电大《常微分方程》形成想考核作业参考答案
《常微分方程》考试参考答案（A卷）
《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。
电大国家开放大学形考任务-常微分方
"题目：方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是(
: _y_＜0的下半平面
; _y_＞0的上半平面
;除去_x_轴的全平面
;全平面"
"题目：方程在_xoy_平面上任一点的解都（）．
:与_x_轴相交
;是惟一的
;与_x_轴相切
;不是惟一的"
"题目：方程在平面上（）．
:无奇解
;有奇解).
).
;有奇解
;有奇解"
"题目：方程组的任一解的图像是空间中的（）．
:一条曲线
;一个曲面
;两条曲线
;两个曲面"
"题目：积分方程的解是（）．
: ; ; ;"
"题目：李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．:充分必要
;必要
;充分
;既非必要也非充分"
"题目：若_A_(_x_),_ F_(_x_)≠0在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组,,的任一非零解()．
理由：由教材第_____页公式_____可以判定．"
"题目2：答：_____方程
理由：由教材第_____页_____方程的定义可以判定．"
"题目3：答：_____方程
理由：由教材第_____页公式_____可以判定．"
"题目4：答：_____方程
理由：由教材第_____页公式_____可以判定．"
"题目5：答：_____方程
:一族曲线
;一条曲线
;一族曲面
;一个曲面"
"题目：一阶线性非齐次方程组的任意两个非零解之差（）．
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务3试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务3试题及答案形考任务3常微分方程学习活动3第一章 初等积分法的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题1．微分方程0)(43='-'+''y y y x y xy 是 二 阶微分方程． 2．初值问题00d (,)d ()y f x y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩的解所满足的积分方程是00(,)d x x y y f s y s =+⎰． 3．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是 一阶线性非齐次微分方程 ．（就方程可积类型而言）4．微分方程0d )2e (d e =++y y x x yy 是 全微分方程 ．（就方程可积类型而言）5．微分方程03)(22=+'+''x y y y 是 恰当倒数方程 ．（就方程可积类型而言） 6．微分方程y x xy sin d d 2=的所有常数解是Λ,2,1,0,±±==k k y π． 7．微分方程21d d y x y -=的常数解是 1±=y ． 8．微分方程x x y y x 122e-=-'的通解为)(e 1C x y x +=-． 9．微分方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=. 10．一阶微分方程的一个特解的图像是 二 维空间上的一条曲线．二、计算题1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（1） 22d d x y xy += 答：一阶，非线性（2）0d d d d 2d d 223344=+-x y x y x y 答：四阶，线性（3）t x x x x =++&&&&&& 答：三阶，非线性2．用分离变量法求解下列方程：（1）y x y -='e（2）0d cot d tan =-y x x y。
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务6试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务6试题及答案形考任务6常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组Y A Y )(d d x x =，n R Y ∈的任一非零解在1+n R 空间 不能 与x 轴相交．2．方程组n x x xR Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是n + 1维空间中的一条积分曲线． 3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0． 4．线性齐次微分方程组n x x x R Y R Y A Y ∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于n + 1 个． 5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上恒等于零 ．6．函数组⎩⎨⎧==x y x y cos sin 21的朗斯基行列式)(x W 是 x x x x x W sin cos cos sin )(-=． 7．二阶方程02=+'+''y x y x y 的等价方程组是⎪⎩⎪⎨⎧--='='y x xy y y y 2111． 8．若)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 没有 共同零点．9．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ．10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为N 个．11．在方程y″+ p (x )y′+q (x )y = 0中，p (x ), q (x )在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上可以与x 轴横截相交．12．二阶线性方程20y y y '''++=的基本解组是e ,e x x x --．13．线性方程0y y ''+=的基本解组是 cos ,sin x x ．14．方程02=+'+''y x y x y 的所有解构成一个 2 维线性空间．15．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．二、计算题1．将下列方程式化为一阶方程组（1）0)()(=++x g x x f x &&&（2）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y。
电大微积分初步平时作业形成性考核册答案
11．当 （）时，函数 在 处连续.答案：D
A．0B．1 C． D．
12．函数 的间断点是（）答案：A
A． B． C． D．无间断点
1．函数 在区间 是（D）
A．单调增加B．单调减少C．先增后减D．先减后增
2．满足方程 的点一定是函数 的（C）.
A．极值点B．最值点C．驻点D．间断点
3．若 ，则 =（C）．
A.2B.1C.-1D.-2
4．设，则（B）．
A．B．C．D．
5．设 是可微函数，则 （D）．
A． B． C． D．
6．曲线 在 处切线的斜率是（C）．
A． B． C． D．
7．若 ，则 （C）．
A． B． C． D．
8．若 ，其中 是常数，则 （C）．
A． B． C． D．
C．函数f (x)在点x0处连续D．函数f (x)在点x0处可微
11．下列函数在指定区间上单调增加的是（B）．
A．sinxB．e xC．x 2D．3 - x
12.下列结论正确的有（A）．
A．x0是f (x)的极值点，且 (x0)存在，则必有 (x0) = 0
B．x0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点
微积分初步
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．函数 的定义域是 ．答案：
2．函数 的定义域是 ．答案：
3．函数 的定义域是 ．答案：
4．函数 ，则 ．答案：
5．函数 ，则 ．答案：
6．函数 ，则 ．答案：
7．函数 的间断点是．答案：
8． ．答案：1
9．若 ，则 ．答案：2
10．若 ，ห้องสมุดไป่ตู้ ．答案：
1．曲线 在 点的斜率是 ．
国家开放大学《常微分方程》形考任务1试题
国家开放大学《常微分方程》形考任务1试题
"题目1：本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．
: 一阶线性微分方程组
; 基本定理
; 定性和稳定性理论简介
; 初等积分法"
"题目2：本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．: 第一章至第四章的单项选择题
; 第二章基本定理的形成性考核书面作业
; 初等积分法中的方程可积类型的判断
; 第一章初等积分法的形成性考核书面作业"
"题目3：网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．
: 自主学习
; 课程信息
; 系统学习
; 课程公告"
"题目4：网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．: 一阶隐式微分方程
; 常数变易法
; 分离变量法
; 全微分方程与积分因子"
"题目5：网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．
: 18
; 19
; 20
; 17"
"题目6：网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．
: 考核说明
; 各章练习汇总
; 复习指导
; 模拟测试"
题目7：请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．。
2020最新-《常微分方程》作业参考答案
《常微分方程》作业参考答案一．求解下列方程 1．x c y cos =2．通解为：x x c y sin cos +=3．dx x x dy 122-= ⎰⎰--=122)1(x x d dy 2ln 1y x c =-+ 1)0(==c y 2ln |1|1y x ∴=-+4．'(1)ln(1)y y y y x x x -=++ 令xu y x y u =⇔=(1)ln(1)dy duu x u u u dx dx∴=+=+++故 (1)ln(1)du x u u dx=++ (1)ln(1)du dx u u x =++ ln(1)ln(1)d u dx u x +=+ ln ln(1)ln ln u x c ∴+=+ ln(1)u cx += cxe u =+1cxe xy =+∴1 )1(-=cxe x y5. 可分离变量方程，通解为)1)(1(222cx y x =++6．齐次方程，通解为 c x xyx y =++ln 422sin .7．全微分方程，通解为 .64224c y y x x =+- 8．.0222=++ydx dy x dx y d 9. 解为.)3(3x x y -= 10. 通解为 .2sin 222c y x y x =++ 1111．方程为．方程为 .011222=+-yx dx dy x dx y d 1212．通解为．通解为).tan(21c x c y +=13. 通解为xCe y =ln14. 通解为22x y Cy -= 15. 方程的通积分为C dy y xydx yx =-+⎰⎰)(2020,即Cy y x =-32316 . 通解为Ce e xy+=17 . 方程的通积分为C ydy dx e yxy=-⎰⎰-002,即C y xe y=--2.18 . 方程通解为x C x y cos sin += 二．1．通解为：cee xy+=2212. 通解为： t t e c c e c z y x 2321123101210⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 3.0)0(0==y y 2121x y =52220121x x y +=4. x uN y uM ∂∂=∂∂ x u N x N u y u M y M u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂令 u y x =+22 y u d ud y u 2⋅=∂∂∴ x u d u d x u 2⋅=∂∂u d u d x x N u u d ud yyMu 22+∂∂=+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-∴y M x N u u d u d x y )(2故满定充要条件的表达式为：)(22y x xy yMxN +=--∂∂∂∂∂ϕ5.)(2122y x v +=)(*dt dv )(22s x +-≤∠0 022≠+s x ∴（∴（0.00.00.0）渐近稳定）渐近稳定6.6.一次近似方程为：一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=y x dtdy yx dt dx32 特征方程为：012=++λλ 3-=∴∆＜0P ＝1＞0 ∴)Re(0)Re(21<<λλ, 则（则（0.00.00.0）局部渐过稳定）局部渐过稳定）局部渐过稳定. .7.01032=--λλ 5,221=-=λλx B x B x A x A y o 2sin )(2cos )(101*1+++=为x x y y y 2cos 10'3"=-- 之特解之特解,,±2λ不是特征根5=a 是特征方程的单根 x o e c x c x c x y 52122)(++=∴*故其通解为：2152211y y ec e c y xx +++=-8.特征根为：2.1.1321==-=λλλ11-=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=532α12=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β13=λ所属的特征向量为：γ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101通解为：tt t e c e c e c z y x 2321101111531⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-9.0:)0(=oy y 2121x y = 52220121x x y -=10.10.特征方程为：特征方程为：01072=++λλ07>=p 010>=g 0>∆故 (0.0)(0.0)为稳定结点为稳定结点11.1.1.一次近似方程为：一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=y x y x t d yd dt x d 0222=++∴λλ 0)Re(1<λ 0)Re(2<λ ∴（∴（0.00.00.0）为局部渐近稳定）为局部渐近稳定 2.)(2122y x v +=. )1)((2222)(-++=*y x y x l dt dv故122<+y x 0<∴dtdv故（故（0.00.00.0）局部渐近稳定）局部渐近稳定）局部渐近稳定. . 12.1.,00=y ,31),(3020001x dx x dx y x f y y xx==+=⎰⎰ .63131)91(),(730620102x x dx x x dx y x f y y xx+=+=+=⎰⎰2.,),(22y x y x f += ∴ ,5),(max ),(==∈y x f M D y x ,42max max ),(),(L y y f D y x D y x ===∂∂∈∈ .5252,1min ,min =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=m b a h 则 .7564)52(32145)()(322=⋅⋅⋅≤-x y x y13. 系数阵为 ,110111110⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡- 特征方程为.0)1()det(2=--=-λλλE A E A λ-的初等因子为 2)1(,-λλ，通解为 .101010101112321t t e t c e c c z y x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14.14.证：设证：设[).),0()(..,0+∞∈∀≤>∃x M x f t s M .则[)+∞∈∀,0x ，有 .)1()(0)(0000M y e M y ds e Me y x y x x xx s x +≤-+=+≤--⎰ []),,0()(0x C x y ∈ ∴ [].,0,)(..,00x x M x y t s M ∈≤>∃令 {},,max 0M y M K += ∴[).,0,)(+∞∈∀≤x K x y 15.15.通解为通解为 .)21(221x x e x x x c e c y -++=1616．．,2=α 特解为 ,1x y= 通解为).ln 21(221x x x c x c y +-+= 17. 解:先解齐次方程.2xy dx dy -=,通解为2x Cey -=.用常数变易法用常数变易法,,令非齐次方程通解为2)(x e x C y -=.代入原方程代入原方程,,化简后可得24)('x xe x C =,积分得到C e x C x+=22)(.代回后即得原方程通解为22x Ce y +=.注:在求解线性方程时在求解线性方程时,,即可以直接套用公式求解即可以直接套用公式求解,,也可以用常数变异法推出也可以用常数变异法推出,,但我们鼓励使用常数变异法鼓励使用常数变异法. .18..18..解解:由通解公式dx e y Cy y C y dx x p )(2111*1-⎰+=,此处1)(,1--==x xx p x y . 所以 x x xdx x x e C x C Ce x C xe C C x dx ey Cy y C y 21**12111*)(1-=-=-=+=--⎰19. 解 302022010311)1(1))((1)(,1)(x x d d x x xx⎰⎰-+=-+=-+==ξξξξξϕϕϕ,5分7542643020212631152611)91323221())((1)(x x x x x d d x xx +--++=+--+=-+=⎰⎰ξξξξξξξξϕϕ20.20.解解:显然0=y 是方程的解当0≠y 时,两端同除以5y ,得x y dx dy y +=4511令z y =41,代入有x z dxdz+=-4,它的解为x Ce x z 441-++-=.于是原方程的解为xCe x y 44411-++-=及0=y .21.21.解解:由通解公式dxe y Cy y C y dx x p ⎰+=-⎰)(2111*1,)ln 1(1)(,ln 1x x x p x y -==, x C x C x C C y dx x x C C y dx e x C C y dx e y Cy y C y dxx x dxx p 212112*1)ln 1(12*1)(2111*ln )ln 1()(ln 1ln )(ln 11+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰+=⎰+=⎰⎰⎰---22. 解:方程组的系数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4312A .特征方程为 0)5)(1(4312)det(=--=--=-λλλλλE A ,特征根为5,121==λλ. 当11=λ 时,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a e y x t 11,其中b a ,满足03311)(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a b a E A λ,则有0=+b a ,取1,1-==b a ,则的一特解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111t e y x . 同理同理,,当52=λ时,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡31522t e y x ,所以方程组的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t e e C e e C t y t x 55213)()(。
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务4试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务4试题及答案形考任务4常微分方程学习活动4第二章基本定理的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点, 重点复习，争取尽快掌握.要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界而完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题1.方程也 = ^sin(x2 +*2)的任一非零解不能与*轴相交. dx2・李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分二条件.3.方程V 士ysinx = e'的任一解的存在区间必是(-8, +8).4.一阶显式方程解的最大存在区间一定是一开区间.5.方程也=亍+ 2满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面・dx_6.方程^ = sinx-cosj；满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面.dx_7.方程华=%2 + sin y满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平而.dx8.方程孚=陌+ 1满足解的存在唯一性定理条件的区域是—D = {(x,y)ER2 y>0}f(或不含*轴的上半平而).dx9.方程曳=叫一 4-满足解的存在惟一性定理条件的区域是全平面.dx 1 + x+y10.一个不可延展解的存在在区间一定开区间.二、计算题1.判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？(1) y r = x2 +y2(2) y f = x + siny1.解(1)因为/(工,力=乂2+；?及= 在整个xo*平面上连续，且满足存在唯一性定理条件，所以在整个平面上，初值解存在且唯一.(2)因为/.(x/) = x + sinv及4(X,J0= COSV在整个x。
北京邮电大学版 常微分方程课后习题解答
部分习题解答习题 11. 指出下列微分方程的阶数，并回答微分方程是否线性的？（1）24.dy x y dx =- （2）222120.d y dy xy dx dx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（3）2230.dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（4）2253sin .d y dy x xy x dx dx -+= （5）cos 20.dyy x dx ++= （6）22sin .y d y e x dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2. 1sinx是微分方程2'''220x y xy x y -++=的解吗？在什么条件下是？在什么条件下不是？为什么？3. 验证函数211x+是方程()2'''1420x y xy y +++=的解。
4. 验证由3231x xy +=所确定的隐函数是方程2220dy xy x y dx++=在区间()0,1上的解。
5. 证明'0y y +=有一个解，但不是通解；证明'10y +=根本没解。
6. 证明()(y x c c =+为任意常数）是一阶方程()2'40yy -=的通解；0y =也是该微分方程的解，但它不在通解中。
7. 给定一阶微分方程2,dyx dx= （1）求出它的通解，（2）求出通过点（1，4）的特解， （3）求出与直线23y x =+相切的解， （4）求出满足条件12ydx =⎰的解，（5）绘出解（2）、（3）、（4）的图形。
1. （1） 一阶；线性。
（2） 二阶；非线性。
（3） 一阶；非线性。
（4） 二阶；线性。
（5） 一阶；非线性。
（6） 二阶；非线性。
2. 00x x ≠=时，是；时，不是。
7. （1） 2.y x C =+ （2） 23.y x =+ （3） 24.y x =+ （4） 25.3y x =+ 习题2（解答完成）习题21. 试分别建立具有下列性质的曲线满足的微分方程（1）曲线上任意一点的切线与该点的向径之间的夹角为零； （2）曲线上任意一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长a ；（3）曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2A 。
电大《常微分方程》形成想考核作业参考答案
常微分方程第一、二、三次作业参考答案1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。
由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。
（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。
解：将2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。
2、求下列方程的解。
１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=-- 解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得：2x =，73y =。
则令2X x =-，73Y y =-。
故原式可变成：2333dY x y dX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+. 两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。
3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。
2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解：()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=. 两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()xy c x e =是原方程的通解。
国家开放大学《微积分基础》形成性考核作业1-4参考答案
国家开放大学《微积分基础》形成性考核作业1-4参考答案形成性考核作业1一、填空题（每小题2分，共20分）1．函数的定义域是 （2,3）U （3，+∞） ．2．函数的定义域是 （-∞，5） ．3．函数的定义域是 （-2,-1）U （-1,2] ．4．函数，则 f(x)=x 2+6 ．5．函数，则 2 ．6．函数，则 x 2―1 ．7．函数的间断点是 x=-1 ．8． 1 ．9．若，则 2 ．10．若，则 3/2 ．二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．设函数，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数2．设函数，则该函数是（A ）．)2ln(1)(-=x x f xx f -=51)(24)2ln(1)(x x x f -++=72)1(2+-=-x x x f =)(x f ⎩⎨⎧>≤+=0e 02)(2x x x x f x =)0(f x x x f 2)1(2-=-=)(x f 1322+--=x x x y =∞→xx x 1sinlim 2sin 4sin lim 0=→kxxx =k 23sin lim 0=→kxxx =k 2e e xx y +=-x x y sin 2=A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数3．函数的图形是关于（D ）对称．A ．B ．轴C ．轴D ．坐标原点4．下列函数中为奇函数是（C ）．A ．B ．C ．D ． 5．函数的定义域为（D ）． A ． B ． C ．且 D ．且 6．函数D ）． A ． B ． C ． D ．222)(xx x x f -+=x y =x y x x sin x ln )1ln(2x x ++2x x +)5ln(41+++=x x y 5->x 4-≠x 5->x 0≠x 5->x 4-≠x 1()ln(1)f x x =-(1,225⋃）（，）(1,225]⋃）（，(5]-∞，),2()2,1(+∞⋃7．设，则（C ）A ．B ．C ．D ．8．下列各函数对中，（D ）中的两个函数相等．A ．，B ．，C ．，D ．，9．当时，下列变量中为无穷小量的是（C ）.A ．B ．C ．D ．10．当（B ）时，函数，在处连续.A ．0B ．1C ．D ．11．当（D ）时，函数在处连续.A ．0B ．12(1)+21f x x x +=-=)(x f 21x -22x -2+1x 22x +2)()(x x f =x x g =)(2)(x x f =x x g =)(2ln )(x x f =x x g ln 2)(=3ln )(x x f =x x g ln 3)(=0→x x 1xx sin )1ln(x +2x x =k ⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f 0=x 21-=k e 2,0(),0x x f x k x ⎧+≠=⎨=⎩0=xC ．D ． 12．函数的间断点是（A ） A ． B ． C ． D ．无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）⒈计算极限=(X ―1)(X ―2)(X +2)(X ―2)=x ―1x +2=142．计算极限=lim x→1(x +6)(x ―1)(x +1)(x ―1)=lim x→1(x +6)(x +1)=72 3．=lim x→3(x +3)(x ―3)(x ―3)(x +1)=lim x→3(x +3)(x +1)=324．计算极限=lim x→4(x ―2)(x ―4)(x ―1)(x ―4)=lim x→4(x ―2)(x ―1)=235．计算极限=lim x→2(x ―2)(x ―4)(x ―2)(x ―3)=lim x→2(x ―4)(x ―3)=26．计算极限=limx→0(1―x ―1)(1―x +1)x(1―x +1)=lim x→0―x x (1―x +1)=lim x→0―1(1―x +1)=―12 7．计算极限=limx→0(1―x ―1)(1―x +1)sin4x(1―x +1)=―188．计算极限=limx→0sin4x(x +4+2)x=16形成性考核作业2一、填空题（每小题2分，共20分）23233)(2+--=x x x x f 2,1==x x 3=x 3,2,1===x x x 42lim 222---→x x x x 165lim 221--+→x x x x 329lim 223---→x x x x 4586lim 224+-+-→x x x x x 6586lim 222+-+-→x x x x x x x x 11lim 0--→x x x 4sin 11lim 0--→244sin lim-+→x x x1．曲线在点的斜率是 1/2 ． 2．曲线在点的切线方程是 y=x+1 ． 3．曲线在点处的切线方程是 y =―12x +32 ．4．2x ln22x．5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则(0) = -6 ． 6．已知，则= 27+3x ln3 ． 7．已知，则=―1x 2 8．若，则-2 ．9．函数的单调增加区间是 [1,+∞) ．10．函数在区间内的驻点为1 ．二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．函数在区间是（D ） A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增2．满足方程的点一定是函数的（C ）.A ．极值点B ．最值点C ．驻点D ．间断点3．若，则=（C ）．A . 2B . 1C . -11)(+=x x f )2,1(x x f e )(=)1,0(21-=x y )1,1(=')2(xy 'x x x f 3)(3+=)3(f 'x x f ln )(=)(x f ''()sin f x x x =()2f π''=2)1(3-=x y 31()3f x x x =-(0,2)x =2)1(+=x y )2,2(-0)(='x f )(x f y =x x f x cos e )(-=)0(f 'D . -24．设，则（B ）． A ． B ．C ．D ．5．设是可微函数，则（D ）．A ．B ．C ．D ．6．曲线在处切线的斜率是（C ）．A ．B ．C ．D ．7．若，则（C ）．A ．B ．C ．D ．8．若，其中是常数，则（C ）．x y 2lg ==y dx xd 21x x d 10ln 1x xd 10ln x xd 1)(x f y ==)2(cos d x f x x f d )2(cos 2'x x x f d22sin )2(cos 'x x x f d 2sin )2(cos 2'x x x f d22sin )2(cos '-1e 2+=x y 2=x 4e 2e 42e 2x x x f cos )(=='')(x f x x x sin cos +x x x sin cos -x x x cos sin 2--x x x cos sin 2+3sin )(a x x f +=a ='')(x fA ．B ．C ．D ．9．下列结论中（A ）不正确．A ．在处连续，则一定在处可微.B ．在处不连续，则一定在处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．若在[a ，b ]内恒有，则在[a ，b ]内函数是单调下降的. 10．若函数f (x )在点x 0处可导，则（B ）是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．，但C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微11．下列函数在指定区间上单调下降减少的是（B ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x12.下列结论正确的有（A ）．A ．x 0是f (x )的极值点，且(x 0)存在，则必有(x 0) = 0B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点C ．若(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点D ．使不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 三、解答题（每小题7分，共56分）⒈设，求． 23cos a x +a x 6sin +x sin -x cos )(x f 0x x =0x )(x f 0x x =0x )(x f 0)(<'x f A x f x x =→)(lim 0)(0x f A ≠),(+∞-∞f 'f 'f ')(x f '3223++=x x y y '2．设，求.3．设，求.4．设，求.5．设，求.6．设是由方程确定的隐函数，求.7．设是由方程确定的隐函数，求.8．设，求．x x y 2cos +=y'x y x2sin e 1+=yd x x x y cos ln +=yd xx x y -++=1)1sin(2yd )(x y y =422=-+xy y x y')(x y y =4e e 2=++x x y x yd 1e )cos(=++y y x y d形成性考核作业3一、填空题（每小题2分，共20分）1．若的一个原函数为，则 1/x 。
电大国家开放大学形考任务-常微分方
:不存在
;有无穷多条
;只有二条
;有惟一一条"
"题目：方程过点（0, 0）的解（）．
:只有三个
;只有一个
;只有两个
;有无数个"
"题目：方程过点(0, 0)的解为，此解的存在区间是(
: ;（－∞，＋∞）
; ;"
"题目：方程过点（1, 1）的解的存在区间是（）．
;必为"
"题目：三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（）线性空间．
: 2维
; 4维
; 1维
; 3维"
"题目：微分方程的通解是（）．
: ; ; ;"
"题目：微分方程的通解为_y _=（）．
: ; ; ;"
"题目：线性非齐次方程组的所有解().
:构成一个_n_ +1维线性空间
;不是线性空间
;构成一个_n_维线性空间
: _x_=±1
; _y_=±1
; _y_=1,_ x_=1
; _y_=±1,_ x_=±1"
"题目：方程，过点（0, 0）有（）．
:一个解
;两个解
;三个解
;无数个解"
"题目：方程（）．
:无奇解
;有奇解
;有奇解_y _= -1
;有奇解"
"题目：方程的的任一解的图像是三维空间中的（）．
:一个曲面
;一族曲线
理由：由教材第_____页公式_____可以判定．"
"题目6：答：_____方程
理由：由教材第_____页公式_____可以判定．"
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务5试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务5试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务5试题及答案形考任务5题目1方程过点（0,0）的积分曲线（）．选择一项：A.有无穷多条B.有惟一一条C.不存在D.只有二条题目2方程在xoy平面上任一点的解都（）．选择一项：A.与x轴相交B.是惟一的C.与x轴相切D.不是惟一的题目3方程的所有常数解是（）．选择一项：题目4方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是().选择一项：A.y＞0的上半平面B.全平面C.除去x轴的全平面D.y＜0的下半平面题目5方程过点(0,0)的解为，此解的存在区间是().选择一项：题目6若A(x),F(x)≠0在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组,,的任一非零解()．选择一项：A.不可以与x轴相交B.构成一个n维线性空间C.构成一个n+1维线性空间D.可以与x轴相交题目7n维方程组的任一解的图像是n+1维空间中的（）．选择一项：A.n条曲线B.一条曲线C.n个曲面D.一个曲面题目8方程的任一非零解在平面上（）零点．选择一项：A.只有一个B.只有两个C.无D.有无穷多个题目9三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（）线性空间．选择一项：A.3维B.2维C.4维D.1维题目10用待定系数法求方程的非齐次特解时，应设为（）．选择一项：最新国家开放大学电大《电工电子技术》机考任务6试题及答案最新国家开放大学电大《电工电子技术》机考任务6试题及答案一、选择题（每小题5分，共40分）1.单相桥式整流电路输出的脉动电压平均值UO(AV)与输入交流电压的有效值U2之比近似为（）。
D.0.92.稳压二极管是利用其工作在伏安特性的（）状态，电压变化极小的特性，使两端电压得以稳定。
D.反向击穿3.三极管放大电路中，直流通路主要用来确定电路的（）。
D.静态工作点4.有一只用三极管构成的放大器，测得管子的三个极对地电压为下表所示，则管脚3为（）。
《常微分方程》作业参考答案
《常微分方程》作业参考答案一．求解下列方程1．x c y cos =2．通解为：x x c y sin cos +=3．dx x x dy 122-= ⎰⎰--=122)1(xx d dy 2ln 1y x c =-+ 1)0(==c y 2ln |1|1y x ∴=-+4．'(1)ln(1)y yyy x x x -=++ 令 xuy x yu =⇔= (1)ln(1)dyduu x u u u dx dx ∴=+=+++故 (1)ln(1)dux u u dx =++(1)ln(1)du dx u u x =++ ln(1)ln(1)d u dxu x +=+ln ln(1)ln ln u x c ∴+=+ ln(1)u cx +=cx e u =+1 cx e x y=+∴1 )1(-=cx e x y5. 可分离变量方程，通解为.)1)(1(222cx y x =++6．齐次方程，通解为 c x x yx y =++ln 422sin .7．全微分方程，通解为 .64224c y y x x =+-8．.0222=++y dx dyx dx y d9. 解为 .)3(3x x y -=10. 通解为 .2sin 222c y x y x =++11．方程为 .011222=+-y x dx dyx dx y d12．通解为 ).tan(21c x c y +=二．1．通解为：c e e x y +=2212. 通解为： t t e c c e c z y x 2321123101210⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3.0)0(0==y y 2121x y =52220121x x y += 4. x uN y uM ∂∂=∂∂ xu N x N u y u M y M u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ 令 u y x =+22 y u d u d y u 2⋅=∂∂∴ x ud u d x u 2⋅=∂∂ u d u d x x N u u d u d y y M u 22+∂∂=+∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-∴y M x N u u d u d x y )(2故满定充要条件的表达式为：)(22y x xy y M xN +=--∂∂∂∂ϕ 5.)(2122y x v +=)(*dtdv)(22s x +-≤∠0 022≠+s x ∴（0.0）渐近稳定 6.一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=y x dtdy y x dt dx 32 特征方程为：012=++λλ 3-=∴∆＜0 P ＝1＞0 ∴0)Re(0)Re(21<<λλ, 则（0.0）局部渐过稳定. 7.01032=--λλ 5,221=-=λλx B x B x A x A y o 2sin )(2cos )(101*1+++=为x x y y y 2cos 10'3"=-- 之特解,±2λ不是特征根5=a 是特征方程的单根 x o e c x c x c x y 52122)(++=∴*故其通解为： 215221y y e c ec y x x +++=-8.特征根为：2.1.1321==-=λλλ 11-=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=532α12=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β13=λ所属的特征向量为：γ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101通解为：t t t e c e c e c z y x 2321101111531⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-9.0:)0(=o y y 2121x y =52220121x x y -= 10.特征方程为：01072=++λλ07>=p 010>=g 0>∆故 (0.0)为稳定结点11.1.一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=yx y x t d y d dt x d 0222=++∴λλ0)Re(1<λ 0)Re(2<λ ∴（0.0）为局部渐近稳定 2.)(2122y x v +=. )1)((2222)(-++=*y x y x l dt dv 故122<+y x 0<∴dtdv 故（0.0）局部渐近稳定. 12. 1.,00=y ,31),(3020001x dx x dx y x f y y x x==+=⎰⎰ .63131)91(),(730620102x x dx x x dx y x f y y x x+=+=+=⎰⎰ 2. ,),(22y x y x f += ∴ ,5),(max ),(==∈y x f M Dy x ,42max max ),(),(L y y f D y x D y x ===∂∂∈∈ .5252,1min ,min =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=m b a h则 .7564)52(32145)()(322=⋅⋅⋅≤-x y x y 13. 系数阵为 ,110111110⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡- 特征方程为 .0)1()det(2=--=-λλλE A E A λ-的初等因子为 2)1(,-λλ，通解为.101010101112321t t e t c e c c z y x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14.证：设 [).),0()(..,0+∞∈∀≤>∃x M x f t s M .则[)+∞∈∀,0x ，有 .)1()(0)(0000M y e M y ds e Me y x y x x xx s x+≤-+=+≤--⎰[]),,0()(0x C x y ∈ ∴ [].,0,)(..,00x x M x y t s M ∈≤>∃令 {},,max 0M y M K += ∴ [).,0,)(+∞∈∀≤x K x y15.通解为 .)21(221xx e x x x c e c y -++=16．,2=α 特解为 ,1x y = 通解为 ).ln 21(221x x x c x c y +-+=。
国开作业常微分方程-形考任务2 初等积分法中的方程可积类型的判断（2）97参考（含答案）
题目：试题正文）方程
理由：由教材第（）页公式（）可以判定．
答案：
题目：试题正文）方程
理由：由教材第（）页公式（）可以判定．
答案：
题目：试题正文）方程
理由：由教材第（）页的（）方程定义可以判定．答案：
题目：试题正文）方程
理由：由教材第（）页公式（）可以判定．
答案：
题目：试题正文）方程
理由：由教材第（）页公式（）可以判定．
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题目：试题正文）方程
理由：由教材第（）页（）方程的定义可以判定．答案：
题目：试题正文）方程
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题目：试题正文）方程
理由：由教材第（）页公式（）可以判定．答案：
题目：试题正文）方程
理由：由教材第（）页公式（）可以判定．答案：。
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常微分方程第一、二、三次作业参考答案1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。
由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。
（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。
解：将2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。
2、求下列方程的解。
１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=-- 解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得：2x =，73y =。
则令2X x =-，73Y y =-。
故原式可变成：2333dY x y dX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+. 两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。
3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。
2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解：()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=. 两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()xy c x e =是原方程的通解。
有(())x x d c x e x y e dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.整理得：1()dc x dx x=. 两边同时积分得()ln ||c x x c =+.故原方程的通解为：(ln ||)x y x c e =+.53)dyy xy dx-=； 解：令4z y -=，代入方程整理得'44z z x +=-解得:4144x C z x e =-+即44144x C y x e -=-+.2234)42(1)0x y dx x y dy +-=解：由原式化简整理得：331332224()203y dx x dy y dy -+-=两边同时积分得：313224403x y y C -+=4、叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理。
一阶微分方程 （1）其中是在矩形域上的连续函数。
定义1 如果存在常数，使得不等式对于所有都成立，则函数称为在上关于满足Lipschitz 条件。
定理1 如果在上连续且关于满足Lipschitz 条件， 则方程(1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件， 这里，。
5、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。
解： 令0)(0=x ϕ则 200200121)()(x xdx dx y x y x xx==-+=⎰⎰ϕ 522200210220121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=⎰⎰ϕϕ6、讨论方程2dyy dx=通过点(1,1)的解和通过点(3,1)-的解的存在区间。
解：此时区域D 是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是：1y C x=-故通过(1,1)的积分曲线为：12y x=-，它向左可无限延展，而当2x →时，y →+∞, 所以，其存在区间为(-∞,2)。
7、考虑方程22()(,),dyy a f x y dx=-假设(,)f x y 及'(,)y f x y 在xOy 平面上连续， 试证明：对于任意0x 及0||y a <，方程满足00()y x y =的解都在(,)-∞+∞上存在。
证明：根据题设，可以证明方程右端函数在整个xOy 平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，y a =±为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知足00()y x y =，0x 任意，0||y a <的解()y y x =上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，()y y x =又不能穿过直线y a =± ，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-∞,+∞)上存在。
8、设''21y x =- （1） 验证函数4212122x x y C x C =-++是方程的通解； 解：由2''1y x =-，易得4212122x x y c x c =-++.故得以验证（2） 求满足初始条件'00|1,|2x x y y ====的特解；解：由2''1y x =-，可得31'3y x x c =-+. 由0'|0x y ==可得10c =422122x x y c =-+.由0|2x y ==可知22c =.所以所求特解为422122x x y =-+. （3） 求满足初始条件13|2,|5x x y y ====的特解。
解：由1|2x y ==，3|5x y ==代入4212122x x y c x c =-++. 解得113c =，274c =. 故所求特解为：421712234x x y x =-++.9、求解下列微分方程1）、22320d y dy y dx dx ++= 2）、224sin d y y x dx += 3）、22265t d x dxx e dt dt++= 解：1）、这里特征根方程为：2320λλ++=，有两个特征根122,1λλ=-=- ，因此它的通解为：212t t y c e c e --=+.解：2）、这里特征根方程为：210λ+=，它的特征根为1,2i λ=± ，因此它对应的齐次方程的通解为：01ix y c e =.考虑4ixw w e ''+=，它的一个特解为：42sin 2cos ()ixp xe w x x ix x P i ==-'. 取它的虚部作为原方程的一个特解，则 2cos p y x x =.根据解的结构基本定理，原方程的通解为： 012cos it p y y y c e x x =+=+.解：3）、这里特征根方程为：2650λλ++=，有两个特征根125,1λλ=-=- ，因此它对应的齐次方程的通解为：5012t t y c e c e --=+.考虑原方程265tx x x e '''++=，它的一个特解为：22(2)21t tp e e w P ==. 根据解的结构基本定理，原方程的通解为：2501221t t tp e y y y c e c e--=+=++.10、将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题: 1） ''''27,(1)7,(1)2t x x tx e x x -++===-2）(4)'''''',(0)1,(0)2,(0)2,(0)0t xx e x x x x -+===-==解：1）令 x 1＝x, x 2= x ‘, 得⎩⎨⎧+--====-te x tx x x x x x 21'''22''127 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-t e x x tx x 0271021'21 又 x 1＝x(1)=7 x 2(1)= x ‘(1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ‘＝,0x 2710⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-t e ＋－－ x(1)＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-27 其中 x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x . 解：2) 令1x ＝x 2x ＝'x 3x ＝''x 4x ＝'''x 则得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=======t t tex te x x x x x x x x x x x 1'44''''33'''22''1 且 1x (0)=x(0)=1, 2x ='x (0)=-1, 3x (0)= ''x (0)=2,4x (0)= '''x (0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：'x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡t te 000x 0001100001000010＋－ x(0)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0211－, 其中 x=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x .11、考虑方程组'()X AX f t =+，其中1221sin , , ()02cos x t A X f t x t ⎡⎤⎛⎫⎡⎤===⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦1）验证 222()0tt t e te t e φ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是 '2102X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭的基解矩阵.2）试求'()X AX f t =+的满足初始条件 1(0)1ϕ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的解 ()t ϕ.证明：a)首先验证它是基解矩阵以)(1t ϕ表示)(t φ的第一列⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0)(21t e t ϕ则)(20120201202)(122'1t e e t t t ϕϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.故)(1t ϕ是方程的解如果以)(2t ϕ表示)(t φ的第二列⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t e te t 222)(ϕ. 我们有)(2012201222)(222222'2t e te e te e t t t t t t ϕϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.故)(2t ϕ也是方程的解，从而)(t φ是方程的解矩阵又00)(det 4222≠==tt t te e te e t φ.故)(t φ是Ax x ='的基解矩阵；b)由常数变易公式可知，方程满足初始条件⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(ϕ的解⎰--+=tdss f t t t 01`1)()()0()()(φφηφφϕ.而tt t t t e t e e te e t 2422211010)(--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=φ.⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴⎰---t t e t t e t ds s s e se e e te e e et t t tt ssstttttsin 51cos 5253sin 251cos 251)2715(251cos sin 00)1()(22022222222ϕ12、设121111201A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求解方程组dX AX dt=满足初始条件1(0)00ϕ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解()t ϕ。