微分方程的幂级数解法
高阶微分方程的降阶和幂级数解法
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程
d 2x p(t) dx q(t)x 0,
dt 2
dt
的非零解
(4.69)
令 x x1 y 则 x' x1 y' x1' y
代入(4.69)得
x'' x1 y'' 2x1' y' x1'' y
x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' [x1'' p(t)x1' q(t)x1]y 0
k 1, 2,
若取
a0
1 2n (n
1)
则可得(4.74)的另一个特解
y2
(1)k
k 0
1 k !(n
k
1)
( x)2kn 2
Jn (x),
(4.78)
Jn (x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称
为-n阶Bessel函数.
由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.
k 0
k 0
(x2 n2 ) ak xk 0 k 0
比较x的同次幂系数得
a0 ( 2 n2 ) 0
a1[( 1)2 n2 ] 0
(4.76)
ak [( k)2 n2 ] ak2 0, k 2, 3,
因为a0 0, 则有 2 n2 0, 从而 n,
为确定起见暂令 n, 由(4.76)得
ui
( zi )', i zk 1
1, 2,
,k 2
以上做法一直下去,可降低n - k阶.
(4.68)
高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式
n
n!
绝对收敛,
因此级数 1 zn 在整个复平面上是绝对收敛的.
n0 n! ez
1 xn ex
n0 n!
定义 ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
当 x 0 时， z 为纯虚数 yi ，
( z )
e yi 1 yi 1 ( yi)2 1 ( yi)3 1 ( yi)n
n2
n2
2a2
3
2a3 x
(4
3a4
1)x 2
(5
4a
a
)x 3
5
2
(6 5a a )x4 63
(n 2)(n 1)an2 an1 xn+
0. y xy 0
a2 0 , a3 0 , a4
1 43
,
a5
0
,
a6
0
,
,
一般地
an 2
(n
an1 2)(n
1)
(n 3, 4,
un
u2 n
vn2
,
vn
u2 n
vn2
(
n 1, 2,
)
则级数 un 、 vn 绝对收敛，
n1
n1
从而级数 (un vni) 绝对收敛.
n1
复数项级数 1 z 1 z2 1 zn (z x yi) ,
2!
n!
1
x2 y2 1
x2 y2
2
2!
1
x2 y2
2!
3!
n!
1 yi 1 y2 1 y3i 1 y4 1 y5i 2 3! 4! 5!
(1 1 y2 1 y4 ) (y 1 y3 1 y5 )i
幂级数展开的微分方程法
，…的函数都可采用这种方法求解・
从例 １２ － 可以看出，这种幂级数展开的微分方程法能够解决难以找到可利用 的展开式 ， 而其导数又保 留原来函数因式的一些初等函数的幂级数展开 ， 此方法的优点在于将被展开函数幂级数的系数求解问题转 化 为求解 方程 系数 问题 ，这 种求解 方 式既简 单盲观 ．又佰 千学 毕弹解
考虑上述方法的局限性的前提下 ，给出了幂级数展开的微分方程法 ，可使此类问题 的解决简单直观 ，易于
理解 ．
利用微分方程将 函数 ｆ ｚ 在 Ｚ ０ （） ＝ 展开成幂级数可以按如下步骤进行 ： Ｓｅ １ 利用被展开函数的导数与函数的关系建立关于函数的微分方程 ， ｔｐ 使得函数 ｆ ｚ 是这个方程满 （）
＝
１
＋
詈 １ ２（ １于， 函八的克林开ｃ （ ） ） ～ 是 到数 迈劳展式ｓ ＋ （ ． ） 得 ＋． ‘ ・ ０ 薹 罢 ）－２ ２ － Ｉｌ （ （ｎ） ＋１ 詈 ＋ ｎ ｚ． … （＜ ｌ
例 ２ 将函数 ， ｚ ＝ １ 展开成麦克劳林级数． （） ｅ ｚ 一
（一Ｚ ） ｚ＋ （） 厂 ｚ ＝０ １ ２， （） ｚ ＋ （）
满足初始条件 ｆ Ｏ ＝ ， ） ． （） １ ｆ（ ＝０ ０
将，ｚ ： 以 Ｚ ，，（ ＝ ２ａ －，，（） ∑ ２（ｎ １ ２ 代入式 （ ）得 （ ∑ ２ ） ） ∑ ｎ２ ２１ ｚ＝ ｎ２ 一 ） ｚ Ｚ ｎ 口ｚ ２，
例 １ 将函数 ｆ ｚ ＝ＣＳ ｒｓ Ｚ 其中： ∈ ） （） Ｏ（ ｃｉ ）（ ａａ ｎ Ｒ 展成麦克劳林级数．
解 显然 ｚ １ 函数 ｆ ｚ ＝ｃ ｓ ￣ｒｓ ｚ 的奇点 ， ＝± 是 （） ｏ （ ａｃｉ ） ｏ ｎ 所以 Ｒ＝ ． １ 因为 ｆ（） 一 了 ＝ ＿ ｚ
利用解微分方程求幂级数的和函数_孙艾明
(
)
[ ∫Q（ x） e
∫ P （ x） dx
dx + C ．
]
2. 二阶常系数线性微分方程的解法 形如 y″ + py' + qy = f（ x） 的方程我们称之为二阶常系数 q 为已知常数． 当 f （ x ） = 0 时称为齐 其中 p， 线性微分方程， 次方程； 当 f（ x） ≠0 时称为非齐次方程． y″ + py' + qy = 0 的 通解可用如下方法得到： 2 第一步： 写出微分方程的特征方程 r + pr + q = 0 ． r2 ． 第二步： 求出特征方程的两个根 r1 ， 第三步： 根据特征方程的两个根的不同情况， 写出微分 方程的通解， 即 r x r r1 ， r2 为实根， 若 r1 ≠ r2 ， 则通解为 y = C1 e 1 + C2 e 2 ； 若 r1 x r1 = r2 ， r2 = α － 则通解为 y = （ C1 + C2 x ） e ． ； 若 r1 = α + iβ， x iβ， 则通解为 y = e α （ C1 cosβx + C2 sinβx） ． y″ + py' + qy = f（ x） ， 当 f （ x） 为指数函数、 多项式函数和 sinβx， cosβx 或它们的乘积形式时， 可以根据这种函数形式 来推断出特解的形式， 再把形式解带入方程， 确定解中所含 的常数值， 这种方法称为待定系数法 ． x k x 当 f（ x） = e λ P m （ x ） 特解具有形式 x Q m （ x ） e λ 时， 其中 Q m （ x） 是与 P m （ x） 同次的多项式， k 按 λ 不是特征根、 是单 1， 2． 特征根或二重特征根依次取 0 ， x P l （ x） cosωx + P n （ x） sinωx］ 当 f（ x） = e λ ［ 特解具有形式 k λx 1 1 x e ［ R m （ x） cosωx + R2 （ x ） sin x ］ R （ R2 ω 时， 其中 m m x） ， m （ x） 是 m 次多项式， m = max（ l， n） ， k 按 λ + iω （ λ － iω ） 不是特征根 或是特征根分别取 0 或 1 ． 3. n 阶常系数线性齐次微分方程的解法 （ n） （ n － 1） ' + … + p n － 1 y' + p n y = 0 的方程， 形如 y + p1 y 我们 p2 ， …， p n 为已知 称之为 n 阶常系数线性微分方程， 其中 p1 ， （ n） （ n － 1） ' + … + p n － 1 y' + p n y = 0 的特征方程为 常数． y + p1 y n n －1 r + p1 r + … + pn － 1 r + pn = 0， 根据特征方程的根 （ 特征 1］ ． 写出微分方程的通解． 详见［ 根） 的各种不同情况， 二、 利用解微分方程求函数项级数的和函数 例1 解 xn 的和函数 S（ x） ． n = 0 n！ 易求得级数的收敛半径 R = + ∞ ， 当－∞ ＜x ＜ +∞ 求无穷级数 ∑∞ ∞ ຫໍສະໝຸດ ∞[][
微分方程幂级数解法
P( x)与Q( x)可在− R < x < R内展为x 的幂级数,
那么在− R < x < R内原方程必有形如
的解.
∞
∑ y = an xn n=0
∞
作法 设解为 y = ∑ an x n , n=0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x − x0 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
∑ ∞
∞
∑ (n + 2)(n + 1)an+2 x n− x ∑ nan x n−1−
∞
an xn
= 0,
n=0
n=0
n=0
∞
∑[(n + 2)(n + 1)an+2 − (n + 1)an ]x n ≡ 0,
n=0
an+2
=
an , n+2
n = 0,1,2,L
a2
=
a0 2
,
a3
=
a1 3
,
1、 y′ − xy − x = 1； 2、 xy′′ − ( x + m) y′ + my = 0.( m 为自然数 )
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y′
=
y2
+
x3
,
y x=0
=
1； 2
2、d 2 x dt 2
+
x cos t
=
0
,
x t=0
=
a
,
dx dt
t=0
=
0.
练习题答案
= =
3 2
y y
常微分方程的常见解法
实例解析
实例1
求解一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda y = q(x)$，从而简化求解过程。
实例2
求解二阶常微分方程 $y'' + y' + y = 0$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda^2 + lambda + 1 = 0$，从而求解出 $lambda$ 的值，进一步得到原方程的解。
当 (M(x)) 和 (N(x)) 均为非零函数时，该方法适用。
实例解析
1. 确定积分因子
选择积分因子为 (e^x)
5. 解出原方程
将 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C) 代入 原方程，解得 (y = frac{1}{3} x^2 + Ce^{-x})
4. 解方程
对两边积分，得到 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C)
04 积分因子法
定义与特点
定义
积分因子法是一种通过引入一个因子来简化微分方程的方法。
特点
通过乘以一个适当的因子，可以将微分方程转化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
适用范围
适用于形如 (M(x)y' + N(x)y = f(x)) 的线性微分方程，其中 (M(x)) 和 (N(x)) 是 已知函数，(f(x)) 是给定的函数。
实例2
考虑一阶常微分方程 (dy/dx = xy)，其中 (x > 0) 且 (y > 0)。通过分离变量法， 我们可以得到 (dy/y = xdx)，进一步求解得到 (ln|y| = frac{1}{2}x^2 + C)，其 中 (C) 是积分常数。
函数的幂级数展开式的应用
常用方法: 常用方法 1.若余项是交错级数 则可用余项的首项来解决 若余项是交错级数,则可用余项的首项来解决 若余项是交错级数 则可用余项的首项来解决; 2.若不是交错级数 则放大余项中的各项 使之成 若不是交错级数,则放大余项中的各项 若不是交错级数 则放大余项中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和 从而求出其和. 为等比级数或其它易求和的级数 从而求出其和 例1 计算 的近似值 使其误差不超过 −5. e , 10 解
1 2 1 n ∵ e = 1 + x + x + ⋯ + x + ⋯, 2! n!
x
令 x = 1,
1 1 得 e ≈ 1+ 1+ +⋯+ , 2! n!
余项: 余项
rn +1 1 1 1 1 = + +⋯ = (1 + + ⋯) ( n + 1)! ( n + 2)! ( n + 1)! n+ 2 1 1 1 1 (1 + ≤ + + ⋯) = ( n + 1)! n + 1 ( n + 1) 2 n ⋅ n!
−5
欲使 rn + 1 ≤ 10
即 n ⋅ n! ≥ 10 5 ,
1 ≤ 10 − 5 , ,只要 n ⋅ n!
而 8 ⋅ 8! = 322560 > 10 5 ,
1 1 1 ∴e ≈ 1+ 1+ + +⋯+ ≈ 2.71828 2! 3! 8!
x3 例2 利用sin x ≈ x − 计算sin90的近似值 , 3! . 并估计误差 π 1 π 3 π 0 解
微分方程的经典解法
01
02
03
非线性变量代换法
变量代换法的应用
变量代换法在解决各种实际问题中有着广泛的应用，如物理、工程、经济等领域。
通过选择适当的代换变量，可以简化复杂的微分方程，从而更方便地求解。
变量代换法是解决微分方程的一种重要技巧，尤其在处理非标准形式的微分方程时非常有效。
01
高阶非线性微分方程的解法通常包括迭代法、摄动法和数值方法等。
02
迭代法是通过不断迭代方程的解来逼近真实解，常用的方法有牛顿迭代法和欧拉迭代法等。
03
摄动法是将非线性微分方程转化为摄动方程，然后通过小参数展开求解。
04
数值方法是通过离散化微分方程，然后使用计算机求解离散化后的方程组。
高阶微分方程在物理、工程、经济等领域有广泛应用，如振动分析、控制系统、信号处理等。
04
积分因子法
积分因子法是一种求解微分方程的方法，通过引入一个积分因子来消除方程中的导数项，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
积分因子法适用于可分离变量、线性、部分线性以及某些非线性微分方程。
积分因子法的关键是找到一个函数，使得该函数与微分方程的每一项相乘后，能够消去方程中的导数项。
方法概述
高阶线性微分方程的一般形式为$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_0(x)y(x) = 0$。
变量分离法是将方程转化为多个一阶微分方程，然后分别求解。
幂级数法是通过将解表示为幂级数的形式，然后代入初始条件求解系数。
高阶非线性微分方程的解法
02
通过引入新变量 (u = ax + by)，可以将原方程转化为 (y^{prime} = frac{1}{a} f(u))。
利用微分方程将函数展开为幂级数
将初等复变函数)(z f 展开为Taylor级数的方式通常有两类,即直接法和间接法。
直接法需要计算)(z f 的各阶导数,而其n 阶导数的一般表达式)()(z f n 往往很复杂,不易直接表示出来,因此,人们总是避免用直接法而采用间接法。
因为函数展开式是唯一的,所以两种方法所得结果一样。
常用的间接法有:通过变形或变换,利用已知的Taylor展开式;利用级数的逐项积分或逐项求导;利用两个已知级数的相乘或相除;等等。
这些方法在文后所列的许多专著中都有比较详细的说明。
但是,如果难以找到可以利用的已知展开式,上述方法就难以实现了。
本文将针对研究利用微分方程将其展开为幂级数的方法。
1 本方法的思路以0 z 处的展开式为例。
先对函数)(z f w 求导,因为导数中含有原来函数因式,将其还原为原来函数,得到一个微分方程0)()()( z r w z q w z p 。
(1)假设332210)(z a z a z a a z f , (2)求导,得342321432)(z a z a z a a z f , (3)将(2)式和(3)式代入(1)式,得恒等式)())(()432)((332210342321z r z a z a z a a z q z a z a z a a z p 。
当)(z p 、)(z q 和)(z r 都为已知展开式的函数时,通过比较系数法确定 ,,,,3210a a a a 的值后,代入⑵式,即可得到函数)(z f w 的Taylor展开式。
2 应用类型本方法可以应用于以下三种类型的函数:类型I:)()(z ez f 型函数求导,得)()()(z e z f z ,因为)()(z f e z ,得微分方程)()()(z f z z f 。
当)(z 为多项式函数或已知展开式的初等复变函数时,将(2)式和(3)式代入上式,通过比较系数法确定 ,,,,3210a a a a ,便可以得到函数)()(z e z f 的Taylor展开式。
微分方程的幂级数解法
dy 例如 = x2 + y2, dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
dy = f ( x, y) 特解求法 二、 dx
dy 问题 求 = f ( x , y ) 满足 y dx
x = x0
∞
n
∞
n −1
∞
n= 0
n=0
n [( n + 2 )( n + 1 ) a − ( n + 1 ) a ] x ≡ 0, ∑ n+ 2 n n=0
a n+ 2
an = , n+ 2
n = 0,1,2,L
a0 a0 a2 = , a4 = , 8 2
a1 a3 = , 3 a1 a5 = , 15
∴ 方程组通解为
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t 3 t C sin t 2 e + β β − 4 − αt αt t y C e C e C cos t C sin t e = + + β + β + 1 2 3 4
(n) ( n −1 ) y + a y + L + a n −1 y ′ + a n y = f ( x ) 例如， 1
用记号 D 可表示为
( D + a1 D
n
n −1
+ L + a n −1 D + a n ) y = f ( x )
注意:
D n + a1 D n−1 + L + a n−1 D + a n 是 D 的多项式
函数展开幂级数常用公式
函数展开幂级数常用公式幂级数是数学中一个重要的概念，它在很多领域都有广泛的应用。
函数展开幂级数常用公式是一种用于将一个函数表示为幂级数形式的工具。
本文将介绍这个常用的公式，并探讨其应用。
一、幂级数的定义我们来了解一下幂级数的定义。
幂级数是一种形如∑(a_n*x^n)的无穷级数，其中a_n是一系列常数，x是变量。
幂级数是一种非常灵活的表示方法，可以用来表示各种各样的函数。
二、函数展开幂级数的意义为什么要将一个函数表示为幂级数形式呢？这是因为幂级数在计算上具有很大的优势。
通过将函数展开为幂级数，我们可以将原本复杂的函数转化为一系列简单的项相加，从而方便计算和分析。
而函数展开幂级数常用公式就是用来实现这一目的的工具。
三、函数展开幂级数常用公式函数展开幂级数常用公式有很多种，下面我们介绍其中一种常见的形式。
1.泰勒级数公式泰勒级数公式是幂级数常用公式中的一种。
它可以将任意光滑的函数展开为幂级数。
泰勒级数公式的具体形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)表示原函数，f'(x)表示f(x)的导数，a表示展开点。
泰勒级数公式是函数展开幂级数中最常用的一种形式，它在微积分和物理学等领域有广泛的应用。
四、函数展开幂级数的应用函数展开幂级数常用公式在科学和工程中有广泛的应用。
下面我们介绍其中一些常见的应用。
1.逼近法函数展开幂级数常用公式可以用来逼近函数的值。
通过将函数展开为幂级数，我们可以用有限项来逼近无穷项级数，从而得到一个近似值。
2.求解微分方程函数展开幂级数常用公式在求解微分方程时也非常有用。
通过将微分方程中的未知函数展开为幂级数，我们可以将微分方程转化为一系列代数方程，从而得到解析解。
3.信号处理函数展开幂级数常用公式在信号处理中也有广泛的应用。
一般非线性微分方程的解法及应用
一般非线性微分方程的解法及应用非线性微分方程（Nonlinear Differential Equations）是微积分中的重要课题。
与线性微分方程不同，非线性微分方程由于其非线性性质，无法被直接解出。
在此篇文章中，我们将会讨论一般非线性微分方程的解法和应用。
一、解法1.变系数法变系数法（变参法）是一种基于给出非线性微分方程（NDE）通解，并利用边界条件解出一般解的方法。
现在，我们尝试用变系数法解决以y为未知函数y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)的非线性微分方程。
步骤如下：(1) 先解出对应的线性齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解，例如:$$y=c_1y_1+c_2y_2$$（其中c1和c2是常数，y1和y2是两个线性无关的特解）(2) 在此基础上拟定向非线性微分方程g(x)所对应的一个特解y0(x)，(3) 将此特解代入非齐次微分方程中，得到特殊解y(x)，即为非线性微分方程的解。
例如：设通解为y=c1y1+c2y2, 特解为y0,带入方程得到:y'' + p(x)y'+ q(x)y = g(x)y0'' + p(x)y0' + q(x)y0 = g(x) - y1''-p(x)y1'-q(x)y1由于y1是齐次方程的解，所以原方程可以化为齐次的：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0利用常数变易法，可将y0解出。
则该微分方程的最终通解为y=c1y1+c2y2+y02. 可积的非线性微分方程可积的非线性微分方程是一种特殊的非线性微分方程，可以通过直接积分或某些变换使其解出。
例如：y'+a(x)y+b(x)y^3=0若a(x)和b(x)是连续的函数，则该微分方程为可积的。
可将该方程变形为1/2d/dx(y^2)+a(x)y^2=0则原微分方程的解为：$$y(x)=\sqrt{\frac{-2\int a(x)dx+c}{b(x)}}$$（其中c是常数，与初始条件有关）3.级数法级数法（常微分方程级数解）是利用幂级数解法求解非线性微分方程的方法。
幂级数在函数领域的应用
幂级数在函数领域的应用赵青波（三门峡职业技术学院公共教学部，河南三门峡472000）摘要:幂级数是数学领域中的一种基础知识，同时也是数学计算中的一种重要“工具”，其在函数领域中有着较为广泛的应用，如在复变函数等领域中。
幂级数在函数领域中的应用决定了其在函数计算等过程中的重要性，一般来说，运用幂级数求函数的高阶导数、求数值级数的和、应用在近似计算中、应用在微分方程的解法、。
在数学解题过程中，通过把握幂级数在函数应用中的关键点，也能够起到事半功倍的作用，本论文通过分析幂级数在函数中具体应用的基础上，阐述幂级数在函数中应用的关键点，以此来多方位的展示出幂级数的在函数中的应用。
关键词：幂级数；函数；应用引言幂级数在函数中的应用是数学计算中解决函数问题的一种有效思路，同时也能够为函数类型题的计算提供一种“捷径”，通过对幂级数的性质进行分析，能够观察到，幂级数与函数之间存在着关联性，这也是幂级数作为函数解题“工具”的基础。
如幂级数是函数函数项级数中最基本的一类，在幂级数的收敛域上与函数之间存在的明确的关联性，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数。
本文通过对幂级数概念与性质的阐述，结合具体的解题思路，对幂级数与函数的应用进行分析。
一、幂级数概述幂级数是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。
以幂级数常见的三个性质为例，以下进行阐述。
1.∑an xn在|x|＜R内绝对收敛，在|x|＞R内发散，其中R称n=a为收敛半径，此时再根据Hadamard公式进行相应计算。
2.如果函数S（x）是收敛域（-a,a）上的连续函数，则S（x）在x=a 左连续。
3.在收敛半径（-a,a）的范围内，幂级数可以任意次逐项求导或者求和，并且产生的新的幂级数的收敛半径不变。
二、幂级数在函数中的具体应用（一）利用幂级数求函数的高阶导数在常规数学计算中，将幂级数运用到求函数的高阶导数中，不仅能够降低计算的复杂性，也能够提高计算结果的准确性。
数学物理方法_第3章 二阶线性常微分方程的幂级数解法本征值问题
y ( x) 2 1a2 3 2a3 x (k 2)( k 1)ak 2 x k
把以上结果代入方程，比较系 数得 2 2
2 1a2 a0 0, 3 2a3 a1 0, 4 3a4 2 a2 0, 5 4a5 2 a3 0,
(2k 1)!
a1.
于是方程的级数解为
1 1 1 y( x) a0 1 ( x)2 ( x) 4 (1) k ( x) 2 k 4! (2k )! 2! 2 k 1 a1 1 1 3 5 k ( x) x ( x) ( x) (1) 3! 5! (2k 1)! a a0 cos x 1 sin x.
n 1
n 1
cn1 (n 1)( x x0 )n ,
n 0
可将式（3.1.4）写成
c
n 0 n n
n ( n 2)( n 1)( x x ) [ ( k 1) a c ]( x x ) n2 0 n k k 1 0 n n 0 k 0
y( x) an x n
n 0
(3.3.2)
于是
y( x) nan x
n 1 n 1
(k 1)ak 1 x k ,
k 0
y( x) n(n 1)an x
n2
2 k 0
n2
(k 2)(k 1)ak 2 x k ,
(1 l )(l 2) 3 (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) 5 y1 ( x) x x x 3! 5! (2k 1 l )(2k 3 l ) (1 l )(l 2)(l 4) (l 2k ) 2k 1 x (2k 1)!
幂级数解法
幂级数解法幂级数解法是求解微分方程的一种技术，它可用于求解普通微分方程的无穷多解，也可用于求解常微分方程的特解，以及线性微分方程的非独立解。
因此，在研究微分方程的求解过程中，对“幂级数解法”的研究具有重要的实际意义。
一、幂级数的概念幂级数是由不同幂次的可积函数的和所组成的级数，可以表示为： $$sum_{k=0}^{infty}a_{k}x^{k}$$其中，$a_{k}$叫做幂级数的系数，$x$叫做幂级数的变量，$k$叫做幂级数的项次，$infty$叫做幂级数的项数。
幂级数不仅可用于数学上的应用，也可用于物理学上的应用，像振动波、涡旋波、周期性复原函数等物理概念都可以用幂级数来表示。
二、幂级数解法的内容1.入一类特殊的线性微分方程：$$y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+cdots+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$式中，$y^{(n)}$表示微分方程的最高次导数，$p_{n-1}(x)$，$cdots$，$p_{1}(x)$，$p_{0}(x)$表示微分方程的n-1次，$cdots$，1次，0次项的系数函数，$Q(x)$表示微分方程右端项的函数。
2.先检查保守性，判断微分方程是否具有定常解。
微分方程具有定常解的充要条件是$p_{n-1}(x)=p_{n-2}(x)=cdots=p_{2}(x)=0$，此时微分方程可以化简为：$$y^{(n)}+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$无论$p_{1}(x)$、$p_{0}(x)$是否全等于0，都可以说明它具有定常解。
3.后利用相关定理，在特定条件下构造一个“幂级数解”，其形式为：$$y=sum_{k=0}^{infty}c_{k}x^k$$其中$c_{k}$是待求的系数，由解法的特殊条件所确定。
4.所得“幂级数解”代入微分方程，并根据其定义，求出$c_{0}$，$c_{1}$，$c_{2}$，$cdots$，$c_{n-1}$的值，即求出微分方程的解的系数。
幂级数的应用
降低感染率手段 引流的时间：1周内,最长≤2周。 引流管引出口：不能在原切口处直接引出,因在头皮下潜行约1～2cm后在原切口旁引出,防止细菌逆行感染。 引流瓶放置高度：适当,避免脑脊液倒流回脑内增加感染可能。 引流管冲洗：适时可用庆大霉素稀释液冲洗引流管, 不冲洗脑内段。操作要得当。 拔管时关闭引流管阀门,拔除后及时缝合拔管处头皮。
降低感染率手段 为减少切口脑脊液漏。术中应尽可能修补硬脑膜,关闭死腔,术中尽可能减少头皮止血。 为减少耳漏和鼻漏。术中发现打开额窦和乳突后立即用消毒液浸泡的棉球消毒窦璧黏膜并向内推开黏膜层,随后用骨蜡完全封闭窦口或乳突气房,更换与窦璧接触的手术器械。
是否污染手术？手术时间>4h？应用手术显微镜？二次手术？ 是则明显增加颅内感染率。
是否为后颅窝手术？ 手术体位复杂。 开颅时间长。 手术显微镜辅助。 术区蛛网膜易粘连,后颅窝手术一般不缝合硬脑膜。 肌肉和头皮间缝合不严,易形成储液囊腔,致脑脊液循环障碍,为细菌繁殖提供机会。 可能打开乳突气房。 故而术后颅内感染几率显著较高。
降低感染率手段 后颅窝关颅时肌层和头皮要求严格缝合,肌层紧贴硬膜,引流管保持通畅。 当切口脑脊液漏时,应在无菌条件下严密缝合。
降低感染率手段 开放性颅脑损伤需早期彻底清除坏死脑组织,清除脑组织内的碎骨片和异物,关闭硬脑膜和头皮伤口,将开放性的污染伤口变为清洁的闭合伤。 术中受污染部位的手术区域需彻底消毒;接触污染区域后的手术器械与清洁区域的器械需分开。关颅前常规用大量生理盐水冲洗。 尽量缩短手术时间。 严格按照规范使用显微镜。 二次手术打开硬脑膜前可用稀释的聚维酮碘冲洗术野。
是否存在脑脊液漏？ 可分为切口的脑脊液漏和脑脊液鼻漏、耳漏。
颅脑损伤常见的并发症, 据文献报道, 其发病率在2 %～9 % , 需手术治疗者占2.4 %。 颅脑损伤后, 颅底骨折伴有硬脑膜及蛛网膜同时破裂,脑脊液通过损伤的鼻窦或岩骨经鼻或耳流出, 即形成脑脊液鼻漏及耳漏。 漏的时间越长, 感染机会越大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
原方程的通解
四、小结 微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
作变换
分离变量法
积分因子
全微分方程
常数变易法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
高阶方程
特征方程法
幂级数解法
待定系数法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程用幂级数解法.
微分方程的幂级数解法
一、问题的提出
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法;
雅卡比逐次逼近法; 数值解法.
二、
问题
特解求法
例1 解
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
小结: 无初始条件求解
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理
作法
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y. 例2 解