常微分方程和差分方程解法归纳

常微分方程解法归纳

1. 一阶微分方程部分

① 可分离变量方程（分离变量法）

如果一阶微分方程),(y x f dx dy

=中的二元函数),(y x f 可表示为)

()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dx

dy

=为可分离变量的方程。

对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为

dx x g y h dy

)()

(=的形式，再对此式两边积分得到

C dx x g y h dy +=⎰⎰)()(从而解出)()(y h x g dx

dy

=的解，其中C 为任意常数。 具体例子可参考书本P10—P11的例题。

②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）

如果一阶微分方程),(y x f dx

dy

=中的二元函数),(y x f 可表示为

y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dx

dy

=+为一阶线

性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。

对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程

0)(=+y x P dx

dy

，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到⎰=-dx

x P Ce y )(，其中C 为任意常数。这也是一阶线性

非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性

非齐次微分方程存在着形如⎰=-dx x P e x C y )()(的解。将其代入)()(x Q y x P dx

dy =+我们就可

得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---这其实也就是

⎰

='dx

x P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dx

x P +⎰

=⎰

)()()(，于是将其回代入

⎰

=-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy

=+的通解⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。 具体例子可参照书本P16—P17的例题。

③一阶齐次型微分方程（变量代换）

如果一阶微分方程),(y x f dx

dy

=中的二元函数),(y x f 满足对于一切非零实数t 都有等

式),(),(y x f ty tx f =成立，我们称一阶微分方程),(y x f dx

dy

=为一阶齐次型微分方程。

对于此类微分方程的解法，我们一般利用变量代换的方法将其化为一阶可分离变量的方程然后再相应求解。

事实上，如果我们令x

t 1

=于是)(),1(),(x y x y f y x f ϕ==。于是一阶齐次型微分方程

),(y x f dx dy =可表示为)(x y dx dy ϕ=然后令x

y u =将其化为一阶可分离变量微分方程。具体过程如下：令dx du x u dx dy xu y x y u +===,，则，代入方程)(x

y

dx dy ϕ=可得

)(u dx du x u ϕ=+也就是x u u dx du -=

)(ϕ，它的通解是易求得的，求出它的通解之后将x

y

u =回代就可得到一阶齐次型微分方程),(y x f dx

dy

=的通解。

当然，有时候我们令y t 1=

于是)()1,(),(x

y

x y f y x f ψ==。于是一阶齐次型微分方程),(y x f dx

dy

=可表示为

)(y x dx dy ψ=也就是）y

x dy dx (1ψ=此时令dy dv y v dy dx y x v +==，则，代入方程

）

y

x dy dx (1

ψ=可得)(1v dy dv y v ψ=+然后再依次求解。有时候后者的代换方法会更简洁，当然两者的解法本质上是没有区别的，具体求解时可以灵活地运用。

具体例子可参看书本P20—P22的例题。

④伯努利方程（变量代换）

如果一阶微分方程

),(y x f dx

dy

=中的二元函数),(y x f 满足等式)1,0(,)()(),(≠-=n y x P y x Q y x f n ，我们就称由此形成的微分方程

)1,0(,)()(≠=+n y x Q y x P dx

dy

n 为伯努利方程。 对于此类方程的求解，我们可以通过变量替换将其转化为一阶线性微分方程求解。我们可以在方程

)1,0(,)()(≠=+n y x Q y x P dx

dy

n 两边同除以n y ，可以将方程变形为)()(1x Q y x P dx

dy y

n

n

=+--即

)()()(1111x Q y x P dx y d n n n =+---。我们令n y z -=1，于是方

程即

)()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+利用一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx

dy =+的通解⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(可得)()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+的通解，再将n y z -=1回代就得到了伯努利方程

)1,0(,)()(≠=+n y x Q y x P dx

dy

n 的通解。 具体例子可参照书本P22—P23的例题。

⑤变量代换方法的应用----其他类型的齐次微分方程

形如

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=y b x a by ax f dx dy

11的方程也是齐次方程。对于这种类型的方程通过简单的代换就可以化为一阶齐次型微分方程来进行求解。我们讨论更一般的情形，对于形如

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++=111c y b x a c by ax f dx dy

的齐次方程，我们令βηαξ+=+=y x ,，其中βα,为待定常数，可得

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++++++=11111c b a b a c b a b a f dx dy

βαηξβαηξ，可以选取适当的βα,使得⎩⎨⎧=++=++00111c b a c b a βαβα 当011≠-=∆b a ab 时，βα,有唯一解，可以化上面的方程为齐次方程

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ηξηξξη

11b a b a f d d ，求解此方程，并将βηαξ-=-=y x ,代回就得到齐次方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=111

c y b x a c by ax f dx dy

的解。当011=-=∆b a ab 时要分两种情况讨论。 情况一：若01≠b ，则

k b b a a ==11。原方程可以化为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++=11111)(c y b x a c y b x a k f dx dy

。令,11y b x a z +=则)(111x a z b y -=

得到变量可分离的方程⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛++=⎪⎭

⎫

⎝⎛-1111c z c kx f a dx dz b ，然后

按照相应的解法即可求解。

情况二：若01=b ，则b a 与1中至少有一个为0.当0=b 时，原方程为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=11c x a c ax f dx dy

是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。当0≠b 时，可以令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=a dx dz b dx dy by ax z 1,，原方程就变为了⎪⎭⎫

⎝⎛-a dx dz b 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=11

c x a c z f 这是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。

具体例子可参看书本P24—P25的例题。