考研数学一真题及答案

2005年考研数学一真题

令狐采学

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。答案写在题中横线上）

(1)曲线的斜渐近线方程为。

【答案】

【解析】

所以斜渐近线方程为。

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线

(2)微分方程满足的解为。

【答案】

【解析】

原方程等价于

所以通解为

将代入可得

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设函数,单位向量，则

。

【答案】

【解析】

因为

所以

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(4)设是由锥面与半球面围成的空

间区域，是的整个边界的外侧，则

。

【答案】。

【解析】

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算

(5)设均为三维列向量，记矩阵

如果，那么。

【答案】2。

【解析】

【方法一】

【方法二】

由于

两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以

综上所述，本题正确答案是2。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理

(6)从数中任取一个数，记为，再从中任一个

数，记为,则。

【答案】。

【解析】

【方法一】

先求出的概率分布，因为是等可能的取，故关于的边缘分布必有,而只从中抽取，又是等可能抽取的概率为

所以即：

X Y1234

1000

200

30

4

所以

【方法二】

综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

(7)设函数,则

(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点

(C)恰有两个不可导点 (D)恰有三个不可导点

【答案】C。

【解析】

由知

由的表达式和其图像可知在处不可导，在其余点均可导。

1

综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念

(8)设

是连续函数的一个原函数，

表示的充分

必要条件是，则必有

(A)是偶函数是奇函数 (B)是奇函数是偶函数 (C)是周期函数是周期函数 (D)

是单调函数

是单调函数

【答案】A 。 【解析】 【方法一】 若

是偶函数，由导函数的一个基本结论“可导的偶函

数其导函数为奇函数”，反之， 若

为奇函数，则

为偶函数，

的任意一个原

函数可表示为

则

是偶函数，故应选A 。

【方法二】 排除法：取，显然

连续，,且

是偶函数，周期函数。但

不是奇

函数

,也不是周期函数，排除B 和C 选项。

若取,排除D，故应选A。

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】高等数学—一元函数积分学—原函数和不定积分的概念，积分上限的函数及其导数

(9)设函数,其中函数具

有二阶导数，具有一阶导数，则必有

(A) (B)

(C)(D)

【答案】B。

【解析】

可见有

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数和全微分

(10)设有三元方程,根据隐函数存在定理，存

在点的一个邻域，在此邻域内该方程

(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数

(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和

(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和

(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和

【答案】D。

【解析】

则

且

由此可确定的隐函数为和

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—多元函数微分学—隐函数的求导法(11)设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分

别为，则线性无关的充分必要条件是

(A) (B)

(C)(D)

【答案】B。

【解析】

【方法一】

设

即有①

由于特征值不同特征向量线性无关，所以线性无关，由①可得

线性无关只有零解

【方法二】

因为=

那么线性无关

由于线性无关，则

线性无关

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

(12)设为阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩

阵,

分别为的伴随矩阵，则

(A)交换的第一列和第二列得

(B)交换的第一行和第二行得

(C)交换的第一列和第二列得

(D)交换的第一行和第二行得

【答案】C。

【解析】

设为3阶矩阵，因为作初等行变换得到，所以有

从而

又因为,故