第六章 线性变换.
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第六章 线性空间与线性变换
（7） (k + l)α＝kα＋lα , k,l ∈ F ； （8） k(lα )＝(kl)α ，
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
6.6 线性变换的值域与核
1 0
证：设A是n维线性空间V的一个线性变换 在一 组基 1 , 2 , , n 下的矩阵，即
1 , 2 , , n , ( 1 , 2 , , n , ) A
由
A A,
2
知
2
.
任取 (V ), 设 ( ), V , 则 ( ) ( ( )) ( ) ( )
2
从而
1
2 / 3
1
0,
1
2
0
1
1 2 1 2 / 3 2 3 ,
2 1 2 2 4
是
( 0 ) 的一组基.
1
( 0 ) L 1 , 2 .
再求 (V ). 由于 的零度为2 ，所以 的秩为2， 即 (V )为2维的. 又由矩阵A，有
( 1 ) 1 2 3 2 4
( 2 ) 2 2 2 3 2 4
所以， ( 1 ), ( 2 ) 线性无关， 从而有
(V ) L ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 )
因此， (V ) L ( 1 ), ( 2 ), , ( n ) .
2）由1）， 的秩等于基象组 ( 1 ), ( 2 ), , ( n )
的秩，又
( 1 ), ( 2 ), , ( n ) ( 1 , 2 , , n , ) A .
由第六章§5的结论3知， ( 1 ), ( 2 ), , ( n ) 的秩 等于矩阵A的秩. ∴ 秩( ) ＝秩 ( A ).
线性代数第六章第二节二次型化为标准型的三种方法
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变．
问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标 准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实 对称矩阵的性质，求出二次型 的特征值和规范正交的特征向量， 条件要求较强，当研究一般数域P上的二次型(包括实二次型) 的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征 值问题，只需反复利用以下两个初等公式
零多项式，故 可化为标准型.
含有平方项，这归结为情形1，
推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同. 证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
3 初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
只作列 变换
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
时,解方程组
得基础解系
当
时,解方程组
得基础解系
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵
由
构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面. 注意：化f为标准形的正交变换不唯一.
问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标 准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实 对称矩阵的性质，求出二次型 的特征值和规范正交的特征向量， 条件要求较强，当研究一般数域P上的二次型(包括实二次型) 的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征 值问题，只需反复利用以下两个初等公式
零多项式，故 可化为标准型.
含有平方项，这归结为情形1，
推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同. 证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
3 初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
只作列 变换
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
时,解方程组
得基础解系
当
时,解方程组
得基础解系
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵
由
构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面. 注意：化f为标准形的正交变换不唯一.
第六章 线性变换
ξ = x1α 1 + x 2α 2 + ⋯ + x nα n
σ (ξ )仍是 的一个向量，设 仍是V的一个向量 的一个向量，
过标坐标来 刻画
σ (ξ ) = y1α 1 + y2α 2 + ⋯ + ynα n
σσ
−1
= σσ
−1
=t
§6.3 线性变换和矩阵
教学目标：渗透现代代数学同构、 教学目标：渗透现代代数学同构、代数表示论的思 和化归的数学思想方法， 想，和化归的数学思想方法，让学生了解 向量空间的线性变换关于基的矩阵之间的 关系，理解矩阵相似这一重要概念， 关系，理解矩阵相似这一重要概念，掌握 线性变换关于基的矩阵和线性变换作用下 的向量关于基的坐标的计算方法。 的向量关于基的坐标的计算方法。 重 线性变换关于基的矩阵之间的关系， 点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵 相似概念， 相似概念，线性变换关于基的矩阵和线性 变换作用下的向量关于基的坐标的计算。 变换作用下的向量关于基的坐标的计算。 线性变换关于基的矩阵之间的关系， 点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵 相似概念。 相似概念。
证明：显然 σ是R 2 到R 3 的一个映射。
σ (aξ + bη ) = aσ (ξ ) + bσ (η ) ∵由σ (aξ + bη ) = σ (aξ ) + σ (bη ) = aσ (ξ ) + bσ (η )
∴ σ是R 2 到R 3 的一个线一个线性
又 ∀a, b ∈ R, ∀ξ = (x 1, x 2 ),η = ( y1 , y 2 ) ∈ R ,
从而一个线性变换的任何非负整数幂都有意义
设f ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x ,
工程数学第六章 线性变换
第六章
工
程
数
学
例5. 下列变换：
σ1:(a1, a2, …, an) →(a1, 0, 0, …, 0); σ2:(a1, a2, …, an) →(a1, a2, a3, …, an−1, 0); σ3:(a1, a2, …, an) → k(a1, a2, a3, …, an); σ4:(a1, a2, …, an) → ( ∑ b1 j a j , ∑ b2 j a j ,L, ∑ bnj a j )
= k1σ (α1 ) + k 2σ (α 2 ) + L + k sσ (α s );
(3) 若α1, α2, …, αs 线性相关，则 σ (α1 ), σ ( α2), …, σ ( αs)也线性相关.
第六章
工
程
数
学
§2 线性变换和矩阵
R2 中变换σ (x, y)=(2x+y, x−3y) 是一个线性变换.
x' cosθ = y ' sin θ
象的坐标
− sin θ x cos θ y
原象的坐标 第六章
工
程
数
学
二、象与原象的坐标变换公式
设 ξ∈V, ξ 在基α1, α2, …, αn下的坐标为(x1, x2, …, xn ), 设 σ (ξ )在基 α1, α2, …, αn下的坐标 为 (y1, y2, …, yn ), 则
y1 y2 M =A y n
σ(α)
的 坐 标
x1 x2 M x n
α
的 坐 标 第六章
σ
的 矩 阵
工
程 定理1 定理
工
程
数
学
例5. 下列变换：
σ1:(a1, a2, …, an) →(a1, 0, 0, …, 0); σ2:(a1, a2, …, an) →(a1, a2, a3, …, an−1, 0); σ3:(a1, a2, …, an) → k(a1, a2, a3, …, an); σ4:(a1, a2, …, an) → ( ∑ b1 j a j , ∑ b2 j a j ,L, ∑ bnj a j )
= k1σ (α1 ) + k 2σ (α 2 ) + L + k sσ (α s );
(3) 若α1, α2, …, αs 线性相关，则 σ (α1 ), σ ( α2), …, σ ( αs)也线性相关.
第六章
工
程
数
学
§2 线性变换和矩阵
R2 中变换σ (x, y)=(2x+y, x−3y) 是一个线性变换.
x' cosθ = y ' sin θ
象的坐标
− sin θ x cos θ y
原象的坐标 第六章
工
程
数
学
二、象与原象的坐标变换公式
设 ξ∈V, ξ 在基α1, α2, …, αn下的坐标为(x1, x2, …, xn ), 设 σ (ξ )在基 α1, α2, …, αn下的坐标 为 (y1, y2, …, yn ), 则
y1 y2 M =A y n
σ(α)
的 坐 标
x1 x2 M x n
α
的 坐 标 第六章
σ
的 矩 阵
工
程 定理1 定理
线性空间及线性变换
i
是V1的一组基, 1 , 2 , , l 是V2的一组基.
(1) V1+V2的基与维数. 令矩阵 A ( 1 , 2 , , k , 1 , 2 , , l ) ,求A的秩,则 V1+V2的维数等于A的秩r,A中r个线性无关的列即为 V1+V2的基. (2) V1∩V2的基与维数. 令 x 1 1 x 2 2 x k k y 1 1 y 2 2 y l l ,解这 个方程组求它的一个基础解系: (xi1,xi2,…,xik,yi1,yi2,…,yil)/,i=1,2,…,d,d=k+l-r,则 z y i=1,2,…,d是V1∩V2的一组基, V1∩V2的维数等于 d=k+l-r. 4.线性变换的值域与核 线性变换/A的值域 / AV { y | y V , y / A , V } ,/A的 核/A-1(0)={y|y∈V,/Ay=0}.
二、基本方法 1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2 只要证明以下两点: (1)V1∩V2={0}; (2)dimV=dimV1+dimV2. 2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成 元组 , , , ,然后证明 , , , 线性无关.
f ( ) ( 1 ) ( 2 )
r1 r2
生成
( s )
rs
则V可分解为A的不变子空间的直和
V=V1 △V2△…△Vs,其中: V i
是A属于 i 的根子空间.
{ X | ( i I A) i X 0, X V }
r
2.子空间的性质 我们用dimV表示线性空间V的维数. (1) 设V1和V2是线性空间V的子空间,则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2). (2) 设V1,V2,…,Vm是线性空间V的真子空间,则必存 在 V ,使 V ,1 i m , (3) 设V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r个线性 无关的向量,且r<m,则可以从u1,u2,…,um中去掉r个向 量,使剩下的m-r个向量与v1,v2,…,vr合在一起仍生成 子空间V1. 3.子空间的和与交的基与维数的求法 设V1和V2是线性空间V的子空间, 1 , 2 , , k
是V1的一组基, 1 , 2 , , l 是V2的一组基.
(1) V1+V2的基与维数. 令矩阵 A ( 1 , 2 , , k , 1 , 2 , , l ) ,求A的秩,则 V1+V2的维数等于A的秩r,A中r个线性无关的列即为 V1+V2的基. (2) V1∩V2的基与维数. 令 x 1 1 x 2 2 x k k y 1 1 y 2 2 y l l ,解这 个方程组求它的一个基础解系: (xi1,xi2,…,xik,yi1,yi2,…,yil)/,i=1,2,…,d,d=k+l-r,则 z y i=1,2,…,d是V1∩V2的一组基, V1∩V2的维数等于 d=k+l-r. 4.线性变换的值域与核 线性变换/A的值域 / AV { y | y V , y / A , V } ,/A的 核/A-1(0)={y|y∈V,/Ay=0}.
二、基本方法 1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2 只要证明以下两点: (1)V1∩V2={0}; (2)dimV=dimV1+dimV2. 2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成 元组 , , , ,然后证明 , , , 线性无关.
f ( ) ( 1 ) ( 2 )
r1 r2
生成
( s )
rs
则V可分解为A的不变子空间的直和
V=V1 △V2△…△Vs,其中: V i
是A属于 i 的根子空间.
{ X | ( i I A) i X 0, X V }
r
2.子空间的性质 我们用dimV表示线性空间V的维数. (1) 设V1和V2是线性空间V的子空间,则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2). (2) 设V1,V2,…,Vm是线性空间V的真子空间,则必存 在 V ,使 V ,1 i m , (3) 设V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r个线性 无关的向量,且r<m,则可以从u1,u2,…,um中去掉r个向 量,使剩下的m-r个向量与v1,v2,…,vr合在一起仍生成 子空间V1. 3.子空间的和与交的基与维数的求法 设V1和V2是线性空间V的子空间, 1 , 2 , , k
线性代数课件 第六章 线性空间与线性变换——第1节
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律， 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 上的向量空间（或线性空间）． 么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
设α , β , γ ∈ V ; λ , µ ∈ R
(1) α + β = β + α ;
( 2) (α + β ) + γ = α + ( β + γ );
例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S n = x = ( x1 , x2 ,⋯, xn ) x1 , x2 ,⋯ , xn ∈ R 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 λ ( x1 ,⋯, xn )T = (0,⋯ ,0) 不构成线性空间． 不构成线性空间． n S 对运算封闭. 但1 x = o, 不满足第五条运算规律 .
（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运 一个集合， 算不是通常的实数间的加乘运算， 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律． 否满足八条线性运算规律． 正实数的全体， 例６ 正实数的全体，记作 R + ，在其中定义加法 及乘数运算为 a ⊕ b = ab, λ a = a λ , (λ ∈ R, a , b ∈ R + ). 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 证明 ∀a , b ∈ R + , ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R + ;
线
性
代
数
第六章 线性空间与线性变换
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 某一类事物从量的方面的一个抽象， 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间， 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 问题．
第六章信号线性变换
6.2 电压/电流变换器（VCC） 和电流/电压变换器（CVC）
6.2.1 电压/电流变换器（VCC）
电压/电流变换器（VCC）用来将电压信号变换为与 电压成正比的电流信号。
用途：
① 常用作传感器或其他检测电路中的基准（参考）恒流源， ② 在磁偏转的示波装置中常用来将线性变化电压变换成扫 描用的线性变化电流 ③ 在控制系统中作为可控电流源驱动某些执行装置，如记 录仪记录笔的偏转和电流表的偏转。
第6章 信号线性变换
6.1 概述 6.2电压/电流变换器（VCC）
和电流/电压变换器（CVC）
6.3波形变换
6.4电压/频率变换（VFC）
与频率/电压变换（FVC）
本章学习要点
1. 信号线性变换的条件与结果； 2. 信号线性变换的应用； 3. 各种电压/电流变换电路的特点与设计； 4. 各种电流/电压变换电路的特点与设计； 5. 波形变换电路的设计及应用； 6. 电压/频率变换与频率/电压变换的原理、 电路设计与应用。
6.4.1 电压/频率变换电路 （VFC）
1 VI T1 VB R1C1
T T1 T2 T1 R1C1
VB VI
f0
V1 1 T R1C1VB
6.4.2频率/电压变换电路 （FVC）
V0 T1VR f i
AD650
二、负载接地型电压/电流变换器
uO u I RF R u L (1 F ) R1 R1
R2 // Z L R3 ( R2 // Z L )
u L i L Z L uO
uI iL
RF R1
R3 R Z L F Z L R3 R2 R1
若取
RF R3 R1 R2
线性变换
例1. 设V是数域P上的线性空间,c是数域P中的一个常 数，定义变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
A : ∀α ∈ V Aα = cα
则 A为V的一个变换。通常称为数乘变换 。 当 c = 1 时，称上面的数乘变换为恒等变换。并记为 ε 当 c = 0 时，称上面的数乘变换为零变换。并记为θ
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
第六章
线
性
变
换
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
2006年制作
第六章 线性变换 线性变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
内容
1．线性变换的概念 线性变换的概念 2．线性变换与矩阵 线性变换与矩阵 3．线性变换的特征子空间﹑值域和核 线性变换的特征子空间﹑ 线性变换的特征子空间 4．欧氏空间的正交变换和对称变换 欧氏空间的正交变换和对称变换
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
2006年制作
二、线性变换与矩阵 线性变换与矩阵
（2）
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
由
x1 x1 + x2 A1 x2 = x3 有： x x 3 1 2 2 3 A1α1 = 0 , A1α 2 = 0 , A1α 3 = 1 2 1 1
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
2006年制作
一、线性变换的概念 线性变换的概念
例2 . 设 V = P[ x]是实数域R上的全体一元实系数多项 式组成的实线性空间，定义微分变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
第六章线性变换及若当标准形
又对于任意的v??有????????2121???????????mm??????但对任意的j有ommj??????????2211????因此mmm????????????kerkerker212211????????故omm?????????2211????也即???2211mm?????????所以mv???imimim21?????
91
（1）充分条件 定理 11 若数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换 有 n 个不同的特征值，则 可对角化。 定理 12 若数域 P 上 n 阶矩阵 A 的特征多项式 f ( ) 有 n 个单根，则 A 可对角 化。 （2）充要条件 关于线性变换： 定理 13 数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换 可对角化的充要条件是 有 n 个线性无关的特征向量。 定理 14 数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换 可对角化的充要条件是 V 可 以分解成不同特征值的特征子空间的直和：
的属于特征值 i 的线性无关的特征向量， i 1,2,, s ，则 11 , 12 , , 1k ,
1
21 , 22 , , 2 k ,, s1 , s 2 , , sk 线性无关。
2i s
6．特殊矩阵的特征值 （1） 上（下）三角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素； （2） 幂零矩阵的特征值全为零； （3） 幂等矩阵的特征值全是 0 或 1； （4） （5） （6） （7） 对合矩阵的特征值全是 1 或 1 ； 实对称矩阵的特征值全为实数； 实反对称矩阵的特征值是 0 或纯虚数； 正交矩阵的特征值的模为 1。
92
1
E A 的所有不同的根，即 A 的所有特
第三步：将上述每一个齐次线性方程组的基础解系作为矩阵 P 的列向量，则 P 是可逆矩阵，且 P AP 为对角矩阵。
91
（1）充分条件 定理 11 若数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换 有 n 个不同的特征值，则 可对角化。 定理 12 若数域 P 上 n 阶矩阵 A 的特征多项式 f ( ) 有 n 个单根，则 A 可对角 化。 （2）充要条件 关于线性变换： 定理 13 数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换 可对角化的充要条件是 有 n 个线性无关的特征向量。 定理 14 数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换 可对角化的充要条件是 V 可 以分解成不同特征值的特征子空间的直和：
的属于特征值 i 的线性无关的特征向量， i 1,2,, s ，则 11 , 12 , , 1k ,
1
21 , 22 , , 2 k ,, s1 , s 2 , , sk 线性无关。
2i s
6．特殊矩阵的特征值 （1） 上（下）三角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素； （2） 幂零矩阵的特征值全为零； （3） 幂等矩阵的特征值全是 0 或 1； （4） （5） （6） （7） 对合矩阵的特征值全是 1 或 1 ； 实对称矩阵的特征值全为实数； 实反对称矩阵的特征值是 0 或纯虚数； 正交矩阵的特征值的模为 1。
92
1
E A 的所有不同的根，即 A 的所有特
第三步：将上述每一个齐次线性方程组的基础解系作为矩阵 P 的列向量，则 P 是可逆矩阵，且 P AP 为对角矩阵。
《线性代数》教学课件—第6章 线性空间与线性变换 第四节 线性变换
显然 T(A) B.
变换的概念是函数概念的推广. 例如, 设二元 函数 z = f(x, y) 的定义域为平面区域 G , 函数值域 为 Z , 那么, 函数关系 f 就是一个从定义域 G 到实 数域 R 的变换; 函数值 f( x0 , y0 ) = z0 就是元素 (x0 , y0) 的像, (x0 , y0) 就是 z0 的源; G 就是源集, Z 就是像集.
(2) 如果 T(p) = a0 , 那么 T 也是一个线性变 换. 这是因为
T(p + q) = a0 + b0 = T(p) + T(q) ; T(kp) = ka0 = kT(p). (3) 如果 T1(p) = 1, 那么 T1 是个变换, 但不 是线性变换, 这是因为
T1(p + q) = 1,
证明 设 证1 ,明2 设T(V1n,),则2 有T(V1n,),则2 有Vn 1, 使, 2
性质 5T使1 =T(1 ,)TT=021 =的=全21 ,,体T2 = 2 ,
从而 ST =从{ 而 | Vn , T( )= 0 },
也是 Vn的1 +子空2 =间T.11S++TT称2=为2 T=线T1性(+变1T+换2 2=T) T的(T核1(V+.n),2) T(V
证明 用归证纳明法证用.归当纳法m =证1. , 当结论m显= 然1 ,;结设证论对显毕然 性1 ,质···,3m-若11,·1V··,n,,2km1,-1·,····,,Vknmm,-线k11性, ·R·相·,有关km,-1则 R 有
T(1), T(T2)(,k·1··1, T+(k2Tm()2k亦1+线·1··+性+k相k2m-关21+.m··-·1)+ km-1m-1)
变换的概念是函数概念的推广. 例如, 设二元 函数 z = f(x, y) 的定义域为平面区域 G , 函数值域 为 Z , 那么, 函数关系 f 就是一个从定义域 G 到实 数域 R 的变换; 函数值 f( x0 , y0 ) = z0 就是元素 (x0 , y0) 的像, (x0 , y0) 就是 z0 的源; G 就是源集, Z 就是像集.
(2) 如果 T(p) = a0 , 那么 T 也是一个线性变 换. 这是因为
T(p + q) = a0 + b0 = T(p) + T(q) ; T(kp) = ka0 = kT(p). (3) 如果 T1(p) = 1, 那么 T1 是个变换, 但不 是线性变换, 这是因为
T1(p + q) = 1,
证明 设 证1 ,明2 设T(V1n,),则2 有T(V1n,),则2 有Vn 1, 使, 2
性质 5T使1 =T(1 ,)TT=021 =的=全21 ,,体T2 = 2 ,
从而 ST =从{ 而 | Vn , T( )= 0 },
也是 Vn的1 +子空2 =间T.11S++TT称2=为2 T=线T1性(+变1T+换2 2=T) T的(T核1(V+.n),2) T(V
证明 用归证纳明法证用.归当纳法m =证1. , 当结论m显= 然1 ,;结设证论对显毕然 性1 ,质···,3m-若11,·1V··,n,,2km1,-1·,····,,Vknmm,-线k11性, ·R·相·,有关km,-1则 R 有
T(1), T(T2)(,k·1··1, T+(k2Tm()2k亦1+线·1··+性+k相k2m-关21+.m··-·1)+ km-1m-1)
线性空间与线性变换习题解析
定理: 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是: L对于V中的线性运算封闭.
四、线性空间的基与维数
定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, ···, nV, 满足:
(1) 1, 2, ···, n 线性无关; (2) V中任意元素总可以由1, 2, ···, n线性表示, 则称1, 2, ···, n为线性空间V的一个基, 称n为线性空
第六章 习题课
一、线性空间的定义
定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
则上式可表示为
T(1, 2, ···, n)= (1, 2, ···, n)A
其中
A
=
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
,
则称A为线性变换T在基1, 2, ···, n下的矩阵.
结论: 在Vn中取定一个基后: 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
(1) 任给1, 2Vn , 都有 T(1+2)=T(1)+T(2); (2) 任给Vn , kR, 都有 T(k)= kT().
则称T为从Vn到Um的线性变换.
一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性 空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,
四、线性空间的基与维数
定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, ···, nV, 满足:
(1) 1, 2, ···, n 线性无关; (2) V中任意元素总可以由1, 2, ···, n线性表示, 则称1, 2, ···, n为线性空间V的一个基, 称n为线性空
第六章 习题课
一、线性空间的定义
定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
则上式可表示为
T(1, 2, ···, n)= (1, 2, ···, n)A
其中
A
=
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
,
则称A为线性变换T在基1, 2, ···, n下的矩阵.
结论: 在Vn中取定一个基后: 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
(1) 任给1, 2Vn , 都有 T(1+2)=T(1)+T(2); (2) 任给Vn , kR, 都有 T(k)= kT().
则称T为从Vn到Um的线性变换.
一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性 空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,
线性变换
2 −1 2 阵为 5 −3 3 −1 0 −2
（1） 求线性变换 f 在 V 的基 e1 , e1 + e2 , e1 + e3 下的矩阵 （2） 求线性变换 f 的特征值和特征向量 （3） 线性变换 f 可否在 V 的某组基下矩阵为对角形，为什么？ 14、设 V 是数域 P 上的 3 维线性空间，线性空间 f : V → V 在 V 的基 e1 , e2 , e3 下的矩
2
（4）秩 (φ ) =秩 (φ 2 ) . （注：表示 Im φ ⊕ ker φ 直和） 9 ． 设 φ 是 n 维 线 性 空 间 V 上 的 线 性 变 换 ， 记 Im φ = {φ (α ) | α ∈ V } ，
ker φ = {α ∈ V | φ (α ) = 0} 。求证下列命题等价：
5．令 F 表示数域 F 上四元列空间，取
4
1 − 1 5 − 1 1 1 − 2 3 A= 3 −1 8 1 1 3 − 9 7
2
对于 ξ ∈ F4，令 σ ( ξ ) = A ξ ．求线性映射 σ 的核和值域的维数．
6． σ 是数域 F 上向量空间 V 的一个线性变换， 并且满足条件 σ
2
=σ ． 证明：
(i)
Ker( σ ) = { ξ − σ (ξ ) | ξ ∈ V }；
(ii) V = Ker( σ ) ⊕ Im( σ )； (iii) 如果 τ 是 V 的一个线性变换， 那么 Ker( σ )和 Im( σ )都在τ 之下不变的充 要条件是 στ = τσ ．
7．数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换 σ 叫做幂零的，如果存在一个
第六章 线性变换练习题
清华大学数字信号处理课件--第六章7双线性变换法
c c ctg
c
2
特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地 控制截止频率位置
3、逼近情况
1）s c
1 z 1 z
1 1
c
1 e 1 e
j j
jc tg
2
j
s平面虚轴
2） z
cs cs
z平面单位圆
z (c )
2 2 2
0
0
缺点： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性
1）线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不 然会产生畸变 分段常数型模拟滤波器 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器，但临界 频率点产生畸变
1 1 / T
2 tg
1
1 1 c
预畸变
给定数字滤波器的截止频率 1 ，则
1 c tg
1
2
按 1设计模拟滤 波器，经双线性 变换后，即可得 到 1 为截止频率 的数字滤波器
6、模拟滤波器的数字化方法
H ( z) H a (s) 1 z 1 Ha c 1 1 z
c j c j
(c )
2
s平面
0
z 1 z 1 z 1
z平面 单位圆内 单位圆外 单位圆上
左半平面
0 0
右半平面
虚轴
4、优缺点
优点：避免了频率响应的混迭现象
c tg
2
s 平面与 z 平面为单值变换
0 0
1 1
i 1, 2,..., m
可分解成并联的低阶子系统
线性变换的定义课件
1）对任意的X、Y∈Mn(F)，则有σ(X+Y) = = = ;
A(X+Y)B
AXB+AYB
σ(X)+ σ(Y)
2)对任意的k∈F，有σ(kX)= = = ．
3）线性变换σ保持线性关系式，即对于β∈V，
特别地，当β＝0时，有 K1σ(α1)+ k2σ(α2)+…+ knσ(αn)＝0. 若k1 ，k2，…，kn 不全为0，则得性质：
4) 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关 的向量组.
5) 设σ是V的一个线性变换, V′是V的子空间. V′在σ下的象集合,记作σ(V′), 即σ(V′) = {σ(ξ)｜ξ∈V′}. 则σ(V′)是V的一个子空间.
5）在Mn(F)中，σ(X)＝XA+AX,其中A是Mn(F) 中固定的一个方阵； 6）在F[x], σ(f (x))=f(x+1)-f(x); 7) 在由实数域R上的所有次数不超过n的多项式及 零多项式构成的线性空间Rn[x]中，σ(f(x))=xf(x)；
例2 在 中，H是过原点的一个平面.令σ是对平面H的正投影变换（图6.2）
图6.2
定义1 设V是数域F上的一个线性空间，σ是
V的一个变换，如果它满足以下两个条件： 对任意的α,β∈V，有
σ(α+β)＝σ(α)+σ (β)； 对任意的k∈F，有
σ(kα)=kσ(α).
则称σ是向量空间V的一个线性变换．
当k＝1时，σ是V的恒等变换ι；
02
σ是V的一个线性变换，叫做V的一个数乘（或 位似）变换.
因此，恒等变换及零变换都是线性变换.
当k＝0时，σ是V的零变换θ.
05
例7 设C[a, b]是定义在[a, b]上的一切连续 函数作成的R上的线性空间. 对任意的 f(x)∈C[a, b], 规定J(f(x))＝ .
A(X+Y)B
AXB+AYB
σ(X)+ σ(Y)
2)对任意的k∈F，有σ(kX)= = = ．
3）线性变换σ保持线性关系式，即对于β∈V，
特别地，当β＝0时，有 K1σ(α1)+ k2σ(α2)+…+ knσ(αn)＝0. 若k1 ，k2，…，kn 不全为0，则得性质：
4) 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关 的向量组.
5) 设σ是V的一个线性变换, V′是V的子空间. V′在σ下的象集合,记作σ(V′), 即σ(V′) = {σ(ξ)｜ξ∈V′}. 则σ(V′)是V的一个子空间.
5）在Mn(F)中，σ(X)＝XA+AX,其中A是Mn(F) 中固定的一个方阵； 6）在F[x], σ(f (x))=f(x+1)-f(x); 7) 在由实数域R上的所有次数不超过n的多项式及 零多项式构成的线性空间Rn[x]中，σ(f(x))=xf(x)；
例2 在 中，H是过原点的一个平面.令σ是对平面H的正投影变换（图6.2）
图6.2
定义1 设V是数域F上的一个线性空间，σ是
V的一个变换，如果它满足以下两个条件： 对任意的α,β∈V，有
σ(α+β)＝σ(α)+σ (β)； 对任意的k∈F，有
σ(kα)=kσ(α).
则称σ是向量空间V的一个线性变换．
当k＝1时，σ是V的恒等变换ι；
02
σ是V的一个线性变换，叫做V的一个数乘（或 位似）变换.
因此，恒等变换及零变换都是线性变换.
当k＝0时，σ是V的零变换θ.
05
例7 设C[a, b]是定义在[a, b]上的一切连续 函数作成的R上的线性空间. 对任意的 f(x)∈C[a, b], 规定J(f(x))＝ .
《线性代数》教学课件—第6章 线性空间与线性变换 第三节 基变换与坐标变换
第 三 节 基变换与坐标变换
主要内容
定义 坐标变换公式
由例 6 可见, 同一元素在不同的基下有不同 的坐标, 那么, 不同的基与不同的坐标之间有怎样 的关系呢?
一、定义
设 1 , 2 , ···, n 及 1 , 2 , ···, n 是线性空
间 Vn 中的两个基, 且有
1 p111 p212 pn1n ,
x1
x2
P
x2
,
或
x2
P
1
x2
.
xn
xn
xn
xn
证明 证明 x1
x1
x
x
(3)
x1 x
pn2
2
PT
2
(p1P,nn 2xx足两x,1n2变种n,,换坐或这n公标个)P式满定xxx（1n2足理2坐n的）标P逆变命1 换题xxx1n2公也式成（立3.）即若，任则一两元个素基的满
例8
在 R3 中求向量
3
7
在基
1
1
1 3,
5
6
2 3,
2
3
3 1
0
下的坐标.
解 求向量 在基 1 , 2 , 3 下的坐标,即
用基 1 , 2 , 3 表示向量 . 用矩阵的初等行变
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请本若节想请本单若内请结本若节击想请本单若内请结本若节击想请本单若节想内请结本 本单若 若节击想请 请本容单若束节想内请返结本 本单若 若节击想请 请本容单若束节想内请返结本单若节击想内请结本容单若束节节击想 想内请返结本单单若节已击想本内请结本容单若回束节 节想 想击内请返结单单节已击想本内结本容单若回束节想击内请返结容单束节已击想本内内返结 结本容单若回束节击想击内结请返结堂容单束节已击想按本内 内返结 结本容单若回束击击内结请返结堂容束节已击想按本内返结本容单若回束已击本内结请返结堂容容回束 束节已击想按本内返返结容束单回束课已击本内结返结钮堂容 容回束 束节已击想按本返返容束单回束课已本内结返结钮堂容回束节已击想按本结返堂容束单回束课已已按本 本内结返结钮堂容回回束已击按本,结返堂容束回束课.已 已按本 本内结!返结钮堂回回已击按本,结堂容束回束课.已按本内结!返结钮堂束回课已击按本,结结钮堂 堂容束回束课.已按按本结!返钮堂束回课已按本,结 结钮堂 堂容束回束课.按按结!返钮堂束课已按本,结钮堂容束回束课.按,结!返钮堂束束课 课.已按本,结!钮钮堂束回课.按,结!钮堂束 束课 课.已按本,!钮钮束回课.,结!钮堂束课.已按本,!钮束回课.,,结!钮堂束课..按,!!钮束课.,,结!钮堂..按,!!束课.,结!钮堂.按,!束课.,!钮.,!束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
2020年同济大学线性代数第六版第六章《线性空间与线性变换》同步练习与解析
第六章 线性空间与线性变换1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基.(1) 2阶矩阵的全体S 1;解 设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为(A +B)∈S 1, kA ∈S 1,所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10004ε 是S 1的一个基.(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2;解 设⎪⎭⎫⎝⎛-=a c b a A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d f e d B , A , B ∈S 2. 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=+,2S ka kc kb ka kA ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε是S 2的一个基.(3) 2阶对称矩阵的全体S 3. 解 设A , B ∈S 3, 则A T=A , B T=B . 因为 (A +B)T=A T+B T=A +B , (A +B)∈S 3, (kA)T=kA T =kA , kA ∈S 3,所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003ε是S 3的一个基.2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.解 设V ={与向量(0, 0, 1)T不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T, r 2=(-1, 0, 1)T, 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T∉V , 即V 不是线性空间.3.在线性空间P[x]3中，下列向量组是否为一个基？ （1）Ⅰ：1+x,x+x 2,1+x 3,2+2x+x 2+x 3（2）Ⅱ：-1+x,1-x 2,-2+2x+x 2,x 34. 在R 3中求向量α=(3, 7, 1)T在基α1=(1, 3, 5)T, α2=(6, 3, 2)T, α3=(3, 1, 0)T下的坐标. 解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (α1, α2, α3)=(ε1, ε2, ε3)A , (ε1, ε2, ε3)=(α1, α2, α3)A -1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=025133361A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1528981553621A .因为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-173) , ,(173) , ,(1321321A αααεεεα⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=173152898155362) , ,(321ααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1548233) , ,(321ααα,所以向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(33, -82, 154)T.5. 在R 3取两个基α1=(1, 2, 1)T, α2=(2, 3, 3)T, α3=(3, 7, 1)T; β1=(3, 1, 4)T, β2=(5, 2, 1)T, β3=(1, 1, -6)T. 试求坐标变换公式.解 设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (β1, β2, β1)=(ε1, ε2, ε3)B , (ε1, ε2, ε3)=(β1, β2, β1)B -1,(α1, α2, α1)=(ε1, ε2, ε3)A =(β1, β2, β1)B -1A ,其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131732121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=614121153B .设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x 1, x 2, x 3)T, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211321321321) , ,() , ,(x x x A B x x x βββαααα,故α在基β1, β2, β3下的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-3211321x x x A B x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32149910726313941811913x x x .6. 在R 4中取两个基e 1=(1,0,0,0)T, e 2=(0,1,0,0)T, e 3=(0,0,1,0)T, e 4=(0,0,0,1)T; α1=(2,1,-1,1)T, α2=(0,3,1,0)T, α3=(5,3,2,1)T, α3=(6,6,1,3)T. (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解 由题意知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502) , , ,() , , ,(43214321e e e e αααα, 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502A . (2)求向量(x 1, x 2, x 3, x 4)T在后一个基下的坐标; 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-43211432143214321) , , ,() , , ,(x x x x A x x x x αααααe e e e ,向量α在后一个基下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321143213166123501301112x x x x y y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=432126937180092391213327912271x x x x . (3)求在两个基下有相同坐标的向量.解 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------4321432126937180092391213327912271x x x x x x x x ,解方程组得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321k x x x x (k 为常数).7.设线性空间S1中向量（2阶矩阵的全体S 1），a 1=(1210),a 2=(−1−111),b 1=(1331),b 2=(2−141)，（1）.问b 1能否由a 1， a 2线性表示；b 2能否由a 1， a 2线性表示；（2）.求由向量组a 1， a 2 ，b 1 ，b 2所生成的向量空间L 的维数和一个基。
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此时,称是零向量,记为: 0
例５：
令V是F 上向量空 间 , 取定k F,令 ( ) k( )。
则是V 到V 的一个线一个线性
(0) 0
性质6.1.2、线性映射保持线性组合与线性关系式的不 变，即：
(a11 ann ) a1 (1) an (n )
定义6.2.1 设是V 到 W 的一个线性映射，如果V ' V 则： { () | V '} W是W 的一个子集，叫 V '在 之下 的象记作 (V ')。
(2) 是单射ker( )={0}.
证明：
（1）若 是满满射。 W , $ V , ' ( ) = Im( ) 又 Im( ) W , ∴Im( ) = W
反之 : 若Im = W，即 W ，有 ， ( ) . V \是满射.
（2）若 是单射， V ，有 ( ) (),
❖ 第六章 线性变换
教学要求
1、了解向量空间之间的联系是通过线性变换实现。
2、把握L(V)与Mn(F)的一一对应关系和结论的互相转
换。
3、掌握线性变换与矩阵的对应关系，会求线性变换 的矩阵。
4、掌握坐标变换公式及应用。
5、灵活应用特征多项式及有关性质，会求特征根， 特征向量。
6、掌握值域与核的定义、求法，线性变换与它的 象、核的关系。
现在证明： (V ) 是W的子 空间
, (V ), 则$ , V , ' ( ) , () ,
∵ 是线性变换， a, b F，有 :
a b a ( ) b () (a b) (V )
\ (V )是W的子空间.
说明:
①线性映射把子空间映成子空间，如果象是子空间， 则原象也是子空间。
是 V到 W的一个线性映射：
(1) , V , ( ) ( ) ()
说明(2：) ①定a 义中F,（1）（V2,）称(a为 )映射a的 线(性) 性
质。②定义中（1）（2）成立
a,b F, , V ,有（a b） a ( ) b ();
（加以说明）
性质6.1.1、线性映射把零向量映成零向量，即 ：
证明：显然 是R2 到R3 的一个映射。
( ) 又 a, b R, x1,x 2 , (y1, y2 ) R2 ,
(a b) a ( ) b () 由 (a b) (a ) (b) a ( ) b ()
∴ 是R2 到R3 的一个线一个线性
例2．
令 H是V3中经经过原点的一个平面, 对于V3的每每一个向 ，
证明：
x1 y1
.
. xn
,
. .yn
F
n
,
a,
b
F
由 (a b) (a ) (b) a ( ) b ( );
例4 :
令V 和W是 F上向量空间， V，令W中的零向量与它对应,即： ： 0， 则 是V 到W 的一个线性映射。
证明：
a,b F, , V ,有 :
(a b ) a ( ) b ( );
即: :V U, :U W;
则证明 ， ，是 V到W 的一个线性映射
事实实上令 .， 则 V，有 ( ) . ( )唯一。
∴是V到W的一个线性影射
又a, b F, V, 有 : (a b) a( ) b()
∴ 是V到W的一个线性影射。
说明：
❖推广： 若 , , 都是线是线性映
另一方面，设W ‘ W，则{ V | ( ) W ‘}是V的一个子集， 叫 W ‘在 之下的原象。
定理6.1.1
设V和W是F上的向量空间， 是V到W的一个线性映射. 则V的任意子空间在 之下的象是W 的一个子空间,而W
的任一子空间在之下的原象是 V 的一个子空间.
证明 :
设V 是V的一个子空间,
又 ( ) 0 (0)
\ 0 即 ker( ) (),
反之： V ，且()()， 则( -) 0， \ - 0
与已知 矛盾。
∴ 是单射
说明：
是双射 (1) Im( ) (V),
(2) ker( ) {0}
定理6.1.3：
❖ 两个线性映射的乘积还是线性映射。
证明：
设， ,分别是V 到U和U 到W的线性映射。
则 ( )也是线是线性映 且 ( ) ( )。
定理6.1.4
❖ 如果线性映射有映射，则逆映射也是线性映射。
证明：
设是V 到 W的一个线一个线性映 -1存在，
则 : -1是 到的一个映射，
又 , W , a, b F,
则 : -1 ( )V ,且 : a -1 ( ) b 1 ( )V ,于是 :
② ¢特 别 V在之下的象(V)是的一个子空间一个 的象， 记作Im()..即Im() (V)。
另一方面W，的零子空间{0}在 之下的原象是V的一个子空间一
它叫做 的核。记核ker( ) = { V | () 0}。
注意 : Im( ) W , ker( ) V.
定理6.1.2：
设 是 V W 的一个线性映射，则： (1) 是满射 Im( ) W;
7、掌握可以对角化条件及具体方法。
重点 难点
教学重点：线性变换及其矩阵，值域与核的性质，特 征根、征向量，可以对角化矩阵。
教学难点：值域与核的性质及其应用，特征根、特征 向量的求法及其应用。
§6.1线性映射
定义6.1.1 设V、W是数域，设 F上的两个向量空间，是
V到 W的一个映射 。如果下列条件被满足，则称
( ) a 1 , 得到 :
a -1 ( ) b -1 ( ) -1 (a b )
\ -1 是 W到V的线线性映射
二、例子
例1．对于R 2每一个向量到 (x1 x2 )，定义 ( ) (x1 x2 , x1 x2 ) R3 则 是 R 2 到 R3的一个线一个线性
令 ( )表示 在平面H上的Z 射影。
证明是V3 V3 的一个线性映射.
证明：由射影性质：
( ) ( ) ( ); (a ) a( );
∴是V3 V3的一个线性映射
例3 :
x1
令A 是 F上一个m n 矩阵阵，对n列空间F n
的每一向量
=
. .xn
，
规定 ( ) F n， 是F n 到F n 的一个线一个线性
例５：
令V是F 上向量空 间 , 取定k F,令 ( ) k( )。
则是V 到V 的一个线一个线性
(0) 0
性质6.1.2、线性映射保持线性组合与线性关系式的不 变，即：
(a11 ann ) a1 (1) an (n )
定义6.2.1 设是V 到 W 的一个线性映射，如果V ' V 则： { () | V '} W是W 的一个子集，叫 V '在 之下 的象记作 (V ')。
(2) 是单射ker( )={0}.
证明：
（1）若 是满满射。 W , $ V , ' ( ) = Im( ) 又 Im( ) W , ∴Im( ) = W
反之 : 若Im = W，即 W ，有 ， ( ) . V \是满射.
（2）若 是单射， V ，有 ( ) (),
❖ 第六章 线性变换
教学要求
1、了解向量空间之间的联系是通过线性变换实现。
2、把握L(V)与Mn(F)的一一对应关系和结论的互相转
换。
3、掌握线性变换与矩阵的对应关系，会求线性变换 的矩阵。
4、掌握坐标变换公式及应用。
5、灵活应用特征多项式及有关性质，会求特征根， 特征向量。
6、掌握值域与核的定义、求法，线性变换与它的 象、核的关系。
现在证明： (V ) 是W的子 空间
, (V ), 则$ , V , ' ( ) , () ,
∵ 是线性变换， a, b F，有 :
a b a ( ) b () (a b) (V )
\ (V )是W的子空间.
说明:
①线性映射把子空间映成子空间，如果象是子空间， 则原象也是子空间。
是 V到 W的一个线性映射：
(1) , V , ( ) ( ) ()
说明(2：) ①定a 义中F,（1）（V2,）称(a为 )映射a的 线(性) 性
质。②定义中（1）（2）成立
a,b F, , V ,有（a b） a ( ) b ();
（加以说明）
性质6.1.1、线性映射把零向量映成零向量，即 ：
证明：显然 是R2 到R3 的一个映射。
( ) 又 a, b R, x1,x 2 , (y1, y2 ) R2 ,
(a b) a ( ) b () 由 (a b) (a ) (b) a ( ) b ()
∴ 是R2 到R3 的一个线一个线性
例2．
令 H是V3中经经过原点的一个平面, 对于V3的每每一个向 ，
证明：
x1 y1
.
. xn
,
. .yn
F
n
,
a,
b
F
由 (a b) (a ) (b) a ( ) b ( );
例4 :
令V 和W是 F上向量空间， V，令W中的零向量与它对应,即： ： 0， 则 是V 到W 的一个线性映射。
证明：
a,b F, , V ,有 :
(a b ) a ( ) b ( );
即: :V U, :U W;
则证明 ， ，是 V到W 的一个线性映射
事实实上令 .， 则 V，有 ( ) . ( )唯一。
∴是V到W的一个线性影射
又a, b F, V, 有 : (a b) a( ) b()
∴ 是V到W的一个线性影射。
说明：
❖推广： 若 , , 都是线是线性映
另一方面，设W ‘ W，则{ V | ( ) W ‘}是V的一个子集， 叫 W ‘在 之下的原象。
定理6.1.1
设V和W是F上的向量空间， 是V到W的一个线性映射. 则V的任意子空间在 之下的象是W 的一个子空间,而W
的任一子空间在之下的原象是 V 的一个子空间.
证明 :
设V 是V的一个子空间,
又 ( ) 0 (0)
\ 0 即 ker( ) (),
反之： V ，且()()， 则( -) 0， \ - 0
与已知 矛盾。
∴ 是单射
说明：
是双射 (1) Im( ) (V),
(2) ker( ) {0}
定理6.1.3：
❖ 两个线性映射的乘积还是线性映射。
证明：
设， ,分别是V 到U和U 到W的线性映射。
则 ( )也是线是线性映 且 ( ) ( )。
定理6.1.4
❖ 如果线性映射有映射，则逆映射也是线性映射。
证明：
设是V 到 W的一个线一个线性映 -1存在，
则 : -1是 到的一个映射，
又 , W , a, b F,
则 : -1 ( )V ,且 : a -1 ( ) b 1 ( )V ,于是 :
② ¢特 别 V在之下的象(V)是的一个子空间一个 的象， 记作Im()..即Im() (V)。
另一方面W，的零子空间{0}在 之下的原象是V的一个子空间一
它叫做 的核。记核ker( ) = { V | () 0}。
注意 : Im( ) W , ker( ) V.
定理6.1.2：
设 是 V W 的一个线性映射，则： (1) 是满射 Im( ) W;
7、掌握可以对角化条件及具体方法。
重点 难点
教学重点：线性变换及其矩阵，值域与核的性质，特 征根、征向量，可以对角化矩阵。
教学难点：值域与核的性质及其应用，特征根、特征 向量的求法及其应用。
§6.1线性映射
定义6.1.1 设V、W是数域，设 F上的两个向量空间，是
V到 W的一个映射 。如果下列条件被满足，则称
( ) a 1 , 得到 :
a -1 ( ) b -1 ( ) -1 (a b )
\ -1 是 W到V的线线性映射
二、例子
例1．对于R 2每一个向量到 (x1 x2 )，定义 ( ) (x1 x2 , x1 x2 ) R3 则 是 R 2 到 R3的一个线一个线性
令 ( )表示 在平面H上的Z 射影。
证明是V3 V3 的一个线性映射.
证明：由射影性质：
( ) ( ) ( ); (a ) a( );
∴是V3 V3的一个线性映射
例3 :
x1
令A 是 F上一个m n 矩阵阵，对n列空间F n
的每一向量
=
. .xn
，
规定 ( ) F n， 是F n 到F n 的一个线一个线性