趣味探究有理数域(系)构成与扩充

趣味探究小学数学中数域（系）的构成与扩充世界是什么？有人说是水，有人说是气，我记得曾经有一位希腊的数学家毕达哥拉斯认为世界是“数”，虽然这个说法多少有些牵强，但在数学研究中“数系”绝对是基础的基础。作为研究数量关系的起点，我们有责任将它把握清晰，作为一名小学数学教师，我更有责任将它趣味性的呈现给学生。

一、“有理数”名字的由来，有理数集的构成。

小学数学中研究的数指有理数，课本上没有刻意强调它的名字，但是要探究数系的构成和扩充，必须先从名字谈起，这样就可以在茫茫数域中找准它的位置，我们今天要探究的就是有理数集的构成和扩充过程，对了，我们还提到了“趣味”，那就必须从一个真实的故事谈起，有理数的名字其实来自于与它相对的“无理数”，从名字上可以这样说：先有无理数，后有有理数，这个故事是就是有关无理数，无理数顾名思义，无理、蛮横。上文中提到了希腊著名数学家毕达哥拉斯，他有一位学生叫希帕索斯，希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不符合他老师的宇宙理论的。如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应该等于，是一个无理数)。更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。毕氏本应接受这新数源。然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑

推理推翻希帕索斯的论证。使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。后来，欧几里德以反证法证明根号2是无理数。鲁迅先生说：“悲剧就是将人生极有价值的东西，毁灭给人看”。当人们渐渐明白除了他们所认识的数字0、自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。这个名字反映了数学的本来面貌，但是也真实地记录了毕达哥拉斯学派中的学阀的蛮横无理。表面上枯燥乏味的数学知识，其实背后的故事也是血泪斑斑，可歌可泣，数学绝对不仅仅是一些公式、定理、符号的记录，它还是人与人、人与自然的斗争史。

小学数学范围内主要要研究是的“有理数”，它包括整数和分数，下面是有理数分类的图解：

我们通常说的自然数是正整数和零的统称，即像0、1、2、3、4…的数是自然数。正数前面加上负号就是负数，例如-1、-2、-3、-4…。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数叫分数，例如、、…。小学数学中小数的比例占的也比较多，但是因为分数

都可以化成有限小数或无限不循环小数，所以分类里都以分数为代表。

二、有理数集的扩充的原由

人类最初的计数活动，起源于于对猎物和猛兽的点数，以及人群间对捕获物的分配和交换，当原始人发现两只狼逼近时，可能会伸出两个手指将这一信息传达给他的同伴，并从两只狼、两只羊、两只野果等等和两个手指之间的一一对应关系中逐渐领悟到“2”这个概念。然后又有3,4等概念的产生。这样，自然数的概念和人类的十个手指结下了不解之缘。公元前4世纪的哲学家亚里士多德曾经指出：十进制的广泛使用，是由绝大多数人生有10个手指和10个脚趾这一生理特征决定的。下面介绍下二进制数，让大家感受下不同数制之间的不同：

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。如下：

加法0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=10

减法0－0=0，1－0=1，1－1=0，0－1=-1，10100-1010=1010

乘法0×0=0，0×1=1×0=0，1×1=1

除法0÷1=0，1÷1=1

只有0和1两个数码，基数为二。

十进制数转化为二进制数的方法：任何一个十进制整数都可以表示成若干个2的幂的和的形式，再写成二进制数就好写了。例如：十进制数81=64+16+1=2的6次方+2的4次方+2的0次方=二进制数1000000+10000+1=101001

二进制转十进制的方法：从最后一位开始算,依次列为第0、1、2...位第n位的数（0或1）乘以2的n次方得到的结果相加就是答案例如:01101011.转十进制:

第0位:1乘2的0次方=1

1乘2的1次方=2

0乘2的2次方＝0

1乘2的3次方＝8

0乘2的4次方＝0

1乘2的5次方＝32

1乘2的6次方＝64

0乘2的7次方＝0

1＋2＋0 ＋8＋0＋32＋64＋0＝107．二进制01101011＝十进制107 随着人们的活动范围的扩大，继而又产生了新的数学问题，比如：“半个苹果”，就不能用自然数来表示其数量，必须创造新数，人们又引进了分数…现实生活中有不足、亏欠，又产生了负数。

从数的运算了来看，任何两个自然数相加，结果仍然是自然数，我们说加法运算在自然数范围内是“通行无阻”的。但是，任何两个自然数相减，结果却不一定是自然数，有了负数，减法运算在整个整数范围内也就没有“障碍”了。同样，一个整数乘一个整数，结果还是整数，但是，一个整数除以另一个整数，结果不一定是整数，于是又有了分数…。

综上所述，推动数域（系）不断扩充的原由有两个，外因是社会发展的需要；内因是为了满足运算封闭性的需要：除之不尽而有分数，减之不够而有负数。

三、有理数集扩充的过程

中国是最早使用十进制数的文明古国，殷墟出土的甲骨文说明，殷商初期就已使用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等13个计数单位，即已经建立了十进非位值数制。到了周代，又出现以算筹为计算工具的筹算方法。表示数目一到九的算筹数码有纵横两种形式：

计数时，个位常用纵式，十位常用横式，依次纵横相间，按照从低位到高位自右向左排列。0用空位表示。一般地，如果相邻两个数目都是横式，或都是纵式，它们之间必要有表示0的空位。这样，就能用