反馈控制系统的特性

《现代控制系统》[美] R . C . 多尔夫，R . H . 毕晓普著第四章：反馈控制系统的特性4.1 开环和闭环控制系统既然我们已经能够设计出控制系统组成部分的数学模型，所以这节我们将研究控制系统的特性。

在1.1节，控制系统被定义为组成系统的各部分的互联关系，该系统是能够实现预定响应的。

因为理想系统响应是已知的，所以就会产生和偏差成比例的信号，这个偏差是理想响应和实际响应之间的差值。

在闭环过程中，利用这个偏差信号来控制信号输出的系统就叫做反馈系统。

这个闭环系统的操作过程如图4.1所示。

为了改善控制系统，引入反馈是非常必要的。

有趣的是，在自然环境中也存在这种反馈系统，例如生物和生理系统，在这些系统中反馈是与生俱来的。

例如，心脏控制系统就是一个反馈控制系统。

为了解释引入反馈以后系统的特性和好处，我们将举一个单一回路的反馈例子。

虽然很多控制系统都不是单一反馈的，但是单个回路反馈比较容易解释。

研究单个回路反馈能够最好地说明反馈回路的所有优点，然后我们再把它延伸到多个回路反馈系统。

没有反馈的系统通常被称为直接系统或开环系统，如图4.2所示。

与之相反的是闭环系统，如图4.3所示的负反馈控制系统。

没有反馈的开环{直接}系统就是对应与输入直接产生一个输出。

闭环控制系统就是对输出信号进行测量，然后与理想值进行比较，产生一个偏差信号，最后再把偏差信号送入调节器。

两种形式的控制系统都由相同的的方框图和信号流线图组成，但是，信号流线图对信号输出的结果起了主要作用。

一般情况下，H （s ）等于1或者不是1的其他常数。

这个常数包括单位转换，例如，弧度转化为电压。

首先，我们先讨论H （s ）=1时的单位反馈。

那么这时Ea(s)=E(s)，并且Y(s)=G(s)E(s)=G(s)[R(s)-Y(s)]解出Y(s)，得到()()()1()G s Y s R s G s =+ (4.1) 偏差信号是1()()1()E s R s G s =+ 因此，为了减小偏差，在S 的取值范围内，必须使[1+G （s ）]的值远大于1。

现在讨论H （s ）≠1的情况，这时闭环回路的输出是：Y(s)=G(s)Ea(s)=G(s)[R(s)-H(s)Y(s)]因此： ()()()1()G s Y s R s GH s =+ (4.2) 实际的偏差信号是：1()()1()Ea s R s GH s =+ (4.3) 显而易见，为了减少偏差，在S 的取值范围内，必须使[1+GH （s ）]的值远大于1。

通过信号Ea(s)可以测量信号E(s)的大小。

在S 的取值范围内，随着H(s)的值不断减小，甚至H(s)≌1，这个测量越精确。

4.2 参数变化下控制系统的灵敏度用传递函数G （s ）代表一个过程，不管原先系统设计多么完善，总是易于受环境而变化、老化、测不出确切的过程参数及其他自然因素都会影响控制过程。

在开环系统中，所有这些偏差和改变都会导致系统输出的改变和不精确。

但是，闭环系统却能测出由于系统的变化而使输出结果改变，而且尝试去纠正输出。

在参数变化的情况下，控制系统的灵敏度是非常重要的。

闭环控制系统的一个主要优点就是能降低系统灵敏度[1-4，18]。

对于闭环系统，在所研究的所有复杂频率中，如果GH(s)>>1，从（4.2）公式的得到：1()()()Y s R s H s ≅ (4.4) 于是输出只受H （s ）影响，有可能是一个常数。

如果H （s ）=1，我们就得到一个理想的结果，那就是输出和输入相同。

尽管如此，在控制系统中使用这个方法前，我们必须注意到按要求式子G(s)H(s)>>1，理论上可能导致系统振荡严重，甚至不稳定。

但事实是随着回路传递函数G(s)H(s)的值增大，G(s)对输出的影响就会减弱，这是一个很有用的概念。

因此，反馈系统的首要优点是在系统参数变化是使G(s)减少。

为了解释参数变化的影响，假设改变后系统过程函数为G(s)+ΔG(s)。

于是，在开环回路中导致输出的变化为：ΔY(s)=ΔG(s)R(s) (4.5) 在闭环系统中，得到：()()()()()1(()())()G s G s Y s Y s R s G s G s H s +∆+∆=++∆ (4.6) 于是输出的变化为：()()()(1()())(1())G s Y s R s GH s GH s GH s ∆∆=++∆+ (4.7) 当GH(s)>>ΔGH(s)，通常情况下就是这样的，于是我们得到：2()()()[1()]G s Y s R s GH s ∆∆=+ (4.8) 观察（4.8）式，我们注意到在闭环回路系统中，由于存在因数[1+GH （s ）]使输出的结果的变化减小了，通常在所研究的复杂的频率范围内，因数[1+GH （s ）]的值都比1大得多。

因此，因数[1+GH （s ）]在反馈控制系统的特性中起到很重要的作用。

系统的灵敏度就是系统传递函数的变化率与过程传递函数的变化率的比值。

系统的传递函数是： ()()()Y s T s R s = （4.9） 因此，灵敏度的定义为：()/()()/()T s T s S G s G s ∆=∆ （4.10） 在极限情况下，对于微小的增量变化，公式（4.10）变为：/ln /ln T T T S G G G∂∂==∂∂ （4.11）从公式（4.5）可以清楚看出，开环系统的灵敏度等于1。

闭环回路的灵敏度可以从公式（4.11）很容易算出。

闭环回路系统的传递函数为：()()1()G s T s GH s =+ 因此，反馈系统的灵敏度为：21..(1)/(1)T G T G G S G T GH G GH ∂==∂++ 或者：11()()T G S G s H s =+ （4.12） 同时，我们发现，在所研究的频率范围内，增加GH （s ）的值，开环回路系统的饿灵敏度可能会降低。

反馈系统中，对于反馈环节H （s ）的改变量，系统的灵敏度为： 2.().1/(1)1T H T H G H GH S H T GH G GH GH∂--===∂+++ （4.13） 当GH 很大时，灵敏度趋近于1，这时H （s ）的改变直接影响输出响应。

因此，在反馈系统中应避免反馈元件随着环境的变化或者让它保持一个常数是非常重要的。

通常我们要解出S a T ,这里的a 是方框图G 的传递函数中的一个参数。

使用连锁法，我们发现：T T G G S S S αα= （4.14）通常情况下，系统的传递函数T(s)是分数形式[1]：(,)(,)(,)N s T s D s ααα= （4.15） 当参数a 受环境影响较大时，我们必须重写4.11公式，得到灵敏度为： 00ln ln ln ln ln ln T N D T N DS S S αααααααα∂∂∂==-=-∂∂∂ （4.16） 这里a 0就是参数的公称值。

能够通过增加反馈回路来降低控制系统参数变化的影响是反馈控制系统的重要优点。

为了得到高精度的开环回路系统，我们必须精心选择开环回路的构件，以满足具体要求。

相反，闭环回路系统却对G(s)精度要求不高，因为回路放大系数1+GH （s ）会使G （s ）的变化量和偏差减少。

闭环回路的这个优点对通信工业中的电子放大器具有深远的帮助。

一个简单的例子将解释反馈对降低灵敏度的价值。

例子4.1 反馈放大器放大器具有广泛的用途，都有一个放大系数-K a ，如图4.4所示，输出电压为V 0=－KaVin (4.17)通常我们使用分压器R p 来加入反馈，如图4.4b 所示，没有反馈放大器的传递函数是：T=－Ka (4.18) 放大系数改变时灵敏度为：1aTKS=(4.19)带有反馈的放大器的方框图如图4.5所示，此时：21RRβ=(4.20)并且12pR R R=+(4.21)反馈放大器的闭环传递函数为：1aaKTKβ-=+(4.22)反馈闭环放大器的灵敏度为：11TKaaSKβ=+(4.23)如果K a很大，灵敏度就会很低。

例如，如果：4100.1aKβ==(4.24)得到：31110T Ka S =+ (4.25) 换句话说就是灵敏度的大小只是开环放大器的千分之一。

为了强调灵敏度在设计和分析控制系统的重要性，我们在接下来的章节还将回顾灵敏度的知识。

4.3 对控制系统瞬时响应的控制瞬时响应是控制系统最重要的特性之一。

瞬时响应就是以时间为函数的系统响应。

因为控制系统的目的就是提供理想的响应，所以我们必须调节控制系统的瞬时响应直到满足要求。

如果一个开环系统不能提供满足要求的响应，那么就必须更换合适的过程及函数G(s)。

与之相反的是，闭环系统可以通过调整反馈回路的参数来调节出满足要求的响应。

值得注意的是，开环系统中如果在原来的过程函数G(s)前插入一个合适的级联控制G1(s)，如图4.6所示，就可以改变系统的响应。

这样，我们就必须设计级联控制G1(s) G(s)，使系统的响应能满足要求。

为了使这个概念更易于理解，让我们讨论一个具体的控制系统，这个控制系统可以用开环或闭环控制。

如图4.7所示的速度控制系统，经常用于移动材料和产品的工业过程中。

在轧钢厂用到了许多重要的速度控制系统，用于轧钢片和在轧机间移动钢材[19]。

从公式（2.70）我们可以计算出开环回路系统（没有反馈）的传递函数，并且对于w(s)/V(s)得出：11()()()(1)a K s G s V s s ωτ==+ (4.26) 此时：1()m a b m K K R b K K =+ 并且 1()a ab m R J R b K K τ=+ 在轧钢的例子中，由于轧辊的惯量很大，所以需要一个很大的电枢控制电机。

如果轮子是用阶跃指令改变速度的，那么：2()a k E V s s= (4.27) 输出响应就是：()()()a s G s V s ω= (4.28)瞬时响应的改变是：1/12()()(1)t t K k E e τω-=- (4.29) 图 4.7开环速度控制系统（没有反馈）如果这个瞬时响应太慢，可能的话，除了更换一个不同时间常数Τ1的电动机别无他法。

尽管这样，因为时间常数Τ1是由负载的惯量J 决定的，所以改变Τ1也不会对瞬时响应有太大的改变的。

速度闭环控制系统是利用转速来产生一个与速度成比例的电压，如图4.8（a ）所示。

这个电压是从分压器的电压中提取出来的，并经过放大，如图4.8（a ）所示。

在低功率的设备中，实现反馈的实际的转换放大电路如图4.8（b ）所示[1，5，7]。

这个闭环传递函数是：1111111()()()1()/1[(1)/]a a t a a a t a t K G s s R s K K G s K K K K s K K K s K K K ωτττ=+==++++ (4.30)我们必须调节放大系数Ka 以满足瞬时响应的要求。