电大《常微分方程》形成想考核作业参考答案

常微分方程第一、二、三次作业参考答案

1、给定一阶微分方程

2dy

x dx

=： （1） 求出它的通解；

解：由原式变形得：

2dy xdx =.

两边同时积分得

2y x C =+.

（2） 求通过点（2，3）的特解；

解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：

1C =-

即通过点（2,3）的特解为：

21y x =-.

（3） 求出与直线23y x =+相切的解；

解：依题意联立方程组：

223y x C

y x ⎧=+⎨

=+⎩

故有：2

230x x C --+=。由相切的条件可知：

0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=

解得4C =

故2

4y x =+为所求。

（4） 求出满足条件

3

3ydx =⎰

的解。

解：将

2y x C =+代入3

30

dy =⎰，可得

2C =-

故2

2y x =-为所求。

2、求下列方程的解。 １）

3x y dy

dx

-= 2）

233331

dy x y dx x y -+=-- 解：依题意联立方程组：

2330

3310x y x y -+=⎧⎨

-+=⎩

解得：2x =，73y =。则令2X x =-，7

3

Y y =-。 故原式可变成：

2333dY x y dX x y

-=-. 令Y

u X =

，则dy Xdu udx =+，即有 2

33263u dx

du u u x

-=-+. 两边同时积分，可得

1

22

(263)||u u C X --+= .

将7

32

y u x -

=

-，2X x =-代入上式可得： 12

227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛

⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪

⎝⎭

.

即上式为所求。 3、求解下列方程:

1)

24dy

xy x dx

+=. 解：由原式变形得：

22dy

xdx y

=-. 两边同时积分得：1

2

ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。

2)(

)x dy

x y e dx

-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解：

(

)0dy

x y dx -=. 进一步变形得：

1

dy dx y

=. 两边同时积分得：

x y ce =.

利用常数变异法，令()x

y c x e =是原方程的通解。

有(())x x d c x e x y e dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭

.

整理得：

1()dc x dx x

=

. 两边同时积分得

()ln ||c x x c =+.

故原方程的通解为：

(ln ||)x y x c e =+.

53)

dy

y xy dx

-=； 解：令4

z y -=，代入方程整理得

'44z z x +=-

解得:

41

44

x C z x e =

-+

即4

4144x C y x e -=-+.

2234)42(1)0x y dx x y dy +-=

解：由原式化简整理得：331

33

2224()203y dx x dy y dy -+-=

两边同时积分得：3

1

32

24403

x y y C -+=

4、叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理。

一阶微分方程 （1）

其中是在矩形域上的连续函数。

定义1 如果存在常数，使得不等式

对于所有

都成立，则函数

称为在

上关于

满足Lipschitz 条件。

定理1 如果在上连续且关于满足Lipschitz 条件， 则方程(1)存在唯一的解，

定义于区间上，连续且满足初始条件， 这里，。

5、求方程

2dy

x y dx

=-通过点(1,0)的第二次近似解。 解： 令0)(0=x ϕ

则 2002

0012

1)()(x xdx dx y x y x x

x

=

=-+

=⎰⎰ϕ 5222002

10220

121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=⎰⎰ϕϕ

6、讨论方程

2dy

y dx

=通过点(1,1)的解和通过点(3,1)-的解的存在区间。 解：此时区域D 是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是：1y C x

=-

故通过(1,1)的积分曲线为：1

2y x

=-，它向左可无限延展，而当2x →时，y →+∞, 所以，其存在区间为(-∞,2)。

7、考虑方程

22()(,),dy

y a f x y dx

=-假设(,)f x y 及'(,)y f x y 在xOy 平面上连续， 试证明：对于任意0x 及0||y a <，方程满足00()y x y =的解都在(,)-∞+∞上存在。

证明：根据题设，可以证明方程右端函数在整个xOy 平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，y a =±为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知足00()y x y =，0x 任意，0||y a <的解

()y y x =上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，()y y x =又不能穿过直线y a =± ，故只能向

两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-∞,+∞)上存在。 8、设

''21y x =- （1） 验证函数42

12122

x x y C x C =

-++是方程的通解； 解：由2

''1y x =-，易得

42

12122

x x y c x c =-++.