宁波大学科学学院 高等数学(下)期末试题

宁波大学科技学院2003/2004学年第二学期试卷解答 课程名称：高等数学A （2）（6学分）考试性质：期末统考（A 卷）

一、 单项选择题（每小题3分，共5⨯3=15分）

1、函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),(00'y x f x 与

),(00'y x f y 存在是),(y x f 在点),(00y x 连续的（ D ）

； A.充分条件而非必要条件 B. 必要条件而非充分条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分条件又非必要条件

2、设91:22≤+≤y x D ，则⎰⎰=D

dxdy y x f ),(（ C ）；

A.

⎰⎰9120)sin ,cos (rdr r r f d θθθπ B.

⎰⎰9120)sin ,cos (dr r r f d θθθπ C.

⎰⎰3120

)sin ,cos (rdr r r f d θθθπ D. ⎰⎰31

20

)sin ,cos (dr r r f d θθθπ 3、若级数∑∞=-1

)1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处

（ B ）；

A. 条件收敛

B.绝对收敛

C.发散

D.收敛性不能确定

4、微分方程x xe y y y -=++32'3"的一个特解应具有的形式（ B ）；

A. x e b ax -+)(

B. x e b ax x -+)(

C. x axe -

D. x e ax -2

5、设L 是抛物线2x y =上从点)1,1(A 到点)0,0(O 的一段弧，则

⎰=L

xydx （ A ）

； A. 41- B. 41 C. 5

2- D. 52 二．填空题（每小题3分，共6⨯3=18分）

1、 设x y u =，则=∂∂x

u （ y y x ln ），=∂∂y u （ 1-x xy ）； 2、 曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(P 处的切平面方程为（ 042=-+y x ）；

3、函数)ln(22z y x u ++=在点)1,2,1(-M 处的梯度M gradu |＝

（ →→→-+k j i 3

13261 ）； 4、设平面曲线L 为上半圆周21x y -=，则曲线积分

⎰+L

ds y x )(22＝（ π ）； 5、设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在区间],(ππ-上的定义

为⎩⎨⎧<≤<≤-=π

πx x x x f 0,00,)(,则)(x f 的傅立叶级数在π=x 处收敛于（ 2

π- ）； 6、微分方程05'2"=+-y y y 通解为（)2sin 2cos (21x c x c e y x +=）

三、计算题（一）（每小题10分，共2⨯10 = 20分）

1、设函数x

y z arctan =，求dz 。 （答案：)(122ydx xdy y x dz -+=）

2、设函数)cos ,(x y y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求 y

x z ∂∂∂2； （答案：x xf x y xf x y x f f cos cos sin sin )sin (cos "22'2"12"11--++- ）

四、计算题（二）（每小题9分，共2⨯9 = 18分） 1、计算二重积分⎰⎰D ydxdy ，其中D 由抛物线2

,y x y x =

=及直线1=y 所围成的平面闭区域。 （答案：5

1） 2、计算曲线积分⎰+--L

dy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周

22x x y -=上由点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧； （答案：6

72sin 41-） 五、计算题（三）（每小题10分，共2⨯10=20分）

1、计算曲面积分⎰⎰∑

++=dy dx z dzdx y dydz x I 333，其中∑为球面4222=++z y x 在0≥z 部分的上侧。 （答案：

π5

192） 2、求幂级数∑∞=-+1

1)1(n n x n 的收敛域，并求和函数)(x s 。

（答案：收敛域为)1,1(-，=

)(x s 2

)1(2x x --） 六、综合题（9分） 质点在变力k xy j zx i yz F ++=的作用下，由原点沿直线运动

到椭球面1222222=++c z b y a x 上第一卦限的点),,(000z y x P ，问 ),,(000z y x 取何值时，力F 作功最大，最大值是多少？ （ 答案：当3,3,3000c

z b

y a

x ===时，W 有最大值，且最

大值为 abc W 9

3max = ）