第十一章多元函数积分学

n 1
n 1
(2)若级数
u发n 散，则级数
n 1
vn 也发散.
n 1
例2
讨论
P
级数
n 1
1（P
np
0 ）的敛散性
解
当
P
1时，n1p
1，因为
n
1
n n 1
发散，所以由比较判别法知，
当 P 1 时，发散.
当 P 1时，顺次把 P 级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，
8到15项，…加括号后得
11 1111 1
n 1
n 1
n2
3n 1
发散.
定理3（达朗贝尔比值判别法）
设
un
是一个正项级数，并
且 lim un1 q，则
n 1
u n n
(1)当 q 1 时，级数收敛；
(2)当 q 1时，级数发散；
(3)当 q 时1，级数可能收敛，也可能发散.
例5 判别下列级数的敛散性
(1)
3n
n2
n 1
2n
1
1( )( )( )
2p 3p
4p 5p 6p 7p
8p
15 p
它的各项显然小于级数
1( 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )
2p 2p
4p
4p
8p
8p
1 1 ( 1 )2 ( 1 )3
2 p1
2 p1
2 p1
对应的各项，而所得级数是等比级数，其公为P 1 ，1
x
积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系.
1
1
1
A1
1, A2
2 , A3
, 3
An
n
所以，阴影部分的总面积为
n
11
1 n1
A Ak
k 1
1 23
n k k 1
它显然大于曲边梯形的面积S，即有
n
A Ak
k 1
n 1
1
1 x
dx
ln
x
|1 n
1
lnn
1
而 limln1 n n 数发散.
是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条
件，也就是说，即使
lim
n
un
0 ，也不能由此判定级
数
n 1
u
n
收敛.下面的例9正说明了这一点：lim n
1 n
0
，
但级数
1
发散.
n n 1
例7
证明调和级数
1
是发散级数.
n n1
证
调和级数部分和
Sn
n
1
如图，
k k 1
考察曲线
y 1 , x 1, x n 1和y 0 ，所围成的曲边梯形的面
n 1
例7 判定级数
sin na
n2
n 1
的敛散性.
解 因为 sin na
n2
≤
1 n2
， 而级数
1
n2
n 1
收敛，故由比较
判别法可知级数
n 1
sin n
na
2
收敛，从而原级数
n 1
sin n
na
2
绝对收敛.
例8
判别级数 1 n1 n
n 1
3 n 1
的敛散性，说明是否绝对收
敛.
解 因为
数, 由于 q 2 1，所以级数是发散的
级数
1n
1
是公比为-1的几何级数,
n 1
由于 q 1 ，所以该级数发散.
注意
几何级数
aq n1
的敛散性非常重要.无论是用比
n 1
较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数
展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.
.
例4
把循环小数
0.36
化为分数.
解
把
于是对任意的有
Sn
1 1 1!
1 2!
n
1
1!
1
1
1 2
1 22
1 2n2
1
1 1 2 n1 3
1
3
1 1
2 n2
2
即正项级数的部分和数列有界，故级数
1
收敛.
n0 n!
定理2（比较判别法）
设 和
un
vn
是两个正项级数，
n1
n 1
且 un vn
(1)若级数 vn
收敛，则级数
un
也收敛；
分别收敛于β与
，则级
数
(un
vn
)
，收敛于
n 1
性质3 添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散
性不变.
性质4
若级数
u
n
收敛，则对其各项间任意加括号后
n 1
所得的级数仍收敛，且其和不变.
应当注意，性质4的结论反过来并不成立.即如果加括 号后级数收敛，原级数未必收敛.
.
例如级数
（1-1）+（1-1）+…+（1-1）+… 显然收敛于零，但级数
第十一章 多元函数积分学
第一节 二重积分的概念与计算 第二节 二重积分的概念与计算(续) 第三节 二重积分应用举例
第一节 二重积分的概念与计算 一、二重积分的概念与性质 1．引例：曲顶柱体的体积 （1）曲顶柱体— 以曲面
z f x，y
为顶 （
f x，y 0 且连续
）以
xOy
平面上的有界闭域
D 为底，侧面是以
例1 判定级数
1
1 1 1
1
n1 n(n 1) 1 2 2 3 3 4
n(n 1)
的敛散性.
解 已知级数的前n项和是：
11
1
1 11
11
Sn
12 23
n(n 1)
(1 ) ( ) 2 23
( n
) n 1
1 1 n 1
因为
lim
n
Sn
lim1 n
n
1
1
1
,所以这个级数收敛,其
un
lim n 2n 1
2
0
所以级数
n
发散.
n1 2n 1
例6
判别级数
1n1
1
n1
2 n1
nn 1
的敛散性.
解
级数
n1
1 n1与级数
2n1
n1
1
nn 1
都收敛，故由性质2知，
级数 1n1
1 收敛.
n1
2 n1
nn 1
注意 性质6可以用来判定级数发散：如果级数一般项
不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质6只
1+1-1+…+1-1+…
却是发散的.
性质5（两边夹定理） 如果 u n ≤ v≤n 且wn
un
n 1
和
w都n 收敛，则
n 1
vn
n 1
也收敛．
性质6（级数收敛的必要条件）
若级数
u
n
收
n 1
敛，则
lim
n
u
n
0
例5 判别级数 1 2 3 n 的敛散性
357
2n 1
解 因为
n1
lim
n
lim na
n
所以级数
aq
n 1
发散.
n 1
当
q
1时， aqn1
1n1，a 其前n项和
n 1
n 1
a，当n为奇数时 Sn 0，当n为偶数时
显然，当n→∞时，Sn没有极限.所以，级数
aq
n发1 散.
n 1
综上所述，等比级数
aq
n
，1 当
q
1 时收敛,
当
q 1
n 1
时发散.
例如，级数1+2+4+8+…+2n-1+…是公比为2的几何级
u n n
n n!
n n
所以级数
1
n 1
n
1!
收敛.
要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行：
(1)用级数收敛的必要条件
如果
lim
n
u
n
0
，则级数发散，否则需进一步判断.
(2)用比值判别法
如果
lim u n1 u n
n
1，即比值判别法失效，则改用比较判别法.
(3)用比较判别法
用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数，以便与要 判定的级数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比 级数，P P级 数等.
三、交错级数及其敛散性
级数
(1) n1 un (un
0, n
1, 2, )
称为交错级数.
n 1
定理4（莱布尼兹判别法） 如果交错级数
(1) n1 un (un
0, n
1, 2,
)满足莱布尼兹(Leibniz)条件:
n 1
(1)
un un1, n 1,2,3,
(2)
lim
n
u
n
0
则级数
和为1.
例2 判定级数
ln1
1
ln11 ln1
1
ln1
1
n1 n
2
n
的敛散性
解 已知级数的前n项和是
Sn
ln11 ln1
1 2
ln1
1 n
ln1 n
因为
lim
n
Sn
lim ln1
n
n
，
所以这个级数发散.
例3 讨论等比级数（也称几何级数）
aqn1 a aq aq2 aqn1
满足
1
1
0 n 1n 4 n2
而级数是p＝2的 P 级数，它是收敛的，所以原级数
也是收敛的.
例4 判别级数
n 1
n2
n 1 3n 1
的敛散性.
解 因为
un
n2
n1 3n 1
n2
n 1 3n 2
1 n2
而
1
是由调和级数去掉前两项后所得的级数，它
n1 n 2
是发散的，所以由比较判别法知级数
n1
的敛散性.
解 (1) q 1
前n项和
Sn
a aq aq2
aqn1
a 1 qn 1 q
当
q
1时，lim n
S
n
a ，所以级数
1 q
收敛，其和
S a
1 q
当
q 1
时，lim n
S
n
所以级数
aq
n
1
发散.
n 1
(2) q 1
当 q 时1 ，
aq n1
a于是
n 1
n 1
lim
n
Sn
数列 Sn 称为级数 un 的部分和数列．若此数列的 n 1
极限存在，即
lim
n
S
n
S
(常数),则S 称为 un 的和，
n 1
记作
un S
n 1
此时称级数
u
收敛．如果数列
n
Sn 没有极限，则
n 1
称级数
u
n
发散，这时级数没有和．
n 1
当级数收敛时，其部分和 Sn 是级数和S的近似值， 称 S Sn 为级数的余项，记作 rn ，即 ． rn S Sn un1 un2
0.
3
6
化为无穷级数
0.36
36
36
36
36
100 1002 1003
100 n
这是公比为 1 的几何级数，由等比数列求和
100
公式
Sn
36 100
1
1 100
n
1
1
100
所以
lim
n
Sn
lim
36 100
1
1 100
n
n
1
36
100 1
1
1
36 4 99 11
100
100
这个无穷级数的和为
n
lim n
n 1!
nn
n 1n
lim
n n
n
lim1
1
n
n n
e
1
n!
故由比值判别法可知级数
un
n 1
n
n
n1 n!
发散，从而原
级数
1 n1
nn
不是绝对收敛.
n 1
n!
例10
证明级数
1 n1
条件收敛.
n n1
证
由莱布尼兹判别法知级数
1n
1
收敛，而
n n1
1 n1
1
为调和级数，它是发散的，故所给
的敛散性.
四、绝对收敛与条件收敛
定义3
对于任意项级数
un
n 1
,若
n 1
un
收敛，则称
un
n 1
是绝对收
敛的；若
n1
un收敛，而
n 1
u
n
发散，则称
n 1
u
是条件收敛的.
n
定理5 绝对收敛的级数必是收敛的.
事实上，如果
un
n 1
收敛， 由于 un ≤ u≤n
un
故从性质1及性质5知
un
也是收敛的.
；
(2)
1
n 1
n
1!
解 (1)
lim u n1 lim
3 n 1
n2 2n
3n 2
lim
u n n
n n 1 2 2 n1
3n
n2 n 1 2
2
lim
3
1
3 1
n
2
1
1
2
n
所以级数
3n
n2
n 1
2n
发散；
(2)
lim un1 lim n 1! lim 1 0 1
n 1
lim un1 lim 3n lim n 1 1 1
u n n
n n
n 3n 3
3n1
故由比值判别法可知级数
u
n
n 1
n
3 n 1
n 1
级数 绝对收敛. 1 n1 n
n 1
3 n 1
收敛，所以原
例9
判别级数
1n
1
nn
是否绝对收敛.
n 1
n!
解 因为
n 1n1
lim un1 u n
(1) n1 un (un 0, n 1, 2 , )
收敛，其和
S≤ u，1 其余项
n 1
≤ rn
u n1
例6 判定交错级数 1 1 1 1 1n1 1
234
n
解
此交错级数
un
1 n
, u n1
1，满足：
n 1
(1)
1 1 ；
n n1
(2)
1
lim
n
u
n
lim n n
0
由莱布尼兹判别法知级数收敛.
2 p 1
故收敛，于是当P
1
时，级数
1
np
n 1
收敛.
综上所述，P
级数 1
np
n 1
当P 1
时发散，当 P 1
时收敛.
注意 P 级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，
因此有关 P 级数敛散性的结论必须牢记.
例3判定级数 1
25
1 36
n
1
1n
4
的敛散性.
解
因为级数的一般项
1
un n 1n 4
2
3
的一般项为
wenku.baidu.com
un
ln(1
1) n
简言之，数列的和式称为级数.
定义2 设级数（11．1）的前项之和为
n
Sn u1 u2 u3 un uk
k 1
称Sn为级数的前项部分和．当依次取1，2，3，…时，
新的数列
，…， ，…， S1 u1 S 2 u1 u2
Sn u1 u2 un
4
，即
0.3 6
4
11
11
2．数项级数的基本性质
性质1 如果级数 un 收敛，其和为s, k为常数，则级数
n 1
kun也收敛，其和为ks；如果级数
un
发散，当k≠0时，
n 1
n 1
级数
ku
也发散.
n
n 1
由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其
敛散性不变.
性质2 若级数
un
n 1
与 vn n 1
，表明A的极限不存在，所以该级
二、正项级数及其敛散性
如果 un ≥0（n=1,2,3…），则称级数
u
n
为正项级数
n 1
定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数
列有界.
例1 证明正项级数
1
1 1
1
1
是收敛的
n0 n!
1! 2!
n!
证 因为 1 1 1 1 n 2,3,4,
n! 1 2 3 n 1 2 2 2 2n1
n n 1
n n 1
级数条件收敛.
D 的边界线为准线、母线平行于 z 轴的柱面的立体（如图）称为曲顶柱体． （2）曲顶柱体的体积
V 如果曲顶柱体的高度不变，则它的体积等于底面积
高，但曲顶柱体的顶是曲面，因此不能直接用上面的公式求
例如，级数 1 1 1 12 23 34
的一般项为 un
1. n(n 1)
又如级数
ln(1 1) ln(1 1) ln(1 1)