柱面和锥面PPT演示课件

M0M v r v
3.例 求半径为2，对称轴为 x y z 的圆柱面
的方程.
23
解：直线l0过点M0 (0, 0, 0), 其方向向量为 v(1, 2,3)
设M(x,y,z)为柱面上任一点，则柱面方程为：
M0M v 2 v
化简得：13x2 10 y2 5z2 4xy 12 yz 6zx 56 0
M0 ( x0 , y0 , z0 )，准线C的方程为
F ( x, y, z) 0, G( x, y, z) 0.
求这个锥面的方程.
点 M(x, y, z) 在此锥面上的充分必要条件是：M
在一条母线上，即，准线上有一点 M1(x1 , y1 , z1 ) 使得 NhomakorabeaM1
在直线
M
0
M
上.
F
方程为
F ( x, y, z) 0, G( x, y, z) 0.
求这个柱面的方程.
点 M(x, y, z)在此柱面上的充分必要条件是 M在某
一条母线上，即，有准线C 上一点 M0 (x0 , y0 , z0 )使得 M 在过 M0 且方向为 v 的直线上（如图3.7）.
因此，有
F (x0 , y0 , z0 ) 0,
y0 y0

( (
y y

(
x1,
y1
,
z1
)

0,
因此，有
Gx1(x1x, 0y1,
z1) 0, (x x0 )u,

y1

y0

(y

y0 )u,
消去 x1 , y1 , z1 得 z1 z0 (z z0 )u.
F( G(
x0 x0

( (
x x

x0 x0
)u, )u,
特别地，若圆柱面的半径为r，对称轴为z轴，
则这个圆柱面的方程为
x2 y2 r2.
4.点M 的柱面坐标与它的直角坐标的关系是:
x r cos , r 0,

y

r
sin
,0



2
,
(3.11)
z u,
u .
2.3 柱面方程的特点
1. 定理3.1 若一个柱面的母线平行于z轴（或x 轴，或y轴），则它的方程中不含z（或x，或y）； 反之，一个三元方程如果不含z（或x，或y）， 则它一定表示一个母线平行于z轴（或x轴，或轴 y）的柱面.
证明：柱面的母线平行于z轴，故
柱面的每条母线必与xOy平面相 交，从而准线C方程可设为：
f (x, y) 0

z0
点M在此柱面上的充要条件是：存在准线C上的一点
M0(x0,y0,z0)，使得M在过M0且方向为v(0,0,1)的直线
上，从而有： f (x0 , y0 ) 0

z0 0 x x0

y y0
z z0 u
消去x0,y0,z0得：

f
(x, y) zu
0
由于u可取任意值，故柱面方程为：f (x, y) 0
反过来，任给一个不含z的三元方程g(x,y)=0，我们 考虑以曲线C’
g(x, y) 0

z0
为准线，以z轴为母线方向的柱面，由以上讨论知， 该柱面的方程为
1.圆柱面的准线可取成一个圆C ，它的母线方向
与准线圆垂直. 2. 圆柱面有一条对称轴 l ，圆柱面上每一个点 到轴 l 的距离都相等，这个距离称为圆柱面的半 径.
3. 若圆柱面的半径为r，母线方向v(l,m,n)，以及圆
柱面的对称轴l0经过 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 此时柱面方程为：
柱面的方程.
3. 如果给的是准线C 的参数方程
x f (t),

y

g (t ),
a t b.(3.8)
z h(t),
则同理可得柱面的参数方程为
x f (t) lu,

y

g (t )

mu,
z h(t) nu,
a t b, (3.9)
u .
§2 柱面和锥面
2.1 柱面方程的建立
1.定义3.2 一条直线 l 沿着一条空间曲线C 平行移 动时所形成的曲面称为柱面. l 称为母线，C 称为
准线.
按定义，平面也是柱面.
对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一 .与每 条母线均相交的曲线均可作为准线。
2.设一个柱面的母线方向为v (l, m,，n) 准线C 的
Gx (xx0 ,0
y0
, z0 lu,
)

0,

y

y0

mu,
z z0 nu.
消去
x0 ,
y0
,
z0
， 得 GF (( xx
lu, lu,
y y
mu, mu,
z z

nu) nu)

0, ( A)
0.
再消去参数 u ，得到 x, y, z 的一个方程，就是所求
x0 =y02 +z02 x0 =2z0
x=x0 +u

y=y0
z=z0 -2u
消去参数 x0 ,y0 ,z0 , 得：
x-u=y2 + z+2u 2

x-u=2 z+2u
消去u得： 4x2 +25 y2 +z2 +4xz-20x-10z=0
2.2 圆柱面，点的柱面坐标
a2 b2
分别表示母线平行于z轴的双曲柱面、抛物柱
面（分别如图3.11、3.12）.
2.4 锥面方程的建立
1.定义3.3 在空间中，由曲线C上的点与不在C上的
一个定点 M0的连线组成的曲面称为锥面. M0称为
顶点，C称为准线，C上的点与 M0 的连线称为母线.
平面也是锥面. 锥面的准线不唯一 . 2. 设一个锥面的顶点为
4. 例 求准线为
x y 2 z 2 , x 2z,
母线垂直于准线所在平面的柱面方程.
解：由于准线所在的平面为x-2z=0，其法向量为 (1,0,-2)，而母线垂直于准线所在平面，故母线的方 向向量可取为(1,0,-2)，点M(x,y,z)在柱面上的充要 条件为：

g(x, y) 0
2.例如方程 x 2 y 2 1 0 表示母线平行于z轴的
a2 b2
柱面，它与xoy平面的交线为
x2 y2

a
2
b2
1,
z 0.
这条交线是椭圆.这个柱面称为椭圆柱面（如图
3.10）.
类似地，方程
x2 y2 1 0,
x 2 2 py 0