三角形三边关系课堂练习题

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人教版八年级数学上册第十一章《三角形》课堂练(一)

第十一章《三角形》课堂练（一）一．选择题1．已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，则该三角形第三边的长不可能是（）A．1cm B．3cm C．5cm D．6cm2．一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是（）A．10 B．8 C．6 D．43．一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°4．如图，六角螺母的橫截面是正六边形，则∠1的度数为（）A．60°B．120°C．45°D．75°5．赵师傅在做完门框后，为防止变形，按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），其中运用的几何原理是（）A．两点之间线段最短B．三角形两边之和大于第三边C．垂线段最短D．三角形的稳定性6．下面是投影屏上出示的解答题，需要回答横线上符号代表的内容．如图，直线EF∥直线GH，在Rt△ABC中，∠C＝90°，顶点A在GH上，顶点B在EF上，且BA平分∠DBE，若∠CAD＝26°，求∠BAD的度数．解：∵∠C＝90°，∠CAD＝26°，∴∠ADC＝．∵直线EF∥直线GH，∴＝∠ADC＝64°．∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝＝32°．∵直线EF∥直线GH，∴∠BAD＝＝32°．下列选项错误的是（）A．代表64°B．代表∠DBEC．在代表∠DBE D．代表∠CBE7．在△ABC中，有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，下列哪种说法不正确（）A．∠B+∠ACB＜180°B．∠B+∠ACB＝180°﹣∠AC．∠B＞∠ACD D．∠HEC＞∠B9．将一副三角板按照如图所示的方式摆放，DF∥AC，则∠AGF的度数为（）A．105°B．90°C．75°D．60°10．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，BE平分∠MBC 交DC的延长线于点E，下列结论：①∠MAN＝2∠BDE；②∠BDE+∠BED＝90°；③∠ABC ＝∠BEC；④∠BEC＝90°﹣∠BAC，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．在非直角三角形ABC中，∠A＝50°，高BD和高CE所在的直线相交于点H，则∠BHC ＝．12．如果三角形的三边长分别是2，7，a，那么a的取值范围是．13．如图，CD是△ABC的中线，若AB＝8，则AD的长为．14．△ABC的两条边的长度分别为3和5，若第三条边为偶数，则△ABC的周长为．15．将一副三角板如图放置，则图中的∠1＝°．16．如图，线段AD、BE、CF相交于同一点O，连接AB、CD、EF，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．三．解答题17．如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．18．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数．19．如图，BE、DF分别是四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC的角平分线，若∠BAD＝x，∠BCD＝y．（1）①如图1，若x+y＝120°，求∠MBC+∠NDC的度数；②如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝30°，请写出x、y的关系式，并说明理由．（2）如图2，若x＝y，请判断BE、DF的位置关系，并说明理由．20．如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD＝°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀．剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD＝°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD＝°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出（n+1）个角，那么这（n+1）个角的和是°．参考答案一．选择题1．解：∵三角形的两边长分别为3cm和4cm，∴1＜第三边的长＜7，故该三角形第三边的长不可能是1cm．故选：A．2．解：设这个多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝4×360°，解得n＝10，故选：A．3．解：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝30°，∵∠AED＝45°，∴∠AEC＝135°，∵∠CAE+∠AEC+∠ACE＝180°，∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣30°﹣135°＝15°，故选：B．4．解：∵这个正六边形的外角和等于360°，∴∠1＝360°÷6＝60°．故选：A．5．解：按图中所示的方法在门上钉了两根斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），其中运用的几何原理是三角形的稳定性，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，∠CAD＝26°，∴∠ADC＝64°．∵直线EF∥直线GH，∴∠DBE＝∠ADC＝64°．∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠DBE＝32°．∵直线EF∥直线GH，∴∠BAD＝∠ABE＝32°．故选：D．7．解：①由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：2∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∠A+∠B+∠C＝180°得到：6x＝180°，则x＝30°，∠C＝3x＝90°，所以△ABC是直角三角形；③由∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+∠A＝180°，则∠A＝（）°，所以△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+2∠A＝180°，则∠A＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个．故选：C．8．解：A、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B+∠ACB＜180°，本选项说法正确，不符合题意；B、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B+∠ACB＝180°﹣∠A，本选项说法正确，不符合题意；C、∵∠ACD是△ACB的一个外角，∴∠B＜∠ACD，本选项说法错误，符合题意；D、∵∠HEC＞∠ACD，∠ACD＞∠B，∴∠HEC＞∠B，本选项说法正确，不符合题意；故选：C．9．解：由题意可得：∠F＝45°，∠A＝60°，∵DF∥AC，∴∠AEG＝∠F＝45°，∴∠AGF＝∠AEG+∠A＝45°+60°＝105°．故选：A．10．解：∵BD，CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠PCD，∴2∠PCD＝2∠CBD+∠MAN，∠PCD＝∠CBD+∠BDE，由以上两式得∠MAN＝2∠BDE，故①正确；∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABC+∠MBC＝×180°＝90°，∴∠BDE+∠BED＝90°，故②正确；∵∠ABC＝∠ACB，∴∠CBM＝∠NCB，∵BE平分∠MBC，DE平分∠BCN，∴∠EBC＝∠ECB，∴∠BEC＝180°﹣2∠CBE由∵∠ABC＝180﹣2∠CBE，∴③∠ABC＝∠BEC，故③正确；④∵∠BEC＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（180°+∠BAC），∴∠BEC＝90°﹣∠BAC，故④正确，故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：当△ABC为锐角三角形时，连接AH，延长AH交BC于点M，如图1所示．∵∠BAD+∠ABD+∠ADB＝180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝40°，∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠CAE＝40°．又∵∠BHM＝∠BAH+∠ABH，∠CHM＝∠CAH+∠ACH，∴∠BHC＝∠BHM+∠CHM＝∠BAH+∠ABH+∠CAH+∠ACH＝∠BAC+∠ABD+∠ACE＝50°+40°+40°＝130°；当△ABC为钝角三角形时，如图2所示．∵∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∠BHE+∠HBE+∠BEH＝180°，∠ABD＝∠HBE，∠ADB＝∠BEH ＝90°，∴∠BHE＝∠A＝50°，∴∠BHC＝50°．故答案为：50°或130°．12．解：由三角形的三边关系可得：7﹣2＜a＜2+7，则5＜a＜9，故答案为：5＜a＜9．13．解：∵CD是△ABC的中线，∴AD＝AB，∵AB＝8，∴AD＝4，故答案为：4．14．解：设第三边长为x，由题意得：5﹣3＜x＜5+3，解得：2＜x＜8，∵第三条边为偶数，∴x＝4或6，∴△ABC的周长为：4+3+5＝12或6+3+5＝14，故答案为：12或14．15．解：由题意得：∠2＝90°，∠5＝60°，∠6＝45°，∵∠2＝90°，∠5＝60°，∴∠3＝30°，∴∠4＝30°，∵∠6＝45°，∴∠1＝45°+30°＝75°，故答案为：75．16．解：如图所示，∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+（∠1+∠2+∠3）＝3×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝540°﹣180°＝360°．故答案为：360°．三．解答题（共4小题）17．解：∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°．∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°．∵DF⊥AE，∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．18．解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝∠BAC﹣（90°﹣∠C）＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C＝∠C﹣∠B，即∠DAE＝∠C﹣∠B；（3）∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，∴∠CAE＝2∠CAG，∠FCB＝2∠FCG，∵∠CAE＝∠FCB﹣∠AEC，∠CAG＝∠FCG﹣∠G，∴2∠FCG﹣∠AEC＝2（∠FCG﹣∠G）＝2∠FCG﹣2∠G，即∠AEC＝2∠G，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠G＝45°．故答案为45°．19．解：（1）①∵∠ABC+∠ADC＝360°﹣（x+y）＝240°，∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝x+y＝120°；②y﹣x＝60°．理由：如图1，连接BD，由①有，∠MBC+∠NDC＝x+y，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC，∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（x+y），在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣y，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，∴（x+y）+180°﹣y+30°＝180°，∴y﹣x＝60°；（2）BE∥DF．理由：如图2，延长BC交DF于H，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝x+y，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE＝∠MBC，∠CDH＝∠NDC，∴∠CBE+∠CDH＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝y﹣∠DHB，∴∠CBE+y﹣∠DHB＝（x+y），∵x＝y，∴∠CBE+y﹣∠DHB＝（y+y）＝y，∴∠CBE＝∠DHB，∴BE∥DF．20．解：（1）过E作EF∥AB（如图②）．∵原四边形是长方形，∴AB∥CD，又∵EF∥AB，∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．∵EF∥AB，∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CD∥EF，∴∠2+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，又∵∠1+∠2＝∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD＝540°；（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD＝720°；（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．。

北师大版七年级数学认识三角形练习题

北师大数学七年级下册课堂达标测试题一、填空（每空3分，共60分）1．三角形的三边关系：①三角形任意两边之和第三边；②三角形任意两边之差第三边.2．下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗（填“能”或“不能”）：（1）3㎝，4㎝，5㎝（）（2）8㎝，7㎝，15㎝（）（3）13㎝，12㎝，20㎝（）（4）5㎝，5㎝，11㎝（）（5）6cm, 8cm, 10cm （）（6）7cm, 7cm, 14cm （） 3．在△ABC 中，∠A =10°，∠B =30°，则∠C =．在△ABC 中，∠A =90°，∠B =∠C ，则∠B =_________.5．（1）一个等腰三角形的一边是2cm ，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 _____________cm.（2）一个等腰三角形的一边是5cm ，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是_____________cm.…6．如果∠B ＋∠C ＝∠A ，那么△ABC 是三角形. 7．在△ABC 中，AB =6 cm ，AC =8 cm 那么BC 长的取值范围是 .8．ABC ∆中，AD 是ABC ∆的中线，且cm BC 10=，则BD= cm. 9．在ABC ∆中，︒=∠80A ，AD 为A ∠的平分线，则BAD ∠=10．如果一个三角形两边上的高的交点，恰好是三角形的一个顶点，则此三角形是 _____________三角形.11．判断具备下面条件的三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形：（1）如果4:3:1::=∠∠∠C B A ，那么ABC ∆是三角形；（2）如果B A ∠=∠，︒=∠30C ，那么ABC ∆是三角形；（3）如果C B A ∠=∠=∠51，那么ABC ∆是三角形.二、选择（每题3分，共27 分）1．在△ABC 中，∠A 是锐角，那么△ABC 是（） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形D 、不能确定2．△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，则△ABC 的形状是（）￥A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不确定3．以下是由四位同学描述三角形的三种不同的说法，正确的是( ) A 、由三个角组成的图形叫三角形 B 、由三条线段组成的图形叫三角形 C 、由三条直线组成的图形叫三角形 D 、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形 4．△AB C 中，已知a =8, b =5，则c 为( ) A 、c =3 B 、c =13C 、c 可以是任意正整数D 、c 可以是大于3小于13的任意数值5. 下面说法中正确的是：（）A 、三角形的角平分线,中线,高都在三角形内 B 、直角三角形的高只有一条C 、钝角三角形的三条高都在三角形外 D 、三角形至少有一条高在三角形内 6. 如果一个三角形的三条高线的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（） A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定；7．在一个三角形，若︒=∠=∠40B A ，则ABC ∆是（）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、以上都不对8．三角形的高线是（） A 、线段 B 、垂线 C 、射线 D 、直线 9.在Rt △中，两个锐角关系是（）A 、互余 B 、互补 C 、相等 D 、以上都不对三、解答题1．如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠B=45°,AD 是△ABC 的一条角平分线求∠ADB 的度数. （7分）—2．在下列图中，分别画出三角形的三条高。

自学初中数学资料三角形及其三边关系 (资料附答案)

自学资料一、三角形及其三边关系【知识探索】1．三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．【说明】三角形任意两边的差小于第三边．【错题精练】例1．四根长度分别为3、4、6、x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个第1页共21页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训三角形，则（）A. 组成的三角形中周长最小为9；B. 组成的三角形中周长最小为10；C. 组成的三角形中周长最大为18；D. 组成的三角形中周长最大为16．【答案】D例2．在课题学习时，老师布置画一个三角形ABC，使∠A=30∘，AB=10cm，∠A的对边可以在长为4cm、5cm、6cm、11cm四条线段中任选，这样的三角形可以画个．【答案】4．(AB+BC+CA),请例3．如图，D是ΔABC内任意一点，连接DA、DB、DC，则有DA+DB+DC >12说明理由。

【解答】在ΔABC中, DB+DA>AB,同理,DA+DC>AC,DB+DC>BC三式相加得2(DA+DB+DC)>(AB+BC+CA)AB+BC+CA，即DA+DB+DC >12【答案】见解答例4．（1）请你在△ABC中作出一条线段，把△ABC分成面积相等的两部分。

（2）请你用三种不同方法将△ABC的面积四等份，在图上直接画出即可。

第2页共21页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】（1）作△ABC的中线AD，线段AD把△ABC分成面积相等的两部分．如下图所示，（2）将△ABC的面积四等份的方法如图所示，（方法见图中说明）【答案】【举一反三】1．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许将火柴棒折断，并且全部用完），能摆出不同形状的三角形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C2．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）D. 10A. 6B. 7C. 8【解答】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5﹣4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：B．第3页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】B3．在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分别24和18两部分，求三角形三边的长．【解答】【答案】16，16，10和12，12，184．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．【解答】【答案】略二、三角形的初步知识综合复习【错题精练】例1．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC−AQ=2SC，其中正确的是（）第4页共21页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训A. ②③④B. ①②C. ①④D. ①②③④【答案】B例2．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB=8，AC=6，BC=4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A. 9；B. 8；C. 6；D. 4．【答案】B例3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）;A. 35B. 4；5；C. 23D. √3．2【答案】B．第5页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训例4．（1）如图1所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试说明∠BOC=90∘+∠A．（2）如图2所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试说明∠D=90∘−∠A．（3）如图3，B、C、D在一条直线上，∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，求证∠BPC＝∠BAC．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠OBC+∠OCB=12(180∘−∠A)=12×(180∘−x∘)=90∘−12∠A故∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=180∘−(90∘−12∠A)=90∘+12∠A（2）证明：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠BCD=12(∠A+∠ABC)、∠DBC=(∠A+∠ACB)，由三角形内角和定理得，∠BDC=180∘−∠BCD−∠DBC=180∘−12[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180∘−12(∠A+180∘)=90∘−12∠A（3）证明：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点ECD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=12(∠A+2∠1)，∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180∘−∠1−∠3∴∠1+∠3=180∘−∠A−−−−①在△CDE中，∠D=180∘−∠4−∠5=180∘−∠3−(∠A+2∠1)，即2∠D=360∘−2∠3−∠A−2∠1=360∘−2(∠1+∠3)−∠A−−−−②，把①代入②得：2∠D=∠A．第6页共21页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】略．例5．如图：∠AEB、∠AFD的平分线相交于O点．(1)求∠EOF，∠A，∠α，∠β之间的关系．（∠DAB＋∠BCD）．(2)求证∠EOF＝12【解答】（1）解：延长EO交AF于点G．∵∠EOF是△OGF的外角，∴∠EOF=∠β+∠EGF，∵∠EGF是△AEG的外角，∴∠EGF=∠A+∠α，∴∠EOF=∠A+∠α+∠β；（2）证明：连接EF．∵∠EOF=180∘−（∠1+∠2）−（∠α+∠β），∠DCB=∠ECF=180∘−（∠1+∠2），∴∠EOF=∠BCD−（∠α+∠β），又∵∠EOF=∠DAB+∠α+∠β，∴∠α+∠β=∠EOF−∠DAB，∴∠EOF=∠BCD−（∠EOF−∠DAB），即∠EOF=∠BCD−∠EOF+∠DAB，∴2∠EOF=∠DAB+∠BCD第7页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训（∠DAB＋∠BCD）∴∠EOF=12【答案】略．【举一反三】1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形。

精品2014年八年级数学上册-三角形初步认识同步讲义+练习

精品2014年⼋年级数学上册-三⾓形初步认识同步讲义+练习三⾓形初步认识第01课与三⾓形有关的线段知识点:三⾓形定义：组成的图形叫做三⾓形。

⽤符号“△”表⽰。

注意：三条线段必须①；②组成三⾓形的线段叫做三⾓形的，相邻两边所组成的⾓叫做三⾓形的，简称⾓，相邻两边的公共端点是三⾓形的。

注意：三⾓形ABC 的顶点C 所对的边AB 可⽤c 表⽰,顶点B 所对的边AC 可⽤b 表⽰,顶点A 所对的边BC 可⽤a 表⽰.三⾓形三要素：、、。

三⾓形三边的不等关系：。

附加：公式：三⾓形的分类：(1)按⾓分类: 三⾓形、三⾓形、三⾓形。

(2)按边分类:三⾓形的⾼线：从三⾓形的⼀个向它的对边所在直线作，顶点和垂⾜之间的叫做三⾓形的⾼线，简称三⾓形的⾼.注意：⾼与垂线不同，⾼是线段，垂线是直线。

三⾓形的三条⾼，简称三⾓形的⼼。

三⾓形的中线:如图，我们把连结△ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的钝⾓三⾓形直⾓三⾓形锐⾓三⾓形位置边BC 上的中线，表⽰为BD=DC 或BD=DC=21BC 或2BD=2DC=BC. 三⾓的三条中线，简称三⾓形的⼼。

注意：三⾓形的中线是线段。

三⾓形的⾓平分线:如图，画∠A 的平分线AD ，交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的⾓平分线,表⽰为∠BAD=∠CAD 或∠BAD=∠CAD ＝1/2∠BAC 或2∠BAD=2∠CAD ＝∠BAC 。

三⾓形三个⾓的平分线，简称三⾓形的⼼。

注意：三⾓形的⾓平分线是线段，⽽⾓的平分线是射线，是不⼀样的。

三⾓形稳定性(1)把三根⽊条⽤钉⼦钉成⼀个三⾓形⽊架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (2)把四根⽊条⽤钉⼦钉成⼀个四边形⽊架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (3)在四边形的⽊架上再钉⼀根⽊条，将它的⼀对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？例1.⽤⼀条长为18cm 的细绳围成⼀个等腰三⾓形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有⼀边长为4㎝的等腰三⾓形吗？为什么？例2.已知△ABC 的周长是24cm ，三边a 、b 、c 满⾜c+a=2b ，c-a=4cm ，求a 、b 、c 的长.三⾓形中线的性质：例3.⼀个等腰三⾓形的周长为32 cm，腰长的3倍⽐底边长的2倍多6 cm.求各边长.例4.如图，在直⾓三⾓形ABC中，∠ACB=900，CD是AB边上的⾼，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:(1)△ABC的⾯积；(2)CD的长；(3)作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的⾯积；(4)作出△BCD的边BC边上的⾼DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。

三角形三边关系

三角形三边关系三角形是几何图形中最基本也是最重要的图形之一。

三角形的三边关系是三角形性质的基石，掌握好这一基本概念对于理解其他几何概念非常重要。

本文将详细介绍三角形三边关系及其应用。

一、三角形三边关系的定义三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形。

根据三角形的定义，我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这种性质通常被称为“三角形三边关系”。

二、三角形三边关系的证明证明三角形三边关系有多种方法，其中最经典的是利用“反证法”。

假设三角形三边a、b、c满足a<b+c，我们来证明这与假设矛盾。

假设反面成立，即a≥b+c，那么b+c≥a+c，即b≥a+c-c=a，这与题目中a>b矛盾。

因此，我们的假设是错误的，所以三角形三边关系成立。

三、三角形三边关系的几何应用三角形三边关系在几何学中有着广泛的应用。

例如，它可以用来判断三条线段能否组成一个三角形，或者比较两条线段的长度大小。

它还可以用于解决一些与三角形有关的实际问题，如测量不可直接测量的距离或高度等。

四、总结三角形三边关系是几何学中的一个基本概念，它反映了三角形中任意两边之和与第三边的关系。

这一性质不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在解决实际问题时也具有重要意义。

掌握好三角形三边关系对于理解其他几何概念也是非常有帮助的。

三角形三边的关系在几何学中，三角形是一种基本的图形，其三边之间的关系是构成三角形的核心要素。

本文将探讨三角形三边的关系，以及其在实际生活中的应用。

一、三角形三边的关系三角形三边的关系可以用以下三个基本定理来描述：1、三角形两边之和大于第三边。

这意味着，任意两边之和必须大于第三边，否则不能构成三角形。

2、三角形两边之差小于第三边。

这意味着，任意两边之差必须小于第三边，否则也不能构成三角形。

3、三角形的任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边。

这个定理实际上是前两个定理的组合。

直角三角形的三边关系实录

图2?12 5华东师大版《数学》八年级（上）第十四章第一节“直角三角形三边的关系”。

教学过程：教师：同学们，请看大屏幕（屏幕上呈现美丽的勾股树，如图1所示，学生的积极性马上被调动起来），屏幕上的树是由什么图形组成的？学生1：矩形. 学生2：还有三角形。

教师：能具体一点儿吗？学生3：（思考了一下）直角三角形。

教师：很好。

教师：这棵树为什么看起来这么漂亮？那是因为直角三角形三边有着特殊的关系。

（出示本节课的课题）在现实生活中直角三角形的三边的关系有着广泛的应用。

1. 创设情景.引例：如图，有一长为12米的电线杆，想在距离电线杆底部5米远处用一钢丝绳把它固定在地面上，问要用多长的钢丝绳才能把它固定？教师：你如何求出示意图中线段AB 的长度？（学生沉思）为了解决这个问题，请同学们先在纸上用直角三角板画一个直角三角形，再度量所画直角三角形三边的长度。

（学生拿出直角三角板认真地画，教师到学生中巡视，大部分学生很快就画完了，纷纷举手）学生4：2.8厘米， 3.7厘米， 4.6厘米。

学生5：1.6厘米， 2.8厘米， 3.3厘米。

学生6： 6厘米， 8厘米， 10 厘米。

教师：同学们，请观察，这三组数中，我们把较小的两个数平方后加起来，再把最大的这个数平方，这两个结果是否相等？（学生拿出计算器认真地计算着，很快得出结果，纷纷举手）学生7：相等。

学生8：不相等。

学生9：不相等，但相差很小。

教师（表示认可）：好，同学们都观察得都很仔细，究竟这个猜想是否正确呢？这节课我和同学们一起来研究直角三角形三边的关系。

（出示课题：直角三角形三边的关系。

）图12.探索新知。

教师：我们一起先研究特殊的直角三角形（等腰直角三角形）三边的关系。

如图3是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，两个小正方形P 、 Q 的面积之和与大正方形R 的面积有什么关系?教师：网格图中的三个正方形P 、Q 、R 的面积有什么关系？（学生观察了一会儿，大部分学生举手。

三角形的边角关系.

三角形的三边关系1．三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．①三角形有三条边，三个内角，三个顶点.②组成三角形的线段叫做三角形的边;③相邻两边所组成的角叫做三角形的内角简称角;④相邻两边的公共端点是三角形的顶点，⑤三角形ABC 用符号表示为△ ABC ，⑥三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C的小写字母 c 表示，AC 可用b表示，BC 可用 a 表示.1:三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接2:三角形是一个封闭的图形；3:△ ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义例例 1 图中三角形的个数是( )A．8 B．9 C．10 D．112．三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形的任意两边之差小于第三边.1：三边关系的依据是：两点之间线段是短2:判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形; 若不满足，则不能构成三角形.3:三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和例1 ：已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是( )A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10例2：下列各组条件中，不能组成三角形的是( )A. a+1、a+2、a+3 (a>3)B. 3cm、8cm、10 cmC. 三条线段之比为1:2:3D. 3a、5a、2a+1 (a>1)例3．△ ABC的三边长分别为4、9、x,⑴ 求x 的取值范围；⑵ 求△ ABC 周长的取值范围；⑶ 当x 为偶数时，求x ；⑷ 当△ ABC 的周长为偶数时，求x ；⑸ 若△ ABC 为等腰三角形，求x ．课堂练习1．已知长度为2cm,3cm,4cm,5cm 的四条线段，能组成多少个不等边三角形？2．已知等腰三角形的周长是14 cm ，底边与腰的比为 3 : 2 ，求各边的长.3．在ABC中，AB 9,BC 2，并且AC 为奇数，那么ABC的周长是多少？4．如图， D 是ABC内任意一点，BD 延长线与AC 交于 E 点，连结DC.求证：AB AC BD DC .3．三角形的高、中线、角平分线(1 ) 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部。

直角三角形的三边关系.doc

直角三角形的三边关系(复习)一.知识要点1.直角三角形边角关系.(1)三边关系：勾股定理：。

2+歹=疽(2)三角关系：ZA+ZB+ZC=180° ，ZA+ZB =ZC=90° .(3)边角美系 tanA二一，s inA——, cosA——， b c c2.解法分类：(1)已知斜边和一个锐角解直角三角形；(2)已知一条直角边和一个锐角解直角三角形;(3)已知两边解直角三角形.3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念：(1)仰、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方叫做仰角，在水平线下方叫做俯角(2)坡度：坡面的铅直高度h与水平宽度1的比叫做坡度，常用字母i表示，即i=，(3)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母a表示，则tan(x=¥(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。

的角o(5)方位角：从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角。

二、课堂练习1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A (3, 0)点 B (0, -4),贝ij cosZOAB 等于2、.如图ZXABC电匕C=90° ,A B=8,tanA=4/3 B则AC的长是3、在 RtAABC 中ZC=90° sinA= 4/5则cosB的值等于t4、在正方形网格中，AABC的位置如图所示，则sinB的值为 A C5、如图，在四边形ABCD中，E、F分别是 AB、AD 的中点，若 EF二2, BC二5, CD二3,则tanC等于6.如图，在矩形ABCD中，DE1AC于E,设匕 ADE 二。

，且 cosa = 2, AB 二 4,则 AD 的长为57.如图4,已知正方形刃时的边长为2,如果将线段以绕着点〃旋转后，点〃落在似的延长线上的〃'处，那么tan匕BAD'等于8.比较下列三角函数值的大小：sin40°sin50°9.若是锐角，cosA > VT ,则匕A应满足10.已知ZA为锐角且sinA=1/4,则( )A. 0°< ZA<30°B. 30°< ZA<45°图4C. 45°< ZA<60°D. 60°< ZA<90°11、计算：(-r2-(V3-V2)° +2sin30°+|-312、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域。

13.三角形三边关系

13.三角形三边关系【知识要点】1、三角形的概念、分类2、三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边3、三角形的角平分线、中线、高线的作法及性质角平分线的作法：作三角形的角平分线，只需作一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和交点之间的线段即是三角形的角平分线；一个三角形有三条角平分线，它们相交于三角形内一点。

中线的作法：作三角形的中线，只需连结顶点及其对边中点即可，一个三角形有三条中线，且相交于三角形内一点。

高线的做法：作三角形高，只需经过三角形的顶点向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高。

【典型例题】【例1】（1）如图16－1所示，D 是△ABC 内任一点，求证：AB+AC>BD+CD 。

【例2】在ABC ∆中，AB=9，BC=2．并且AC 为奇数，那么ABC ∆的周长为多少呢？【例3】已知等腰三角形ABC ∆的周长为23cm ，D 为AC 边上中点，ABD ∆的周长比BCD ∆的周长大7cm ，求AB 和BC 的长。

【例4】一个三角形的周长是个偶数，其中的两条边长分别是4和1997，满足上述条件的三角形的个数为（）A ．1个B ．3个C ．5个D ．7个CAB DDE C BA图16－1【例5】如图，AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线。

（1）△ABD 与△ADC 的面积有何关系？请说明理由？（2）若△GFC 的面积GFC S ∆=1cm 2，则△ABC 的面积ABC S ∆= 。

【例6】已知等腰三角形的一边长为6cm ，另一边长为12cm ，则其周长为多少？【课堂训练】一．选择题1．在一个三角形中，两条边长分别为2和7，另一条边的长是奇数，符合这样条件的三角形（）A.不存在B.只有一个C.只有两个D.有三个2．有长度分别为10cm ，7cm ，5cm 和3cm 的四根铁丝，选其中三根组成三角形则（）A.共有4种选法B.只有3种选法C.只有2种选法D.只有1种选法3、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，③∠A=900－∠B ，④∠A=∠B= 12 ∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4．ABC ∆的三边c b a ,,，且()()0=-⋅-+c a c b a ，那么ABC ∆中（）A.c b a >>B.c b a =+C.c a =D.不能确定其边的关系5．三角形的两边长分别为2和5，则三角形的周长t 的取值范围是（）A.73<<tB.129<<tC.1410<<tD.无法确定6．三角形的角平分线、中线、高都是（）A.线段B.射线C.直线D.射线或线段7．下列说法中，正确的是（）A.三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部B.三角形的角平分线有时在三角形的外部C.三角形的中线有时在三角形的外部D.三角形的高至少有1条在三角形的内部8.能把1个三角形分成2个面积相等的小三角形的是该三角形的（）A.角平分线B.中线C.高D.一边的垂直平分线二、解答题1．已知三角形的两边长分别为7和2．（1）如果这个三角形是等腰三角形，求它的周长．（2）如果周长是奇数，求第三边的长．2．已知等腰三角形的周长为20．（1）当一边长为6时，另两边的长是多少？（2）当一边长为4时，另两边的长是多少？3．等腰三角形一腰上的中线把周长分为6和4两部分，则这个三角形的各边分别为_________、_________、_________。

人教版八年级数学上册课堂随堂练习：11.1 与三角形有关的线段(解析版)

11.1 与三角形有关的线段基础题1．下列长度的三条线段能组成三角形的是A．2，3，5 B．7，4，2 C．3，4，8 D．3，3，42．已知三条线段的比是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5．其中可以构成三角形的有A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图小明做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案A．B．C．D．A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短4．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是A．AD⊥BC B．BF=CFC．BE=EC D．∠BAE=∠CAE5．以下说法错误的是A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点6．a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|，结果是A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b2c7．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是A．20米B．15米C．10米D．5米8．如图，AE是△ABC的中线，已知EC=8，DE=3，则BD=___________．9．一个三角形的两边长分别是2和4，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是__________．10．已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9 cm和15 cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．11．如图，已知CD是△ABC的高，CM是△ABC的中线．（1）若△ABC的面积为40，求△AMC的面积；（2）若△AMC的面积为12，且AM边上的高为4，求AB的长度．能力题12．三角形一边上的高A．必在三角形内部B．必在三角形外部C ．必在三角形的边上D ．以上三种情况都有可能13．已知三角形的三边长为3，8，x ．若周长是奇数，则x 的值有A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个14．以长为13 cm 、10 cm 、5 cm 、7 cm 的四条线段中的三条线段为边可以画出三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．415．在△ABC 中，三边长分别为a 、b 、c ，且a >b >c ，若b =8，c =3，则a 的取值范围是A ．3<a <8B ．5<a <11C ．6<a <10D ．8<a <1116．下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的是A ．B ．C ．D ．17．如图，在ABC △中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且ABC △的面积是24cm ，则阴影部分的面积等于A ．22cmB ．21cmC ．20.25cmD ．20.5cm18．作ABC △中BC 边上的高AD ，下列作法正确的是A．B．C．D．19．如图，AE⊥BC于E，BF⊥AC于F，CD⊥AB于D，则△ABC中AC边上的高是垂线段A．AE B．CD C．BF D．AF20．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是A．两点之间线段最短B．矩形的对称性C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性21．下面的说法正确的是A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内B．直角三角形的高只有一条C．三角形的高至少有一条在三角形内D．钝角三角形的三条高都在三角形外面22．三角形的三条中线的位置为A．一定在三角形内B．一定在三角形外C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能与三角形一条边重合23．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF=2，则S△ABC等于A．16 B．14C．12 D．1024．若一个三角形周长是15，其三条边长都是整数，则此三角形最长边的最大值是___________．25．已知AD是△ABC的中线，且△ABC的面积为6 cm2，则△ADB的面积为___________ cm2．26．如图，BD是△ABC的中线，AB=8，BC=6，△ABD和△BCD的周长的差是__________．27．已知等腰三角形的周长等于23cm，一边长等于5cm，求其他两边的长．28．等腰三角形（有两条边相等的三角形为等腰三角形，其中相等的两边为腰，另一边为底边）一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5cm和11.5cm两部分，求这个等腰三角形各边的长．参考答案1．【答案】D【解析】A．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；B．∵4+2<7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；C．∵4+3<8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；D．∵3+3>4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确，故选D．2．【答案】B【解析】①中，1+3=4；②中，1+2=3；③中，1+4<6；④中，3+3=6；⑤中，6+6>10；⑥中，3+4>5．故可以构成三角形的是：⑤⑥．共2个，故选B．3．【答案】B【解析】因为三角形具有稳定性，只有B构成了三角形的结构．故选B．4．【答案】C【解析】∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，∴AD⊥BC，∠BAE=∠CAE，BF=CF，∴A、B、D正确，C错误，故选C．5．【答案】A【解析】三角形的三条高不一定在三角形内部交于一点，比如直角三角形的三条高交于直角顶点．故选A．6．【答案】A【解析】|a+b+c|−|a−b−c|−|a−b+c|−|a+b−c|=a+b+c+a−b−c−a+b−c−a−b+c=0，故选A．7．【答案】D【解析】根据三角形的三边关系，可得5<AB<25，所以A、B间的距离不可能是5米，故选D．8．【答案】5【解析】∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE=8，∴BD=BE–DE=8–3=5，故答案为：5．9．【答案】10【解析】已知三角形的两边长是2和4，根据三角形的三边关系可得第三边大小要大于2小于6，又因为第三边长是偶数，所以第三边是4，即可得周长=2+4+4=10，故答案为：10．10．【解析】设△ABC是等腰三角形，BC为底边，D是AC的中点，AB=x cm，BC=y cm．（1）当AB ＋AD =9 cm 时，有92152x x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得612x y =⎧⎨=⎩，6+6=12，不符合三角形三边关系，舍去．（2）当AB ＋AD =15 cm 时，有15292x x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得104x y =⎧⎨=⎩，4+10<10，符合三角形三边关系，符合题意．综上可得，所求等腰三角形的腰长为10 cm ，底边的长为4 cm ． 11．【解析】（1）因为CM 是△ABC 的边AB 上的中线，所以S △AMC =12S △ABC =12×40=20．（2）因为S △AMC =12S △ABC ，S △AMC =12，CD =4，所以S △ABC =24=12AB ·CD =2AB ，所以AB =12．12．【答案】D【解析】锐角三角形所有高在内部，直角三角形两条高在边上，钝角三角形两条高在外部，故选D ． 13．【答案】D【解析】根据三角形的三边关系可得：8–3<x <8+3，即：5<x <11，∵三角形的周长为奇数，∴x =6，8，10，共3个．故选D ． 14．【答案】C【解析】首先可以组合的数组有13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不能构成三角形，则可以画出的三角形有3个．故选C ． 15．【答案】D【解析】∵8–3<a <8+3，∴5<a <11，又∵a >b >c ，b =8，c =3，∴8<a <11，故选D ． 16．【答案】A【解析】从三角形的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做该三角形的高．根据定义，线段BE 是△ABC 的高的图形只有选项A ．故选A ． 17．【答案】B【解析】∵点F 是CE 的中点，∴BF 是BCE △的中线，∴12BEF BEC S S =△△，同理得12BDE ABD S S =△△，12EDC ADC S S =△△，∴12EBC ABC S S =△△，∴14BEF ABC S S =△△，又24cm ABC S =△，∴21cm BEF S =△，即阴影部分的面积为21cm ．故选B ． 18．【答案】D【解析】判断三角形的高在三角形的内部或外部，关键取决于三角形的形状，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况讨论，不同的三角形的高所在的位置也不同．故选D ． 19．【答案】C【解析】AC 边上的高线是指过点B 作直线AC 的垂线段，则BF 为AC 边上的高线．本题中AE 是BC 边上的高线，CD 是AB 边上的高线．故选C ． 20．【答案】D【解析】加上EF 后，原不稳定的四边形ABCD 中具有了稳定的△EAF ，故这种做法的根据是三角形的稳定性．故选D ． 21．【答案】C【解析】A ，三角形的三条高不一定都在三角形的内部，错误；B ，直角三角形有三条高，其中有两条高就是两条直角边，错误；C ，锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形有两条是直角边，另一条高在内部；钝角三角形有两条在外部，一条在内部，正确；D ，钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，错误．故选C ． 22．【答案】A【解析】三角形的三条中线的交点一定在三角形内．故选A ． 23．【答案】A【解析】∵DF 是△CDE 的中线，∴S △CDE =2S △DEF ， ∵CE 是△ACD 的中线，∴S △ACD =2S △CDE =4S △DEF ， ∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABC =2S △ACD =8S △DEF ， ∵△DEF 的面积是2，∴S △ABC =2×8=16．故选A ． 24．【答案】7【解析】根据三角形的三边关系，依题意得三角形的三边长可能是以下几种情况： ①1，7，7；②2，6，7；③3，5，7；④3，6，6；⑤4，4，7；⑥4，5，6；⑦5，5，5．所以此三角形的最长边的最大值是7．故答案为：7． 25．【答案】3【解析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，所以△ADB 的面积为3 2cm ．故答案为：3． 26．【答案】2【解析】∵BD 是△ABC 的中线，∴AD =CD ，∴△ABD 和△BCD 的周长的差=（AB +BD +AD ）-（BC +BD +CD ）=AB +BD +AD -BC -BD -CD =AB -BC =8-6 =2，故答案为：2．27．【解析】因为给出的边长不确定是等腰三角形的腰长还是底边长，所以需要分两种情况讨论．（1）当5cm 长的边是底边时，设腰长为cm x ，则523x x ++=，解得9x =．又因为长分别为5cm ，9cm ，9cm 的三条线段能组成三角形，所以等腰三角形其他两边的长均为9cm ．（2）当5c m 长的边是腰时，另一腰长也是5cm ，则底边长为235513(cm)--=．而5513+<．说明长为5cm ，5cm ，13cm 的三条线段不能组成三角形，所以此种情况不存在．故等腰三角形其他两边的长均为9cm ．28．【解析】设在ABC △中，AB AC =，BD 是中线，依题意，当AB BC >时，13.511.52AB BC -=-=，2AB BC =+，所以2(2)13.511.5BC BC ++=+，解得7BC =．则29AB AC BC ==+=．当AB BC <时，13.511.52BC AB -=-=，2BC AB =+．所以2213.511.5AB AB ++=+，解得233AB =，则233AC =，2329233BC =+=．综上，这个等腰三角形三边的长分别为9cm ，9cm 和7cm 或23cm 3，23cm 3和29cm 3．。

人教版八年级数学上册第11章《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)含习题答案

要点三、三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和：三角形的外角和等于 360°.
举一反三：
【变式】已知 a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．
【答案】解：∵a、b、c 是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c =2b． 2.如图，O 是△ABC 内一点，连接 OB 和 OC．
类型三、与三角形有关的角
4.已知△ABC 中，AE 平分∠BAC （1）如图 1，若 AD⊥BC 于点 D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE 的度数；（2）如图 2，P 为 AE 上一个动点（P 不与 A、E 重合，PF⊥BC 于点 F，若∠B＞∠C，则
∠EPF=
是否成立，并说明理由．
【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出∠1 的度数，进而得到∠3 的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3 计算即可．【答案与解析】证明：（1）如图 1，∵∠B=72°，∠C=36°，
解：如图(1)，设 AB＝x，AD＝CD＝ 1 x ． 2

认识三角形精品练习题

认识三角形1、三角形的定义：由3条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形称为三形。

如右的图形就是一个三角形2、三角形的各组成部分3. 三角形表示：“△”来表示一个三角形，如上图中，此三角形可以表示为△ABC，或△ACB或△ BAC等等。

A4、三角形的分类1）按角分2）按边分BC5.三角形三边性质：三角形任意两边之和大于第三边；两边之差 <第三条边 <两边之和试一试：1. △AB C中，已知a=8, b=5，则c为( )A. c=3B.c=13C. c 可以是任意正实数D. c 可以是大于 3 小于 13 的任意数值2.下列长度的 4 根木条中，能与 4cm和 9cm 长的 2 根木条首尾依次相接围成一个三角形的是（）A、 4cmB、 9cmC、 5cmD、 13cm3. 有下列长度的三条线段能构成三角形的是( )A.1 cm 、 2 cm、 3 cmB.1 cm、4 cm、2 cmC.2 cm 、 3 cm、 4 cmD.6 cm、2 cm、3 cm4 、如图，以∠ C 为内角的三角形有和在这两个三角形中，∠ C 的对边分别为和5、等腰三角形的一边长为 3 ㎝，另一边长是 5 ㎝，则它的第三边长为6、三角形的三边长为3，a，7，则 a 的取值范围是；如果A这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是；B D C7 一个三角形的两边长分别为 2 ㎝和 9 ㎝, 第三边长是一个奇数, 则第三边的长为 ___________, 此三角形的周长为 _________.8 一个等腰三角形的两边分别为 2.5 和 5，求这个三角形的周长。

9、画一个三角形，使它的三条边长分别为 3 cm、 4 cm 、6 cm.三条重要线段；1、高的定义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点与垂足之间的线段称为三角形的高。

注：（ 1）三角形的高必为线段；（2）三角形的高必过顶点垂直于对边；（3）三角形有三条高。

北师版七年级下册数学第4章三角形三角形的三边关系(2)

感悟新知
3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( A ) A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a(a＞0)
知3－练
感悟新知
4. 下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长
的是( ) C
A．2，3，4B．5，7，7
C．5，6，12D．6，8，10
知3－练
感悟新知
知3－练
课堂小结
三角形的三边关系
判断三条线段组成三角形的方法： “三角形的任意两边之和大于第三边”是判断三条线段能否组成三角形的依据，利用该性质时，通常我们只比较较短的两边的和与最长边的大小关系，若前者大于后者，说明可以组成三角形，否则不能组成三角形．
课堂小结
三角形的三边关系
一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为 ()
感悟新知
知3－练
例4 一个三角形两边的长分别为5和3，第三边的长是
整数，且周长是偶数，则第三边的长是( )
A．2或4 B．4或6C．4D．2或6
B
感悟新知
知3－练
导引：要求第三边的长，需先求出这条边长的取值范围，再在其范围内找出满足条件的数．设三角形的第三边的长为x，则第三边的长的取值范围为5－3＜x＜5＋3，即2＜x＜8.又在2到8之间的整数有3，4，5，6，7，而三角形的周长x＋3＋5＝x＋8应为偶数，所以x也是偶数，所以x的值只能是4或6，所以三角形的第三边的长是4或6.
感悟新知
知3－练
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论? 再画一些三角形试一试.
感悟新知归纳
三角形任意两边之差小于第三边.
知3－讲
感悟新知
例2下列各组数可能是一个三角形C．4，6，8

北师版七年级下册数学第4章三角形用三边关系判定三角形全等

知识点 1 判定两个三角形全等的基本事实：“边边边”
1. 只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等). ①只给一条边：
②只给一个角：
60°
60°
知1－导
可以发现按这些条件画的三角形都不能保证一定全等.
60°
2. 给出两个条件： ①一边一内角：
知1－导
30° ②两内角：
30°
30°
30°50°
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
B′
知1－导
A
C A′
C′
知1－讲
例1 如图，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC＝FE， BC＝DE，AD＝FB.试说明：△ABC≌△FDE.
导引：欲说明△ABC≌△FDE，已知AC＝FE， BC＝DE，需说明AB＝FD，然后根据 “SSS”可得结论．由AD＝FB，利用等式的性质可得AB＝FD，进而得解．
两个三角形全等的判定1：三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边边”或“SSS”. 注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理.
用符号语言表达：
在△ABC和△A′B′C′中，
AB＝ A′B′，
A∵C＝ A′C′，
B
BC＝ B′C′，
知2－讲
总结
知2－讲
在本例中，有两组相等线段，可作辅助线构造有公共边的两个三角形，利用“SSS”说明两个三角形全等．
知2－练
1 如图，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，则∠D 等于( D ) A．30° B．50° C．60° D．100°
知2－练
2 如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论： ①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝ ∠BAC；④∠B＝∠E. 其中错误的是( D) A．①② B．②③ C．③④ D．只有④

《三角形三边关系的探究》-练习题

一、填一填由三条（）围成的图形叫做三角形。

一个三角形有( )个顶点，（）个角，（）条边。

二、判断下面三根小棒可以围成一个三角形吗？你是怎么判断的？（能的在下面画“√”）三、试一试现有长度为2cm,3cm,4cm,5cm的木棒，从中任取三根围成一个三角形，可以怎样选？四、选一选1、下面各组中的三条线段，可以围成一个三角形的（）A、2、4、6B、2、5、5C、2、2、5D、3、4、72、已知一个三角形的两条边是7厘米和8厘米，则第三条边不可能是（）A、2厘米B、3厘米C、14厘米D、1厘米五、先想一想，再小组内说一说（1）3根同样长的小棒，能否首尾相连地摆成一个三角形？（2）4根同样长的小棒，能否首尾相连地摆成一个三角形?六、解决问题1、小明要做一个三角形的支架，他的手中有两根长度分别是4分米、8分米的木条，他还需要一根几分米长的木条就能完成他的心愿？2、已知一个三角形的两条边分别是7cm 、3cm，第三条边可能是多少厘米？班级：________ 姓名：__________ 成绩：_________（能的在下面画“√”）2. 一个三角形的两边分别是5和6，另一条边可能是（）A、小于11B、大于11C、小于11大于13．两根小棒分别是5cm、10cm，再有一根（）㎝的小棒就能围成一个三角形。

A、5cmB、6cmC、4cmD、15cm4. 写出三角形第三边的长度6厘米和6厘米，第三边可能长_______________厘米3厘米和4厘米，第三边可能长_______________厘米5. 如果三角形的两条边的长分别是5cm和8cm，那么第三条边的长最短是（）厘米，最长是（）厘米。

(填整厘米数)6. 一个三角形的各边长都是整厘米数，其中两条边分别是7cm，8cm，那么这个三角形的周长最长是（）厘米，最少是（）厘米。

三角形中位线定理【教案背景】1、面向学生：初二学生2、课时：1课时3、学科：数学4、学生准备：提前预习本节课的内容，2张三角形纸，剪刀.【教材分析】1、教材的地位和作用：本节教材是浙江教育出版社的八年级数学下册第四章第五节的内容。