2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二(上)10月月考数学试卷
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件： ①0++=aOA bOB cOC ；②tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ③sin 2sin 2sin 20⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ④0OA OB OC ++=； 则点O 分别为ABC ∆的（ ） A.外心、内心、垂心、重心 B.内心、外心、垂心、重心 C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心． 【详解】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =， 可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1， 则O 为ABC 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=， 可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC 的外心；④0OA OB OC ++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=， 即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =，由AC 的中点D 为()0,2，DB =，3OB =，即O 分中线DB 比为2:3， 故O 为ABC 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ， ②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=，即为)))(),2,10,0x y x y x y --+--+--=，0x =10y +=，解得1x =-，y =即(1,O -，由OC AB ⊥，1OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC 的垂心． 故选：D 【点睛】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建立坐标系的方法求解，属于常考题型．2．如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，3，点M ，N 分别在1l ，2l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A.15B.12C.10D.9【答案】A【解析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM 、PN uuu r，根据8PM PN +=，求出PM PN ⋅的解析式，再求其最大值． 【详解】由点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，3，可得平行线1l 、2l 间的距离为2；以直线1l 为x 轴，以过点P 且与直线1l 垂直的直线为y 轴， 建立坐标系，如图所示：由题意可得点()0,1P -，直线2l 的方程为2y =， 设点(),0M a 、点(),2N b ，(),1PM a ∴=、(),3PN b =， (),4PM PN a b ∴+=+；8PM PN +=， 2()1664a b ∴++=，a b ∴+=，或a b +=-；当a b +=()2333PM PN ab a a a ⋅=+=+=-++，它的最大值为2315-+=；当a b +=-时，()2333PM PN ab a a a ⋅=+=-+=--+，它的最大值为(2(315----+=； 综上可得，PM PN ⋅的最大值为15． 故选：A 【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，熟记向量数量积的运算法则，以及数量积的坐标表示即可，属于常考题型. 3．如图，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD yAE x y R =+∈、，则x y +的取值范围是（ ）A.1,4⎡+⎣B.44⎡-+⎣C.1,2⎡+⎣D.22⎡⎣【答案】B【解析】连接AM 并延长分别交圆M 于Q T 、，连接DE ，DE 与AM 交于R ，显然1122AR AD AE =+，此时1x y +=，分别过Q T 、作DE 的平行线，由于01,120AD AE BAC ==∠= ，则2,A M D M ==，则2AQ =，12AR =， 23(423)(23)(23)2AQ AR AD AE-==-=-+- ，此时4x y +=-，同理可得：(23)(23)AT AD AE =+++，4xy +=+，选B .【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P 在等和线DE 上1x y +=去求x y +的取值范围，由于点P 是圆M 及其内部任意一点，所以分别过Q T 、作圆的切线，求出两条等和线的x y +值，就可得出x y +的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.4．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 正确的个数是（ ） A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则2d ==,则22a b +>4，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率。
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题(原卷+解析版)
对④，当 ， 时，不总存在单位向量 和单位向量 ，使 ，故④错误．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理和应用，注意运用向量的加减运算性质和单位向量的概念，难度中档．
12.已知 内一点 是其外心， ，且 ，则 的最大值为________.
10.已知边长为1 正八边形的8个顶点依次为 、 、 、 、 、 、 、 ，点 为该八边形边上的动点，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，根据向量数量积的几何意义知，当点 在 位置时， 取得最小值，当点 在 位置时， 取得最大值，建立直角坐标，利用向量的坐标运算，即可得答案.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的数量积大于0，且向量不共线，得到关于 的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】∵ 与 的夹角为锐本题考查向量夹角的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况去掉，才不会出现错解.
②存在 为第二象限角，角 为第四象限角；
则下列选项中，正确的是（）
A. ①正确②正确B. ①正确②错误C. ①错误②正确D. ①错误②错误
三.解答题
17.在△ 中，三个内角 、 、 所对 边分别为 、 、 .
（1）若 ， ，求△ 面积的最大值；
（2）若 ，试判断△ 的形状，并说明理由.
18.已知 （ ）
【详解】设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式、向量模的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
精品解析：上海市华东师大二附中高二上学期考数学试题原卷版
A.0个B.1个C.2个D.3个
15.设 为两个非零向量 、 夹角,已知当实数 变化时 的最小值为2,则（）
A. 若 确定,则 唯一确定B. 若 确定,则 唯一确定
C. 若 确定,则 唯一确定D. 若 确定,则 唯一确定
16.在 中， ， ， ，若点 为边 所在直线上的一个动点，则 的最小值为（）
（1）求直线 和直线 的夹角的余弦值；
（2）已知 、 中点为 ，若 ，求 的最大值；
（3）若 ， ，求 的最小值.
A. B. C. D.
三、解答题
17.已知点 、 ，且A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程.
18.已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 .
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ， 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
19.已知直线 及点 ．
（1）求点 关于直线 对称的点 的坐标；
上海市华二附中高二上数学10月月考卷
一、填空题
1.已知直线 的一个方向向量是 ，则它的斜率为______________.
2.平面直角坐标系中点（1,2）到直线 的距离为_________
3.已知直线 过点 ，法向量 ，则其点法向式方程为________
4.已知单位向量 ，若 ，则 与 的夹角为__________.
（2）求过点 且与直线 夹角为 的直线 的方程．
20.一束光从从光源 射出，经 轴反射后（反射点为 ），射到线段 上 处.
（1）若 ， ，求光从 出发，到达点 时所走过的路程；
（2）若 ，求反射光的斜率的取值范围；
（3）若 ，求光从 出发，到达点 时所走过的最短路程.
2018-2019学年上海市华二附中高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020年1月2日高中数学作业一、单选题1．若直线:(,)0l f x y =不过点00(,)x y ，则方程00(,)(,)0f x y f x y -=表示（ ） A ．与l 重合的直线 B ．与l 平行的直线 C ．与l 相交的直线 D ．可能不表示直线【答案】B 【解析】 【分析】利用相互平行的直线斜率、截距之间的关系即可得出． 【详解】Q 直线:(,)0l f x y =不过点00(,)x y ，∴00(,)0f x y ≠，则方00(,)(,)0f x y f x y -=表示是与l 平行的直线. 故选：B. 【点睛】本题考查直线的位置关系，属于基础题.2．设a r是已知的平面向量且0a ≠rr，关于向量a r的分解，有如下四个命题： ①给定向量b r，总存在向量c r，使a b c =+rrr；②给定向量b r 和c r ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+r r r ；③给定单位向量b r 和正数μ，总存在单位向量c r 和实数λ，使a b c λμ=+r r r ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b r和单位向量c r，使a b c λμ=+rrr； 上述命题中的向量b r，c r 和a r在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】试题分析：利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以a r 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量b λr 有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须b c a λμλμ+=+≥r r r，所以④是假命题。
综上，本题选B ．考点：1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则．3．已知平面向量,,a b c r r r 满足c xa yb =+r r r（,R x y ∈），且0a c ⋅>r r ，0b c ⋅>r r ． A ．若0a b ⋅<r r，则0x >，0y > B ．若0a b ⋅<r r，则0x <，0y <C ．若0a b ⋅>r r，则0x <，0y < D ．若0a b ⋅>r r，则0x >，0y >【答案】A 【解析】试题分析：若0a b ⋅<r r ，设(1,1)a =r ，(2,1)b =-r ，(0,1)c =r，则10a c ⋅=>r r ，10b c ⋅=>r r ，10a b ⋅=-<r r ，由c xa yb =+r r r ，有021x y x y =-⎧⎨=+⎩，解得2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，排除B ；若0a b ⋅>r r ，设(1,0)a =r ，(2,1)b =r ，(1,1)c =r，则10a c ⋅=>r r ，30b c ⋅=>r r ，20a b ⋅=>r r ，由c xa yb =+r r r ，有121x y y =+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，排除C 、D ，故选A ．考点：1、平面向量数量积的坐标运算；2、平面向量的基本定理．【思路点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和平面向量基本定理的运用，作为选择题运用排除法是解题的关键，运用排除法解决，分0a b ⋅<r r ，0a b ⋅>r r两种情况，然后再分别对,a b r r举例加以验证，即可得到答案．4．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件： ①0++=u u u r u u u r u u u r raOA bOB cOC ；②tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r rA OAB OBC OC ；③sin 2sin 2sin 20⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r A OA B OB C OC ；④0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ；则点O 分别为ABC ∆的（ ） A ．外心、内心、垂心、重心 B ．内心、外心、垂心、重心 C ．垂心、内心、重心、外心 D ．内心、垂心、外心、重心【答案】D 【解析】 【分析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30o ，设()1,3C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心．【详解】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =， 可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1， 则O 为ABC V 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=， 可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC V 的外心；④0OA OB OC u u u r u u u r u u u r r++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=，即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =， 由AC 的中点D 为()0,2，13DB =，2133OB =，即O 分中线DB 比为2:3， 故O 为ABC V 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30o ，设(3C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ， ②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r， 即为)()()()333,2,130,033x y x y x y ---+--+--=， 330x =310y +=，解得1x =-，3y = 即(1,3O --，由OC AB ⊥，331OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC V 的垂心． 故选：D 【点睛】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建立坐标系的方法求解，属于常考题型．二、填空题5．方程组260320x y x y +-=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为________【答案】216320⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】 【分析】先将方程组化为26320x y x y +⎧⎨-⎩＝＝，即可写出对应的增广矩阵．【详解】由题意，方程组为26320x y x y +⎧⎨-⎩＝＝，故其增广矩阵为216320⎛⎫⎪-⎝⎭.故答案为：216320⎛⎫⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查方程组的增广矩阵，属于基础题. 6．直线210x +-=的倾斜角是________【答案】π-【解析】 【分析】根据所给的直线210x +-=，得到直线的斜率为，直线的斜率是倾斜角的正切值，得到tan α=0[]απ∈，，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果． 【详解】直线210x -=的斜率是， 因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以tan α=0[]απ∈，，所以απ=-.故答案为：π-【点睛】本题考查反三角函数的运用，考查直线的倾斜角，属于基础题. 7．已知直线220x y +-=和10mx y -+=的夹角为3π，那么m 的值为________【解析】 【分析】运用两直线夹角的正切公式，解方程即可得到所求值． 【详解】由已知直线220x y +-=，得该直线斜率为2-， 直线10mx y -+=的斜率为m ， 因为两直线的夹角为3π， 所以：(2)31(2)m m --=+⋅-，解得853m ±=.故答案为：853±. 【点睛】本题考查两直线的夹角与到角问题，属于常考题.8．行列式101213131---中的代数余子式的值为________【答案】-5 【解析】 【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论． 【详解】由题意，行列式101213131---中﹣3的代数余子式为﹣1123-＝﹣（3+2）＝﹣5故答案为﹣5 【点睛】本题考查行列式的代数余子式，考查学生的计算能力，属于基础题．9．设向量()3,0a =-v，()2,6b =-r ，则b r 在a r 上的投影为__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据一个向量在一个向量上的投影等于这个向量的模乘以两个向量的夹角的余弦，然后代入公式|b r|cos a b a b a⋅=r r r r u u r r ＜，＞进行求解即可． 【详解】向量 a =r（﹣3，0），b =r（﹣2，6），向量b r 在向量a r上的投影为|b r |cos 32069a b a b a--+⨯⋅===rr r r u u r r＜，＞ 2 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了向量的投影，解题的关键是看清是哪一个向量在哪一个向量上的投影，属于中档题．10．已知线段AB 的端点坐标分别为(2,4)A -、(4,2)B ，过点(0,2)P -的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是________ 【答案】(,3][1,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形求出直线AP BP 、的斜率，从而求出直线l 的斜率k 的取值范围． 【详解】根据题意，画出图形，如图所示：Q 直线AP 的斜率是24302AP k --==-+， 直线BP 的斜率是22104BP k --==-，∴直线l 的斜率应满足AP k k ≤或BP k k ≥，即3k ≤-或1k ³时，直线l 与线段AB 相交，∴斜率k 的取值范围是3k ≤-或1k ³.故答案为：(,3][1,)-∞-+∞U . 【点睛】本题考查直线的斜率的取值范围，考查数形结合思想和逻辑思维能力，属于常考题.11．齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解，则λ的值为________【答案】0或3或2 【解析】 【分析】根据系数矩阵行列式等于0时，齐次线性方程组有非零解解答即可. 【详解】124231111D λλλ--=--2(1)(3)824(3)(1)4(1)λλλλλ=--+-----+-0=，故2(3)(2)0λλλ--=， 解之得：0λ=或3λ=或2λ=， 故答案为：0或3或2. 【点睛】本题考查齐次线性方程组有非零解的问题，属于基础题.12．已知向量a r ，b r 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =r ，()1,1b =r ，a r 与a λb +rr 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________. 【答案】()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】可求出()12a b λλλ+=++r r ，，根据a r 与a b λ+r r的夹角为锐角即可得出：()0a a b λ⋅+r r r ＞，且a r 与a bλ+r r不平行，从而得出()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞，解出λ的范围即可． 【详解】：()12a b λλλ+=++r r，； ∵a r与a b λ+rr的夹角为锐角；∴()0a a b λ⋅+r r r ＞，且a r 与a b λ+r r不平行；∴()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞；解得53λ-＞，且λ≠0； ∴实数λ的取值范围是：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 故答案为：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 【点睛】本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量数量积的计算公式，以及平行向量的坐标关系．13．Lester S.Hill 在1929年运用矩阵的原理发明了一种加密方法，称为希尔密码，其中每个字母均用数字来代替（0A =，1B =，…，25Z =），一串字母就可当成n 维向量，具体加密过程如下：假设明文M =“ABC ”，对a 应的向量就是()1012M =，加密矩阵1212041315A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，加密过程就是()()11210122044681315M A -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，如果计算出的数字超过26，则对26取余，例如34mod268=，那么，最终的密文C 就是“EGI ”，假设加密矩阵仍为A ，那么原文“EFZ ”的密文是______. 【答案】NFB 【解析】【分析】根据题意,先找到EFZ 对应的数字,再根据加密法则进行计算,最终得到密文即可. 【详解】由题EFZ 对应的向量(4525)Q =,则加密后121(4525)204(3983391)(1351)1315QA -⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭故密文为NFB 故答案为：NFB 【点睛】本题主要考查矩阵的运算以及新定义的问题,根据题中所给信息列出对应的计算式求解即可.属于中等题型.14．已知O 为△ABC 的外心，若4B π=，BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为______【答案】2【解析】 【分析】在BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r 的两边分别同时计算与BA u u u r 和BC uuur 的数量积得到2c c λμ=和2a a λμ=+，进一步得到1λ=-1μ=-，所以2()a cc aλμ+=+，再运用基本不等式可以得到最值. 【详解】设AB c =，BC a =，由BO BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，得：BO BA BA BA BC BA λμ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2212c c λμ=，即2c c λμ=①，同理可得，2a a λμ=+②，由①②解得：12c λ=-，12aμ=-，所以2()22a cc aλμ+=-+≤-， 当且仅当a c =时等号成立，故max ()2λμ+=故答案为：2【点睛】本题考查平面向量的线性表示、平面向量的数量积、基本不等式的应用、一元二次不等式的解法等，考查划归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题15．已知ABC ∆的顶点坐标分别为(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求ABC ∆的面积. 【答案】312【解析】 【分析】解法一：用行列式求解，面积公式为112233111ABC x y S x y x y ∆=，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线BC 的方程、点A 到直线BC 的距离d 及BC ，利用12ABC S BC d ∆=⋅⋅计算即可.【详解】解法一：行列式求解，11223315013113312121ABC x y S x y x y ∆-==-=； 解法二：平面解析几何知识求解， 直线BC 的方程为：3353y x +-=-，即：5360x y +-=， 点A 到直线BC的距离34d ===，BC ==所以113122342ABC S BC d ∆=⋅⋅=⋅=. 【点睛】本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.16．解关于x 、y 、z 的三元一次方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】根据题意，分别求出D 、x D 、y D 、z D 关于a 的表达式，再由三元一次方程组解的公式对a 的取值进行讨论，即可得到原方程组解的各种情况. 【详解】(1)(25)D a a =--+，(11)(1)x D a a =+-，22y D a =-，55z D a =-；① 当1a =，0x y z D D D D ====，方程组有无穷多解；② 当52a =-，0D =，且x D 、y D 、z D 不为零，方程组无解； ③ 当1a ≠且52a ≠-时，方程组的解为1125a x a +=-+，225y a =+，525z a =-+. 【点睛】本题考查三元一次方程组的行列式解法，解题关键是要分类讨论，属于常考题.17．设二阶方矩阵a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭A ，则矩阵A 所对应的矩阵变换为：x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其意义是把点(,)P x y 变换为点(,)Q x y ''，矩阵A 叫做变换矩阵.（1）当变换矩阵11221A ⎛⎫=⎪⎝⎭时，点1(1,1)P -、2(3,1)P -经矩阵变换后得到点分别是1Q 、2Q ，求经过点1Q 、2Q 的直线的点方向式方程；（2）当变换矩阵21381A ⎛⎫=⎪-⎝⎭时，若直线上的任意点(,)P x y 经矩阵变换后得到的点Q仍在该直线上，求直线的方程；（3）若点P 经过矩阵3A 变换后得到点Q ，且P 与Q 关于直线y kx =对称，求变换矩阵3A .【答案】（1）1112x y -+=-；（2）20x y +=，430x y -=；（3）22222212112111k k k k k k k k ⎛⎫- ⎪++ ⎪⎪- ⎪++⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由给出的变换矩阵定义求出1Q 、2Q 的坐标，进而求出直线的方向向量，求出点向式方程；（2）设直线方程为：1l ：0ax by c ++=，求出其上点(,)P x y 关于矩阵21381A ⎛⎫=⎪-⎝⎭变换后的点Q 也满足直线1l 的方程，再根据两直线重合的条件：斜率相等，截距相同即可求出直线方程；（3）因为点P 经过矩阵3A 变换后得到点Q ，且P 与Q 关于直线y kx =对称，所以有：122y y x x k y y x x k -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪='⋅''⎩'⎪ ，解之得：22222212112111k k x x y k k k k y x y k k ⎧-=⋅+⋅⎪⎪++⎨-⎪=⋅+⋅⎪+'''+⎩' ，再根据x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得出3A 即可. 【详解】（1）由题意得：112121x y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2121x y x y '''+=-⎧⎨+='⎩，解之得：11x y =⎧⎨=-''⎩，所以1(1,1)Q -；312121x y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2321x y x y '''+=-⎧⎨+='⎩，解之得：5373x y ⎧=⎪⎪⎨'='⎪-⎪⎩，所以257(,)33Q -， 则1224(,)33Q Q =-u u u u u r ，所以方程为112433x y -+=- ，即1112x y -+=-； （2）133818x x x y y y x y '''+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'''--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即38x x y y x y =+'''⎧⎨-⎩'= 325825x yx x y y +⎧=⎪⎪⇒⎨-=''⎪⎪⎩， 设1l ：0ax by c ++=（,a b 不全为0），2l ：3802525x y x ya b c +-⋅+⋅+=，即(8)(3)250a b x a b y c ++-+=， 由题知，1l 与2l 重合得22328083a bD a ab b a b a b==--=+-，所以2a b =或43a b =-，0253x c bD c a b -==--，得0c =，0825y acD a b c -==+-，得20bx by +=或403bx by -+=，即20x y +=，430x y -=；（3）因为P 与Q 关于直线y kx =对称，所以有：122y y x x k y y x x k -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪='⋅''⎩'⎪ ，解之得：22222212112111k k x x y k k k k y x y k k ⎧-=⋅+⋅⎪⎪++⎨-⎪=⋅+⋅⎪+'''+⎩'， 故22222212112111k k x x k k y y kk k k ⎛⎫- ⎪'⎛⎫⎛⎫++ ⎪= ⎪ ⎪' ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪++⎝⎭，所以222222312112111k k k k kk k k A ⎛⎫- ⎪++ ⎪⎪- ⎪++⎝⎭=. 【点睛】本题考查矩阵变换问题，考查矩阵的求法，考查运算能力与转化思想，属于中档题．18．已知a r 、b r是非零向量，构造集合{,}P P ta b t R ==+∈u r r r ，记P 中模最小的向量为(,)T a b r r .（1）若0(,)T a b t a b =+r r r r ，求0t 的值（用a r 、b r表示）；（2）证明：(,)T a b a ⊥r r r ；（3）若12||||1a a ==u u r u u r ，且1a u r 、2a u u r 的夹角为3π，定义向量序列21(,)n n n a T a a --=u u r u u u u r u u u r ，*n N ∈，3n ≥，求||n a u u r的值.【答案】（1）02a b t a⋅=-r rr ；（2）见解析；（3【解析】 【分析】对于（1），0t a b +=r r对于（2），由（1）可得，2()0a b a b a a b a b a⋅-⨯+⋅=-⋅+⋅=r rr r rr r r r r ，即可得证；对于（3），取1()10a =u r ，，2(122a =u u r ，，13212(1(2)2,a t T a t a a a =+==+u u r u r u u r u r u u r ，，由12ta a +=≥u r u u r3(0a =u u r，3a =u u r，同理可得：43(8a -=u u r，4a =u u r ，⋅⋅⋅，即可推出. 即可完成解答. 【详解】（1）对于0(,)T a b t a b =+r r r r，∴0t a b +=r r当02a bt a⋅=-r r r 时，其模取最小值；（2）由（1）可得：2()0a b a b a a b a b a⋅-⨯+⋅=-⋅+⋅=r rr r rr r r r r ，∴(,)T a b a ⊥r r r ；（3）不妨取1()10a =u r ，，2(12a =u u r ，向量序列21(,)n n n a T a a --=u u r u u u u r u u u r ，*n N ∈，3n ≥，∴13212(1(2)2,a t T a t a a a =+==+u u r u r u u ru r u u r ，，∴12ta a +=≥u r u u r 12t =-时取等号，∴3(0)2a =u u r ，，32a =u u r，同理可得：43(8a -=u u r，4a =u u r，⋅⋅⋅，∴2||2n n a -=u u r .【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查平面向量的坐标运算，考查逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.。
2018-2019学年上海市华师大二附中高二上学期期末数学试题(解析版)
上海市华师大二附中高二上学期期末数学试题一、单选题1．关于x 、y 的二次一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ）A.0543- B.1024C.0543D.0543- 【答案】C【解析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解． 【详解】解：关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式：4530x D =．故选：C ． 【点睛】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．2．使复数z 为实数的充分而不必要条件的是（ ） A.2z 为实数 B.z z +为实数C.z z =D.z z =【答案】D【解析】一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个项加以判别，发现A 、B 都没有充分性，而C 是充分必要条件，由此不难得出正确的选项． 【详解】解：设复数z a bi =+（i 是虚数单位），则 复数z 为实数的充分必要条件为0b = 由此可看出：对于A ，2z 为实数，可能z i =是纯虚数，没有充分性，故不符合题意； 对于B ，同样若z 是纯虚数，则0z z +=为实数，没有充分性，故不符合题意； 对于C ，若,,z a bi z a bi z z =+=-=等价0b =，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D ，若0z z =≥，说明z 是实数，反之若z 是负实数，则z z =不成立，符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握复数有关概念，是解决本题的关键．3．下列动点M 的轨迹不在某一直线上的是（ ）A.动点M 到直线4350x y +-=和43100x y ++=的距离和为3B.动点M 到直线()1,0和()1,0-的距离和为2C.动点M 到直线()0,2和()0,2-的距离差为4D.动点M 到点()2,3和到210x y --=的距离相等4 【答案】A【解析】利用平行线之间的距离，判断选项A 的正误；利用两点间距离个数判断B 的正误；轨迹方程判断C ，D 的正误； 【详解】解：直线4350x y +-=和43100x y ++=3=，所以动点M到直线4350x y +-=和43100x y ++=的距离和为3，动点的轨迹是平行线之间的区域．满足题意．动点M 到直线（1，0）和（−1，0）的距离和为2，是两点之间的线段，轨迹在一条直线上，所以B 不正确；动点M 到直线（0，2）和（0，−2）的距离差为4，是两条射线，在一条直线上，所以C 不正确；动点M 到点（2，3）和到210x y --=的距离相等，动点M 的轨迹是经过（2，3）与直线垂直的直线，所以D 不正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A坐标为()3,1,M -、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ） A.0个 B.2个C.4个D.无数个【答案】D【解析】根据题意画出图形，通过计算得出公共弦MN 也是以AQ 为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形AMQN 能构成矩形的个数为无数个． 【详解】解：如图所示，任取圆2C 上一点Q ，以AQ 为直径画圆，交圆1C 与,M N 两点，设(),Q m n ，则AQ 中点坐标31,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭， 有2214m n +=，以AQ 为直径的圆的方程为()(3)()(1)0x m x y n y --+-+=， 即22(3)(1)3x m x y n y n m -++--=-，用1C 的方程减去以AQ 为直径的圆的方程，可得公共弦MN 所在的直线方程， 即(3)(1)123m x n y n m ++-=-+，将AQ 中点坐标31,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭代入上式得： 左边=22316921(3)(1)222m n m m n n m n +-+++-+⎛⎫++-⋅= ⎪⎝⎭ 62243122m n m n -+==-+=右边，所以公共弦MN 也是以AQ 为直径的圆的直径， 则MN AQ =，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形AMQN 是矩形， 由Q 的任意性知，四边形AMQN 能构成无数个矩形， 故选：D 。
华东师大第二附中2019-2020学年高二数学上学期10月月考试卷附答案详析
华东师大第二附中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．设2111()1111f x xx =-，x ∈R ，则方程()0f x =的解集为（ ） A ．{1}B ．{}1-C ．{1,1}-D ．以上答案都不对2．函数2cos 2cos ()1sin cos x xf x x x=-的图像（ ）A ．关于直线4x π=对称B ．关于点3(,0)8π-对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于原点对称3．若矩阵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M，记a b M c d =，以下四个命题中的矩阵,A B 都是22⨯阶矩阵，1001I ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则其中真命题的个数为（ ） ① 若R λ∈，则A A λλ=⋅； ② 若AB I =，则BA I =；③AB A B =⋅； ④ 若1AB =-，则AB I =-；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知角α、β满足cos cos cos()αβαβ+=+，有如下两个命题： ① 存在α为第一象限角，角β为第三象限角； ② 存在α为第二象限角，角β为第四象限角； 则下列选项中，正确的是（ ） A ．①正确②正确 B ．①正确②错误C ．①错误②正确D ．①错误②错误二、填空题5．已知向量,a b r r 满足4a b +=r r ，3a b -=r r ，则a b ⋅r r 的值为________.6．行列式123456789----中的元素6-的代数余子式的值为________.7．已知矩阵3122A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则23A A -=________.8．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(1,3)A 、(1,2)B -、(3,2)C -，点G 为△ABC 的重心，则||CG uuu r的值为________. 9．若增广矩阵1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则m =________.10．已知无穷数列{}n a 的前n 项和221n S n =+，则集合*1{|}n n a a n N +-∈的真子集的个数为________.11．已知向量()1,3a =r ，()2,1b λ=+r ，且a r 与b r的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.12．如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u v u u u v ，2AP BP ⋅=u u u r u u u r ，则AB AD ⋅u u u v u u u v的值是______________.13．已知平面向量,a b rr 满足2660b b a -⋅+=r r r ，且()1,3a =-r ，则b r 的最大值与最小值之和为________.14．已知边长为1的正八边形的8个顶点依次为1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A 、7A 、8A ，点P 为该八边形边上的动点，则131A A A P⋅u u u u r u u u r的取值范围是________. 15．设a r 是给定的平面向量，且为非零向量，关于a r的分解，有如下4个命题：① 给定向量b r ，总存在向量c r ，使得a b c =+r r r ；② 给定向量b r和c r ，总存在实数λ和μ，使得ab c λμ=+r rr；③ 给定向量b r 和整数μ，总存在单位向量c r 和实数λ，使得a b c λμ=+r r r ；④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量br和c r 单位向量，使得a b c λμ=+r r r；若上述命题中的向量在同一平面内且两两不共线，则其中真命题的序号为________. 16．已知ABC ∆内一点O 是其外心，1cos 3A =，且AO mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，则m n +的最大值为________.三、解答题17．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .（1）若2c =，3C π=，求△ABC 面积的最大值；（2）若sin sin()sin 2C B A A +-=，试判断△ABC 的形状，并说明理由.18．已知sin(sin 2()411x xf x π+=）（x ∈R ）. （1）求()f x 的值域； （2）求方程()1f x =的解集.19．如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角平分线交半圆于点C ．（1）若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，求cos∠AOC 的值； （2）若A,B,C 三点共线，求线段AC 的长．20．矩阵乘法运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭的几何意义为平面上的点(,)P x y 在矩阵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M 的作用下变换成点(,)P ax by cx dy '=++，记||a bM c d=，且||0M ≠. （1）若平面上的点A 在矩阵2123-⎛⎫⎪-⎝⎭的作用下变换成点(3,1)A '-，求点A 的坐标；（2）若平面上相异的两点A 、B 在矩阵M 的作用下，分别变换为点A '、B '，求证：若点P 为线段AB 上的点，则点P 在M 的作用下的点P '在线段A B ''上；（3）已知△ABC 的顶点坐标为(1,1)A 、(2,4)B -、(3,9)C ，且△ABC 在矩阵11231145M ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭作用下变换成△A B C '''，记△ABC 与△A B C '''的面积分别为1S 与2S ，求2S 的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下1S 与2S 的关系（不要求证明）.21．对于项数为m （1m >）的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}k k b a a a =L （1,2,,k m =L ），即k b 为12,,k a a a L 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（1）若数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ；（2）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018k m k a b -++=（1,2,,k m =L ），求证：k k a b =（1,2,,k m =L ）；（3）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .解析华东师大第二附中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．设2111()1111f x xx =-，x ∈R ，则方程()0f x =的解集为（ ） A ．{1} B ．{}1-C ．{1,1}-D ．以上答案都不对【答案】C【解析】按照行列式的计算法则计算行列式的值,然后解方程可得. 【详解】因为2221111111()11111111111x x f x x x x x --=-=⨯-⨯+⨯221(1111)1(11)1(11)x x x x =⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯⨯+⨯ 222x x x x =--+++ 222x =-,由()0f x =,得2220x -=,即21x =,所以1x =-或1x =.所以方程()0f x =的解集为{1,1}-.故选C . 【点睛】本题考查了行列式的计算法则,属于基础题. 2．函数2cos 2cos ()1sin cos x xf x x x=-的图像（ ）A ．关于直线4x π=对称B ．关于点3(,0)8π-对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于原点对称【答案】B【解析】计算行列式并利用辅助角公式化简()2cos(2)4f x x π=+，再利用三角函数的性质求解，即可得答案. 【详解】∵2()2cos 2sin cos 1cos2sin 22cos(2)4f x x x x x x x π=-⋅-=-=+，对A ，将4x π=代入解析式得3()2cos244f ππ=≠±，故A 错误； 对B ，∵3()2cos 082f ππ-==，∴函数关于点3(,0)8π-对称，故B 正确；对C ，D ，函数既不是偶函数也不是奇函数，∴图象不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故C ，D 错误；故选：B. 【点睛】本题考查行列式计算、三角恒等变换、三角函数的图象和性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 3．若矩阵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M，记a b M c d =，以下四个命题中的矩阵,A B 都是22⨯阶矩阵，1001I ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则其中真命题的个数为（ ） ① 若R λ∈，则A A λλ=⋅； ② 若AB I =，则BA I =；③AB A B =⋅； ④ 若1AB =-，则AB I =-；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】通过矩阵相乘和行列式计算，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】 对①，令1111A -⎛⎫=⎪⎝⎭，则22A λλλλλλ-==，2A λλ⋅=，故①错误；对②，矩阵相乘不满足交换律，故②错误； 对③，12123434,a a b b a a b b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，1123122431433244a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫= ⎪++⎝⎭AB ，14231423()()b b b b a a a a =-⋅-=|AB ||A ||B |，故③正确；对④，令0110AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时1AB =-，但AB I =-不成立，故④错误.故选：B. 【点睛】本题考查二阶矩阵和二阶行列式的计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 4．已知角α、β满足cos cos cos()αβαβ+=+，有如下两个命题： ① 存在α为第一象限角，角β为第三象限角； ② 存在α为第二象限角，角β为第四象限角； 则下列选项中，正确的是（ ） A ．①正确②正确 B ．①正确②错误C ．①错误②正确D ．①错误②错误【答案】A【解析】只要找到角α，角β满足条件，即可得答案. 【详解】 对①，令5,44ππαβ==，则522cos cos 04422ππ+=-=，53cos()cos0442πππ+==， 故①正确； 对②，令37,44ππαβ==，则3722cos cos 04422ππ+=-+=， 375cos()cos 0442πππ+==，故②正确； 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数值的符号，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意能找到满足条件的角，即证存在性成立.二、填空题5．已知向量,a b r r 满足4a b +=r r ，3a b -=r r ，则a b ⋅r r 的值为________.【答案】74【解析】对式子4a b +=r r ，3a b -=rr 两边分别平方，再相加，即可得答案.【详解】∵4a b +=r r ，3a b -=rr ，∴2222216,29a b a b a b a b ++⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，∴两式相减得：74a b ⋅=r r. 故答案为：74. 【点睛】本题考查利用模的等式求向量的数量积，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.6．行列式123456789----中的元素6-的代数余子式的值为________.【答案】6-【解析】直接利用代数余子式的定义，计算512(1)78---的值，即可得答案.【详解】∵行列式123456789----中的元素6-的代数余子式为512(1)78---， ∴512(1)78---(814)6=--+=-. 故答案为：6-. 【点睛】本题考查行列式的代数余子式，考查运算求解能力，求解时注意符号问题.7．已知矩阵3122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则23A A -=________.【答案】2240⎛⎫⎪⎝⎭【解析】直接利用矩阵的四则运算法则，即可得答案. 【详解】 ∵23A A -=313131115932232222221066640⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：2240⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查矩阵的运算，考查运算求解能力，属于基础题.8．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(1,3)A 、(1,2)B -、(3,2)C -，点G 为△ABC 的重心，则||CG uuu r的值为________. 【答案】13【解析】利用重心的坐标公式求得点G 的坐标，进而得到CG u u u r的坐标，再代入模的计算公式. 【详解】设()G x y ,，则1131,33221,3x y -+⎧==⎪⎪⎨+-⎪==⎪⎩，∴(1,1)G ，∴(13,12)(2,3)CG =-+=-uuu r， ∴||4913CG =+=uuu r.故答案为：13. 【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式、向量模的求解，考查运算求解能力，属于基础题.9．若增广矩阵1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则m =________.【答案】1- 【解析】由题意可得101m m=，且1102m m m+≠，解得即可．【详解】Q 二元一次方程组的增广矩阵是1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，该方程组无解，∴101m m=，且1102m m m+≠，210m ∴-=且2(1)0m m m -+≠，1m ∴=-． 故答案为：1-．【点睛】本题考查二元一次方程组的增广矩阵．考查行列式，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义． 10．已知无穷数列{}n a 的前n 项和221n S n =+，则集合*1{|}n n a a n N +-∈的真子集的个数为________.【答案】3【解析】根据数列的递推关系可得数列是从第二项起为等差数列，从而得到1n n a a +-有两个值，从而得集合*1{|}n n a a n N +-∈含两个元素，再计算真子集的个数.【详解】∵221n S n =+，则212(1)1n S n +=++， 两式相减得：142(1)n a n n +=+≥，∴26a =，∴14(1)n n a a n +-=≥，当1n =时，113a S ==，∴213a a -=，∴*1{|}{3,4}n n a a n N +-∈=， ∴真子集的个数为2213-=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查数列的递推关系求通项、集合真子集的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意问题转化为判断集合的元素个数问题.11．已知向量()1,3a =r ，()2,1b λ=+r ，且a r 与b r的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.【答案】555,,33⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】利用向量的数量积大于0，且向量不共线，得到关于λ的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】∵a r与b r 的夹角为锐角，∴2300,513(2),3a b λλλ++>⎧⎧⋅>⎪⇒⎨⎨≠-≠⨯+⎩⎪⎩vv ，解得：555,,33λ⎛⎫⎛⎫∈---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .故答案为：555,,33⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 【点睛】本题考查向量夹角的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况去掉，才不会出现错解.12．如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u v u u u v ，2AP BP ⋅=u u u r u u u r ，则AB AD ⋅u u u v u u u v的值是______________.【答案】22【解析】根据基底,AB AD u u u r u u u r 表示,,AP BP u u u v u u u v 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=u u u r u u u r，即得结果. 【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2231162AD AB AB AD =--⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．13．已知平面向量,a b rr 满足2660b b a -⋅+=r r r ，且()1,3a =-r ，则b r 的最大值与最小值之和为________.【答案】12【解析】设(,)b x y =r，代入方程2660b b a -⋅+=rr r得到点(,)x y 的轨迹方程，从而将问题转化为圆心到原点距离的最大值和最小值问题. 【详解】设(,)b x y =r，∵()1,3a=-r，∴代入方程2660b b a -⋅+=r r r∴226(3)60x y x y +--++=22(3)(33)30x y ⇒++-=，∴b r的最大值为：圆心(3,33)-到原点的距离加上半径，即6r +；b r 的最小值为：圆心(3,33)-到原点的距离减去半径，即6r -；∴b r的最大值与最小值之和为12.故答案为：12. 【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求模的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量问题坐标化思想的应用.14．已知边长为1的正八边形的8个顶点依次为1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A 、7A 、8A ，点P 为该八边形边上的动点，则131A A A P⋅u u u u r u u u r的取值范围是________.【答案】232,222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示，根据向量数量积的几何意义知，当点P 在8A 位置时，131A A A P⋅u u u u r u u u r取得最小值，当点P 在4A 位置时，131A A A P⋅u u u u r u u u r取得最大值，建立直角坐标，利用向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】以正八边形的中心为坐标原点，建立直角坐标，∵正八边形的内角为135o ，由平面几何知识得87A MA ∆为等腰直角三角形，∴1112(,)222A -+，8112(,)222A +，3121(,)222A ---，4112(,)222A ---， ∴1322(,1)22A A =---，18(1,0)A A =，14(0,12)A A =--， ∴根据向量数量积的几何意义知，当点P 在8A 位置时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r取得最小值； 当点P 在4A 位置时，131A A A P⋅u u u u r u u u r取得最大值； ∴131min 1318222()(,1)(1,0)222A A A P A A A A ⋅=⋅=---⋅=-u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，131min 13142232()(,1)(0,12)2222A A A P A A A A ⋅=⋅=---⋅--=+u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，∴131A A A P⋅u u u u r u u u r 的取值范围是232,222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.故答案为：232,222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围、平面几何知识的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标运算的准确性. 15．设a r 是给定的平面向量，且为非零向量，关于a r的分解，有如下4个命题： ① 给定向量b r，总存在向量c r，使得ab c =+r rr ；② 给定向量b r 和c r ，总存在实数λ和μ，使得a b c λμ=+r r r ；③ 给定向量b r 和整数μ，总存在单位向量c r 和实数λ，使得a b c λμ=+r r r ；④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b r和c r 单位向量，使得ab c λμ=+r rr；若上述命题中的向量在同一平面内且两两不共线，则其中真命题的序号为________. 【答案】①②【解析】根据向量加法的三角形法则，可判断①；根据平面向量的基本定理可判断②③；举出反例1λμ==，||2a >r，可判断④．【详解】Q 平面向量a r，b r和c r在同一平面内且两两不共线，对①，给定向量b r ，总存在向量c a b =-r r r ，使a b c =+r r r ，故①正确；对②，由向量b r，c r 和a r在同一平面内且两两不共线， 故给定向量b r和c r ，总存在实数λ和μ，使ab c λμ=+r rr，故②正确；对③，给定单位向量b r 和正数μ，不一定存在单位向量c r 和实数λ，使a b c λμ=+r r r ，故③错误；对④，当1λμ==，||2a >r 时，不总存在单位向量b r和单位向量c r ，使a b c λμ=+r rr，故④错误．故答案为：①②． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理和应用，注意运用向量的加减运算性质和单位向量的概念，难度中档． 16．已知ABC ∆内一点O 是其外心，1cos 3A =，且AO mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，则m n +的最大值为________. 【答案】34【解析】如图所示，延长AO 交BC 于D ，令AO A m n O AD A A AC D B λλλλ=⇒==+u u u rur u u u u u u u u u r u u r r u ur u ，由,,B C D 三点共线，得m n λ+=，将问题转化为求λ的最大值，利用解三角形知识，即可得答案. 【详解】 如图所示，延长AO 交BC 于D ，令AO A m n O AD A A AC D B λλλλ=⇒==+u u u ru r u u u u u u u u u r u u r r u ur u ，∵,,B C D 三点共线，∴1mnm n λλλ+=⇒+=，∴λ取最大值时，m n +取最大值，∴||||AO AD λ=u u u ru u u r ，∵||AO u u u r 为外接圆的半径定值， ∴当||AD u u u r取得最小时，λ取最大值，此时AD BC ⊥，∴ABC ∆为等腰三角形，且1cos 3A =，∴22sin 3A =， ∴361sin,cos ,tan ,232322A A A === ∵3||sin 42a a AO A ==u u u r ，22||2tan 2a aAD A ==u u u r ，∴max3342422aa λ==.故答案为：34.【点睛】本题考查向量在三角形中的运用、同角三角函数基本关系、倍角公式、解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，综合性较强.三、解答题17．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .（1）若2c =，3C π=，求△ABC 面积的最大值；（2）若sin sin()sin 2C B A A +-=，试判断△ABC 的形状，并说明理由.【答案】（1）3；（2）等腰三角形，理由见解析【解析】（1）由余弦定理可得：22242cos c a b ab C ==+-及基本不等式可求ab 的范围，然后结合三角形的面积公式in 12s S ab C =可求面积的最大值； （2）将sin sin()C A B =+代入已知等式，利用和差化积公式变形，根据cos 0A =与cos 0A ≠，即可确定出三角形形状． 【详解】 （1）2c =Q ，3Cπ=，∴由余弦定理可得：22242c a b ab ab ab ab ==+--=…，可得4ab …，113sin 43222S ab C ∴=⨯⨯=…，当且仅当2a b ==时取等号，ABC ∆∴面积的最大值3； （2）将sin sin()C A B =+代入已知等式得：sin()sin()sin 2A B B A A ++-=， 整理得：2sin cos 2sin cos B A A A =， 当cos 0A =，即A 为直角时，满足题意，此时ABC ∆为直角三角形；当cos 0A ≠时，得到sin sin A B =，即A B =，此时ABC ∆为等腰三角形， 则ABC ∆为等腰三角形或直角三角形．【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．18．已知sin(sin 2()411x x f x π+=）（x ∈R ）.（1）求()f x 的值域； （2）求方程()1f x =的解集.【答案】（1）9[2,]8-；（2）{|4x x k ππ=-+或212x k ππ=-+或72,}12x k k ππ=+∈Z . 【解析】（1）计算行列式化简22()sin cos 2sin cos 22f x x x x x =+-，再利用换元法令sin cos t x x =+，将问题转化为求一元二次函数在闭区间上的值域问题； （2）利用（1）中结论，将方程转化为解方程2sin cos 2x x +=或sin cos 0x x +=. 【详解】（1）∵22()sin(sin 2sin cos 2sin cos 422f x x x x x x x π=+-=+-），令sin cos t x x =+，则22t -≤≤，∴21sin cos 2t x x -=，∴2212y t t =-++，22t -≤≤ ∴max 149244y --==-，min (2)2112y y =-=--+=-， ∴求()f x 的值域为9[2,]8-.（2）∵()1f x =221102y t t t ⇔=-++=⇔=或22t =， ∴2sin cos 2x x +=或sin cos 0x x +=， 即1sin(42x π+=）或sin cos x x =-， 解得：{|4x x k ππ=-+或212x k ππ=-+或72,}12x k k ππ=+∈Z . 【点睛】本题考查二阶行列式计算、三角函数的恒等变换、解三角方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意新元的取值范围的确定.19．如图，半径为1的半圆O 上有一动点B ，MN 为直径，A 为半径ON 延长线上的一点，且OA=2，∠AOB 的角平分线交半圆于点C ． （1）若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，求cos∠AOC 的值；（2）若A,B,C 三点共线，求线段AC 的长．【答案】（1）cosθ=34,（2）|AC|=√2【解析】试题分析: (1)以O 为原点, OA 为x 轴建立平面直角坐标系,设∠AOC=θ,分别求出各点的坐标，由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3 求出cos∠AOC 的值；(2)由A,B,C 三点共线,得出cosθ=34,再利用余弦定理求出|AC| .试题解析:（1）以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设∠AOC =θ，A(2,0),C(cosθ,sinθ)，B(cos2θ,sin2θ)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−2,sinθ)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos2θ−2,sin2θ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−2)(cos2θ−2)+sinθsin2θ=cosθcos2θ−2cos2θ−2cosθ+sinθsin2θ+4=−2cos2θ−cosθ+4=−4cos 2θ−cosθ+6 ∴−4cos 2θ−cosθ+6=3 cosθ=34,cosθ=−1（舍去）（2）A,B,C 三点共线， 所以cos2θ−2cosθ−2=sin2θsinθ∴cosθ=34 ∴AC 2=1+4−2×1×2×cosθ=2 ∴|AC|=√2（1）方法二、设∠AOC =θ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+1×2×cos(π−2θ)+1×2×cos(π−θ)+cosθ=4−2cos2θ−cosθ∴−4cos 2θ−cosθ+6=3 cosθ=34,cosθ=−1（舍去）20．矩阵乘法运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭的几何意义为平面上的点(,)P x y 在矩阵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M 的作用下变换成点(,)P ax by cx dy '=++，记||a bM c d=，且||0M ≠. （1）若平面上的点A 在矩阵2123-⎛⎫⎪-⎝⎭的作用下变换成点(3,1)A '-，求点A 的坐标；（2）若平面上相异的两点A 、B 在矩阵M 的作用下，分别变换为点A '、B '，求证：若点P 为线段AB 上的点，则点P 在M 的作用下的点P '在线段A B ''上；（3）已知△ABC 的顶点坐标为(1,1)A 、(2,4)B -、(3,9)C ，且△ABC 在矩阵11231145M ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭作用下变换成△A B C '''，记△ABC 与△A B C '''的面积分别为1S 与2S ，求2S 的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下1S 与2S 的关系（不要求证明）.【答案】（1）(2,1)；（2）证明见解析；（3）214S =，若变化矩阵为a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M ，则21S abcdS =.【解析】（1）直接根据矩阵变换的计算，可得点的坐标；（2）先求变换后',,A B P ''的坐标，再利用斜率相等，即可证得',,A B P ''共线； （3）求出点'59(,)620A ，'(,)13310B ，'(,)951220C ，利用行列式计算三角形面积即可. 【详解】（1）设(,)A x y ，则213231x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴23,231,x y x y -=⎧⎨-+=-⎩解得：2,1x y ==-， ∴(2,1)A .（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，(,)P x y ， ∵,,A B P 三点共线，∴1212y y y y x x x x --=--， ∵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M，∴''11221122(,)(,),,A B a by c dy a by c d x x x x y ++++，'(,)a by y x c P x d ++， ∵''111111111111()()()(())()P A y y d c dy c dy d y y y y a by a by b y y k c x x c x x x x x x a x x b a x x +-+-==-+-++--++-=--+-， ''222222222222()()()(())()P B y y dc dy c dyd y y y y a by a by b y y k c x x c x x x x x x a x x b a x x +-+-==-+-++--++-=--+-， ∴''P B k ''P A k =，∴点P 在M 的作用下的点P '在线段A B ''上.（3）∵115123611194520⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，411233123114105⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎪，3112311209251945⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴'59(,)620A ，'(,)13310B ，'(,)951220C .∴59162011312109511220315351919512726102020326020⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅---+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1225225121201202⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦14=-. ∴211||44S =-=.若矩阵为a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M ，则21S abcdS =. 【点睛】本题考查矩阵与变换的综合运用、利用行列式求三角形的面积，考查逻辑推理能力和运算求解能力，计算量较大.21．对于项数为m （1m >）的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}k k b a a a =L （1,2,,k m =L ），即k b 为12,,k a a a L 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（1）若数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ；（2）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018k m k a b -++=（1,2,,k m =L ），求证：k k a b =（1,2,,k m =L ）；（3）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1,2,3【解析】【详解】试题分析：（1）创新数列为1,2,3,4,4的所有数列{}n a ，可知其首项是1，第二项是2，第三项是3，第四项是4，第五项是1或2或3或4，可写出{}n a ；（2）由题意易得1k k b b +≥，12018k m k a b +-+=，从而可得110k k m k m k a a b b +-+--=-≥，整理即证得结论；（3）验证当2m =时，不满足题意，当3m =时，根据12333,b b b b ++<而12336b b b b >得11b =，同理22b =，33b =，而当4m ≥时不满足题意. 试题解析：（1）所有可能的数列{}n a 为1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；1,2,3,4,4（2）由题意知数列{}n b 中1k k b b +≥. 又12018k m k a b -++=，所以12018k m k a b +-+=()()111201820180k k m k m k m k m k a a b b b b +--+-+--=---=-≥，所以1k k a a +≥，即k k a b =（1,2,,k m =L ）（3）当2m =时，由1212b b b b +=得()()12111b b --=，又*12,b b N ∈所以122b b ==，不满足题意；当3m =时，由题意知数列{}n b 中1n n b b +>，又123123b b b b b b ++=当11b ≠时，此时33b >，12333,b b b b ++<而12336b b b b >，所以等式123123b b b b b b ++=不成立，因此11b =； 当22b ≠时，此时33b >，12333,b b b b ++<而12333b b b b ≥，所以等式123123b b b b b b ++=不成立，因此22b =； 当11b =，22b =得33b =，此时数列{}n a 为1,2,3.当4m ≥时，12m m b b b mb +++<L ，而()121!m m m bb b m b mb ≥->L ，所以不存在满足题意的数列{}n a .综上数列{}n a 依次为1,2,3.。
2019年华二高二第一学期月考数学试卷
华二附中高二月考数学卷2019.12一. 填空题1. 已知一个关于x 、y 的线性方程组的增广矩阵为112012⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -的值为 2. 已知直线l 的倾斜角为α，若4cos 5α=-，则直线l 的斜率为 3. 椭圆22:431C x y +=的长轴长为4. 已知非零向量a r 、b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为5. 经过原点(0,0)O 和点(1,1)P 且圆心在直线2310x y ++=上的圆的方程为6. 已知点1(2,3)P ，2(4,5)P -，则过点(1,2)A -且与点1P 、2P 距离相等的直线方程为7. 若方程0x y m +-=表示一条直线，则m 的取值范围是8. 已知过焦点且倾斜角为arctan2的直线l 与椭圆22:14x C y +=相交于A 、B 两点，则弦 长||AB 的值为9. 已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，斜率为32的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点 且满足||||4AF BF +=，则直线l 的方程为10. 已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中 点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是11. 已知圆22:4C x y +=，斜率为k 的直线l 过点(0,1)F 与x 轴交于点E ，与圆C 交于点M 、N ，若EM pFM =uuu r uuu r ，EN qFN =uuu r uuu r ，则p q +的取值集合为12. 已知以(0,1)A 为圆心的圆与椭圆2221x y a+=（1a >）至多有3个公共点，则实数a 的取值范围为二. 选择题13. 点(3,4)A -关于直线20x y +-=的对称点是：（ ）A. (3,4)-B. (2,1)-C. (2,5)-D. (5,2)-14. 设点A 、B 、C 不共线，则“AB uu u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>uu u r uuu r uu u r ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A 、B 两点，若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ） A. 2212x y += B. 22132x y += C. 22143x y += D. 22154x y += 16. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =（ ）A. B. 4C. D. 6三. 解答题17. 已知直线:38240l x y --=.（1）写出直线的截距式方程；（2）若直线21:0l x a y --=与直线l 平行，求a 的值.18. 已知圆22:(2)1C x y ++=，(,)P x y 为圆上任一点.（1）求21y x --的最大值；（2）求2x y -的最小值.19. 已知三条直线1:20l x y a -+=（0a >），2:4210l x y -++=，和3:10l x y +-=， 且1l 与2l（1）求a 的值及1l 和3l 夹角. （2）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：① P 是第一象限的点；② P 点 到1l 的距离是P 点到2l 的距离的12；③ P 点到1l 的距离与P 点到3l； 若能，求P 点坐标，若不能，说明理由.20. 如图，设F 是椭圆22134x y +=的下焦点，直线4y kx =-（0k >）与椭圆相交于A 、B 两点，与y 轴交于点P .（1）若PA AB =uu r uu u r ，求k 的值；（2）求证：AFP BFO ∠=∠；（3）求△ABF 面积的最大值.21. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的右焦点为F ，长轴长为4，O 为坐标原 点，A 为椭圆Γ上一点，M 为线段OA 上的动点，过M 的直线与椭圆Γ交于P 、Q 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若PM MQ =uuu r uuu r ，证明：直线OA 的斜率与直线PQ 的斜率之积为定值；（3）若2PM MQ =uuu r uuu r ，求四边形OPAQ 面积的最大值.参考答案一. 填空题1. 2-2. 34- 3. 4. 3π 5. 22(4)(3)25x y -++= 6. 350x y +-=或1x =- 7. [0,1]8. 2017 9. 31123y x =+10.11. 8{}3 12.二. 选择题13. C 14. C 15. B16. C三. 解答题17.（1）183x y -=；（2）3-.18.（1；（2）2-19.（1）3a =，arctan3π-；（2）137(,)918P .20.（1）k =（2）证明略：（3.21.（1）2214x y +=；（2）14-；（3）32.。
上海市浦东新区华师大二附中2018-2019学年高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.设f（x）=（x∈R），则方程f（x）=0的解集为（）A. B.C. D. 以上答案均不对2.若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A. B. C. D.3.若分别为P（1，0）、Q（2，0），R（4，0）、S（8，0）四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（）A. B. C. D.4.对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角∈，；③和的值都在集合，∈中，则的值为（）A. B. C. 1 D.二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）5.已知一个关于x，y的二元线性方程组，则此线性方程组的增广矩阵为______．6.已知直角坐标平面内的两个向量=（1，m），=（2，4）使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成=λ+，则m的取值范围是______．7.直线x+3y+2=0与4x+2y-1=0的夹角是______．8.设向量=（3，0），=（2，6），则在上的投影为______．9.如果直线3x-2y-3=0与直线6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为______．10.直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0相互垂直，垂足为（1，p），则n=______．11.若原点在直线L上的射影为（2，1），直线L的倾斜角为θ，则sin2θ=______．12.经过点A（-3，1）和点B（4，-2）的直线l的点方向式方程是______．13.在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值为______．14.已知向量，满足||=1，||=2，若对任意单位向量，均有则||+||，则最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.用矩阵行列式的知识解关于x，y的方程组，（m∈R）16.（1）求点（-l，3）关于直线x-2y-2=0的对称点坐标；（2）求直线y=-1关于直线y=2x-4的对称直线的一般式方程．17.已知向量||=，||=．（1）若，的夹角为60°，{|x=，||=1，xy＞0}，求x，y所满足的关系式，并求xy的最大值；（2）若对任意的（x，y）∈{（x，y）||x+y|=1，xy＞0），都有|x+y|≤1成立，求的最小值．18.如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环．虽然从城中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不会真有人认为这样走能抄近路．在城市中，专家估算两点之间的距离时，不会直接去测量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区．在理想模型中，假设每条道路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走（不故意绕远路），不管你这样走，花费的路程都是一样的．出租车几何学（taxicabgeometry），所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼-闵可夫斯基所创立的，在出租车几何学中，点还是形如（x，y）的有序实数对，直线还是满足ax+by+c=0的所有（x，y）组成的图形，角度大小的定义也和原米一样．只是直角坐标系内任意两点A （x1，y1），B（x2，y2）定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x1-x2|+|y1-y2|，请解决以下问题：（1）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r的“圆”方程，并作出大致图象（2）在出租车几何学中，到两点A、B“距离”相等的点的轨迹称为线段AB的“垂直平分线”，已知点A （1，3）、B（6，9），C（1，9）①写出在线段AB的“垂直平分线”的轨迹方程，并写出大致图象；②求证：△ABC三边的“垂直平分线”交于一点（该点称为△ABC的“外心”），并求出△ABC的“外心”，答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为设f（x）=（x∈R），得到方程f（x）=0，即=0，化简得：1×（-1）×1+1×1×x2+x×1×1-x2×（-1）×1-x×1×1-1×1×1=0化简得：x2=1解得：x1=1，x2=-1．故选：B．此题要求方程的解集，主要还是化简方程左边的行列式得一元二次方程求出x即可．此题考查学生化简行列式的能力，解方程的能力，属于基础题2.【答案】A【解析】解：由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=-x+，相当于直线y=-x+的纵截距，则由目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值可知，-1＜-＜2，则-4＜a＜2，故选：A．由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=-x+，相当于直线y=-x+的纵截距，由几何意义可得．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：如果过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，过P点的必须和过Q，R，S的其中一条直线平行和另外两条垂直，假设过P点和Q点的直线相互平行时，如图，设直线PC与x轴正方向的夹角为θ，再过Q作它的平行线QD，过R、S作它们的垂线RB、SC，过点A作x轴的平行线分别角PC、SC于点M、N，则AB=AMsinθ=PQsinθ=sinθ，AD=ANcosθ=RScosθ=4cosθ，因为AB=AD，所以sinθ=4cosθ，则tanθ=4，所以正方形ABCD的面积S=AB•AD=4sinθcosθ===，同理可求，当直线PC和过R的直线平行时正方形ABCD的面积S为，当直线PC和过S点的直线平行时正方形ABCD的面积S为，故选：C．根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形面积．本题考查同角三角函数的基本关系，以及数形结合思想，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：∵=cosθ=，=cosθ=，m∈N，由与的夹角θ∈（0，），知cos2θ=∈（，1），故mn=3，m，n∈N，∵，∴0＜=＜1，∴m=1，n=3，∴=，故选：B．根据新定义求出=cosθ=，=cosθ=，m∈N，再根据夹角的范围求出mn=3，m，n∈N，再根据第1个条件，即可求出m，n的值，问题得以解决本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=1，n=3，是解题的关键，属于中档题．5.【答案】【解析】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值可直接写出增广矩阵为．故答案为：．首先要知道增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得．此题主要考查方程组增广矩阵的定义及求法，属于基础题．6.【答案】m≠2【解析】解：因为平面内的任意一个向量都可以唯一分解成=λ+μ，所以向量与能作为基底，所以与不共线，所以1×4-m×2≠0，解得m≠2，故答案为：m≠2．根据平面向量基本定理得，与必为基底，不共线．本题考查了平面向量的基本定理．属基础题．7.【答案】【解析】解：直线x+3y+2=0的斜率k1=，直线4x+2y-1=0的斜率k2=-2；直线x+3y+2=0与4x+2y-1=0的夹角为θ，可得tanθ=||=1，∴θ=；即直线x+3y+2=0与4x+2y-1=0的夹角为．故答案为：．直接根据夹角公式即可求解；本题考查了直线的斜率和夹角公式的计算．属于基础题．8.【答案】2【解析】解：因为向量在上的投影为：==2，故答案为：2．根据向量在向量上投影的概念，代入坐标计算可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算．属基础题．9.【答案】【解析】解：直线3x-2y-3=0与直线6x+my+1=0平行，∴，解得m=-4．∴直线6x+my+1=0化为3x-2y+=0，∴它们之间的距离==．故答案为：．利用相互平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离公式即可得出．本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，属于基础题．10.【答案】-12【解析】解：∵直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0垂直，垂足为（1，p），∴-×=-1，2-5p+n=0，m+4p-2=0，解得m=10，p=-2，n=-12，故答案为：-12利用两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点即可得出．本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】【解析】解：原点在直线L上的射影为（2，1），∴垂线的斜率为=，∴直线L的斜率为，∴直线L的蝎女为-2．设直线L的倾斜角为θ，则tanθ=-2，则sin2θ===-，故答案为：-．先求出垂线的斜率，可得直线L的斜率，再利用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求得sin2θ的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线垂直的性质，用二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】【解析】解：直线的方向向量为=（4，-2）-（-3，1）=（7，-3），故直线l的点方向式方程是，故答案为：．先求出直线的方向向量的坐标，再根据直线上的一个点的坐标，即可得到直线的点方向式方程．本题考查求直线的点方向式方程，求出直线的方向向量的坐标，是解题的关键．13.【答案】【解析】解：∵=+，∴=====，∴=1，=，∴=（）•（）=+=（-1）+1×2=，故答案为：．根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．14.【答案】1【解析】解：由||+||，可得即对任意单位向量，向量在上的投影与向量在上的投影的和小于等于当与共线时取等号，∴，∴．∴≤1故答案为：1由已知可得，结合向量投影的定义及向量共线的定义可求本题主要考查了平面向量的数量积，模长公式的应用及向量的投影的定义的简单应用．15.【答案】解：关于x，y的方程组，∴D==m2-1，当D=m2-1≠0，即m≠1且m≠-1时，x==，y==；方程组有唯一的解；当D=m2-1=0，即m=-1或m=1时，若m=-1，则原方程组无解；若m=1，则原方程组有无数个解．【解析】计算D=，讨论D≠0时方程组有唯一的解，D=0时方程组无解或有无数个解．本题考查了二元一次方程组的行列式矩阵形式的解法及应用问题，是基础题．16.【答案】解：（1）设点（-l，3）关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为（x，y）；可得，……①中点坐标（，）在直线x-2y-2=0上，即……②由①②解得解x=，y=故得对称点坐标为（，）．（2）由题意，联立，可得坐标为（2，0），对称直线的方程为：y=k（x-2），即kx-y-2k=0在直线y=2x-4取点（3，2），点到直线距离相等，即，解得：k=（舍去），k=-．∴所求对称直线方程为．x-y+11=0，即11x+2y-22=0．【解析】（1）设点（-l，3）关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为（x，y）；可得，结合中点坐标在直线上，求解x，y可得答案；（2）联立直线y=-1与直线y=2x-4求解交点，在直线y=2x-4取点（3，2），设对称直线方程，利用点到直线距离相等求解即可；本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，考查了点到直线距离公式的运用，是基础题．17.【答案】解：（1）∵||=，||=，，的夹角为60°，∴==，又∵x=，||=1，xy＞0，∴=，∴=1，∴64x2+16y2+32xy=15，∵64x2+16y2≥64xy（当且仅当8x=4y即y=2x时取等号）∴15-32xy≥64xy，∴xy，故xy的最大值；（2）设，的夹角为θ，由|x+y|=1，xy＞0可得cosθ=1，即64x2+16y2+64xy cosθ=15，∴cosθ=∵|x+y|≤1，∴1≥（x+y）2，∴∴cosθ=≥=恒成立，===当且仅当即y=7x时取等号，此时取得最小值【解析】（1）由已知可求，结合已知x=及||=1，两边同时平方，结合基本不等式即可求解；（2）设，的夹角为θ，由|x+y|=1，两边时平方，可求cosθ，然后由|x+y|≤1，可得1≥（x+y）2，代入到cosθ的表达式，进行分离后利用基本不等式即可求解．本题主要考查了平面向量的线性运算和平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于知识的简单综合．18.【答案】解：（1）“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，∴“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r，∴“圆”方程为：|x-a|+|y-b|=r；（2）①由已知条件得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，若x≤1，则y=8.5；若1＜x≤6，则x+y=9.5；若x＞6，则y=3.5；①写出在线段AB的“垂直平分线”的轨迹方程，并画出大致图象；②证明：设“外心”坐标为M（m，n），则由|MA|=|MC|，得|m-1|+|n-3|=|m-1|+|n-9|，所以点M在y=6上；又因为|MB|=|MC|，即|m-1|+|n-9|=|m-6|+|n-9|，所以点M在x=上；∴M（，6）；∴△ABC三边的“垂直平分线”交于一点M，且M（，6）．【解析】（1））利用“圆”的概念，能够求出“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r的“圆”的方程；（2）①由已知条件，得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9，由此能够求出线段AB的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象；②设三角形“外心”坐标为M（m，n），由|MA|=|MB|=|MC|结合绝对值的性质，求得点M的坐标．本题考查了新定义的应用问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，是难题．。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二(上)10月月考数学试卷
（2018-2019 学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）10 月月考数学试卷一、填空题1．（3 分）直线 l ：5x ﹣12y +5＝0 的单位方向向量为．2．3 分）已知 3．（3 分）若直线 l 过点的方程是．4．（3 分）若直线 l ：y ＝kx ﹣，且 与 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是 ．，且与直线 的夹角为 ，则直线 l与直线 2x +3y ﹣6＝0 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是．5．（3 分）已知直线 l ：x ﹣y ﹣1＝0，l 1：2x ﹣y ﹣2＝0．若直线 l 2 与 l 1 关于 l 对称，则 l 2 的方程为 ．6．（3 分）函数的最小值为．7．（3 分）在△ABC 中，D 、E 分别是 AB ，AC 的中点，M 是直线 DE 上的动点，若△ABC的面积为 1，则• +2 的最小值为．8．（3 分）如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2 和 1，点 P 在大圆上，P A 与小圆相切于点 A ，Q 为小圆上的点，则的取值范围是 ．9．（3 分）已知平面上三个不同的单位向量 ， ， 满足 • ＝＝ ，若 为平面内的任意单位向量，则||+|2 |+3| |的最大值为．10．（3 分）在平面直角坐标系中，如果x 与 y 都是整数，就称点（x ，y ）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx+b不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线y＝kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线．二、选择题11．（3分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，O为△ABC内一点，若分别满足下列四个条件：①a+b+c＝②tanA•③sin2A•④++tan B•+sin2B•+＝+tan C•＝+sin2C•＝则点O分别为△ABC的（）A．外心、内心、垂心、重心C．垂心、内心、重心、外心B．内心、外心、垂心、重心D．内心、垂心、外心、重心12．（3分）如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1、l2同侧，且P到l1，l2的距离分别为1，3，点M，N分别在l1，l2上，|+|＝8，则•的最大值为（）A．15B．12C．10D．913．（3分）如图所示，∠BAC＝是圆M及其内部任意一点，且，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD＝1，点P （x，y∈R），则x+y的取值范围是（）+ + ）（• + + A ． B ． C ．D ．14．（3 分）已知点 M （a ，b ）与点 N （0，﹣1）在直线 3x ﹣4y +5＝0 的两侧，给出以下结论：①3a ﹣4b +5＞0；②当 a ＞0 时，a +b 有最小值，无最大值；③a 2+b 2＞1；④当 a ＞0 且 a ≠1 时， 的取值范围是（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）．正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．415．（3 分）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 、 、 、 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、、．若 m 、M 分别为（ ）的最小值、最大值，其中{i ，j ，k }⊆{1，2，3，4，5}，{r ，s ，t }⊆{1，2，3，4，5}，则 m 、M 满足（）A ．m ＝0，M ＞0B ．m ＜0，M ＞0C ．m ＜0，M ＝0D ．m ＜0，M ＜0三、解答题16．已知直线 l ：（2a +b ）x +（a +b ）y +a ﹣b ＝0 及点 P （3，4）．（1）证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标．（2）当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程．17．如图所示，∠P AQ 是某海湾旅游区的一角，其中∠P AQ ＝120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸 AP 和 AQ 上分别修建观光长廊 AB 和 AC ，其中 AB 是宽长廊，造价是 800 元/米；AC 是窄长廊，造价是 400 元/米；两段长廊的总造价为 120 万元，同时在线段 BC 上靠近点 B 的三等分点 D 处建一个观光平台，并建水上直线通道 AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是 1000 元/米．（1）若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ABC的面积最大，那么AB 和AC的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？18．定义“矩阵”的一种运算，该运算的意义为点（x，y）在矩阵的变换下成点．设矩阵A＝（1）已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为，试求点P的坐标；（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．19．小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，x+y＝1（如图1）第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答．（1）当x+y＞1或x+y＜1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由（2）如图2，射线OM∥AB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围．（3）过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且，请分别写出点P在每个区域内运动（不含边界）时，实数x，y应满足的条件．（不必证明）（2018-2019 学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）10 月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3 分）直线 l ：5x ﹣12y +5＝0 的单位方向向量为 （ ， ），（﹣ ，﹣ ） ．【分析】取直线 l ：5x ﹣12y +5＝0 的方向向量为±（12，5），即可求出直线的单位方向向量．【解答】解：取直线 l ：5x ﹣12y +5＝0 的方向向量为±（12，5），则该直线的单位方向向量为（故答案为：（， ），（﹣ ，，﹣ ），（﹣），﹣ ），【点评】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2． 3 分）已知，且 与 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是 （﹣∞，﹣2）∪（﹣2， ） ．【分析】根据两向量的夹角为锐角知 • ＞0 且 、 不共线，由此求出 k 的取值范围．【解答】解：，且 与 的夹角为锐角，∴ • ＝1﹣2k ＞0，解得 k ＜ ，又 、 不共线，∴k ≠﹣2，∴实数 k 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2， ）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2， ）．【点评】本题考查了平面向量数量积与夹角的应用问题，是基础题．3．（3 分）若直线 l 过点的方程是 x ＝﹣2，或 x +，且与直线y ﹣1＝0 ．的夹角为 ，则直线 l+＝【分析】先求出直线 m 的倾斜角，再根据直线 l 和直线 m 夹角为角，进而得到直线 l 的斜率，从而求得直线 l 的方程．，可得直线 l 的倾斜【解答】解：∵直线 l 过点，且与直线 的夹角为 ，且直线 m 的斜率为 ＝，即直线 m 的倾斜角为，设直直线 l 的倾斜角为 θ，则 θ＝，或 θ＝π+（﹣）＝，故直线 m 的斜率不存在，或直线 m 的斜率为 tan＝﹣tan＝﹣，故直线 l 的方程为 x ＝﹣2，或 y ﹣＝﹣ （x +2），即直线 l 的方程为 x ＝﹣2，或 x + y﹣1＝0，故答案为：x ＝﹣2，或 x +y ﹣1＝0．【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，属于基础题．4．（3 分）若直线 l ：y ＝kx ﹣角的取值范围是 与直线 2x +3y ﹣6＝0 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜．【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于 0，联立得到关于 k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到 k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率 k ，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．【解答】解：联立两直线方程得：，将①代入②得：x ＝所以两直线的交点坐标为（③，把③代入①，求得 y ＝， ），，因为两直线的交点在第一象限，所以得到解得：k ＞，，且，设直线 l 的倾斜角为 θ，则 tan θ＞，所以 θ∈（， ）．故答案为：．【点评】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．5．（3分）已知直线l：x﹣y﹣1＝0，l1：2x﹣y﹣2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程为x﹣2y﹣1＝0．【分析】先解方程组得l与l1的交点（1，0）也在l2上，然后在l1上去一点（2，2），则该点关于l的对称点（3，1）也在l2上，用两点式即可求得l2的方程．【解答】解：联立解得，所以三条直线的交点为（1，0）在l1上取点（2，2），依题意该点关于l的对称点（3，1）在l2上由两点式得l2的方程为＝，化简得x﹣2y﹣1＝0故答案为：x﹣2y﹣1＝0．【点评】本题考查了直线与直线关于直线对称，属中档题．6．（3分）函数的最小值为．【分析】利用函数的表达式，转化为x轴上的点与（1，﹣3），（0，1）距离和的最小值．【解答】解：函数＝+，就是x轴上的点与（1，﹣3）以及（0，1）距离之和的最小值，可得最小值为：＝．故答案为：．【点评】本题考查函数的最值的求法，转化思想的应用．7．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC 的面积为1，则•+2的最小值为．【分析】由三角形的面积公式，S＝2△S MBC，则△S MBC＝，根据三角形的面积公式△ABC及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值；，则 y ′＝方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得 • + 2 的最小值．【解答】解：∵D 、E 是 AB 、AC 的中点，∴A 到 BC 的距离＝点 A 到 BC 的距离的一半，∴△S ABC ＝2△S MBC ，而△ABC 的面积 △1，则 MBC 的面积 △S MBC ＝ ，△S MBC ＝ 丨 MB 丨×丨 MC 丨 sin ∠BMC ＝ ，∴丨 MB 丨×丨 MC 丨＝ ．∴•＝丨 MB 丨×丨 MC 丨 cos ∠BMC ＝．由余弦定理，丨 BC 丨 2＝丨 BM 丨 2+丨 CM 丨 2﹣2 丨 BM 丨×丨 CM 丨 cos ∠BMC ，显然，BM 、CM 都是正数，∴丨 BM 丨 2+丨 CM 丨 2≥2 丨 BM 丨×丨 CM 丨，∴丨 BC 丨 2＝丨 BM 丨 2+丨 CM 丨 2﹣2 丨 BM 丨×丨 CM 丨 cos ∠BMC ＝2×﹣2×．．∴• +2≥+2×﹣2× ＝ ，方法一：令 y ＝，令 y ′＝0，则 cos ∠BMC ＝ ，此时函数在（0， ）上单调减，在（ ，1）上单调增，∴cos ∠BMC ＝ 时，取得最小值为，•+2 的最小值是方法二：令 y ＝ ，，则 ysin ∠BMC+cos ∠BMC ＝2，则 sin （∠BMC +α）＝2，tan α＝ ，则 sin （∠BMC +α）＝≤1，解得：y ≥ ，• +2 的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（3分）如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P在大圆上，P A与小圆相切于点A，Q为小圆上的点，则的取值范围是[3﹣，3+]．【分析】建立适当的平面直角坐标系，设Q（cosα，sinα），A（0，﹣1），取P（﹣﹣1），利用平面向量的坐标表示求数量积，根据三角函数的有界性求出它的取值范围．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设Q（cosα，sinα），A（0，﹣1），，则P（±，﹣1），不妨取P（﹣，﹣1），则∴＝（•＝，0），（cosα+＝（cosα+）＝，sinα+1），cosα+3；又cosα∈[﹣1，1]，∴3﹣≤cosα+3≤3+，即的取值范围是[3﹣，3+]．故答案为：[3﹣，3+]．|2+||2+|【点评】本题考查了平面向量的数量积以及数形结合的数学思想，是基础题．9．（3 分）已知平面上三个不同的单位向量 ， ， 满足 • ＝＝ ，若 为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为．【 分 析 】 柯 西 不 等 式 可 得 ：（ |（||2+| |2+3| |2）|+|2 |+3|| ） 2 ≤ （ 12+22+32 ）＝14（（||2），再根据向量的数量积公式计算即可．【 解 答 】 解 ： 由 柯 西 不 等 式 可 得 ：（ ||+|2 |+3| | ） 2 ≤ （ 12+22+32 ）（||2+| |2+| |2）＝14（（||2+||2+| |2），由于 • ＝＝ ，∴ 与 ， 与 的夹角为，下面求|由于||2+||2＝|﹣ |2+||2，|2，不妨将 换成﹣ ，设 与夹角为 θ，则||2+| |2+| |2＝cos 2（﹣θ）+cos 2（π﹣θ）+cos 2（﹣θ）+＝ + •cos （ π﹣θ）+ + cos （2π﹣2θ）+ + cos （＝ + [cos （ π﹣2θ）+cos2θ+ + cos （ π﹣2θ）]π﹣2θ）＝ + （﹣ cos2θ+sin2θ+cos2θ﹣ cos2θ﹣sin2θ）＝，∴（|∴||+|2|+|2|+3||+3||）2≤14×＝21|的最大值为故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生正确理解问题的能力，是难题．10．（3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx+b不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线y＝kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线．【分析】举例说明命题①⑤是真命题；举反例说明命题②是假命题；假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y＝kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到命题③为真命题；当k，b都为有理数时，y＝kx+b可能不经过整点，例如k＝，b＝，说明④是假命题．【解答】解：①令y＝x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题①正确；②若k＝，b＝，则直线y＝x+经过（﹣1，0），命题②错误；③设y＝kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1＝kx1，y2＝kx2，两式相减得：y1﹣y2＝k（x1﹣x2），则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线y＝kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，则③正确；④当k，b都为有理数时，y＝kx+b可能不经过整点，例如k＝，b＝，故④不正确；⑤令直线y＝x恰经过整点（0，0），命题⑤正确．综上，命题正确的序号有：①③⑤．故答案为：①③⑤．C 0 O n 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，说明一个命题为假命题，只需举一反例即可，要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明，考查学生对题中新定义的理解能力，是中档题．二、选择题11．（3 分）已知△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，O 为△ABC 内一点，若分别满足下列四个条件：①a +b +c ＝②tanA •③sin2A •④++tan B •+sin2B •+ ＝+tan C • ＝+sin2C •＝则点 O 分别为△ABC 的（）A ．外心、内心、垂心、重心C ．垂心、内心、重心、外心B ．内心、外心、垂心、重心D ．内心、垂心、外心、重心【分析】先考虑直角三角形 ABC ，可令 a ＝3，b ＝4，c ＝5，可得 A （0，4），B （3，0），（0， ），设 （m ， ），由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰三角形 ABC ，底角为 30°，设 C （﹣1，），B （2，0），A （0，0），O （x ，y ），由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心．【解答】解：先考虑直角三角形 ABC ，可令 a ＝3，b ＝4，c ＝5，可得 A （0，4），B （3，0），C （0，0），设 O （m ，n ），①a+b +c ＝ ，即为 3（﹣m ，4﹣n ）+4（3﹣m ，﹣n ）+5（﹣m ，﹣n ）＝（0，0），即有﹣12m +12＝0，﹣12n+12＝0，解得 m ＝n ＝1，即有 O 到 x ，y 轴的距离为 1，O 在角 BCA 的平分线上，且到 AB 的距离也为 1，则 O 为△ABC 的内心；③sin2A • +sin2B • +sin2C • ＝ ，• 即为（﹣m ，4﹣n ）+ （3﹣m ，﹣n ）+0（﹣m ，﹣n ）＝（0，0），可得 3﹣2m ＝0，4﹣2n ＝0，解得 m ＝ ，n ＝2，由|OA|＝|OB|＝|OC|＝ ，故 O 为△ABC 的外心；④+ + ＝ ，可得（﹣m ，4﹣n ）+（3﹣m ，﹣n ）+（﹣m ，﹣n ）＝（0，0），即为 3﹣3m ＝0，4﹣3n ＝0，解得 m ＝1，n ＝ ，由 AC 的中点 D 为（0，2），|DB|＝故 O 为△ABC 的重心；考虑等腰三角形 ABC ，底角为 30°，，|OB|＝ ，即 O 分中线 DB 比为 2：3，设 C （﹣1，），B （2，0），A （0，0），O （x ，y ），②tanA • +tan B •+tan C • ＝ ，即为﹣ （﹣x ，﹣y ）+（2﹣x ，﹣y ）+ （﹣1﹣x ，﹣y ）＝（0，0），可得x + ＝0， y +1＝0，解得 x ＝﹣1，y ＝﹣，即 O （﹣1，﹣），由 OC ⊥AB ，k OA •k BC ＝故 O 为△ABC 的垂心．故选：D ．（﹣）＝﹣1，即有 OA ⊥BC ，【点评】本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属12．（3分）如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1、l2同侧，且P到l1，l2的距离分别为1，3，点M，N分别在l1，l2上，|+|＝8，则•的最大值为（）A．15B．12C．10D．9【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量、，根据|+|＝8求出•的解析式，再求其最大值．【解答】解：由点P位于两平行直线l1，l2的同侧，且A到l1，l2的距离分别为1，3，可得平行线l1、l2间的距离为2；以直线l2为x轴，以过点P且与直线l2垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：由题意可得点P（0，﹣1），直线l1的方程为y＝2，设点M（a，0）、点N（b，2），∴＝（a，1）、＝（b，3），∴∵|++＝（a+b，4）；|＝8，∴（a+b）2+16＝64，∴a+b＝4，或a+b＝﹣4；当a+b＝4时，•＝ab+3＝a（4﹣a）+3＝﹣a2+4a+3，它的最大值为﹣+4×2+3＝15；当a+b＝﹣3时，它的最大值为﹣综上可得，＝ab+3＝a（﹣4﹣4×（﹣2的最大值为15．﹣a）+3＝﹣a2﹣4）+3＝15；a+3，【点评】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，是综合题．13．（3分）如图所示，∠BAC＝是圆M及其内部任意一点，且，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD＝1，点P （x，y∈R），则x+y的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】连接MA，MD，求出圆M的半径MD和MA，得出AP的最值，根据等边三角形的性质即可得出x+y的最值．【解答】解：连接MA，MD，则∠MAD＝，MD⊥AD，∵AD＝1，∴MD＝，MA＝2，∵点P是圆M及其内部任意一点，∴2﹣≤AP≤2+，且当A，P，M三点共线时，x+y取得最值，当AP取得最大值时，以AP为对角线，以AB，AC为邻边方向作平行四边形AA1PB1，则△APB1和△AP A1是等边三角形，∴AB1＝AA1＝AP＝2+∴x＝y＝2+，，∴x+y的最大值为4+2，同理可求出x+y的最小值为4﹣2故选：B．．【点评】本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．14．（3分）已知点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，给出以下结论：①3a﹣4b+5＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③a2+b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据点M（a，b）与点N（1，0）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，可以画出点M （a，b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个命题得结论．【解答】解：∵点M（a，b）与点N（0，﹣1）在直线3x﹣4y+5＝0的两侧，∴（3a﹣4b+5）（3×0+4+5）＜0，即3a﹣4b+5＜0，故①错误；当a＞0时，a+b＞，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x﹣4y+5＝0的距离为d，则d＝，则a2+b2＞4，故③正确；当a＞0且a≠1时，表示点M（a，b）与P（1，﹣1）连线的斜率．∵当a＝0，b＝时，＝，又直线3x﹣4y+5＝0的斜率为，故的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故④正确．∴正确命题的个数是2个．+ + ）（• + + • 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，线性规划的简单应用，考查数学转化思想方法，是中档题．15．（3 分）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 、 、 、 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 、 、 、、．若 m 、M 分别为（ ）的最小值、最大值，其中{i ，j ，k }⊆{1，2，3，4，5}，{r ，s ，t }⊆{1，2，3，4，5}，则 m 、M 满足（）A ．m ＝0，M ＞0B ．m ＜0，M ＞0C ．m ＜0，M ＝0D ．m ＜0，M ＜0 【分析】利用向量的数量积公式，可知只有于 0，从而可结论．，其余数量积均小于等【解答】解：由题意，以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 、 、 、；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、 、 、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于 0，∵m 、M 分别为（+ + ）（+ + ）的最小值、最大值，∴m ＜0，M ＜0故选：D ．【点评】本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．三、解答题16．已知直线 l ：（2a +b ）x +（a +b ）y +a ﹣b ＝0 及点 P （3，4）．（1）证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标．（2）当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程．（【分析】1）直线l方程化成a（2x+y+1）+b（x+y﹣1）＝0，再联解关于x、y的方程组，即可得到直线l经过的定点坐标；（2）设直线l经过的定点为A，由平面几何知识，得到当PA⊥l时，点P到直线l的距离最大．因此算出直线PA的斜率，再利用垂直直线斜率的关系算出直线l的斜率，即可求出此时直线l的方程．【解答】解：（1）直线l方程可化为：a（2x+y+1）+b（x+y﹣1）＝0由，解得x＝﹣2且y＝3，∴直线恒l过定点A，其坐标为（﹣2，3）．（2）∵直线恒l过定点A（﹣2，3）∴当点P在直线l上的射影点恰好是A时，即PA⊥l时，点P到直线l的距离最大∵PA的斜率k P A＝∴直线l的斜率k＝＝＝﹣5由此可得点P到直线l的距离最大时，直线l的方程为y﹣3＝﹣5（x+2），即5x+y+7＝0．【点评】本题给出直线经过定点，求直线外一点P到直线的距离最大时直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．17．如图所示，∠P AQ是某海湾旅游区的一角，其中∠P AQ＝120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米；AC是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道AD（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．（1）若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ABC的面积最大，那么AB 和AC的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？（ （【分析】 1）设 AB ＝xm ，AC ＝ym ，则 800x+400y ＝1200000，即 2x +y ＝3000，表示面积，利用基本不等式，可得结论；（2）利用向量方法，求出 AD ，即可得出结论．【解答】解：（1）设 AB ＝xm ，AC ＝ym ，则 800x+400y ＝1200000，即 2x +y ＝3000，△S ABC ＝＝ ＝ ＝281250m 3，当且仅当 2x ＝y ，即 x ＝750m ，y ＝1500m 时等号成立，∴△ABC 的面积最大，那么 AB 和 AC 的长度分别为 750 米和 1500 米；（2）在（1）的条件下，＝ + ，∴∴|＝|＝500，＝250000，∴1000×500＝500000 元，即建直线通道 AD 还需要 50 万元．【点评】本题考查三角形中面积的求法，考查向量知识的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．定义“矩阵”的一种运算变换下成点 ．设矩阵 A ＝• ，该运算的意义为点（x ，y ）在矩阵的（1）已知点 P 在矩阵 A 的变换后得到的点 Q 的坐标为，试求点 P 的坐标；（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵 A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．【分析】 1）设 P （x ，y ），由题意，得出关于 x ，y 的方程，解之即得 P 点的坐标；（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：y ＝kx +b（k ≠0），该直线上的任一点 M （x ，y ），经变换后得到的点 N （）仍在该直线上，再结合求方程的解即可求得 k ，b 值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】解：（1）设P（x，y）由题意，有，即P点的坐标为．（2）假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，所以设直线方程为：y＝kx+b（k≠0）因为该直线上的任一点M（x，y），经变换后得到的点N（线上所以）仍在该直即代入得，其中y＝kx+b（k≠0）对任意的x∈R恒成立解之得故直线方程为或．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．19．小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，x+y＝1（如图1）第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答．（1）当x+y＞1或x+y＜1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由（2）如图2，射线OM∥AB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围．（3）过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且，请分别写出点P在每个区域内运动（不含边界）时，实数x，y应满足（ 的条件．（不必证明）【分析】运用平面向量基本定理和三点共线的结论可解决此问题．【解答】 1）由题意知，若 x +y ＞1，则 O 、P 异侧；若 x +y ＜1，则 O 、P 同侧；（2）根据题意得，x ＞0；x ＝ 时，数形结合得（3）由题知Ⅰ：；Ⅱ： ；Ⅲ： ；Ⅳ： ；Ⅴ： ；Ⅵ：．【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用．。
精品解析：上海市华东师大二附中高二上学期10月月考数学试题解析版
【解析】
【分析】
就是 到原点距离的平方，只需求出原点到直线的距离即可.
【详解】 就是 到原点距离的平方，
到原点距离的最小值为
最小值为 ，
故答案为8.
【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，考查了转化思想的应用，属于基础题.
6.直线l过原点，且平分 ABCD的面积，若B(1, 4)、D(5, 0)，则直线l的方程是．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量数量积的运算翻法则，先得到 ，再由向量夹角公式，即可得出结果.
【详解】因为 为单位向量， ，
所以 ， ，
因此 ，
即向量 与 的夹角为 ，
则 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式，以及向量的数量积运算法则即可，属于基础题型.
5.点 在直线 上，则 最小值是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先作出曲线 对应的图像，再结合简单的线性规划问题，观察图像即可得解.
【详解】解：曲线 对应的图像为如图所示的菱形 ，
设 ，则 ，因为 是 时，函数取最小值 ，
过点 时，函数取最大值 ，
即 的取值范围为 ，
故答案为： .
上海市华二附中高二上数学10月月考卷
一、填空题
1.已知直线 的一个方向向量是 ，则它的斜率为______________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可.
【详解】直线 的一个方向向量是 ，则直线的斜率为：
故答案为：2
【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题.
2018年上海华东师大二附中第一学期10月份月考-文档资料
华东师大二附中2018学年第一学期高三语文试卷2018.10一积累应用（10分）1、按要求填空（5分）⑴是处红衰翠减，。
（柳永）⑵，非蛇蟮之穴无可寄托者，用心躁也。
（荀子《劝学》）⑶李白在《登金陵凤凰台》中暗示自己报国无门的诗句是：，。
2、按要求选择。
（5分）⑴祝贺母校六十周年校庆，下列祝福表达最得体的是（ B ）（2分）A.欣闻母校六十华诞，愿母校桃李不言，下自成蹊。
B.春秋六秩励精图治，桃李万千再铸辉煌。
C.母校音容笑貌依然，栽培之恩永世不忘。
D.六十年沧桑砥砺，一甲子岁月峥嵘。
⑵。
在新世纪，人们怎样发挥其特点和优势，同时克服其缺点、局限，从而对本国建设乃至世界文化的进步做出贡献，这是我国学术界面临的一个重大课题。
AA.儒家文化有其不足和缺陷，需要向西方文化学习。
但是如家文化在数千年、特别是在近现代亚洲地区的发展中表现出其存在价值和自身的特点、优势。
B.儒家文化有其不足和缺陷，需要向西方文化学习。
但是如家文化在数千年、特别是在近现代亚洲地区的发展中表现出自身的特点、优势和其存在价值。
C.儒家文化在数千年、特别是在近现代亚洲地区的发展中表现出其存在价值和自身的特点、优势，但是儒家文化有其不足和缺陷，需要向西方文化学习。
D.儒家文化在数千年、特别是在近现代亚洲地区的发展中表现出自身的特点、优势和其存在价值，但是儒家文化有其不足和缺陷，需要向西方文化学习。
二阅读（70分）（一）阅读下文，完成第3-7题。
（16分）①早就想说清这样一件事情，便是一个故事本身就包含了一个讲故事的方式。
那故事是唯一的，那方式也是唯一的。
比如电影《勇敢的米哈伊》，故事本身就决定了它必须是宽银幕的；国产电视剧《今夜有暴风雪》拍得很不错，给人感觉是由电视台转播的宽银幕电影，然而失败也在此了。
到了高度现代化的美国，才明白了西方现代派的作品，并不是用意识流、结构现实主义等等莫名其妙的手法表现故事，而是那生活本身给了一个时空颠倒、错综交叉、断断续续、重重叠叠、无头无尾、莫名其妙的故事。
2017-2018-高二上月考-华二附中
③ sin 2AOA sin 2BOB sin 2COC 0 ；④ OA OB OC 0 的点 O 依次为△ABC 的（ ）
A. 外心、内心、垂心、重心 C. 垂心、内心、重心、外心
B. 内心、外心、垂心、重心 D. 内心、垂心、外心、重心
公
加
添
word版
参考答案
一、填空题
1、
12 13
,
5 13
,
12 13
,
5 13
；2、
,
2,
2,
1 2
；3、
x
2
或
x
3
y
1
0
；4、
6
,
2
；
5、 x 2 y 1 0 ；6、 17 ；7、 3 ；8、[3 3,3 3] ；9、 21 ；10、①③⑤．
共线，O 为直线外一点，且 OP xOA yOB 时，x+y=1（如图 1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请
同学帮助小郭解答. (1)当 x+y>1 或 x+y<1 时，O、P 两点的位置与 AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理 由
(2)如图 2，射线 OM∥AB，点 P 在由射线 OM、线段 OA 及 BA 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，
以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1, d2 , d3, d4 , d5 .若 m, M 分别为
(ai a j ak ) (dr ds dt ) 的最小值、最大值，其中{i, j, k} {1, 2,3, 4,5},{r, s,t} {1, 2,3, 4,5} ,则
上海市华师大二附中2018-2019学年上期高二数学期末试卷(解析版)
上海市华师大二附中2018-2019学年上期高二数学期末试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.关于x，y的二元一次方程组，其中行列式D x为（）A. B. C. D.2.使复数z为实数的充分而不必要条件为（）A. 为实数B. 为实数C.D.3.下列动点M的轨迹不在某一直线上的是（）A. 动点M到直线和的距离和为3B. 动点M到直线和的距离和为2C. 动点M到直线和的距离差为4D. 动点M到点和到的距离相等44.在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，-1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A. 0个B. 2个C. 4个D. 无数个二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）5.在平面解析几何中，直线的倾斜角θ的取值范围为______．6.抛物线y=-2x2的准线方程为______．7.若复数z满足z=（1+2i）（3-4i），（i是虚数单位），则=______．8.若，，，（i是虚数单位），则a2+b2=______．9.设点（x，y）位于线性的约束条件所表示的区域，则目标函数z=2x+y的最大值和最小值的比值______．10.若方程表示椭圆，则k的取值范围是______．11.已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则=______．12.已知F1，F2分别是椭圆的两焦点，点P是该椭圆上一动点，则的取值范围为______．13.若圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线恰有六个公共点，则R的值是______．14.已知2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），当ab取得最小值时，曲线上的点到直线的距离的取值范围为______．三、解答题（本大题共4小题，共42.0分）15.已知复数（i是虚数单位）（1）复数z是实数，求实数m的值；（3）复数z是纯虚数，求实数m的值．16.直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1的左支交于点A，与右支交于点B．（1）求实数k的取值范围；（2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求k的取值．17.已知F1、F2为双曲线：：的左、右焦点，点P在双曲线上，点Q在圆C：x2+（y-3）2=4上．（1）若|PF1|+|PF2|=8，求点P的坐标；（2）若直线l与双曲线Γ及圆C都恰好只有一个公共点，求直线l的方程．18.已知椭圆￢：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），M点的坐标为（0，b），O为坐标原点，△OMF是等腰直角三角形．（1）求椭圆￢的方程；（2）设经过点C（0，2）作直线AB交椭圆￢于A、B两点，求△AOB面积的最大值；（3）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解x，y的二元一次方程组，系数行列式：Dx=．故选：C．利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．2.【答案】D【解析】解：设复数z=a+bi（i是虚数单位），则复数z为实数的充分必要条件为b=0由此可看出：对于A，z2为实数，可能z=i是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；对于B，同样若z是纯虚数，则z+=0为实数，没有充分性，故不符合题意；对于C，若z=a+bi，=a-bi，z=等价于b=0，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D，若|z|=z≥0，说明z是实数，反之若z是负实数，则|z|=z不成立，符合题意．故选：D．一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个先项加以判别，发现A、B都没有充分性，而C是充分必要条件，由此不难得出正确的选项．本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握书本中的复数有关概念，是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：直线4x+3y-5=0和4x+3y+10=0之间的距离为：=3，所以动点M到直线4x+3y-5=0和4x+3y+10=0的距离和为3，动点的轨迹是平行线之间的区域．满足题意．动点M到直线（1，0）和（-1，0）的距离和为2，是两点之间的线段，轨迹在一条直线上，所以B不正确；动点M到直线（0，2）和（0，-2）的距离差为4，是两条射线，在一条直线上，所以C不正确；动点M到点（2，3）和到2x-y-1=0的距离相等4，动点M的轨迹是经过（2，3）与直线垂直的直线，所以D不正确；故选：A．利用平行线之间的距离，判断选项A的正误；利用两点间距离个数判断B的正误；轨迹方程判断C，D的正误；本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．4.【答案】D【解析】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，若MN=AQ，即可得出四边形AMQN是矩形，由Q的任意性知，四边形AMQN能构成无数个矩形．故选：D．根据题意画出图形，结合图形得出满足条件的四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．本题考查了两圆的位置关系应用问题，是难题．5.【答案】[0，π）【解析】解：直线的倾斜角θ的取值范围为[0，π）．故答案为：[0，π）．直接写出直线的倾斜角θ的取值范围即可．本题考查了直线的倾斜角的范围，是基础题．6.【答案】y=【解析】解：抛物线y=-2x2即为x2=-y，由x2=-2py的准线方程y=，由x2=-y，可得p=，可得所求准线方程为y=．故答案为：y=．2得到所求方程．本题考查抛物线的准线方程的求法，注意将方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．7.【答案】【解析】解：z=（1+2i）（3-4i）=11+2i．则=．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．8.【答案】1【解析】解：化简行列式如下：=（a-i）（1+i）-1•（b-2i）=a+ai-i+1-b+2i=（a+1-b）+（a+1）i，∵=0∴（a+1-b）+（a+1）i=0，∴可得，方程组：，解得a=-1，b=0，∴a2+b2=1，故答案为1．本题根据二阶行列式的定义将此行列式化简整理，然后根据虚数的概念可算出a，b的值，答案即出．本题主要考查二阶行列式的定义计算和虚数的概念，不是太难，属基础题．9.【答案】【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（，），代入目标函数z=2x+y得z=2×+=．即目标函数z=2x+y的最大值为，由，解得C（，）函数的最小值：，目标函数z=2x+y的最大值和最小值的比值：．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值与最小值，然后求解比值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10.【答案】，，【解析】解：∵方程表示椭圆，∴∴-＜k＜1且k≠-1，故答案为：．由题意列出不等式组，解不等式可求k的范围．本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，椭圆的简单性质的应用，属于基础试题．11.【答案】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin=所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故答案为：．直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得•的值．初看题目，会被直线方程所困惑，然而看到题目后面，发现本题容易解答．本题考查平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系．是基础题．12.【答案】[-2，1]【解析】解：由椭圆，焦点知F1（-，0），F2（，0），设P（x，y），-2≤x≤2，则=（--x，-y）（-x，-y）=x2+y2-3=（3x2-8），∵-2≤x≤2，∴0≤x2≤4，故[-2，1]，故答案为：[-2，1]．求得椭圆的焦点坐标，利用向量的坐标运算，求得=（3x2-8），由-2≤x≤2，即可求得答案．本题考查椭圆的简单几何性质，向量的坐标运算，一元二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线恰有六个公共点，如图所示，此时R=3．故答案为3．可作出圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线恰有六个公共点，根据图形判断本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】（0，]【解析】解：∵2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），∴ab=2a+b≥2，化为（-2）≥0，∴≥2，解得ab≥8．当且仅当b=2a=4时取等号．∴曲线为-=1．画出图形：由图形可知：直线y=x分别是曲线=1，曲线-+=1的渐近线．因此点到直线y=x的距离d＞0．设直线y=x+m与曲线+=1（x≥0，y≤0）相切．联立化为，令△=8m2-16（m2-4）=0，解得m=-2．∴切线为y=．两平行线y=，y=x的距离d==．∴曲线上的点到直线的距离取值范围是（0，]．故答案为（0，]．利用基本不等式可得b=2a=4．再对x，y分类讨论，画出图形，利用直线与曲线相切的性质即可得出．本题考查了基本不等式、直线与曲线相切的性质、两点间的距离公式、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．15.【答案】解：（1）若复数z是实数，则，得或，即m=5；（2）复数z是虚数，则，即且，即m≠5且m≠-3；或，（3）复数z是纯虚数，则，得且即m=3，或-2【解析】（1）根据复数是实数得到虚部为零（2）复数是虚数，则虚部不为零（3）复数是纯虚数，则实部为零虚部不为零本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的表达式关系是解决本题的关键．16.【答案】解：（1）由直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1，得（3-k2）x2-2kx-2=0，因为A．B在双曲线的左右两支上，所以3-k2≠0，＜0，解得-＜k＜；（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则k OA•k OB=-1，即x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，∴（k2+1）•+k•=0，整理得k2=1，符合条件，∴k=±1．【解析】（1）由直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1，得（3-k2）x2-2kx-2=0，利用A，B在双曲线的左右两支上，根据韦达定理即可得不等式，解出即可；（2）把存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为k OA•k OB=-1，即x1x2+y1y2=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．17.【答案】解：（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，可得m+n=8，|m-n|=4，若P在第一象限，可得m-n=4，解得m=6，n=2，由双曲线的第二定义可得=，解得x P=，y P=，由对称性可得点P的坐标为，，，，，，，；（2）直线l与双曲线Γ及圆C都恰好只有一个公共点，若直线l的斜率不存在，即有直线方程为x=±2；由双曲线的渐近线方程可得y=±x，直线l与渐近线平行，可设l：y=±x+m，由直线l与圆相切，可得=2，解得m=3±，可得直线l的方程为y=x+3±或y=-x+3±；当直线l与双曲线和圆都相切，设直线方程为y=kx+t，可得=2，①由双曲线方程和直线方程联立，可得（1-4k2）x2-8ktx-4t2-4=0，可得△=64k2t2+16（1+t2）（1-4k2）=0，化为1+t2=4k2，②由①②解得k=±，t=，即直线l的方程为y=±x+，综上可得直线l共有8条，为x=±2；y=x+3±或y=-x+3±；y=±x+．【解析】（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，运用双曲线的两个定义，解方程即可得到所求P的坐标；（2）分别讨论直线的斜率不存在和直线和渐近线平行、直线和圆、双曲线都相切的情况，解方程即可得到所求直线方程．本题考查直线和双曲线、直线和圆的位置关系，考查化简运算能力、方程思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=b=，故椭圆方程为；（2）设过点C（0，2）的直线AB的方程为y=kx+2，A、B的横坐标分别为x A，x B，将线AB的方程为y=kx+2代入椭圆方程，消元可得（1+2k2）x2+8kx+6=0，△=16k2-24＞0，∴k2＞∴x A+x B=-，x A x B=∴|x A-x B|==令k2=t，则t＞，|x A-x B|=令u=t-，则u＞0，|x A-x B|=4=2≤（当且仅当u=2时取等号）又△AOB面积=×2×|x A-x B|=|x A-x B|，∴△AOB面积的最大值为；（3）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），所以k PQ=1．于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x2+4mx+2m2-2=0．由△＞0，得m2＜3，且x1+x2=，x1x2=由题意应有，所以x1（x2-1）+y2（y1-1）=0，所以2x1x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0．整理得2×（m-1）+m2-m=0．解得m=-或m=1．经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．∴当m=-时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-【解析】（1）由△△OMF是等腰直角三角形，可得b=1，a=，b=，从而可得椭圆方程；（2）设过点C（0，2）的直线AB的方程为y=kx+2，A、B的横坐标分别为x A，x B，求出|x A-x B|的最大值，即可求得△AOB面积=×2×|x A-x B|=|x A-x B|的最大值；（3）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理结合，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题．。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，满分40分）1．（4分）在平面解析几何中，直线的倾斜角θ的取值范围为．2．（4分）抛物线y ＝﹣2x 2的准线方程为．3．（4分）若复数z 满足z ＝（1+2i ）（3﹣4i ），（i 是虚数单位），则＝．4．（4分）若，（i 是虚数单位），则a 2+b 2＝．5．（4分）设点（x ，y ）位于线性的约束条件所表示的区域，则目标函数z ＝2x+y 的最大值和最小值的比值．6．（4分）若方程表示椭圆，则k 的取值范围是．7．（4分）已知直线ax+by+c ＝0与圆：x 2+y 2＝1相交于A 、B 两点，且，则＝．8．（4分）已知F 1，F 2分别是椭圆的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则的取值范围为．9．（4分）若圆x 2+y 2＝R2（R ＞0）和曲线恰有六个公共点，则R 的值是．10．（4分）已知2a+b ﹣ab ＝0（a ＞0，b ＞0），当ab 取得最小值时，曲线上的点到直线的距离的取值范围为．二、选择题（每题4分，满分16分）11．（4分）关于x ，y 的二元一次方程组，其中行列式D x 为（）A ．B ．C ．D ．12．（4分）使复数z 为实数的充分而不必要条件为（）A ．z 2为实数B ．z+为实数C ．z ＝D ．|z|＝z13．（4分）下列动点M 的轨迹不在某一直线上的是（）A ．动点M 到直线4x+3y ﹣5＝0和4x+3y+10＝0的距离和为3B ．动点M 到直线（1，0）和（﹣1，0）的距离和为2C ．动点M 到直线（0，2）和（0，﹣2）的距离差为4D ．动点M 到点（2，3）和到2x ﹣y ﹣1＝0的距离相等414．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆C 1：x 2+y 2＝12和C 2：x 2+y 2＝14，又点A坐标为（3，﹣1），M 、N 是C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个三、解答题（满分42分）15．（9分）已知复数（i 是虚数单位）（1）复数z 是实数，求实数m 的值；（2）复数z 是虚数，求实数m 的取值范围；（3）复数z 是纯虚数，求实数m 的值．16．（9分）直线y ＝kx+1与双曲线3x 2﹣y 2＝1的左支交于点A ，与右支交于点B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求k 的取值．17．（12分）已知F 1、F 2为双曲线：的左、右焦点，点P 在双曲线上，点Q 在圆C ：x 2+（y ﹣3）2＝4上．（1）若|PF 1|+|PF 2|＝8，求点P 的坐标；（2）若直线l 与双曲线Γ及圆C 都恰好只有一个公共点，求直线l 的方程．18．（12分）已知椭圆￢：+＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），M 点的坐标为（0，b ），O 为坐标原点，△OMF 是等腰直角三角形．（1）求椭圆￢的方程；（2）设经过点C （0，2）作直线AB 交椭圆￢于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值；（3）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使点F 为△PQM 的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，满分40分）1．（4分）在平面解析几何中，直线的倾斜角θ的取值范围为[0，π）．【分析】直接写出直线的倾斜角θ的取值范围即可．【解答】解：直线的倾斜角θ的取值范围为[0，π）．故答案为：[0，π）．【点评】本题考查了直线的倾斜角的范围，是基础题．2．（4分）抛物线y ＝﹣2x 2的准线方程为y ＝．【分析】先将抛物线的方程化为标准方程，再由x 2＝﹣2py 的准线方程y ＝，计算即可得到所求方程．【解答】解：抛物线y ＝﹣2x 2即为x 2＝﹣y ，由x 2＝﹣2py 的准线方程y ＝，由x 2＝﹣y ，可得p ＝，可得所求准线方程为y ＝．故答案为：y ＝．【点评】本题考查抛物线的准线方程的求法，注意将方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．3．（4分）若复数z 满足z ＝（1+2i ）（3﹣4i ），（i 是虚数单位），则＝．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数模的公式计算得答案．【解答】解：z ＝（1+2i ）（3﹣4i ）＝11+2i ．则＝．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．4．（4分）若，（i是虚数单位），则a 2+b2＝1．【分析】本题根据二阶行列式的定义将此行列式化简整理，然后根据虚数的概念可算出a，b的值，答案即出．【解答】解：化简行列式如下：＝（a﹣i）（1+i）﹣1?（b﹣2i）＝a+ai﹣i+1﹣b+2i＝（a+1﹣b）+（a+1）i，∵＝0∴（a+1﹣b）+（a+1）i＝0，∴可得，方程组：，解得a＝﹣1，b＝0，∴a2+b2＝1，故答案为1．【点评】本题主要考查二阶行列式的定义计算和虚数的概念，不是太难，属基础题．5．（4分）设点（x，y）位于线性的约束条件所表示的区域，则目标函数z＝2x+y的最大值和最小值的比值．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值与最小值，然后求解比值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（，），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×+＝．即目标函数z＝2x+y的最大值为，由，解得C（，）函数的最小值：，目标函数z＝2x+y的最大值和最小值的比值：．故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6．（4分）若方程表示椭圆，则k的取值范围是．【分析】由题意列出不等式组，解不等式可求k的范围．【解答】解：∵方程表示椭圆，∴∴﹣＜k＜1且k≠﹣1，故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，椭圆的简单性质的应用，属于基础试题．7．（4分）已知直线ax+by+c＝0与圆：x 2+y2＝1相交于A、B两点，且，则＝．【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得?的值．【解答】解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin ＝所以：∠AOB＝120°则?＝1×1×cos120°＝．故答案为：．【点评】初看题目，会被直线方程所困惑，然而看到题目后面，发现本题容易解答．本题考查平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系．是基础题．8．（4分）已知F1，F2分别是椭圆的两焦点，点P是该椭圆上一动点，则的取值范围为[﹣2，1]．【分析】求得椭圆的焦点坐标，利用向量的坐标运算，求得＝（3x2﹣8），由﹣2≤x≤2，即可求得答案．【解答】解：由椭圆，焦点知F1（﹣，0），F2（，0），设P（x，y），﹣2≤x≤2，则＝（﹣﹣x，﹣y）（﹣x，﹣y）＝x2+y2﹣3＝（3x2﹣8），∵﹣2≤x≤2，∴0≤x2≤4，故∈[﹣2，1]，故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，向量的坐标运算，一元二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．9．（4分）若圆x 2+y 2＝R 2（R ＞0）和曲线恰有六个公共点，则R 的值是3．【分析】可作出圆x 2+y 2＝R 2（R ＞0）和曲线恰有六个公共点，根据图形判断即可．【解答】解：圆x 2+y 2＝R 2（R ＞0）和曲线恰有六个公共点，如图所示，此时R ＝3．故答案为3．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（4分）已知2a+b ﹣ab ＝0（a ＞0，b ＞0），当ab 取得最小值时，曲线上的点到直线的距离的取值范围为（0，]．【分析】利用基本不等式可得b ＝2a ＝4．再对x ，y 分类讨论，画出图形，利用直线与曲线相切的性质即可得出．【解答】解：∵2a+b ﹣ab ＝0（a ＞0，b ＞0），∴ab ＝2a+b ≥2，化为（﹣2）≥0，∴≥2，解得ab ≥8．当且仅当b ＝2a ＝4时取等号．∴曲线为﹣＝1．画出图形：由图形可知：直线y＝x分别是曲线＝1，曲线﹣+＝1的渐近线．因此点到直线y＝x的距离d＞0．设直线y＝x+m与曲线+＝1（x≥0，y≤0）相切．联立化为，令△＝8m2﹣16（m2﹣4）＝0，解得m＝﹣2．∴切线为y＝．两平行线y＝，y＝x的距离d＝＝．∴曲线上的点到直线的距离取值范围是（0，]．故答案为（0，]．【点评】本题考查了基本不等式、直线与曲线相切的性质、两点间的距离公式、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、选择题（每题4分，满分16分）11．（4分）关于x，y的二元一次方程组，其中行列式D x为（）A．B．C．D．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解x，y的二元一次方程组，系数行列式：Dx ＝．故选：C ．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．12．（4分）使复数z 为实数的充分而不必要条件为（）A ．z 2为实数B ．z+为实数C ．z ＝D ．|z|＝z【分析】一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个先项加以判别，发现A 、B 都没有充分性，而C 是充分必要条件，由此不难得出正确的选项．【解答】解：设复数z ＝a+bi （i 是虚数单位），则复数z 为实数的充分必要条件为b ＝0由此可看出：对于A ，z 2为实数，可能z ＝i 是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；对于B ，同样若z 是纯虚数，则z+＝0为实数，没有充分性，故不符合题意；对于C ，若z ＝a+bi ，＝a ﹣bi ，z ＝等价于b ＝0，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D ，若|z|＝z ≥0，说明z 是实数，反之若z 是负实数，则|z|＝z 不成立，符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握书本中的复数有关概念，是解决本题的关键．13．（4分）下列动点M 的轨迹不在某一直线上的是（）A ．动点M 到直线4x+3y ﹣5＝0和4x+3y+10＝0的距离和为3B ．动点M 到直线（1，0）和（﹣1，0）的距离和为2C ．动点M 到直线（0，2）和（0，﹣2）的距离差为4D ．动点M 到点（2，3）和到2x ﹣y ﹣1＝0的距离相等4【分析】利用平行线之间的距离，判断选项A 的正误；利用两点间距离个数判断B 的正误；轨迹方程判断C ，D 的正误；【解答】解：直线4x+3y ﹣5＝0和4x+3y+10＝0之间的距离为：＝3，所以动点M 到直线4x+3y ﹣5＝0和4x+3y+10＝0的距离和为3，动点的轨迹是平行线之间的区域．满足题意．动点M 到直线（1，0）和（﹣1，0）的距离和为2，是两点之间的线段，轨迹在一条直线上，所以B不正确；动点M到直线（0，2）和（0，﹣2）的距离差为4，是两条射线，在一条直线上，所以C不正确；动点M到点（2，3）和到2x﹣y﹣1＝0的距离相等4，动点M的轨迹是经过（2，3）与直线垂直的直线，所以D不正确；故选：A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2＝12和C2：x2+y2＝14，又点A 坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个B．2个C．4个D．无数个【分析】根据题意画出图形，结合图形得出满足条件的四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．【解答】解：法一：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，若MN＝AQ，即可得出四边形AMQN是矩形，由Q的任意性知，四边形AMQN能构成无数个矩形法二：取MN中点B（x，y），联结OB，∵OB2+BN2＝r2＝12，在Rt△MAN中，BN＝AB，∴OB2+AB2＝12?x2+y2+（x﹣3）2+（y+1）2＝12，即x2+y2﹣3x+y＝1．∵点B的轨迹方程为x2+y2﹣3x+y＝1，设点Q（x0，y0），∵B为AQ中点，∴B（，），带入B点的轨迹方程，得x02+y02＝14，∴x2+y2＝14上的每个点都符合题意，故选：D．【点评】本题考查了两圆的位置关系应用问题，是难题．三、解答题（满分42分）15．（9分）已知复数（i 是虚数单位）（1）复数z 是实数，求实数m 的值；（2）复数z 是虚数，求实数m 的取值范围；（3）复数z 是纯虚数，求实数m 的值．【分析】（1）根据复数是实数得到虚部为零（2）复数是虚数，则虚部不为零（3）复数是纯虚数，则实部为零虚部不为零【解答】解：（1）若复数z 是实数，则，得，即m ＝5；（2）复数z 是虚数，则，即，即m ≠5且m ≠﹣3；（3）复数z 是纯虚数，则，得，即m ＝3，或﹣2【点评】本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的表达式关系是解决本题的关键．16．（9分）直线y ＝kx+1与双曲线3x 2﹣y 2＝1的左支交于点A ，与右支交于点B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求k 的取值．【分析】（1）由直线y ＝kx+1与双曲线3x 2﹣y 2＝1，得（3﹣k 2）x 2﹣2kx ﹣2＝0，利用A ，B 在双曲线的左右两支上，根据韦达定理即可得不等式，解出即可；（2）把存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点转化为k OA ?k OB ＝﹣1，即x 1x 2+y 1y 2＝0，整理后代入根与系数关系求解实数k 的值．【解答】解：（1）由直线y ＝kx+1与双曲线3x 2﹣y 2＝1，得（3﹣k 2）x 2﹣2kx ﹣2＝0，因为A ．B 在双曲线的左右两支上，所以3﹣k 2≠0，＜0，解得﹣＜k ＜；（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则k OA?k OB＝﹣1，即x1x2+y1y2＝0，∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）＝0，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1＝0，∴（k2+1）?+k?＝0，整理得k2＝1，符合条件，∴k＝±1．【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．17．（12分）已知F1、F2为双曲线：的左、右焦点，点P在双曲线上，点Q在圆C：x 2+（y﹣3）2＝4上．（1）若|PF1|+|PF2|＝8，求点P的坐标；（2）若直线l与双曲线Γ及圆C都恰好只有一个公共点，求直线l的方程．【分析】（1）设|PF1|＝m，|PF2|＝n，运用双曲线的两个定义，解方程即可得到所求P的坐标；（2）分别讨论直线的斜率不存在和直线和渐近线平行、直线和圆、双曲线都相切的情况，解方程即可得到所求直线方程．【解答】解：（1）设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m+n＝8，|m﹣n|＝4，若P在第一象限，可得m﹣n＝4，解得m＝6，n＝2，由双曲线的第二定义可得＝，解得x P＝，y P＝，由对称性可得点P的坐标为；（2）直线l与双曲线Γ及圆C都恰好只有一个公共点，若直线l的斜率不存在，即有直线方程为x＝±2；由双曲线的渐近线方程可得y＝±x，直线l与渐近线平行，可设l：y＝±x+m，由直线l与圆相切，可得＝2，解得m＝3±，可得直线l的方程为y＝x+3±或y＝﹣x+3±；当直线l与双曲线和圆都相切，设直线方程为y＝kx+t，可得＝2，①由双曲线方程和直线方程联立，可得（1﹣4k2）x2﹣8ktx﹣4t2﹣4＝0，可得△＝64k2t2+16（1+t2）（1﹣4k2）＝0，化为1+t2＝4k2，②由①②解得k＝±，t＝，即直线l的方程为y＝±x+，综上可得直线l共有8条，为x＝±2；y＝x+3±或y＝﹣x+3±；y＝±x+．【点评】本题考查直线和双曲线、直线和圆的位置关系，考查化简运算能力、方程思想，属于中档题．18．（12分）已知椭圆￢：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），M点的坐标为（0，b），O为坐标原点，△OMF是等腰直角三角形．（1）求椭圆￢的方程；（2）设经过点C（0，2）作直线AB交椭圆￢于A、B两点，求△AOB面积的最大值；（3）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由△△OMF是等腰直角三角形，可得b＝1，a＝，b＝，从而可得椭圆方程；（2）设过点C （0，2）的直线AB 的方程为y ＝kx+2，A 、B 的横坐标分别为x A ，x B ，求出|x A ﹣x B |的最大值，即可求得△AOB 面积＝×2×|x A ﹣x B |＝|x A ﹣x B |的最大值；（3）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且使点F 为△PQM 的垂心，设直线l 的方程为y ＝x+m ，代入椭圆方程，利用韦达定理结合，即可求得结论．【解答】解：（1）由△OMF 是等腰直角三角形，得b ＝1，a ＝b ＝，故椭圆方程为；（2）设过点C （0，2）的直线AB 的方程为y ＝kx+2，A 、B 的横坐标分别为x A ，x B ，将线AB 的方程为y ＝kx+2代入椭圆方程，消元可得（1+2k 2）x 2+8kx+6＝0，△＝16k 2﹣24＞0，∴k 2＞∴x A +x B ＝﹣，x A x B ＝∴|x A ﹣x B |＝＝令k 2＝t ，则t ＞，|x A ﹣x B |＝令u ＝t ﹣，则u ＞0，|x A ﹣x B |＝4＝2≤（当且仅当u ＝2时取等号）又△AOB 面积＝×2×|x A ﹣x B |＝|x A ﹣x B |，∴△AOB 面积的最大值为；（3）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且使点F 为△PQM 的垂心，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），因为M （0，1），F （1，0），所以k PQ ＝1．于是设直线l 的方程为y ＝x+m ，代入椭圆方程，消元可得3x 2+4mx+2m 2﹣2＝0．由△＞0，得m 2＜3，且x 1+x 2＝，x 1x 2＝由题意应有，所以x 1（x 2﹣1）+y 2（y 1﹣1）＝0，所以2x 1x 2+（x 1+x 2）（m ﹣1）+m 2﹣m ＝0．整理得2×（m ﹣1）+m 2﹣m ＝0．解得m＝﹣或m＝1．经检验，当m＝1时，△PQM不存在，故舍去．∴当m＝﹣时，所求直线l存在，且直线l的方程为y＝x﹣【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题．。
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2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）10月月考数学试卷一、填空题1. _________________________________________________ （3分）直线1: 5x- 12y+5 = 0的单位方向向量为 _______________________________________ .2. ____________________________________________________________________________ （3分）已知:「厂.J 「让f,且「.与.的夹角为锐角，贝V实数k的取值范围是_______________ .3. _______________ （3分）若直线i 过点V5）, 且与直线显・.；广【［的夹角为——，则直线I 的方程是_________ .4. （3分）若直线I: y= kx- .「:与直线2x+3y-6= 0的交点位于第一象限，则直线I的倾斜角的取值范围是5. （3分）已知直线I: x- y- 1= 0, l1: 2x- y- 2= 0.若直线l2与l1关于I对称，则l2的方程为_______ .6. _________________________________________________ （3分）函数尹彳工十彳J + 1的最小值为 _____________________________________________ .7. （3分）在厶ABC中，D、E分别是AB, AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ ABC& （3分）如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1,点P在大圆上，PA与小圆相切于点A, Q为小圆上的点，^ U丨J的取值范围是___________ .—►—* 1 j-=*9. （3分）已知平面上三个不同的单位向量^, bi,匚满足a. ?b =b‘cp，若。
为平面内的任意单位向量，则卜L・|+|21「叫+3|・・|的最大值为_________ .10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题13.中正确的是 _______ （写出所有正确命题的编号）. ① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ② 如果k 与b 都是无理数，则直线 y = kx+b 不经过任何整点 ③ 直线I 经过无穷多个整点，当且仅当I 经过两个不同的整点④ 直线y = kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是： k 与b 都是有理数⑤ 存在恰经过一个整点的直线. 二、选择题11. （3分）已知△ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , O ABC 内一点，若分 别 满足下列四个条件：② tanA? -.+tanB? .l.+tanC?i '= 11 ③ sin2A? -.+sin2B? ，+sin2C?□ ④ ，■+ l'.+ i=i'i则点O 分别为△ ABC 的（ ） A .外心、内心、垂心、重心 C .垂心、内心、重心、外心12. （3分）如图，在同一平面内，点 P 位于两平行直线11、l 2同侧，且P 到11, 12的距离分B .内心、外心、垂心、重心 D .内心、垂心、外心、重心别为1, 3，点M , N 分别在I 1, |2上，「”+1 J|= 8，则f?【啲最大值为（))点P13.如屯.若m M 分别为⑴1+幻+丑）？qqq ）的最小值、最大值，其中{i ,j , k}?{1，2，3，4，5}，{r ，s ，t}?{1，2，3，4，5}，则 m 、M 满足（ ）A . m = 0， M > 0B . m v 0， M > 0C . m v 0， M = 0D . m v 0， M v 0三、解答题16. 已知直线 l : （ 2a+b ） x+ （a+b ） y+a - b = 0 及点 P （3，4）.（1 ）证明直线I 过某定点，并求该定点的坐标. （2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线I 的方程. 17. 如图所示，/ PAQ 是某海湾旅游区的一角，其中/PAQ = 120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊 AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是 800元/米；AC 是窄长廊，造价是 400元/米；两段长廊的总 造价为120万元，同时在线段 BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水 上直线通道AD（平台14. （3分）已知点 M （a , b ）与点N （0，- 1）在直线3x - 4y+5 = 0的两侧，给出以下结 论:① 3a - 4b+5 > 0;② 当a >0时，a+b 有最小值，无最大值； ③ a 2+b 2> 1;④ 当a >0且1时，的取值范围是（-8,a-1正确的个数是（ ）C . 315. （3分）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分.；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 5D •一： :大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米.13.(1 )若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ ABC的面积最大，那么AB 和AC的长度分别为多少米？(2)在(1 )的条件下，建直线通道AD还需要多少钱?(1)已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为农.乓，就，试求点P的坐标;(2)是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由.19.小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且-：..，时，x+y = 1 (如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.(1)当x+y> 1或x+y v 1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由(2)如图2,射线OM // AB,点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且' .r〕，求实数x的取值范围，并求当丁-二时，实数y的取值范围.(3)过O作AB的平行线，延长AO、BO,将平面分成如图3所示的六个区域，且I -,. ..,,请分别写出点P在每个区域内运动(不含边界)时，实数x, y应满足的条件.(不必证明)A B P18.定义“矩阵”的一种运算■-c d J ®cx+dy；变换下成点’’.设矩阵A=| 1该运算的意义为点x, y)在矩阵的第4页(共22页)2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1 □% I I io| I r I1. （3分）直线l: 5x - 12y+5 = 0的单位方向向量为（=，亍7），（-=7，-寸7）.13_ 13_ 13 13【分析】取直线l: 5x- 12y+5 = 0的方向向量为±（12，5），即可求出直线的单位方向向量.【解答】解：取直线1: 5x- 12y+5 = 0的方向向量为±（12，5），则该直线的单位方向向量为（垒_，旦），（-丄2，-旦），13 13 13 13故答案为：（丄2,旦），（-」=，-$_）13 13 13 13【点评】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2. （3分）已知a =7-27* b =T +k7，且轨与?的夹角为锐角，贝V实数k的取值范围是（-8,- 2）U （- 2, _）.£【分析】根据两向量的夹角为锐角知0且八1・不共线，由此求出k的取值范围.【解答】解：;b = i +k7，且金与t■的夹角为锐角，•••「？1・=1 - 2k>0,解得k v—,又.：、I，不共线，••• k z- 2,•实数k的取值范围是（-8,- 2）U （- 2,二）.故答案为：（-8,- 2）U （- 2,寺）.【点评】本题考查了平面向量数量积与夹角的应用问题，是基础题.3. （3分）若直线l过点［丄「；，且与直线■ :■- 的夹角为——，则直线l的方程是x=- 2，或x+ 「:y- 1 = 0 .I 分析】先求出直线m 的倾斜角，再根据直线l 和直^m 夹角为一，可得直线］的倾斜 角，进而得到直线I 的斜率，从而求得直线I 的方程.【解答】解：•••直线I 过点正；,且与直线-1 = 0,故答案为： x =- 2，或 x+ :■:y - 1 = 0.【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，属于基础题. 4. （ 3分）若直线I : y = kx - .「:与直线2x+3y - 6= 0的交点位于第一象限，则直线角的取值范围是【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的 坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到 k 的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k ,根据正切函数图象得到倾斜角的范围.解得：k >故答案为：（寻*）. 且直线m1 =V3 V33设直直线 I 的倾斜角为0,贝y 0=7T 丄兀 7T __ + __ = ___ 6故直线m 2 的斜率不存在，或直线 m 的斜率为ta —— 67T T= -ta 」-,3，或0=n+ (- )="故直线I 的方程为x =- 2,或y - . ■:=-_（x+2），即直线l 的方程为x =- 2，或 x+ 一 ■: yI 的倾斜【解答】解：联立两直线方程得:2x+3y-6=0 ②'将①代入②得：x =3V3+6"2+3F把③代入①，求得y =2+3k所以两直线的交点坐标为（"2+3k因为两直线的交点在第一象限，所以得到 ek-2V32H-3k~2+3k),7T ~). 的斜率为，即直线m 的倾斜角为 设直线I 的倾斜角为0,则tan，所以0（—【点评】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标,掌握象限点坐标的特点,掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题.5. （ 3分）已知直线I : x - y - 1= 0,11： 2x - y - 2= 0.若直线12与|1关于I 对称，则|2的方程为 x - 2y - 1 = 0.【分析】先解方程组得I 与11的交点（1, 0）也在l 2上，然后在l 1上去一点（2, 2）,则该点关于I的对称点（3, 1）也在12上，用两点式即可求得 l 2的方程.在l 1上取点（2, 2）,依题意该点关于I 的对称点（3, 1）在l 2上由两点式得I 2的方程为—，化简得x -2y - 1 = 01-0 3-1故答案为：x - 2y - 1 = 0.【点评】本题考查了直线与直线关于直线对称，属中档题. 6. （ 3分）函数 护詁彳買2十［的最小值为_JT^_.【分析】利用函数的表达式，转化为 x 轴上的点与（1, - 3）, （0, 1）距离和的最小值. 【解答】解:函数门•・：：••■.=「•： i 门几I ：,「：• I -：, 就是x 轴上的点与（1,- 3）以及（0, 1）距离之和的最小值, 可得最小值为：V (0-1)莓(!_£)2=四.故答案为：.：【点评】本题考查函数的最值的求法，转化思想的应用.7. （ 3分）在厶ABC 中，D 、E 分别是 AB , AC 的中点，M 是直线 DE 上的动点，若△ ABC【分析】由三角形的面积公式，S A ABC = 2S ^MBC ，则S A MBC =—，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则H 「2,利用导数求得函数的单调性， 即可求得则m 「2的最小值;【解答】联立 p _y_1=°解得产[2i-y-2=01 y=01 , 0)解: 所以三条直线的交点为（方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得 '+ .：'1 2的最小值.【解答】解：••• D 、E 是AB 、AC 的中点, • A 到BC 的距离=点 A 到BC 的距离的一半,• S ^ABC = 2S A MBC ，而△ ABC 的面积 1,则厶 MBC 的面积 S ^MBC = S AMBC =丄 I MB I X I MC I sin / BMC2•••丨 MB |X| MC 丨=MB I X I MC I cos / BMC = -」-一-叽.sinZBMCCM I 2 - 2 I BM I X I CM I cos / BMC ,显然，BM 、CM 都是正数,• I BM 丨 2+ 丨 CM 丨 2>2 丨 BM |X此时函数在（0,二）上单调减，在（• cos/ BMC 宀时 取得最小值为「， 「？ W ；2的最小值是「；,由余弦定理，I BC I 2=I BM I 2+ I I CM I,•I BC I 2=| BM I 2+ | CM I 2-2I BM |x| CM I cos /BMC = 2 Xgin/BMC-2 X EHUsinZMC ..•丽?旋+葩》cos^BMC slnZBHC 方法一：令y =: 一 —二一 +2 X sinZBMCL-2cosZBMC8必 &HC =Aco 自/BAIC sinZBHC sinZBMCsi nZ BMC ，则 y '= sin 2ZBHC，令 '= °，则 COs/ BMC 一-2 X=2, tan a=°的最小值是.?, 故答案为：.；.,1）上单调增,方法二：令y 2-cos.ZBMCsinZMC，则ysin/ BMC+cos/ BMC = 2,贝贝.严.• sin (/BMC + a)则sin (/ BMC+ a)=w 1,解得:y》.「:,【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.& ( 3分)如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1,点P在大圆上，PA与小圆相切于点A, Q为小圆上的点，^ U IJ的取值范围是[3 - ：：, 3+ ：;].【分析】建立适当的平面直角坐标系，设Q (cos a, si n a), A ( 0,- 1),取P (W3,-1),利用平面向量的坐标表示求数量积，根据三角函数的有界性求出它的取值范围.【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设Q ( COS a, sin a) , A ( 0 , —1),则p (± . 一: , - 1),不妨取p (- .「: , - 1),则1 盒=(一「：, 0) , I 1 .1=( COSa+ . : ■:, sin a+1),「•I 仁？( COS a+』-J)= :'：cos a+3 ；又COs a《-1 , 1],/. 3 -^3cos a+3 w 3+ ::,即―I的取值范围是[3 —讥,3+ 「:].故答案为：[3-^专,3+\八].-0) +寺【点评】本题考查了平面向量的数量积以及数形结合的数学思想，是基础题.9. （ 3分）已知平面上三个不同的单位向量 a., b,匚满足a.力=b ・c =二，若包为平面内的 任意单位向量，则■ _|+|2| ■ i|+3| ■ 的最大值为_. .： 1 【分析】柯西不等式可得：（|包|+|2 b •它|+3|亡*巳| ）3 4w （ 12+22+32 ）2 ~ - 2 ~■ —■■ 2(| 一 - 1| +| ・ T +3| ■ -| )=14 ((|才创2+怡■引2+|匚■ e |2),再根据向量的数量积公式计算即可.【解答】解：由柯西不等式可得：(|玄■Q |+|2b ・e |+3|匚■釦)2 w ( 12+22+32 ) (L ■ 1 '|2+| - • '|2+|' L ・|2)=14 ((| - ・』2+| ：・ 一|2+| - T 2), 由于.o ・=.「=_,•••习与W ,任与2的夹角为斗-,— 一'2 v 、2 一" —2下面求 | •- '|2+| ■ I '|2+| ■ • '| ,由于 |b ■辭=| - b ■ e |2, 不妨将 换成-l'.,设I 与 i 夹角为0,3 2 2 2则 | . - -| +| - • '| +| ' L ・| = cos-0) +寺-0 ) +cos 2 ( n -0) +cos 2 (1 2 21 2 I 2[COS ( ?cos ( n - 0) COS (2 n - 2 0) n — 2 0) +cos2 0+—-+_ cos ( 2 2 3+ 1 22(弋cos20+Jsin2 0+cos2 0-cos I 叶 2 0n- 2 0)] cos2 0- -sin2 0)==—,2• （\ ■ - .|+|2-i‘|+3| - I J）2< 14X—= 21•丨• -「|+|2 - | .\+3\ 的最大值为|故答案为：.-||【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生正确理解问题的能力，是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y= kx+b不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当I经过两个不同的整点④直线y= kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤是真命题；举反例说明命题②是假命题；假设直线l过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线I上，利用同样的方法，得到直线I经过无穷多个整点，得到命题③为真命题；当k, b都为有理数时，y= kx+b可能不经过整点，例如k=寺，b = £■，说明④是假命题.【解答】解：①令y = x+丄，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题①正确；2②若k=J$ b =伍，则直线y = J㊁经过（-1, 0）,命题②错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1, y1）和（x2, y2）,把两点代入直线I方程得：y1 = kx1, y2= kx2,两式相减得：y1 - y2= k （x1 - x2）,贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线I经过无穷多个整点，则③正确；④当k, b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k=* , b==，故④不正确；iriLi⑤令直线y=GE x恰经过整点（0, 0）,命题⑤正确.综上，命题正确的序号有：①③⑤.故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| |）2< 14X = 21「| |+|2 |+3| |的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算考查学生正确理解问题的能力是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x , y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y= kx+b不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线l 过两个不同的整点设直线l 为y= kx 把两整点的坐标代入直线l 的方程两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l 上利用同样的方法得到直线l 经过无穷多个整点得到命题③ 为真命题；当k b 都为有理数时y= kx+b 可能不经过整点例如k= b= 说明④ 是假命题.【解答】解：① 令y= x+ 既不与坐标轴平行又不经过任何整点命题① 正确；②若k= b= 则直线y= x+ 经过（- 1 0）命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1 , y1）和（x2 , y2）,把两点代入直线l 方程得：y1= kx1 y2= kx2两式相减得：y1- y2= k（x1- x2）贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个整点则③ 正确；④当k , b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=,故④不正确；⑤令直线y= x恰经过整点（0 , 0）,命题⑤正确.综上命题正确的序号有：①③⑤.故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21• | |+|2 |+3| |的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查学生正确理解问题的能力,是难题.10.（3 分在平面直角坐标系中,如果x 与y 都是整数,就称点（x, y 为整点,下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号 .①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y= kx+b不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点,当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线l 过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l 上,利用同样的方法, 得到直线l 经过无穷多个整点,得到命题③ 为真命题；当k, b 都为有理数时, y= kx+b 可能不经过整点, 例如k= , b= ,说明④ 是假命题.【解答】解：①令y=x+ ,既不与坐标轴平行又不经过任何整点,命题① 正确；②若k= , b= ,则直线y= x+ 经过（- 1 , 0 ,命题② 错误；③设y= kx 为过原点的直线,若此直线I 过不同的整点（x1, y1 和（x2, y2 , 把两点代入直线I方程得：y1=kx1, y2= kx2,两式相减得：y1- y2= k（x1- x2 ,则（x1- x2, y1- y2也在直线y=kx 上且为整点,通过这种方法得到直线I 经过无穷多个整点,则③ 正确；④当k, b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=，故④不正确；⑤令直线y= x恰经过整点（0, 0），命题⑤正确.故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| |）2< 14X = 21综上,命题正确的序号有：①③⑤.• | |+|2 |+3| |的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算考查学生正确理解问题的能力是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x , y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线l 过两个不同的整点设直线l 为y= kx 把两整点的坐标代入直线l 的方程两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l 上利用同样的方法得到直线l 经过无穷多个整点得到命题③ 为真命题；当k b 都为有理数时y= kx+b 可能不经过整点例如k= b= 说明④ 是假命题.【解答】解：① 令y= x+ 既不与坐标轴平行又不经过任何整点命题① 正确；②若k= b= 则直线y= x+ 经过（- 1 0）命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1 , y1）和（x2 , y2）,把两点代入直线l 方程得：y1= kx1 y2= kx2两式相减得：y1- y2= k（x1- x2）贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个整点则③ 正确；④当k , b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=,故④不正确；⑤令直线y= x 恰经过整点（0 0）命题⑤ 正确.故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21综上命题正确的序号有：①③⑤.故答案为：①③⑤.•（\ \+\2 \+3\ \）2w 14X = 21• \ \+\2 \+3\ \的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生正确理解问题的能力，是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数，则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线I 经过无穷多个整点，当且仅当I 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线I 过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线I 上，利用同样的方法，得到直线I 经过无穷多个整点，得到命题③ 为真命题；当k， b 都为有理数时，y= kx+b 可能不经过整点，例如k= ，b= ，说明④ 是假命题.【解答】解：① 令y= x+ ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题① 正确；②若k= ，b= ，则直线y= x+ 经过（- 1 ，0），命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1, y1）和（x2, y2）,把两点代入直线I 方程得：y1=kx1，y2= kx2，两式相减得：y1- y2= k（x1- x2），贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线I 经过无穷多个整点，则③ 正确；④当k， b 都为有理数时，y=kx+b 可能不经过整点，例如k= ，b= ，故④ 不正确；⑤令直线y= x恰经过整点（0, 0）,命题⑤正确.故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21综上，命题正确的序号有：①③⑤.• | |+|2 |+3| |的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查学生正确理解问题的能力,是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数,则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线I 经过无穷多个整点,当且仅当I 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线I 过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线I 上,利用同样的方法, 得到直线I 经过无穷多个整点,得到命题③ 为真命题；当k, b 都为有理数时, y= kx+b 可能不经过整点, 例如k= , b= ,说明④ 是假命题.【解答】解：①令y=x+ ,既不与坐标轴平行又不经过任何整点,命题① 正确；②若k= , b= ,则直线y= x+ 经过（- 1 , 0）,命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1, y1）和（x2, y2）,把两点代入直线I 方程得：y1=kx1, y2= kx2,两式相减得：y1- y2= k（x1- x2）,贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线I 经过无穷多个整点,则③ 正确；故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21④当k, b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=，故④不正确；⑤令直线y= x 恰经过整点（0, 0）,命题⑤ 正确.综上,命题正确的序号有：①③⑤.• | |+|2 |+3| |的最大值为故答案为： .【点评】本题考查平面向量的数量积运算考查学生正确理解问题的能力是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x , y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线l 过两个不同的整点设直线l 为y= kx 把两整点的坐标代入直线l 的方程两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l 上利用同样的方法得到直线l 经过无穷多个整点得到命题③ 为真命题；当k b 都为有理数时y= kx+b 可能不经过整点例如k= b= 说明④ 是假命题.【解答】解：①令y = x+ ,既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题①正确；②若k= , b = ,则直线y = x+ 经过（-1, 0）,命题②错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1 , y1）和（x2 , y2）,把两点代入直线l 方程得：y1= kx1 y2= kx2两式相减得：y1 - y2= k （x1 - x2）,贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个整点则③ 正确；故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21④当k , b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=,故④不正确；⑤令直线y= x 恰经过整点（0 0）命题⑤ 正确.综上命题正确的序号有：①③⑤.故答案为：①③⑤.•（\ \+\2 \+3\ \）2< 14X = 21• \ \+\2 \+3\ \的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生正确理解问题的能力，是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数，则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线I 经过无穷多个整点，当且仅当I 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线I 过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线I 上，利用同样的方法，得到直线I 经过无穷多个整点，得到命题③ 为真命题；当k， b 都为有理数时，y= kx+b 可能不经过整点，例如k= ，b= ，说明④ 是假命题.【解答】解：① 令y= x+ ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题① 正确；②若k= ，b= ，则直线y= x+ 经过（- 1 ，0），命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1, y1）和（x2, y2）,把两点代入直线I 方程得：y1=kx1，y2= kx2，两式相减得：y1- y2= k（x1- x2），贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线I 经过无穷多个整点，则③ 正确；④当k， b 都为有理数时，y=kx+b 可能不经过整点，例如k= ，b= ，故④ 不正确；⑤令直线y= x恰经过整点（0, 0）,命题⑤正确.故答案为：①③⑤.综上，命题正确的序号有：①③⑤.故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21• | |+|2 |+3| |的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查学生正确理解问题的能力,是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x, y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数,则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线I 经过无穷多个整点,当且仅当I 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线I 过两个不同的整点，设直线I为y= kx,把两整点的坐标代入直线I的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线I 上,利用同样的方法, 得到直线I 经过无穷多个整点,得到命题③ 为真命题；当k, b 都为有理数时, y= kx+b 可能不经过整点, 例如k= , b= ,说明④ 是假命题.【解答】解：①令y = x+ ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，命题①正确；②若k= , b= ,则直线y= x+ 经过（- 1 , 0）,命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1, y1）和（x2, y2）,把两点代入直线I 方程得：y1=kx1, y2= kx2,两式相减得：y1- y2= k（x1- x2）,贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线I 经过无穷多个整点,则③ 正确；④当k, b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=，故④不正确；故答案为：①③⑤.•••（||+|2 |+3| | ）2w 14X = 21⑤令直线y= x 恰经过整点（0, 0）,命题⑤ 正确.综上,命题正确的序号有：①③⑤.• | |+|2 |+3| |的最大值为故答案为：.【点评】本题考查平面向量的数量积运算考查学生正确理解问题的能力是难题.10. （3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x , y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤ （写出所有正确命题的编号） .①存在这样的直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与 b 都是无理数则直线y= kx+b 不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y= kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线.【分析】举例说明命题①⑤ 是真命题；举反例说明命题② 是假命题；假设直线l 过两个不同的整点设直线l 为y= kx 把两整点的坐标代入直线l 的方程两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l 上利用同样的方法得到直线l 经过无穷多个整点得到命题③ 为真命题；当k b 都为有理数时y= kx+b 可能不经过整点例如k= b= 说明④ 是假命题.【解答】解：① 令y= x+ 既不与坐标轴平行又不经过任何整点命题① 正确；②若k= b= 则直线y= x+ 经过（- 1 0）命题② 错误；③设y= kx为过原点的直线，若此直线I过不同的整点（x1 , y1）和（x2 , y2）,把两点代入直线l 方程得：y1= kx1 y2= kx2两式相减得：y1- y2= k（x1- x2）贝卩（x1- x2, y1- y2）也在直线y= kx上且为整点，通过这种方法得到直线l 经过无穷多个整点则③ 正确；④当k , b都为有理数时，y = kx+b可能不经过整点，例如k= , b=,故④不正确；故答案为：①③⑤.。