高一数学不等式知识点
基本不等式知识点总结高一
基本不等式知识点总结高一基本不等式知识点总结一、不等式的定义和性质不等式是数学中表示大小关系的一种符号方法。
不等式的定义如下：若两个数a、b满足条件a>b，则称a大于b，记作a>b；若a≠b 且a>b或a<b，则称a与b之间存在不等关系。
不等式的性质如下：1. 传递性：若a>b且b>c，则a>c。
2. 对称性：若a>b，则-b>-a。
3. 相反数性质：若a>b，且c>0，则 ac>bc；若a>b，且c<0，则 ac<bc。
4. 分解性质：若a>b，且c>0，则a+c>b+c。
5. 翻转性质：若a>b，且c<0，则-a<-b。
6. 加法性质：若a>b，则a+c>b+c。
7. 乘法性质：若a>b且c>0，则ac>bc；若a<b且c<0，则ac>bc。
二、基本不等式1. 加法不等式：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数。
2. 减法不等式：若a>b，则a-c>b-c，其中c为任意实数。
3. 乘法不等式：a) 正数乘法不等式：若a>b且c>0，则ac>bc。
b) 负数乘法不等式：若a>b且c<0，则ac<bc。
4. 除法不等式：a) 正数除法不等式：若a>b且c>0，则a/c>b/c。
b) 负数除法不等式：若a>b且c<0，则a/c<b/c。
5. 绝对值不等式：a) 若|a|<b，则-a<b<a。
b) 若|a|>b，则a<-b 或 a>b。
6. 平方不等式：a) 若a>b>0，则a^2>b^2。
b) 若a<b<0，则a^2>b^2。
三、解不等式的方法1. 加减法解法：对于不等式a+c>b+c，若c>0，则原不等式成立；若c<0，则原不等式不成立。
高一数学知识点不等式
高一数学知识点不等式不等式是数学中的一个重要概念，它在高一数学学习中占据着重要的地位。
本文将讨论高一数学中的不等式知识点，包括不等式的基本概念、解不等式的方法等内容。
1.不等式的基本概念不等式是指包含不等号（>、<、≥、≤）的数学表达式。
它描述了两个数之间的相对大小关系。
在不等式中，我们称表达式的两边为左边和右边，其中，不等号左侧的表达式通常称为不等式的“左端”，不等号右侧的表达式通常称为不等式的“右端”。
2.不等式的表示形式不等式可以有多种表示形式，下面是一些常见的表示形式：- 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b为已知实系数，x为未知实数。
- 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b和c为已知实系数，x为未知实数。
- 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式，其中a、b为已知实系数，c为已知正实数，x为未知实数。
3.不等式的解集表示解不等式是指找出满足不等式条件的数的集合。
解集可以使用不等式符号表示，也可以使用区间表示。
下面是一些常见的解集表示形式：- 不等式符号表示：例如，解集{x | x>2}表示满足不等式x>2的所有实数x的集合。
- 区间表示：例如，解集(-∞, 2)表示所有小于2的实数的集合。
4.不等式的性质和运算规则不等式有一些特殊的性质和运算规则，包括以下几点：- 不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式方向不变。
- 不等式两边同时乘（除）一个正数，不等式方向不变。
- 不等式两边同时乘（除）一个负数，不等式方向改变。
- 对于绝对值不等式，需要考虑绝对值的正负情况来确定解集。
5.不等式的解法方法解不等式的方法主要包括代入法、图像法和数轴法等。
在解题过程中，我们可以运用不等式的性质和运算规则，根据具体题目的要求采取不同的解题方法。
6.不等式的应用不等式在高一数学中有广泛的应用，常见的应用场景包括以下几个方面：- 解决实际问题中的数量关系，如寻找最大值、最小值等。
高一数学不等式知识点总结
高一数学不等式知识点总结一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。
其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：AB1B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1B3 …BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。
高一数学不等式知识点总结
高一数学不等式知识点总结一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。
其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：AB1B2B3…BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1B3…BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。
高一数学不等式知识点
高一数学不等式知识点在高一数学的学习中，不等式是一个重要的内容。
不等式不仅在数学中有着广泛的应用，也为我们解决实际问题提供了有力的工具。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中不等式的相关知识点。
一、不等式的基本性质1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
比如说，5 ＞ 3 ，那么 3 ＜ 5 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
例如 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，所以 7 ＞ 3 。
3、加法性质：若 a ＞ b ，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
比如 8 ＞ 6 ，那么 8 ＋ 2 ＞ 6 ＋ 2 。
4、乘法性质：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
举个例子，若 4 ＞ 2 ，当 c ＝ 3 时，4×3 ＞ 2×3；当 c ＝－3 时，4×（－3) ＜ 2×（－3) 。
二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（若有分母）：根据不等式的性质，在不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，去掉分母。
但要注意，当乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。
2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。
3、移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项：将同类项合并，化简不等式。
5、系数化为 1 ：在不等式两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集。
例如，解不等式 2(2x 1) 3(x ＋ 1) ＜ 5 ，首先去括号得 4x 2 3x 3 ＜ 5 ，然后移项得 4x 3x ＜ 5 ＋ 2 ＋ 3 ，合并同类项得 x ＜ 10 。
三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。
高一数学不等式知识点笔记
高一数学不等式知识点笔记一、不等式的定义和性质不等式是指两个数、两个代数式或两个函数之间的大小关系，通常用不等号（<、>、≤、≥）表示。
1. 不等式的基本性质：- 反身性：任何数与自身之间没有大小关系，即 a = a。
- 对称性：如果 a > b，则 b < a；如果a ≥ b，则b ≤ a。
- 传递性：如果 a > b 且 b > c，则 a > c；如果a ≥ b 且b ≥ c，则a ≥ c。
2. 不等式的加减性质：- 加法：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
- 减法：如果 a > b，那么 a - c > b - c（当 c > 0）或 a - c < b - c （当 c < 0）。
3. 不等式的乘除性质：- 正数乘法：如果 a > b 且 c > 0，那么 ac > bc。
- 负数乘法：如果 a > b 且 c < 0，那么 ac < bc。
- 正数除法：如果 a > b 且 c > 0，那么 a/c > b/c。
- 负数除法：如果 a > b 且 c < 0，那么 a/c < b/c。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 是已知实数。
1. 解一元一次不等式的方法：- 将不等式转换为等价不等式。
- 使用数轴图，根据系数 a 的正负和不等号的方向确定解集。
- 需要注意的是，当不等式中存在乘法或除法时，需考虑 a 的正负和不等号的方向是否改变。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中 a、b、c 是已知实数且a ≠ 0。
1. 求解一元二次不等式的步骤：- 将一元二次不等式转换为二元一次不等式。
高一数学不等式知识点梳理
高一数学不等式知识点梳理在高中数学中，不等式是一个重要的概念和内容，在各个章节中都会涉及到不等式的相关知识和应用。
下面将对高一数学中的不等式知识点进行梳理和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握不等式的相关内容。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是数之间的大小关系的一种表示方式，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。
2. 不等式的解集：不等式的解集是使得不等式成立的所有实数的集合。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法：(1) 通过绘制数轴法确定解集；(2) 利用性质将不等式转化为等价的形式求解。
2. 一元一次不等式的性质：(1) 加减性质：若a<b，则a±c<b±c（其中c为常数）；(2) 倒置性质：若a<b，则-b<-a；(3) 倍增性质：若a<b，则ac<bc（c>0）或ac>bc（c<0）；(4) 倒数性质：若a<b，则1/b<1/a（a>0，b>0）。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法：(1) 使用根的性质来解决一元二次不等式；(2) 利用配方法将一元二次不等式转化成平方完全性质的形式求解。
2. 一元二次不等式的性质：(1) 零点性质：若x1、x2为一元二次不等式的解，则x1+x2=-b/a、x1*x2=c/a；(2) 符号性质：当a>0时，一元二次不等式y=ax²+bx+c的解集随x的增加而递增，当a<0时，解集随x的增加而递减；(3) 洛必达不等式：若0<a<b，则0<ln(a/b)<a/b<1。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法：(1) 利用绝对值的定义进行讨论求解；(2) 利用绝对值的性质化简不等式，并得出解集。
2. 常见的绝对值不等式：(1) |x|<a（a>0）的解集为(-a, a)；(2) |x|>a（a>0）的解集为(-∞, -a)∪(a, +∞)；(3) |x-a|<b（b>0）的解集为(a-b, a+b)；(4) |x-a|>b（b>0）的解集为(-∞, a-b)∪(a+b, +∞)。
高一数学不等式知识点的
高一数学不等式知识点的一、基本概念不等式是数学中的一种重要概念，表示两个量之间的大小关系。
在高一数学学习中，我们主要掌握以下几个基本概念：1. 不等式的符号在不等式中，常见的符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
2. 不等式的解集解集是指使不等式成立的所有实数的集合。
可以用区间表示解集，比如(a, b)表示大于a小于b的实数集合。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的不等式。
我们可以通过移项和同乘（同除）等基本运算解决一元一次不等式的求解问题。
例如，对于不等式2x - 3 > 5，我们可以先将常数项移至另一侧，得到2x > 8，然后同除以2，得到x > 4。
因此，不等式的解集为(4, +∞)。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为2的不等式。
解决一元二次不等式的方法通常有以下几种：1. 寻找零点可以将不等式转化为一个二次函数的零点问题，通过求解二次函数的零点来得到不等式的解集。
2. 使用判别式对于形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，可以计算出其判别式Δ=b^2 - 4ac的值，并根据判别式的正负情况来确定不等式的解集。
3. 图像法通过绘制一元二次函数的图像，找到使函数大于（或小于）零的区间，从而确定不等式的解集。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，常见的形式有|a - b| > c或|a - b| < c。
解决绝对值不等式的方法主要有以下几种：1. 分情况讨论法根据绝对值的定义，将绝对值不等式分解为正负两个部分，然后分别求解并合并解集。
2. 图像法通过绘制绝对值函数的图像，找到使函数大于（或小于）某个值的区间，从而确定绝对值不等式的解集。
五、常见的不等式性质在高一数学的学习中，我们还需了解一些常见的不等式性质，如：1. 不等式的加法、减法性质对于不等式a > b和c > d，有a + c > b + d和a - c > b - d的性质。
不等式数学知识点高一
不等式数学知识点高一一、不等式的概念和性质1. 不等式的定义不等式是数之间不相等关系的表示形式，可分为大于、小于、大于等于、小于等于四种不等式类型。
2. 不等式的解集表示法当不等式成立时，将满足不等式的数值表示为解集，用集合的形式表示。
3. 不等式的性质（1）对于同一不等式，两边同时加（减）同一个数，不等式的成立关系不变。
（2）对于同一不等式，两边同时乘（除）同一个正数，不等式的成立关系不变，但若同除，需考虑除数不能为零。
（3）对于同一不等式，两边同时乘以同一个负数，不等式的成立关系改变。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法针对一元一次不等式，通过图像法或数值法求解。
2. 一元一次不等式的图像法（1）将一元一次不等式转化为方程，得到直线的方程。
（2）绘制直线图像，并根据不等式的符号确定阴影部分，即为不等式的解集。
3. 一元一次不等式的数值法（1）根据不等式的性质，将x的系数乘以-1，使其系数为正数。
（2）列出方程，求解x的值，并根据解的大小关系确定不等式的解集。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法针对一元二次不等式，通过图像法或配方法（改变形式法）求解。
2. 一元二次不等式的图像法（1）将一元二次不等式转化为方程，得到抛物线的方程。
（2）绘制抛物线图像，并根据不等式的符号确定阴影部分，即为不等式的解集。
3. 一元二次不等式的配方法（1）根据不等式的性质，将一元二次不等式化为标准形式。
（2）通过配方法（改变形式法）将不等式化简为平方项的形式。
（3）根据不等式的解集性质，确定不等式的解集。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法针对绝对值不等式，通过正负号讨论法求解。
2. 绝对值不等式的正负号讨论法（1）根据绝对值的性质，将绝对值不等式拆分为正负号的形式。
（2）分别讨论正负号情况下的不等式，并求解不等式的解集。
五、不等式的运算和复合不等式1. 不等式的运算法则（1）对于同一不等式，两边同时加、减、乘、除同一个数，不等式的成立关系不变。
高一数学不等式核心知识点
高一数学不等式核心知识点不等式是数学中重要的概念之一，它在解决实际问题、研究问题的范围和推论等方面发挥着重要作用。
作为高一学生，掌握不等式的核心知识点对于今后学习数学和解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍高一数学不等式的核心知识点，让我们一起来学习吧！1. 不等式基本概念不等式是指两个数之间存在大小关系的表示形式。
常见的不等式形式包括“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等。
例如，a>b表示a大于b，a≥b表示a大于等于b。
在解不等式时，需要确定未知数的取值范围，使不等式成立。
2. 不等式的性质不等式具有一些特殊的性质，包括保持不等号方向性、对不等式两侧同时加减相等数保持不等号方向性、对不等式两侧同时乘除正数保持不等号方向性、对不等式两侧同时乘除负数改变不等号方向性等。
这些性质在解不等式时起到重要的指导作用。
3. 不等式的解集表示形式解不等式时，可以通过图像、集合、区间等方式表示解集。
图像表示方式以数轴上的点、线段表示解集，集合表示方式使用大括号{}将解集中的元素列举出来，而区间表示方式则采用小括号()、中括号[]等符号表示解集的开闭性。
在解不等式时，我们可以根据具体的问题和要求选择适合的解集表示形式。
4. 不等式的解法在解不等式时，可以使用不等关系的性质，通过逐步变换将不等式转化为简单形式。
重要的解法包括加减法变形法、乘除法变形法、取绝对值法等。
需要注意的是，变形过程中需要保持不等式的等价性，即不改变不等式的解集。
5. 一元一次不等式一元一次不等式是指不等式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一。
对于一元一次不等式，我们可以使用加减法变形法和乘除法变形法进行解题。
例如，3x-4>7，我们可以通过不等式两侧同时加4，得到3x>11，再除以3，得到x>11/3，解集为开区间(11/3, +∞)。
6. 一元二次不等式一元二次不等式是指不等式中含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二。
高一数学讲义 第二章 不等式
高一数学讲义 第二章 不等式§2．1不等式的性质1．两个实数a 与b 之间的大小关系 ().a b a b a b a b a b a b 1->⇔>⎧⎪2-=0⇔=⎨⎪3->0⇔<⎩（）；（）； 若a 、b +∈R ，则()()().aa b b aa b b aa b b ⎧4>1⇔>⎪⎪⎪5=1⇔=⎨⎪⎪6<1⇔<⎪⎩；；2．不等式的性质 （1）（对称性或反身性）a b b a >⇔<； （2）（传递性）a b b c a c >>⇒>，；（3）（可加性）a b a c b c >⇒+>+，此法则又称为移项法则； （同向可相加）a b c d a c b d >>⇒+>+，； （4）（可乘性）a b c ac bc >>0⇒>，；a b >，c ac bc <0⇒<； （正数同向可相乘）a b c d ac bd >>0>>0⇒>，； （5）（乘方法则）()n n a b n a b >>0∈⇔>>0N ； （6）（开方法则）()a b o n n >>∈2⇔>0N ，≥；（7）（倒数法则）a b ab a b11>>0⇒<，. 我们证明性质（4）如果a b >，且c >0，那么ac bc >；如果a b >，且c <0，那么ac bc <. 证明：()ac bc a b c -=-. .a b a b >∴->0，根据同号相乘得正，异号相乘得负，得 当c >0时，()a b c ->0，即ac bc >； 当c <0时，()a b c -<0，即ac bc <.由性质（4），又可以得到：推论：如果a b >>0，且c d >>0，那么ac bd >．（同学们可以自己证明）很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向，由此，我们还可以得到：如果a b >>0，那么()n n a b n n >∈2N ，且≥. 例1．设()f x ax bx 2=+，且()()f f 1-12214，≤≤≤≤，求()f -2的取值范围.解：因()()f a b f a b 1-1=-221=+4，，≤≤≤≤为 所以()()f f a 3-1+1=26，≤≤ 又()f a b a b a -2=4-2=2-2+2， 所以()f 5-210≤≤.例2．已知二次函数()f x ax bx c 2=++的图像过点()-10，，问是否存在常数a b c ，，，使不等式()()x f x x 21+1≤≤2对一切x ∈R 都成立？ 解：假设存在常数a b c ，，，满足题意， ()f x 的图像过点()-10，， ()f a b c ∴-1=-+=0又不等式()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立， ∴当x =1时，()()f 21111+12≤≤，即a b c 1++1≤≤， a b c ∴++=1由①②可得：a c b 11+==22，，()f x ax x a 211⎛⎫∴=++- ⎪22⎝⎭，由()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立得：()x ax x a x 22111⎛⎫++-1+ ⎪222⎝⎭≤≤恒成立， ()ax x a a x x a 22⎧11⎛⎫-+-0 ⎪⎪22∴⎝⎭⎨⎪2-1+-20⎩≥≤的解集为R ， a a a >0⎧⎪∴11⎨⎛⎫-4-0 ⎪⎪42⎝⎭⎩≤且()a a a 2-1<0⎧⎪⎨1+82-10⎪⎩≤， 即()a a 2>0⎧⎪⎨1-40⎪⎩≤且()a a 21⎧<⎪2⎨⎪1-40⎩≤， a c 11∴=∴=44，，∴存在常数a b c 111===424，，使不等式()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立. 例3．已知()()f x x a x 2=+2-2+4，（1）如果对一切()x f x ∈>0R ，恒成立，求实数a 的取值范围； （2）如果对[]()x f x ∈-31>0，，恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）()a a 2∆=4-2-16<0⇒0<<4；（2）()()a f ⎧--2<-3⎪⎨-3>0⎪⎩或()a ⎧-3--21⎪⎨∆<0⎪⎩≤≤或()()a f ⎧--2>1⎪⎨1>0⎪⎩，解得a ∈∅或a 1<4≤或a 1-<<12，∴a 的取值范围为1⎛⎫-4 ⎪2⎝⎭，.基础练习1．判断下列命题是否成立，并说明理由． （1）如果a b c d ><，，那么a c b d +>+； （2）如果a b c d >>，，那么a c b d -2>-2； （3）如果a b c d >>，，那么ac bd >. 2．对于实数a b c ，，中，判断下列命题的真假： ①若a b >，则ac bc 22>； ②若ac bc 22>，则a b >；③若a b <<0，则a ab b 22>>；④若a b <<0，则a b 11<；⑤若a b <<0，则b a a b>； ⑥若a b <<0，则a b >； ⑦若c a b >>>0，则a bc a c b>--； ⑧若a b a b11>>，，则a b >0<0，.3.设n >-1，且n ≠1，则n 3+1与n n 2+的大小关系是________. 4．比较下列两个数的大小：（1与2（2）2（3）从以上两小题的结论中，你能否得出更一般的结论？并加以证明． 5．已知()()()f x ax c f f 2=--41-1-125，，≤≤≤≤，求()f 3的取值范围. 能力提高6．若不等式()()a x a x 2-2+2-2-4<0对一切x ∈R 成立，求a 的取值范围. 7．若关于x 的方程x ax a 22++-1=0有一正根和一负根，求a 的取值范围.8．关于x 的方程()m x m x 2-3+3=的解为不大于2的实数，求m 的取值范围．9．已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ） A ．2枝玫瑰花价格高； B ．3枝康乃馨价格高； C ．价格相同； D ．不确定．§2．2一元二次不等式及其解法求不等式的解集叫做解不等式，如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式，一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形．像x x 2-5<0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 下面，我们来探究一元二次不等式x x 2-5<0的解集： （1）探究二次方程的根与二次函数的零点的关系： 容易知道：二次方程有两个实数根：x x 12=0=5， 二次函数有两个零点：x x 12=0=5，于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点． （2）观察图像，获得解集画出二次函数y x x 2=-5的图像，如图2-1，观察函数图像，可知：x图2-1当x <0，或x >5时，函数图像位于x 轴上方，此时，y >0，即x x 2-5>0； 当x 0<<5时，函数图像位于x 轴下方，此时，y <0，即x x 2-5<0； 所以，不等式x x 2-5<0的解集是{}|x x 0<<5. 探究一般的一元二次不筹式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式： ()ax bx c a 2++>0>0，或()ax bx c a 2++<0>0，一般地，怎样确定一元二次不等式ax bx c 2++>0与ax bx c 2++<0的解集呢？从上面的例子出发，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：（1）抛物线y ax bx c 2=++与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax bx c 2++=0的根的情况；（2）抛物线y ax bx c 2=++的开口方向，也就是a 的符号. 总结结果：（1）抛物线()y ax bx c a 2=++>0与x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax bx c 2++=0的判别式b ac 2∆=-4三种取值情况（∆>0∆=0∆<0，，）来确定．因此，要分二种情况讨论；（2）a <0可以转化为a >0，分∆>0∆=0∆<0，，三种情况，得到一元二次不等式ax bx c 2++>0与ax bx c 2++<0的解集.一元二次不等式ax bx c 2++>0或()ax bx c a 2++<0≠0的解集；设相就的一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两根为x 1、x 2且x x 12≤，b ac 2∆=-4，则不等式的解不等式的解集经常用区间来表示.区间是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点. a b ∀∈R ，，且a b <.{}|x a x b <<称为开区间，记为；()a b ，； {}|x a x b ≤≤称为闭区间，记为[]a b ，； {}|x a x b <≤称为左闭右开区间，记为[)a b ，；{}|x a x b <≤，称为左开右闭区间，记为(]a b ，.以上都是有限区间，以下是无限区间：[){}|a x x a +∞=，≥、(){}|a x x a +∞=>，、(]{}|a x x a -∞=，≤、(){}|b x x b -∞=<，、实数集()=-∞+∞R ，，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.区间长度的定义：两端点间的距离（线段的长度）称为区间的长度. 例1．解不等式x x 2-+2-3>0.解：整理，得x x 2-2+3<0.因为∆<0，方程x x 2-2+3=0无实数解， 所以不等式x x 2-2+3<0的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅. 例2．已知{}|A x x x 2=-3+20≤，(){}|B x x a x a 2=-+1+0≤， （1）若AB ，求a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围. 解：{}|A x x =12，≤≤当a >1时，{}|B x x a =1≤≤；当a =1时，{}B =1；当a <1时，{}|B x a x =1≤≤.（1）若AB ，则a a a >1⎧⇒>2⎨>2⎩；（2）若B A ⊆，当a =1时，满足题意；当a >1时，a 2≤，此时a 1<2≤；当a <1时，不合题意. 所以，a 的取值范围为[)12，.例3．已知关于x 的不等式()()kx k x 2--4-4>0，其中k ∈R .（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A Z B =（其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由. 解：（1）当k =0时，()A =-∞4，；当k >0且k ≠2时，()A k k 4⎛⎫=-∞4++∞ ⎪⎝⎭，，；当k =2时，()()A =-∞44+∞，，；（不单独分析k =2时的情况不扣分） 当k <0时，A k k 4⎛⎫=+4 ⎪⎝⎭，.（2）由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限； 当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为k k4+-4≤时取等号当且仅当k =-2时取等号，所以当k =-2时，集合B 的元素个数最少. 此时()A =-44，，故集合()B =-3-2-10123，，，，，，.例4，已知a 为实数，关于x 的二次方程()()x a x a a 227-+13+--2=0有两个实根分布在()()0112，，，上，求a 的取值范围.解：令()()()f x x a x a a 22=7-+13+--2，由二次函数图像知 ()()().f f f 0>0⎧⎪1<0⎨⎪2>0⎩，，即.a a a a a 222⎧--2>0⎪-2-8<0⎨⎪-3>0⎩，，解得a -2<<-1或a 3<<4. 所以a 范围是()()-2-134，，.基础练习1．设a b c a b c 111222，，，，，均为非零实数，不等式a x b x c 2111++>0，a x b x c 2222++>0的解集分别是集合M N ，，则a b c a b c 111222==是“M N =”的充要条件对吗？ 2．已知不等式ax bx c 2++>0的解集为{}|x x 2<<4，求不等式cx bx a 2++<0的解集. 3．不等式()ax ab x b 2++1+>0的解是x 1<<2，求a b ，的值. 4．若不等式x kx 2-+-4<0的解集为R ，求实数k 的取值范围. 5．已知不等式ax x 2-3+6>4的解集为{}|x x x b <1>或. （1）求a 、b ； （2）解不等式x cax b->0-（c 为常数）. 能力提高6．若关于m 的不等式()mx m x m 2-2+1+-10≥的解集为空集，求m 的取值范围. 7．已知不等式组x x a a x a 22⎧-+-<0⎨+2>1⎩的整数解恰好有两个，求a 的取值范围．8．已知()f x ax bx c 2=++在[]01，上满足()f x 1≤，试求a b c ++最大值.§2．3分式不等式像x x 16<-1-1这样，只含有一个未知数，并且分母含未知数的不等式，称为分式不等式，解分式不等式，关键是将它变为整式不等式去解，其一般特征为： 分式不等式()()f xg x >0（或0≥）或()()f xg x <0（或0≤）要正确运用以下同解原理.（1）()()f xg x ≥0（或<0）与()()f x g x ⋅>0（或<0）同解.（2）()()f x g x 0≥（或0≤）与不等式组()()()f x g x g x ⎧⋅0⎪⎨≠0⎪⎩≥()()()f x g x g x ⎛⎫⎧⋅0⎪ ⎪⎨ ⎪≠0⎪⎩⎝⎭或≤同解. 例1．解不等式x x x x 22-9+117-2+1≥.解：移项，通分得x x x x 22-6+5+40-2+1≥，()()()x x x 22+13-4∴0-1≤ 转化为()()()()x x x x 22⎧2+13-4-10⎪⎨-1≠0⎪⎩，，≤ ()()x x x ⎧2+13-40⎪∴⎨-1≠0⎪⎩，，≤ 则所求不等式的解集为x x x ⎧14⎫-<11<⎨⎬23⎩⎭或≤≤.例2．解关于x 的不等式()x a x x ax222+-1+3>1+.解：原不等式等价于x x x ax22-+3>0+.由于x x 2-+3>0对x ∈R 恒成立， ∴x ax 2+>0，即()x x a +>0当a >0时，{}|x x a x <->0或； 当a =0，{}|x x x ∈≠0R 且； 当a <0时，{}|x x x a <0>-或.例3．k 为何值时，下式恒成立：x kx kx x 322+2+<14+6+3.解：原不等式可化为：()()x k x k x x 222+6-2+3->04+6+3，而x x 24+6+3>0，∴原不等式等价于()()x k x k 22+6-2+3->0，由()()k k 2∆=6-2-4⨯2⨯3-<0得k 1<<3. 基础练习1．解下列不等式： （1）x x x x 22-3+2<0-2-3；（2）x x -30-2≥； （3）x x1>； （4）()()x x x x 232-2≥+1>0++1；（5）x x x x 2215-11+2<0-2+3+2.2．已知关于x 的不等式k x bx a x c++<0++的解集为()()-2-123，，，求关于x 的不等式kx bx ax cx -1+<0-1-1的解集. 3．若a b c >>，a 、b 、c 为常数，求关于x 的不等式()()()x a x c x b 2-->0-的解集. 4．解不等式x x x x 1111+>++4+5+6+3. 5．若不等式x ax x 2+0+4+3≥的解集为{}|x x x -3<<-12或≥，求实数a 的值.6．若m n >>0，求关于x 的不等式()()mx n x x --20-1≥解集.§2．4 高次不等式像x x x 22+3>2+6这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数高于两次的不等式称为高次不等式. 我们研究()()()()x x x x -1+1-2-3<0的解，此不等式的左端是关于x 的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，首先解方程()()()()x x x x -1+1-2-3=0得x 的四个解分别为1，-1，2，3．然后将x 的取值分成5段，使得四个因式x x x x -1+1-2-3，，，的积为负的范围就是所求的解集. 列表：借助于数轴并根据积的符号法则表示为图2-2.图2-2由图可知：原不等式的解集为()()23-11，，． 此方法为“数轴标根法”也可以叫“串线法”，高次不等式常常用“数轴标根法”来解，其步骤是： ①等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积．（未知数系数一定为正数） ②把各因式的根标在数轴上. ③用曲线穿根，（奇次根穿透，偶次根不穿透）看图像写出解集． 例1．解不等式x x x 32+3>2+6.解：原不等式化为()(x x x +3>0∴原不等式的解为x x -3<<例2．解不等式：()()()()x x x x x 2+1-20-3-5≤.解：原不等式等价于()()()x x x x -20-3-5≤或x =-1.标根（见图2-3）；图2-3解集为[](){}0235-1，，.基础练习1．解不等式x x x 32+3>2+6.2．解不等式()()x x x x 22-4-5++2<0. 3．解不等式()()()()x x x x 23+2-1+1-2<0. 能力提高4．对于一切x 1⎡⎤∈-2⎢⎥2⎣⎦，，不等式ax x x 32-++10≥恒成立，求实数a 的取值范围．5．设P x x x x 432=+6+11+3+31，求使P 为完全平方数的整数x 的值.6．已知x y a x y b c >0>0=+=，，，m 使得对于任意正数x y ，可使a b c ，，为三角形的三边构成三角形，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由. 7．已知函数()()x k k x f x x x 42242++2-4+4=+2+4的最小值是0，求非零实数k 的值.§2．5无理不等式像x3-不等式，关键是把它同解变形为有理不等式组．无理不等式一般有如下几种形式：()()()()f xg xf xg x⎧0⎫⎪⇒⎪⎬⎪⇔0⎨⎪⎭⎪>⎪⎩定义域≥≥例1>0.解：根式有意义∴必须有：xxx3-40⎧⇒3⎨-30⎩≥≥≥又有x-3x-3解之：x1>2∴{}{}|x x x x x x⎧1⎫>3>=>3⎨⎬2⎩⎭()()()()f xg xf xg x2⎧0⎪⎪⇔0⎨⎪>⎡⎤⎪⎣⎦⎩≥≥或()()fxg x⎧0⎪⎨<0⎪⎩≥例2x>4-3.解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：Ⅰ：()xx xx x x222⎧4-30⎪⎪-+3-20⎨⎪-+3-2>4-3⎪⎩≥≥Ⅱ：x xx2⎧-+3-20⎨4-3<0⎩≥解Ⅰ：xx xx4⎧⎪3⎪64⎪12⇒<⎨53⎪⎪63<<⎪52⎩≤≤≤≤解Ⅱ：x4<23≤∴原不等式的解集为xx⎧6⎫<2⎨⎬5⎩⎭≤.()()()()()f xg x g xf xg x2⎧0⎪⎪⇔>0⎨⎪<⎡⎤⎪⎣⎦⎩型≥例3x +2. 解：原不等式等价于()x x x x x x 222⎧2-6+4⎪⎪+2>0⎨⎪2-6+4<+2⎪⎩≥0x x x x 21⎧⎪⇒>-2⎨⎪0<<10⎩或≥≤{}|x x x ⇒2<100<1或≤≤ 例4>.解：要使不等式有意义必须：x x x x x 1⎧2+10-⎧1⎪⇒⇒-2⎨⎨+102⎩⎪-1⎩≥≥≥≥≥.>)22∴>，即()x >-+1.x +10≥，∴不等式的解为x 2+10≥ 即x 1≥-2.基础练习1．解下列不等式：（1> （2）x x 3-3+3 （3> （4）(x -10. 2>3. 3>. 4>1.5．满足x 3-x 的集合为A ；满足()x a x a 2-+1+0≤的x 的集合为B . （1）若A B ⊂，求a 的取值范围； （2）若A B ⊇，求a 的取值范围；（3）若A B 为仅含一个元素的集合，求a 的值． 6．求不等式()x x 224<2+9的解集.7．求使关于x k 有解的实数k 的最大值. §2.6 绝对值不等式1．含有绝对值不等式有以下两种基本形式：（1）()x a a a x a <>0⇔-≤≤（()x a a a x a >0⇔-≤≤≤）， （2）()x a a x a x a >>0⇔><-或（()x a a x a x a >0⇔-或≥≥≤）. 2．解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号，一般有以下方法： （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()f x g x <）； （4）图像法或数形结合法. 例1．解不等式x x 2-5+5<1.解法一：利用不等式()x a a <>0的解集是{}|x a x a -<<和整体的思想()()f x f x <1⇔-1<<1，因此，这个不等式可化为x x x x 22⎧-5+5<1⎪⎨-5+5>-1⎪⎩ ①②解不等式①得解集{}|x x 1<<4 解不等式②得解集{}|x x x <2>3或∴原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即解集为{}|x x x 1<<23<<4或解法二：平方去绝对值．原不等式可化为：()()xx x x 22-5+6-5+4<0，即()()()()x x x x -2-3-4-1<0 利用“数轴标根法”（见图2-4），图2-4∴原不等式的解集是{}|x x x 1<<23<<4或.例2．解关于x 的不等式()x m m 2-1<2-1∈R .解：若m 2-10≤，即m 12≤，则x m 2-1<2-1恒不成立，此时原不等式无解；若m 2-1>0，即m 1>2，则()m x m -2-1<2-1<2-1，所以m x m 1-<<. 综上，当m 12≤时，原不等式的解集为∅；当m 1>2时，原不等式解集为{}|x m x m 1-<<. 例3．解下列不等式： （1）x 4<2-37≤； （2）x x -2<+1； （3）x x 2+1+-2>4.解：（1）原不等式可化为x 4<2-3≤7或x 2-3<-4-7≤，∴原不等式解集为17⎡⎫⎛⎤-2-5⎪ ⎢⎥22⎣⎭⎝⎦，，.（2）原不等式可化为()()x x 22-2<+1，即x 1>2， ∴原不等式解集为1⎛⎫+∞ ⎪2⎝⎭，.（3）当x 1-2≤时，原不等式可化为x x -2-1+2->4，x ∴<-1，此时x ∴<-1；当x 1-<<22时，原不等式可化为x x 2+1+2->4，∴x >1，此时x 1<<2；当x 2≥时，原不等式可化为x x 2+1+-2>4， ∴x 5>3，此时x 2≥. 综上可得：原不等式的解集为()()-∞-11+∞，，.例4．某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，km AB =5，km BC =3，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度km/h v 匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差． （1）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差；（2）若要求列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围. 解：（1）列车在B 、C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是 v 300-7和v 480-11 （2）由于列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以 v v 300480-7+-112≤ 当v 3000<7≤时，①式变形为v v300480-7+-112≤，解得v 300397≤≤. 当v 300480<711≤时，①式变形为v v 3004807-+-112≤，解得v 300480<711≤. 当v 480>11时，①式变形为v v3004807-+11-2≤， 解得v 480195<114≤. 综上所述，v 的取值范围是195⎡⎤39⎢⎥4⎣⎦，.基础练习1.解不等式x x x 2-1<++1.2．已知{}|A x x a =2-3<，{}|B x x =10≤，且A B ，求实数a 的取值范围．3．求不等式x x 3+14+2>5的解集. 4．求不等式x x -1+-5<7的解集.5．（1）对任意实数x x x a +1+-2>，恒成立，求a 的取值范围. （2）对任意实数x x x a -1-+3<，恒成立，求a 的取值范围.能力提高6．在一条公路上，每隔km 100有个仓库（如图2-5），共有5个仓库，一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？五四三二一图2-57．若关于x 的不等式x x a -4++3<的解集不是空集，求a 的范围．§2.7绝对值的不等式的性质定理：a b a b a b -++≤≤证明：()a a a a b a b a b b b b ⎫-⎪⇒-+++⎬-⎪⎭≤≤≤≤≤≤a b a b ⇒++≤ ①又a a b b =+- b b -=由①a a b b a b b =+-++-≤ 即 a b a b -+≤ ② 综合①②：a b a b a b -++≤≤.注意：1︒左边可以“加强”同样成立，即a b a b a b -++≤≤.2︒这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3︒a b ，同号时右边取“=”，a b ，异号时左边取“=”. 推论1．n n a a a a a a 1212++++++……≤. 推论2．a b a b a b --+≤≤. 证明：在定理中以b -代b 得：()()a b a b a b a b --+-+-+-≤≤≤，即a b a b a b --+≤≤.例1．设a b <1<1，，求证a b a b ++-<2.证明：当a b +与a b -同号时，a b a b a b a b a ++-=++-=2<2； 当a b +与a b -异号时，()a b a b a b a b b ++-=+--=2<2. a b a b ∴++-<2.例2．已知()f x a b ≠时，求证：()()f a f b a b -<-. 证明：()()f a f b -===()()a b a b a b a b a ba b+-+-=++≤a b =-.基础练习1．ab >0，则①a b a +> ②a b b +< ③a b a b +<- ④a b a b +>-四个式中正确的是（ ） A.①②B.②③C.①④D.②④2．x 为实数，且x x m -5+-3<有解，则m 的取值范围是（ ）A.m >1B.m 1≥C.m >2D.m 2≥ 3．不等式a b a b+1+≤成立的充要条件是（ ）A.ab ≠0B.a b 22+≠0C.ab >0D.ab <04．已知a b ≠，a b a b m n a ba b-+==-+，，那么m 、n 之间的大小关系为（ ）A.m n >B.m n <C.m n =D.m n ≤能力提高5．已知()()f x x ax b a b 2=++∈R ，，求证：()()()f f f 1+22+32≥. 6．实数x 1、x 2、…、x 2007∈R ，满足x x x x x x 213220072008-+-++-=2007…，设kk x x x y k12+++=…，k =123，，…，2007.求y y y y y y 213220072006-+-++-…的最大值.§2.8 含字母系数的不等式像()ax a x 2-+1+1<0这样，只含有两个或两个以上的未知数的不等式，称为含字母系数的不等式．解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解． 例1．解关于x 的不等式()ax a x 2-+1+1<0其中a >0 解：由一元二次方程()ax a x 2-+1+1<0的根为x x a121-1=，知 （1）当a1>1，即a 0<<1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-6： 故原不等式的解为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，.图2-6（2）a10<<1，即a >1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-7：图2-7故原不等式的解为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，. （3）a1=1，即a =1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-8：故原不等式的解为∅.图2-8综上，当a 0<<1时原不等式的解集为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，；当a >1时原不等式解集为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，；当a =1时原不等式解集∅.例2．解关于x 的不等式()x x a a 2---1>0. 解：原不等式可以化为：()()x a x a +-1->0. 若()a a >--1即a 1>2，则x a >或x a <1-. 若()a a =--1即a 1=2，则x x x 211⎛⎫->0⇒≠∈ ⎪22⎝⎭R ，.若()a a <--1即a 1<2，则x a <或x a >1-. 例3．关于x 的不等式()ax a x a 2+-1+-1<0对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 解：当a >0时不合题意，a =0也不合题意，必有：()()a a a a a a a 22<0⎧<0⎧⎪⇒⎨⎨3-2-1>0∆=-1-4-1<0⎪⎩⎩()()a a a a <0⎧1⎪⇒⇒<-⎨3+1-1>03⎪⎩.例4．解不等式：aa x >1--2. 解：原不等式可化为：()()a x a x -1+2->0-2，即()()()a x a x -1+2--2>0⎡⎤⎣⎦.当a >1时，原不等式与()a x x a -2⎛⎫--2>0 ⎪-1⎝⎭同解.若a a -22-1≥，即a 0<1≤时，原不等式无解：若a a -2<2-1，即a <0或a >1， 于是a >1时，原不等式的解为()a a -2⎛⎫-∞2+∞ ⎪-1⎝⎭，，.当a <1时，若a <0，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，；若a 0<<1，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，. 综上所述：当a >1时，解集为()a a -2⎛⎫-∞2+∞ ⎪-1⎝⎭，，；当a 0<<1时，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，； 当a =0时，解集为∅；当a <0时，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，.基础练习1．设a b >0>0，，解关于x 的不等式ax bx -2≥.2．解关于x 的不等式：()()x a x x x 22-+1+1>1-1（其中a >1）.3．解关于x 的不等式：()m x x 2+1-4+10≤()m ∈R . 4．解关于x 的不等式：ax x x 2-1>0--2．5．关于x 的不等式()()()m x m x m 2+1-2-1+3-1<0的解是一切实数，求实数m 的取值范围． 能力提高6．设m m ∈≠0R ，，解关于x 的不等式x m x m m m 211⎛⎫-++-<0 ⎪⎝⎭.7．设不等式()()x m x 22-1>-1对满足m 2≤的一切实数m 的值都成立，求x 的取值范围. 8．若关于x 的不等式ax +2<6的解休是()-12，，求不等式xax 1+2≤的解集. 9．设不等式x ax a 2-2++20≤的解集为M ，如果[]M ⊆14，，求实数a 的取值范围． 10．已知不等式xy ax y 22+2≤对于[][]x y ∈12∈23，，，恒成立，求a 的取值范围. §2．9基本不等式及其应用图2-9是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？图2-9将图中的“风车”抽象成如图2-10，在正方形ABCD 中有个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a b ，.这样，4个直角三角形的面积的和是ab 2，正方形的面积为a b 22+.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a b ab 22+2≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有a b ab 22+=2. 定理1（基本不等式1）：C图2-10一般的，如果a b ∈R ，，那么a b ab 22+2≥（当且仅当a b =时取“=”号） 证明：因为()a b ab a b 222+-2=-当a b ≠时，()a b 2->0，当a b =时，()a b 2-=0， 所以，()a b 2-0≥，即a b ab 22+2≥.特别的，如果a b >0>0，，我们用分别代替a 、b，可得a b +≥()a ba b +>0>02， 通常我们称a b+2为a 、ba 、b 的几何平均数. 例1．已知x 、y 都是正数，求证： （1）y xx y+2≥； （2）()()()x y x y xy x y 223333+++8≥.证明：x y ，都是正数x yx y x y y x2233∴>0>0>0>0>0>0，，，，， （1）x y y x +=2≥即x yy x+2≥. （2）x y x y x y 2233+0+>0+0，，≥≥≥()()()x y x y x y x y 223333∴+++=8≥ 即()()()x y x y xy x y 223333+++8≥.说明：在运用定理：a b+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形. 例2．（1）用篱笆围成一个面积为2m 100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）段长为m 36的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：（1）设矩形菜园的长为m x ，宽为m y ，则xy =100，篱笆的长为()m x y 2+.由x y+2x y +≥()x y 2+40≥.等号当且仅当x y =时成立，此时x y ==10.因此，这个矩形的长、宽都为m 10时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m .（2）设矩形菜园的宽为m x ，则长为()m x 36-2，其中0x <<18， 其面积()()x x S x x x x 22112+36-236⎛⎫=36-2=⋅236-2=⎪2228⎝⎭≤ 当且仅当x x 2=36-2，即x =9时菜园面积最大，即菜园长m 18，宽为9m 时菜园面积最大为2162m . 归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a b +∈R ，，且a b M +=，M 为定值，则M ab 24≤，等号当且仅当a b =时成立.2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a b +∈R ，，且ab P =，P 为定值，则a b +≥，等号当且仅当a b =时成立.定理2（基本不等式2）：如果a b c +∈R ，，，那么a b c abc 333++3≥（当且仅当a b c ==时取“=”）证明： ()a b c abc a b c a b ab abc 3333322++-3=++-3-3-3 ()()()()a b c a b a b c c ab a b c 22⎡⎤=+++-++-3++⎣⎦()a b c a ab b ac bc c ab 222⎡⎤=+++2+--+-3⎣⎦()()a b c a b c ab bc ca 222=++++---()()()()a b c a b b c c a 2221⎡⎤=++-+-+-⎣⎦2. a b c ∈+R ，，， ∴上式0≥.从而a b c abc 333++3≥.推论：如果a b c ∈+R ，，，那么a b c ++3a b c ==时取“=”）证明：a b c 333++++≥≥a b c++⇒3由此推出：a b c abc 3++⎛⎫⎪3⎝⎭≥.例3．求证：（1）()a b c a b c 111⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥9；（2）a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫++++9 ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥.证明：（1） a b c ，，都是正数a b c a b c ++111∴>0++>03，≥ ()a b c a b c 111⎛⎫∴++++=9 ⎪⎝⎭≥.（2）a b c ，，都是正数a b c b c a ∴++3≥，b c a a b c ++3≥. a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫∴++++9 ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥. 例4．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平正比，与它的长度l 的平方成反比，见图2-11．lda图2-11（1）将此枕木翻转90︒（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗?为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？解：（1）由题可设安全负荷ad y k l 212=⋅（k 为正常数），则翻转90︒后，安全负荷da y k l 222=⋅.因为y dy a 12=，所以，当d a 0<<时，y y 12<，安全负荷变大；当a d 0<<时，y y 12>，安全负荷变小.（2）如图2-12，设截取的枕木宽为a ，高为d ，则图2-12a d R 222⎛⎫+= ⎪2⎝⎭即a d R 222+4=4 枕木长度不变，u ad 2∴=最大时，安全负荷最大．u d d ∴====当且仅当d R d 222=-2，即取d a ==，时，u 最大，即安全负荷最大. 定理3（基本不等式3）*ni a a a n a R i n n+12+++∈∈1N …，，≤≤.这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）．这里涉及到“平均数”的概念.如果n a a a n +12∈>1R ，，…，，且n +∈N ，则na a a n12+++…叫做这n 做这n 个正数的几何平均数．定理3的语言表述为：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基础练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()a b b c c a abc +++8≥. 2．设a b c +∈R ，，，且ab bc ca ++=108，求ab bc cac a b++的最小值. 3．（1）若x >0，求()f x x x9=4+的最小值； （2）若x <0，求()f x x x9=4+的最大值. 4．（1）若x ≠0，求x x1+的取值范围； （2）若ab =1，求a b +的取值范围； （3）若x 5<4，求x x 14-2+4-5的最大值； （4）若x >2，求x x x 2-3+3-2的最小值；（5）若x y >0，，且x y 19+=1，求x y +的最小值；（6）若x y >0，，x y +=1，求x y41+的最小值；（7）求y 2y 2=（8）若a b >0，，且ab a b =++3，求ab 的取值范围.5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为3m 4800，深为m 3，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每2m 1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？6．某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层m 21000的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高%5．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？ 能力提高7．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清冼一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ． （1）试规定()f 0的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（3）设()f x x 21=1+，现有()a a >0单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．8．设a a a a 11211>-1≠=1+1+，.（1a a 12，之间； （2）a a 12，；（3.9．设常数a b +∈R ，，试探求不等式()ax a b b 2=+-1+>0对任意x >1成立的充要条件. 10.已知集合(){}|D x x x x x x k 121212=>0>0+=，，，（其中k 为正常数）. （1）设u x x 12=，求u 的取值范围；（2）求证：当k 1≥时，不等式k x x x x k 22212⎛⎫⎛⎫112⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤对任意()x x D 12∈，恒成立；（3）求使不等式k x x x x k 22212⎛⎫⎛⎫112⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥对任意()x x D 12∈，恒成立誓k 2的范围.11．已知a b c +∈R ，，，且满足()()kabc a b a b c a b c22++++4++≥，求k 的最小值.§2.10 不等式的证明证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容方方面面．如与数列、三角函数、函数等相结合，解答时需要综合运用这些知识.不等式的证明，由于题型多变，技巧性强加上无固定程序可循，因此常有一定的难度，解决个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思维方法和数学思想方法，熟练掌握等式的性质和一些基本不等式.不等式的证明常用方法有：比较法、分析法、综合性、反证法． 1，比较法比较法是证明不等式的常用方法，它有两种基本形式： ①求差比较法，步骤是：作差——变形——判断．变形方向：变为一个常数；或变为平方和形式；或变为因式之积的形式． 这种比较法是普遍适用的，是无条件的.它的理论依据是实数大小关系：a b a b a b a b a b a b ->0⇔>⎧⎪-=0⇔=⎨⎪-<0⇔<⎩应用范围：常用于指（对）数式的比较．这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定. 例1．若a b n >0>1，，，则n n n n a b a b ab -1-1++≥ 证明：()()()()n n n n n n a b a b ab a a b b a b -1-1-1-1++=---()()n n a b a b A -1-1=--=.若a b >，则n n a b -1-1>，则A >0； 若a b <，则n n a b -1-1<，则A <0； 若a b =，则A =0. ∴原不等式成立.②求商比较法，步骤是：作商——变形——判断. 做商法是依据当b >0，且ab>1时，则a b >，反之则亦然． 例2．设a b c ，，为正数，证明()a b c a n ca b c abc ++3≥.证明：易知上式是轮换的，不妨设a b c ≥≥. 上式即()a b ca b c a b c abc ++333≥a bb ca ca b c b c a c a b a b c a b a a b c b c c ---222+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=1 ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥.∴原不等式成立．比较法是证明不等式最基本，也是最常用的方法之一，它主要有作差或作商，变形，判断三个步骤． 基础练习1．（1）若x >1，求证：x x x31>+-1； （2）若a b ∈R ，，求证：a b ab a b 22+++-1≥；（3）若a b <<0，求证：a b a b a b a b2222++<--；（4）若a b >0>0，，求证：a b b a a b a b ≥. 2．若x y z a b c +∈∈R R ，，，，，，则()b c c a a b x y z xy yz zx a b c222+++++2++≥. 3．若a b c ，，为不全相等的正数，则a b ab b c a c ac abc 22222++++>6. 4．已知ab R +∈，且a b ≠，求证：()()()a b a ab b a b 222222--+<-.2．分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法，分析法也称逆推法.例3>1+(22>即12+>16+2即35>19+，即4，即15<16(22>即12+>16+35>19+即35>19+，即4，即15<16例4．已知n ∈N ，求证：n n n n 111111111⎛⎫⎛⎫1++++++++ ⎪ ⎪+1352-12462⎝⎭⎝⎭……≥① 证明：要证明不等式（1），只须证()n n n n 1111111⎛⎫⎛⎫1+++++1++++ ⎪ ⎪352-12462⎝⎭⎝⎭……≥②②式左边即n n n n 111⎛⎫+++++ ⎪22352-1⎝⎭…③ ②式右边即n n n 11111111⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪24622462⎝⎭⎝⎭……④n n n n 1111111⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪22462462⎝⎭⎝⎭…… 比较③和④可知要证②式成立，只须证明 n n 1111⎛⎫++++ ⎪22462⎝⎭…≥⑤ n n111111++++++352-1462……≥⑥ ⑤，⑥两式显然成立，故不等式①成立．用分析法证明不等式时，应注意每一步推理都要保证能够反推回来．分析法的优点就是比较符合探索题解的思路，缺点就是叙述往往比较冗长，因此，思路一旦打通，可改用综合法解答，它适用于条件简单而求证复杂或从条件无从下手的题． 基础练习1<2．设,x y >0>0，证明不等式：()()x yxy11223323+>+.3．已知,,a b c 分别为一个三角形的三边之长，求证c a b a b b c c a++<2+++. 4.若,,x y z +∈R ，且x y z xyz ++=，证明不等式y z z x x yx y z x y z 2⎛⎫+++111++2++ ⎪⎝⎭≥.5，已知,,x y z ∈+R ，且x y z 222++=1，求证：x y z x y z 222++1-1-1-6．已知,,a b c 01≤≤，求证：a b cbc ca ab ++2+1+1+1≤. 3．综合法综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式性质，函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式．例5．已知△的三边长为,,a b c ，且a b c s ++=2，求证：()()()abcs a s b s c ---8≤. 证明：由条件得：,,s a s b s c ->0->0->0 ()()()s a s b c s a s c s a b 222-+-1⎛⎫∴--=2--= ⎪244⎝⎭≤.同理：()()()(),a b s b s c s c s a 22----44≤≤.三式相乘再开方得()()()abcs a s b s c ---8≤.在实际应用中，常常用分析法寻找思路，用综合法表述，即所谓的综合分析法，这样使得叙述不会太过于冗长，请看下例：例6．设,,,a b x y R ∈，且,a b x y 2222+=1+=1，试证：ax by +1≤. 证法1：用分析法。
高一数学中的不等式知识点
高一数学中的不等式知识点不等式是数学中常见的一个概念，也是高一数学中的重要知识点之一。
在学习不等式时，我们需要了解其基本定义和运算性质，掌握解不等式的方法，并能够应用不等式解决实际问题。
本文将从这几个方面进行讨论。
一、不等式的基本定义和运算性质：不等式是数学中表示数量关系的一种符号，常用的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
不等式中的变量通常表示某个量的范围，解不等式就是找到使不等式成立的变量的取值范围。
我们知道，不等式具有一些基本的运算性质，例如：1. 对不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式的大小关系不变。
例如：若a > b，则a + c > b + c。
2. 对不等式两边同时乘（除）一个正数，不等式的大小关系不变；对不等式两边同时乘（除）一个负数，不等式的大小关系改变，并且需要将不等号方向颠倒。
例如：若a > b，则ac > bc（c > 0）；若a > b，则ac < bc（c < 0）。
二、解不等式的方法：解不等式的方法也需要根据题目的要求和具体情况来选择。
下面介绍几种常见的不等式解法：1. 代入法：将不等式中的变量代入其中的等式，求得等式的解，再根据不等式的性质确定最终的解。
例如，对于不等式2x - 3 > 7，可以将2x - 3代入等式2x - 3 = 7中，求得x = 5，再根据不等式的性质确定最终的解为x > 5。
2. 符号法：根据不等式的性质和运算规则，结合数轴图示，确定解的范围。
例如，对于不等式3x + 2 ≤ 8，可以通过移项和分段讨论的方式确定解的范围为-∞ ≤ x ≤ 2。
3. 区间法：通过对不等式两边进行变形或者使用数轴图示，确定变量所在的区间范围作为解的范围。
例如，对于不等式-2 < 3x -4 ≤ 7，可以通过移项和分段讨论的方式确定解的范围为2 < x ≤ 3。
高一数学不等式知识点整理归纳
高一数学不等式知识点整理归纳一、不等式的基本性质1. 对称性：若 \(a > b\)，则 \(b a\)；若 \(a b\)，则\(b > a\)。
2. 传递性：若 \(a > b\) 且 \(b > c\)，则 \(a > c\)；若\(a b\) 且 \(b c\)，则 \(a c\)。
3. 加法性质：若 \(a > b\)，则 \(a + c > b + c\)。
4. 乘法性质：若 \(a > b\) 且 \(c > 0\)，则 \(ac > bc\)；若 \(a > b\) 且 \(c 0\)，则 \(ac bc\)。
二、一元一次不等式形如 \(ax + b > 0\) 或 \(ax + b 0\)（\(a \neq 0\)）的不等式。
解法步骤：1. 移项：将常数项移到不等式的另一边。
2. 化简：将 \(x\) 的系数化为 \(1\)，注意当系数为负数时，不等号方向改变。
三、一元二次不等式形如 \(ax^2 + bx + c > 0\) 或 \(ax^2 + bx + c 0\)（\(a \neq 0\)）的不等式。
解法：1. 求出方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的根（可用求根公式 \(x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}\) ）。
2. 根据二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图像与 \(x\) 轴的交点，确定不等式的解集。
当 \(a > 0\) 时：若方程有两个不同实根 \(x_1\) ， \(x_2\) （\(x_1x_2\)），则不等式 \(ax^2 + bx + c > 0\) 的解集为 \(x x_1\)或 \(x > x_2\) ；不等式 \(ax^2 + bx + c 0\) 的解集为 \(x_1x x_2\) 。
高一数学不等式知识点总结及例题
高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。
（一）不等式的基本性质。
1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。
2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。
3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。
- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。
- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。
4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。
- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。
- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。
- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。
（二）一元二次不等式及其解法。
1. 一元二次不等式的一般形式。
- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。
2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。
- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。
- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。
高一数学不等式知识点
不 等 式1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有： （1） 对称性：a>b ⇔b<a ；（2） 传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； （3） 可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；（4） 可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：（1） 同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2） 异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒. （3） 正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
（4） 乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （5） 开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （6） 倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。
2、基本不等式定理：假如R b a ∈,，则ab b a222≥+（当且仅当a=b 时取“=”号）推论：假如0,>b a ，则ab ba ≥+2（当且仅当a=b 时取“=”号） 算术平均数2ba +；几何平均数ab ；推广：若0,>ba ，则ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+当且仅当a=b 时取“=”号； 3、肯定值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。
（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤- 4、不等式的证明：(1) 常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； (2) 在不等式证明过程中，应注意与不等式的运算性质联合运用； (3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
高一的不等式知识点归纳总结
高一的不等式知识点归纳总结不等式是数学中重要的一部分，其应用广泛，特别是在代数、几何和数论中。
在高一的数学学习中，不等式是一个重点内容，并为后续的数学学习打下基础。
下面是对高一阶段的不等式知识点进行归纳总结。
一、基础概念1.1 不等式的定义不等式是两个数或者表达式之间用不等号（<、>、≤、≥）联系起来的数学关系。
其中，>表示大于，<表示小于，≥表示大于等于，≤表示小于等于。
1.2 不等式的性质不等式存在传递性，即若a>b且b>c，则有a>c。
不等式两边同时加减一个相同的数，不等式的方向不变。
不等式两边同时乘除一个正数，不等式的方向不变。
不等式两边同时乘除一个负数，不等式的方向改变。
1.3 不等式的解集表示方法解集表示不等式中使得不等式成立的数的集合。
当不等式为严格不等号时，解集用开区间表示。
当不等式为不严格不等号时，解集用闭区间表示。
当不等式为大于号或小于号时，解集用开区间和闭区间表示。
二、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax+b<0（或>）的不等式，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的基本思路是找到方程ax+b=0的解，然后根据a的正负情况确定解集。
三、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax2+bx+c<0（或>）的不等式，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
解一元二次不等式的基本思路是找到方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a和二次项的系数的正负情况确定解集。
四、绝对值不等式绝对值不等式是形如|ax+b|<c（或>|）的不等式，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
绝对值不等式的解集有两部分组成，即当ax+b>0和ax+b<0时的解集。
五、分式不等式分式不等式是形如f(x)<0（或>）的不等式，其中f(x)为一个分式函数。
解分式不等式的基本方法是找到分式函数的零点，然后根据分式函数的正负情况确定解集。
高一基本不等式知识点大全
高一基本不等式知识点大全不等式在数学中起着重要的作用，它是数学分析和数学推理的基础。
在高一学年，学生需要掌握并理解基本不等式的概念、性质和解法。
下面将详细介绍高一基本不等式的知识点。
一、不等式的基本概念不等式是数学中比大小关系的一种表示方式，用符号“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等表示。
二、不等式的性质1. 加减性质：对于不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等号方向不变。
例如：若 a < b，则 a + c < b + c（其中 c 为常数）。
2. 乘除性质：对于两个不等式，若乘（除）以同一个正数，则不等号方向不变；若乘（除）以同一个负数，则不等号方向相反。
例如：若 a < b 且 c > 0，则 ac < bc；若 a < b 且 c < 0，则 ac > bc。
3. 倒置性质：若不等号两边同时倒置，则不等号方向改变。
例如：若 a < b，则 -a > -b。
三、不等式的解法1. 一元一次不等式的解法：(1) 将不等式看作等式，求解得到解集；(2) 在数轴上用表示不等式的符号表示解集。
2. 一元二次不等式的解法：(1) 将不等式化为一元二次函数的解析式；(2) 求解得到关于未知数的区间。
3. 绝对值不等式的解法：(1) 分情况讨论绝对值的取正负；(2) 求解得到关于未知数的区间。
4. 一元分式不等式的解法：(1) 得到分子和分母的符号条件；(2) 求解不等式。
5. 二元一次不等式的解法：(1) 将不等式化为方程组的解析式；(2) 求解得到关于两个未知数的区域。
四、不等式的应用不等式在各个学科中都有广泛应用，下面列举几个常见领域的应用：1. 几何应用：用不等式表示线段长度、角度大小等几何关系。
2. 经济学应用：用不等式表示供需关系、利润大小等经济问题。
3. 物理学应用：用不等式表示速度、加速度等物理量之间的关系。
高一数学必修一不等式
高一数学必修一不等式不等式作为数学中的一种重要概念，是解决实际问题和推理证明的基础。
本文将介绍高一数学必修一中关于不等式的知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
1. 不等式的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种表达方式。
例如，a<b表示a小于b，a>b表示a大于b，a≤b表示a小于等于b，a≥b表示a大于等于b。
在解不等式时，需要注意符号的含义，确保求解结果的准确性。
2. 不等式的性质不等式具有一些基本的运算性质，包括加法性质、减法性质、乘法性质和除法性质。
根据不等式的性质，可以进行合理的运算和推导，简化不等式的形式，更方便地求解问题。
3. 不等式的解集表示不等式的解可以用解集的形式表示。
解集是满足不等式条件的所有实数的集合。
例如，对于不等式2x-3>0，解集可以表示为{x|x>3/2}，表示符合条件的x的取值范围。
4. 不等式的求解方法求解不等式需要根据不等式的具体形式选择不同的方法。
常用的方法包括：代入法、分类讨论法、图像法和数轴法。
在实际解题过程中，根据题目要求和不等式形式的不同，选择合适的求解方法，确保解的准确性。
5. 不等式的应用不等式在实际问题中具有广泛的应用，特别是涉及到数量关系和大小比较的情况。
例如，在经济学、物理学和几何学等领域中，都会遇到不等式问题。
通过学习不等式的知识，我们可以更好地理解和分析实际问题，为问题解决提供有效的数学工具。
高一数学必修一中的不等式内容是我们理解和掌握数学基础的重要一环。
通过对不等式的基本概念、性质、解集表示、求解方法和应用的学习，我们可以培养数学思维能力，提高问题解决能力。
希望同学们能够认真学习不等式知识，灵活运用于实际问题中，取得优异的成绩。
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高一不等式知识点归纳总结
高一不等式知识点归纳总结高一阶段学习数学，不等式是一个重点知识点，也是数学建模等应用题的常见考点。
在高中阶段，学生需要对不等式的性质、解集的表示和不等式的应用等方面进行深入学习。
本文将对高一阶段的不等式知识点进行归纳总结。
一、不等式的性质1. 不等式的传递性：如果a<b，b<c，那么a<c。
这个性质在证明不等式的过程中经常会用到。
2. 不等式的加减性：如果a<b，那么a±c<b±c。
即不等式两侧同时加（或减）一个常数，不等号的方向保持不变。
3. 不等式的乘法性：如果a<b，且c>0，那么ac<bc。
如果a<b，且c<0，那么ac>bc。
也就是说，不等式两侧同时乘以一个正数（或负数），则不等号的方向保持不变；若乘以一个负数，不等号的方向则反向。
4. 不等式的倒数性：如果a<b，且ab≠0，那么1/b<1/a。
当不等式两侧取倒数后，不等号的方向发生改变。
二、不等式解集的表示1. 不等式解的表示方式：不等式解集通常用区间表示，包括开区间、闭区间和无穷区间。
- 开区间：表示不包含某一值的解集，一般用(a, b)表示，表示a<b 之间的所有数但不包括a和b。
- 闭区间：表示包含某一值的解集，一般用[a, b]表示，表示a≤x≤b 之间的所有数。
- 无穷区间：表示解集没有上下界的情况，分为无穷大区间和无穷小区间。
2. 解不等式的步骤：解不等式的主要步骤有：移项、消项、分析正负、绘制数轴和表示解集。
三、不等式的类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b 为已知实数，x为未知数。
- 解一元一次不等式的步骤：先将不等式化简为ax>c或ax<c的形式，然后根据a的正负情况进行讨论，最后找出解集。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
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高一数学不等式知识点 Prepared on 22 November 2020
不 等 式
1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有：
（1）
对称性：a>b ⇔b<a ； （2）
传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； （3）
可加性：a>b ⇒a+c>b+c ； （4）
可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：
（1）
同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2）
异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒. （3） 正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
（4） 乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >；
（5） 开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >；
（6） 倒数法则：若ab>0，a>b ，则b 1a 1<。
2、基本不等式
定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时取“=”号）
推论：如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2
（当且仅当a=b 时取“=”号） 算术平均数2
b a +；几何平均数ab ； 推广：若0,>b a ，则b
a a
b b a b a 1122222+≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时取“=”号；
3、绝对值不等式
（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；
｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。
（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-
4、不等式的证明：
(1) 常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；
(2) 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；
(3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
5、 不等式的解法：
（1）一元二次型不等式的恒成立问题常用结论：
ax 2
+bx+c>0对于任意的x 恒成立⇔20040a a b ac >⎧=⎨-<⎩或检验； ax 2
+bx+c<0对于任意的x 恒成立⇔20040a a b ac <⎧=⎨-<⎩或检验 （2）解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。
一元二次不等式与相应的函数，方程的联系
① 求一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集，要结合20ax bx c ++=的根及二次函数2y ax bx c =++图象确定解集．
② 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>，设24b ac ∆=-，它的解按照
000∆>∆=∆<，，可分为三种情况．相应地，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >的解集，列表如下：
含参数的不等式应适当分类讨论。
6、线性规划问题的解题方法和步骤
解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。
它的步骤如下：
（1）设出未知数，确定目标函数。
（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。
（3）由目标函数z ＝ax ＋by 变形为y ＝－b a x ＋b
z ，所以，求z 的最值可看成是求直线y ＝－b a x ＋b
z 在y 轴上截距的最值（其中a 、b 是常数，z 随x ，y 的变化而变化）。
（4）作平行线：将直线ax ＋by ＝0平移（即作ax ＋by ＝0的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使b
z 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。
（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（或最小）值。
7、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若 0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若 0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．
8、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．
①若 0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．
②若 0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．
9、最值定理
设x 、y 都为正数，则有
⑴ 若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ．
⑵ 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．
即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”
注意：一正、二定、三相等。