2倍角问题
初中二倍角解题思路
初中二倍角解题思路1. 什么是二倍角在初中数学中，我们学习了三角函数，其中包括正弦、余弦和正切等。
而二倍角是指一个角的两倍大小的角。
我们可以用一些公式来表示二倍角：•正弦的二倍角公式：sin (2θ)=2sinθcosθ •余弦的二倍角公式：cos (2θ)=cos 2θ−sin 2θ • 正切的二倍角公式：tan (2θ)=2tanθ1−tan 2θ 2. 解题思路当遇到需要计算二倍角的问题时，我们可以根据上述公式来求解。
下面将针对不同类型的题目给出解题思路。
2.1 已知一个角，求其二倍角的值如果已知一个角 θ 的值，要求计算其二倍角 2θ 的值，可以直接利用上述公式进行计算。
已知 θ=30∘，我们希望计算 2θ 的值。
根据正弦的二倍角公式：sin (2θ)=2sinθcosθ代入 θ=30∘：sin (60∘)=2sin30∘cos30∘我们知道 sin (60∘)=√32，sin30∘=12，cos30∘=√32代入上述值进行计算：√32=2⋅12⋅√32可以得到：√32=√322θ=60∘2.2 已知一个角的正弦或余弦值，求其二倍角的值如果已知一个角的正弦或余弦值，要求计算其二倍角的值，我们可以利用正弦和余弦的二倍角公式。
已知 sinθ=14，我们希望计算 sin (2θ) 的值。
根据正弦的二倍角公式：sin (2θ)=2sinθcosθ代入已知条件：sinθ=14可以得到：sin (2θ)=2⋅14cosθ我们还需要找到 θ 对应的余弦值。
可以利用三角函数中的关系来求解。
由于 sin 2θ+cos 2θ=1，我们可以用已知的 sinθ 的值来求解 cosθ 的值。
sin 2θ+cos 2θ=1(14)2+cos 2θ=1 116+cos 2θ=1 cos 2θ=1516 cosθ=±√154注意，由于已知的是正弦值为正数，所以 cosθ 的值也应该取正数。
代入已知条件：sin (2θ)=2⋅14⋅√154可以得到：sin (2θ)=√158 2.3 已知一个角的正切值，求其二倍角的值如果已知一个角的正切值，要求计算其二倍角的值，我们可以利用正切的二倍角公式。
初中几何题：二倍角问题辅助线的添加规律
初中几何题：二倍角问题辅助线的添加规律一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线：（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC 于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题.如下图，在△ABC中，∠B=2∠C，可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE 即可.【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E作ED ⊥AC于D.则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC，∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE.即∠B=∠CDE=90°.思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE.【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC，∴BC=BE.在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD ≌△ECD. ∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A，∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°.思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD 都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC. 【证法三】延长AC到D，使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图则EC=CD=BC，∴∠DBE=90°. ∵CD=CB，∴∠D=∠CBD ∴∠ACB=2∠D ∵∠ACB=2∠A，∴∠A=∠D∴AB=BD 又∵AE=DC ∴△ABE≌△DBC. ∴∠ABE=∠DBC ∴∠ABC= ∠EBD=90°.总结关于二倍角问题，上面介绍了两种添加辅助线的方法，其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形，然后利用它们的相关性质探求解题途径.。
三角函数 二倍角
三角函数二倍角二倍角是三角函数中的一个重要概念，它在解决各种数学问题时都起到了重要的作用。
下面我将以人类的视角，用准确无误的中文来描述二倍角的概念和应用。
一、二倍角的定义二倍角是指一个角的角度是另一个角的两倍。
假设角A的角度为x，那么角2A的角度就是2x。
这样，我们就可以通过角A来求得角2A 的数值。
二、二倍角的三角函数关系对于任意角A，我们可以通过三角函数关系来计算角2A的正弦、余弦、正切等值。
具体关系如下：正弦函数：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)余弦函数：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)正切函数：tan(2A) = 2tan(A)/(1-tan^2(A))三、二倍角的应用二倍角在数学中有广泛的应用，特别是在解决三角方程和证明恒等式中起到了重要作用。
1. 三角方程的解在解决一些特殊的三角方程时，可以通过将角度转化为二倍角来简化计算。
例如，对于方程sin(2A) = 1/2，我们可以先求解sin(A) =1/2，然后通过二倍角公式得到A的解。
2. 三角恒等式的证明在证明三角恒等式时，二倍角公式可以起到简化证明过程的作用。
例如，我们可以通过使用二倍角公式来证明sin(2A) = 2sin(A)cos(A)，其中A是任意角。
四、二倍角的几何意义除了在数学计算中的应用，二倍角还有一个重要的几何意义。
当我们绘制一个角A的角度时，如果我们将角A绕着一个固定点旋转两次，那么角2A就是这两次旋转的角度之和。
总结：二倍角是三角函数中的重要概念，可以通过三角函数关系来计算角2A的正弦、余弦、正切等值。
它在解决三角方程和证明三角恒等式中起到了重要作用，同时还具有几何意义。
通过理解和应用二倍角的概念，我们可以更好地解决各种数学问题。
二倍角问题辅助线的添加规律
二倍角问题辅助线的添加规律一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线：（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE即可.【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E作ED⊥AC于D.则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC，∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE.即∠B=∠CDE=90°.思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE.【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC，∴BC=BE.在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD. ∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A，∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°.思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC.【证法三】延长AC到D，使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图则EC=CD=BC，∴∠DBE=90°. ∵CD=CB，∴∠D=∠CBD ∴∠ACB=2∠D ∵∠ACB=2∠A，∴∠A=∠D∴AB=BD 又∵AE=DC ∴△ABE≌△DBC. ∴∠ABE=∠DBC ∴∠ABC= ∠EBD=90°.【总结】关于二倍角问题，上面介绍了两种添加辅助线的方法，其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形，然后利用它们的相关性质探求解题途径.【配套练习】1、已知：△ABC中，∠ACB=2∠B.求证：2AC＞AB.2、已知：AD是△ABC的中线，∠C=2∠B，AC=1/2BC. 求证：△ADC是等边三角形.【答案】1、延长BC到D，使CD=AC，连接AD，则AD=AB，∵AC+CD＞AD ∴2AC ＞AB.2、思路一：延长DC到E，使CE=AC，连接AE，则△ACE、△ABE都是等腰三角形，可证得△ABD≌△AEC，则AD=AC. 又∵AC=DC ∴AC=DC =AD.思路二：作∠C的平分线CF，连接FD，则∠FCB=1/2∠ACB，证△ACF≌△DCF可得.。
二次函数二倍角问题
二次函数二倍角问题二次函数是高中数学中的一个重要概念，而其中的二倍角问题又是解析几何和三角函数的重要应用之一。
在二次函数中，二倍角问题是指如何根据已知的二次函数的表达式，求解其二倍角的函数表达式。
我们来考虑一般形式的二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
要求解二次函数的二倍角表达式，我们可以利用三角函数的二倍角公式。
根据三角函数的二倍角公式，我们有以下等式：$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$$\cos(2\theta) = \cos^2\theta-\sin^2\theta$将三角函数的二倍角公式应用到二次函数中，可得如下结论：若已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，则其二倍角的函数表达式为$g(x)=Ag^2(x)+Bg(x)+C$，其中$A$、$B$和$C$是待定系数。
为了确定待定系数$A$、$B$和$C$的值，我们可以利用已知的条件来求解。
其中，最常用的条件是已知二次函数的顶点坐标。
设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(h, k)$，其中$h$表示顶点的横坐标，$k$表示顶点的纵坐标。
由已知条件可以得到以下等式：$k = ah^2+bh+c$$C = k$我们将已知条件和二倍角公式联立起来，求解待定系数$A$和$B$的值。
比如，若我们已知二次函数的顶点坐标为$(h, k)$，则有以下等式：$A(h) = 4a$$B(h) = 2b$要解决二次函数的二倍角问题，我们需要利用三角函数的二倍角公式，并利用已知条件进行求解。
通过求解待定系数$A$、$B$和$C$，我们可以得到二次函数的二倍角的函数表达式。
这个问题在解析几何和三角函数应用中有着广泛的应用。
(完整版)三角函数系列二倍角公式测试题含答案
二倍角公式评卷人得分一、选择题1.已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=（）A． B． C． D．2.已知=，则sin2α+cos（α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．7.已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．8.已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知tanα=，tanβ=，则tan（α﹣β）等于（）A．B．C．D．12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．13.已知sinθ+cosθ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．14.设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．315.sinα=，α∈（，π），则cos（﹣α）=（）A．B．C．D．16.已知sinα+cosα=﹣，则sin2α=（）A．B．C．D．17.已知，那么cosα=（）A．B．C．D．18.设α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，则α+β的值为（）A．B．C．D．或19.若tan（α﹣β）=，tanβ=，则tanα等于（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．20.=（）A．B．C．D．21.若角A为三角形ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题22.若tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（1+tan1°）（1+tan44°）= ．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜，cos（+α）=﹣，则sinα=．27.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ．评卷人得分三、解答题28.已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．29.已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A解答：解：由已知得：==sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，又sinα+cosα=sin（α+），∴sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵cos（+α）=，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）==，∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴sin（﹣β）==，∵α+β=（+α）﹣（﹣β），∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β）===．4.解答：由题意可得：tanα+tanβ=；tanαtanβ=，显然α，β ﹣又tan（α+β）===1且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5.C解答：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．．7.A 8.B 解答：由得tanβ=3，又tanα=4，所以tan（α+β）===，故选：B．9.D 10.B解答：α，β为锐角，则cosα===；则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．11.D 12.B 13.C 14.A 15.A 16.D 17.C 18.C解答：∵α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，∴cosα=﹣，s inβ=，∴cos（α+β）=cosαco sβ﹣sinαsinβ=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α+β∈（π，2π），∴α+β=．故选：C．19.C解答：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．20.D 21.B解答：角A为三角形ABC的一个内角，sinA+cosA=sin（A+），如果A∈（0，]，A+∈，sin（A+）∈．A∈（，π），A+∈，sin（A+）∈（﹣1，1）．∵sinA+cosA=，∴A是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22.解答：∵tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24.解答：∵∴∵，∴，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）==，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（+α）cos﹣cos（+α）sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7解答：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣728.解答：（1）∵，∴tanα==．∵tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sin α=，cos α=．（2）∵，，∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣7==，∴tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．。
2倍角几何题
2倍角几何题在几何学中，2倍角几何题是非常常见的一类问题。
而对于初学者而言，很多时候很难理解和解决这些问题。
所以，在本文中，我们将通过一些例题来深入探讨2倍角几何题以及它的一些相关性质，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、什么是2倍角？在几何学中，2倍角是指一个角度的两倍大小的角度。
这个概念可以用下面的公式来表示：sin2x=2sinx*cosxcos2x=cos2x-1tan2x=2tanx/1-tan²x其中x为原角度。
这些公式的证明涉及到三角函数和三角恒等式的知识，这里不再赘述。
二、2倍角几何题的解法2倍角几何题一般包括以下几种类型：1. 已知角度x的正弦、余弦、正切等函数值，求角2x的函数值。
解法：利用前面提到的公式来求解。
例如，若已知sinx=1/2，求sin2x的值，就有sin2x=2sinx*cosx=2×1/2×(√3/2)=√3/2。
2. 已知2x的正弦、余弦、正切等函数值，求角x的函数值。
解法：同样利用2倍角公式，将函数值转换为角度的函数，然后再进行计算即可。
例如，若已知cos2x=-1/2，求cosx的值，就有cosx=√[(cos²2x+1)/2]=±1/√2。
这里需要注意的是，在求解时要根据问题的实际情况来确定x所处的象限。
3. 已知角度x和y的函数值，求sin(x+y)和cos(x+y)的函数值。
解法：利用三角函数和三角恒等式，将x+y拆分成两个角的和，然后再带入公式进行计算。
例如，若已知sinx=3/5，cosy=4/5，而要求sin(x+y)的值，那么先利用余弦的倒数公式求出sin y，即siny=√(1-cos²y)=3/5。
然后利用正弦的和差公式求出sin(x+y)，即sin(x+y)=sinx*cosy+cosx*siny=3/5×4/5+√(1-3²/5²)×√(1-4²/5²)=12/25-2/5√3。
巧解初中几何题：二倍角问题辅助线的添加规律
巧解初中几何题：二倍角问题辅助线的添加规律一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线：（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题.如下图，在△ABC中，∠B=2∠C，可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE即可.【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E作ED⊥AC于D.则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC，∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE.即∠B=∠CDE=90°.思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE.【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC，∴BC=BE.在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD ≌△ECD. ∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A，∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°.思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC.【证法三】延长AC到D，使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图则EC=CD=BC，∴∠DBE=90°. ∵CD=CB，∴∠D=∠CBD ∴∠AC B=2∠D ∵∠ACB=2∠A，∴∠A=∠D∴AB=BD 又∵AE=DC ∴△ABE≌△DBC. ∴∠ABE=∠DBC ∴∠ABC= ∠EBD=90°.【总结】关于二倍角问题，上面介绍了两种添加辅助线的方法，其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形，然后利用它们的相关性质探求解题途径.【配套练习】1、已知：△ABC中，∠ACB=2∠B.求证：2AC＞AB.2、已知：AD是△ABC的中线，∠C=2∠B，AC=1/2BC. 求证：△ADC 是等边三角形.【答案】1、延长BC到D，使CD=AC，连接AD，则AD=AB，∵AC+CD＞AD ∴2AC＞AB.2、思路一：延长DC到E，使CE=AC，连接AE，则△ACE、△ABE 都是等腰三角形，可证得△ABD≌△AEC，则AD=AC. 又∵AC=DC ∴AC=DC =AD.思路二：作∠C的平分线CF，连接FD，则∠FCB=1/2∠ACB，证△ACF ≌△DCF可得.。
二倍角公式题目
二倍角公式题目好嘞，以下是为您生成的关于二倍角公式题目的文章：咱今天就来好好唠唠二倍角公式这档子事儿。
记得我当初教学生二倍角公式的时候，有个小家伙，那叫一个迷糊。
上课的时候，眼睛瞪得大大的，好像听懂了，可一做题，就抓耳挠腮，满脸写着“我不会”。
这二倍角公式啊，就像是数学世界里的一道小关卡，卡住了不少同学前进的脚步。
先来说说这二倍角公式到底是啥。
正弦二倍角公式：sin2α =2sinαcosα；余弦二倍角公式：cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 -2sin²α；正切二倍角公式：tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)。
咱先看个简单的例子，比如给你个角α，知道sinα = 3/5 ，α 是锐角，让你求sin2α。
这时候就得用上咱的二倍角公式啦。
因为α 是锐角，所以能算出cosα = 4/5 ，那sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25 。
是不是感觉也没那么难？再比如，让你化简 cos²2x - sin²2x 。
这时候直接用余弦二倍角公式cos2α = cos²α - sin²α ，答案一下子就出来了，就是 cos4x 。
还有那种给你个复杂的式子，比如 (1 + cos4x) / 2 ，让你用二倍角公式化简。
这就得想到cos2α = 2cos²α - 1 ，变形一下就是cos²α = (1 + cos2α) / 2 。
那这里的 4x 就相当于2α ，所以化简结果就是 cos²2x 。
做二倍角公式的题目啊，就得胆大心细。
别一看到式子复杂就害怕，静下心来，仔细分析，找到对应的公式，往里一套，说不定答案就出来了。
就像我之前提到的那个迷糊的小家伙，后来我让他多做几道练习题，每道题都给他细细讲解，慢慢的，他也摸到了门道。
初中几何二倍角问题的辅助线
初中几何二倍角问题的辅助线一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线：（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题.如下图，在△ABC中，∠B=2∠C，可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE即可.【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E 作ED⊥AC于D.则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC，∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE.即∠B=∠CDE=90°.思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE.【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC，∴BC=BE.在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD. ∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A，∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°.思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC.【证法三】延长AC到D，使CD=CB，连接BD.取AC的中点E，连接BE，如下图则EC=CD=BC，∴∠DBE=90°. ∵CD=CB，∴∠D=∠CBD ∴∠ACB=2∠D ∵∠ACB=2∠A，∴∠A=∠D∴AB=BD 又∵AE=DC ∴△ABE≌△DBC. ∴∠ABE=∠DBC ∴∠ABC= ∠EBD=90°.【总结】关于二倍角问题，上面介绍了两种添加辅助线的方法，其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形，然后利用它们的相关性质探求解题途径.【配套练习】1、已知：△ABC中，∠ACB=2∠B.求证：2AC＞AB.2、已知：AD是△ABC的中线，∠C=2∠B，AC=1/2BC. 求证：△ADC是等边三角形.【答案】1、延长BC到D，使CD=AC，连接AD，则AD=AB，∵AC+CD ＞AD ∴2AC＞AB.2、思路一：延长DC到E，使CE=AC，连接AE，则△ACE、△ABE都是等腰三角形，可证得△ABD≌△AEC，则AD=AC. 又∵AC=DC ∴AC=DC =AD.思路二：作∠C的平分线CF，连接FD，则∠FCB=1/2∠ACB，证△ACF≌△DCF可得.。
10、微专题：二倍角公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册
【学生版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin2sin cos2ααα=2S α 余弦 222cos2cos sin 2cos 1αααα=-=-=212sin α- 2C α正切22tan tan 21tan ααα=-2T α二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；s in 2α＝1－cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.（2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；【典例】 题型1、给角求值例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80° 【提示】； 【答案】； 【解析】；【说明】 题型2、给值求值例2、（1）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于_______ 【提示】； 【答案】；【解析】方法1、方法2、例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A ．2 B ．－2 C. 12D ．－12【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】题型3、化简与证明例3、（1）化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2； （2）求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式例4、（1）试用sin θ 表示sin3θ；（2）试用cos θ 表示cos3θ；（2）试用sin θ 表示sin3θ；【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_αS 2α 余弦 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α C 2α 正切tan 2α＝2tan α1－tan 2αT 2α【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠π4＋k π且α≠－π4＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)．当α＝π4＋k π及α＝－π4＋k π(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝π2＋k π(k ∈Z)时，tanα的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2k π)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．（4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝12sin 6α.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B. 15 C ．－15 D ．－7252、若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.233、若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．4、等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．5、设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________. 6、sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，则cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值为 ． 7、sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 4x 的值为 ． 8、已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π12＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝ 9、已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求：sin2α，cos 2α，tan 2α的值．10、求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【教师版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin2sin cos2ααα=2S α 余弦 222cos2cos sin 2cos 1αααα=-=-=212sin α- 2C α 正切22tan tan 21tan ααα=-2T α二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.（2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；【典例】 题型1、给角求值例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80°【提示】注意：角“20°、40°、80°”成“二倍”关系； 【答案】18；【解析】原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝2sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝sin 20°8sin 20°＝18；【说明】本题属于：给角求值问题；对于给角求值问题，一般有两类：（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式； 题型2、给值求值例2、（1）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于_______ 【提示】注意：角“⎝⎛⎭⎫π4－x ”与角“2x ”之间关系； 【答案】725；【解析】方法1、因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， 所以sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 方法2、由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，得22(s in x －cos x )＝－35，所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825， 所以sin 2x ＝725；例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos 2θ＋sin 2θ＝( )A ．2B ．－2 C. 12D ．－12【提示】注意：角“θ”与“2θ”之间二倍关系，以及“齐次”式的特点； 【答案】D ；【解析】由sin θ＋3cos θ＝0得tan θ＝－3，所以cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋2sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θcos 2θ＋2sin θcos θcos 2θcos 2θcos 2θ＋sin 2θcos 2θ＝1＋2tan θ1＋tan 2θ＝－510＝－12，故选D ； 【说明】本题属于：给值求值问题；解决给值求值问题的方法：（1）给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． （2）注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x . ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 题型3、化简与证明例3、（1）化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2； （2）求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .【提示】注意：灵活运用与应用公式的变形；【解析】（1）sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2＝sin 2x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x sinx2cos x cosx 2＝2sin x cos x2cos x· cos x cos x 2＋sin x sin x 2cos x cos x 2＝sin x ·cosx2cos x cosx 2＝tan x ；（2）证明：因为左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边，所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ；【说明】任意角的三角比的化简方法：三角比的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等． 题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式例4、（1）试用sin θ 表示sin3θ；（2）试用cos θ 表示cos3θ；（2）试用sin θ 表示sin3θ； 【解析】（1）3sin33sin 4sin θθθ=-；（2）3cos34cos 3cos θθθ=-；【说明】理解二倍角公式的推导思路；并从推导过程进行拓展（问题：如何记忆三倍角公式） 【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_αS 2α 余弦 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α C 2α 正切tan 2α＝2tan α1－tan 2αT 2α【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠π4＋k π且α≠－π4＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)．当α＝π4＋k π及α＝－π4＋k π(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝π2＋k π(k ∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2k π)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．（4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝12sin 6α.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B. 15 C ．－15 D ．－725【答案】D ；【解析】因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. 2、若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23【答案】C ；【解析】因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×(33)2＝13.3、若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．【答案】 2 012；【解析】1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 0124、等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．【答案】459【解析】设A ，B 分别是等腰△ABC 的顶角和底角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 5、设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________. 【答案】17250；【解析】∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×35×45＝2425， cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝22×1725＝17250. 6、sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，则cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值为 ．【答案】2413；【解析】0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4.又∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213. 又cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.7、sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 4x 的值为 ． 【答案】427；【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝16，∴cos 2x ＝13.∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2x ∈(π，2π)，∴sin 2x ＝－223. ∴tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝－2 2.∴tan 4x ＝2tan 2x1－tan 22x ＝－421－8＝427.8、已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π12＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝ 【答案】79；【解析】sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π12＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫θ－π12＝79. 9、已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求：sin2α，cos 2α，tan 2α的值．【解析】方法1、由sin α＋cos α＝13，得(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵sin αcos α<0，0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝13>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0.∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－179.ta n 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 方法2、：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αc os α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－49<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2 ＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝13×(－173)＝－179.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 10、求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【证明】原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，(*) 而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ) ＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边，∴(*)式成立，即原式得证.。
两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例之阿布丰王创作知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝； C(α＋β)：cos(α＋β)＝；S(α＋β)：sin(α＋β)＝； S(α－β)：sin(α－β)＝； T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式2S α：sin2α＝； 2T α：tan2α＝； 2C α：cos2α＝＝＝；3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:tan α±tan β=___________________； tan αtan β==. 考点自测：1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝()2、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋ sin α＝453，则 sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45D.453、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－16654、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或3D ．0或±35、三角式2cos55°－3sin5°cos5°值为( )A.32B.3C ．2 D ．1题型训练题型1 给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20︒︒︒-题型2给值求值三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”暗示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---例2 设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos(α＋β)．变式2：π3π33π50π,cos(),sin(),4445413βααβ<<<<-=+=已知求sin(α+β)的值.题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步调：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
二倍角的公式
二倍角的公式二倍角的公式是数学中的一种重要公式，它在解决三角函数问题时非常有用。
本文将详细介绍二倍角的公式及其应用。
二倍角的公式可以帮助我们简化三角函数的计算。
在数学中，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
而二倍角的公式适用于这些三角函数的二倍角，即对于角度θ，二倍角的公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos^2θ - sin^2θtan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)我们来看正弦函数的二倍角公式。
根据公式sin(2θ) = 2sinθcosθ，我们可以得出sin(2θ)的值等于2sinθ乘以cosθ。
这个公式在解决正弦函数二倍角问题时非常有用。
例如，如果我们要计算sin(60°)，根据二倍角公式，我们可以将θ取值为30°，然后代入公式计算得到sin(60°) = 2sin(30°)cos(30°) = 2 * 0.5 * √3 / 2 = √3 / 2。
接下来，我们来看余弦函数的二倍角公式。
根据公式cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ，我们可以得出co s(2θ)的值等于cos^2θ减去sin^2θ。
这个公式在解决余弦函数二倍角问题时非常有用。
例如，如果我们要计算cos(120°)，根据二倍角公式，我们可以将θ取值为60°，然后代入公式计算得到cos(120°) = cos^2(60°) -sin^2(60°) = (1/2)^2 - (√3/2)^2 = 1/4 - 3/4 = -1/2。
我们来看正切函数的二倍角公式。
根据公式tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)，我们可以得出tan(2θ)的值等于2tanθ除以1减去tan^2θ。
这个公式在解决正切函数二倍角问题时非常有用。
例如，如果我们要计算tan(45°)，根据二倍角公式，我们可以将θ取值为22.5°，然后代入公式计算得到tan(45°) = 2tan(22.5°) / (1 - tan^2(22.5°)) = 2 * (2 - √2) / (1 - (2 - √2)^2) = 1。
二倍角的6种解题方法
二倍角二倍角的6种解题方法：1.二倍角等腰法：（1）二倍角——小角等腰法：以二倍角为外角构造等腰△。
（2）二倍角——大角等腰法：以二倍角为底角构造等腰△。
2.二倍角——角分线：作2倍角的角分线。
3.二倍角——对称角法：小角或大角的对称角。
4.二倍角——对称法：以小角的一边为对称轴作翻折。
5.二倍角——顶角法：2a与90°-a，以2a为顶角构造等腰△。
6.二倍角——角度计算：二倍角与特殊角（60°）组合，确定角度关系。
例题：二倍角等腰法：1如图，△ABC中，AB=10，∠B=2∠C，AD是高线，AE是中线，则线段DE的长为________2.如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC,BD=3，CD=2,则AD的长为___________3. （2012年中考20题）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE 交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为4.如图，,AD=CD=BC,,则的度数为__________________.对称法与角分线法：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠CAD ，AC=BD ，AB=5，则AD= _______。
方法一：对称法 方法二：角分线法2.如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，BQ 和AP 分别为∠BAC 和∠ABC 的角平分线，若△ABQ 的周长为20，BP=4，则AB 的长为_______________。
BBC B绝配角：半角和余角。
1.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 在BC 上，点E 在AC 上，连接AD ，DE ，∠ABC=2∠CDE ，AE=3，AB=5，∠ADE=45°，则BD 的长为___________。
2.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点,EA 平分∠BED ，2∠BAE=∠C ，若BE=5，CD=12,求CE 的长_____________.三倍角化二倍角：1.已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，作AE ∥BC,连接BE 交AC 于点D ，且DE=2AB 。
巧添辅助线解决二倍角问题
因为 Ｄ ／Ａ ， 以 Ｌ５＝ Ｌ ， Ｅ ＝ １， Ｅ／ Ｃ 所 ４
所 以 Ｌ５ ＝ Ｅ， 以 Ａ ＝，Ｅ 所 Ｄ Ａ ．
题， 感觉难度很大， 无从下手 ．其实 ， 这类问题添加辅助线 是有一定技巧和规律的， 可归纳总结为以下四种方法 ：
１做 大 角 的平 分线 ； ． ２ 以小 角 的 顶 点 、 角 的 一 边 为 一 边 ， 小 角 的 外 ． 小 在 部 做 一个 与 小角 相 等 的角 ； ３ 反 向延 长 三 角 形 大 角 的 一 个 边 ， 另 外 一 边 相 ． 与
求证 ：Ｂ Ａ ＋Ｂ ・ Ｂ ：Ａ Ｃ Ａ Ｃ．
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
图３ห้องสมุดไป่ตู้
证明 延长 Ｃ Ｂ到 Ｅ， Ｂ ＝Ｂ 连结 Ａ ， 使 Ｅ Ａ， Ｅ 则 Ｅ
１
＝ Ｌ３＝÷ Ａ ｃ ： Ｃ， Ａ ＝Ａ ． 日 所以 Ｅ Ｃ
图 １
又 ＬＡ ＤＥ ＝ Ｃ＋ Ｌ２， Ａ ＝ Ｌ３＋ １ 所 以 ＬＤ Ｅ ， ＬＡ Ｅ ＝ ＬＤ Ｅ， 以Ａ ＝ＤＥ， 以 Ｂ ：ＤＥ—Ｂ ＝ Ｄ Ａ 所 Ｅ 所 Ｄ Ｅ
巧 添辅 助 线 解 决 二 倍 角 问题
山 东省 即墨 市鳌 山卫 中学
平面 几何 中常 出现 “ 三角 形 的一 个 内角 为另一 个 内 角 的二倍 ”即 “ 二倍 角 ” 件 的 问题 ， 生 遇 到这 样 的 问 条 学
２ ６ ３ ６ ２７
周 义展
又 Ｌ２ ＝ Ｂ Ｄ， 以 ＢＤ ＝Ａ ＝Ａ Ａ 所 Ｄ
ＡＣ Ｄ ＝ ＡＤＣ ．
因 为 １ ：Ｌ２： ３＝１： ２：
４， 以 ＬＡＣ ＝ １ ＋ Ｌ２ ＝ 所 Ｄ
３／ １ ．
有关2倍角公式练习题
有关2倍角公式练习题一、选择题1. 已知cosθ=1/2，且θ为第二象限角，则cos2θ的值为（）A. 1/2B. 1/2C. 3/4D. 3/42. 若sin2α=1/2，则cosα的取值范围是（）A. [1/2, 1/2]B. [√3/2, √3/2]C. [1, 1]D. [1, 0)3. 已知tanθ=3，则tan2θ的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12二、填空题1. 已知sinα=4/5，则sin2α=______。
2. 若cosβ=5/13，且β为第四象限角，则cos2β=______。
3. 已知tanγ=1，则tan2γ=______。
三、解答题1. 已知sinθ=3/5，求sin2θ和cos2θ的值。
2. 已知cosα=2/3，求tan2α的值。
3. 已知tanβ=4，求sin2β和cos2β的值。
4. 已知sin2γ=1/2，求cosγ的值。
5. 已知cos2θ=1/2，求sinθ和cosθ的值。
四、应用题1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=θ，若sinθ=3/5，求sin2θ的值。
2. 在△DEF中，∠D=90°，∠E=2α，若cosα=1/3，求cos2α的值。
3. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，若tan∠B=1，求tan2∠B的值。
4. 在圆中，弧AB的长度是弧CD的两倍，若弧AB对应的圆心角为2θ，求sin2θ的值。
5. 在四边形EFGH中，EF∥GH，若∠E=α，∠G=2α，求cos2α的值。
有关2倍角公式练习题（续）五、判断题1. 若sinθ=1/2，则sin2θ=1。
（）2. 若cosα=1，则cos2α=0。
（）3. 对于任意角β，都有tan2β=2tanβ。
（）4. 若sin2γ=0，则γ必定是整数倍的π/2。
（）5. cos2θ的值总是小于或等于1。
（）六、匹配题将下列2倍角公式与对应的三角函数匹配：A. sin2θ = 2sinθcosθB. cos2θ = cos²θ sin²θC. cos2θ = 2cos²θ 1D. cos2θ = 1 2sin²θE. tan2θ = 2tanθ / (1 tan²θ)1. sin2θ的化简公式是（）2. cos2θ的化简公式是（）3. tan2θ的化简公式是（）4. cos2θ的另一种表达形式是（）5. sin2θ的另一种表达形式是（）七、简答题1. 简述如何利用2倍角公式将sin2θ转换为cosθ的表达式。