2017考研数学一真题解析
2017年浙江考研数学真题及答案
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2017考研数一真题答案及详细解析
O 在 式中令y '=o得x = — l,x = l.
当x 分别取 — 1和1时 ,由x3 +y 3 -3x+3y — 2 = 0得 y ( —1) = O,y (1) =1.
将x = — l,y ( —l) = O 及 y '(-1) = 0代入@式得 y" ( —1) = 2.
因为y'c -1) =o,y"c -1)>o,所以y ( — 1) = 0是 y (x)的极小值.
2017年(数 一)真题答案解析
一、选择题
Cl) A
l —cos石 解由f(x) = { ax'
b'
x>O
'在
x
=
O
处连续
,
得limf(x) x一o+
=
b.
x�O
l — cos石
x
又limf(x)= lim-
= lim
=上 =b.
x-o +
_,. •ll I
ax
ce�千o + 2ax 2a
所以ab = —2 .故应选 A.
xn
=l
X +x·
所以,S(x )
=(1
X +x)
1
1 =o三) 2
,x
E
C — 1,1).
故应填 Cl+x)
2
·
03) 2
解 (Aa 1 ,Aa 2 ,Aa 3 ) = ACa 1 ,a z ,a 3 ),因为a 1 ,a z ,a 3 线性无关,故矩阵(a 1 心心)可逆, 所以,r(Aa 1 ,Aa 2 ,Aa 3 ) = r(A),易知,r(A) = 2. 故应填2. (14) 2
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析(江南博哥)1 [单选题]A.ab=B.ab=-C.ab=0D.ab=2正确答案:A参考解析:2 [单选题]设函数f(x)可导,且f(x)f’(x)>0,则().A.f(1)>f(-1)B.f(1)<f(-1)C.|f(1)|>|f(-1)|D.|f(1)|<|f(-1)|正确答案:C参考解析:3 [单选题]函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向导数为().A.12B.6C.4D.2正确答案:D参考解析:4 [单选题]甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处,如下图所示,实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线v=v2(t),三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位:S),则().A.t0=10B.15<t0<20C.t0=25D.t0>25正确答案:C参考解析:5 [单选题]设α为n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则().A.E-ααT不可逆B.E+ααT不可逆C.E+2ααT不可逆D.E-2ααT不可逆正确答案:A参考解析:A项,由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解,故|E-ααT|=0.即E-ααT不可逆.6 [单选题]A.A与C相似,B与C相似B.A与C相似,B与C不相似C.A与C不相似,B与C相似D.A与C不相似,B与C不相似正确答案:B参考解析:由(λE-A)=0,可知A的特征值为2,2,1.7 [单选题]设A,B为随机事件,若0<P(A)<1,0<P(B)<1,则P(A|B)>P(A|)的充分必要条件是().A.P(B|A)>P(B|)B.P(B|A)<P(B|)C.P(|A)>P(B|)D.P(|A)<P(B|)正确答案:A参考解析:8 [单选题]设X1,X2,…,X n(n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记,则下列结论中不正确的是().A.B.C.D.正确答案:B参考解析:9 [填空题]参考解析:【解析】10 [填空题]微分方程y”+2y'+3y=0的通解为y=______.参考解析:【解析】11 [填空题]内与路径无关,则a=______.参考解析:-1【解析】12 [填空题]______.参考解析:【解析】13 [填空题]为线性无关的三维列向量组,则向量组Aα1,Aα2,Aα3的秩为______.参考解析:2【解析】由α1,α2,α3线性无关可知矩阵(α1,α2,α3)可逆,故r(Aα1,Aα2,Aα3)=r(A(α1,α2,α3))=r(A),再由r(A)=2得r(Aα1,Aα2,Aα3)=2.14 [填空题]设随机变量X的分布函数为,其中(x)为标准正态分布函数,则E(X)=______.参考解析:2【解析】15 [简答题]参考解析:16 [简答题]参考解析:17 [简答题]已知函数y(x)由方程x3+y3—3x+3y-2=0所确定,求y(x)的极值.参考解析:解:两边求导得18 [简答题](I)方程f(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根;(Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.参考解析:证明:(I)又由于f(x)在[δ,1]上连续,由f(δ)<0,f(1)>0,根据零点定理得至少存在一点ξ∈(δ,1),使f(ξ)=0,即得证.19 [简答题]设薄片形物体S是圆锥面被柱面z2=2x割下的有限部分,其上任一点的密度为u(x,y,z)=9,记圆锥面与柱面的交线为C.(I)求C在xOy面上的投影曲线的方程;(Ⅱ)求S的质量M.参考解析:(Ⅰ)(Ⅱ)20 [简答题]设三阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α3=α1+2α2.(I)证明:r(A)=2;(11)如果β=α1+α2+α3,求方程组Ax=β的通解.参考解析:解:(I)由α3=α1+2α2可得α1+2α2-α3=0,即α1,α2,α3线性相关,因此,|A|=0,即A的特征值必有0.又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0,21 [简答题]设二次型f(x1,x2,x3)=在正交变换x=Qy下的标准形为,求a的值及一个正交矩阵Q.参考解析:22 [简答题]设随机变量X,Y相互独立,且X的概率分布为P{X=0}=P{X=2}=,Y的概率密度为(I)求P{Y≤E(Y)};(II)求Z=X+Y的概率密度.参考解析:某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n次测量,该物体的质量μ是已知的,设n次测量结果X1,X2,…,X n相互独立且均服从正态分布N(μ,σ2),该工程师记录的是n次测量的绝对误差Z i=|X i-μ|(i=1,2,…,n),利用Z1,Z2,…,Z n估计σ.(I)求Z i的概率密度;(Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量;(Ⅲ)求σ的最大似然估计量.参考解析:。
2016-2017年考研数学一真题及答案
2016考研数学一真题及答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且(2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( )()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )(A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点 (C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导 (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( ) (A )TA 与TB 相似 (B )1A -与1B -相似 (C )TA A +与TB B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (C )柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( )(A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加 (C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少 (8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axxx x f +-=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式100010014321λλλλ--=-+____________. (14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.(17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,证明: (I )级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛;(II )lim n n x →∞存在,且0lim 2n n x →∞<<.(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时,方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解?(21)(本题满分11分)已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(I )求99A(II )设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2017年全国研究生入学考试考研数学(一)真题及答案解析
一点的密度为 9 x2 y2 z2 ,记圆锥面与柱面的交线为 C 。
(I)求 C 在 xOy 面上的投影曲线的方程;
3
(9)已知函数
f
(x)
1 1 x2
,则
f
(3) (0)
_______。
【答案】 0
【解析】
因为
f
(
x)
1
1 x2
1 x2
x4
x6
n
( x2 )
n0
n
(1) x2n
n0
n
f (x) (1) 2n(2n 1)(2n 2)x 2n3
n0
将 x 0 带入 f (0) 0
(10)微分方程 y 2 y 3y 0 的通解为 y _______。
程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)设函数
f (u, v) 具有 2 阶连续偏导数,y
f (ex , cos x) ,求 dy dx
d2y
x0
,
dx2
x0 。
【解析】由复合函数求导法则,可得:
dy dx
f1ex
f2(sin x)
dy 故 dx
x0
f1(1,1)
进一步地:
5
d2y dx2
ex
[V2
(t
)
V1
(t
)]dt
,由定积分的几何意义可知,
25
0 [V2
(t)
V1 (t )]dt
20
10
10
,可知
t0
25
,故选(C)。
(5)设 是 n 维单位列向量, E 为 n 阶单位矩阵,则
(A) E T 不可逆
(B) E T 不可逆
2017考研数一真题及答案解析
设函数
f
(u, v) 具有 2 阶连续偏导数,
y
f (ex , cos x) ,求 dy dx
d2y x0 , dx2
x0
【答案】 dy dx
x0
f1'
(1,1),
d 2y dx 2
x0
f ''
11
(1,1),
【解析】
x0
y f (ex , cos x) y(0) f (1,1)
dy dx x0
() 方程 f (x) 0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根;
() 方程 f (x) f '(x) ( f '(x))2 0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。
【答案】 【解析】
(I) f (x) 二阶导数, f (1) 0, lim f (x) 0 x x0
解:1)由于 lim f (x) 0 ,根据极限的保号性得 x x0
【答案】C
【解析】
f
(x)
f
'(x)
0,
f f
(x) 0 (1)
'(x) 0
或
f f
(x) 0 '(x) 0
(2)
,只有
C
选项满足
(1)
且满足
(2)
,所以选
C。
(3)函数 f (x, y, z) x2 y z2 在点 (1, 2, 0) 处沿向量 u 1, 2, 2 的方向导数为( )
(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
【答案】D
【解析】 gradf {2xy, x 2, 2z}, gradf
(1,2,0)
{4,1, 0}
2017年考研数学一真题及答案(全)
(D) P(B | A) P(B | A) .
【答案】A
【 详 解 】 由 P(A | B) P(A | B) 得 P(AB) P( AB) P( A) P( AB) , 即 P(B) P(B) 1 P(B)
P(AB)>P(A)P(B) ;
数学(一)试题 第 2 页(共 4 页)
由 P(B | A) P(B | A) 也可得 P(AB)>P(A)P(B) .
2
2
(A) A 与 C 相似, B 与 C 相似.
(B) A 与 C 相似, B 与 C 不相似.
(C) A 与 C 不相似, B 与 C 相似.
(D) A 与 C 不相似, B 与 C 不相似.
【答案】B
【详解】 A,B 的特征值为 2,2,1,但 A 有三个线性无关的特征向量,而 B 只有两个,所以
1
1 2 3 ,故有 1,2,3 1 ,即A1,1,1T .
1
Ax 的通解为k1,2,1T (1,1,1)T (k为任意常数).
(21)(本题满分 11 分).
设二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 x22 ax32 2 x1 x2 8 x1 x3 2 x2 x3在正交变换 x Qy 下
【答案】C
(B) 15 t0 20 . (C) t0 25 .
(D) t0 25 .
【详解】在 t0 25时,乙比甲多跑10 m,而最开始的时候甲在乙前方10 m 处. (5)设 α 为 n 维单位列向量, E 为 n 阶单位矩阵,则
(A) E ααT 不可逆.
(B) E ααT 不可逆.
【答案】 1 (x 1)2
【详解】
(1)n1nxn1
n1
2017年考研数学一真题与解析
2017 年考研数学一真题一、选择题1— 8 小题.每题4 分,共 32 分.1.若函数 f (x)1 cos x, x 0在 x 0 处连续,则 axb, x 0( A ) ab1( B ) ab1( C ) ab0 ( D ) ab 222lim1cos x1 x1【详解 】 limf (x)lim2, lim f (x)bf (0) ,要使函数在 x0 处连续,x 0x 0axx 0ax2ax 0一定知足1bab 1 .因此应当选( A )2a22.设函数 f (x) 是可导函数,且知足f ( x) f ( x) 0 ,则( A ) f (1)f ( 1) (B ) f (1) f ( 1)( C ) f (1)f ( 1)( D ) f (1) f ( 1)【详解 】设 g (x)( f (x))2 ,则 g ( x)2 f ( x) f (x) 0 ,也就是2是单一增添函数.也就获得f ( x) 2f ( 1)2f (1)f ( 1) ,因此应当选( C )f (1)3.函数 f (x, y, z)x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n(1,2,2) 的方导游数为( A ) 12 (B ) 6(C ) 4( D ) 2【 详 解 】f2xy, fx 2 , f2z , 所 以 函 数 在 点 (1,2,0) 处 的 梯 度 为 gradf 4,1,0 , 所 以xyzf (x, y, z)x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n(1,2,2) 的方导游数为fr gradfuur1(1,2, 2) 2n4,1,0应当选( D )n34.甲、乙两人赛跑, 计时开始时, 甲在乙前面 10(单位:米)处,如图中,实线表示甲的速度曲线 v v 1 (t )(单位:米 /秒),虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t ) (单位:米 /秒),三块暗影部分的面积分别为10,20,3 ,计时开始后乙追上甲的时辰为t 0 ,则()( A ) t 0 10( B ) 15 t 0 20( C ) t 025( D ) t 025【详解 】由定积分的物理意义:当曲线表示变速直线S(t)T2S1 ,S2 , S3分别运动的速度函数时,v(t )dt 表示时辰 T1 ,T2内所走的行程.此题中的暗影面积T1表示在时间段0,10, 10,25 , 25,30内甲、乙两人所走行程之差,明显应当在t25时乙追上甲,应当选( C).E5为 n 阶单位矩阵,则.设为 n 单位列向量,( A)E T 不行逆( B)E T 不行逆( C)E2T 不行逆( D )E 2T 不行逆【详解】矩阵T的特点值为 1和 n 1个 0 ,进而E T , E T , E2T , E2T 的特点值分别为 0,1,1,L1; 2,1,1,L,1 ;1,1,1,L,1 ; 3,1,1,L,1 .明显只有 E T 存在零特点值,因此不行逆,应当选( A ).2002101006.已知矩阵A021, B020, C020,则001001002( A)A,C相像,B,C相像( B)A,C相像,B,C不相像( C)A,C不相像,B,C相像( D)A,C不相像,B, C不相像【详解】矩阵 A, B 的特点值都是122,31.能否可对解化,只要要关怀 2 的状况.000关于矩阵 A ,2E A00 1 ,秩等于1,也就是矩阵 A 属于特点值2存在两个线性没关的特001征向量,也就是能够对角化,也就是 A ~ C .010关于矩阵 B ,2E B000,秩等于 2,也就是矩阵 A 属于特点值2只有一个线性没关的特001征向量,也就是不能够对角化,自然B,C不相像应选择(B).7A, B是两个随机事件,若0P( A)1,0 P( B)1,则 P( A / B)P( A / B) 的充足必需条件是.设( A)P(B / A) P( B / A)( B)P( B / A) P(B / A)( C)P(B / A)P( B / A)( D)P(B / A) P( B / A)【详解】由乘法公式:P( AB) P( B) P(A / B), P( AB )P(B)( P( A / B) 可得下边结论:P( A / B)P( A / B)P( AB)P( AB) P( A)P( AB)P( AB) P( A)P( B) P( B)P(B)1P( B)近似,由 P( AB ) P( A) P(B / A), P( AB) P( A)P( B / A) 可得P(B / A)P(B / A)P( AB)P( AB) P( B)P( AB)P( AB)P( A)P( B) P( A)P( A)1P( A)因此可知选择( A ).8.设X1, X2,L , X n(n 2)为来自正态整体N (,1) 的简单随机样本,若1 nX i,则以下结论中不Xn i 1正确的是()n) 2听从 2 散布(B )2 X n 22 散布( X i( A)X1听从i 1nX ) 2听从 2 散布)2听从 2 散布( C)( X i( D)n( Xi1)2 ~2 (1),i n解:( 1)明显( X i) ~ N (0,1)( X i1,2,L n 且互相独立,因此( X i)2听从i 12( n) 散布,也就是(A)结论是正确的;n22(n1)S 22( 2)( X i X )(n1)S~( n1),因此( C)结论也是正确的;2i1( 3)注意X ~ N (, 1)n ( X) ~ N (0,1)n( X) 2 ~2 (1) ,因此(D)结论也是正确的;n( 4)关于选项( B ):( X n X1 ) ~ N (0, 2)X n X1~ N (0,1)1( X n X1) 2 ~2 (1) ,因此(B)结22论是错误的,应当选择(B)二、填空题(此题共 6 小题,每题 4 分,满分24 分 . 把答案填在题中横线上)9.已知函数 f ( x)1,则 f (3) (0).1 x2解:由函数的马克劳林级数公式: f (x) f( n) (0) x n,知f( n)(0)n! a n,此中 a n为睁开式中 x n的系n0n!数.因为f ( x)11x2x4L( 1)n x2 n L, x1,1 ,因此 f (3) (0)0 .1 x210.微分方程y 2 y3y0的通解为.【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程 r 22r 30 有一对共共轭的根r12i ,因此通解为y e x (C1 cos2x C2 sin2x)11.若曲线积分xdxaydy在地区 D( x, y) | x 2 y 21 内与路径没关,则 a .Lx 2y 2 1【详解 】设P( x, y)x,Q( x, y)ay ,明显 P( x, y), Q (x, y) 在地区内拥有连续的偏 x 2 y 2x 2y 21 1导数,因为与路径没关,因此有Q Pa1xy12.幂级数( 1)n 1 nx n 1 在区间 ( 1,1)内的和函数为n 1【详解 】( 1)n 1 nx n 1( 1)n 1( x n )( 1)n 1 x nx 1 n 1n 1n 11 x(1 x)2因此 s(x)12 , x( 1,1)(1 x)1 0 113 . 设 矩 阵 A1 12 , 1,2 ,3 为 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量 , 则 向量 组 A 1, A 2 , A 3 的 秩0 1 1为.1 0 1 1 0 1 1 0 1【详解 】对矩阵进行初等变换 A1 12 0 1 1 0 1 1 ,知矩阵 A的秩为 2,因为0 1 11 10 01, 2 , 3 为线性没关,因此向量组 A 1, A 2 , A 3 的秩为 2.14.设随机变量X 的散布函数F (x)( x)x4 ,此中( x) 为标准正态散布函数,则2EX.【详解 】随机变量 X 的概率密度为f ( x) F (x)(x)(x4) ,因此2E(X ) xf ( x)dxx ( x)dxx x 4)dx(2x (x42(2t 4) (t) dt22(t) dt2三、解答题15.(此题满分 10 分)设函数 f (u, v) 拥有二阶连续偏导数,yf ( x,cos )dy, d 2 y.ex ,求|x 0dx 2 |x 0dx【详解 】dyxxx, dy;f 1 (e ,cos x)ef 2 ( e ,cos x)( sin x)|x 0dxf 1 (1,1)dxd 2 ye xf 1 x,cos x) xxxsin xf 12xx,cos x)dx 2(ee (f 11 (e ,cos x)e(e ,cos x))cos xf 2 (esin xe x f 21 (e x ,cos x) sin 2 xf 22 (e x ,cos x)d 2 2y|x 0 f 1 (1,1) f 11(1,1)f 2 (1,1).dx16.(此题满分 10 分)求 limn k2 ln 1k nk 1nn【详解 】由定积分的定义nk 2k lim1nklnk1lim ln 11 x ln(1 x)dxn1 nnnn k 1 nn 0k1 1 x)dx 212 ln(1 417.(此题满分 10 分)已知函数 y( x) 是由方程 x 3 y 33x 3y 20 .【详解 】在方程两边同时对x 求导,得3x 2 3 y 2 y 3 3 y 0( 1)在( 1)两边同时对 x 求导,得2x 2 y( y ) 2 y 2 yy也就是 y2( x y( y ) 2 )1 y2令 y 0 ,得 x1 .当 x 11时, y 1 1 ;当 x 21时, y 2 0 当 x 1 1 时, y 0 , y 1 0 ,函数 y y( x) 取极大值 y 11 ;当 x 21时, y 0 , y1 0 函数 yy( x) 取极小值 y 2 0 .18.(此题满分 10 分)设函数 f ( x) 在区间 0,1 上拥有二阶导数,且f (1) 0f (x), lim0 ,证明:x 0x( 1)方程 f (x)0 在区间 0,1 起码存在一个实根;( 2)方程 f (x) f (x)( f ( x))20 在区间 0,1 内起码存在两个不一样实根.证明:( 1)依据的局部保号性的结论,由条件limf ( x)1,及 x 1(0, ) ,使得0 可知,存在x 0 xf (x 1) 0 ,因为 f ( x) 在 x 1,1 上连续,且 f ( x 1 ) f (1) 0,由零点定理,存在 ( x 1 ,1) (0,1) ,使得f ( )0 ,也就是方程 f (x)0 在区间 0,1 起码存在一个实根;( 2)由条件 limf (x)0 可知 f (0)0 ,由( 1)可知 f ( )0 ,由洛尔定理,存在(0, ) ,使得xxf ( )0 ;设 F ( x) f (x) f (x) ,由条件可知 F ( x) 在区间 0,1 上可导, 且 F (0)0, F ( ) 0, F ( ) 0 ,分别在区间 0,, , 上 对 函 数 F (x) 使 用 尔 定 理 , 则 存 在 1(0, )(0,1), 2 ( , ) (0,1), 使 得12 , F ( 1 )F ( 2 )0 ,也就是方程 f (x) f ( x) ( f ( x))20 在区间 0,1 内起码存在两个不一样实根.19.(此题满分 10 分)设 薄 片 型 S 是 圆 锥 面 zx 2 y 2 被 柱 面 z 2 2 x 所 割 下 的 有 限 部 分 , 其 上 任 一 点 的 密 度 为9 x 2 y 2 z 2 ,记圆锥面与柱面的交线为 C .( 1)求 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程;( 2)求 S 的质量 M .【详解 】( 1)交线 C 的方程为z x 2 y 2 ,消去变量 z ,获得 x 2 y 22x .z 2 2x因此 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程为x 2 y 22xz 0.( 2)利用第一类曲面积分,得M(x, y, z)dS9 x 2 y 2 z 2 dSSS9 x 2 y 2 x 2y 21x 2 y 2 y 2 dxdy x 2y 22xx 2 y 2x 218x 2y 2 dxdy 64x 2y 22x20.(此题满分 11 分)设三阶矩阵 A 1, 2 , 3 有三个不一样的特点值,且312 2 .( 1)证明: r ( A)2 ;( 2)若12 ,3 ,求方程组 Ax的通解.【详解 】( 1)证明:因为矩阵有三个不一样的特点值,因此A 是非零矩阵,也就是 r ( A) 1.假 若 r ( A) 1 时 , 则 r0 是 矩 阵 的 二 重 特 征 值 , 与 条 件 不 符 合 , 所 以 有 r ( A) 2 , 又 因 为312 20,也就是1 ,2 ,3 线性有关, r ( A) 3 ,也就只有 r ( A) 2 .( 2)因为 r ( A)2 ,因此 Ax 0 的基础解系中只有一个线性没关的解向量.因为312 2 0 ,所1 以基础解系为 x2 ;11 又由12,3 ,得非齐次方程组Ax的特解可取为 1 ;11 1方程组 Ax的通解为 xk 21 ,此中 k 为随意常数.1121.(此题满分 11 分)设 二 次 型 f (x 1, x 2 , x 3 ) 2x 12 x 22 ax 32 2x 1x 28x 1 x 3 2x 2 x 3 在 正 交 变 换 x Qy 下 的 标 准 形 为1 y 122 y 22,求 a 的值及一个正交矩阵Q .2 1 4 【详解 】二次型矩阵 A11 14 1a因为二次型的标准形为1 y 12 2 y 22 .也就说明矩阵A 有零特点值,因此A 0 ,故 a 2.1 1 4E A1 11(3)(6)412令E A 0 得矩阵的特点值为13,26,30 .1 1经过分别解方程组( i EA) x 0 得矩阵的属于特点值13 的特点向量 11 ,属于特点值特311 112 6 的特点向量, 30 的特点向量1征值 2232,1611 1 13 2 6因此 Q1 ,2 ,31 02为所求正交矩阵.3 611 132622.(此题满分 11 分)设 随 机 变 量 X ,Y 相 互 独 立 , 且 X 的 概 率 分 布 为 P X 0 P{ X 2}1 , Y 的 概 率 密 度 为22 y,0 y1f ( y)0,其余.( 1)求概率 P ( Y EY ); ( 2)求 ZX Y 的概率密度.12 . 【详解 】( 1) EYyf Y ( y)dy2 y 2 dy0 32 24.因此 P YEYP Y32ydy39( 2) ZX Y 的散布函数为F Z (z) P Z z P X Y z P X Y z, X 0 P X Y z, X 2P X0,Y z P X2,Y z 21P{ Yz}1P Yz2221F Y( z) F Y( z 2)2故 Z X Y 的概率密度为f Z ( z) F Z ( z)1 f (z)f ( z 2)2z, 0 z 1 z 2,2 z 30,其余23.(此题满分 11 分)n 次丈量,该物体的质量某工程师为认识一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了是已知的,设n 次丈量结果 X 1, X 2 ,L , X n 互相独立且均听从正态散布N ( ,2). 该工程师记录的是 n 次丈量的绝对误差Z i X i,( i 1,2, L , ) ,利用 Z 1 , Z 2 ,L , Z n 预计参数.n( 1)求 Z i 的概率密度; ( 2)利用一阶矩求的矩预计量;( 3)求参数最大似然预计量.【详解】( 1)先求Z i的散布函数为F Z ( z) P Z i z P X iX i z z P当 z0时,明显 F Z (z)0 ;当 z0时, F ( z) P Z z P X X i z2z1;i i z PZ2因此 Z i的概率密度为 f Z (z) F Z ( z)e20,z222,z 0 .z 02z22( 2)数学希望EZ i zf (z) dz ze 22dz,0022令 EZ Z 1 n Z i,解得的矩预计量2Z2n Z i.n i 122n i 1( 3)设Z1, Z2,L, Z n的观察值为 z1, z2,L , z n.当 z i0, i1,2,L n 时1nn2n z i2似然函数为 L( ) f ( z i ,))n e22 i 1,i 1(2nln(21n取对数得: ln L ()n ln 2)n ln2z i222i 1令d ln L( )n1n20 ,得参数最大似然预计量为1 n2.d3z in i 1z ii 1。
2017数学一考研真题-答案
T
2
λ
0, λ
λn
0或λ
1
1,
1
αT α
1
λ1
λn 得 A 的特征值为 λ1
0, λn
E - ααT 的特征值为 λ1
即 E - αα 不可逆,应选(A)
T
λn
1
1 , λn
0 ,从而 E - ααT
0,
2 0 0 2 1 0 1 0 0 (6)已知矩阵 A 0 2 1 B 0 2 0 C 0 2 0 ,则 0 0 1 0 0 1 0 0 0
S2
S1
10 ,所以 t0
25
)
(5)设 为 n 维单元列向量,E 为 n 阶单位矩阵,则(
(A) E- T 不可逆(B) E+ T 不可逆(C) E+2 T (D) E-2 T A 【答案】 令 A = αα , A2 = A , 【解析】 令 AX = λX ,由 A - A X = λ - λ X = 0 得 λ 因为 tr A
数学一
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选 项是符合题目要求的
1 cos x ,x 0 (1) 若函数 f x 在 x 0 连续,则 ax b, x 0
(A) ab A 【答案】
1 1 (B) ab (C) ab 0 (D) ab 2 2 2
lim
n
1 1 1 x (2 1 ) 1 1 1 2 1x ) dx l n (1 x d) x ( ) x 2 l n ( 2 20 1 x 2 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 l n 2 x( 1 d) x l n 2 l n 2 0 2 2 1 x 2 4 2 2 4
2017年考研数学一试卷真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在 .答题纸..指定位置上. (1)若函数1,0(),0x f x axb x ì->ï=íï£î在0x =处连续,则( )()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a++®®-==!在0x =处连续11.22b ab a \=Þ=选A. (2)设函数()f x 可导,且'()()0f x f x >,则( )()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >ì>\í>î!或()0(2)'()0f x f x <ìí<î,只有C 选项满足(1)且满足(2),所以选C 。
(3)函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为( )()12()6()4()2A B C D 【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradf gradf u ¶=Þ=Þ=×=×=¶选D.(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:/m s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( )()s 0000()10()1520()25()25A tB tC tD t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt òò则乙要追上甲,则210(t)v (t)10t v dt -=ò,当025t =时满足,故选C.(5)设a 是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则( )()()()()22T T T T A E B E C E D E aa aa aa aa -++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0aa a a a -=-=T E 得()0aa -=T E x 有非零解,故0aa -=T E 。
2017-数一真题大全及答案
2017年考研数学一真题及答案解析跨考教育 数学教研室一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若函数1,0(),0x f x axb x ⎧−>⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续,则( ) ()()11()22()02A abB abC abD ab ==−==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.(2)设函数()f x 可导,且'()()0f x f x >,则( )()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >−<−>−<−【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩,只有C 选项满足(1)且满足(2),所以选C 。
(3)函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为( )()12()6()4()2A B C D【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradf gradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:/m s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( )()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲,则210(t)v (t)10t v dt −=⎰,当025t =时满足,故选C.(5)设α是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则( )()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα−++−不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα−=−=T E 得()0αα−=T E x 有非零解,故0αα−=TE 。
考研数学一真题2017年
25、解:
则 解:
26、
(1)当z<0,z-2<0,而z<0,则FZ(z)=0; (2)当z-2≥1,z>1,即z≥3时,FZ(z)=1;
(3)当0≤z<1时,
(4)当1≤z<2时, (5)当≤z<3时,
所以综上, 所以,
27、解:
FZ(z)=P(Z≤z)=P(|Xi-μ|≤z) 当z<0,FZ(z)=0; 当z≥0,FZ(z)=P(-z≤Xi-μ≤z)=P(μ-z≤Xi≤μ+z)=Fx(μ+z)-FX(μ-z); 当z≥0时,
A.t0=10 B.15<t0<20 C.t0=25
D.t0>25
5、设α为n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则______ A.E-ααT不可逆 B.E+ααT不可逆 C.E+2ααT不可逆 D.E-2ααT不可逆
6、已知矩阵
A.A与C相似,B与C相似 B.A与C相似,B与C不相似 C.A与C不相似,B与C相似 D.A与C不相似,B与C不相似
,则下列结
二、填空题
9、已知函数
,则f(3)(0)=______.
10、微分方程y"+2y'+3y=0的通解为y=______.
11、若曲线积分 12、幂级数
在区域D={(x,y)|x2+y2<1}内与路径无关,则a=______. 在区间(-1,1)内的和函数S(x)=______.
13、设矩阵 Aα3的秩为______.
21、解:
,则C在xOy平面上的投影的方程为
22、证明:由α3=α1+2α2可得α1+2α2-α3=0,即α1,α2,α3线性相关,因此,|A|=0,即A 的特征值必有0.
2017年考研数学一真题及解析
(A)t0 10 (B)15 t0 20 (C)t0 25 (D)t0 25
【答案】B
【解析】从 0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为
t0 0
v1
(t)dt
,
t0 0
v2
(t)dt
,
则乙要追上甲,则
t0 0
v2 (t)
v1 (t)dt
10
,当 t0
25 时满足,故选
C.
(5)设 是 n 维单位列向量, E 为 n 阶单位矩阵,则( )
故可逆。其它选项类似理解。
2 0 0 2 1 0 1 0 0 (6)设矩阵 A 0 2 1 , B 0 2 0 ,C 0 2 0 ,则( )
0 0 1 0 0 1 0 0 2
( A) A与C相似, B与C相似 B A与C相似, B与C不相似 (C) A与C不相似, B与C相似 D A与C不相似, B与C不相似
(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
长理资料群:五,八,6 8,8,六,7,7,五
【答案】D
【解析】 gradf {2xy, x2, 2z}, gradf
(1,2,0)
{4,1, 0}
f u
gradf
u {4,1, 0}{ 1,
|u|
3
2, 3
2} 2. 3
选 D.
(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度曲线 v v1(t) (单位: m / s ),虚线表示乙的速度曲线 v v2 (t) ,三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3,计时 开始后乙追上甲的时刻记为 t0 (单位:s),则( )
2017 年考研数学一真题及答案解析
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
17考研数一真题答案及解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则( ) ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→== 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. (2)设函数()f x 可导,且'()()0f x f x >,则( )()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩ 或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩,只有C 选项满足(1)且满足(2),所以选C 。
(3)函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为( )()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:/m s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( )()10()15A t B =【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲,则()s210(t)v (t)10t v dt -=⎰,当025t =时满足,故选C.(5)设α是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则( )()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=T E x 有非零解,故0αα-=T E 。
2015-2017考研数学一真题(答案+解析)
历年考研数学一真题2015-2017(答案+解析)2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,其二阶导数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3【详解】对于连续函数的曲线而言,拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点0x =.但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的,所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点,所以应该选(C ) 2.设21123()x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解,则(A )321,,a b c =-==- (B )321,,a b c ===- (C )321,,a b c =-== (D )321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=,由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根.如果21r =不是特征方程的实根,则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ,其中()Q x 应该是一个零次多项式,即常数,与条件不符,所以21r =也是特征方程的另外一个实根,这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=,同时*x y xe =是原来方程的一个解,代入可得1c =-应该选(A )3.若级数1nn a∞=∑条件收敛,则33,x x ==依次为级数11()nnn na x ∞=-∑的(A)收敛点,收敛点 (B)收敛点,发散点(C)发散点,收敛点 (D)发散点,发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛,也就是这个幂级数的收敛为1,即11limn n na a +→∞=,所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+,绝对收敛域为02(,),显然33,x x ==依次为收敛点、发散点,应该选(B )4.设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y x ==所围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则(,)Df x y dxdy =⎰⎰( )(A)1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰(B)1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示,化成极坐标方程:221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D :432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰,所以应该选(B ).5.设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,若集合{}12,Ω=,则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是(A ),a d ∉Ω∉Ω (B ),a d ∉Ω∈Ω(C ),a d ∈Ω∉Ω (D ),a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换:2222111111111111201110111403110012(,)()()B A b ad a d a a d a d a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪==→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ----⎝⎭⎝⎭⎝方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<,也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立,当然应该选(D ). 6.设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-,其中()123,,P e e e =,若()132,,Q e e e =-,则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为(A )2221232y y y -+ (B )2221232y y y +- (C )2221232y y y -- (D ) 2221232y y y ++ 【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,100001010T T Q P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T T f x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择(A ). 7.若,A B 为任意两个随机事件,则( )(A )()()()P AB P A P B ≤ (B )()()()P AB P A P B ≥ (C )2()()()P A P B P AB +≤ (D )2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择(C ).8.设随机变量,X Y 不相关,且213,,EX EY DX ===,则2(())E X X Y +-=( )(A )3- (B )3 (C ) 5- (D )5【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-=故应该选择(D ).二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)9.20ln(cos )lim x x x→= 【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-.10.221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ . 【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数,在对称区间上积分为零,所以22202214sin .cos x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11.若函数(,)z z x y =是由方程2cos z e xyz x x +++=确定,则01(,)|dz = .【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-,则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+且当01,x y ==时,z =,所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂'' 也就得到01(,)|dz =.dx -12.设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域,则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰ .【详解】注意在积分区域内,三个变量,,x y z 具有轮换对称性,也就是dxdydz dxdydz dxdydz x y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13.n 阶行列式20021202002212-=- . 【详解】按照第一行展开,得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+,有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==,得11122222()n n n D D -+=+-=-.14.设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ,则{}0P XY Y -<= .【详解】由于相关系数等于零,所以X ,Y 都服从正态分布,1101~(,),~(,)X N Y N ,且相互独立.则101~(,)X N -.{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯= 三、解答题15.(本题满分10分)设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++,3()g x kx=在0x →时为等价无穷小,求常数,,a b k 的取值.【详解】当0x →时,把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式,得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时,(),()f x g x 是等价无穷小,则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩,解得,11123,,.a b k =-=-=-16.(本题满分10分)设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零,若对任意的0x I ∈,曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4,且02()f =,求()f x 的表达式.【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =,得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--=' 整理,得218y y '=,解方程,得118C x y =-,由于02()f =,得12C = 所求曲线方程为84.y x=- 17.(本题满分10分)设函数(,)f x y x y xy =++,曲线223:C x y xy ++=,求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【详解】显然11,f fy x x y∂∂=+=+∂∂. (,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y处的最大方向导数的方向就是梯度方向,最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值.用拉格朗日乘子法求解如下:令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩,得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----,进行比较,可得,在点21,x y ==-或12,x y =-=处,方向导数取到最大,3.=18.(本题满分10分)(1)设函数(),()u x v x 都可导,利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+;(2)设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导,12()()()()n f x u x u x u x =,写出()f x 的求导公式.【详解】(1)证明:设)()(x v x u y=)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆(2)12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ 19.(本题满分10分)已知曲线L 的方程为z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩,起点为0()A ,终点为00(,)B ,计算曲线积分2222()()()L y z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰.【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=,终点为00(,)B 对应2t π=-.22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt π==20.(本题满分11分) 设向量组123,,ααα为向量空间3R的一组基,113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++.(1)证明:向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基;(2)当k 为何值时,存在非零向量ξ,使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同,并求出所有的非零向量.ξ【详解】(1)()123123201020201(,,),,k k βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭,因为2012102024021201k k k k ==≠++,且123,,ααα显然线性无关,所以123,,βββ是线性无关的,当然是向量空间3R 的一组基.(2)设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ,则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得:1132231320()()x k x x k ααααα++++=,所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解.从而系数行列式应该等于零,也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k kαααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关,所以10110020k k=,也就是0k =.此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭,由于12,αα线性无关,所以13200x x x +=⎧⎨=⎩,通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭,其中C 为任意常数.所以满足条件的0C C ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数. 21.(本题满分11分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭.(1)求,a b 的值;(2)求可逆矩阵P ,使1P AP -为对角矩阵.【详解】(1)因为两个矩阵相似,所以有trA trB =,A B =.也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩. (2)由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--,得A ,B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=,得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则1100010005.P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22.(本题满分11分)设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y 为次数.求Y 的分布函数;(1) 求Y 的概率分布; (2) 求数学期望.EY 【详解】(1)X 进行独立重复的观测,得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k kP Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)设22322221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23.(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数,12,,,n X X X 是来自总体的简单样本.(1)求参数θ的矩估计量;(2)求参数θ的最大似然估计量. 【详解】(1)总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰ 令()E X X =,解得参数θ的矩估计量:21ˆX θ=-. (2)似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数,为了使似然函数达到最大,只要使θ尽可能大就可以,所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
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一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1
)若函数()0,0f x x b x =>⎪≤⎩
在0x =连续,则( )。
A. 12ab = B.
C. D. x 择(A. B. C. D. 【解析】令2
()()F x f x =,则有'()2()'()F x f x f x =,故()F x 单调递增,则(1)(1)F F =-,即2
2[(1)][(1)]f f >-,即|(1)||(1)f f >-,故选择C 。
(3)函数2
2
(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =r
的方向导数为( )。
A.12
B.6
C.4
D.2 【答案】D
【解析】2{2,,2}gradf xy x z =,因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0}
gradf =,则有122
{4,1,0}{,,}2||333
f u grad u u ∂=⋅==∂。
(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:m/s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( )。
A. 010t =
B. 01520t <<
C. 025t =
D. 025t > 【答案】C
【解析】从0到0t 时刻,甲乙的位移分别为0
10
()t v t dt ⎰
与0
20
()t v t dt ⎰,由定积分的几何意义
可知,
25
210
(()()201010v t v t dt -=-=⎰
,因此可知025t =。
(5)设α为n 维单位列向量,E 为n 维单位矩阵,则( )。
A. T
E αα-不可逆
B. T
E αα+不可逆
C. 2T E αα+不可逆
D. 2T E αα-不可逆 【答案】A
【解析】因为T αα的特征值为0(n-1重)和1,所以T E αα-的特征值为1(n-1重)和0,故T E αα-不可逆。
(依(A. B. C. D. 【答案】A 【解析】
由(|)(|)P A B P A B >得()()()()
()1()()
P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=
-,即()()()P A B P A P B >,因此选择A 。
(8)设12,,(2)n X X X n ≥L 来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记1
1n
i i X X n ==∑,则下列
结论中不正确的是( )。
A.
21()n
i
i X
μ=-∑服从2χ分布
B. 21
2
()n
n
X
X -∑服从2χ分布
此
230
'''()(1)2(21)(22)n n n f x n n n x ∞
-==---∑,代入可得(3)(0)0f =。
(10)微分方程''2'30y y y ++=的通解为y =_________。
【答案】12()x
e c c -+
【解析】由''2'30y y y ++=,所以2
230λλ++=,因此1λ=-,因此通解为:
12()x e c c -+。
(11)若曲线积分221
L xdy aydy x y -+-⎰在区域22
{(,)|1}D x y x y =+<内与路径无关,则a =_________。
【答案】-1 x ay
-
33
的秩2。
(14)设随机变量X 的分布函数为4
()0.5()0.5()2
x F x x -=Φ+Φ,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX =_________。
【答案】2 【解析】
2
2
2
2
4
()
2
22
(4)
222
1
()'()
2
x
x
x
x
f x F x
-
--
-
-
-
⋅
==+⋅
=+
因此可得2
EX=。
三、解答题:15~23小题,共94分,请将解答写在答题纸指定位置上。
解答应写出文字说
1
20
1
lim ln(1)ln(1)
n
n
k
k k
x x dx
n n
→∞
=
+=+
∑⎰,然后计算定积分,
2
111
212
000
111 ln(1)ln(1)(1)ln(1)|(1)
221
x
x x dx x d x x x dx
x
-
+=+-=+--⋅
+
⎰⎰⎰
1
11
(1)
24
x dx
=--=
⎰
(17)(本题满分10分)
已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定,求()y x 的极值。
【答案】极大值为(1)1y =,极小值为(1)0y -=。
【解析】对333320x y x y +-+-=关于x 求导得:2233'33'0x y y y +-+=, 令'0y =得233x =,因此1x =±,当1x =时,1y =,当1x =-时,0y =。
对2233'33'0x y y y +-+=关于x 再次求导得:2266(')3''3''0x y y y y y +++=,将'0y =
当
(,而, 10
f -,所以,因此根据零点定理可知存在1,
使得1'()0f ξ=,所以111()()'()0F f f ξξξ==,所以原方程至少有两个不同实根。
【解析】略
(19)(本题满分10分)
设薄片型物体S 时圆锥面z =
被柱面22z x =割下的有限部分,其上任一点的弧度
为(,,)u x y z =C ,
(Ⅰ)求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程; (Ⅱ)求S 的质量M 。
【答案】(Ⅰ)22(1)1
0x y z ⎧-+=⎨=⎩
;(Ⅱ)64。
((r ,
12320ααα+-=,因此基础解系的一个解向量为(1,2,1)T -。
因为123βααα=++,故
Ax β=的特解为(1,1,1)T ,因此Ax β=的通解为(1,2,1)(1,1,1),T T k k R -+∈。
(21)(本题满分11分)
设222
123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为
22
1122
y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q 。
【答案】2a =
,正交矩阵0Q ⎛ = ⎝
⎭
而
当为
1k 当2k 当为
()31,0,1T
k -;
从而正交矩阵326032
6Q ⎛⎫- ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭。
(22)(本题满分11分)
(则P 。
{}{}0|01|111
Y z 12211
()(1)22Y Y F P X P X Y z X P X P X Y z X P P Y z F z F z ==+≤=+=+≤==
≤+≤-=+-
(其中()Y F z 为Y 的分布函数:(){}Y F z P Y z =≤) (23)(本题满分11分)
某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立,且均服从正态分布2(,)N μσ,该工程师记录的是n 次测量的绝对误差||,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ,利用12,,,n Z Z Z L 估计σ (Ⅰ)求1Z 的概率密度;
(Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量;
(为Y f 当当i
0,0z ≤⎩(Ⅱ)因为220z i EZ dz σ-+∞=
=⎰i σ=,从而σ的矩估计量为^1n i i Z σ===
;
(Ⅲ)由题可知对应的似然函数为(
)222121,,,i Z n n i L z z z σσ-==
……,
,取对数得:221ln ln 2n i i Z L σσ=⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
∑,所以231ln ()1n i i Z d L d σσσσ=⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑,令ln ()0d L d σσ=,
得σ=σ
的最大似然估计量为^σ=。