反馈控制系统的特性

《现代控制系统》

[美] R . C . 多尔夫，R . H . 毕晓普著

第四章：反馈控制系统的特性

4.1 开环和闭环控制系统

既然我们已经能够设计出控制系统组成部分的数学模型，所以这节我们将研究控制系统的特性。在1.1节，控制系统被定义为组成系统的各部分的互联关系，该系统是能够实现预定响应的。因为理想系统响应是已知的，所以就会产生和偏差成比例的信号，这个偏差是理想响应和实际响应之间的差值。在闭环过程中，利用这个偏差信号来控制信号输出的系统就叫做反馈系统。这个闭环系统的操作过程如图4.1所示。为了改善控制系统，引入反馈是非常必要的。有趣的是，在自然环境中也存在这种反馈系统，例如生物和生理系统，在这些系统中反馈是与生俱来的。例如，心脏控制系统就是一个反馈控制系统。

为了解释引入反馈以后系统的特性和好处，我们将举一个单一回路的反馈例子。虽然很多控制系统都不是单一反馈的，但是单个回路反馈比较容易解释。研究单个回路反馈能够最好地说明反馈回路的所有优点，然后我们再把它延伸到多个回路反馈系统。

没有反馈的系统通常被称为直接系统或开环系统，如图4.2所示。

与之相反的是闭环系统，如图4.3所示的负反馈控制系统。

没有反馈的开环{直接}系统就是对应与输入直接产生一个输出。

闭环控制系统就是对输出信号进行测量，然后与理想值进行比较，产生一

个偏差信号，最后再把偏差信号送入调节器。

两种形式的控制系统都由相同的的方框图和信号流线图组成，但是，信号流线图对信号输出的结果起了主要作用。

一般情况下，H （s ）等于1或者不是1的其他常数。这个常数包括单位转换，例如，弧度转化为电压。首先，我们先讨论H （s ）=1时的单位反馈。那么这时Ea(s)=E(s)，并且

Y(s)=G(s)E(s)=G(s)[R(s)-Y(s)]

解出Y(s)，得到

()()()1()

G s Y s R s G s =+ (4.1) 偏差信号是

1()()1()

E s R s G s =+ 因此，为了减小偏差，在S 的取值范围内，必须使[1+G （s ）]的值远大于1。 现在讨论H （s ）≠1的情况，这时闭环回路的输出是：

Y(s)=G(s)Ea(s)=G(s)[R(s)-H(s)Y(s)]

因此： ()()()1()

G s Y s R s GH s =+ (4.2) 实际的偏差信号是：

1()()1()

Ea s R s GH s =+ (4.3) 显而易见，为了减少偏差，在S 的取值范围内，必须使[1+GH （s ）]的值远大于1。通过信号Ea(s)可以测量信号E(s)的大小。在S 的取值范围内，随着H(s)的值不断减小，甚至H(s)≌1，这个测量越精确。

4.2 参数变化下控制系统的灵敏度

用传递函数G （s ）代表一个过程，不管原先系统设计多么完善，总是易于受环境而变化、老化、测不出确切的过程参数及其他自然因素都会影响控制过程。在开环系统中，所有这些偏差和改变都会导致系统输出的改变和不精确。但是，闭环系统却能测出由于系统的变化而使输出结果改变，而且尝试去纠正输出。在参数变化的情况下，控制系统的灵敏度是非常重要的。闭环控制系统的一个主要优点就是能降低系统灵敏度[1-4，18]。

对于闭环系统，在所研究的所有复杂频率中，如果GH(s)>>1，从（4.2）公式的得到：

1()()()

Y s R s H s ≅ (4.4) 于是输出只受H （s ）影响，有可能是一个常数。如果H （s ）=1，我们就得到一个理想的结果，那就是输出和输入相同。尽管如此，在控制系统中使用这个方法前，我们必须注意到按要求式子G(s)H(s)>>1，理论上可能导致系统振荡严重，甚至不稳定。但事实是随着回路传递函数G(s)H(s)的值增大，G(s)对输出的影响就会减弱，这是一个很有用的概念。因此，反馈系统的首要优点是在系统参数变化是使G(s)减少。

为了解释参数变化的影响，假设改变后系统过程函数为G(s)+ΔG(s)。于是，在开环回路中导致输出的变化为：

ΔY(s)=ΔG(s)R(s) (4.5) 在闭环系统中，得到：

()()()()()1(()())()

G s G s Y s Y s R s G s G s H s +∆+∆=++∆ (4.6) 于是输出的变化为：

()()()(1()())(1())

G s Y s R s GH s GH s GH s ∆∆=++∆+ (4.7) 当GH(s)>>ΔGH(s)，通常情况下就是这样的，于是我们得到：

2()()()[1()]

G s Y s R s GH s ∆∆=+ (4.8) 观察（4.8）式，我们注意到在闭环回路系统中，由于存在因数[1+GH （s ）]使输出的结果的变化减小了，通常在所研究的复杂的频率范围内，因数[1+GH （s ）]的值都比1大得多。因此，因数[1+GH （s ）]在反馈控制系统的特性中起到很重要的作用。

系统的灵敏度就是系统传递函数的变化率与过程传递函数的变化率的比值。系统的传递函数是： ()()()

Y s T s R s = （4.9） 因此，灵敏度的定义为：

()/()()/()

T s T s S G s G s ∆=∆ （4.10） 在极限情况下，对于微小的增量变化，公式（4.10）变为：

/ln /ln T T T S G G G

∂∂==∂∂ （4.11）

从公式（4.5）可以清楚看出，开环系统的灵敏度等于1。闭环回路的灵敏度可以从公式（4.11）很容易算出。闭环回路系统的传递函数为：

()()1()

G s T s GH s =+ 因此，反馈系统的灵敏度为：

21..(1)/(1)

T G T G G S G T GH G GH ∂==∂++ 或者：

11()()

T G S G s H s =+ （4.12） 同时，我们发现，在所研究的频率范围内，增加GH （s ）的值，开环回路系统的饿灵敏度可能会降低。