平行线分线段成比例定理的证明过程(最新编写)
平行线分线段成比例定理
3、如图梯形ABCD中点E、F分别在 AB、CD上EF∥AD假设EF作上下平 行移动
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例. 关键要能熟练地找出对应线段
小结
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
a
（平行线分线段成 比例定理）。
三 练习
！
证明：因为
（平行线分线段成 比例定理）。
因为
已知：如图， ， 求证： 。
E
B
A
D
C
F
（平行线分线段 成比例定理）。
设AB=X则BC=8—X
即：
（平行线分线段成 比例定理）。
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平行线分线段成比例定理
l1
l2
l3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例 如图
已知l1∥l2∥l3 求证
或
或
定理的证明过A点作AN ∥ DF交l2于M交l3于N 点连接 BN 、CM如图1-2
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中有
.
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴
亦即
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
“对应”是数学的基本概念 图1-1中 在l1∥l2∥l3的条件下可分别推出如下结论之一： 1简称“上比下”等于“上比下” 2简称“上比全”等于“上比全” 3 简称“下比下”等于“下比下” 把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论
平行线分线段成比例定理证明方法
平行线分线段成比例定理证明方法平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理，它描述了当两条平行线与一条横切线相交时，所形成的线段之间的比例关系。
本文将通过证明该定理，来展示其严谨的数学推导过程。
我们先来描述一下该定理的内容：设有两条平行线l和m，它们被一条横切线n相交于A、B、C三点。
如果在l上任取一点D，并且连接BD和AC，那么我们有以下结论：\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)接下来，我们将通过严格的证明来验证这一结论。
证明过程如下：假设在平行线l上任取一点D，并连接BD和AC。
根据平行线的性质，我们可以得到以下两个对应角相等的等角关系：∠ACB = ∠DBC （对应角相等）∠ADC = ∠BCD （对应角相等）由于三角形ABC和三角形DBC中有两个角相等，根据三角形的基本性质，我们可以得到这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，我们可以得到下面的比例关系：\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)从上述推导过程可以看出，平行线分线段成比例定理是由两个等角关系推导得到的，而等角关系是由平行线的性质所决定的。
因此，该定理的证明是严谨而准确的。
值得注意的是，平行线分线段成比例定理的证明过程中没有使用到具体的数值，而仅仅是通过等角关系和相似三角形的性质进行了推导。
因此，该定理具有普适性，适用于任意情况下的平行线。
通过平行线分线段成比例定理，我们可以解决很多实际问题。
例如，在建筑工程中，我们可以利用该定理来计算建筑物的高度。
通过测量建筑物的影子长度和测量仪的高度，我们可以利用平行线分线段成比例定理来计算建筑物的实际高度。
在几何学的研究中，平行线分线段成比例定理也是解决一些复杂问题的重要工具。
通过应用该定理，我们可以得到一些关于平行线和三角形的性质，进而推导出更多的几何定理。
总结起来，平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理，它描述了当两条平行线与一条横切线相交时，所形成的线段之间的比例关系。
平行线分线段成比例的推论
平行线分线段成比例的推论在平面几何中，平行线分线段成比例是一个非常重要的定理。
它是由欧几里得在《几何原本》中提出的。
这个定理可以用来计算两个平行线之间的距离，也可以用来求解平面三角形的各种问题。
在这篇文章中，我们将详细介绍平行线分线段成比例的推论。
首先，让我们回顾一下平行线分线段成比例的基本定理。
如果有两条平行线L1和L2，它们分别与一条第三条线L相交，那么这三条线上的线段所构成的比例相等，即：$%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}$其中，AB、BC分别是线段AC上的两个部分，DE、EF分别是线段DF上的两个部分。
那么，平行线分线段成比例的推论是什么呢？其实，它就是基本定理的一个推广。
具体来说，如果有两条平行线L1和L2，它们分别与一条第三条线L相交，并且在L上分别有三个点A、B、C和D、E、F，使得：$%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}$那么，我们就可以得到以下推论：1. 如果在L上任取一点P，则AP、BP、CP和DP、EP、FP 所构成的比例相等。
证明：由于L1和L2是平行线，所以它们与L上任意一条直线所交的角度相等。
因此，我们可以得到以下等式：$%frac{AP}{PD}=%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}=%frac{D F}{FC}=%frac{DP}{PC}$因此，AP、BP、CP和DP、EP、FP所构成的比例相等。
2. 如果在L上任取一点P，则以P为顶点的三角形ABC和以P为顶点的三角形DEF的面积之比等于AB与DE之比。
证明：设S1和S2分别为三角形ABC和三角形DEF的面积，则有：$%frac{S1}{S2}=%frac{%frac{1}{2}ABÍotAC}{%frac{1}{2}DEÍot DF}=%frac{ABÍot AC}{DEÍot DF}$因为AB/BC=DE/EF，所以我们可以得到：$AB=%frac{BCÍot DE}{EF+DE}$将其代入上式中得：$%frac{S1}{S2}=%frac{%frac{1}{2}Íot%frac{BCÍotDE}{EF+DE}Íot AC}{%frac{1}{2}Íot DEÍot DF}=%frac{BCÍot AC}{EFÍot DF}=%frac{AB}{DE}$因此，以P为顶点的三角形ABC和以P为顶点的三角形DEF 的面积之比等于AB与DE之比。
平行线分线段成比例定理
5
17
2 1
)
)
(3) S△AGE=( 2
4
课堂小结
作业 4
已知AD // ED // BC，AD=15，BC=21，2AE = EB，求EF的长
A D E
H
F
解法（一）
作AG // CD交EF于H AD // EF // BC AD=15, BC=21
B
G
C
AD = HF = GC =15 ，BG = 6 EH AE = BG AB 2AE = EB
A
3k 3m 2m
E
D
2k
G
4m 2a
F
a
B
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
3k 3m
E
6m
H
2m
D
2k
F
a
B
3a
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
y
D
x
x
E C
B
5
应用4 — 建立函数关系式
2. 已知：如图，BC = 4, AC = 2 3 ∠C=60°，P为BC上 一点，DP//AB，设BP = x，S△APD= y.
(1)求y关于x的函数关系式; (2)若S△APD =
2 S△APB，求：BP的长. 3
A
D
H
B
平行线分线段成比例及证明
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的 线段对应成比例 如图
A
D
l1
已知l1∥l2∥l3 AB DE 求证 BC EF
或
或
AB DE AC DF
BC EF AC DF
B
E
l2
C
F
l3
定理的证明过A点作AN ∥ DF，交l2于M，交l3
于N 点，连接 BN 、CM（如图(1-2） ∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF AB S ABM 在△ACN中，有
三
练习
l1 l2 l3
AB BC AC DE EF DF
！
上
下
全
已知：如图， l1 // l2 // l3 求AB。 A B C D E F
，AC=8，DE=2，EF=3， 方法一 解：因为 l1 // l2 // l3
l1
l2
AB DE （平行线分线段 BC EF 成比例定理）。
பைடு நூலகம்
例1 已知：如图 EF=4。求BC。
B C A D E F
l1 // l2 // l3 ，AB=3 ，DE=2 ，
l1 l2
l3
练习：已知：如图， l // l 1 2 EF=c. 求DE。
A B C D E F
// l3
，AB= a, BC= b,
l1 l2 l3
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解. 解 ∵DE//BC
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重 ，相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人 。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
平行线分线段成比例定理证明过程
平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。
在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。
一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。
形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。
二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。
1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。
其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。
2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。
我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。
3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。
我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。
4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。
我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。
5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。
6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。
三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。
平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。
总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。
通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。
平行线段分线段成比例证明
平行线段分线段成比例证明平行线段分线段成比例，这个听起来挺复杂的吧？咱们可以把它想象成一场友谊赛，参与者是两条平行线，还有一条小线段在中间起着分割的作用。
想象一下，两个好朋友在操场上玩耍，两个平行的线段就像这两个朋友，永远保持着同样的距离，绝不会走得太近，也不会远离彼此。
而那个小线段，就是他们之间的小桥梁，连接着这段友情。
这个道理特别简单。
就好比你跟朋友一起分享零食，你们每人分到的数量是一样的。
这时候，假设你们有两种零食，巧克力和薯片。
你把巧克力分给自己和朋友，结果每个人都有一份，而薯片也是如此。
这不就形成了一种比例吗？对了，平行线段之间的比例关系就像你们分享零食一样，永远保持着一致，谁都不会吃亏。
再想象一下，咱们画一条横线，把它放在两条平行线之间。
就像把一个巧克力棒横着放在两块巧克力之间，哈哈，想想就让人馋了。
这个横线就把两条平行线分成了几个小部分。
每个部分就像小朋友们分到的零食，分得公平，分得合理。
我们可以用简单的数学公式来表示这几个部分的关系，像是把一根长棍子折成几段，折得越整齐，比例就越好。
所以，当我们把这个概念再深入一点，可以发现，平行线段的比例关系不仅仅是数学题，它其实和我们生活中的很多事情都息息相关。
就像在一个团队里，大家分工合作，每个人的贡献都很重要。
如果某个人的工作量比另一个人多，那可能就不太公平了。
就像你吃巧克力的时候，朋友却只得到了几片薯片，这样的情况谁都不想看到，对吧？我们可以用一个简单的例子来说明这个原理。
假设我们有一条长长的公路，两旁都是平行的绿树。
你在公路中间跑步，想象一下，左边的树和右边的树永远保持着相同的距离。
然后，你在中间画一条线，标记一下你跑过的距离，结果你发现，无论你怎么跑，这两侧的树之间的距离始终都是一致的。
这就是平行线段分线段成比例的最佳体现，真的是让人感到神奇呢。
想想生活中那些有趣的事情吧！每当你看到平行线，就像看到朋友们齐心协力，分享快乐一样。
这种简单而又美好的关系，正是让我们的生活充满乐趣的源泉。
平行线分线段成比例的推论证明
平行线分线段成比例的推论证明平行线分线段成比例的推论，这听起来可能有点儿学术，但其实挺有趣的，咱们就来轻松聊聊。
想象一下，平行线就像一对形影不离的好朋友，它们永远保持着相同的距离，不管你把它们拖到哪里。
就像咱们有时候跟朋友一起出去玩，无论去哪儿，心里都知道，那个人一直陪在身边。
而这平行线的特性，正是我们今天要探讨的重点。
先说说线段，咱们就把线段想象成一根好吃的糖葫芦。
每当我们把这根糖葫芦切成几段，每一段都有自己的味道，长度也不一样。
这里就有个小秘密：如果有两条平行线把这根糖葫芦分成了三段，那这些段的长度之间就有一种神奇的比例关系。
就像你和你的朋友一起分享糖葫芦，不管你们怎么分，最后每个人都有自己满意的那一口。
咱们就来细聊这个比例是怎么来的。
假设有一根线段被平行线切成了三段，第一段、第二段、第三段分别是 a、b、c 的长度。
这里可得注意了，平行线可不是无缘无故就把线段切成这么好看的比例的。
这是因为，平行线之间的关系就像家里的兄弟姐妹，个个都有自己的性格。
线段的分割也是在这种和谐关系中自然形成的，就像家里兄弟姐妹分享零食一样，大家都觉得分得公道，才会心情愉悦。
这时候，我们要用一个小道理来说明一下，假如有另一根线段被相同的平行线分割成了两段，那这两段的长度也会与前面那根线段的三段成比例关系。
也就是说，咱们只要把这两根线段各自的段长度用比例计算一番，就会发现它们之间有种难以言喻的联系。
这就好比你和朋友一起吃饭，点了相同的菜，最后结账的时候，大家都觉得分得合理，没一个人觉得亏。
咱们不能只停留在这种好玩的比喻上，真正的数学美感就在于它的准确性。
就像你在做数学题时，如果每一步都遵循了规则，最后的结果就会让你感到无比满足。
这就是平行线分线段成比例的推论所带来的美妙体验，规律的背后总是有让人惊叹的逻辑。
其实在生活中，这种比例关系随处可见。
想想我们身边的事物，像一排排的书架，每一本书之间都保持着相对的距离，而这些距离就像平行线一样，给人一种整齐划一的感觉。
平行线分线段成比例定理及证明
平行线分线段成比例定理证明简介平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。
也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF。
说明上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。
事实上，直线AC和直线DF 可以在平行线之间相交，同样有定理成立。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
证明思路该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q则四边形AMPD、ANQD均为矩形AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF根据比例的性质：AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.∵ BE∥CF∴△ABM∽△ACN.∴AB/AC=AM/AN∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)∴AB/BC=DE/EF法3：连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF定理推论平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
(完整版)平行线分线段成比例
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个 结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中 有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其 中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度 的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开， 难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
第1课时 相似三角形的判定(平行线分线段成比例)
，
=
等.
D
l4
（Ⅱ） 任意平移l5 ，如图
=
l2
E
l5
C
F
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
试一试
l1 l2
l3
A
如图，根据分线段成比例定理，
=
，
=
等.
l2
l1
E
l4
D
l4
D
可以得到哪些比例相等？
的关系是否发生变化？
C
l2
D
E
F
观察图象，得
（Ⅰ）
=
l1
=
与 相等
l3
A
B
即
=
与 相等
与 的关系不发生变化.
同理，根据比例的基本性质，得
=
，
=
A
猜想： △ADE∽△ABC.
你能证明这个猜
想吗？试一试吧！
D
B
E
C
证明：先证明两个三角形的角分别相等.
在△ADE和△ABC中，∠A=∠A.
A
∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
D
再证明两个三角形的边成比例.
E
过点E作EF∥AB，交BC于点F.
B
∵ DE∥BC， EF∥AB，
C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长
平行线分线段成比例定理推论
平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论引言：平行线分线段成比例定理是中学数学中的一个基本定理，它是解决平面几何问题的重要工具之一。
本文将从该定理的定义、证明以及推论三个方面进行详细介绍。
一、平行线分线段成比例定理的定义平行线分线段成比例定理是指：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分，与其在另一条直线上所截取的两个部分之比相等。
二、平行线分线段成比例定理的证明1. 假设有两条平行直线AB和CD，其中有一条直线EF与CD相交于点G。
2. 作AG和BG两条射线，以及CG和DG两条射线。
3. 根据角度对应原理可知∠AGE=∠BGF，∠CGF=∠DGE。
4. 又因为AB和CD是平行的，所以∠AGE+∠CGF=180°，∠BGF+∠DGE=180°。
5. 将以上等式联立得到：∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°。
6. 四个角构成一个完整的圆周角，所以∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°=2π。
7. 根据圆周角的性质可知：∠AGE/∠CGF=AG/CG，∠BGF/∠DGE=BG/DG。
8. 将以上两个比例式联立得到：AG/BG=CG/DG。
9. 因此，平行线分线段成比例定理得证。
三、平行线分线段成比例定理的推论1. 推论一：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分之和等于这条交线所截取的另一条直线长度。
证明：设在两条平行直线AB和CD上，有一条直线EF与CD相交于点G。
则根据平行线分线段成比例定理可知：AG/BG=CG/DG因此，AG/BG+1=CG/DG+1即(AG+BG)/BG=(CG+DG)/DG化简得到：AB/BG=CD/DG因此，AB/BG×BG+CD/DG×DG=AB+CD即AB×BG/BD+CD×DG/BD=AB+CD因此，(BD-BG)×AB/BD+(BD-DG)×CD/BD=AB+CD 即(BD-GB)×AB+(BD-GD)×CD=BD×(AB+CD)因为BG=GD，所以：BD×AB=AD×BGBD×CD=DC×GD将以上式子代入上式得到：AD×BG+(DC-GD)×BG=BD×(AB+CD)AD+DC=BD因此，推论一得证。
平行线分线段成比例及证明
∵DF//AC
AD CF AB CB
BF
C
2CF,即CF16 BF8-168
38
3
33
例3 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项.
分析: 分别在△ABC及△ADC中利
用平行线分线段成比例定理的推论
A
证明 在 AB 中 , CDE,/A /BB C AC F
求证 A： DAEDE AB AC BC
A
D
E
DE//BC EF//AB
AD AE AB AC
AE BF AC BC
DE=BF
B
F
C
AD AE DE AB AC BC
例1 已知：如图 l1 //l2 //l3 ，AB=3 ，DE=2 ，
EF=4。求BC。
AD BE
C
F
l1 l2
l3
练习：已知：如图， EF=c. 求DE。
2、如图，在△ABC中，作平行于BC的直线交AB于D，
交AC于E，如果BE和CD相交于O，AO和DE相交于F，
AO的延长线和BC交于G。
BG
证明：（1） GC
DF FE
（2）BG=GC
3、如图，梯形ABCD中，点E、F分别在
AB、CD上，EF∥AD，假设EF作上下平
行移动，
(1 )如A 果 E 1，求 ：3 E 证 F B C 2 AD
l1 //l2 //l3
，AB= a, BC= b,
A B
C
D E
F
l1
l2
l3
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长.
平行线分线段成比例定理的推论(2)最新版
AD AE
B
C AB AC B
C
讨论平A行于三角形E 一边D 的直线A与其他
两边D在位E置上有几A 种不同关B系？ C
B
CB
C
DE
上述各种情形，结合比例的有关 性质有多种表达形式均属推论内容， 解或证题时可灵活选用。
例1、已知DE∥BC，AB=15，
AC=9，BD=4，求AE。
A
解：DE∥BC
BF
C
BC AB
DE∥BC DF∥AC
DECF DE AD
BC AB
三、练习：
1、如图，已知DE//BC，AB=14， AC=18，AE=10，求AD的长。A
D
E
B
C
2、如图，已知ED//BC，且AB=5， AC=7，AD=2。求AE的长。E D
A
B
C
3、已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD， 垂足分别为B、D。求证：AC/EC=BC/DC。
向；我们习惯了飞翔，却成了无脚的鸟。年轻时我们并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最适合自己的，自己又是怎么样的一个 人。”时光叠加，沧桑有痕，终究懂得，漫漫人生路，得失爱恨别离，不过是生命的常态。原来，人生最曼妙的风景，就是那颗没被俗世河流污染的初心。大千世界，有很多 的东西可以去热爱，或许一株风中摇曳的小草，一朵迎风招展的小花，一条弯弯曲曲的小河，都足够让我们触摸迷失的初心。紫陌红尘，芸芸众生，皆是过客。若时光允许， 我愿意一生柔软，爱了樱桃，爱芭蕉，静守于轮回的渡口，揣一颗云水禅心，将寂寞坐断，将孤独守成一帧最美的山水画卷。一直渴盼着，与心悦的人相守于古朴的小院，守 着老旧的光阴，只闻花香，不谈悲喜，读书喝茶，不争朝夕。阳光暖一点，再暖一点，日子慢一些，再慢一些，从容而优雅地老去。浮生荡荡，阳春白雪，触目横斜千万朵， 赏心不过两三枝；任凭弱水三千，只取一瓢饮。有梦的季节，有爱的润泽，走过的日子，都会成为笔尖温润如玉的诗篇。相信越是走到最后，剩下的唯有一颗向真向善向美的 初心。似水流年，如花美眷，春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横朝花夕拾，当回望过往，你是此生无憾，还是满心懊悔呢？随着芳华的流逝，我们终究会明白：任何的财富都 比不上精神上的愉悦，任何的快感都不及对初心的执着。愿你不趋炎附势，不阿谀奉迎，不苟且偷生，不虚掷有限的年华，活出属于自己的风采，活在每一个当下，不忘初心，
平行线分段成比例的定理
平行线分段成比例的定理平行线分段成比例的定理概述平行线分段成比例的定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一条直线被平行线分割后所得到的两个线段之间的比例关系。
该定理在解决平面几何问题时经常被使用，特别是在求解三角形相似性问题时。
定义在平面几何中，如果一条直线被两条平行线分割，那么这条直线上任意两点所构成的线段与其中一条平行线所构成的对应线段之间的比值相等。
符号表示设有两条平行线l和m，它们分别与另一条直线n相交于A、B、C、D四点。
则有：AB/BC = AD/DC证明我们可以使用相似三角形来证明这个定理。
具体步骤如下：步骤1：连接AC和BD两条对角线，并延长BD至E点。
步骤2：由于l和m是平行的，所以∠ABC = ∠ACD（同旁内角）。
步骤3：同样地，由于n与l和m相交，所以∠ABC = ∠ADE（同旁内角）。
步骤4：因此，∆ABC与∆ADE是相似三角形。
步骤5：根据相似三角形的定义，我们可以得到：AB/AD = BC/DE步骤6：又因为BD = AD + DE，所以有：AD/BD = AD/(AD + DE) = AB/(AB + BC)步骤7：移项可得：AB/BC = AD/DC结论根据上述证明过程，我们可以得出结论：如果一条直线被两条平行线分割，那么这条直线上任意两点所构成的线段与其中一条平行线所构成的对应线段之间的比值相等。
应用平行线分段成比例的定理在解决平面几何问题时经常被使用。
以下是一些常见的应用场景：1. 求解三角形相似性问题：当两个三角形中有两个角分别相等时，我们可以使用该定理来判断它们是否相似。
2. 求解平面图形内部点的位置关系：当一个点在一个多边形内部时，我们可以使用该定理来判断它到多边形各边的距离关系。
3. 求解直线交点坐标问题：当两条直线之间存在比例关系时，我们可以使用该定理来求出它们的交点坐标。
总结平行线分段成比例的定理是几何学中一个重要且实用的定理，它描述了一条直线被平行线分割后所得到的两个线段之间的比例关系。