第三部分 多自由度系统的振动

则系统的微分方程为
CX KX Q MX
系统的特征矩阵为
2.5k 2 m 1.5k 0 H K 2 M 1.5k 3.5k 2 m 2k 2 0 2 k 3 k m
第三部分 多自由度系统的振动 5 例题 响应求解 Kq F(t) 某振动系统的运动微分方程为：Mq
(r )

1
r
u
(r )
r u
( r )T
Mu( r )
正则振型
主振型 正则化因子
组成正则振型矩阵
u u
(1)
u
(2)
u
(n )
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： (4)用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）
q t uη t 令 代入无阻尼自由振动系统，并用uT左乘方程
第三部分 多自由度系统的振动 2 多自由度系统特征值问题（固有频率及固有振型） 按无阻尼自由振动方程进行求解 固有频率求解：
Kq 0 Mq
( 2 ) det( K 2 M ) 0
2 n a1 2( n1) a2 2( n2) an1 2 an 0
第三部分 多自由度系统的振动 5 例题 求解振动方程 k1 k 4 k 图示三自由度有阻尼受迫振动系统。已知： k 2 1.5k , k3 2k , m1 m2 m3 m 试建立该系统的振 动微分方程，并写出系统的特征矩阵。
k1 Q1
r1
m1
k2 r2
x1
Q2
m2
k3 r3 x2
正则振型 一个很简便的正则化方法就是令
u
有
( r )T
Mu
(r )
1
(r 1, 2,, n)
(r 1, 2,, n)
u( r )T Ku( r ) r2
第三部分 多自由度系统的振动 3 固有振型的正交性（主振型）
u( s )T Mu(r ) 0 (r s )
u( r )T Mu(r ) M r
r1 r2 C r2 0 r2 r2 r3 r3
1 x1 0 x Q1 X x X x r3 Q Q2 2 2 3 x3 x Q r3 r4 3 x1 X x 2 x3
dr
0
dr 1 r r 0 u
2 r
r T
Mq0 ,
r 0 u
r T
0 Mq
经过上述步骤可求得正则坐标下的响应
η(t) 1 (t ) 2 (t ) n (t )
T
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 (5)变换为原坐标下的响应
第三部分 多自由度振动系统
基本知识点
1 多自由度系统运动微分方程
2 多自由度系统特征值问题（固有频率及固有振型） 3 固有振型的正交性 4 对多自由度系统振动求响应 5例题
第三部分 多自由度系统的振动 1 多自由度系统运动微分方程
Cq Kq Q Mq
●牛顿力学方法： 这种方法必须考虑约束反力并画出物体系统的受力 图，对于一些简单问题，采用这种方法比较直观简便。 ●分析力学方法： 这种方法首先应该合理选取系统的广义坐标，然后 根据拉格朗日方程等分析力学方法，建立系统的运动方 程，由于这种方法仅涉及动能、势能和功等标量形式的 物理量，对于复杂的多自由度振动系统建立运动微分方 程较为方便。 d T T U ( j 1 , 2 , , n ) Q ( t ) j q q dt q j j j
H rj j
1Baidu Nhomakorabea
2 r jr rj tg 2 2 1 j r r r
1
1 j 2
2 2 2 r
r
jr
2
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 3）任意激励 r 0 rrr 0 r r t r t e sin dr t r 0 cos dr t dr 1 t r r t N e sin dr t d r
0.679 0.6066 1.000
试用模态分析法求对应于二阶振型的强迫振动解。
第三部分 多自由度系统的振动 5 例题 响应求解 对应第二阶主质量和主刚度分别为
2m (2)T M p 2 u Mu(2) 0.679 0.6066 1 0 0 5k (2)T K p 2 u Ku(2) 0.679 0.6066 1 2k 0
固有振型求解： 将求得的固有频率r (r=1,2,…,n)分别代入下面的方 程，得
( K M )u
2 r
(r )
0 (r 1, 2,, n)
第三部分 多自由度系统的振动 振型向量可以排列成为n阶方阵，称为模态矩阵(或 振型矩阵)，即
(1) u u
u(2) u( n )
r 0 r t r 0 cos r t sin r t r


r
1
t 0
N r sin r t d
(5.6-14)
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 各正则坐标下单自由度有阻尼振动系统对各种激振的 响应 1）简谐激励（稳态响应）
1）简谐激励，
F t F0 sin t
2 r r
r t 2 rr r t t N0r sin(t )
r 1,2,, n
N0r u
r T
F0
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： 2）周期激励，F t F (t jT )
r t
N0 r

2 r
1 2
2 2 r r r
1
2
sin t r
2 r r r tg 1 r2
r r
N0r u
r T
F0
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 2）周期激励（稳态响应） 1 a0 r t 2 H rj j a j cos jt rj b j sin jt rj r 2 j 1 式中
r t 2 rr r t r t
2 r
a0 N r t a j cos j t b j sin j t 2 j 1 r 1,2,, n
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： 3）任意激励，
r t t 0 (r 1,2,,n)
2 r r
T u Muη t u kuη t 0 T
代入无阻尼任意激振振动系统，并用uT左乘方程
r t r2r t N r t (r 1,2,, n)
T T u Muη t u Kuη t u F t N(t) T
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： (2)求系统的特征值和特征向量（固有频率及主振型）
( ) det( K M ) 0
2 2
( K r2 M )u(r ) 0 (r 1, 2,, n)
(3)将固有振型转换成正则振型
u
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： (1)列出振动微分方程 无阻尼自由振动系统 无阻尼任意激振 振动系统 有阻尼各种激励振 动系统
Kq 0 Mq
t Kq t F t Mq
t Cq t Kq t F t Mq
2 r t 2 rrr t r r t Nr (t )
r 1,2,, n
(5)按单自由度相关方法求各正则坐标下的响应 各正则坐标下单自由度自由振动系统，对初始条件的 响应 1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件
η0 u q0 T η0 u Mq0 ,
1
0 u1q 0 η T 0 u Mq 0 η
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 2）初始条件响应求解公式
r 0 r t r 0 cos r t sin r t (r 1,2,,n) r
各正则坐标下单自由度无阻尼任意激振振动系统的响 应 1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件 2）任意激振响应求解公式
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： 代入有阻尼各种激励振动系统，并用uT左乘方程 （阻尼应为比例阻尼、振型阻尼）
T T T u Muη t u Cuη t u Kuη t u F t N(t) T
Q3
m3
k4 r4 x3
解：
m1 M 0 0
0 m2 0
0 0 m3
k1 k2 K k2 0
k2 k 2 k3 k3
k3 k3 k 4 0
第三部分 多自由度系统的振动 5 例题 求解振动方程
u
u Mu M1 Mr M2 Mn
T
( s )T
Ku
(r )
0
(r s )
uT Ku K1 Kr K2 Kn
u( r )T Ku(r ) Kr
第三部分 多自由度系统的振动 3 固有振型的正交性（正则振型） u( s )T Mu(r ) 0 (r s ) u( r )T Mu( r ) 1
q t uη(t) u r t
r
r 1
n
u11 u12 u1n u u u 21 22 2n 1 (t ) 2 (t ) n (t ) un1 un 2 unn
u( s )T Ku(r ) 0
(r s )
u( r )T Ku(r ) r2
M r u Mu
T
K r uT Ku 12 2 2 Λ 2 n
1 1 I 1
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的类型： 无阻尼振动系统对初始条件的响应 无阻尼振动系统对任意激励的响应 有阻尼振动系统对各种激励的响应 （简谐激励、周期激励、任意激励）
5k 0 0 2m K 2 k 其中， M 0 1 . 5 m 0 0 m 0 0 2 k 3k k 0 k k
0 F(t) Q sin t 2 0
u'(2) 已知该振动系统的二阶振型为，