常微分方程和差分方程解法归纳
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
常微分方程的解法总结总结
常微分方程的解法总结前言常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是研究一阶或高阶导数与未知函数之间关系的数学方程。
在物理学、工程学和计算机科学等领域，常微分方程扮演着重要的角色。
解决常微分方程是这些领域中许多问题的关键。
本文将总结常用的常微分方程解法方法，帮助读者加深对常微分方程的理解并提供解决问题的思路。
一、可分离变量法可分离变量法是一种常见且简单的求解常微分方程的方法。
它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程。
解题思路：1.将方程写成dy/g(y) = f(x)dx的形式，将变量进行分离。
2.两边同时积分得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3.求出积分后的表达式，并整理得到解 y 的表达式。
使用这种方法解决常微分方程的步骤相对简单，但要注意确认分母不为零以及选取合适的积分常数。
二、特殊方程类型的求解除了可分离变量法，常微分方程还存在一些特殊的方程类型，它们可以通过特定的方法进行解决。
1. 齐次方程齐次方程是指形如dy/dx = F(y/x)的方程。
其中，F(t) 是一个只有一个变量的函数。
解题思路：1.令 v = y/x，即 y = vx。
将方程转化为dy/dx = F(v)。
2.对于dv/dx = F(v)/x这个方程，可以使用分离变量法进行求解。
3.求出 v(x) 后，将其代入 y = vx 得到完整的解。
2. 齐次线性方程齐次线性方程是指形如dy/dx + P(x)y = 0的方程。
解题思路：1.使用积分因子法求解，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。
2.求积分因子的方法是根据公式μ = e^(∫P(x)dx)，其中 P(x) 是已知的函数。
3.通过乘积的方式求解完整的方程。
3. 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
解题思路：1.使用积分因子法，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。
第6章 常微分方程与差分方程
第六章 常微分方程与差分方程 一、基本盖帘 1.常微分方程含有自变量、自变量未知函数及未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程，当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程 2．微分方程的阶在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶 3.微分方程的解若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程称为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解。
通常要求微分方程的解具有和该微分方程的阶数同样阶数的连续导数 4.微分方程的通解和特解含有与微分方程的阶数同样个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解，不含任意常数的解，称为微分方程的特解 5.微分方程的初始条件给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件，称为微分方程的初始条件，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同二、一阶微分方程一阶微分方程的基本类型是变量可分离的方程和一阶线性微分方程，而齐次微分方程可通过变量代换为变量可分离的方程 （一）变量可分离的方程 1.变量可分离方程的概念称为变量可分离的方程或dy y N x Q dx y M x P y g x f y )()()()()()('==2.变量可分离方程的特解⎰⎰⎰⎰+=+=≠≠方程的通解就是分别上述两个微分分，然后求积分，所得积端，把变量分离分别同除微分方程的两或时，用或用变量分离法：当,)()()()()()()()()(0)()(,0)(C dx x Q y P dy y M y N C dx x f y g dyy N x Q y g y N x Q y g（二）齐次微分方程1.齐次微分方程的标准形式)('xy f y =2.齐次微分方程的求解丢掉解，在求解过程中不要常数的解也是原微分方程的或注意：即可得到原方程的通解换回最后把可得通解于是有则首先作变量代换，令)()(0)(,0)(;0)(ln )()(','',u u f y M x Q y g xyu Cx C x dxu u f du u u f xu xu u y xyu -===+=+=--=+==⎰⎰(三)一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程的标准形式性微分方程否则称为一阶非齐次线方程，称为一阶齐次线性微分即方程，当其中的自由项0)(',0)()()('=+≡=+y x p y x q x q y x p y 2.一阶线性微分方程的求解[]，即得通解公式两端积分后再同乘乘积的导数公式同乘方程的两端，根据，积分因子法，用方法：性微分方程的通解公式代入即得一阶非齐次线积分可求出满足微分方程，把它代入原来的非齐次解即设非齐次微分方程的该为函数把其中的常数的通解，性微分方程先求对应的一阶齐次线：常数变易法方法公式：公式法直接利用通解方法⎰⎰=+⎰=⎰+⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰+==⎰⎰=⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰⎰-----dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p e e x q y x p y e e x yp e y ye e e x q C e y e x q C x C x q e x C x C e x C y x C C Ce y y x p y e x q C e y )(-)()()()()()()()()()()()()()()()(')(''3)()()(),()(')()(),(0)('2)(1三、线性微分厂房解的性质与结构二阶线性方程的一般形式均为连续函数，其中)(),(),()()(')(''x f x q x p x f y x q y x p y =++ 否则称为非齐次方程称二阶线性齐次方程，当右端项0)(≡x f的特解是则的两个特解与分别是方程与，设解的性质（叠加原理）)()()(')('')()()()(')('')()(')('')()(.121212121x f x f y x q y x p y x y x y x f y x q y x p y x f y x q y x p y x y x y +=+++=++=++是非齐次方程的解则其的任意特解一阶、二阶为齐次方程的一个特解，一阶、二阶为非齐次方程若的特解一阶、二阶是对应齐次方程则其差的两个特解一阶、二阶为非齐次方程，若的解一阶、二阶仍为齐次方程则其线性组合的两个特解一阶、二阶为齐次方程，若)()()()()()()3()()(-)()()()()2()()()()()()()1(2121221121x y x y x y x y x y x y x y x y x y C x y C x y x y ++**为任意常数其中的通解为解，则二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的特由二阶齐次方程的通解为个线性无关的特解，则为二阶非齐次方程的两，若为任意常数解，其中是一阶非齐次方程的通则个特解是一阶非齐次方程的一又的通解为特解，则一阶齐次方程是一阶齐次方程的非零设通解的结构212211*********,)()()()()()()()()2()()()(),()()1(.2C C x y x y C x y C y x y x y C x y C y x y x y C x y x Cy y x y x Cy y x y ****++=+=+==四、二阶常系数齐次线性微分方程（一）二阶常系数齐次线性微分方程的形式,0)(')(''2=++=++q p q p y x q y x p y λλ为常数，其特征方程为，其中分方程二阶常系数齐次线性微（二）二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式 依据特征方程判别式的符号，其通解有三种形式为两个任意实数，其中，通解，特种方程有共轭复根，通解，特种方程有重根，通解，的实根，特种方程有两个相异212121*********),sin cos ()(04.3)()(04.2)(04.11121C C x C x C e x y i q p e x C C x y q p e C e C x y q p x xx x βββαλλλλλλλλ+=±-=∆+===-=∆+=-=∆五、二次常系数非齐次线性微分方程（一）二阶常系数非齐次微分方程的一般形式自由项已知函数，称为方程的的为一个不恒等于为常数，，其中微分方程二阶常系数非齐次线性0)(,)()(')(''x f q p x f y x q y x p y =++（二）二阶常系数非齐次微分方程的通解形式为待定系数次多项式，为系数待定的表中的B A n x R n ,)(六、含变限积分的方程对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解七、差分的概念及其性质 （一）差分的概念tt t t t t t t t t t t t t t t t t n t y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t t f y +-=--=∆-∆=∆∆=∆-=∆∆-=++++++++1211212112102)(-)()(,...,,...,,,)(二阶差分分，记为的差分，也称为一阶差称为函数差个数列，则其值可以排列成一记其函数值为取所有的非负整数，并中的自变量设函数（二）差分的性质tt t t t t t t t t t t t t z y y z z y y z z y b a z b y a bz ay ∆+∆=∆+∆=⋅∆∆+∆=+∆++11)()2(,,)()1(为常数其中八、一阶常系数线性差分方程（一）一阶常系数线性差分方程的概念及一般形式0),(11=+≠=+++t t t t ay y a t f ay y 对应的齐次方程为其中常数式为线性差分方程的一般形分方程，一阶常系数及其差分方程，称为差自变量，自变量未知数同微分方程类似，含有（二）一阶常系数线性差分方程的通解与特解tt t t t t t t t t t t a C y y y t f ay y a C y C y C a C y ay y )()()(,)(010001-+==+-==-==+**++通解之和，与对应齐次方程的一个特解其通解也是非齐次方程对于非齐次方程即为满足该条件的特解则定初始条件是一个任意常数，若给，其中的通解齐次方程为下表总结了几种常见情形下非齐次方程特解所应具有的形式形式两种情况来设定特解的他们可以分别归结为前，而当，或当是两个待定系数和次多项式，是待定系数的上表特解中t m M t N t M M t N t M B A m t Q )1(sin cos ,sin cos 20)(-=+∏==+∏==ωωωωωωω九、常考题型及其解题方法与技巧题型一、变量可分离的方程与齐次微分方程的解法 题型二、一阶线性微分方程的解法题型三、有关线性微分方程解的性质及解的机构问题题型四、二阶常系数线性微分方程的解法题型五、含变限积分方程的求解题型六、由自变量与因变量增量间的关系给出的一阶方程题型七、综合题与证明题题型八、一阶常系数线性差分方程的解法题型九、微分方程的应用问题。
考研微分方程知识点浓缩
考研微分方程知识点浓缩微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、经济学和工程学等领域。
在考研数学中，微分方程是必备的知识点之一。
本文将从常微分方程、偏微分方程和常见的解法等方面进行总结和浓缩。
一、常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是只涉及一元函数的微分方程。
常微分方程的求解涉及到初值问题和边值问题两种情况。
1.1 一阶常微分方程常见的一阶常微分方程形式包括：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和一阶齐次线性方程等。
其求解方法如下：1）可分离变量方程：将变量分离后进行积分求解。
2）齐次方程：使用变量代换后，将方程转化为可分离变量方程求解。
3）线性方程：使用积分因子法求解线性方程。
4）伯努利方程：通过变量代换，将方程转化为线性方程求解。
1.2 二阶常微分方程二阶常微分方程是一阶常微分方程的推广。
常见的二阶常微分方程形式包括：线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和二阶常系数非线性齐次方程等。
其求解方法如下：1）线性常系数齐次方程：设解的形式，代入方程后解得常数。
2）线性常系数非齐次方程：通过求齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
3）二阶常系数非线性齐次方程：一般采用变量代换的方法将方程转化为线性方程求解。
二、偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是涉及多元函数的微分方程。
常见的偏微分方程包括：一维波动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程等。
2.1 一维波动方程一维波动方程是描述波的传播规律的方程。
其一般形式为：∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u(x, t)表示波函数，c为波速。
2.2 一维热传导方程一维热传导方程是描述热量传导规律的方程。
其一般形式为：∂u/∂t = α²∂²u/∂x²，其中u(x, t)表示温度分布，α为热扩散系数。
常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dx dy=中的二元函数),(y x f 可表示为)()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dxdy=为可分离变量的方程。
对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dx x g y h dy)()(=的形式，再对此式两边积分得到C dx x g y h dy +=⎰⎰)()(从而解出)()(y h x g dxdy=的解，其中C 为任意常数。
具体例子可参考书本P10—P11的例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dxdy=+为一阶线性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(=+y x P dxdy，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到⎰=-dxx P Ce y )(，其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如⎰=-dx x P e x C y )()(的解。
将其代入)()(x Q y x P dxdy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---这其实也就是⎰='dxx P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(，于是将其回代入⎰=-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy=+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。
微分方程与差分方程_详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
常微分方程与差分方程
一阶方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
相关定理
f(x)的形式 及特解形式
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第5页
差分方程解题思路
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29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第7页
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数， 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
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29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第13页
定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
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29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第8页
2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
差分方程与微分方程的求解
求解 1. 求差分方程满足初值问题之解：11232133123123(1)3()()()(1)2()()(1)()()2()(1)(1)1,(1)0x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x x x +=-+⎧⎪+=+⎪⎨+=-+⎪⎪===⎩ 解：原差分方程组可化为:112233(1)311()(1)201()(1)112()x n x n x n x n x n x n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭则令311201112-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求矩阵A 的特征值及特征向量 设特征值分别为123,,λλλ，对应的特征向量分别为123β,β,β.则231121(2)(1)0112λλλλλλ---=-=--=--A E可解得1232,2,1λλλ===设1λ对应的特征向量1111a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β，则满足111111022101100a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭可化简为11100a b c -=⎧⎨=⎩，令111a b ==可以得到特征向量1110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β同理可得到特征向量2110-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭β，3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β设方程组的通解为：111222333()nnnx n c c c λλλ=++βββ代入特征值、特征向量，可得到方程组的通解为：123110()21211001n n x n c c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入初值条件：123(1)(1)1,(1)0x x x ===得到12123322122110n n n n n c c c c c c ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得123120c c c ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可以令11c =，所以212c =；综上所述，满足方程初值方程组的解为：11()210n x n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2. 求差分方程之通解：2(4)2(2)()32nx n x n x n n n+-++=-+ 解：原方程的特征方程为：42210λλ-+= 即22(1)0λ-=从而求得特征根为11λ=-（二重），21λ=（二重） 因此原方程所对应的齐次方程的通解为：()(1)()1()n n xn A Bn C Dn =-+++ 即 ()(1)()nxn A Bn C Dn =-+++ 而原方程的特解为2(4)2(2)()3x n x n x n n +-++=-的特解1()x n与(4)2(2)()2n x n x n x n n +-++=的特解2()x n 之和.从而原方程具有如下的特解形式：221201201()()()()2()n x n x n x n n A n A n A B n B =+=++++将特解形式代入原方程，可得0010120014811922402244883914890A A A A A AB B B =⎧⎪+=⎪⎪++=-⎨⎪=⎪⎪+=⎩，从而0120114816124194881A A A B B ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=-⎪⎩综上，原方程的通解为22111148()()()(1)()()2()48624981n n x n xn x n A Bn C Dn n n n n =+=-++++-++- 3. 求微分方程满足初值问题之解：211212212121120d d d 320d d d d d 20d d d (0)1,-1,(0)0d t x x x x x tt t xx x x t t x x x t =⎧++++=⎪⎪⎪++-=⎨⎪⎪===⎪⎩解：方法一：降阶法令13d d x x t =，则原方程组可表示为：13323122312d d d d 320d d d 20d x x t xx x x x tt x x x x t ⎧=⎪⎪⎪++++=⎨⎪⎪++-=⎪⎩化简得：132123323d d d 2d d 22d x x t xx x x t x x x t ⎧=⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=--⎪⎩它的系数矩阵为001211022⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，特征方程是01211(2)(2)(1)0022λλλλλλλ--=---=+-++=---A E特征根为1232,2,1λλλ=-==-求得特征根所对应的特征向量分别为1102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T ，21221⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭T ，31121⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T .故方程组的通解为1222123311()121()e 0e 2e 221()1t t t x t x t C C C x t --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭根据初值1120d (0)1,-1,(0)0d t x x x t====得12312323112211202C C C C C C C C ⎧++=⎪⎪-+-=-⎨⎪⎪-+=⎩解得123112,,463C C C === 则原方程组的解为：22122112()e e e 412311()e e 33t t t t tx t x t ---⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩方法二：消元法设dd t λ=，则原方程组可化为21212(32)(1)0(1)(2)(1)0(2)x x x x λλλλλ⎧++++=⎨++-=⎩(1)(2)λ-得21(2)(21)0(3)x λλλ++--= (2)(3)-得22(2)0x λλ--=解得两个特征根为122,1λλ==- 则2x 可表示为：2212e e ttx C C -=+ 根据初值2(0)0x =得22e e ttx C C -=- 将2x 代入(2)得212e 2e ttx C C λ-+=+ 即211d 2e 2e (4)d t t x x C C t-+=+ 下面用常数变易法求解(4) 先解对应齐次方程11d 20d x x t+=得齐次通解211e t x C -= 由常数变易法，令211(t)etx C -=为非齐次方程(4)的解，代入后得221()e e 2e t t t C t C C --'=+积分得41()e 2e 4tt C C t C =+ 则（4）的通解为2211e e 2e 4t tt C x C C --=++ 根据初值110d (0)0,-1d t x x t===得112142212C C C C C C ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+-=-⎪⎩解得11314C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则221112()e e e 4123t t tx t --=++ 将13C =代入22e e t tx C C -=-得方程组的解为 22122112()e e e 412311()e e 33t t t t tx t x t ---⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩4. 利用待定系数法求解下列初值问题之解：Td (),(0)(0,1)d xA x f t x t=+= 其中TT 1235(,),,()(e ,0)53t x x x A f t -⎛⎫===⎪-⎝⎭解：方法一：待定系数法原方程组所对应的齐次方程组为112212d 35d d 53d x x x tx x xt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩特征方程235(3)25053λλλλ--==-+=--A E求得特征根为1,235i λ=±下求135i λ=+所对应的特征向量，设112αα⎛⎫=⎪⎝⎭ξ 则111225i 50()55i 0ααλαα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 从而可取11α=，则2i α= 于是由132()1e (cos5isin 5)()i t x t t t x t ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到齐次方程的通解为：11322()cos5sin 5e ()sin 5cos5t xt C t t x t C t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭下求非齐次方程的特解利用待定系数法，可设特解为12()e ()e t t x t A x t B --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将其代入原方程组，可得e 3e 5e ee 5e 3et t t tt t tA AB B A B -------⎧-=++⎪⎨-=-+⎪⎩ 即451540A B A B +=-⎧⎨-=⎩,从而求得441541A B ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因此原方程的通解为113224()cos5sin 541e e ()sin 5cos5541t t x t C t t x t C t t -⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ 代入初值条件T(0)(0,1)x =得到1240415141C C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而124414641C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上，原方程组满足初值条件的解为：13244()cos5sin 54141e e ()sin 5cos54654141t t x t t t x t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法二：常数变易法利用常数变易法，可设特解为11322()()cos5sin 5e ()()sin 5cos5t x t C t t t x t C t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 带回到原方程，可得到132()cos5sin 5e e ()sin 5cos50t tC t t t C t t t -'⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而1132()cos5sin 5e e cos5e ()sin 5cos50e sin 5t t t t C t t t t C t t t t ----'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭进而4142()e cos5()e sin 5t tC t t C t t --'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭两边积分可得414254()e (sin 5cos5)414145()e (sin 5cos5)4141t t C t t t C t t t --⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩因此原方程组的通解为111222()()()()()()x t xt x t x t x t x t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13254sin 5cos5cos5sin 5cos5sin 54141e e sin 5cos5sin 5cos545sin 5cos54141t t t t C t t t t C t t t t t t -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭-- ⎪⎝⎭344cos5sin 54141e e sin 5cos54654141t t t t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入初值条件T(0)(0,1)x =得到1240415141C C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而124414641C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上，原方程组满足初值条件的解为13244()cos5sin 54141e e ()sin 5cos54654141t t x t t t x t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
微分方程与差分方程方法
第四章 微分方程与差分方程方法第一节 微分方程模型我们在数学分析中所研究地函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间地一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到地大量实际问题往往不能直接写出量与量之间地关系,却能比较容易地建立这些变量和它们地导数(或微分>间地关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分>地关系式称为微分方程.§4.1.1微分方程简介这一节,我们将介绍关于微分方程地一些基本概念. 一、微分方程地阶数首先我们具体地来看一个微分方程地例子.例4-1 物体冷却过程地数学模型将某物体放置于空气中,在时刻0=t ,测量得它地温度为C u 00150=,10分钟后测量得温度为C u 01100=.我们要求决定此物体地温度u 和时间t 地关系,并计算20分钟后物体地温度.这里我们假定空气地温度保持为C u 024=α.解:根据物理学中地牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高地物体向温度低地物体传导。
一个物体地温度变化速度与这一物体地温度与其所在介质温度地差值成正比.设物体在时刻t 地温度为)(t u u =,则温度地变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化地微分方程)(αu u k dtdu--=(4.1.1> 其中0>k 是比例常数.方程(4.1.1>中含有未知函数u 及它地一阶导数dtdu,这样地方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现地未知函数最高阶导数地阶数称为微分方程地阶数.方程)(33t f cy dt dyb dty d =++(4.1.2> 中未知函数最高阶导数地阶数是三阶,则方程(4.1.2>称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程如果在微分方程中,自变量地个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程。
自变量地个数为两个或两个以上地微分方程称为偏微分方程.方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T (4.1.3> 就是偏微分方程地例子,其中T 是未知函数,x 、y 、z 都是自变量.而方程(4.1.1>(4.1.2>都是常微分方程地例子.三、线性与非线性微分方程如果n 阶常微分方程0),,,,(=n n dxyd dx dy y x F (4.1.4>地左端为关于未知函数y 及其各阶导数地线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般地n 阶线性微分方程具有形式)()()()(1111x f y x a dx dyx a dx y d x a dx y d n n n n n n =++++--- (4.1.5> 其中)1( )(),(n i x f x a i =是关于x 地已知函数.当()0f x =时,称(4.1.5>为n 阶齐次线性微分方程。
微分方程分类及解法
微分方程分类及解法微分方程是数学中重要的一类方程，广泛应用于自然科学、工程、社会科学等领域中的各种问题。
在掌握微分方程的基本概念和解法后，我们可以更好地理解实际问题中的潜在规律和机理。
本文将介绍微分方程的分类及解法。
一、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只有一个自变量的函数的微分方程，即只与时间、位置、速度等单一变量有关。
常微分方程按阶次可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$其中y是自变量x的函数，f(x,y)是给定的函数。
高阶常微分方程可表示为：$$F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0$$其中，y是自变量x的函数，n代表微分方程的阶数，y', y'' ,..., y^{(n)}分别表示y的一阶、二阶、n阶导数。
偏微分方程是包含多个自变量的函数的微分方程，通常是用来描述物理现象中的区域上的行为和变化。
偏微分方程按类型可分为椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程。
椭圆型偏微分方程形式为：$$A\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$该方程描述的是各方向的扩散速度都一样的过程，比如稳态情况下的热传导方程。
抛物型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是运动物体的一维热流方程、空气粘弹性和海浪向上传播等。
双曲型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是颤动或波动过程，比如振动问题或波动方程等。
第十二讲 常微分方程和差分方程
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
一、主要内容——微分方程
一阶方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程
待 特征方程的根 定 及其对应项 系 数 法 f(x)的形式及其
线性方程 解的结构
相关定理
4. 线性方程
特解形式
微分方程解题思路
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
(1) 形如 y P ( x ) y Q( x ) y 0
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 数）
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
定理 3
设y * 是( 2) 的一个特解, Y 是与(2) 对应
* 的齐次方程 (1) 的通解 , 那么 y Y y 是二阶
非齐次线性微分方程(2) 的通解.
定理 4 设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函 数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x )
数学分析中的微分方程解法
数学分析中的微分方程解法数学分析是数学的重要分支之一，其中微分方程是数学分析的核心内容之一。
微分方程是描述自然界中变化规律的数学模型，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
本文将介绍微分方程的解法，并探讨其中的数学原理和应用。
一、常微分方程的解法常微分方程是指只涉及一个自变量的微分方程。
常微分方程的解法主要有解析解和数值解两种方法。
1. 解析解解析解是指通过数学方法得到的精确解。
对于一阶常微分方程，我们可以使用分离变量、齐次方程、一阶线性微分方程等方法求解。
分离变量法是常微分方程最常用的解法之一。
通过将方程中的变量分离到等式两边，再进行积分，即可得到解析解。
例如，对于一阶线性微分方程dy/dx = f(x)，我们可以将方程改写为dy/f(x) = dx，然后对两边同时积分，即可得到解析解。
齐次方程是指方程中只包含未知函数及其导数的方程。
对于齐次方程，我们可以通过变量代换的方法将其转化为分离变量的形式，然后进行积分求解。
一阶线性微分方程是指方程中未知函数及其导数的系数均为一次多项式的方程。
我们可以通过积分因子的方法将一阶线性微分方程转化为一个可直接积分的形式，从而求得解析解。
对于高阶常微分方程，我们可以通过变量代换、特解叠加原理、常系数线性微分方程等方法求解。
其中，特解叠加原理是指将高阶常微分方程的解表示为其特解与齐次方程的通解之和。
2. 数值解数值解是指通过数值计算方法得到的近似解。
对于一些复杂的微分方程，往往无法通过解析解求解，这时我们可以使用数值方法进行求解。
常见的数值方法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后利用差分逼近的方法求解。
数值解的精度取决于步长的选取，步长越小，精度越高。
二、偏微分方程的解法偏微分方程是指涉及多个自变量的微分方程。
偏微分方程的解法相对复杂，常用的方法有分离变量法、特征线法、变换法等。
分离变量法是偏微分方程最常用的解法之一。
通过假设解为多个函数的乘积形式，然后将偏微分方程转化为多个常微分方程，再分别求解，最后将得到的解合并即可。
第三章 微分方程及差分方程方法
2、 y = f ( x, y) 型的微分方程
这种方程的特点是不显含未知函数 y ，求解的方法是：
令 y p(x) ，则 y p(x) ，原方程化为以 p(x) 为未知函数的一阶微分方程
p f (x, p) ．
用 y 除以方程的两边得 y y p(x) y1 q(x) ，令 z y1 ，则有
3
1 z p(x)z q(x) ， 1 即 z (1 ) p(x)z (1 )q(x) ． 此为关于 z 的线性方程，求得解 z z(x,C) 后，用 y1 代替 z，即得伯努利方程的 通解．
4
y dp dp dy p dp ． dx dy dx dy
这样就将原方程化为 p dp f ( y, p) ，这是一个关于变量 y, p 的一阶微分方程．设 dy
它的通解为 y p ( y,C1) ．这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的
通解
(
dy y, C1 )
x
C2
．
四、常系数齐次线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程
称方程 y py qy 0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其中 p 、q 是常数，
求其通解的步骤归纳如下：
a.写出与方程相应的特征方程 r2 pr q 0 ；
b.求出特征方程的两个特征根 r1 与 r2 ； c.如果两个实根 r1 r2 ，则通解为 y C1 er1x C2 er2x ；如果两个实根 r1 r2 ，则通
u( x) e p(x)dx q( x)
解之得 u(x) q(x) e p(x)dxdx C ，代入 y u(x) e p(x)dx ，得
常微分方程和差分方程
详细描述
差分方法将微分方程转化为离散化的差分方 程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近 微分方程的解。该方法适用于大规模问题，
且具有较高的计Leabharlann 效率和精度。05 常微分方程与差分方程的 并行计算
并行计算的基本概念
并行计算
指在同一时间段内处理多个任务或计算多个 数据的方法，以提高计算效率和速度。
并行计算模型
总结词
龙格-库塔方法是一种迭代方法，通过构造一系列近似解来逼近微分方程的精确解。
详细描述
龙格-库塔方法采用了一种更加稳定和精确的方法来逼近微分方程的解，它通过在每个时间步长内应用 一系列线性插值来改进近似解。该方法对于刚性和非刚性微分方程都适用，且具有较高的精度和稳定 性。
差分方法
总结词
差分方法是基于离散化时间或空间的数值方 法，通过将微分方程转化为差分方程来求解 。
常见的并行计算模型包括分布式计算、多线程计算 、GPU加速计算等。
并行计算的优势
通过并行计算，可以显著提高大规模计算任 务的执行效率和速度，减少计算时间。
并行计算在常微分方程中的应用
并行求解常微分方程
01
利用并行计算技术，可以将常微分方程的求解过程分解为多个
子任务，并同时处理这些子任务，从而加快求解速度。
初值问题与解的存在唯一性
初值问题
给定函数在某点的初始值，求解该函数在初始点附近的性质。
解的存在唯一性
对于适当的初值问题，存在唯一的解满足给定的条件。
一阶常微分方程
定义
只含有一个导数的一阶常微分方程。
求解方法
通过积分、代入法、分离变量法等求解。
高阶常微分方程
定义
包含未知函数的高阶导数的常微分方 程。
2023年常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1.一阶微分方程部分①可分离变量方程（分离变量法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称为可分离变量旳方程。
)()(),(y h x g y x f =)()(y h x g dx dy =对于此类方程旳求解我们首先将其分离变量为旳形dx x g y h dy )()(=式，再对此式两边积分得到从而解出C dx x g y h dy +=⎰⎰)()()()(y h x g dx dy =旳解，其中C 为任意常数。
详细例子可参照书本P10—P11旳例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称由此形成旳微分方程y x P x Q y x f )()(),(-=为一阶线性微分方程，尤其地，当时我们称其)()(x Q y x P dxdy =+0)(≡x Q 为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于此类方程旳解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程，这是可分离变量旳方程，两边积分即可得到0)(=+y x P dxdy ，其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程旳⎰=-dx x P Ce y )(特殊状况，两者旳解存在着对应关系，设来替代C ，于是一阶线)(x C 性非齐次微分方程存在着形如旳解。
将其代入⎰=-dx x P e x C y )()(我们就可得到)()(x Q y x P dx dy =+这其实也就是)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，再对其两边积分得，于是将其⎰='dx x P e x Q x C )()()(C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(回代入即得一阶线性微分方程旳通解⎰=-dx x P e x C y )()()()(x Q y x P dx dy =+。
常微分方程和差分方程
社会科学领域
将常微分方程和差分方程应用于 社会科学领域，如人口动力学、 经济学、社会学等。
交叉学科研究
结合其他数学分支和工程学科， 开展交叉学科研究，以解决复杂 系统的建模和预测问题。
THANKS
感谢观看
矩阵法
将差分方程转化为矩阵形式，利用矩阵的性质求解未知数，适用 于多变量差分方程。
差分方程的应用
01
经济预测
差分方程可以用于描述经济现象 的离散时间变化规律，如预测股 票价格、市场需求等。
02
03
生物学研究
工程问题
差分方程在生物学研究中被广泛 用于描述种群增长、基因遗传等 现象。
在控制工程、电路分析等领域， 差分方程被用于描述离散时间系 统的动态行为。
05
常微分方程和差分方程的未来发展
数值计算方法的改进
数值稳定性
研究和发展更稳定、更精确的数值计算方法，以 解决常微分方程和差分方程的数值求解问题。
多重网格方法
利用多重网格技术加速求解过程，提高计算效率 和精度。
自适应步长控制
根据求解过程的需要，动态调整步长，以实现更 高效的数值计算。
理论解的研究
微分方程的解法
分离变量法
将方程中的变量分离，转化为易于求解的一 阶微分方程。
积分因子法
通过引入积分因子，将高阶微分方程转化为 低阶微分方程或一阶微分方程组。
参数方法
通过引入参数，将微分方程转化为易于求解 的参数方程。
幂级数法
将未知函数表示为幂级数，然后逐项求导， 代入原方程求解。
微分方程的应用
物理问题
间，f 表示经济模型。
实例三：生态问题中的常微分方程和差分方程
要点一
常微分方程与差分方程
嘉兴学院
17 June 2019
第十章 常微分方程与差分方程
例 1 求( x2 ), 2 ( x2 ), 3 ( x2 ).
解 设y x 2，则
第4页
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1
2 yx 2( x2 ) (2x 1)
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
4
yx zx
zxyx yxzx zx zx1
zx1yx yx1zx zx zx1
可参照导数的四则运算法则学习
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第十章 常微分方程与差分方程
第18页
例 8 确定下列方程的阶 (1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx f x 2
f x 0
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第十章 常微分方程与差分方程
第24页
1.n阶齐次线性差分方程解的结构
yxn a1( x) yxn1 an1( x) yx1 an ( x) yx 0 1
第十章 常微分方程与差分方程
第9页
证明（3）
yx zx
yx1 zx1 yx zx
yx1 zx1 yx zx1 yx zx1 yx zx
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常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dx dy=中的二元函数),(y x f 可表示为)()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dxdy=为可分离变量的方程。
对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dx x g y h dy)()(=的形式，再对此式两边积分得到C dx x g y h dy +=⎰⎰)()(从而解出)()(y h x g dxdy=的解，其中C 为任意常数。
具体例子可参考书本P10—P11的例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dxdy=+为一阶线性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(=+y x P dxdy，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到⎰=-dxx P Ce y )(，其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如⎰=-dx x P e x C y )()(的解。
将其代入)()(x Q y x P dxdy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---这其实也就是⎰='dxx P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(，于是将其回代入⎰=-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy=+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。
具体例子可参照书本P16—P17的例题。
③一阶齐次型微分方程（变量代换）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 满足对于一切非零实数t 都有等式),(),(y x f ty tx f =成立，我们称一阶微分方程),(y x f dxdy=为一阶齐次型微分方程。
对于此类微分方程的解法，我们一般利用变量代换的方法将其化为一阶可分离变量的方程然后再相应求解。
事实上，如果我们令xt 1=于是)(),1(),(x y x y f y x f ϕ==。
于是一阶齐次型微分方程),(y x f dx dy =可表示为)(x y dx dy ϕ=然后令xy u =将其化为一阶可分离变量微分方程。
具体过程如下：令dx du x u dx dy xu y x y u +===,，则，代入方程)(xydx dy ϕ=可得)(u dx du x u ϕ=+也就是x u u dx du -=)(ϕ，它的通解是易求得的，求出它的通解之后将xyu =回代就可得到一阶齐次型微分方程),(y x f dxdy=的通解。
当然，有时候我们令y t 1=于是)()1,(),(xyx y f y x f ψ==。
于是一阶齐次型微分方程),(y x f dxdy=可表示为)(y x dx dy ψ=也就是）yx dy dx (1ψ=此时令dy dv y v dy dx y x v +==，则，代入方程）yx dy dx (1ψ=可得)(1v dy dv y v ψ=+然后再依次求解。
有时候后者的代换方法会更简洁，当然两者的解法本质上是没有区别的，具体求解时可以灵活地运用。
具体例子可参看书本P20—P22的例题。
④伯努利方程（变量代换）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 满足等式)1,0(,)()(),(≠-=n y x P y x Q y x f n ，我们就称由此形成的微分方程)1,0(,)()(≠=+n y x Q y x P dxdyn 为伯努利方程。
对于此类方程的求解，我们可以通过变量替换将其转化为一阶线性微分方程求解。
我们可以在方程)1,0(,)()(≠=+n y x Q y x P dxdyn 两边同除以n y ，可以将方程变形为)()(1x Q y x P dxdy ynn=+--即)()()(1111x Q y x P dx y d n n n =+---。
我们令n y z -=1，于是方程即)()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+利用一阶线性微分方程)()(x Q y x P dxdy =+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(可得)()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+的通解，再将n y z -=1回代就得到了伯努利方程)1,0(,)()(≠=+n y x Q y x P dxdyn 的通解。
具体例子可参照书本P22—P23的例题。
⑤变量代换方法的应用----其他类型的齐次微分方程形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y b x a by ax f dx dy11的方程也是齐次方程。
对于这种类型的方程通过简单的代换就可以化为一阶齐次型微分方程来进行求解。
我们讨论更一般的情形，对于形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=111c y b x a c by ax f dx dy的齐次方程，我们令βηαξ+=+=y x ,，其中βα,为待定常数，可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=11111c b a b a c b a b a f dx dyβαηξβαηξ，可以选取适当的βα,使得⎩⎨⎧=++=++00111c b a c b a βαβα 当011≠-=∆b a ab 时，βα,有唯一解，可以化上面的方程为齐次方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ηξηξξη11b a b a f d d ，求解此方程，并将βηαξ-=-=y x ,代回就得到齐次方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=111c y b x a c by ax f dx dy的解。
当011=-=∆b a ab 时要分两种情况讨论。
情况一：若01≠b ，则k b b a a ==11。
原方程可以化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=11111)(c y b x a c y b x a k f dx dy。
令,11y b x a z +=则)(111x a z b y -=得到变量可分离的方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛-1111c z c kx f a dx dz b ，然后按照相应的解法即可求解。
情况二：若01=b ，则b a 与1中至少有一个为0.当0=b 时，原方程为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=11c x a c ax f dx dy是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。
当0≠b 时，可以令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=a dx dz b dx dy by ax z 1,，原方程就变为了⎪⎭⎫⎝⎛-a dx dz b 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=11c x a c z f 这是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。
具体例子可参看书本P24—P25的例题。
2. 可降阶的高阶微分方程部分（主要讨论二阶微分方程）① 形如)()(x f y n =的微分方程对于形如)()(x f yn =的微分方程，我们可以连续对等式两边积分n 次便可以求得其含有n 个任意常数的通解为n n n n C n x C n x C dx x f y ++-+-+∙∙∙=--⎰⎰⎰...)!2()!1()(2211 个积分符号。
具体例子可参看书本P28例题。
②形如),(y x f y '=''的微分方程一般二阶微分方程可以表示为),,(y y x g y '=''，当因变量y 不显含时形成了如),(y x f y '=''的不显含因变量y 的二阶微分方程。
我们可以通过变量代换来进行降阶。
我们令dx dp y y p ='''=,，于是方程可化为),(p x f dxdp=，这是一个以p 为未知函数，以x 为自变量的一阶微分方程，我们可以容易求得。
设其通解为),(1C x p ϕ=，则),(1C x dxdyϕ=。
两边积分就得到原方程的通解为21),(Cdx C x y +=⎰ϕ。
其中21,C C 为任意常数。
具体可参看书本P28—P30例题（注意例4！！）③形如),(y y f y '=''的微分方程与不显含因变量y 的二阶微分方程的定义类似，我们把形如),(y y f y '=''的微分方程称为不含自变量x 的二阶微分方程。
我们仍然通过变量代换来求解此类方程。
我们令dy dp p dx dy dy dp dx dp y y p =∙=='''=,，于是方程可化为),(p y f dydpp =，这是一个关于y p ,的一阶微分方程，我们可以容易求得。
设其通解为),(1C y p ψ=，则由dxdyy p ='=可得dx C y dy =),(1ψ，两边积分就得到原方程的通解为21),(C x C y dy+=⎰ψ。
其中21,C C 为任意常数。
具体例子可参看书本P32—P34例题。
注：在可降阶的微分方程求解问题中，在消去所设的变元如p 时我们一定要注意是否会丢失0=p 的解。
3. 线性微分方程在介绍线性微分方程的解法之前有必要先介绍线性微分方程解的结构与性质。
我们直接介绍n 阶线性微分方程)()()(...)(1)1(1)(x f y x a y x a y x a yn n n n =+'+++--的解的结构与性质。
对于区间],[b a 上的n 个函数)(......)()()(321x y x y x y x y n 、、、、，若存在n 个不全为0的常数n k k k k 、、、、......321使得在],[b a 上有0)(1≡∑=ni ii x y k ，我们就称这n 个函数在区间],[b a 上是线性相关的，否则就是线性无关的。
此外对于n 阶线性微分方程)()()(...)(1)1(1)(x f y x a y x a y x a yn n n n =+'+++--的系数)()(...)()(121x a x a x a x a n n 、、、-都为常数是我们称该方程为n 阶线性常系数方程，否则为n阶线性变系数方程。