9-2(回归分析)
9-1(回归分析)-56页精选文档
回归系数的最小二乘估计
ˆ(X'X)1X'Y
2的估计
2
SSRes np
MSRes
(经验)回归方程
k
yˆx'ˆˆ0 ˆjxj j1
回归方程的拟合优度
决定系数
n
n
R2
SSR i1 yˆi
S ST
n
yi
y2 y2
yi yˆi2
1in1
yi y2
i1
i1
反映y的变化由x解释的比例,
回归直线与样本观测值的拟合优度,
1. 0= 37.187 表明，如果不作任何广告推广，则商品的
(周)销售额为 37.187(万元)。 ︿
2. 1= 1.209 表明，每增加 1 万元的广告投入，会导致
1.209 万元的销售收入的增加。 ︿
3. 1> 0 表明，广告投入于销售收入之间有一定的正比关
系.
2 多元线性回归模型
例:
本章主要内容
线性回归分析 曲线估计 二项Logistic回归
第1节 线性回归
基础知识回顾
一元线性回归 多元线性回归 残差分析 其他问题
1 一元线性回归
例1 x钢材中碳的含量, y 合金钢的强度 需了解y与x之间的关系
i
X(%)
Y(kg/mm2)
1
0.03
40.5
2
0.04
39.5
3
0.05
某公司为了了解营销手段对某一种 食品产品的销售量产生的影响，统 计了三年期间的周销售数据，见 SPSS数据文件 food.sav。
多元线性回归模型
y 0 1 x 1 2 x 2 ...k x .k ..
假设
应用技术回归分析第九章部分完整答案
第9章 非线性回归9.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。
如：(1) 乘性误差项，模型形式为e y AK L αβε=， (2) 加性误差项，模型形式为y AK L αβε=+。
对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。
一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。
9.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表9.14所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。
表9.14生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%）5.26.56.88.110.2 10.3 13.0解：先画出散点图如下图：5000.004000.003000.002000.001000.00x12.0010.008.006.00y从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。
（1）二次曲线 SPSS 输出结果如下：Mode l Sum mary.981.962.942.651R R SquareAdjusted R SquareStd. E rror of the E stim ateThe independent variable is x.ANOVA42.571221.28650.160.0011.6974.42444.2696Regression Residual TotalSum of Squares dfMean SquareF Sig.The independent variable is x.Coe fficients-.001.001-.449-.891.4234.47E -007.0001.4172.812.0485.843 1.3244.414.012x x ** 2(Constant)B Std. E rror Unstandardized Coefficients BetaStandardizedCoefficientstSig.从上表可以得到回归方程为：72ˆ 5.8430.087 4.4710yx x -=-+⨯ 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。
第九讲 回归分析的基本思想及其初步应用
个性化教学辅导教案学科: 任课教师：授课时间：年月日(星期) 姓名年级性别课题第九讲回归分析的基本思想及其初步应用知识框架1. 通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤。
2. 能作出散点图，能求其回归直线方程。
3. 会用所学的知识对简单的实际问题进行回归分析。
难点重点重点：难点：课前检查作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□作业完成建议：教学过程如下：要点一、变量间的相关关系1. 变量与变量间的两种关系：（1）函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积．S与半径r之间的关系S=πr2为函数关系．（2）相关关系：这是一种非确定性关系．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，这两个变量之间的关系叫做相关关系。
例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系．2. 相关关系的分类：（1）在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量；（2）两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩．3. 散点图：将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图．它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据．4. 回归分析：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系，对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
例题讲解类型一、利用散点图判断两个变量的线性相关性例1．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x的一组数据如下表所示．x／秒 5 10 15 20 30 40 50 60y／微米 6 10 11 13 16 17 19 23（1）画出散点图．（2）根据散点图，你能得出什么结论？课堂练习【1】给出x 与y 的数据如下：x 2 4 5 6 8 y3040605070画出散点图，并由图判断x 、y 之间是否具有线性相关关系。
9种常见的HR数据分析方法
9种常见的HR数据分析方法1 对比分析一个数据本身是没有任何意义的，只有在把它和其他数据放在某个场景下做对比，我们才能真正发现它的意义。
我以前在汽车行业，公司每年的销售增长率在20%上下。
这个增速到底高还是低？跟互联网行业的发展相比当然是偏低，但是如果你考虑到我们公司所在行业年增长率也就10~15%，那20%就是一个相当不错的成绩了。
再举个例，现在接近年底了，负责薪酬的HR都在做自己公司下一年工资增长幅度的预测，这个时候你也需要把自己的数据去和行业相对比，而不是单看自己公司期望比例，这样才知道自己处于市场的什么地位。
一般来说，对比有两种，一种是时间上的，另一种是空间上的。
时间上的对比又分两种：本月的数据和上月相比，叫环比；本月的数据与去年同期相比，叫同比。
空间上的对比也分两种，一种是和外部比较，一种是内部部门之间互相比较，拿自己公司离职率去和行业离职率做对比，属于前者；各部门之间的离职率对比，属于后者。
当手上有了数据，首先想到的能够拿它去和哪些数据做对比。
正是在这种不断的反复对比之下，数据才会凸显出自己所蕴藏的意义。
2 细分分析做数据分析的目的是为了透过现象看本质，并进一步提出问题的解决方案。
细分分析帮助我们把数据分解到颗粒度更小的维度，从而更容易看清事情的本质。
假如公司的年离职率达到了10%，超过行业5个百分点。
现在想分析这10%的高离职率究竟是如何造成的，我们可以将数据进行各种细分，细分维度可以包括离职原因、绩效、司龄、年龄、部门、薪酬、级别、籍贯，等等。
再举个例，在招聘中，我们经常需要分析招聘工作的效率。
我们可以根据候选人的数据来划分为渠道、费用、年龄、学历、周期等等不同维度进行细分。
有一家处于快速成长期的公司，每年有大量的招聘。
为了确保招聘流程的高效，HR把招聘流程分解为10个关键节点，然后依次统计每个候选人在各节点之间所花费的时间，从而可以迅速发现流程中的症结，便于及时采取行动，提高效率。
回归分析和曲线拟合
4
一元线性回归分析，只要解决： （1）求变量x与y之间的回归直线方程 （2）判断变量x和y之间是否确为线性关系 （3）根据一个变量的值，预测或控制另一变量 的取值
5
二、一元线性回归方程的确定
数学上判定直线合理的原则： 如果直线与全部观测数据yi (i 1, 2,..., N )的离差平方和， 比任何其它直线与全部观测数据的离差平方和更小，该 直线就是代表x与y之间关系较为合理的一条直线，这条 直线就是x和y之间的回归直线。
* 2 i 1 i 1 N N
*
Q反映了全部观测值yi (i 1,2,..., N )对直线的偏离程度，显 然，离差平方和Q越小，愈能较好地表示x, y之间的关系。 用最小二乘法原理，通过选择合适的系数a，b，使Q最小
9
N Q 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1 N Q 2 ( yi a bxi ) xi 0 b i 1 联合求解得： N 1 N ( xi x)( yi y ) xi yi xi yi N i 1 i 1 i 1 b= i 1 N N _ 1 N 2 2 2 ( x x ) x ( x ) i i i N i=1 i 1 i 1 _ _ N N
间的一组观测数据为观测点处的观测之为这组观测数据求得的变量间的回归方程在回归问题中观测数据总的波动情况用各观测值与总平均y之间的平方和即总变动平方和表示yy第一项是观测值与回归直线的离差平方和反映了误差的大小第二项反映了总变动中由于的线性关系而引起变化的一部分称为回归平方和第三项为零yyyy都有一个自由度和它们对应l自由度称为总自由度记做观测值个数11005001可用检验考察回归直线的显著性
y1
回归分析
回归分析1、回归分析的概念在工农业生产和科学研究中，常常需要研究变量之间的关系。
变量之间的关系可以分为两类：确定性关系、非确定性关系。
确定性关系就是指存在某种函数关系。
然而，更常见的变量之间的关系存在着某种不确定性。
例如：商品的销售量与当地人口有关，人口越多，销售量越大，但它们之间并没有确定性的数值关系，同样的人口，可能有不同的销售量。
这种既有关联，又不存在确定性数值关系的相互关系，就称为相关关系。
回归分析就是研究变量之间相关关系的一种数理统计分析方法。
在回归分析中，主要研究以下几个问题： (1)拟合：建立变量之间有效的经验函数关系； (2)变量选择：在一批变量中确定哪些变量对因变量有显著影响，哪些没有实质影响； (3)估计与检验：估计回归模型中的未知参数，并且对模型提出的各种假设进行推断； (4)预测：给定某个自变量，预测因变量的值或范围。
根据自变量个数和经验函数形式的不同，回归分析可以分为许多类别。
2、一元线性回归⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 一元线性回归模型给定一组数据点(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，如果通过散点图可以观察出变量间大致存在线性函数关系，则可以建立如下模型：其中a,b 称为一元线性回归的回归系数；ε表示回归值与测量值之间的误差。
针对该模型，需要解决以下问题： (1)如何估计参数a,b 以及σ2； (2)模型的假设是否正确？(3)如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测。
⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 采用最小二乘法（即使观测值与回归值的离差平方和最小）：⎩⎨⎧++=),0(~2σεεN bX a Y 2,~(0,),1,2,...,i i i i y a bx N i n e e s =++=1221111112111(,)2[()]0min (,)[()](,)2[()]011ˆˆˆn i i n n i i i i n i i i i i i n i i n n i i ii i n n n i i i ii i i Q a b y a bx a Q a b y a bx Q a b x y a bx b a y b x y n n na b x y a x b x x y e ==========ì锒ï=--+=ïï¶ï==-+ íï¶ï=--+=ïï¶ïî=-=-ìïï+=ïïï揶íïï+=ïïïîå邋åå邋邋1111221ˆ1n i n n n i i i ixy i i i nn xxbx x y x y L n b L ====ìïïïïïïïïí-ïï==ïïïå邋⏹ 回归系数估计量的性质⏹ 样本相关系数及其显著性检验显然：样本相关系数R 的符号决定于Lxy ，因此与相关系数b 的符号一致。
简单回归分析计算例
【例9-3】-【例9-8】 简单回归分析计算举例利用例9-1的表9-1中已给出我国历年城镇居民人均消费支出和人均可支配收入的数据，（1）估计我国城镇居民的边际消费倾向和基础消费水平。
（2）计算我国城镇居民消费函数的总体方差Ｓ2和回归估计标准差Ｓ。
（3）对我国城镇居民边际消费倾向进行置信度为95％的区间估计。
（4）计算样本回归方程的决定系数。
（5）以５％的显著水平检验可支配收入是否对消费支出有显著影响；对Ｈo ：β2＝0.7，Ｈ1：β2＜０.7进行检验。
（6）假定已知某居民家庭的年人均可支配收入为8千元，要求利用例9-3中拟合的样本回归方程与有关数据，计算该居民家庭置信度为95％的年人均消费支出的预测区间。
解：（1）教材中的【例9-3】Ｙt ＝β1＋β2Ｘt ＋u t将表9-1中合计栏的有关数据代入（9.19）和（9.20）式，可得：2ˆβ ＝2129.0091402.57614 97.228129.009 1039.68314）－（－⨯⨯⨯＝0.6724 1ˆβ＝97.228÷14-0.6724×129.009÷14＝0. 7489 样本回归方程为：t Yˆ＝0.7489＋0.6724Ｘt 上式中：0.6724是边际消费倾向，表示人均可支配收入每增加1千元，人均消费支出会增加0.6724千元；0.7489是基本消费水平，即与收入无关最基本的人均消费为0.7489千元。
（2）教材中的【例9-4】将例9-1中给出的有关数据和以上得到的回归系数估计值代入（9.23）式，得： ∑2t e ＝771.9598－0.7489×97.228－0. 6724×1039.683＝0.0808将以上结果代入（9.21）式，可得：Ｓ2＝0.0808／(14-2)＝0.006732进而有： Ｓ＝0.006732＝0.082047（3）教材中的【例9-5】 将前面已求得的有关数据代入（9.34）式，可得：2ˆβS ＝0.082047÷14/129.0091402.5762）（-=0.0056 查ｔ分布表可知：显著水平为５％，自由度为12的ｔ分布双侧临界值是2.1788，前面已求得0.6724ˆ2=β，将其代入（9.32）式，可得： 0560.01788.20.67240560.01788.26724.02⨯+≤≤⨯-β即：0.68460.66022≤≤β（4）教材中的【例9-6】ｒ2＝1 - SST SSE ＝ 1- 96.72520.0808 ＝ 0.9992 上式中的ＳＳＴ是利用表9-1中给出的数据按下式计算的：ＳＳＴ＝∑2t Y －（∑Ｙt ）2／ｎ＝771.9598－（97.228）2÷14＝96.7252（5）教材中的【例9-7】首先,检验收入对消费支出是否有显著影响，提出假设 Ｈo ：β2＝０，Ｈ1：β2≠０。
第9章直线回归与相关分析(田间试验与统计分析 四川农业大学)
解正规方程组，得：
田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
协同变异的大小和性质
均积
协方差
Copyright © 2019 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved Producer：Dr. Liu Yongjian
1、作散点图
(月/日)
y， 5/30 20
一
代 三
5/25
15
化
螟 5/20 10
盛
发
期 5/15
5
田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
5/10
0
yˆ 48.5485 1.0996x
5/5
-5
29
34
39
44
49
x，3月下旬至4月中旬平均温度累计值
Copyright © 2019 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved Producer：Dr. Liu Yongjian
田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
相关变量间的关系
田间试验与统计分析
田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
图9-1 （x，y）散点图
Copyright © 2019 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved Producer：Dr. Liu Yongjian
回归分析的基本思想及其初步应用(2)
3.1回归分析的基 本思想及其初步
应用
2021/4/7
郑平正 制作
1
什么是回归分析：
“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问 题时首先提出的。
根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高， Y记子辈身高。虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲， 其子身高并不一致，因此，X和Y之间存在一种相关关系。
律？
2021/4/7
郑平正 制作
7
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
y
500 水稻产量
450
· ··
400
·
350 · · ·
300
散点图 施化肥量
10 20 30 40 50
x
发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。
x 159.8, y 172,
x y x y 10
10
2 265448,
2
10
312350,
287640
i
i
ii
i 1
i 1
i 1
10
xi yi 10x y
于是，r
i 1
0.9906.
10
(
xi2
2
10x )(
10
yi2
10
2
y
)
2021/4/7
i 1
郑平正 i制1作
21
yi
-n xy
n
xi2-nx 2
i=1
,
aˆ=y-bˆ x.
其中x=
1 n
第9章 一元线性回归分析
9.1.2相关关系的类型
从涉及的变量数量看
简单相关 多重相关（复相关）
从变量相关关系的表现形式看
线性相关——散点图接近一条直线(左图) 非线性相关——散点图接近一条曲线(右图)
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2
11
10.8 10.6 10.4 10.2 10
若在定距变量分布不满足正态性的条件，可将定距变 量降级为定序变量
如要研究考试中学生交卷的名次是否与成绩有关，
交卷名次与考试名次之间的关系
交卷名 次
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
11
12
考试成 绩
94 74 74 60 68 86 92 60 78 74
78
64
参阅《统计学在经济和管理中的应用》
2 i i 2 i i
__
^
__
^
2
总离差平方和
回归平方和
残差平方和
判定系数定义：
r
2
(Y Y ) (Y Y )
i i
^
2 2
判定系数的特点
判定系数是非负的统计量； 判定系数取值范围： 0 r 2 在一元线性回归中，判定系数在数值上是
独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关
回归方程
描述因变量y的期望值如何依赖于自变量x的方程称为回归方程。
E( y) b0 b1 x
估计的回归方程
(estimated regression equation)
(09)第9章 一元线性回归(2011年)
变量之间是否存在关系？ 如果存在，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体 变量之间的关系？
9-9 *
9.1 变量间的关系 9.1.1 变量间是什么样的关系？
统计学 STATIS TICS
函数关系
(第四版) 1. 是一一对应的确定关系 2. 设有两个变量 x 和 y ，变量 y y 随变量 x 一起变化，并完 全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 x 3. 各观测点落在一条线上
y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素 对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数
9 - 30 *
统 计 学 数据分析 (方法与案例)
作者 贾俊平
统计学 STATIS TICS
(第四版)
统计名言
不要过于教条地对待研究的结果， 尤其当数据的质量受到怀疑时。
——Damodar N.Gujarati
9-2 *
第 9 章 一元线性回归
9.1 9.2 9.3 9.4 变量间关系的度量 一元线性回归的估计和检验 利用回归方程进行预测 用残差检验模型的假定
9-7
*
第 9 章 一元线性回归
9.1 变量间的关系
9.1.1 变量间是什么样的关系？ 9.1.2 用散点图描述相关关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
Regression(回归分析)
Fitted Value
• 残差的值上/下的平均值为 ‘0’, Data是Random分布的 因此残差是正规性的.
回归分析例题-单回归分析
5. 最后画回归线 Minitab Menu : Stat / Regression / Fitted Line Plot
回归分析例题-单回归分析
5. 最后画回归线 Minitab Menu : Stat / Regression / Fitted Line Plot
Normal Probability Plot
Residual
0
5
.999
残差(Residual)是检验回归方程法是否适用 的一种Tool.其判断依据如下: 1) 残差的平均应始终为 ‘0’ 2) 残差应正态分布 3) 残差要Random分布 (不能有倾向性)
.99 .95
Probability
.80 .50 .20 .05 .01 .001 -5 0 5
R-Sq(adj) = 87.3%
我们要找的函数式是？
Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total 9 Source x1 x2 DF 1 1 DF SS MS 2 332.07 166.04 7 36.33 5.19 368.40 Seq SS 313.04 19.03 F 32.00 P 0.000
回归分析例题-中回归分析（2）
实行结果
Stepwise Regression: y versus x1, x2, x3, x4 Alpha-to-Enter: 0.15 Alpha-to-Remove: 0.15 Response is y on 4 predictors, with N = 13 Step Constant x4 T-Value P-Value x1 T-Value P-Value x2 T-Value P-Value S R-Sq R-Sq(adj) C-p 8.96 67.45 64.50 138.7 2.73 97.25 96.70 5.5 1 117.57 -0.738 -4.77 0.001 2 103.10 -0.614 -12.62 0.000 1.44 10.40 0.000 3 71.65 -0.237 -1.37 0.205 1.45 12.41 0.000 0.416 2.24 0.052 2.31 98.23 97.64 3.0 1.47 12.10 0.000 0.662 14.44 0.000 2.41 97.87 97.44 2.7 4 52.58
回归分析二
幂函数型
两个地理要素或变量之间的幂函数表达式为
y ax
b
然后对上式两边取常用对数或自然对数，得
ln y ln a b ln x
X A 令 Y ln y ， ln a ， ln x 则上式为
Y A bX
例:下表给出了某地区林地景观斑块面积（Area） 与周长（Perimeter）的数据。两者之间呈现幂函 数的分布趋势。下面我们建立林地景观斑块面积 A与周长P之间的非线性回归模型 。
一元线性回归模型的建立
1. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项e 的方程称 为回归模型 2. 一元线性回归模型可表示为 yi = A + B xi + e（总体回归模型） – y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 – 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 – 误差项 是随机变量 • 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因 素对 y 的影响 • 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异 性 – A 和 B 称为模型的参数
7
8 9 10 11 12 合计 平均值
26.0
24.6 19.5 12.5 4.0 -2.8 138.8 11.56666667
28.2
26.5 21.1 13.4 4.6 -1.9 155.7 12.975
676.00
605.16 380.25 156.25 16.00 7.84 3056.16
回归分析
回归分析的概念 • 1、回归分析：回归分析是对具有相关关系的变量 之间数量变化的一般关系进行测定，确定一个相 关的数学表达式，以便于进行估计或预测的方法。 • 2、回归分析方法：配合直线或配合曲线。用一条 直线来代表现象之间的一般数量关系，这条直线 在数学上叫做回归直线，表现这条直线的数学公 式称为直线回归方程；用一条曲线来代表现象之 间的一般数量关系，这条曲线在数学上叫做回归 曲线，表现这条曲线的数学公式称为曲线回归方 程。
医学统计：相关分析和回归分析
（一）绘制散点图
图9-2 剂量X与日数Y散点图
从整体趋势而言， 随着剂量的增加， 日数呈增加的趋势， 且二者之间存在线 性相关关系。
（二）估计简单相关系数r
n
r102
l x xl y y
n
n
x x2 y y2
i 1
i 1
（三）相关系数ρ 的假设检验 由于抽样误差的存在，我们计算出来的样 本相关系数未必等于总体相关系数，所以需 要对相关系数进行假设检验。 若ρ≠0，说明X与Y之间有线性关系。 若ρ=0，说明X与Y之间无线性关系，但也 可能存在其它相关关系。
Pearson积差相关系数 coefficient of product-moment correlation
X和Y的协方差 ❖ 相关系数＝ (X的方差)(Y的方差)
样本相关系数
r
(X X )(Y Y) lXY
(X X )2 (Y Y)2 lXX lYY
•若ρ＝0，称X和Y不相关 •若ρ≠0，则X和Y线性相关 •相关系数没有量纲，取值范围[-1,1]
❖ Spearman等级相关适用资料不满足正态分布 或总体分布类型未知的数据。
❖ 分析方法是将原始数据值由小到大排序，序 号称为秩(rank)，以秩作为新的变量来计算等 级相关系数rs,用以说明两变量XY之间线性相 关关系的密切程度和方向。
❖ Spearman等级相关公式：
6 d 2
rs 1 n(n2 1)
则是研究2个随机变量间是否有线性联系、 联系程度及方向的统计方法。
第一节 线性相关分析
线性相关的基本概念
1. 相关分析 (correlation analysis) 研究两个或多个变量之间关联性或关联
程度的一种统计分析方法。 2. 相关系数 (correlation coefficient)
回归分析
科海拾贝—回归分析在客观世界中普遍存在着变量之间的关系。
变量之间的关系一般来说可分为确定性的与非确定性的两种。
确定性关系是指变量之间的关系可以用函数关系来表达的。
另一种非确定性的关系即所谓相关关系。
例如，人的身高与体重之间存在着关系，一般来说，人高一些，体重要重一些，但同样高度的人的体重往往不相同。
人的血压与年龄之间也存在着关系，但同年龄的人的血压往往不相同。
气象中温度与湿度之间的关系也是这样。
这是因为涉及的变量（如体重、血压、湿度）是随机变量。
上面说的变量关系是非确定性的。
回归分析是研究相关关系的一种数学方法。
使用这种方法可以用一个变量取得的值去估计另一个变量所取的值，或者使用一个变量去解释另外一个变量变化的原因。
这两个量，我们分别称为自变量和因变量。
回归分析是数学建模的有力工具，那么我们要建立回归分析的数学模型，需要以下几个步骤：1、收集一组包含因变量和自变量的数据；2、选定因变量与自变量之间的模型，利用数据，按照最小二乘准则计算模型中的系数；3、利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合地最好的模型；4、判断得到的模型是否适合于这组数据，诊断有无不适合回归模型的异常数据；5、利用模型对因变量做出预测或解释。
注：在第二步中，选定因变量与自变量的模型时，一般是凭经验选取模型，所以此模型又称为经验公式。
回归分析主要包括一元线性回归，多元线性回归以及非线性回归，这里主要是介绍一元线性回归的MA TLAB实现。
实验目的：1、了解回归分析的基本原理，掌握MATLAB的实现方法；2、联系实际用回归分析方法解决实际问题。
一、一元线性回归模型例：用切削机床加工时，为实时地调整机床需测定刀具的磨损程度，先每隔一小时测量刀具的厚度得到以下的数据:试建立刀具厚度关于切削时间的回归模型，对模型和回归系数进行检验，预测15小时后刀具的厚度。
分析：首先对原始数据进行观察，确定回归模型，然后通过计算最终确定模型和模型参数，并对模型和回归系数进行检验。
浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)教材的配套题库(第9章 方差分析及回归分析)【圣才出品】
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（x1－x2±1.78）＝（0.72，4.28），（x1－x3±1.95）＝（2.55，6.45），（x2－x3±1.78）＝
（0.22，3.78）
由此可见，若仅从得到的样本作出决策，则以方案Ⅲ为佳。
3．某防治站对 4 个林场的松毛虫密度进行调查，每个林场调查 5 块地得资料如表 9-5 所示： 表 9-5
表 9-2
因 F 比＝17.07＞3.89＝F0.05（2，14），故在显著性水平 0.05 下拒绝 H0，认为平均寿命的
差异是显著的。
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由已知得xA＝42.6，xB＝30，xC＝44.4，t0.025（12）＝2.1788，极限误差 E 为
t0.025 (12)
1 SE ( ni
1 nk
)
5.8（5 i, k
已知得 n1＝8，n2＝12，n3＝8，，n＝28，T.1＝100，T.2＝120，T.3＝64，T..＝284
ST
3 j 1
ni i 1
xi2j
T2 n
3052 2842 28
171.43
SA
3
T
2 j
n j1 j
T2 n
2962 2880.57 81.43
SE＝ST－SA＝90
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第 9 章 方差分析及回归分析
以下约定各个习题均符合涉及的方差分析模型或回归分析模型所要求的条件。
1．今有某种型号的电池三批，它们分别是 A、B、C 三个工厂所生产的，为评比其质量， 各随机抽取 5 只电池为样品，经试验得其寿命（h）如表 9-1 所示： 表 9-1
第9章方差分析与一元回归分析
第九章 方差分析与一元线性回归分析
[系统(条件)误差]:
概率统计
在方差分析中,凡是由于试验因素的变异而引起的 试验结果的差异,称为“系统误差”或“条件误差”.
[随机(试验)误差]:
在试验中,当我们把所有能控制的试验条件都控 制在固定的状态下,进行多次重复试验,所得的的试 验结果也不会完全一致,仍存在一定程度的差异.
r ni
ST
( Xij X )2
i1 j1
r ni
SE
( Xij Xi )2
i1 j1
r ni
r
SA
( Xi X )2 ni (Xi X )2
i1 j1
i1
ST反映了样本的总变动幅度. SE反映了为从r个总体中选取一个容量为ni的样本所进行的 重复试验而产生的误差. S A反映了从各不同水平总体中取出的各个样本之间的差异.
r i1
1 ni
(
ni j 1
X ij
)2
1 n
(
r i1
ni
Xij )2
j 1
概率统计
第九章 方差分析与一元线性回归分析
概率统计
(3) 若令Y aX b (a 0),有Y aX b SY2 a2SX2
Y
1 n
n i 1
Yi
1 n
n i 1
(aX i
b)
1 n
n
aX i
i 1
第九章 方差分析与一元线性回归分析
教学要求
1.掌握单因素试验的方差分析 2.掌握一元线性回归分析 学时 4- 6
概率统计
第九章 方差分析与一元线性回归分析
第一节、方差分析
一、方差分析的基本原理 二、单因素方差分析的方法 三、单因素方差分析的步骤 四、双因素方差分析的方法
第9章 回归分析
1. 多元线性回归模型 设随机变量 y 与 m (m ≥ 2) 个自变量 x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xm 之间存在相关关系,且有
y= a + b1 x1 + b2 x2 + ⋅⋅⋅ + bm xm + ε 2 ε ~ N (0, σ )
其中 a, b1 , b2 , ⋅⋅⋅, bm , σ 是与 x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xm 无关的未知参数, ε 是不可观测的随机变量.称上式
= F
SR ~ F (1, n − 2) , Se /(n − 2)
168
对于给定的显著性水平 α ,拒绝域为 = F
SR ≥ Fα (1, n − 2) . Se /(n − 2)
Se
2
t 检验法: ˆ ~ N (b, 由b
此得到
σ2
lxx
) 知,
ˆ−b b
σ
lxx ~ N (0,1) .又由
σ
=
= i 1
n
ˆ ( x − x )x ∑ xi yi − y ∑ xi − b ∑ i i
= i 1= i 1
n n
n
= i 1
ˆ ( x − x )( x − x + x ) ∑ xi yi − y ∑ xi − b ∑ i i
= i 1= i 1 n n n
=
= i 1
ˆˆ ( x − x ) 2 − b ∑ xi yi − y ∑ xi − b ∑ i
当原假设 H 0 为真时, (3) F 检验法
σ
SR
2
~ χ 2 (m) ,且 S R 与 Se 相互独立.
SR / m , 当 H 0 为真时, F ~ F ( m, n − m − 1) . 因此 ,对于给定 Se / (n − m − 1) 的显著性水平 α ,拒绝域为 F ≥ Fα (m, n − m − 1) .
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其他操作
【Options】 设置回归分析的一些选项， pStepping Method Criteria：设置自变量进入和剔除回归方程的 标 准，可按P值或F值来设置。 pInclude constant in equation：用于决定是否在模型中包括常数 项，默认选中。 pMissing Values：用于选择对缺失值的处理方式，可以 是不分析任一选入的变量有缺失值的观测值（Exclude cases listwise）而无论该缺失变量最终是否进入模型；不分析具体进 入某变量时有缺失值的观测值（Exclude cases pairwise）； 将缺失 值用该变量的均数代替（Replace with mean）。
其他操作
【Statistics钮】 输出统计量。
pRegression Coefficients：定义回归系数的输出情况， Ø Estimates:可输出回归系数B及其标准 误，t值和p值，还有标准化的回归系数beta,各自 变量的容忍度； Ø Confidence intervals:则输出每个回归系数的 95%置信区间； Øcovariance matrix则会输出各个自变量间的相关系 数,协方差,各回归系数的方差。 以上选项默认只选 中 Estimates。
基本操作
【Block】 由Previous和Next两个按钮组成，用于将下面 Independent框中选入的自变量分组。由于多 元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、 逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法 不同，则用该按钮组将自变量分组选入即可。
基本操作
【Selection Variable】 选择变量，并利用右侧的Rules钮建立一 个选择条件，这样，只有满足该条件的 个体才会进入回归分析。 【Case Labels】 选择一个变量，他的取值将作为每个个 体观测值的标签。
其他操作
pResiduals：用于选择输出残差诊断 的信息， Ø Durbin-Watson:自相关性的DW检验、 ØCasewise Diagnostic:个体观测值诊断, 输出超出规定的n倍标准误 的个体的相关信息。
p Model fit：模型拟合过程中进入、退 出的变量的列表，以及一些有关拟合优度的检 验,R，R2和调整的R2, 回归的标准误及回归 显著性的方差分析表。
的散点图
【Save】 p:Predicted Values:预测值
Unstandardized:非标准化预测值 Standardized:准化预测值 Adjusted:调整的预测值 S.E.of mean predictions:预测均值的标准误差 pDistance:距离 p Predition Intervals:预测区间 pResidual:残差 pInfluence Statistics:影响统计量 DFBeta(s):剔除某一观测值引起的回归系数的变化量 Standardized DFBeta(s):标准化回归系数的变化量 DfFit:预测值的变化量 Standardized DfFit:标准化预测值的变化量 Covaiiance ratio:协方差比
基本操作
Analyze ==> Regression==>linear 【Dependent框】
用于选入回归分析的因变量。
【Independent框】 用于选入回归分析的自变量。
基本操作
【Method 】 用于选择对自变量的选入方法，有 Enter（强行进入法）、 Stepwise（逐步法）、 Remove（强制剔除法）、 Backward（向后法）、 Forward（向前法）五种。 该选项对当前Independent框中的所有 变量均有效。
p Collinearity diagnostics：多重共线性分析， 输出特征根（Eigenvalues）、方差膨胀因子 (VIF),容忍度等等。
以上各项在默认情况下只有Estimates和Model fit复选框被选中。
【Plot钮】
通过图形进行残差分析 p窗口左边框中:
Dependent:因变量 *ZPRED:标准化预测值 *ZRESID:标准化残差 *DRESID:剔除残差 *ADJPRED:调整的预测值 *SRESID:学生化残差 *SDRESID:剔除学生化残差 pScatter:绘制多对变量的散点图 pStandardized Residual Plots: Histogram:标准化残差序列的直方图 Normal probability plot:正态概率图 Produce all partial plot:依次绘制因变量和各个自变量
其他操作
【WLS】 可利用该按钮进行加权最小二乘法的回 归分析。单击该按钮会扩展当前对话框， 出现WLS Weight框，在该框内选入权重 变量即可。
其他操作
pR squared change：显示每个自变量进入方 程后,R2、F值和p值的改变情况。
p Descriptives：提供一些变量描述， 如自变量和因变量的均值、标准差等，同时 还给出一个自变量间的相关矩阵以及单侧检 验的p值。
其他操作
pPart and partial correlations：显示自变量间 的相关、部分相关和偏相关系数。