b c ， cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝a c .根据上述结论，你有什么猜想？ 答 sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 思考2 若α为任意角，那么π2－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？设角α与单位圆交于点P (x ，y )，则角π2－α终边与单位圆交于点P ′，写出点P ′的坐标．答 如图，角α的终边与π2－α的终边关于直线y ＝x 对称，P ′(y ，x )．思考3 根据任意角三角函数的定义，π2－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答 sin α＝y ，cos α＝x ； sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝x ，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝y . 从而得诱导公式五sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 探究点二 诱导公式六思考1 根据π2＋α＝π2－(－α)，利用诱导公式三和诱导公式五你能得到什么结论？答 sin(π2＋α)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－(－α)＝cos(－α)＝cos α； cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(－α)＝sin(－α)＝－sin α. 思考2 根据π2＋α＝π－⎝⎛⎭⎫π2－α，利用诱导公式四和诱导公式五你能得到什么结论？ 答 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin α，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 思考3 你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？ sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α. 答 sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos α； cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α； sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cos α；cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin α. 探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 反思与感悟 利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．跟踪训练1 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值． 解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 例2 化简：sin (2π－α)cos (π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫112π－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin ⎝⎛⎭⎫92π＋α.解 原式＝(－sin α)(－cos α)(－sin α)cos ⎣⎡⎦⎤5π＋⎝⎛⎭⎫π2－α(－cos α)sin (π－α)[－sin (π＋α)]sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2αcos α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α(－cos α)sin α[－(－sin α)]sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin 2αcos αsin α－cos αsin 2αcos α ＝－sin αcos α＝－tan α.反思与感悟 三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练2 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－32πcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋32π＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.证明 ∵左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ()－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θ(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ(－sin θ)－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. ∴左边＝右边，故原等式成立．例3 已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值． 解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.反思与感悟 解答本题时，应先利用诱导公式将已知式子和所求式分别化简，再利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值．解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．跟踪训练3 在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，试判断△ABC 的形状． 解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . 又∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，∴sinπ－2C 2＝sin π－2B 2， ∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，∴cos C ＝cos B .又B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形．1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A ．－233 B.233C.13 D ．－13 答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m 表示为( ) A.m 2－12 B.m 2＋12C.1－m 22 D ．－m 2＋12答案 C解析 sin(α－180°)－sin(270°－α) ＝－sin(180°－α)－sin [180°＋(90°－α)] ＝－sin α＋sin(90°－α)＝cos α－sin α＝m ， sin(180°＋α)sin(270°＋α) ＝－sin α·(－cos α)＝sin αcos α ＝12[1－(cos α－sin α)2]＝1－m 22. 3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是______． 答案 1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.4．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)·sin (－α＋32π)cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－32π)＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝－sin αcos α·(－cos α)(－cos α)sin α＝－cos α.(2)∵cos(α－32π)＝cos ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴f (α)＝－cos α＝265.[呈重点、现规律]1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．一、基础过关1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案 A解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( ) A ．－25 B ．－15C.15D.25 答案 C解析 sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin(π2＋α)＝cos α＝15. 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A ．－13 B.13C ．－223 D.223答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 4．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m3C ．－3m 2 D.3m2答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .5．在△ABC 中，下列表达式为常数的是________． ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(B ＋C )－cos A ； ③sin A ＋B 2cos C 2； ④cosB ＋C 2cos A 2.答案 ③解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B 2＝π2－C2，∴sinA ＋B 2＝sin(π2－C 2)＝cos C2. ∴sin A ＋B 2cos C 2＝cosC 2cos C 2＝1.6．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 答案892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 7．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立． 二、能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13 D ．－23答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α) ＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)] ＝－sin [90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.9.cos (α＋π)·sin 2(α＋3π)tan (α＋4π)·tan (α－π)·sin 3(π2＋α)＝________.答案 －1解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·tan α·cos 3α＝－sin 2αtan 2α·cos 2α＝－tan 2αtan 2α＝－1. 10．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )． 解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.11．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169， 即2sin α·cos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 12．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值． 解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2.∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α ＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α ＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5·2＝－1335. 三、探究与拓展13．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立． 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由． 解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， ③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1, ④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
新课标高中数学人教A版必修四全册教案1.3三角函数的诱导公式(一)
1．3诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力． （二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五． （2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 教学过程一、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k 诱导公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒ 诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒ 对于五组诱导公式的理解 ：①可以是任意角；公式中的α②这四组诱导公式可以概括为：符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k总结为一句话：函数名不变，符号看象限练习1：P27面作业1、2、3、4。
2：P25面的例2：化简二、新课讲授： 1、诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=- 2、诱导公式（六） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 总结为一句话：函数正变余，符号看象限例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan)1(πππ-︒ 练习3：求下列函数值：).580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos )1(︒︒-ππ 例2．证明：（1）ααπcos )23sin(-=- （2）ααπsin )23cos(-=- 例3．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++- 的值。
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 三角函数的诱导公式(2)课后习题 新人教A版必修4-新人教A
诱导公式（2）一、A组1.已知sin(π-α)=,则cos等于()A. B. C.- D.-解析:∵sin(π-α)=,∴sin α=.∴cos=-sin α=-.答案:C2.若α∈,则=()A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α解析:∵α∈,∴sin α<0,∴=-sin α.答案:B3.若sin>0,cos>0,则角α的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵sin>0,cos>0,∴cos α>0,sin α<0.∴角α的终边在第四象限.答案:D4.sin(π-2)-cos化简的结果是()A.0B.-1C.2sin 2D.-2sin 2解析:sin(π-2)-cos=sin 2-sin 2=0.答案:A5.=()A.-cos αB.cos αC.sin αD.-sin α解析:原式===-cos α.答案:A6.求值:sin2+sin2=.解析:∵-α++α=,∴sin2=sin2=cos2.∴sin2+sin2=sin2+cos2=1.答案:17.若α是三角形内角,且sin=-sin,则α=.解析:∵sin=-sin,∴cos α=-.∵0<α<π,∴α=.答案:8.若sin,则cos2=.解析:sin=cos θ=,则cos2=sin2θ=1-cos2θ=1-.答案:9.已知sin,求cos sin的值.解:cos sin=cos sin=sin sin.10.已知f(α)=.(1)证明:f(α)=sin α.(2)若f=-,且α是第二象限角,求tan α.(1)证明:因为f(α)====sin α.(2)解:由sin=-,得cos α=-.又α是第二象限角,所以sin α=,则tan α==-.二、B组1.若sin(3π+α)=-,则cos等于()A.-B.C.D.-解析:∵sin(3π+α)=sin(π+α)=-sin α=-,∴sin α=.∴cos=cos=cos=-sin α=-.答案:A2.A,B,C为△ABC的三个内角,下列关系式中不成立的是()①cos(A+B)=cos C②cos=sin③tan(A+B)=-tan C④sin(2A+B+C)=sin AA.①②B.③④C.①④D.②③解析:因为cos(A+B)=-cos C,所以①错;cos=cos=sin,所以②正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,所以③正确;sin(2A+B+C)=sin(π+A)=-sin A,所以④错,故选C.答案:C3.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为()A.-B.-C.D.解析:由已知得,-sin α-sin α=-a,即sin α=.故cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=- a.答案:B4.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,则=.解析:由已知得sin α=-.因为α是第三象限角,所以cos α=-,tan α=.所以原式=.答案:5.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=.解析:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+…+cos 21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+.答案:6.导学号08720020已知α是第二象限角,若cos=-,则是第象限角.解析:∵cos=-=-=-=-,∴cos<0.又α为第二象限角,∴为第一或第三象限角,∴必为第三象限角.答案:三7.已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=.(1)求tan α的值;(2)求的值.解:(1)由故tan α=-.(2)原式==tan α=-.8.导学号08720021若.(1)求tan(x+π)的值;(2)求的值.解:(1)∵=,∴10(sin x-cos x)=3sin x+4cos x,即sin x=2cos x,∴tan x=2.∴tan(x+π)=tan x=2.(2)∵sin2x+cos2x=1,∴原式===-.。
2019-2020年高中数学必修四 《任意角的三角函数》及诱导公式教案
2019-2020年高中数学必修四 《任意角的三角函数》及诱导公式教案一．【课标要求】 1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。
二．【命题走向】从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键预测209年高考对本讲的考察是：1．题型是1道选择题和解答题中小过程；2．热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。
三．【要点精讲】1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。
旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。
3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
数学人教A版高中必修4三角函数的诱导公式 优秀导学案
1.1.3 三角函数的诱导公式导学案学习目标一、能够借助单位圆推导三角函数的诱导公式；二、能够正确运用诱导公式进行简单三角函数式的化简、求值，并从中体会未知到已知、复杂到简单的转化过程.课前准备 一、预习：教材P23-25 二、复习巩固1.任意角三角函数的定义：如图，设()y x p ,是角α终边与单位圆的交点，则αsin = αcos =αtan =点()y x P ,的坐标用角α的三角函数表示为 2.公式一：终边相同角的同名三角函数值相等，即有：公式一的推导思路：条件（1）角）（Z k k ∈+απ2与角α终边__________条件（2）两终边与单位圆的交点___________ 条件（3）依据：三角函数定义公式一的作用：把任意角的三角函数转化为__________内的三角函数.新课学习题组一 求值：（1）︒405cos （2）37sin π（3））（︒-300cos=+)2sin(απk =+)2cos(απk =+)2tan(απk（其中Z k ∈）题组二 能用公式一．．．将下列各式转化为锐角．．三角函数吗？ （1）︒585cos （2）311sin π（3）)2040cos(︒-思考： 能否将)2,0[π内的角的三角函数转化为锐角三角函数？ 探究一： 在)2,0[π内，结合右图填空：（1）锐角α的终边与角____________的终边关于原点对称； （2）锐角α的终边与角____________的终边关于x 轴对称； （3）锐角α的终边与角____________的终边关于y 轴对称.探究二：απαπαπ--2，，+的三角函数与α的三角函数有何关系？请类比公式一的推导思路。
【微课1】 απ+α=+)sin(απ______=+)cos(απ______=+)tan(απ______（2）απ-2与α角的三角函数值关系=)2sin(απ-_____=)2cos(απ-_____=)2tan(απ-_____即：=)sin(α-______=)cos(α-______=)tan(α-______（3）απ-与α角的三角函数值关系=)sin(απ-______=)cos(απ-______=)tan(απ-______以上结论推导思路：紧扣三角函数定义两角终边对称关系→与单位圆交点坐标关系→三角函数值间关系 探究三：锐角α可以推广到任意角吗？【微课2】απ+、α-、απ-与α的三角函数值关系整理为公式如下公式二：公式三：公式四：思考：你能用简洁的语言概括一下公式一至四吗？它们的作用是什么？如果把α看成锐角，则）（Z k k ∈+απ2、απ-、απ+、α-角分别位于第一、二、三、四象限，结合各象限三角函数值的符号，可试着叙述为:作用：求任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数值解决问题： 现在你能求题组二中的所有角的三角函数值吗？（即教材P24例1）求值 （1）︒585cos （2）311sin π（3）)2040cos(︒-公式应用例题：化简 )180cos()180sin()360sin()180cos(αααα--⋅--+⋅+︒︒︒︒（即教材P25例2 ）诱导公式内容是什么？作用是什么？我们是怎样获得诱导公式的？你能初步应用吗？一、作业 P29 2、3 二、课外探究（1）已知31)6sin(=+απ,求)67sin(απ+和)65sin(απ-的值 （2）已知31sin =α,）（Z k k ∈=+πβα,求.sin β。
高中数学 第5章 三角函数 5.3 诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、四教学案 新人教A版必修第一
第1课时诱导公式二、三、四(教师独具内容)课程标准：1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．教学重点：诱导公式的推导过程及其应用．教学难点：诱导公式的推导过程.【知识导学】知识点一角的对称(1)角π＋α的终边与角α的终边关于□01原点对称，如图a；(2)角－α的终边与角α的终边关于□02x轴对称，如图b；(3)角π－α的终边与角α的终边关于□03y轴对称，如图c.知识点二诱导公式【新知拓展】(1)在公式一～四中，角α是任意角．(2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2k π＋α(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.(3)利用诱导公式一和三，还可以得出如下公式： sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α， tan(2π－α)＝－tan α.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．( ) (2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．( )(3)利用诱导公式四可以把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．( ) (4)诱导公式二～四两边的函数名称一致．( ) (5)诱导公式中的角α只能是锐角．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(1)已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( ) A ．π－4 B ．4 C ．－4D ．4－π(2)sin 7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12(3)cos(3π＋α)＋cos(2π＋α)＝________. 答案 (1)C (2)A (3)0题型一给角求值问题例1 求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos 119π6.[解] (1)sin(－1200°)＝－sin1200° ＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120° ＝－sin(180°－60°) ＝－sin60°＝－32. (2)tan945°＝tan(2×360°＋225°) ＝tan225°＝tan(180°＋45°) ＝tan45°＝1.(3)cos 119π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos π6＝32.金版点睛利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[跟踪训练1] 求下列各式的值：(1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin 8π3cos 31π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解(1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(135°＋360°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π4 ＝sin 2π3cos 7π6＋tan π4＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6＋tan π4＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝14. 题型二给值求值问题例2 (1)已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A.45 B ．－45C ．±45 D.35(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝________.[解析] (1)因为cos(π－α)＝－cos α， 所以cos α＝35.因为α是第一象限角，所以sin α>0. 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. 所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.[答案] (1)B (2)－33[结论探究] (1)若本例(2)中的条件不变，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6； (2)若本例(2)条件不变，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值．解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.金版点睛解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [跟踪训练2] (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )A ．1B ．－1 C.13D ．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________；(3)已知tan(π＋α)＝3，求2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)的值．答案 (1)D (2)223(3)见解析解析 (1)∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13.(2)∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)， ∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223.(3)因为tan(π＋α)＝3，所以tan α＝3. 故2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (－α)＋sin (2π－α)＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7.题型三三角函数式的化简 例3 化简下列各式：(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋4π3(k ∈Z )． [解] (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.(3)当k 为偶数时，原式＝sin 2π3cos 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝－sin π3cos π3＝－34.当k 为奇数时，原式＝sin 2π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3＝sin π3cos π3＝34.金版点睛三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.(4)用诱导公式进行化简时，若遇到k π±α的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．[跟踪训练3] 化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)sin (1440°＋α)cos (α－1080°)cos (－180°－α)sin (－α－180°). 解 (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos αtan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin (4×360°＋α)cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin αcos (－α)(－cos α)sin α＝cos α－cos α＝－1.1．若n 为整数，则化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A ．tan nαB ．－tan nαC ．tan αD ．－tan α答案 C解析 原式＝tan(n π＋α)，无论n 是奇数还是偶数，tan(n π＋α)都等于tan α.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝( ) A.13 B ．－13C.233D ．－233答案 B解析 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13. 3.cos (－585°)sin495°＋sin (－570°)的值等于________．答案2－2解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos225°sin135°－sin210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos45°sin45°＋sin30°＝－2222＋12＝2－2.4．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________.答案 －513解析 sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°] ＝－sin(45°＋α)＝－513.5．化简：sin (α＋n π)＋sin (α－n π)sin (α＋n π)cos (α－n π)(n ∈Z )．解 当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)sin (α＋2k π)cos (α－2k π)＝2cos α.当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，原式＝sin[α＋(2k ＋1)π]＋sin[α－(2k ＋1)π]sin[α＋(2k ＋1)π]cos[α－(2k ＋1)π]＝－2cos α.所以原式＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos α(n 为偶数)，－2cos α(n 为奇数).。
高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
数学：《三角函数的诱导公式》教案(新人教A版必修4)高一
一、 1．公式 1： （复习） sin(360k+) = sin, cos(360k+) =cos. tan(360k+) = tg, cot(360k+) = ctg. sec(360k+) = sec, csc(360k+) = csc
2．对于任一 0到 360的角，有四种可能（其中为不大于 90的非负角）
， 360 ） 为第四象限角
3．公式单位圆交于点 P(x,y)，则 180+终边与单位圆交于点 P’(-x,-y)
sin(180+) = sin, tan(180+) = tg,
P (-x, -y)
cos(180+) = cos. cot(180+) = ctg. csc(180+) = csc
csc() = csc
5．公式 4：
sin(180) = sin[180+()] = sin() = sin, cos(180) = cos[180+()] = cos() = cos,
同理可得：
sin(180) = sin, tan(180) = tan, sec(180) = sec,
课题 科目 数学 年级 高一
§诱导公式（1）
主备人 审核人
要求学生掌握 360 k + ,
教学目标
180 ,
180 + ,
360 ,
诱导公式的推
导过程，并能运用化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。
教学重点 教学难点 主要教具 直尺 教 学 过 程 设 计 备 注
教后感：
三、小结：360 k + ,
2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《三角函数的诱导公式 二》(含答案解析)
三角函数的诱导公式（二） 学习目标1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一 诱导公式五完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系. (1)sin π6=12，cos π3=12，sin π6 cos π3； (2)sin π4=22，cos π4=22，sin π4 cos π4； (3)sin π3=32，cos π6=32，sin π3 cos π6.知识点二 诱导公式六思考 能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？知识点三 诱导公式的推广与规律 1.sin(32π－α)= ，cos(32π－α)= ， sin(32π＋α)= ，cos(32π＋α)= .2.诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”. 六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k·π2±α(k∈Z)中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.类型一 利用诱导公式求值例1：(1)已知cos(π＋α)=－12，α为第一象限角，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α=13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值.反思与感悟：对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余， π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.跟踪训练1：已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α=33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α的值.类型二 利用诱导公式证明三角恒等式例2：求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2=－tan α.反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.跟踪训练2：求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)=tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.类型三 诱导公式在三角形中的应用例3：在△ABC 中，sin A ＋B －C 2=sin A －B ＋C 2，试判断△A BC 的形状.反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A ＋B ＋C=π，A ＋B ＋C 2=π2， 结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A ＋B)=sin C ，cos(A ＋B)=－cos C ，sin A ＋B 2=cos C 2，cos A ＋B 2=sin C 2.跟踪训练3：在△ABC 中，给出下列四个式子：①sin(A＋B)＋sin C ；②cos(A＋B)＋cos C ；③sin(2A＋2B)＋sin 2C ；④cos(2A＋2B)＋cos 2C.其中为常数的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④类型四 诱导公式的综合应用例4：已知f(α)=sin (π－α)cos (－α)sin (π2＋α)cos (π＋α)sin (－α). (1)化简f(α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f(A)=35，求tan A －sin A 的值.反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4：已知sin α是方程5x 2－7x －6=0的根，α是第三象限角， 求：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值.1.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6=13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A.－233 B.233 C.13 D.－132.若cos(2π－α)=53，则sin(3π2－α)等于( ) A.－53 B.－23 C.53 D.±533.已知tan θ=2，则sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)等于( ) A.2 B.－2 C.0 D.234.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值.5.求证：tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)=－tan α.1.诱导公式的分类及其记忆方式(1)诱导公式分为两大类：①α＋k·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.(2)以上两类公式可以归纳为：k·π2＋α(k∈Z)的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，π2)内的三角函数值”这种方式求解. 用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：课时作业一、选择题1.已知sin(5π2＋α)=15，那么cos α等于( ) A.－25 B.－15 C.15 D.252.已知cos(3π2＋α)=－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( ) A.45 B.－45 C.±45 D.353.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )A.cos(A ＋B)=cos CB.sin(A ＋B)=－sin CC.cos A ＋C 2=sin BD.sin B ＋C 2=cos A 24.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( )A.2B.－2C.2－π2D.π2－25.已知f(sin x)=cos 3x ，则f(cos 10°)的值为( )A.－12B.12C.－32D.326.若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m 3 B.2m 3 C.－3m 2 D.3m 2二、填空题7.若cos α=15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2= .8.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°= .9.已知tan(3π＋α)=2，则：sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)= .10.在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A =3sin(π－A)，且cos A=－3cos(π－B)，则C= .三、解答题11.已知角α的终边经过点P(－4，3)，求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值.12.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α=60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值.13.已知sin(π＋α)=－13.计算： (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α；(3)tan(5π－α).四、探究与拓展14.已知sin(α－3π)=2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)= .15.已知α是第四象限角，且f(α)=sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α). (1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2=15，求f(α)的值； (2)若α=－1 860°，求f(α)的值.答案解析知识点二 诱导公式六答案：以－α代替公式五中的α得到：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2=cos(－α)，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2=sin(－α).知识点三 诱导公式的推广与规律类型一 利用诱导公式求值例1：解：(1)∵cos(π＋α)=－cos α=－12，∴cos α=12，又α为第一象限角， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=－sin α=－1－cos 2α=－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122=－32. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α =cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α =－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α =－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α =－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α=－19. 跟踪训练1：解：∵π6＋α＋π3－α=π2，∴π3－α=π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α=33.类型二 利用诱导公式证明三角恒等式例2：证明：∵左边=tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α=(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α =sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α =sin 2α－cos αsin α=－sin αcos α=－tan α=右边.∴原等式成立.跟踪训练2：证明：因为左边=－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ=－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ=－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ=(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ=sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边=tan θ＋1tan θ－1=sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 所以左边=右边，故原等式成立.例3：解：∵A＋B ＋C=π，∴A＋B －C=π－2C ，A －B ＋C=π－2B.∵sin A ＋B －C 2=sin A －B ＋C 2，∴sin π－2C 2=sin π－2B 2， ∴sin(π2－C)=sin(π2－B)，即cos C=cos B. 又∵B，C 为△ABC 的内角，∴C=B，∴△ABC 为等腰三角形.跟踪训练3：答案为：B ；解析：①sin(A＋B)＋sin C=2sin C ；②cos(A＋B)＋cos C=－cos C ＋cos C=0；③sin(2A＋2B)＋sin 2C=sin[2(A ＋B)]＋sin 2C=sin[2(π－C)]＋sin 2C=sin(2π－2C)＋sin 2C=－sin 2C ＋sin 2C=0；④cos(2A＋2B)＋cos 2C=cos[2(A ＋B)]＋cos 2C=cos[2(π－C)]＋cos 2C=cos(2π－2C)＋cos 2C=cos 2C ＋cos 2C=2cos 2C.故选B.例4：解：(1)f(α)=sin αcos αcos α－cos α(－sin α)=cos α. (2)因为f(A)=cos A=35， 又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A=1－cos 2A=45，所以tan A=sin A cos A =43， 所以tan A －sin A=43－45=815.跟踪训练4：解：方程5x 2－7x －6=0的两根为x 1=－35，x 2=2， 由α是第三象限角，得sin α=－35，则cos α=－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α =cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α=－tan 2α=－sin 2αcos 2α=－916.1.答案为：D ；解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π6=－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6=－13. 2.答案为：A ；解析 ∵cos(2π－α)=cos(－α)=cos α=53，∴sin(3π2－α)=－cos α=－53. 3.答案为：B ；解析：sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)=cos θ＋cos θcos θ－sin θ=21－tan θ=21－2=－2. 4.解：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α=－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α， ∴sin α=2cos α，即tan α=2.∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α=sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α =sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=sin 3α－cos α5sin α－3cos α=sin 2α·tan α－15tan α－3 =2sin 2α－110－3=2sin 2α－17=2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α)=sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α)=tan 2α－17(tan 2α＋1)=4－17×(4＋1)=335. 5.证明：因为左边=tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)=tan (－α)(－sin α)cos α－cos αsin α =－tan αsin αcos αcos αsin α=－tan α=右边， 所以原等式成立.课时作业1.答案为：C ；解析 sin(5π2＋α)=cos α，故cos α=15，故选C. 2.答案为：B ；解析 ∵cos(3π2＋α)=sin α，∴sin α=－35. 又α为第四象限角，∴cos α=1－sin 2α=45， ∴cos(－3π＋α)=cos(π－α)=－cos α=－45，故选B. 3.答案为：D ；解析 ∵A＋B ＋C=π，∴A＋B=π－C ，∴cos(A＋B)=－cos C ，sin(A ＋B)=sin C ，故A ，B 项不正确；∵A＋C=π－B ，∴A ＋C 2=π－B 2，∴cos A ＋C 2=cos(π2－B 2)=sin B 2，故C 项不正确； ∵B＋C=π－A ，∴sin B ＋C 2=sin(π2－A 2)=cos A 2，故D 项正确. 4.答案为：C ；解析 cos α=2sin 2(2sin 2)2＋(－2cos 2)2=sin 2，∵α为锐角，∴α=2－π2. 5.答案为：A ；解析 f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=cos(180°＋60°)=－cos 60°=－12. 6.答案为：C ；解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=－sin α－sin α=－m ，∴sin α=m 2. 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)=－sin α－2sin α=－3sin α=－3m 2. 7.答案为：265； 解析 ∵cos α=15，且α是第四象限角， ∴sin α=－ 1－cos 2α=－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152=－265.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2=－sin α=265. 8.答案为：892； 解析：原式=(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°=44＋12=892. 9.答案为：2；解析：因为tan(3π＋α)=tan(π＋α)=tan α=2，所以原式=sin αsin α－cos α=tan αtan α－1=22－1=2. 10.答案为：π2； 解析：由题意得3cos A=3sin A ， ① cos A=3cos B ，②由①得tan A=33，∴A=π6.由②得cos B=cos π63=12，∴B=π3.∴C=π2.11.解：∵角α的终边经过点P(－4，3)，∴tan α=y x =－34， ∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)=－sin αsin α－sin αcos α=tan α=－34. 12.解：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α=－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α=－sin α， ∴sin α·cos α=60169，即2sin α·cos α=120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α=1，② ①＋②得(sin α＋cos α)2=289169， ②－①得(sin α－cos α)2=49169. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α=1713，③ sin α－cos α=713，④ ③＋④得sin α=1213，③－④得cos α=513. 13.解：∵sin(π＋α)=－sin α=－13，∴sin α=13. (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α=－sin α=－13. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=cos α，cos 2α=1－sin 2α=1－19=89. ∵sin α=13，∴α为第一或第二象限角. ①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α=cos α=223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=cos α=－223. (3)tan(5π－α)=tan(π－α)=－tan α，∵sin α=13，∴α为第一或第二象限角. ①当α为第一象限角时，cos α=223， ∴tan α=24，∴tan(5π－α)=－tan α=－24. ②当α为第二象限角时，cos α=－223，tan α=－24， ∴tan(5π－α)=－tan α=24. 14.答案为：－34； 解析：∵sin(α－3π)=2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)=2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)=2cos(－α)，∴sin α=－2cos α且cos α≠0，∴原式=sin α＋5cos α－2cos α＋sin α=－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α=3cos α－4cos α=－34. 15.解：f(α)=sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)=sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α=1sin α. (1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2=15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＋2π=15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α=15， ∴sin α=－15，∴f(α)=1sin α=－5. (2)当α=－1 860°时，f(α)=1sin α=1sin (－1 860°)=1－sin 1 860°=1－sin (5×360°＋60°)=1－sin 60°=－233.。
高中数学1.3三角函数的诱导公式(一)诱导公式二三四教案新人教A版必修4
３ 三角函数的诱导公式（一）诱导公式二三四一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系；会利用诱导公式进行化简、求值。
教学目的：引导学生如何利用三角函数线探讨上述关系；教学意义：培养学生数形结合的思想。
二、教学过程１．理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系①,,πααπα+--与α终边的对称性；②观察三角函数线的关系：相等、相反；③得出关系式。
απ+ α- απ- α 关于原点对称 关于x 轴对称关于y 轴对称 三角函数线正弦线、余弦线互为相反 正切线相同 正弦线、正切线互为相反 余弦线相同 正切线、余弦线互为相反 正弦线相同诱导公式 ααπααπααπtan )tan(;cos )cos(;sin )sin(=+-=+-=+ 公式二 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan αααααα-=--=-=- 公式三 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan πααπααπαα-=-=--=-公式四④总结：,,πααπα+--的三有函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
２．利用诱导公式一二三四求值、化简例 ①=︒225cos ；②π311sin ＝ ；③)316sin(π-＝ ；④=︒-)2040cos( 。
①22-；②23-；③23；④21-。
例 )180cos()180sin()360sin()180cos(︒--︒--︒++︒αααα＝ ；１ 三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．在ABC ∆中，31cos =B ，则)cos(C A +等于（ Ｂ ） Ａ．31 Ｂ．31- Ｃ．322 Ｄ．322-２．求)417sin()417cos(ππ---的值。
2 ３．在ABC ∆中，2cos sin =+A A ，)cos(2cos 3B A --=π，求ABC ∆的三个内角。
人教版高中数学高一A版必修4导学案 1.3三角函数的诱导公式(第2课时)
第2课时 诱导公式五、六1.理解和掌握诱导公式五、六的内涵及结构特征，掌握这两个诱导公式的推导和记忆方法.2.会初步运用诱导公式五、六求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦.“符号看象限”是把α看成锐角时原三角函数值的符号.【做一做1－1】 已知sin 25.7°＝m ，则cos 64.3°等于( )A.mB.－mC.m 2D.1－m 2【做一做1－2】 已知cos 10°＝a ，则sin 100°＝________.答案：cos α sin α cos α －sin α 锐角【做一做1－1】 A【做一做1－2】 a1.对诱导公式五、六的认识剖析：(1)公式五和公式六可概括如下：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名改变(正余互变)，符号看象限”.(2)把α看成锐角，实际上α可以为任意角.(3)公式五或公式六的作用：可以实现正弦函数与余弦函数的转化，在三角恒等变化中，起到改变函数名称的作用.2.记忆六组诱导公式剖析：因为任意一个角都可以表示为k ·π2＋α(其中|α|＜π4，k ∈Z )的形式，所以六组诱导公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0～π4之间角的三角函数求值问题.2k π＋α＝4k ·π2＋α，－α＝0·π2－α，π±α＝2·π2±α，π2±α＝1·π2±α，则这六组诱导公式也可以统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k ·π2±α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指k 的奇偶性.如sin ⎝⎛⎭⎫11π2＋α中的k ＝11是奇数，且把α看成锐角时，11π2＋α是第四象限角，第四象限角的正弦值是负数，所以sin ⎝⎛⎭⎫11π2＋α＝－cos α.题型一 求值【例1】 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－α的值. 分析：由于⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫π3－α＝π2，所以考虑用公式五化简求值. 反思：已知关于α的三角函数值，求其他三角函数时，通常利用角的整体代入.由于⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫π3－α＝π2,则借助于诱导公式,且6πα+表示3πα-,从而顺利解决.若2k παβ±=()k ∈Z ,则已知α与β中任意一个角的三角函数值,就可利用整体代入求出另一个角的三角函数值.题型二 化简三角函数式【例2】 化简cos ⎝⎛⎭⎫52π－αcos(－α)sin ⎝⎛⎭⎫32π＋αcos ⎝⎛⎭⎫212π－α＝__________. 题型三 证明三角恒等式【例3】 求证：tan(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos(6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α. 分析：解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行化简推出右边．题型四 易错辨析易错点 诱导公式的使用【例4】 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝a,0＜α＜π2，求sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α. 错解：∵0＜α＜π2，∴－π4＜π4－α＜π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＞0， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－a 2，sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－a 2.错因分析：对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不好，在sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π4－α中，要把“π4－α”看成锐角来确定三角函数值符号． 反思：诱导公式共有六组16个公式，公式较多，易错记错用(如本题错解)，特别是诱导公式右边的符号要记准．答案：【例1】 解：∵π6＋α＋π3－α＝π2， ∴π3－α＝π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 【例2】 －1原式＝cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π2－αcos αsin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎣⎡⎦⎤10π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos α－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin αcos α－cos αsin α＝－1. 【例3】 证明：左边＝tan (－α)(－sin α)cos (－α)－cos αsin α＝(－tan α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan α＝右边， ∴原等式成立．【例4】 正解：∵0＜α＜π2，∴－π4＜π4－α＜π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＞0， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－a 2，sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－1－a 2.1．已知πsin 2α⎛⎫+⎪⎝⎭＝34，则πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝__________. 2．化简15ππsin cos()229π3πsin cos 22αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝__________. 3．已知πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝35， 那么πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是__________． 4．求证：πsin cos(π)2πsin sin(π)2θθθθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝21tan θ-. 5．已知角α的终边经过点P (－4,3)，求πcos sin(π)211π9πcos sin 22αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．答案：1.34 ∵πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α＝34， ∴πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos α＝34. 2．－1 原式＝ππsin 8πcos 22ππsin 4πcos π22αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝πsin sin 2ππsin cos 22αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝cos sin cos [(sin )]αααα---＝－1. 3．35- ∵ππ44αα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝π2， ∴α＋π4＝ππ24α⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ππcos 24α⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝πsin 4α⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝35-. 4．证明：左边＝cos cos cos sin θθθθ+-＝2cos cos sin θθθ-＝21tan θ-＝右边，∴原等式成立． 5．解：∵角α的终边经过点P (－4,3)，∴tan α＝y x ＝34-. ∴原式＝sin sin sin cos αααα-⋅-⋅＝tan α＝34-.。
高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案 新人教A版必修4 学案
某某省某某市三水区实验中学高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案新人教A版必修4【学习目标】1.掌握任意角的三角函数的定义。
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
【重点难点】1. 熟练求值。
2. 理解任意角的三角函数的定义。
【预习指导】1．阅读教材第11～13页。
2．回顾初中学过的锐角三角函数的定义？（如图）在Rt△ABC中，sinA= ,cosA= , tanA= .3．思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？点的位置对这三个比值有影响吗？4．在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。
【合作探究】1. 例题研讨：例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值：π、4π、3π、53π(讨论求法→试求（学生板演）→订正)ABC→小结：画角的终边与单位圆，求交点，求值.例2：已知角α的终边经过点P(-4,-3)，求角α的正弦、余弦和正切值.（学生试求→订正→小结解法）2. 任意角的三角函数的定义：①思考：已知角α终边上任意一点P (x, y)，如何求它的三角函数值呢?②定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝.③讨论：这三个比值与点P的位置是否有关？当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？任何实数是不是都有三角函数值？为什么？【达标测评】(参考《全优》P7)1.若角α终边上有一点P(0,3)，则下列函数值无意义的是() A．tan α B．sin αC．cos α D．无法确定2.已知角α的终边经过点P(m,-3)，且cosα=-45,则m等于( )A．－114 B.114C．-4 D．43.若点P(4，y)是角α终边上一点，且sin α＝－35，则y的值是________．【归纳小结】单位圆定义任意角的三角函数；2.由终边上任一点求任意角的三角函数；【巩固练习】（各班可按实际情况安排）1．练习：教材P15：1，3；2．作业：教材P15：2.第二课时：任意角的三角函数（二）【学习目标】1. 掌握各象限的三角函数值的符号。
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2019-2020学年高中数学 三角函数诱导公式学案2 新人教A 版必
修
4
二、重点、难点
重点: 借助于单位圆，推导出正弦、余弦相互转化的诱导公式。
难点: 利用诱导公式解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。
三、教学过程 引入新课 1函数名称 )(2Z k k ∈+πα
α-
απ-
απ+
αsin
αcos
αtan
2．（1）=6
sin π
_____；=3
cos π
_____。
（2）=4
sin
π
_____；=4
cos
π
_____。
（3）=0sin _____；=2
cos
π
_____。
那么能否将锐角推广到任意角呢？
猜测公式五： 。
3．角6π与3
π
的终边有何关系？利用单位圆，画出三角函数线，证明你的结论。
4．（1）=65sin
π_____；=3cos π_____。
（2）=43sin π_____；=4cos π_____。
（3）=65cos π_____；=3sin π_____。
（4）=43cos π_____；=4
sin π_____。
x
y
O
知识链接：初中学习过，任意锐角的正弦
值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值
等于它的角的正弦值。
由2π
βα=
+得απ
β-=
2
，
)2cos(sin απα-=，)2
sin(cos απ
α-=
猜测公式六： 。
5．你能否用公式二和五证明你猜测的公式六？
例题剖析 例1．求证：（1）ααπcos )2
3sin(-=+
（2）ααπsin )2
3cos(=+
例2．已知3
1)75cos(=+α
，且︒-<<︒-90180α，求)15cos(α-
的值。
例3．已知a x =+)6
sin(π
，求)3
(sin )65sin(
2x x -+-π
π。
课堂小结
1. 公式一~四可以用一段话来概括:_______,_____,________的三角函数值，等于α的
同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
2. 公式五和六可以概括为：_________的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦（正弦）
函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
课堂自测 1．已知4log )sin(8
1=-απ且)0,2
(π
α-
∈，则αtan 等于（ ）
A 、
5
2
2 B 、－
55
2
C 、±
5
5
2 D 、
2
5 2．已知3
2
)sin(=
-πα，则)2cos(πα-的值是（ ） A 、－
3
5
B 、35
C 、±3
5
D 、
3
2
3.
=+-⋅--)2
cos()2sin()sin()cos(απ
πααππα___________ 4.求证：ααπsin )23cos(-=-，ααπcos )2
3
sin(-=-。
5.化简：（1）
)
cos()3sin()
cos()sin()2sin(απαπαπαπαπ----+-
（2）
)
3tan()2
sin(
)sin()2cos(απαπ
απαπ-++-。