大学.空间解析几何习题ppt课件
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高等数学Ⅰ第一章课件：空间解析几何
练习题答案
一、1、Ⅳ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ；
2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1),
(-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；
3、(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5),
(-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5)；
4、(a, a,a), (a, a, a),(a,a, a),(a,a, a) ；
(2) 空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
思考题
1. 在空间直角坐标系中，指出下列 各点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
1.2 空间直角坐标系
3、点 A ( 4 , 3 , 5 )在xoy 平面上的射影点为_____ ______,在 yoz 面上的射影点为__________，在 zox轴上的射影点为_________，在x 轴上 的射影 点为________，在x 轴上 的射影点为______，在 z 轴上 的射影点为_______ ;
空间解析几何28965-PPT文档资料25页
§7．7 平面及其方程
一、平面的点法式方程
法线向量、 平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ， 所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}， n
M 1M3{2， 31}， 可取
一、平面的点法式方程
法线向量、 平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ， 所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}， n
M 1M3{2， 31}， 可取
空间解析几何教育课件
例.题 设 P是球内 ,A ,B 一 ,C 是 定 球 点 面上 , A三 P B 个 BP 动 CC点 P A,
2 以 P,A P,B P为 C 棱作平 ,记行 P 与 相六 对面 的 Q 体 ,求 顶 Q 点 点 的 为 轨
－－ (北 － 京 2大 0考 0学 7研 ) 题
参考解答 : 设球面的半径为
由 (1 ), ( 2 ), 得
cos
AB , AC
b2 c2 a2 ,
(2)
2 bc
2S bc
2
b2
c2 2 bc
a2
2
1,
即
16 S 2 ( 2 bc ) 2 ( b 2 c 2 a 2 ) 2
[ 2 bc ( b 2 c 2 a 2 )][ 2 bc ( b 2 c 2 a 2 )]
[( b c ) 2 a 2 ][ a 2 ( b c ) 2 ]
( b c a )( b c a )( a b c )( a b c )
2 p ( 2 p 2 a )( 2 p 2 b )( 2 p 2 c ),
即
S 2 p ( p a )( p b )( p c ).
其中 a,b,c为三角形的 ,p三 1(a边 b长 c),S为三角形.的面积 2
参考解答 : 设 | AB | c , | AC | b , | BC | a . 由 S 1 | AB AC |, 得 2
sin AB , AC 2 S ,
(1)
bc
由 CB AB AC , 得 CB CB AB AC AB AC , 即
复习空间解析几何内容习题PPT课件
M(x, y,z)
z
C
M1(0, y1, z1)
o
y
x
导数与微分
绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点:
设有平面曲线
f (x, y) 0
L
:
z
0
(1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面方程为
f (x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面 方程为
f ( x2 z2 , y) 0
(1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 坐标满足方程的点都在曲面 S上 那么，方程 F ( x, y, z) 0 就叫做曲面 S 的方程，而 曲面 S 就叫做方程的图形.
导数与微分
1. 旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平 面上的一条定直线旋转一周所 成的曲面称为旋转曲面,称这 条定直线为该旋转曲面的轴.
定点 o •
横轴 x
y 纵轴
(x, y,z)
有序数组
导数与微分
两点间距离公式 设 M1( x1, y1, z1 ), M2( x2 , y2 , z2 ) 为空间两点, 它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
导数与微分
(二)曲面及其方程
如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z) 0 有下述关系：
利用内积求两向量的夹角的公式
cos
ar gbr
ar
r b
ab
argbr 0
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
a b 导数与x微分x a yby azbz 0
(五)向量积 (叉积、外积)
向量
r a
与
z
C
M1(0, y1, z1)
o
y
x
导数与微分
绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点:
设有平面曲线
f (x, y) 0
L
:
z
0
(1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面方程为
f (x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面 方程为
f ( x2 z2 , y) 0
(1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 坐标满足方程的点都在曲面 S上 那么，方程 F ( x, y, z) 0 就叫做曲面 S 的方程，而 曲面 S 就叫做方程的图形.
导数与微分
1. 旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平 面上的一条定直线旋转一周所 成的曲面称为旋转曲面,称这 条定直线为该旋转曲面的轴.
定点 o •
横轴 x
y 纵轴
(x, y,z)
有序数组
导数与微分
两点间距离公式 设 M1( x1, y1, z1 ), M2( x2 , y2 , z2 ) 为空间两点, 它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
导数与微分
(二)曲面及其方程
如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z) 0 有下述关系：
利用内积求两向量的夹角的公式
cos
ar gbr
ar
r b
ab
argbr 0
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
a b 导数与x微分x a yby azbz 0
(五)向量积 (叉积、外积)
向量
r a
与
空间解析几何ppt1.8
（1.8－4）
（1.8－5）
（1.8－6）
定理 1.8.5
向量积满足分配律，即 a+b c a c b c .
推论
c a+b c a c b .
二、向量积的运算
（1）反交换律 （2）结合律 （3）右分配律 （4）左分配律
ab ba .
a b a b a b .
a +b c a c b c
.
c a +b c a c b .
（1.8－2）
定理 1.8.4 向量积满足关于数因子的结合律，即 a b a b a b . 式中 a, b 为任意向量， 为任意实数.
Fra bibliotek（1.8－3）
推论 设 , 为任意实数，那么 a b a b .
1
三、向量积的坐标表示（直角坐标系下）
定理 1.8.6 如果 a X1i Y1 j Z1 k ， b X 2 i Y2 j Z2 k ，那么
Y1 ab Y2
或写成
Z1 Z1 X 1 X 1 Y1 i j k， Z2 Z2 X 2 X 2 Y2 i j k a b X 1 Y1 Z1 . X 2 Y2 Z 2
（1.8－8）
（1.8－9）
例3
已知空间三点 A1,2,3 , B 2, 1,5 , C 3,2, 5 ，试求： （1） ABC 的面积；（2） ABC 的 AB 边上的高.
大学 数学专业 空间解析几何 第三章 轨迹与方程 PPT
x2 y2 z2 1 例4 求曲线 1 在坐标面上的投影. z 2
解 （1）消去变量z后得 3 2 2 x y , 4 在xOy面上的投影为
3 2 2 x y 4, z 0
z
O
x
y
2 2 2 x y z 1 1 z （2）因为曲线在平面 上， 1 2 z 2
P
2
2
)
z
x cos cos y cos sin z sin
Q
x
M
θ
ρ
y
P
三组坐标面是 :
z
R O z
z
0
y O y O
x
x
0
y
r 常数 (以O为球心R为 半径的)球面
常数
— 半平面
x 常数 (顶点在 O , z轴是对称轴, 半顶 角为 )圆锥面. 0
表示什么样的曲线？
解 交线如图:
z
1
x
o
1
y
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得：H ( x , y ) 0 称为曲线C关于xOy的投影柱面. 投影柱面与xOy面的交线：
z
C
y
H ( x, y) 0 C : x z0 称为曲线C在xOy面上的投影曲线.
z 0.
2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？ 例6 方程
解
根据题意有 z 1
《空间解析几何》课件
了解空间解析几何在计算机图形 学中的应用，如3D建模、动画制 作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
空间解析几何复习课 PPT
a
b
d
b
a
a
b
c
a
b
d
(3) 向量与数的乘法：
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1) 0, a与a 同向，| a | | a |
(2) 0,
a
0
(3) 0, a与a 反向， | a || | | a |
（1）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
（2）椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q ( p 与 q 同号 )
（3）马鞍面
x2 y2 z 2 p 2q
( p 与 q 同号 )
（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
a {X1, Y1, Z1} b {X2, Y2, Z2}
a b {X1 X2, Y1 Y2, Z1 Z2} (X1 X2)i (Y1 Y2) j (Z1 Z2)k
a b {X1 X2, Y1 Y2, Z1 Z2} (X1 X2)i (Y1 Y2) j (Z1 Z2)k
X1X 2 Y1Y2 Z1Z2
X12 Y12 Z12
X
2 2
Y22
Z22
X1X 2 Y1Y2 Z1Z2 0
5、向量积 (叉积、外积)
|
c
||
a
||
b
|
sin
其中
为a
与b
的夹角
c的方向既垂直于 a，又垂直于b ，指向符合
《线性代数与空间解析几何》哈工大版课件幻灯和习题.ppt
3 1
10.
1
2、
3
2
1
1
2
3 1 3 2 3 2 1 2 2
11 12
33 23
3 2
13 1
6 4 2
9
6 3
3、
b1
b2
b3
a11 a21
a12 a22
a13 b1 a23 b2
a31 a32 a33 b3
=( a11b1 a21b2 a31b3
a12b1 a22b2 a32b3
例3 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
故 AA A E.
同理可得
A
A
n k 1
Aki akj
A E.
五、小结
加法
数与矩阵相乘
矩 阵
矩阵与矩阵相乘
运 转置矩阵
算 方阵的行列式
对称阵与伴随矩阵 共轭矩阵
与反对称阵之和.
证明 设C A AT
则CT
A AT
T
AT
A
C,
所以C为对称矩阵.
设B A AT , 则BT A AT T AT A B,
所以B为反对称矩阵.
《空间解析几何基础》PPT课件
24
(5)二次锥面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
0
(6)椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
0
(a,b,c 0) (a,b 0)
(7.10) (7.11)
25
(7)双曲抛物面(马鞍面) x2 y2 2z 0 (a,b 0) a2 b2
(7.12)
26
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
27
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
பைடு நூலகம்
28
三、平面区域的概念及其解析表示 设P0(x0,y0)是xOy平面上的一定点,δ>0为一实
4
空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
5
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
(7.4)
其 中 a,b,c,d 为 常 数 , 且 a,b,c 不 全 为 零 . 例 如 , 当
高等数学《空间解析几何(第1章)》课件
个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ 共__面__向__量___； 7、两向量_模__相__等__且__方__向，相我同们称这两个向量相等； 8、两个模相等、__方__向__相__反____的向量互为逆向量； 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点
构成__半__径__为__1_的__球_； 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
构成__半__径__为__1_的__球_； 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
空间解析几何精ppt课件
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ， 或 作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ， 或 作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
高等数学第八章空间解析几何教学精品PPT课件
高等数学(下册)
§8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
高等数学(下册)
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若S1：F(x,y),z0;
z
S2：G(x,y),z0,
S1
则 M ( x ,y ,z ) C M S 1 且 M S 2
x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
解 截线方程为
y2 z2 x x2y z 0
如图,
高等数学(下册)
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
高等数学(下册)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
§8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
高等数学(下册)
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若S1：F(x,y),z0;
z
S2：G(x,y),z0,
S1
则 M ( x ,y ,z ) C M S 1 且 M S 2
x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
解 截线方程为
y2 z2 x x2y z 0
如图,
高等数学(下册)
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
高等数学(下册)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
8-8 空间解析几何习题课ppt课件
(二) 平面与直线
1．求平面方程 2．求直线方程 3．点及直线和平面的关系 4．综合题
x yz10 例10 求点 (3,1,2)到直线 2x y z 4 0 的距离.
例11 设 l1 :
x1 1
y 2
z1, 1
l2
:
x2 2
y1 0
z 1
(1) 求 l1 和 l2 的公垂线方程;
(2) 求 l1 和 l2 的距离.
二、题型练习
(一) 平面与直线 (二) 曲面与曲线
(二) 平面与直线
1．求平面方程 2．求直线方程 3．点及直线和平面的关系 4．综合题
(二) 平面与直线
1．求平面方程 2．求直线方程 3．点及直线和平面的关系 4．综合题
例1 求满足下列条件的平面方程
(1) 过原点及点(6,3,2), 且与平面4x y 2z 8垂直;
(二) 平面与直线
1．求平面方程 2．求直线方程 3．点及直线和平面的关系 4．综合题
(二) 平面与直线
1．求平面方程 2．求直线方程 3．点及直线和平面的关系 4．综合题
例7 求下列点的坐标 (1) 点 (1,2,0)在平面 x 2 y z 1 0上的投影点;
(2) 点(2,3,1)在直线 x 7 y 2 z 2 上的投影点; 1 23
(2) 过点(1,2,1)及直线L: x 1 y z 2 与平面 1 0 2
2 y z 4 0的交点.
x yz10
例5 求过点(3,1,2)且与直线
垂直相交的
2x y z4 0
直线方程.
例6 求过点(1,2,3)且平行于平面6x 2 y 3z 1 0
又与直线 x 1 y 1 z 3 相交的直线方程. 3 2 5
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(1) 抛物柱面 2y2 x, 平面 z 0 及 x y z 1; 422
(2) 抛物柱面 x2 1 z, 平面 y 0, z 0 及 x y 1; (4) 旋转抛物面 x2 y2 z, 柱面 y2 x, 平面 z 0
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
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二、实例分析
例1 求过点 ，垂直于直线 且平行于
平面
的直线方程。
解：设所求直线 的方向向量 ，已知直线 的方向
向量 已知
,已知平面 的法向量为
， ，所以，
，故可取
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2.线面之间的相互关系
面与面的关系
平面
平面 2 : A2x B2 y C2z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
垂直:
A1A2 B1B2 C1C2 0
平行: n1 n2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
夹角公式: cos n1 n2
的方向余弦.
提示: 已知平面的法向量 n1 (7, 1, 4)
求出已知直线的方向向量
取所求平面的法向量
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
50
50
50
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例4.
求过直线
L
:
x 5y z 0 xz40
x z 4 0.
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例5. 求过点
且与两直线
都相交的直线 L.
提示: 思路: 先求交点 M1 , M 2 ;
再写直线方程.
的方程化为参数方程
L1
L2
M0 M2
M1 L
设 L 与它们的交点分别为
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M 2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1) .
mn p ABC
平行： s n 0
夹角公式： sin s n
sn
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3. 相关的几个问题
(1) 过直线
L:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
的平面束 方程
1 ( A1x B1y C1z D1) 2 ( A2x B2 y C2z D2 ) 0
习题课
第八章
空间解析几何
一、内容小结 二、实例分析
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一、内容小结
1. 空间直线与平面的方程 空间平面
一般式 点法式 截距式
三点式
x y z 1 abc
x x1 x2 x1 x3 (x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n (A, B, C)
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
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例6.直线
绕 z 轴旋转一周, 求此旋转
曲面的方程.
提示: 在 L 上任取一点
y0 x2 y2
得旋转曲面方程
x2 y2 z2 1
旋转轨迹上任一点, 则有
z L
rr
M
M0
O
y
1
x
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思考与练习
P50 题21 画出下列各曲面所围图形:
n1 n2
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线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
s1 (m1, n1, p1)
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
s2 (m2 , n2 , p2 )
垂直:
m1m2 n1n2 p1 p2 0
平行: s1 s2 0
且与平面
x 4y 8z
12 0 夹成 角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
π
n1 4 n
其法向量为 n1 (1 , 5, 1 ).
已知平面的法向量为 n (1, 4, 8)
选择 使 cos π n n1
4 n n1
3
4
从而得所求平面方程 x 20 y 7z 12 0.
从而所求直线的方程为
即
过点 方向向量
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例2 求过点 且通过直线
的平面方程. 解：已知点
直线上的点 所求平面的法向量
，直线方向向量 ，向量
于是可取
所求平面方程为 即
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例3.
设一平面平行于已知直线
x
2x z 0 yz5
0
且垂直于已知平面7x y 4z 3 0,求该平面法线的
1 , 2 不全为 0
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(2)点 M0 (x0, y0, z0 ) 到平面 ：A x+B y+C z+D = 0
的距离为
M0
d
n
M1
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(3) 点
到直线
的距离为
M 0 (x0 , y0 , z0 ) d
d M0M1 s s
s (m,n, p)
m1 n1 p1 m 2 n 2 p2
夹角公式: cos s1 s2
s1 s2
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面与线间的关系
平面: Ax By Cz D 0, n (A, B, C)
直线: x x y y z z , s (m, n , p) mn p
垂直：s n 0
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M 0 , M1 , M 2 三点共线 M 0M1 // M 0M 2
t1 0, t2 2
M1 (0,0, 1), M 2 (2, 2,3) L: x 1 y 1 z 1
112
L1
L2
M0 M2
M1 L
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1)
z z1 z2 z1 0 z3 z1
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空间直线
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 0 D2 0
对称式
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 p t
(x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
s ( m, n, p ) 为直线的方向向量.
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在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标)
点 M 到坐标轴的距离：
dx y2 z2 dy x2 z2 dz x2 y2
z
R(0,0, z)
C(x,0, z)
r
O
x P(x,0,0)
B(0, y, z)
M y
(2) 抛物柱面 x2 1 z, 平面 y 0, z 0 及 x y 1; (4) 旋转抛物面 x2 y2 z, 柱面 y2 x, 平面 z 0
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
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二、实例分析
例1 求过点 ，垂直于直线 且平行于
平面
的直线方程。
解：设所求直线 的方向向量 ，已知直线 的方向
向量 已知
,已知平面 的法向量为
， ，所以，
，故可取
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2.线面之间的相互关系
面与面的关系
平面
平面 2 : A2x B2 y C2z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
垂直:
A1A2 B1B2 C1C2 0
平行: n1 n2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
夹角公式: cos n1 n2
的方向余弦.
提示: 已知平面的法向量 n1 (7, 1, 4)
求出已知直线的方向向量
取所求平面的法向量
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
50
50
50
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例4.
求过直线
L
:
x 5y z 0 xz40
x z 4 0.
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例5. 求过点
且与两直线
都相交的直线 L.
提示: 思路: 先求交点 M1 , M 2 ;
再写直线方程.
的方程化为参数方程
L1
L2
M0 M2
M1 L
设 L 与它们的交点分别为
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M 2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1) .
mn p ABC
平行： s n 0
夹角公式： sin s n
sn
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3. 相关的几个问题
(1) 过直线
L:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
的平面束 方程
1 ( A1x B1y C1z D1) 2 ( A2x B2 y C2z D2 ) 0
习题课
第八章
空间解析几何
一、内容小结 二、实例分析
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一、内容小结
1. 空间直线与平面的方程 空间平面
一般式 点法式 截距式
三点式
x y z 1 abc
x x1 x2 x1 x3 (x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n (A, B, C)
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
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例6.直线
绕 z 轴旋转一周, 求此旋转
曲面的方程.
提示: 在 L 上任取一点
y0 x2 y2
得旋转曲面方程
x2 y2 z2 1
旋转轨迹上任一点, 则有
z L
rr
M
M0
O
y
1
x
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思考与练习
P50 题21 画出下列各曲面所围图形:
n1 n2
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线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
s1 (m1, n1, p1)
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
s2 (m2 , n2 , p2 )
垂直:
m1m2 n1n2 p1 p2 0
平行: s1 s2 0
且与平面
x 4y 8z
12 0 夹成 角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
π
n1 4 n
其法向量为 n1 (1 , 5, 1 ).
已知平面的法向量为 n (1, 4, 8)
选择 使 cos π n n1
4 n n1
3
4
从而得所求平面方程 x 20 y 7z 12 0.
从而所求直线的方程为
即
过点 方向向量
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例2 求过点 且通过直线
的平面方程. 解：已知点
直线上的点 所求平面的法向量
，直线方向向量 ，向量
于是可取
所求平面方程为 即
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例3.
设一平面平行于已知直线
x
2x z 0 yz5
0
且垂直于已知平面7x y 4z 3 0,求该平面法线的
1 , 2 不全为 0
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(2)点 M0 (x0, y0, z0 ) 到平面 ：A x+B y+C z+D = 0
的距离为
M0
d
n
M1
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(3) 点
到直线
的距离为
M 0 (x0 , y0 , z0 ) d
d M0M1 s s
s (m,n, p)
m1 n1 p1 m 2 n 2 p2
夹角公式: cos s1 s2
s1 s2
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面与线间的关系
平面: Ax By Cz D 0, n (A, B, C)
直线: x x y y z z , s (m, n , p) mn p
垂直：s n 0
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M 0 , M1 , M 2 三点共线 M 0M1 // M 0M 2
t1 0, t2 2
M1 (0,0, 1), M 2 (2, 2,3) L: x 1 y 1 z 1
112
L1
L2
M0 M2
M1 L
M1(t1 , 2t1 ,t1 1), M2 (t2 ,3t2 4, 2t2 1)
z z1 z2 z1 0 z3 z1
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空间直线
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 0 D2 0
对称式
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 p t
(x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
s ( m, n, p ) 为直线的方向向量.
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在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标)
点 M 到坐标轴的距离：
dx y2 z2 dy x2 z2 dz x2 y2
z
R(0,0, z)
C(x,0, z)
r
O
x P(x,0,0)
B(0, y, z)
M y