趣味探究有理数域(系)构成与扩充
《数系的扩充和复数的概念》教案及说明
《数系的扩充和复数的概念》教案及说明教学目标：1.了解数系的扩充，并能够理解自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数之间的关系。
2.掌握复数的定义、运算规则和表示方法。
3.能够应用复数解决实际问题。
教学重点：1.数系的扩充和复数的定义。
2.复数的运算规则和表示方法。
教学难点：1.理解数系的扩充对于数学的意义。
2.掌握复数的运算规则和应用技巧。
教学内容：一、数系的扩充1.自然数：正整数，用于计数。
2.整数：包括正整数、负整数和0。
3.有理数：可表示为两个整数之比的数。
4.无理数：不可表示为两个整数之比的数。
5.实数：包括有理数和无理数。
6. 复数：形如a+bi的数，其中a和b为实数，i为虚数单位。
二、复数的定义和表示1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2.复数的表示：复数可以用平面直角坐标系中的点表示，a为横坐标，b为纵坐标。
3.复数的运算：复数的加减乘除法规则同实数运算，注意i的平方为-1三、复数的应用1.解方程：复数可以解决一些实数无解的方程。
2.代数表达式：复数可以简化代数表达式，并且在求根过程中十分有用。
3.物理问题：在电路、波动等问题中，复数有着广泛的应用。
教学步骤：一、引入复数的概念2.解释为什么需要引入复数。
3.引导学生构建复数概念。
二、复数的定义和表示1.讲解复数的定义和表示方法。
2.给出几个例子，让学生练习表示复数。
3.带领学生画出复数在平面直角坐标系中的位置。
三、复数的运算1.讲解复数的加减乘除法规则。
2.演示如何计算复数的运算。
3.给出一些练习题，让学生巩固运算技巧。
四、复数的应用1.解方程：举例说明复数如何解决一些实数无解的方程。
2.代数表达式：展示复数简化代数表达式的过程。
3.物理问题：讲解复数在物理问题中的应用实例。
五、综合练习和实践1.设计一些综合性的练习题，包括复数的定义、表示和运算。
2.提供一些实际问题，让学生尝试用复数解决。
《数系的扩充》高中数学选修2—2教案
数系的扩充高中数学选修2—2教案第一部分：引言数系是数学的基础，它由整数、有理数和无理数组成。
这些数形成了数轴上的无穷多个点，构成了我们熟悉的数字系统。
然而，在高中数学选修2课程中，我们将继续探索数系的扩充，进一步拓展我们的数学视野。
第二部分：综述数系在开始学习数系的扩充之前，我们需要回顾一下已经学过的数系。
整数是由正整数、负整数和零组成，它们可以进行加、减和乘法运算。
有理数则包括整数和分数，可以进行除法运算。
无理数是不能表示为两个整数之比的数，例如π和√2。
第三部分：实数系的扩充实数系是数学中最基本的数系，它包括了整数、有理数和无理数。
然而，实数系仍然存在一些限制。
为了解决这些限制，数学家们提出了一些数系的扩充。
1. 复数复数是实数系的扩充，它由实数和虚数构成。
虚数定义为负数的平方根，记作i。
复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。
复数可以进行加、减、乘和除的运算。
2. 球面数系球面数系是通过在实数系上添加了无穷远点来扩充实数系的。
它用来描述三维空间中的点和向量，常用于几何学和物理学的研究中。
3. 四元数四元数是一种更为复杂的数系扩充，它由实数和虚数构成。
四元数可以表示为a+bi+cj+dk的形式，其中a、b、c和d为实数部分和虚数部分。
四元数可以进行加、减、乘和除的运算，被广泛应用于计算机图形学和机器人学领域。
第四部分：数系扩充的应用数系的扩充不仅仅是数学理论上的概念，它们在实际生活和科学研究中具有重要的应用价值。
1. 复数的应用复数在电路分析、信号处理和量子力学等领域中得到广泛应用。
例如，复数可以表示交流电路中的电压和电流，通过复数运算可以方便地计算电路的各种参数。
2. 球面数系的应用球面数系可以用来描述天体运动和地球的形状。
例如，使用球面数系可以计算天体的位置和速度，以及地球上各地的经纬度。
3. 四元数的应用四元数在计算机图形学和机器人学领域中起着重要作用。
例如，使用四元数可以进行三维物体旋转的运算，通过四元数插值可以实现平滑的物体动画效果。
精心设计问题打造高效课堂--以“数系的扩充”教学为例
数学教学通讯（中等教育）
投稿邮箱：sxjk@
精心设计问题 打造高效课堂 —— —以“数系的扩充”教学为例
梁家斌 江苏金湖中学 211600
摘 要：“数系的扩充”是“复数”这章的重点内容,具有承前启后的作用. 本节课的学习,一方面让学生回
谊
忆、归纳数的概念的发展和数系扩充的过程,感悟数的概念产生于实际需求与数学内部的矛盾,感
(上接第 3 页) 有了这样流畅的对话,学生就可以
很快解决问题. 5. 与自己交流重在提升学生形成
完备认知结构﹑完善思维能力 所谓与自己交流是指学生通过在
学习过程中的反思﹑整理,达到形成条 理化的思维能力和完备的认知结构,这 就是所谓的“学之道在悟”. 目前,这个 环节是数学教学中最薄弱的一环,但它 却是数学学习活动的最重要的环节. 由于数学对象的抽象性﹑数学活动的探 索性﹑数学推理的严谨性和数学语言的 特殊性,决定了正处于思维发展阶段的 中学生不可能一次性地直接把握数学 活动的本质, 必须要经过多次反复探 究﹑深入思考﹑自我调整,即坚持反思性 数学学习,才可能洞察数学活动的本质 特征.
C. 说明： ①复数通常用z表示, 即z=a+bi(a,
b沂R),其中a,b分别叫做复数z的实部与 虚部；
②当且仅当b =0时,z 是实数a；当b ≠ 0时,z叫做虚数,特别地,当a=0,b≠0时, z=bi叫做纯虚数.
(3)复数的分类
复 数 z =a +bi (a,b 沂R)
﹛ ﹛ 实数(b=0)
中 等 教 教 师谊
受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系,体会学习新知的必要性和合理性；另一方面,让 学生理解复数的有关概念,掌握复数相等的充要条件,为今后的学习奠定基础.
探究数系扩充的历史背景——高中数学选修2—2教案
探究数系扩充的历史背景——高中数学选修2—2教案。
在数学的发展史上，数系扩充的历史可以追溯到古代。
在古希腊时期，数学家对有理数的存在性提出了质疑。
在他们看来，例如 1/2 + 1/3 = 5/6 与0.5 + 0.333… = 0.833...是两种不同的表示方式，因为前者是一个有理数，而后者是一个无限不循环小数。
这导致数学家们对有理数的完备性感到不满意，因此他们开始探索实数的概念。
在更早的中国，老子、庄子等哲学家就曾经对无穷、零的问题进行过深刻思考，而这种思考也间接激励了中国数学家对无理数的探究。
中国的“The Nine Chapters on the Mathematical Art”和“抵算”记录了对无理数的一些探究，以及计算无理数的方法。
对实数的探究首先涉及到了无理数，无理数的概念来源于古希腊的勾股学派。
而他们置疑的有理数完备性问题一直到十九世纪初才得到了合理的解决。
十八世纪末，欧拉和高斯在考虑代数方程时，发现了复数的概念。
复数的发现是数系扩充的一次重要里程碑，促进了代数学的快速发展。
对实数的进一步完善可以追溯到十九世纪，这时候数学家们已经开始研究无限级数，几何学和分析学知识已经得到了快速发展。
然而，当数学家们尝试处理无限级数时，发现了一个十分尖锐的问题。
虽然有理数可以表示成有限小数或有限分数，但是大部分的无限级数所得到的结果并不能表示成有限的小数或分数。
直到十九世纪初，克尔曼和韦尔斯托拉恩提出了连续统的概念，从而使数系得到了进一步的扩充。
在现代数学中，有无数个数系。
为了使数学理论得到更加完善地描述，数学家们也在不断探索新的数系。
例如有更抽象的群和环这些代数学的数系，还有如实数、复数、无理数等等常见的数系。
数学的发展中数系扩充的历史是一个不可逆转的进程，数学家们为了解决内部一些问题或者为了得到最优的解法，就必须在原有的数学基础上，不断地拓展、研究和修正，使得数学理论变得更加完善和实用。
只有不断地研究和探究数系的扩充，才能使得数学在各种领域中得到更全面的应用，更好地促进人类的发展进步。
数系的扩充ppt课件
复数的概念
精选编辑ppt
1
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
精选编辑ppt
23
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
精选编辑ppt
24
运算法则.
精选编辑ppt
4
数集扩充到整数集
精选编辑ppt
5
分数（有理数）
❖ 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
精选编辑ppt
6
数集扩充到有理数集
精选编辑ppt
7
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
精选编辑ppt
18
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1 i4n1 i
i i4n2 -1 i4n3
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 . 精选编辑ppt
14
数系的扩充 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
数系的扩充
数系的构造与逐步扩充：自然数系——整数系和分数系——实数系——复数系从自然数到有理数，两个方向的需求：（1）作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、体积等能任意细分的量：度量单位——分数单位——分数。
问题1：为什么把叫做“有理数”？“有理”在哪里？——因为它的加法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的规律！只要我们按照如下定义行事bd bc ad d c b a +=+，bd ac d c b a =⋅，1=a a ，b a bc ac =。
在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即交换律、结合律、分配律等都成立。
问题2：为什么不把加法定义为db c a d c b a ++=+？ 逻辑上允许，但从创造一个恰当的度量工具的角度看，没有意义。
例如，422121=+，从度量的角度看是不合适的。
（2）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的“逆运算”不能通行。
为此，需要引进符号0以及―1，―2，―3，……，并定义a ＜b 时，a －b ＝－(b －a )，以及在“使算术运算的运算律保持不变”的原则下，定义(－1)×(－1)＝1。
问题3：为什么不是(－1)×(－1)＝－1？与引入0和负整数的数学需求类似，分数的引进使得除法消除了障碍：定义符号ba ，称为分数，它服从b ×b a =a （b ≠0）。
这样，全体有理数——整数和分数、正数和负数——的纯算术意义就清楚了。
在这一扩展了的数的范围内，不仅形式上的运算律成立，而且保证加、减、乘、除的封闭性——这个封闭的数的范围叫做域。
上述数的范围的扩充过程，反映了数学推广过程的一个重要特性——使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。
非常幸运，从自然数到有理数的这一推广，完全满足了用数来表示度量结果的实际需要。
问题4：有理数有多少个？从度量长度中得到启发，引进数轴的概念，可以用数轴上的点表示任意有理数。
借此可以容易地证明：有理点在数轴上是稠密的。
数系的扩充数学史ppt课件
BD2 2AB2
BD2= 2
BD = ？
10
复数的发展史
虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时 是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但 这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究: 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意 大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年 开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡 辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种 “虚幻之数”取了一个名字——虚数．
11
但是又过了140年，欧拉12 还是说这种数只是存 在于“幻想之中”，并用 （imaginary，即 虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学 家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这
种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作 用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系 的复平面上的点表示复数 ，使复数有了立足
系中量的不同意义 而产生的.我国三国
时期数学家刘徽 （公元250年前后）
首先给出了负数的 定义、记法和加减 运算法则.
刘徽（公元250年前后）
5
分数（有理数）
分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类 已经对有理数有了 非常清楚的认识， 而且他们认为有理 数就是所有的数.
6
无理数
无理数是“推”出来
数系的扩充(数学史)
1
计数的需要
表示相反意义的量 解方程x+3=1
测量、分配中的等分 解方程3 x=5 度量的需要 解方程x2=2
解方程x2=－1
2
自然数（正整数与零）
整数
有理数 R Q Z N
实数
数系每次扩充的基本原则：
第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立；
第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.
《数系的扩充》高中数学选修2—2教案【DOC范文整理】
《数系的扩充》高中数学选修2—2教案【目标】1.了解实数系扩充的原因和过程，理解虚单位i的概念，理解复数代数形式、实部、虚部、纯虚数、虚数等概念；2.理解复数相等概念，了解复数系与实数系的关系；3.感受数系的扩充和复数的诞生都是人类思想的创新和大解放，每次都引发对自然界更深层次的认识，推动了科学的进步.【重点】复数的诞生及其概念.复数的分类和复数相等.【难点】．虚单位i的的概念.虚单位i的第二条性质.【程序】▲1.问题情境问题1自然数集N、整数集Z、有理数集Q.实数集R之间有怎样的包含关系呢？ey:NZ，ZQ，QR,总之NZQR,.接着问：这些数是怎样产生的？ey:为了计数产生了自然数，为了表示各种具有相反意义的量产生了负数；为了测量等产生了分数为了度量正方形对角线的长产生了无理数.发现1：数集在按照某种“规则”不断扩充，数系与运算联系紧密，.人们总希望数系中的运算能够在本数系中畅通无阻.数系的每一次扩充的效果，是解决了在原有数集中某种运算受阻的矛盾，负数解决了在正数集中不够减的矛盾，分数解决了在整数中不能整除的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.接着问：数系一般按照什么样的“规则”扩充？ey:“规则”就是在原有数系的基础上“添加”新的数.▲2.实数系也面临着问题数系扩到实数系R以后，因为没有一个实数的平方等于－1.问题：这表明什么运算在实数系R中不能畅通无阻？从方程的观点看，像x2=－1这样的方程在实数系R还是无解的.让我们尝试来克服这个矛盾.▲3.大胆类比、解放思想评：自然数N中“添加”新数-1，就“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”.在实数中引入了一个新数，也能取到这种效果吗？▲4.严格定义、理清思路我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定它的平方等于-1，即;实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.这就规定了虚数单位i的两条本质属性.▲5.“添加”虚数单位，诞生新的数系i与实数相乘，得形如bi的数，当b≠0时，称bi为纯虚数.这就“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”形如bi的数与实数相加，得形如的数叫复数.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母c表示复数通常用字母z表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式▲6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系对于复数，当且仅当b=0时，复数是实数；当b≠0时，复数叫做虚数；当b≠0且=0时，叫做纯虚数；当且仅当=b=0时，z=+bi就是实数0.▲7.例题解析例1请说出复数4，0，，6的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？由学生回答：例2实数取什么数值时，复数z=+i是:实数？虚数？纯虚数？【分析】因为∈R，所以+1，－1都是实数，由复数z=a+bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定的值.解：当－1=0，即=1时，复数z是实数；当－1≠0，即≠1时，复数z是虚数；当=0，且－1≠0时，即=0时，复数z是纯虚数.▲8.复数相等的定义相等的复数定义：设a，b，c，d∈R，a＋bi＝c＋di.若,.例3.已知+i=+i，其中x，y∈R，求x与y的值.解：根据复数相等的定义，得，所以x=3，y=－2复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.▲9.小结通过在实数中引入虚单位,我们将实数集扩张成了复数集.认识了虚单位i，i具有两条本质属性.理解了实数集扩充到复数集的原因和过程.知道了a＋bi成为实数、虚数、纯虚数的条件.简单地说：b＝0a＋bi为实数；b≠0a＋bi为虚数；b≠0，a＝0a＋bi是纯虚数．｛复数｝＝｛实数｝∪｛虚数｝理解复数相等的定义.▲10.作业设计数集的文氏图，用它来表示实数、虚数、纯虚数等数集的包含关系.下面正确的是2.a=0是复数z=a+bi为纯虚数的什么条件?答：必要非充分条与－1的关系:就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？答：实部是3.14，虚部是－2.易错为：实部是－2，虚部是3.14！复数集与其它数集之间的关系：NZQRc.。
数学31数系的扩充和复数的概念ppt课件新人教A版选修22
(4) b<0；
例题讲解
例 4．实数 m 取什么值时, 复平面内表示 复数 Z=(m2−8m+15)+(m2−5m−14)i 的点
(1)位于第四象限？ (2)位于第一、三象限？ (3)位于直线 y=x 上？
例题讲解
例 5．在复平面内,O是原点,向量OA对应 的复数是2 i。
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B,
复数的代数形式: z a bi (a R, b R) 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等 a bi c di
a c
b d
复数的几何意义
例题讲解
例 1．说出图中复平面内各点所表示的复数 (每个小正方格的边长为 1)
y
G
C
A
FO E
x
H
例题讲解
例 2．已知复数2 i,2 4i,2i,4, 3 4i 2
B．第二象限 D．第四象限
课堂练习
2．设复数 z = a + bi (a，b∈R)和复平面上 的点 Z (a，b)对应，a，b 必须满足什么条 件，对能使点 Z 位于： （1）实轴上？（2）虚轴上（不含原点）？ （3）上半平面（含实轴）？ （4）左半平面（不含虚轴）？
把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行
四则运算时，原有的加法与乘法的运算率 (包括交换率、结合率和分配率)仍然成立.
把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行
四则运算时，原有的加法与乘法的运算率 (包括交换率、结合率和分配率)仍然成立.
课堂练习
1．复数 z = – 2 (sin100°– icos100°) 在复平
《数系的扩充和复数的概念》 讲义
《数系的扩充和复数的概念》讲义一、数的发展历程在人类文明的漫长历史中，数的概念不断发展和扩充。
从最初的自然数，用于简单的计数，如 1、2、3 等，到为了满足减法运算的需要引入了整数，包括负整数、零和正整数。
当整数无法满足除法运算时，有理数便应运而生。
有理数可以表示为两个整数的比值，如分数 1/2、－3/4 等。
然而，有些数量关系用有理数仍无法精确表示，比如边长为 1 的正方形的对角线长度。
为了解决这类问题，无理数出现了，如√2、π 等。
有理数和无理数共同构成了实数。
实数可以直观地理解为在数轴上能够表示出来的所有点所对应的数。
二、数系扩充的必要性尽管实数在大多数情况下已经能够满足我们的需求，但在解决一些数学问题和实际应用中，仍存在局限性。
例如，在求解方程 x²＋ 1 ＝ 0 时，在实数范围内没有解。
但从数学的逻辑完整性和某些物理、工程等领域的实际需求出发，我们希望能够找到一种数，使得这个方程有解。
这就促使我们对数系进行进一步的扩充，引入复数的概念。
三、复数的定义形如 a ＋ bi（a、b 均为实数，i 为虚数单位，且 i²＝－1）的数称为复数。
其中，a 被称为实部，b 被称为虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 就变成了实数 a，这表明实数是复数的特殊情况。
四、复数的表示方法1、代数形式复数最常见的表示形式就是代数形式 a ＋ bi。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以 x 轴为实轴，y 轴为虚轴，复数 a ＋ bi 可以用点（a, b) 来表示。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
3、三角形式复数还可以表示为r(cosθ ＋isinθ) 的形式，其中 r ＝√（a²＋ b²) 称为复数的模，θ 为复数的辐角。
五、复数的运算1、加法设两个复数 z₁＝ a₁＋ b₁i，z₂＝ a₂＋ b₂i，则它们的和为 z₁＋ z₂＝（a₁＋ a₂) ＋（b₁＋ b₂)i。
【课程】数学史与数学文化_专题一 数系的扩充
【课程】数学史与数学文化_专题一数系的扩充?教学目标与教学指导：具有一定性质的数放在一起构成了数系，通常我们所熟知的数系有：自然数系，整数系，有理数系，实数系和复数系，这些数系是如何扩充的呢？希望学员通过本专题的学习了解数系的扩充过程，体会数学与社会发展之间的相互关系。
一、计数与计数法“数”的概念萌发于早期人类对事物的计数，结绳与书契可能是所有早期文明中最主要的计数方法.中国古书《周易?系辞下传》载称: “上古结绳而治,后世圣人易之以书契”。
关于结绳记事方法，郑康成(127-200)注释称: “事大，大结其绳；事小，小结其绳。
结之多少，随物众寡。
”法国学者白尔蒂尤在其《人类学》中曾经描述了美洲秘鲁和亚洲琉球的土著民族的结绳方法。
秘鲁土著人以条索编织成绳。
于其上结结为标，表示备忘之意。
书契或称木刻，即刻木为符，以志事。
原在没有文字的时代用于记数，后广为契约等多种用途。
世界各地很多土著民族至今仍在使用结绳与书契。
随着文字的出现，人类开始用一些文字符号按照一定的规则表记数字，这些规则就是进位制和符号布列方式，它们是记数法的要素。
在世界各地文明中，形成了各自独特的数字符号体系和记数方法,例如：简单分群数系、乘法分群数系、字码数系、定位数系（位值制）等。
我们今天通常使用的记数方式就是10进制定位系统，与其它记数方法相比，它在计算上有明显的优势，被誉为人类社会进步的基础。
二、分数与小数的历史分数的产生与人类早期社会的分配以及交易活动有关，原始社会的分配情况与分数使用情况，因未留下文字性资料，我们只能作出一些猜测。
各民族的早期文献中均可以见到有关分数的文字记录。
如在我国的甲骨文和金文资料中，可以找到“分”、“半”等与分数有关的文字。
到了西汉时期，数学专著《算数书》与《九章算术》还给出了分数的定义:实如法而一，不满法者，以法命之。
同时还给出了分数的运算法则，如“合分术”“课分术”“齐同术”“约分术”“减分术”“乘分术”“经分术”“通分术”“通其率术”等。
关于数域(系)扩充的有趣探究
关于数域(系)扩充的有趣探究摘要：本文从实数完备性及数域扩充方面谈谈“趣味数域”，以激发高校大学生对更高深数学的学习兴趣及研究兴趣。
关键词：实数完备性数域扩充实数自然数在小时候我们学数系都从数手指头开始，这就是自然数系，在自然数系N之后，有正有理数系（分数），然后推广到负数，因此有了整数全体，从整数再推广就是所有的有理数。
这要如何介绍呢？一开始先有自然数，然后有分数，分数就是因为除不尽而产生的，也可说是为了要解如5某=3的方程式而产生。
负数的出现是因为要解如某+7=2的方程式，亦即是要作2-7=-5的运算。
因为要使运算成为可能就必须慢慢地把数系扩展，不扩展就没有办法，这是发展整个数系的一个动机。
在运算上，从加减乘除一直做到有理数就完备了，因为加减乘除在有理数中都可以自由运算下去。
为什么会出现R？是因为某=2这个方程式在有理数系中没有解，可见有理数系是不够用的，所以出现了无理数；当然也因为某+1=0在实数系中不可解，所以出现了i，由此我们可以扩展到复数系。
在从N扩展到有理数系Q是为了要使四则运算不受限制，解方程式也是一个很重要的原因。
但由Q再扩展下去是否还是为了解方程式呢？其实无理数的出现，不只是为了代数上的动机，在数学上还有其他种种理由。
在初中，你可能用纯粹代数的理由来扩展数系，到了高中就不是了。
到了高中，研究种种函数，如三角函数，指数、对数函数等，这是一个重要的主题：但在高中，还有一个重要的主题就是解析几何，即笛卡尔与费马所发明的坐标几何：用坐标的方法来做几何问题，所有几何问题都用坐标来解。
这个办法与今天所谈的题目有密切的关系，它是数与图形的配合，也就是将代数与几何结合在一起。
在平面解析几何中用两个数（某，y）来表示一点，立体解析几何用三个数（某，y，z）来代表一点，将来可以推广到n维空间，但最基本的还是在一维空间的图形，因为两维、三维……均可类推，一维空间的情形牵涉很广，如测量问题。
它与实数的完备性有密切的关系。
数学选修1-2互动课堂 3.1数系的扩充 含解析 精品
互动课堂疏导引导1.复数概念的理解及两复数相等的条件引进了虚数单位i 之后，对于方程x 2+1=0，当x=i 时，x 2+1=0成立，因此i 是方程x 2+1=0的一个根.由于i 可以与实数进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，于是便有了形如a+bi(a 、b ∈R )的数——复数.复数包括实数和虚数.两个复数相等，是指这两个复数的实部和虚部分别相等.一般地,两个复数只能说它们相等或者是不相等，而不能比较它们的大小，只有当两个复数都是实数时，才能比较它们的大小.2.各数集(复数集、实数集、虚数集、纯虚数集)之间的关系上述四种数集之间的关系可用图来表示.如图，3.数的发展过程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠≠≠=≠⎪⎩⎪⎨⎧<===>==∈+)0,0()0,0()0()0,0()0,0()0,0()0(),(b a b a b a b a b a b b R b a bi a 非纯虚数纯虚数虚数负实数零正实数实数复数 4.注意问题本节内容概念较多,在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系,特别要明确,实数也是复数,要把复数与虚数加以区别,对于纯虚数bi(b≠0,b ∈R )不要只记形式,认为形如bi 的数就是纯虚数,要注意b ∈R ,且b≠0.复数z=a+bi(a 、b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的.两个复数相等的充要条件是复数问题转化成实数问题的主要方法,要很好地掌握.要明确一个复数等式可得到两个实数等式这一性质,并在解题中会应用它.对“两个复数只能说相等或不相等,不能比较大小”的说明：(1)根据复数相等的定义知,在a=c,b=d 两式中,只要有一个不成立,那么a+bi≠c+di.(2)“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”,都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质：①对于任意实数a 、b 来说,a ＜b,a=b,b ＜a 这三种情况有且只有一种成立;②若a ＜b,b ＜c,则a ＜c;③若a ＜b,则a+c ＜b+c;④若a ＜b,c ＞0,则ac ＜bc.规律总结1.设z=a+bi(a,b ∈R )利用复数相等转化为实数问题是解决复数问题常用的方法.2.两共轭复数在复平面内的对应点关于x 轴对称，因此，它们的和为实数，差为0或纯虚数，积为实数.3.实数的共轭复数是它本身，两纯虚数的积是实数.4.数的概念扩展为复数后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定运用了.如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等等.活学巧用例1 实数k 为何值时，复数(1+i)k 2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零? 解：由z=(1+i)k 2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k 2-3k-4)+(k 2-5k-6)i.(1)当k 2-5k-6=0时，z ∈R ，即k=6或k=-1.(2)当k 2-5k-6≠0时，z 是虚数，即k≠6且k≠-1.(3)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--06504322k k k k 时，z 是纯虚数,解得k=4. (4)当⎪⎩⎪⎨⎧=--=--06504322k k k k 时，z=0,解得k=-1. 故当k=6或k=-1时，z ∈R ；当k≠6且k≠-1时，z 是虚数；当k=4时，z 是纯虚数；当k=-1时，z=0.点评：复数z=a+bi ，a 、b ∈R 是复数的基本定义，由a 、b 的取值来确定实数、虚数和纯虚数，在解题时，关键是确定复数的实部和虚部.例2 设复数z=lg(m 2-2m-2)+(m 2+3m+2)i,m ∈R ，当m 为何值时，(1)z 是实数；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点在第二象限?解：(1)要使z ∈R ，则⎪⎩⎪⎨⎧>=++02-2m -m 023m m 22⇔m=-1或m=-2， 所以当m=-1或m=-2时，z 为实数.(2)要使z 为纯虚数，则需⎪⎩⎪⎨⎧≠++=,023m m 0,2)-2m -lg(m 22即⎩⎨⎧≠≠=-2.m -1m 1,2-2m -m 2且 ∴⎩⎨⎧-≠-≠-==.21,13m m m m 且或∴m=3.∴m=3时，z 为纯虚数. (3)要使z 对应的点位于复平面内的第二象限，则需⎪⎩⎪⎨⎧>++<0,23m m 0,2)-2m -lg(m 22即⎪⎩⎪⎨⎧>++<<023m m 12-2m -m 022⇔⎩⎨⎧->-<+<+-<<-12331311m m m m 或或 ⇔311-<<-m 或331<<+m .∴当m ∈(-1,31-)∪(31+,3)时,z 对应的点在第二象限.例3 已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i ，求实数x 、y 的值.解：∵x 、y 为实数，∴2x-1、y+1、x-y 、-x-y 为实数.由复数相等的定义知⎩⎨⎧=+=y,--x 1y y,-x 1-2x ∴⎩⎨⎧==-2.y 3,x 点评：两个复数相等时，应分清两复数的实部与虚部，然后让其实部与实部相等，虚部与虚部相等.例4 已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i ，求x 与y.解：设y=bi(b ∈R 且b≠0)，代入已知条件并整理得(2x-1)+i=-b+(b-3)i.由复数相等的条件得⎩⎨⎧==3.-b 1-b,1-2x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.23-x 4,b ∴x=23-,y=4i. 点评：一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决，在解此题时，学生易忽视y 是纯虚数这一条件，而直接得出等式⎩⎨⎧==y)--(31y,1-2x 进行求解，这是审题不细致所致.。
趣味探究有理数域(系)构成与扩充
趣味探究小学数学中数域（系）的构成与扩充世界是什么？有人说是水，有人说是气，我记得曾经有一位希腊的数学家毕达哥拉斯认为世界是“数”，虽然这个说法多少有些牵强，但在数学研究中“数系”绝对是基础的基础。
作为研究数量关系的起点，我们有责任将它把握清晰，作为一名小学数学教师，我更有责任将它趣味性的呈现给学生。
一、“有理数”名字的由来，有理数集的构成。
小学数学中研究的数指有理数，课本上没有刻意强调它的名字，但是要探究数系的构成和扩充，必须先从名字谈起，这样就可以在茫茫数域中找准它的位置，我们今天要探究的就是有理数集的构成和扩充过程，对了，我们还提到了“趣味”，那就必须从一个真实的故事谈起，有理数的名字其实来自于与它相对的“无理数”，从名字上可以这样说：先有无理数，后有有理数，这个故事是就是有关无理数，无理数顾名思义，无理、蛮横。
上文中提到了希腊著名数学家毕达哥拉斯，他有一位学生叫希帕索斯，希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不符合他老师的宇宙理论的。
如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应该等于，是一个无理数)。
更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。
因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。
毕氏本应接受这新数源。
然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证。
使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。
这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。
后来，欧几里德以反证法证明根号2是无理数。
鲁迅先生说：“悲剧就是将人生极有价值的东西，毁灭给人看”。
当人们渐渐明白除了他们所认识的数字0、自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。
这个名字反映了数学的本来面貌，但是也真实地记录了毕达哥拉斯学派中的学阀的蛮横无理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
趣味探究小学数学中数域（系）的构成与扩充世界是什么？有人说是水，有人说是气，我记得曾经有一位希腊的数学家毕达哥拉斯认为世界是“数”，虽然这个说法多少有些牵强，但在数学研究中“数系”绝对是基础的基础。
作为研究数量关系的起点，我们有责任将它把握清晰，作为一名小学数学教师，我更有责任将它趣味性的呈现给学生。
一、“有理数”名字的由来，有理数集的构成。
小学数学中研究的数指有理数，课本上没有刻意强调它的名字，但是要探究数系的构成和扩充，必须先从名字谈起，这样就可以在茫茫数域中找准它的位置，我们今天要探究的就是有理数集的构成和扩充过程，对了，我们还提到了“趣味”，那就必须从一个真实的故事谈起，有理数的名字其实来自于与它相对的“无理数”，从名字上可以这样说：先有无理数，后有有理数，这个故事是就是有关无理数，无理数顾名思义，无理、蛮横。
上文中提到了希腊著名数学家毕达哥拉斯，他有一位学生叫希帕索斯，希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不符合他老师的宇宙理论的。
如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应该等于，是一个无理数)。
更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。
因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。
毕氏本应接受这新数源。
然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑
推理推翻希帕索斯的论证。
使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。
这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。
后来，欧几里德以反证法证明根号2是无理数。
鲁迅先生说：“悲剧就是将人生极有价值的东西，毁灭给人看”。
当人们渐渐明白除了他们所认识的数字0、自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。
这个名字反映了数学的本来面貌，但是也真实地记录了毕达哥拉斯学派中的学阀的蛮横无理。
表面上枯燥乏味的数学知识，其实背后的故事也是血泪斑斑，可歌可泣，数学绝对不仅仅是一些公式、定理、符号的记录，它还是人与人、人与自然的斗争史。
小学数学范围内主要要研究是的“有理数”，它包括整数和分数，下面是有理数分类的图解：
我们通常说的自然数是正整数和零的统称，即像0、1、2、3、4…的数是自然数。
正数前面加上负号就是负数，例如-1、-2、-3、-4…。
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数叫分数，例如、、…。
小学数学中小数的比例占的也比较多，但是因为分数
都可以化成有限小数或无限不循环小数，所以分类里都以分数为代表。
二、有理数集的扩充的原由
人类最初的计数活动，起源于于对猎物和猛兽的点数，以及人群间对捕获物的分配和交换，当原始人发现两只狼逼近时，可能会伸出两个手指将这一信息传达给他的同伴，并从两只狼、两只羊、两只野果等等和两个手指之间的一一对应关系中逐渐领悟到“2”这个概念。
然后又有3,4等概念的产生。
这样，自然数的概念和人类的十个手指结下了不解之缘。
公元前4世纪的哲学家亚里士多德曾经指出：十进制的广泛使用，是由绝大多数人生有10个手指和10个脚趾这一生理特征决定的。
下面介绍下二进制数，让大家感受下不同数制之间的不同：
二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。
二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。
它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。
如下：
加法0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=10
减法0－0=0，1－0=1，1－1=0，0－1=-1，10100-1010=1010
乘法0×0=0，0×1=1×0=0，1×1=1
除法0÷1=0，1÷1=1
只有0和1两个数码，基数为二。
十进制数转化为二进制数的方法：任何一个十进制整数都可以表示成若干个2的幂的和的形式，再写成二进制数就好写了。
例如：十进制数81=64+16+1=2的6次方+2的4次方+2的0次方=二进制数1000000+10000+1=101001
二进制转十进制的方法：从最后一位开始算,依次列为第0、1、2...位第n位的数（0或1）乘以2的n次方得到的结果相加就是答案例如:01101011.转十进制:
第0位:1乘2的0次方=1
1乘2的1次方=2
0乘2的2次方＝0
1乘2的3次方＝8
0乘2的4次方＝0
1乘2的5次方＝32
1乘2的6次方＝64
0乘2的7次方＝0
1＋2＋0 ＋8＋0＋32＋64＋0＝107．二进制01101011＝十进制107 随着人们的活动范围的扩大，继而又产生了新的数学问题，比如：“半个苹果”，就不能用自然数来表示其数量，必须创造新数，人们又引进了分数…现实生活中有不足、亏欠，又产生了负数。
从数的运算了来看，任何两个自然数相加，结果仍然是自然数，我们说加法运算在自然数范围内是“通行无阻”的。
但是，任何两个自然数相减，结果却不一定是自然数，有了负数，减法运算在整个整数范围内也就没有“障碍”了。
同样，一个整数乘一个整数，结果还是整数，但是，一个整数除以另一个整数，结果不一定是整数，于是又有了分数…。
综上所述，推动数域（系）不断扩充的原由有两个，外因是社会发展的需要；内因是为了满足运算封闭性的需要：除之不尽而有分数，减之不够而有负数。
三、有理数集扩充的过程
中国是最早使用十进制数的文明古国，殷墟出土的甲骨文说明，殷商初期就已使用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等13个计数单位，即已经建立了十进非位值数制。
到了周代，又出现以算筹为计算工具的筹算方法。
表示数目一到九的算筹数码有纵横两种形式：
计数时，个位常用纵式，十位常用横式，依次纵横相间，按照从低位到高位自右向左排列。
0用空位表示。
一般地，如果相邻两个数目都是横式，或都是纵式，它们之间必要有表示0的空位。
这样，就能用
9个数码和空位表示任意大的自然数。
这是世界上最早的十进制数，也是我国数学史上最重要的成就之一。
正分数是紧接着自然数之后产生的，距今已有四千多年，但是零的符号“0”迟至公元后才在印度出现。
9世纪的印度数学家摩诃毗罗对零的运算做了完整的讨论。
这样就形成了非负有理数。
这之前，约在公元前5世纪，希腊的毕德哥拉斯的学生希帕索斯发现了无理数，但是该学派不愿意接受也不愿意使用。
至于负数，在中国的《九章算术》里就已经正式出现，其中“正负术”记载了正负数加减运算的法则。
16世纪中叶，意大利数学家卡尔达诺在《大术》一书讨论三次方程的解法时，使用了负数的平方根。
他因此享有发现虚数的荣誉。
其实新数的产生是交错出现的。
例如，在人们引进负数之前先发现了无理数。
从整体上来看，有理数集发展的历史过程大致按照以下顺序： 自然数集 正有理数集 有理数集
在小学数学教科书里，数的概念的扩充的步骤同历史过程大致接近，只是将零的引入提前了，即
自然数集
扩大的自然数集 算术数集 有理数集
一代数学大师陈省身在2002年国际数学家大会曾为青少年数学爱好者题词“数学好玩”，我希望学生们在我以后的教学过程中能认识到数学的趣味性，爱数学、好数学，那么作为科学侍女的数学工具才能学以致用。
添正分数 添负分数和零 添零 添正分数 添负数。