2017考研数学一真题解析

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1

）若函数()0,0f x x b x =>⎪≤⎩

在0x =连续，则（ ）。 A. 12ab = B.

C. D. x 择（A. B. C. D. 【解析】令2

()()F x f x =，则有'()2()'()F x f x f x =，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即2

2[(1)][(1)]f f >-，即|(1)||(1)f f >-，故选择C 。

（3）函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =r

的方向导数为（ ）。

A.12

B.6

C.4

D.2 【答案】D

【解析】2{2,,2}gradf xy x z =，因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0}

gradf =，则有122

{4,1,0}{,,}2||333

f u grad u u ∂=⋅==∂。 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）。

A. 010t =

B. 01520t <<

C. 025t =

D. 025t > 【答案】C

【解析】从0到0t 时刻，甲乙的位移分别为0

10

()t v t dt ⎰

与0

20

()t v t dt ⎰，由定积分的几何意义

可知，

25

210

(()()201010v t v t dt -=-=⎰

，因此可知025t =。

（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 维单位矩阵，则（ ）。

A. T

E αα-不可逆

B. T

E αα+不可逆

C. 2T E αα+不可逆

D. 2T E αα-不可逆 【答案】A

【解析】因为T αα的特征值为0（n-1重）和1，所以T E αα-的特征值为1（n-1重）和0，故T E αα-不可逆。

（依（A. B. C. D. 【答案】A 【解析】

由(|)(|)P A B P A B >得()()()()

()1()()

P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=

-，即()()()P A B P A P B >，因此选择A 。

（8）设12,,(2)n X X X n ≥L 来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1

1n

i i X X n ==∑，则下列

结论中不正确的是（ ）。 A.

21()n

i

i X

μ=-∑服从2χ分布

B. 21

2

()n

n

X

X -∑服从2χ分布

此

230

'''()(1)2(21)(22)n n n f x n n n x ∞

-==---∑，代入可得(3)(0)0f =。

（10）微分方程''2'30y y y ++=的通解为y =_________。 【答案】12()x

e c c -+

【解析】由''2'30y y y ++=，所以2

230λλ++=，因此1λ=-，因此通解为：

12()x e c c -+。

（11）若曲线积分221

L xdy aydy x y -+-⎰在区域22

{(,)|1}D x y x y =+<内与路径无关，则a =_________。 【答案】－1 x ay

-

33

的秩2。

（14）设随机变量X 的分布函数为4

()0.5()0.5()2

x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =_________。 【答案】2 【解析】

2

2

2

2

4

()

2

22

(4)

222

1

()'()

2

x

x

x

x

f x F x

-

--

-

-

-

⋅

==+⋅

=+

因此可得2

EX=。

三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说

1

20

1

lim ln(1)ln(1)

n

n

k

k k

x x dx

n n

→∞

=

+=+

∑⎰，然后计算定积分，

2

111

212

000

111 ln(1)ln(1)(1)ln(1)|(1)

221

x

x x dx x d x x x dx

x

-

+=+-=+--⋅

+

⎰⎰⎰

1

11

(1)

24

x dx

=--=

⎰

（17）（本题满分10分）