第十一章多元函数积分学
高等数学第十一章多元函数积分学
1.化整为零
分D为 n 个小区域，
1, 2, , n
相应柱体分为n部分
V V 1 V 2 V n
D底面
Vi
i
顶面f(x,y) 侧面
曲顶柱体的体积
1.化整为零 V V 1 V 2 V n 平行于xoy面的平面
一、直角坐标系下二重积分的计算
方法 y
当 f(x,y)0时，D为有界区域，视二重积分为曲顶柱体的体积
f(x,y)dV曲顶柱体
D
z
D
y
x
b
V曲顶柱体a A(x)dx
f(x,y)dabA(x)dx
D
a
bx
A(x)
A(x) 怎样求得？
直角坐标系下二重积分的计算
d
z
A(x)c f(x,y)dy
2(x) f (x, y)dy 1(x)
0
i n1 jn 1(n in j)n12
n
1 n4
nn
i
i1 j1
j 1[n(n1)]21
n n4 2
4
3．二重积分的性质
◣ k (fx,y)dkf(x,y)d （k为常数）
D
D
◣ [f ( x ,y g ( x ,y )d ] f( x ,y ) d g ( x ,y ) d
D
D
D
解：因f(x,y)=xy在D上连续
xyd 存在
D
ij
将D均分为 n 2 个正方形小区域 ij
ij
1 n2
(i ,i ) 取右上角顶点( i , j ) nn
f(i,i)ijn injn12
n n ( i j) 1
多元函数积分知识点总结
多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。
多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。
例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。
多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。
2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。
多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。
3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。
二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。
三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。
其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。
这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。
6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分
多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一项重要的概念和计算方法。
与一元函数的积分类似，多元函数的积分可以帮助我们求解曲线下的面积、体积等问题，以及解决一些与实际问题相关的计算。
一、二重积分二重积分是多元函数积分中最基础的一种形式。
它的计算方法依赖于重积分的定义以及二重积分的性质。
对于二重积分来说，我们需要将待求的函数转化为极坐标形式、直角坐标形式等，并确定积分区域的范围。
通过分割积分区域成为若干小块，再对每个小块进行积分求和，最后将所有小块的积分结果相加，可以得到二重积分的值。
在实际应用中，二重积分可以用来计算平面图形的面积、求解平面质心等问题。
二、三重积分与二重积分类似，三重积分是多元函数积分中的另一种形式。
三重积分的计算方法也依赖于重积分的定义以及三重积分的性质。
与二重积分不同的是，三重积分需要确定积分区域的范围，并将待求的函数转化为球坐标形式、柱坐标形式等。
同样地，通过分割积分区域成为若干小块，再对每个小块进行积分求和，最后将所有小块的积分结果相加，可以得到三重积分的值。
在实际应用中，三重积分可以用来计算空间图形的体积、质心等问题。
三、重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质对于计算积分结果以及简化计算过程都非常有帮助。
其中一些常见的性质包括积分线性性、积分对称性、积分的加法性和积分的估值性等。
积分线性性：对于常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，有∬[D](af(x,y)+bg(x,y))dA = a∬[D]f(x,y)dA + b∬[D]g(x,y)dA。
这个性质使得我们在计算重积分时可以将积分区域分解成若干个子区域进行计算。
积分对称性：如果函数f(x,y)在区域D上关于x轴对称，则有∬[D]f(x,y)dA = 2∬[D1]f(x,y)dA，其中D1是区域D在x轴上方的部分。
类似地，还有关于y轴对称和原点对称的性质。
积分的加法性：对于两个不重叠的区域D1和D2，有∬[D1∪D2]f(x,y)dA = ∬[D1]f(x,y)dA + ∬[D2]f(x,y)dA。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。
本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。
一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。
它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。
二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。
根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。
•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。
•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。
2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。
它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。
三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。
二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。
它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。
Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。
对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。
2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。
极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。
通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。
在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。
三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
第十一章 多元函数的积分学(最全)word资料
第十一章多元函数的积分学1. 计算下列二重积分：(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，．2 . 将二重积分化为不同顺序的累次积分：(1) 由轴与所围成；(2) 由及所围成；(3) 由和围成；(4) ．3 .改变下列累次积分的次序：(1) ；(2) ；(3) ．4 .设在所积分的区域上连续，证明．5. 计算下列二重积分：(1) ( ), 是由围成的区域；(2) 是由和围成的区域；(3) ：；(4) ：；(5) 由所围成；(6) 由所围成；(7) 是以和为顶点的三角形；(8) 由和所围成．6. 求下列二重积分：(1) ；(2) ；(3) ．7. 用极坐标变换将化为累次积分：(1) ：半圆；(2) ：半环；(3) ：圆；(4) ：正方形．8. 用极坐标变换计算下列二重积分：(1) ：；(2) 是圆的内部；(3) 由双纽线围成；(4) 由阿基米德螺线和半射线围成；(5) 由对数螺线和半射线围成．9. 在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分：(1) 若；(2) ( ) ，若；(3) ，其中＝，若；(4) ，其中＝( ) ，若．10 .作适当的变量代换，求下列积分：(1) 是由围成的区域；(2) 由围成；(3) 由围成．11 、利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1) ；(2) ；(3) 球面与圆柱面（）的公共部分；(4) ( ) ；(6) ；(6) ．第十一章调用外部程序组件概览在ABAP/4 中，有多种使事务模块化的选项可供选择。
这些选项包括所有可以调用程序外部代码组件的方法。
这些外部组件可以是功能模块、其它事务、对话模块或报表。
内容嵌入程序调用.................................................................................................................................. １外部程序和滚动区 ..................................................................................................................... １外部程序和LUW 处理 ............................................................................................................... １调用功能模块.................................................................................................................................. ２访问功能库.................................................................................................................................. ２进行调用 ..................................................................................................................................... ２使用功能模块接口 ..................................................................................................................... ２处理例外情况 ............................................................................................................................ ３调用其它事务.................................................................................................................................. ４转到事务 ..................................................................................................................................... ４调用事务 ..................................................................................................................................... ４调用与调用程序共享SAP LUW 的事务 ................................................................................... ４调用对话模块.................................................................................................................................. ４运行时执行对话模块.................................................................................................................. ４用事务作为对话模块.................................................................................................................. ４提交报表........................................................................................................................................... ５向报表传送数据......................................................................................................................... ６保存或打印报表......................................................................................................................... ７在程序间传送数据........................................................................................................................... ７用SPA/GPA 参数传送数据...................................................................................................... ７详细信息，参见：嵌入程序调用(页１)调用功能模块(页２)调用其它事务(页４)调用对话模块(页４)提交报表(页５)在程序间传送数据(页７)嵌入程序调用外部程序组件由系统进行维护，对所有程序都可用。
多元函数积分学
多元函数积分学是数学的一个分支，它是对多元函数进行积分的理论。
与一元函数积分学相比，它更加复杂，但它为我们研究物理学、工程学和其他自然科学问题提供了更强大的工具。
在本文中，我将介绍的一些基本理论，包括重积分、极坐标变换、格林公式等。
一、重积分重积分是的基本概念，它是对多元函数在某一区域上的积分。
重积分可以表示为Riemann积分或Lebesgue积分两种形式，具体形式与多元函数的性质有关。
在Riemann积分中，我们将区域分成有限个小区域，对每个小区域内的多元函数进行积分，最后将积分结果相加。
而在Lebesgue积分中，我们采用测度的概念，将多元函数的定义域分成不可数个小区域，在每个小区域上定义一个测度，对多元函数在每个小区域内的值进行加权积分，最后求出所有小区域上的积分和即为整个区域上的积分。
重积分在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如计算物体的体积、求解场的强度等。
同时，重积分也是进一步研究多元函数性质的基础。
二、极坐标变换极坐标变换是一种将平面直角坐标系上的点表示为极径和极角的变换。
它可以将一些复杂的函数转化为简单的极坐标函数，使得对多元函数进行积分更加方便。
在极坐标系中，被积函数可以表示为一个积分项和一个积分域，积分项为正态函数，积分域为从 $0$ 到 $2\pi$ 的一个闭区间和一个在某个圆内部的有界区域，在这个有界区域上的积分相当于在平面直角坐标系上的二重积分。
因此，我们可以使用积分转化公式将多元函数在极坐标系中的积分转化为在平面直角坐标系中的二重积分。
极坐标变换在数学中有着广泛的应用。
例如，对于一个椭球体积的计算，使用极坐标变换可以将三维积分转化为二维积分，更加方便计算。
三、格林公式格林公式是中的一个重要定理，它是关于多元函数的一个等式，用于计算曲面积分和线积分之间的关系。
在平面上，格林公式是一个计算平面上曲线积分和面积的公式，它表明二元函数在解析条件下，其在一个闭合路径内的曲线积分等于该函数在这个区域内的面积积分。
多元函数的积分
多元函数的积分在数学中，多元函数的积分是一个重要的概念和计算方法。
与一元函数的积分不同，多元函数的积分需要考虑多个自变量和相应的积分变量。
一、多元函数的积分定义对于二元函数f(x, y)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∬f(x, y)dA = limΔx,Δy→0 Σf(xi, yj)ΔA其中，Δx和Δy分别表示x和y方向的分割长度，Σ表示对所有的(i, j)求和，xi和yj表示分割后的小区域的任意点，ΔA表示小区域的面积。
对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，其在有界闭区域D上的积分可以定义为：∭f(x1, x2, ..., xn)dV = limΔx1,Δx2,...,Δxn→0 Σf(x1i, x2j, ..., xnk)ΔV其中，Δx1, Δx2, ..., Δxn分别表示各个方向的分割长度，Σ表示对所有的(i1, i2, ..., in)求和，x1i, x2j, ..., xnk表示分割后小区域的任意点，ΔV表示小区域的体积。
二、多元函数的积分计算与一元函数的积分类似，对于多元函数的积分计算也需要借助于定积分的性质、微积分的基本定理和换元积分法等方法。
1. 球坐标和柱坐标对于具有某种对称性的多元函数，可以选择适当的坐标系来简化积分计算。
常用的坐标系有球坐标和柱坐标。
球坐标系适用于具有球对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ其中，r代表点到坐标原点的距离，θ表示点与正z轴的夹角，φ表示点在xy平面上与正x轴的夹角。
柱坐标系适用于具有柱对称性的问题，对于三元函数可以表示为：x = rcosθ, y = rsinθ, z = z其中，r代表点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上与正x轴的夹角，z表示点在z轴上的坐标。
2. 积分的性质多元函数的积分具有类似于一元函数积分的一些性质，如线性性质、可加性质、保号性质等。
多元函数积分学课件
解析
首先将二重积分拆分为两个定积 分，然后分别进行计算。
答案
$frac{4}{9}$
答案
$-frac{1}{6}$
解析
同样拆分二重积分，然后进行计 算。
例题2
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{y}(x y)dxdy$
三重积分习题与解析
例题1
计算 $int_{0}^{1}int_{0}^{1}int_{0}^{x}xydzdxdy $
传导问题。
在几何中的应用
曲面面积和体积计算
积分可以用来计算曲面的面积和三维物体的体积，这在几何学中 非常重要。
曲线积分
在几何学中，曲线积分被用来计算曲线长度、面积和线段上的变化 量。
参数曲线和曲面
参数曲线和曲面可以用积分表示，这有助于研究几何对象的形状和 性质。
在工程中的应用
流体动力学
在航空航天、船舶和车辆设计中 ，积分被用来计算流体动力学效 应，如压力分布、速度场和流线 。
多元函数积分学课件
目 录
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的计算方法 • 多元函数积分的几何意义 • 多元函数积分的性质与定理 • 多元函数积分的应用 • 多元函数积分习题与解析
01
多元函数积分学概述
定义与性质
定义
多元函数积分学是研究多元函数的积 分及其性质的一门学科，其基础概念 包括二重积分、三重积分、曲线积分 和曲面积分等。
计算步骤
首先确定积分区域，然后选择合适的 积分次序，最后根据定积分的计算公 式进行计算。
曲线上的第一类曲线积分计算
定义
第一类曲线积分是计算曲线上的函数值 与其对应的参数的乘积的积分，即求曲 线上的一个物理量（如质量、热量等） 的分布情况。
多元函数积分学
多元函数积分学计算方法总结多元函数积分学计算方法总结 ................................................................................................................................ 1 累次积分 ................................................................................................................................................................... 2 ★A1[积分限是常数的二次积分⎰⎰dcbay y x f x d ),(d ] ................................................................................... 2 ★A2 [积分限含函数的二次积分⎰⎰)()(d ),(d x D x C bay y x f x ] ...............................................................................2 重积分: ...................................................................................................................................................................... 2 ★B1 [积分区域为矩形的二重积分⎰⎰Λy x y x f d d ),(] (2)★B2 [积分区域为平面区域的二重积分(,)d d f x y x y Λ⎰⎰] ........................................................................3 ★B3 [积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分⎰⎰⎰Ωz y x z y x f d d d ),,(] .................................................3 ★B4 [收敛的广义重积分] .............................................................................................................................. 4 曲线积分: (4)★C1 [I 型曲线积分⎰Ls z y x f d ),,(] ...............................................................................................................4 ★C2 [II 型曲线积分⎰++Lz R y Q x P d d d ] ............................................................................★C3 [全微分式II 型曲线积分d d d ABP x Q y R z ++⎰] .........................................................★C4 [平面闭曲线的II 型曲线积分d d LP x Q y +⎰] ...........................................................★C5 [平面非闭合曲线的II 型曲线积分d d L P x Q y +⎰] ...................................................曲面积分: ..........................................................................................................................................★D1 [I 型曲面积分(,,)d Sf x y z S ⎰⎰] ...................................................................................★D2 [直角坐标系的II 型曲面积分d d d d d d SP y z Q z x R x y ++⎰⎰]..................................★D3 [向量式的II 型曲面积分d S⎰⎰F S ] ................................................................................★D4 [闭曲面情形的曲面积分] ..............................................................................................★D5 [开曲面情形的曲面积分] ..............................................................................................★D6 [循环常数] ......................................................................................................................约定:a ,b ,c ,d 为已知常数, ,,,αβγδ是已知的弧度, ,,x y z 是原空间直角坐标系分量, ,,u v w 是新变量同时也是变量代换函数记号, ,,ρθφ是球坐标\极坐标\柱坐标系的分量,(),(),(),()A B C D ⋅⋅⋅⋅是积分限函数, (),(),()f g h ⋅⋅⋅表示积分函数, ω表示现有变量的全微分, (),(),()P Q R ⋅⋅⋅是场向量函数F 的分量,均为(,,)x y z 的函数.L 表示空间曲线,Λ表示空间曲面,Ω表示空间区域,∂表示取上述区域的边界或变量的偏微分. Γ是带方向的曲线, S 是带方向的曲面区域, S (黑斜体)是法向量或者说曲面积分元.累次积分二次积分⎰⎰bad cx y y x f d )d ),((也写作⎰⎰d cb ay y x f x d ),(d ;三次积分z z y x f y x pqd c b a d ),,(d d ⎰⎰⎰★A1[积分限是常数的二次积分⎰⎰dcb ay y x f x d ),(d ]求法: ⎰dcy y x f d ),(先求,把x 当作常数,只对y 求原函数并求出积分值g (x )(可能和x 无关).然后将它作为新的被积函数,也就是计算⎰bax x g d )(，即可得到累次积分的积分值.result x x g y y x f x bad cba==⎰⎰⎰d )(d ),(d性质:①分量积分顺序改变,积分值不变;①⎰⎰⎰⎰=b a d c d c b a x y x f y y y x f x d ),(d d ),(d ; ②分离分量因子后分别积分的乘积等于原积分值; ②)d )(()d )((d )()(d ⎰⎰⎰⎰⋅=⋅d c b a d c b a y y g x x f y y g x f x ③被积函数可加性.③⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+dcbadcbadcbay y x g x y y x f x y y x g y x f x d ),(d d ),(d d )),(),((d★A2 [积分限含函数的二次积分⎰⎰)()(d ),(d x D x C b ay y x f x ]求法:先将x 看成常数,求出f 关于y 的原函数g (y )(可能含有x );再将))(())((x C g x D g -作为关于x 的新的被积函数;最后算出定积分的值.⎰⎰⎰=-=bax D x C baresult x x C g x D g y y x f x d )))(())(((d ),(d )()(重积分:二重积分⎰⎰Λy x y x f d d ),(;三重积分⎰⎰⎰Ωz y x z y x f d d d ),,(★B1 [积分区域为矩形的二重积分⎰⎰Λy x y x f d d ),(]求法:把积分区域Λ的矩形化为区间的乘积的形式[a ,b ]×[c ,d ],被积函数不变,区间端点按分量顺序作为二次积分的积分限.积分区域为长方体的三重积分求法类似.],[],[,...d ),(d d d ),(d c b a result y y x f x y x y x f dcb a⨯=Λ===⎰⎰⎰⎰Λ★B2 [积分区域为平面区域的二重积分(,)d d f x y x y Λ⎰⎰]求法:定下分量的积分顺序,如先y 后x ,那么先写出Λ中所有点的x 分量的最小值a ,最大值b ,以取得上述最值的点为端点,将Λ的边界分成下半边界C (x )和上半边界D (x ).那么可以化为被积函数不变,先对积分区间为从C (x )到D (x )的y 分量积分,再对积分区间为[a ,b ]的x 分量积分的二次积分.积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分也有类似的方法.)]}(),([],,[|),{(,...d ),(d d d ),()()(x D x C y b a x y x result y y x f x y x y x f x D x C b a ∈∈=Λ===⎰⎰⎰⎰Λ)]},(),,([)],(),([],,[|),{(,d ),,(d d d d d ),,()()(),(),(y x D y x C z x B x A y b a x y x z z y x f y x z y x z y x f x B x A y x D y x C ba∈∈∈=Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω性质:①变量代换后积分值不变; (,)(,)d d ((,),(,))d d ,(,)x y f x y x y f u x y v x y u v u v ΛΛ∂=⋅∂⎰⎰⎰⎰①(,),(,)det (,),(,)u vu v x x u u x y x y y y v v x y u v ''=⎛⎫⎧∂=⎨⎪''=∂⎩⎝⎭变换为,.ΛΛ是由的不等式根据变量代换改写并加上新变量的限制如极坐标变换cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩故有新的限制0,||ρθπ≥≤(,)d d ((,),(,))d d f x y x y f x y x y ρθρρθΛΛ=⋅⎰⎰⎰⎰;球坐标变换cos cos ,sin cos ,sin ,x y z ρθϕρθϕρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩故有新限制0,,2πρθπϕ≥≤≤,(,,)d d d ((),(),())cos d d d f x y z x y z f ρθϕρϕρθϕΩΩ=⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰.②积分值与积分顺序无关,但对应的累次积分不同;②()d ()()()(,)d d d (,)d d (,)d ,b D x B x a C x c A x f x y x y x f x y y y f x y x Λ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰{(,)|[,],[(),()]}{(,)|[,d],[(),()]}x y x a b y C x D x x y y c x A y B y Λ=∈∈=∈∈ ③零函数或零测度集Λ上的重积分必为零.③三重积分的积分区域若是面、线、点,则积分值为零,二重积分的积分区域是线、点时,积分值为零.★B3 [积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分⎰⎰⎰Ωz y x z y x f d d d ),,(]求法:定下分量的积分顺序,如先(y ,z )后x ,那么先解出Ω的不等式(组)关于g (y ,z )的解)](),([x B x A ,即有平面区域Λ.继而有被积函数不变,视x 为常数,关于(y ,z )的二重积分,随后做关于x 分量的第二次积分.类似的积分顺序也可以是先(x , y )后z .}),(],,[|),,{()]},(),([),(|),{(,d )(d d ),,(d d d d ),,(Λ∈∈=Ω∈=Λ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΛΩz y b a x z y x x B x A z y g z y result x x h z y z y x f x z y x z y x f bab a★B4 [收敛的广义重积分]求法:只要广义重积分是收敛的,就可以按照一般重积分的求法求得收敛值.曲线积分:Ⅰ型曲线积分⎰Ls z y x f d ),,(;Ⅱ型曲线积分⎰++Lz R y Q x P d d d★C1 [I 型曲线积分⎰Ls z y x f d ),,(]求法:首要任务是将积分曲线L 的方程参数化,用参数t 表示,并且表示出积分区间.将参数方程代入被积函数,弧微分d s 按公式计算即可得到定积分.(,,)d ((),(),(,{(,,)|(),(),(),[,]}baLf x y z s f x t y t z t t result L x y z x x t y y t z z t t a b ======∈⎰⎰★C2 [II 型曲线积分⎰++Lz R y Q x P d d d ]求法:将积分曲线L 的方程参数化,用参数t 表示,并且表示出积分区间.函数P ,Q ,R 中的变量换为t 后乘上对应分量关于t 的导数作为新的被积函数,做关于t 的积分.但注意这里的曲线是有向的,右手法则下逆时针取正,顺时针取负.()d d d ()()()d ,{(),(),()},:bt t t aLP x Q y R z P t x Q t y R t z t result L x t y t z t t a b '''++=±⋅+⋅+⋅==→⎰⎰★C3 [全微分式II 型曲线积分d d d ABP x Q y R z ++⎰]求法:若P Q y x ∂∂=∂∂(二元), P R z x∂∂=∂∂,且Q R z y ∂∂=∂∂则该空间曲线微分是全微分式(恰当)的.对微分形式凑微分得到原函数F ,再代入积分区间即可得结果.注意这里曲线也是有方向的.d d d d (,,)(,,),d d d d BBA AABP x Q y R z F x y z F x y z result F P x Q y R z ++=±=±==++⎰⎰其中★C4 [平面闭曲线的II 型曲线积分d d LP x Q y +⎰]求法:对场向量的分量函数P ,Q 求全微分,形如d d d P PP x y x y∂∂=+∂∂,并与原对应分量取外微分,作为二重积分的微分形式.二重积分的区域是以L 为边界的曲面.d d (d )d (d )d d d (,)d d ...,L P Q P x Q y P x Q y x y f x y x y result L y x ΛΛΛ⎛⎫∂∂+=∧+∧=-+====∂Λ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ★C5 [平面非闭合曲线的II 型曲线积分d d LP x Q y +⎰]求法:补上一条连接端点的线段AB ,然后以L AB ⋃作为闭曲线化为二重积分,并加上的反方向的AB 的曲线积分.d d ()(d d )(,)d d d d ...,AABBLL ABP x Q y P x Q y f x y x y P x Q y result L AB Λ⋃+=++=++==⋃=∂Λ⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质:①被积函数曲面与区域公用对称轴/对称面时,前者在后者两侧(奇),则积分值为零,前者在后者的同侧(偶),则积分值等于积分区域取一半的积分值的两倍.②函数中的分量交换后函数相似的,积分值相等.曲面积分:Ⅰ型曲面积分(,,)d Sf x y z S ⎰⎰;Ⅱ型曲面积分:直角坐标式d d d d d d S P y z Q z x R x y ++⎰⎰;向量式d S⎰⎰F S★D1 [I 型曲面积分(,,)d Sf x y z S ⎰⎰]求法:先针对S 求出参数方程,分别对曲面向量求关于某两个变量的偏导向量函数(可以是原来的变量,也可以代换成其他变量),然后取这两者的外积的模,便可以得到普通的二重积分.(,){(,),(,),(,)},(,){,,},{,,}(,,)d ((,),(,),(,))d d ...u v uv SDS r u v x u v y u v z u v u v Dx y z x y z r r u u u v v vf x y z S f x u v y u v z u v r r u v result≡=∈∂∂∂∂∂∂''==∂∂∂∂∂∂''=⋅⨯==⎰⎰⎰⎰性质:当S 为变量的隐式时,替换成其中两个变量时,法向量模可以用偏导的模来取代. ★D2 [直角坐标系的II 型曲面积分d d d d d d SP y z Q z x R x y ++⎰⎰]求法: 这种方法是将三部分分开计算的.若积分曲面是闭合的,且积分方向是曲面的内侧或外侧,则先将曲面合理分割.再确定曲面积分方向和曲面投影方向的关系,如计算d d SP y z ⎰⎰的时候,若yz D 是S 从x 轴负方向投向yOz 面的投影,且积分方向是向x 轴正方向,则定积分取正号.接下来确定投影区域D ,将S 的关于x (或y 或z )的显式并代入P (或Q 或R )中作为新的被积函数.(II)d d ((,),,)d d ...yzSD P y z P x y z y z y z result =±==⎰⎰⎰⎰★D3 [向量式的II 型曲面积分d S⎰⎰F S ]求法: 先针对S 求出参数方程,分别对曲面向量求关于某两个变量的偏导向量函数(可以是原来的变量,也可以代换成其他变量),然后取这两者的外积(即关于曲面S 上得每一点的法向量函数).将它和场向量{,,}P Q R =F 取内积作为新区域D 下的二重积分的被积函数.d {,,}()d d ...uv SDP Q R r r u v result ''=⋅⨯==⎰⎰⎰⎰F S★D4 [闭曲面情形的曲面积分] 求法:★D5 [开曲面情形的曲面积分] 求法:★D6 [循环常数] 求法:。
多元函数积分学
多元函数积分学多元函数积分学是一门研究多元函数及其应用的数学分支。
这门学科涉及多变量函数的积分、定积分、无穷积分以及分析在多变量函数上的积分问题。
在多元函数积分学中，多元函数的定义以及它们的性质是基本的。
它们可以在任何给定的多元函数空间中定义，是多元函数积分学的基本概念和研究的重要内容。
多元函数积分学的主要任务是研究多变量函数的积分问题。
在多元函数积分学中，多变量函数积分可以分为定积分和无穷积分两类。
定积分是指在给定积分问题的多变量函数中求解积分，它一般包括一元函数积分、二元函数积分、多变量函数的积分和曲线的积分等。
它可以使用多种方法求解，比如高斯积分、梯形积分、拉斯维加斯积分以及蒙特卡罗积分等。
而无穷积分则是指在多变量函数中对积分域上的数学函数进行积分，它可以使用泰勒级数展开、拉普拉斯变换、拉格朗日变换等进行求解。
多变量函数积分与一元函数积分也有不同之处。
一元函数积分是指积分域上的一元函数，这是一种非常直观的概念，我们可以使用经典的定积分方法来解决一元函数的积分问题。
而多变量函数积分则不同，因为它需要考虑多变量函数的复杂性，在求解多变量函数积分时，我们需要考虑几何图形及其各种变换，这为求解多变量函数积分提出了新的问题。
另外，多变量函数积分学还涉及空间几何的概念，它的主要任务是研究多变量函数的空间性质，比如曲面的概念、曲面的法线、曲线的曲率等。
这些涉及空间几何的概念，可以帮助我们更深入地理解多元函数的积分过程，从而更加深入地研究多元函数积分的性质和特性。
多元函数积分学的研究主要是为了理解多变量函数的性质和特征，从而使用多元函数更好地描述现实中的现象和事物。
它也为研究多变量函数的更复杂的应用如无限维空间函数提供基础，比如用多元函数积分来研究抽象代数结构，研究计算机图形学相关的概念等。
因此，多元函数积分学是一门重要的学科，它是理解多元函数的性质和特征的基础。
它不仅为许多应用提供了理论依据，而且还可以帮助我们更深入地理解多元函数的性质和特征，从而更加深入地研究多元函数的积分和抽象代数结构。
多元函数求积分
多元函数求积分
多元函数求积分是数学中的一个重要概念，它是对多元函数在某个区域内的积分求解。
在实际应用中，多元函数求积分被广泛应用于物理、工程、经济等领域，是解决实际问题的重要工具。
多元函数求积分的基本概念是对多元函数在某个区域内的积分求解。
在多元函数中，每个变量都可以看作是一个独立的自变量，而函数的值则是因变量。
因此，多元函数可以看作是一个自变量为多个变量的函数。
在多元函数中，积分的概念与一元函数中的积分概念类似，只是需要对多个变量进行积分。
在多元函数中，积分的结果是一个数值，表示在某个区域内的函数值的总和。
多元函数求积分的方法有很多种，其中最常用的方法是变量分离法和换元法。
变量分离法是将多元函数中的变量分离出来，然后对每个变量进行积分。
换元法则是将多元函数中的变量进行替换，然后对替换后的函数进行积分。
在实际应用中，多元函数求积分被广泛应用于物理、工程、经济等领域。
例如，在物理学中，多元函数求积分可以用于求解物体的质心、重心、转动惯量等问题；在工程学中，多元函数求积分可以用于求解结构力学、流体力学等问题；在经济学中，多元函数求积分可以用于求解市场需求、供给等问题。
多元函数求积分是数学中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
通过对多元函数求积分的研究，可以更好地理解和应用数学知识，为解决实际问题提供有力的工具。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的重要分支，研究具有多个变量的函数的积分。
它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
本文旨在总结多元函数积分学的基本概念、技巧和应用。
一、多重积分1.二重积分二重积分即对二元函数在一个有界区域上的积分。
它可以通过将区域分割成小的矩形，并在每个矩形中求函数值乘以该矩形的面积，再将所有矩形的面积相加而得到。
二重积分的计算可以使用极坐标、换元法等方法来简化计算过程。
2.三重积分三重积分即对三元函数在一个有界区域上的积分。
类似于二重积分，三重积分可以通过对区域进行分割，并在每个小的立体元中求函数值乘以立体元的体积，再将所有立体元的体积相加而得到。
三重积分的计算可以使用柱坐标、球坐标等方法来简化计算过程。
3.多重积分的性质–可加性：多重积分具有可加性，即对于函数的积分，可以将区域分割成多个子区域，分别在每个子区域上计算积分，再将这些积分相加。
–定积分的值与路径无关：对于连续函数，在一个闭合曲线上的积分与路径无关，只与路径所围成的区域有关。
二、重要定理1.Fubini定理Fubini定理是二重积分和三重积分的重要定理，它可以将多重积分转换为一重积分的形式，简化积分计算的过程。
2.Green公式和Stokes定理Green公式和Stokes定理是两个重要的向量积分定理。
它们描述了曲线积分和曲面积分与散度、旋度之间的关系。
3.Gauss公式Gauss公式是一个重要的体积积分定理，它表明了三维空间中的散度与体积分之间的关系。
这个定理在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
三、应用实例1.质量和质心多重积分在质量和质心的计算中有广泛的应用。
通过将物体划分为无穷小的微元，可以通过多重积分计算物体的总质量和质心的位置。
2.引力和电场的计算在物理学中，多重积分可以用于计算引力和电场的作用。
通过计算物体上的质量或电荷在空间中的分布，可以使用多重积分来求解引力或电场的强度。
3.概率密度函数和统计分析在概率论和统计学中，概率密度函数描述了随机变量的概率分布。
高等数学中的多元函数的积分
高等数学中的多元函数的积分高等数学中的多元函数积分高等数学是一门抽象的学科，它以符号理论和逻辑推理为基础，利用数学结构和算法解决复杂的问题。
在高等数学中，多元函数积分是一个非常重要的概念。
多元函数积分是现代数学的基石之一，它与实际问题密切相关，具有广泛的应用范围。
1. 多元函数积分的概念多元函数积分是一种数学工具，它用于计算多元函数在闭合区域上的积分值。
多元函数是指有多个自变量的函数，积分是对多元函数在一个闭合区域上的求和操作。
多元函数积分的概念最早是由黎曼在19世纪中期提出的，现在已经成为现代数学的一部分。
2. 多元函数积分的性质多元函数积分具有以下性质：（1）线性性：若f和g是定义在闭合区域U上的两个多元函数，a和b是常数，则有∫[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy＝a∫f(x,y)dxdy+b∫g(x,y)dxdy。
（2）可加性：若f是定义在闭合区域U上的多元函数，在它的范围内用一个曲面D把闭合区域分成两个部分U1和U2，则有∫f(x,y)dxdy＝∫f(x,y)dxdy＋∫f(x,y)dxdy。
3. 多元函数积分的计算方法多元函数积分的计算方法有以下几种：（1）直接计算：即按照定义式进行积分。
这种方法适合于计算简单的多元函数积分。
（2）使用改变变量法：改变变量法是通过变量代换的方式，将多元函数转化为标准形式，并重新计算积分。
这种方法适合于计算复杂的多元函数积分。
（3）使用重积分法：重积分法是把多元函数积分表示为两个一元函数积分的积分形式，再进行计算。
这种方法适合于计算连续多元函数积分。
4. 多元函数积分的应用多元函数积分是解决实际问题的有力工具，它在物理、工程、金融等领域都有广泛的应用。
（1）物理领域：例如，通过多元函数积分可以计算物体的体积、质心、转动惯量等参数。
（2）工程领域：例如，通过多元函数积分可以计算电场、磁场、热量传递等参数。
（3）金融领域：例如，通过多元函数积分可以计算期权和利率等金融指标。
第十一章多元函数积分学
第十一章 多元函数积分学一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质.2．掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3．会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量). 4．了解曲线积分的概念和性质. 5．会计算简单的曲线积分.重点 二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.难点 直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.（二）内容提要 1．二重积分设二元函数),(y x f z =是定义在有界闭区域D 上的连续函数，用微元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即⎰⎰Dy x f σd ),(称为函数),(y x f z =在闭区域D 上的二重积分，其中),(y x f 称为被积函数，σd ),(y x f 称为被积表达式，D 称为积分区域，σd 称为面积元素，y x 与称为积分变量.2．二重积分的几何意义 在区域D 上当0),(≥y x f 时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积.当),(y x f 在区域D 上有正有负时，⎰⎰Dy x f σd ),(表示曲面),(y x f z =在区域D 上所对应的曲顶柱体的体积的代数和.3． 二重积分的性质 (1)可加性[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDy x g y x f y x g y x f σσσd ),(d ),(d ),(),(.(2)齐次性⎰⎰⎰⎰=DDk y x f k y x kf )( d ),(d ),(为常数σσ.(3)对积分区域的可加性 设积分区域D 可分割成为1D 、2D 两部分，则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12d ),(d ),(d ),(D D Dy x f y x f y x f σσσ.(4)(积分的比较性质) 若),(),(y x g y x f ≥，其中D y x ∈),(，则σσd ),(d ),(⎰⎰⎰⎰≥DDy x g y x f .(5)（积分的估值性质） 设M y x f m ≤≤),(，其中D y x ∈),(，而M m ,为常数，则⎰⎰≤≤DM y x f m σσσd ),( ,其中σ表示区域D 的面积.(6)（积分中值定理）若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则在D 上至少存在一点D ∈),(ηξ，使得σηξσ),(d ),(f y x f D=⎰⎰.4. 二重积分的计算⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算 直角坐标系下的面积元素y x •d d d =σ , ①若D :)()(21x y x ϕϕ≤≤,b x a ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=x y y x f x x b a d d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ϕϕ， ②若D : )()(21y x y ψψ≤≤,d y c ≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=y x y x f y x d cd d ),()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰ψψ. ⑵二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素θσd d d r r =，极坐标与直角坐标的关系⎩⎨⎧θ=θ=.sin ,cos r y r x若D : )()(21θθr r r ≤≤,βθα≤≤,则⎰⎰Dy x y x f d d ),(=⎰⎰Dr r r r f θθθd d )sin ,cos (=θθθθθβαd d )sin ,cos ()()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰r r r r r r f . 5. 对坐标的曲线积分设L 是有向光滑曲线,j ),(i ),(),F(y x Q y x P y x +=是定义在L 上的向量函数,且),( , ),(y x Q y x P 在L 上连续,利用微元法,先写出弧微元j i l y x d d d +=,作乘积=w d L F d ⋅=y )y ,x (Q x )x ,x (P d d +,再无限累加,由这两步所得的表达式,即⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 称为函数)y ,x (F 在有向曲线L 上对坐标的曲线积分,其中有向曲线L 称为积分路径.如果),( , ),(y x Q y x P 中有一个为零，则这时曲线积分的形式为⎰⎰y )y ,x (Q x )y ,x (P L Ld d 或,如果曲线L 是封闭曲线，L 上积分记为⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d .6.对坐标的曲线积分的性质① 设L 为有向曲线弧，-L 是与L 方向相反的有向曲线弧，则y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L d d d d +-=+⎰⎰-.② 如果21L L L +=，则有.y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P y )y ,x (Q x )y ,x (P L L Ld d d d d d 21+++=+⎰⎰⎰7.格林公式 设D 是平面上以分段光滑曲线L 为边界的有界闭区域,函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上有一阶连续偏导数,则有格林公式⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+σd d d D L y P x Q y Q x P ,其中L 是区域D 的正向边界.8.曲线积分与路径无关(1)定义 设D 是一个单连通区域,将),(y x P 简称为),(,y x Q P 简称为Q ,如果对D 内任意指定的两点A ,B 以及D 内从A 点到B 点的任意两条不相同的曲线21 , L L ,若有y Q x P y Q x P L L d d d d 21+=+⎰⎰,则称曲线积分⎰+y Q x P L d d 在D 内与路径无关.这时,可将曲线积分记为⎰+B Ay Q x P d d .(2)曲线积分与路径无关的定理 ①在单连通区域D 内，曲线积分⎰+y Q x P Ld d 与路径无关的充分必要条件是：对D 内任意一条闭曲线L ，均有⎰=+0d d y Q x P L.②设函数),(y x P 和),(y x Q 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则曲线积分⎰+Lx Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是:yPx Q ∂∂=∂∂在区域D 内恒成立. 9. 曲线积分的计算方法 ⑴积分路径由参数方程给出设xOy 面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==,)t (y ,)t (x ψϕ且满足:① 当参数t 单调地由α变到β时,曲线上的点由起点A 运动到终点B ; ② )(t ϕ,)(t ψ在以α和β为端点的闭区间I 上具有一阶连续导数,且()()0)()(22≠'+'t t ψϕ;③),(y x P ,),(y x Q 在有向曲线弧L 上连续.则曲线积分⎰+y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d 存在,且y )y ,x (Q x )y ,x (P Ld d +⎰={}t )t ()]t (),t ([Q )t ()]t (),t ([P d ψψϕϕψϕβα'+'⎰.⑵ 积分路径由)(x f y =给出设xOy 面上的有向曲线弧L 的方程为 )(x f y =，这时可先将有向曲线弧L 的方程看作是以x 为参数的参数方程⎩⎨⎧==,)x (f y ,xx 然后再按（1）中的方法计算.要特别注意:在将对坐标的曲线积分转换为定积分时,积分下限一定要对应积分路径的 起点， 积分上限一定要对应积分路径的终点.二 、主要解题方法1．在直角坐标系下二重积分的计算例1 计算 ⎰⎰Dy x y x d d 2其中D 由直线2=y ，x y =和曲线1=xy 所围成.解 画出区域D 的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标A （21，2）, B （1，1）, C （2，2），选择先对x 积分，这时D 的表达式为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,y x y,y 121 于是⎰⎰Dy x y xd d 2=x y x y y y d d 1221⎰⎰=y x y yy d ]3[11321⎰ =⎰-2142d )1(31y yy =3312111()333y y -+=7249 .分析 本题也可先对y 积分后对x 积分，但是这时就必须用直线1=x 将D 分1D 和2D 两部分.其中1D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21,121y xx 2D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,2,21y x x由此得⎰⎰Dy x y x d d 2=⎰⎰1dd 2D y x y x +⎰⎰2d d 2D y x y x =y yx x xd d 212121⎰⎰+y y x x x d d 2221⎰⎰=⎰121212d ][ln x y x x+⎰2122d ][ln x y x x=⎰+1212d ]ln 2[ln x x x +⎰-212d ]ln 2[ln x x x =7249. 显然，先对y 积分后对x 积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.例2 计算σ++⎰⎰d )1(Dy x ，其中D ：1≤+y x .解 画出积分区域D 的图形， 观察被积函数，无论先对x 积分后对y 积分还是先对y 积分后对x 积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较繁，这里选择先对y 积分后对x 积分，其中110,11,x D x y x -≤≤⎧⎨--≤≤+⎩201,11,x D x y x ≤≤⎧⎨-≤≤-⎩ 因此σ++⎰⎰d )1(Dy x =σ++⎰⎰d )1(1D y x +σ++⎰⎰d )1(2D y x =σ++⎰⎰+---d )1(d 1101x xy x x +σ++⎰⎰--d )1(d 1110xx y x x=4σ+⎰d )1(21-x +4x x d )1(10⎰-=423+103=. 例3 已知 I =x y x f y yd ),(d 010⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰- 改变积分次序.解 积分区域21D D D +=，其中1D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,0,10y x y 2D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,20,21y x y画出积分区域D 的图形， 改变为先对y 积分后对x 积分， 此时 D ⎩⎨⎧-≤≤≤≤,2,102x y x x 因此I =x y x f y yd ),(d 01⎰⎰+x y x f y y d ),(d 2021⎰⎰-=y y x f x x xd ),(d 221⎰⎰- .小结 把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时，正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积分域而忘了被积函数.2． 在极坐标系下二重积分的计算例4 计算⎰⎰σDxyd arctan，其中D 由422=+y x , 122=+y x ,0=y ,x y = 所围成的第一象限内的区域.解 画出积分区域D 的图形， 由于积分区域的边界曲线有圆周， 所以选极坐标系积分. 此时 θ=xyarctan，于是 ⎰⎰σDx yd arctan=⎰θ4π0d ⎰θ21d r r =⎰πθθ40d 212]2[r=234π22θ=6432π. 例 5 求半球体2220y x a z --≤≤在圆柱ax y x =+22(0>a )D 内那部分的体积.解 把所求立体投影到y x o 面，即圆柱ax y x =+22(0>a ）内部,容易看出所求立体的体积以D 为底，以上半球面222y x a z --=为顶的曲顶柱体的体积.由于积分区域的边界曲线为圆周，所以采用极坐标系较好.此时D ⎪⎩⎪⎨⎧θ≤≤≤θ≤-,cos 0,2π2πa r 2x故 V =y x y x a Dd d 222⎰⎰--=⎰-θ2π2πd ⎰θ-cos 022d a r r r a=32⎰θθ-2π033d )cos 1(a =（3π94-）3a . 小结 在计算二重积分时，当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时，选择用极坐标为好，其他情况用直角坐标为宜.3．对坐标的曲线积分的计算方法例 6 设 I =⎰--Ly y x x xy x d d )3(222 ，其中L 是沿上半圆周22y x +=1上的点A （1，0）到)0,1(-B 一段弧，如图.解一 首先验证曲线积分是否与路径无关.223xy x P -=，y x Q 2-=，因为y P ∂∂=xy 2-=xQ∂∂ ， 所以曲线积分与路径无关，可选一条简单路径，即选择线段AB 路径. 得I =⎰--ABy y x x xy x d d )3(222 ，在线段AB 上0=y ，0d =y ，x 从1到1-，所以I =⎰-112d 3x x =113-x =2-.解二 用参数方程代入法，设t 为参数t x cos = ，t y sin =，t 从0到π 得I =⎰---π222d ]cos sin cos )sin )(sin cos cos 3[(t t t t t t t t=⎰--π2d ]4sin 41sin cos 3[t t t t =（t 3cos +161cos4t ）π=2-.显然，法一比法二简单.例7 计算⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( ，其中L 为),0(a A ,)0,(a B 联成直线段. 解 显然积分路径不是封闭曲线，不能直接用格林公式，加直线段BO ，OA 构成封闭曲线，所以⎰-+-Lx x y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =⎰++---OABO L x xy y x y y d )1cos e (d )sin (e⎰-+--BOx x y y x y y d )1cos e (d )sin e (⎰-+--Ax x y y x y y 0d )1cos e (d )sin e (，其中 y y P x -=sin e ，1cos e -=y Q x，y p ∂∂= 1cos e -y x ，xQ ∂∂= y x cos e . 因为封闭曲线是反方向，所以由格林公式，得⎰++-+-OABO L xx y y x y y d )1cos e (d )sin e ( =y x y Px Q D d d )(⎰⎰∂∂-∂∂-=y x Dd d ⎰⎰-=22a -. 又因为在BO 上0=y ，0=dy ，故⎰---BOxx y y x y y d )1cos e (d )sin e (=0. 在OA 上 0=x ，0d =x ，y 从0变到a ，于是⎰---Ax xy y x y y 0d )1cos e (d )sin e(=⎰-a y y 0d ]1[cos =a a -sin ，因此 ⎰---Lxxy y x y y d )1cos e (d )sin e (=--22a （a a -sin ）. 小结 计算对坐标的曲线积分⎰+Ly y x Q x y x P d ),(d ),(，（1） 若在单连通域内x Q ∂∂=yP∂∂时，曲线积分与路径无关。
《多元函数积分学》课件
物理应用
重积分在物理中有广泛的应用，如计 算物体的质量、质心、转动惯量等物 理量，还可以用来解决流体动力学、 弹性力学等领域的问题。
数值分析应用
重积分在数值分析中有重要的应用， 如数值积分、数值微分等计算方法的 实现都需要用到重积分的知识。
04 曲线积分与曲面积分
曲线积分的概念与性质
总结词
理解曲线积分的定义和计算方法，掌握其在几何和物理问题中的应用。
总结词
掌握多元函数的可积性和积分的基本性 质是理解多元函数积分学的重要环节。
VS
详细描述
可积性的判定条件和积分的基本性质（如 线性性质、可加性、不等式性质等）是多 元函数积分学中的核心知识点，对于理解 和应用积分具有重要意义。
多元函数积分的计算方法
总结词
掌握多元函数积分的计算方法是学习多元函数积分学的关键。
《多元函数积分学》ppt课件
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的基本概念 • 重积分 • 曲线积分与曲面积分 • 多元函数积分学的应用
01 多元函数积分学概述
多元函数积分学的定义
定义
多元函数积分学是研究多元函数 的积分、微分和微积分基本定理 的一门学科。
多元函数
一个数学函数，其中自变量不止 一个，即函数的输入和输出都是 向量或更高维度的几何对象。
计算多维工程结构的热传导和流 体流动
在工程中，很多问题需要考虑多维工程结构的热传导和 流体流动，如热力管道、流体机械等。多元函数积分学 可以用来计算这些结构的热传导和流体流动。
THANKS 感谢观看
积分
对一个函数在某个区域上的所有 点的值进行加权求和，权值由该 点的坐标决定。
多元函数积分学的重要性
解决实际问题
多元函数的积分
多元函数的积分多元函数的积分是微积分中的一个重要分支，它与单变量函数的积分有很大的不同之处。
在单变量函数的积分中，我们只需要考虑一维空间中的积分问题，而在多元函数的积分中，则必须考虑多维空间的积分问题。
由于空间维度增加，函数的复杂度也随之增加，多元函数的积分也因此变得更加复杂和困难。
多元函数的积分可以分为两类，一类是定积分，即计算函数在一个有限区域内的积分值；另一类是无限积分，即计算函数在无穷区间内的积分值。
无限积分和定积分的计算方法略有不同，有些技巧和方法只适用于其中的一种类型，因此了解两种积分类型的区别和计算方法是必要的。
在多元函数的积分中，常用的计算方法之一是变量代换法。
在单变量的积分中，我们常用变量代换法将积分限制在一段特定的区间内，以此来简化积分的计算。
在多元函数的积分中，变量代换法同样具有重要作用。
通过变量代换，可以将原本复杂的积分转化为更简单的积分。
变量代换的关键在于选择合适的变换方式和变换原理，这需要一定的数学功底和经验。
除了变量代换法外，还有其他很多重要的积分技巧。
例如，积分的分部积分法、换元积分法、极坐标系下的积分等等。
这些方法可以帮助我们计算各种复杂的积分，是多元函数积分中的重要一环。
需要注意的是，多元函数的积分在物理学、工程学、统计学等领域中有很广泛的应用。
例如在热力学中，我们需要计算体积和温度之间的积分以求出物质的热容量；在材料力学中，需要计算弹性应变能密度积分以求解固体材料的力学性能；在概率统计学中，需要计算概率密度函数积分以求出随机变量的期望值等等。
由于多元函数积分在实际应用中有很大的价值，因此学习多元函数积分的相关技巧和方法也是很有意义的。
总之，多元函数积分是一门很重要的学科，与单变量函数积分有很大的不同和区别。
了解多元函数积分的计算方法和技巧对于各种实际应用具有重要意义。
需要注意的是，掌握多元函数积分需要一定的数学功底和经验，需要耐心和勤奋的学习过程。
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n 1
lim un1 lim 3n lim n 1 1 1
u n n
n n
n 3n 3
3n1
故由比值判别法可知级数
u
n
n 1
n
3 n 1
n 1
级数 绝对收敛. 1 n1 n
n 1
3 n 1
收敛，所以原
例9
判别级数
1n
1
nn
是否绝对收敛.
n 1
n!
解 因为
n 1n1
lim un1 u n
，表明A的极限不存在，所以该级
二、正项级数及其敛散性
如果 un ≥0（n=1,2,3…），则称级数
u
n
为正项级数
n 1
定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数
列有界.
例1 证明正项级数
1
1 1
1
1
是收敛的
n0 n!
1! 2!
n!
证 因为 1 1 1 1 n 2,3,4,
n! 1 2 3 n 1 2 2 2 2n1
n
lim n
n 1!
nn
n 1n
lim
n n
n
lim1
1
n
n n
e
1
n!
故由比值判别法可知级数
un
n 1
n
n
n1 n!
发散，从而原
级数
1 n1
nn
不是绝对收敛.
n 1
n!
例10
证明级数
1 n1
条件收敛.
n n1
证
由莱布尼兹判别法知级数
1n
1
收敛，而
n n1
1 n1
1
为调和级数，它是发散的，故所给
的敛散性.
四、绝对收敛与条件收敛
定义3
对于任意项级数
un
n 1
,若
n 1
un
收敛，则称
un
n 1
是绝对收
敛的；若
n1
un收敛，而
n 1
u
n
发散，则称
n 1
u
是条件收敛的.
n
定理5 绝对收敛的级数必是收敛的.
事实上，如果
un
n 1
收敛， 由于 un ≤ u≤n
un
故从性质1及性质5知
un
也是收敛的.
第十一章 多元函数积分学
第一节 二重积分的概念与计算 第二节 二重积分的概念与计算(续) 第三节 二重积分应用举例
第一节 二重积分的概念与计算 一、二重积分的概念与性质 1．引例：曲顶柱体的体积 （1）曲顶柱体— 以曲面
z f x，y
为顶 （
f x，y 0 且连续
）以
xOy
平面上的有界闭域
D 为底，侧面是以
2 p 1
故收敛，于是当P
1
时，级数
1
np
n 1
收敛.
综上所述，P
级数 1
np
n 1
当P 1
时发散，当 P 1
时收敛.
注意 P 级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，
因此有关 P 级数敛散性的结论必须牢记.
例3判定级数 1
25
1 36
n
1
1n
4
的敛散性.
解
因为级数的一般项
1
un n 1n 4
4
，即
0.3 6
4
11
11
2．数项级数的基本性质
性质1 如果级数 un 收敛，其和为s, k为常数，则级数
n 1
kun也收敛，其和为ks；如果级数
un
发散，当k≠0时，
n 1
n 1
级数
ku
也发散.
n
n 1
由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其
敛散性不变.
性质2 若级数
un
n 1
与 vn n 1
D 的边界线为准线、母线平行于 z 轴的柱面的立体（如图）称为曲顶柱体． （2）曲顶柱体的体积
V 如果曲顶柱体的高度不变，则它的体积等于底面积
高，但曲顶柱体的顶是曲面，因此不能直接用上面的公式求
例如，级数 1 1 1 12 23 34
的一般项为 un
1. n(n 1)
又如级数
ln(1 1) ln(1 1) ln(1 1)
数, 由于 q 2 1，所以级数是发散的
级数
1n
1
是公比为-1的几何级数,
n 1
由于 q 1 ，所以该级数发散.
注意
几何级数
aq n1
的敛散性非常重要.无论是用比
n 1
较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数
展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.
.
例4
把循环小数
0.36
化为分数.
解
把
(1) n1 un (un 0, n 1, 2 , )
收敛，其和
S≤ u，1 其余项
n 1
≤ rn
u n1
例6 判定交错级数 1 1 1 1 1n1 1
234
n
解
此交错级数
un
1 n
, u n1
1，满足：
n 1
(1)
1 1 ；
n n1
(2)
1
lim
n
u
n
lim n n
0
由莱布尼兹判别法知级数收敛.
于是对任意的有
Sn
1 1 1!
1 2!
n
1
1!
1
1
1 2
1 22
1 2n2
1
1 1 2 n1 3
1
3
1 1
2 n2
2
即正项级数的部分和数列有界，故级数
1
收敛.
n0 n!
定理2（比较判别法）
设 和
un
vn
是两个正项级数，
n1
n 1
且 un vn
(1)若级数 vn
收敛，则级数
un
也收敛；
u n n
n n!
n n
所以级数
1
n 1
n
1!
收敛.
要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行：
(1)用级数收敛的必要条件
如果
lim
n
u
n
0
，则级数发散，否则需进一步判断.
(2)用比值判别法
如果
lim u n1 u n
n
1，即比值判别法失效，则改用比较判别法.
(3)用比较判别法
用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数，以便与要 判定的级数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比 级数，P P级 数等.
例1 判定级数
1
1 1 1
1
n1 n(n 1) 1 2 2 3 3 4
n(n 1)
的敛散性.
解 已知级数的前n项和是：
11
1
1 11
11
Sn
12 23
n(n 1)
(1 ) ( ) 2 23
( n
) n 1
1 1 n 1
因为
lim
n
Sn
lim1 n
n
1
1
1
,所以这个级数收敛,其
n 1
n 1
(2)若级数
u发n 散，则级数
n 1
vn 也发散.
n 1
例2
讨论
P
级数
n 1
1（P
np
0 ）的敛散性
解
当
P
1时，n1p
1，因为
n
1
n n 1
发散，所以由比较判别法知，
当 P 1 时，发散.
当 P 1时，顺次把 P 级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，
8到15项，…加括号后得
11 1111 1
和为1.
例2 判定级数
ln1
1
ln11 ln1
1
ln1
1
n1 n
2
n
的敛散性
解 已知级数的前n项和是
Sn
ln11 ln1
1 2
ln1
1 n
ln1 n
因为
lim
n
Sn
lim ln1
n
n
，
所以这个级数发散.
例3 讨论等比级数（也称几何级数）
aqn1 a aq aq2 aqn1
数列 Sn 称为级数 un 的部分和数列．若此数列的 n 1
极限存在，即
lim
n
S
n
S
(常数),则S 称为 un 的和，
n 1
记作
un S
n 1
此时称级数
u
收敛．如果数列
n
Sn 没有极限，则
n 1
称级数
u
n
发散，这时级数没有和．
n 1
当级数收敛时，其部分和 Sn 是级数和S的近似值， 称 S Sn 为级数的余项，记作 rn ，即 ． rn S Sn un1 un2
x
积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系.
1
1
1
A1
1, A2
2 , A3
, 3
An
n
所以，阴影部分的总面积为
n
11
1 n1
A Ak
k 1
1 23
n k k 1
它显然大于曲边梯形的面积S，即有
n
A Ak
k 1
n 1
1
1 x
dx