高中数学常用函数图像及性质

1.指数函数
0(>=a a y x 且)1≠a
图像：
性质：恒过定点（0,1）；
当0=x 时，1=y ；
当1>a 时，y 单调递增，当)0,(-∞∈x 时，)1,0(∈y ；当),0(+∞∈x 时，),1(+∞∈y .
当10<<a 时，y 单调递减，当)0,(-∞∈x 时，),1(+∞∈y ；当),0(+∞∈x 时，)0,1(∈y .
2.对数函数
0(log >=a x y a 且)1≠a
对数运算法则：
N M MN a a a log log log += N M N
M
a a a
log log log -= M n M a n a log log =)(R n ∈ N N a a =log （对数恒等式）
a
N
N b b a log log log =
（换底公式） 图像
x
)
1>(=a y x
性质：恒过定点（1,0）；
当1=x 时，0=y ；
当1>a 时，y 单调递增，
当)1,0(∈x 时，)0,(-∞∈y ；当),1(+∞∈x 时，),0(+∞∈y .
当10<<a 时，y 单调递减，当)1,0(∈x 时，),0(+∞∈y ；当)
,1(+∞∈x 时，)0,(-∞∈y .
指数函数和对数函数的关系：互为反函数
3.初等函数
⑴：2x y ±= 图像
2x y = ：开口向上，)0,(-∞∈x 时，),0(+∞∈y ，函数单调递减；),0(+∞∈x ，
时，),0(+∞∈y ，函数单调递增，且是偶函数。

2x y -= ：开口向下，)0,(-∞∈x 时，)0,(-∞∈y ，函数单调递增；
),0(+∞∈x ，时，)0,(-∞∈y ，函数单调递减。

)
0(>a x )
10(<<a x
性质：图像都是关于y 轴对称 ⑵：3x y = 图像
性质：R y R x ∈∈,，函数是增函数，也是奇函数 ⑶：1-=x y 图像
x
性质：R x ∈且0≠x ，R y ∈且0≠y ；函数在)0,(-∞∈x 内和),0(+∞∈x 内都是单调递减，且函数是奇函数。

⑷：2
1x y = 图像
性质：),0[,+∞∈y x ，函数为单调递增函数，且是非奇非偶函数。

x
5.三角函数
⑴：x y sin = 图像
性质：对称轴2
π
π+=k x ；对称中心)0,(πk ；函数是奇函数；周期π2=T ；
函数在区间)2
2,2
2(ππππ+-k k 上单调递增，在区间)2
32,2
2(π
ππ
π+
+k k 上单调递减。

⑵：x y cos = 图像
x
x
性质：对称轴πk x =；对称中心)0,2
(π
π+k ，函数是偶函数；周期π2=T ；
函数在区间)2,2(πππk k -上单调递增，在区间)2,2(πππ+k k 上单调递减。

⑶：x y tan = 图像
性质：对称中心)0,2
(
；函数是奇函数；周期π=T ；函数区间)2
,2
(π
ππ
π+
-
k k 内单调递增。

6.椭圆
⑴：标准方程：)0(122
22>>=+b a b
y a x 图像如下
x
性质：范围a x a ≤≤-，b y b ≤≤- 顶点：)0,(a ，)0,(a -，),0(b ，),0(b - 焦点：)0,(1c F -，)0,(2c F
准线：e
a
c a x ±=±=2
对称轴：关于x 轴，y 轴及原点对称 两轴：长轴长为a 2，短轴长为b 2 焦距：)0(2||21>=c c F F ，222b a c -= 离心率：)10(<<=e a
c e
⑵：标准方程：)0(122
22>>=+b a b
x a y 图像如下
性质; 范围：b x b ≤≤-，a y a ≤≤- 顶点：),0(a ，),0(a -，)0,(b ，)0,(b - 焦点：),0(1c F ，),0(2c F -
准线：e
a
c a y ±=±=2
对称轴：关于x 轴，y 轴及原点对称 两轴：长轴长为a 2，短轴长为b 2 焦距：)0(2||21>=c c F F ，222b a c -= 离心率：)10(<<=e a
c e
7.双曲线
⑴：标准方程：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 图像如下
性质：范围：在a x =和a x -=两条平行线的外侧，向左右两侧无限延
伸
顶点：)0,(a -，)0,(a 焦点：)0,(1c F -，)0,(2c F
准线：e
a
c a x ±=±=2
渐近线：0=±
b
y
a x 对称轴：关于x 轴，y 轴及原点对称
两轴：实轴长为a 2，虚轴长为b 2 焦距：c F F 2||21=，222b a c += 离心率：)1(>=e a
c
e ⑵标准方程：
)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 图像如下
性质：范围：在a y =和a y -=两条平行线的外侧，向左右两侧无限延
伸
顶点：),0(a -，),0(a 焦点：),0(1c F ，),0(2c F -
准线：e
a
c a y ±=±=2
渐近线：0=±
a
y
b x 对称轴：关于x 轴，y 轴及原点对称 两轴：实轴长为a 2，虚轴长为b 2 焦距：
c F F 2||21=，222b a c +=
离心率：)1(>=e a
c e
8.抛物线
⑴：标准方程：)0(22>=p px y 图像如下
性质：范围：0≥x ，+∞<<∞-y 对称轴：x 轴
顶点：)0,0( 焦点：)0,2
(p F 开口方向：向右 准线：2
p x -=
⑵：标准方程；)0(22>-=p px y 图像如下
性质：范围：0≤x ，+∞<<∞-y
对称轴：x 轴
顶点：)0,0( 焦点：)0,2(p
F -
开口方向：向左 准线：2p
x =
⑶：标准方程： )0(22>=p py x
图像如下 性质：范围：+∞<<∞-x ，0≥y
对称轴：y 轴
顶点：)0,0(
焦点：)2,0(p
F
开口方向：向上 准线：2p
y -=
⑷：标准方程：)0(22>-=p py x
图像如下
性质：范围：+∞<<∞-x ，
0≤y 对称轴：y 轴
顶点：)0,0(
焦点：)2,0(p
F -
开口方向：向下
准线：2p
y =。