二次函数最大面积

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二次函数--最大面积问题.

二次函数动点之最大面积一．选择题（共8小题）1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值．2．如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax2+经过A、B两点，点E是直线AB上方抛物线上的一点．（1）求抛物线所对应的函数表达式．（2）求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．（3）过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连结CM．点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上．当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．4．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B，正比例函数y=kx在第二象限与抛物线交于点P，与直线y=x+2交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）是否存在正比例函数y=kx，将△ABC的面积分为2：3的两部分？5．如图，二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，己知点A（﹣1，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，写出满足条件的所有点E的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．（1）求直线AB和抛物线的解析式．（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．8．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P在第二象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P的坐标；（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，已知二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．10．二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴的交点从右向左为A，B两点，与y轴的交点为C，顶点D．（1）求四边形ABCD的面积；（2）在第一象限内的抛物线上求一点D′，使四边形ABCD′的面积最大．11．二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式，并求出该抛物线的顶点坐标；（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标．12．已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为c．二次函数y=ax2+bx+c+7与x轴交于P和Q两点．在此二次函数的图象上求一点M，使得△PQM面积最大．13．已知二次函数的图象与坐标轴交于A（0，3）、B（﹣3，0）、c（1，0）．若点P是二次函数的图象上位于第二象限的点，过P作与y轴平行的直线与直线AB相交于点Q，则P点在何位置时，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积最大，并求最大值．14．如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣3x的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求A点和顶点C的坐标；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB 的面积最大？若存在，求出△POB的最大面积；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求抛物线对应的二次函数关系式；（2）在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使△DCA面积最大的点D的坐标；（3）x轴上是否存在P点，使得以A、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？19．如图，已知点O为坐标原点，∠AOB=30°，∠B=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括O，B点）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出点C的坐标及四边形ABCO的最大面积；若不存在，请说明理由．20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？21．用50米长木条，做如图等腰梯形ABCD框子，AD∥BC，AB=CD，∠B=∠C=60°设AB为x米，等腰梯形ABCD面积为y平方米．当x为多少时，才能使y最大？最大面积y是多少？（参考公式：二次函数y=ax2+bx+c，当x=﹣时，y最大（小）值=）二次函数动点之最大面积参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2009•大田县校级自主招生）如图，二次函数y=ax2+bx的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值．【解答】解：（1）把x=﹣1和2分别代入y=x+2，得到y的值分别是1、4，因而A、B的坐标分别是（﹣1，1），（2，4）．根据题意得到：解得因而二次函数的解析式是y=x2．（2）过点A、B作AM⊥x轴，BN⊥x轴，分别交于M、N．过点C作CP⊥BN于P．设C的坐标是（x，y）．梯形AMNB的面积=（AM+BN）•MN=（1+4）×3=；△AOM的面积=AM•OM=；△BCP的面积=CP•BP=（2﹣x）（4﹣y）=（2﹣x）（4﹣x2）；四边形CPNO的面积是（CP+ON）•PN=[（2﹣x）+2]•y=（4﹣x）•x2．因而四边形OABC面积s=梯形AMNB的面积﹣△AOM的面积﹣△BCP的面积﹣四边形CPNO的面积=﹣x2+2x+3．当x=1时，函数s=﹣x2+2x+3有最大值是4．2．（2016•湘潭一模）如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（4，0），B（1，0）代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）存在，理由如下：设D的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2，过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示，由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2，∴E点的坐标为（t，t﹣2），∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t，∴△DAC的面积S=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，=4，当t=2时，S最大∴此时D（2，1），△DAC面积的最大值为4．3．（2016•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax2+经过A、B两点，点E是直线AB上方抛物线上的一点．（1）求抛物线所对应的函数表达式．（2）求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．（3）过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连结CM．点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上．当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）当x=0时，y=3，即B点的坐标为（0，3），当y=0时，有﹣x+3=0，解得x=4，即A点坐标为（4，0）．将A、B点坐标代入抛物线的解析式，得，解得，故抛物线所对应的函数表达式为y=﹣x+3．（2）过点E作EF⊥x轴于点F交直线AB与点M，如图1所示．∵点E是直线AB上方抛物线上的点，∴设点E的坐标为（m，﹣m+3），点M的坐标为（m，﹣m+3），∴EM=﹣m+3﹣（﹣m+3）=﹣m，∴S=S△BEM+S△AEM=ME•O A=×（﹣m）×4=﹣+3m=﹣（m﹣2）△ABE2+3，∴当m=2时，△ABE面积最大，且最大值为3，此时点E的坐标为（2，3）．（3）抛物线的对称轴为x=﹣=1．设点P的坐标为（n，﹣n+3），Q点的坐标为（1，d）．∵点E的坐标为（2，3），∴直线EM的解析式为x=2，∴点M的坐标为（2，）．∵令y=0，则有﹣x+3=0，解得x=﹣2，或x=4，∴点C的坐标为（﹣2，0），当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：①如图2所示，线段CM为对角线，且CM的中点为点N．∵点C（﹣2，0），点M（2，），∴点N的坐标为（0，）．又∵点N为线段PQ的中点，∴有=0，解得n=﹣1，此时P点的坐标为（﹣1，）；②线段CM为一条边时，PQ的横坐标之差等于CM的横坐标之差，即|1﹣n|=|2﹣（﹣2）|，解得：n=﹣3或n=5，此时点P的坐标为（﹣3，﹣）或（5，﹣）．综上可知：点P的坐标为（﹣3，﹣），（5，﹣）和（﹣1，）．4．（2016•孝义市二模）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B，正比例函数y=kx在第二象限与抛物线交于点P，与直线y=x+2交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）是否存在正比例函数y=kx，将△ABC的面积分为2：3的两部分？【解答】解：（1）∵对于直线y=x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=﹣4．∴点C（0，2），A（﹣4，0）．∴由抛物线的对称性可知，点A与点B关于x=﹣对称，∴点B的坐标为B（1，0）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，可得，解得：．∴抛物线的解析式是y=﹣x2﹣x+2；（2）设P（m，﹣m2﹣m+2），如图1，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q．∴Q（m，m+2），∴PQ=﹣m2﹣m+2﹣（m+2）=﹣m2﹣2m，=×PQ×OA=×PQ×4=2PQ，∵S△APC∴S=2（﹣m 2﹣2m ）=﹣m 2﹣4m=﹣（m +2）2+4；∴当m=﹣2时，△PAC 的面积有最大值4．此时P 点坐标为（﹣2，3）．（3）存在正比例函数y=kx ，将△ABC 的面积分为2：3的两部分．则S △ABC =×AB ×OC=×5×2=5，分两种情况：①如图2，过点D 作DM 1⊥AD ，垂足为M 1，当S △ADO ：S 四边形ODCB =2：3时，S △ADO =×5=2， ∴×OA ×DM 1=2，即×4×DM 1=2，∴DM 1=1．把y=1代入y=x +2，得x=﹣2，∴点D 坐标为（﹣2，1）．把x=﹣2，y=1，代入正比例函数y=kx 中，解得：k=﹣；②如图3，过点D 作DM 2⊥AD ，垂足为M 2，当S △ADO ：S 四边形ODCB =3：2时，S △ADO =×5=3， ∴×OA ×DM 2=3，即×4×DM 2=3，∴DM 2=．把y=代入y=x +2，得x=﹣1，∴点D 坐标为（﹣1，）．把x=﹣1，y=，代入正比例函数y=kx 中，解得：k=﹣．综上可得：k 的值为﹣或﹣．5．（2016•苏州一模）如图，二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，己知点A（﹣1，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，写出满足条件的所有点E的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，2）在二次函数y=ax2+x+c的图象上，∴，解得，∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；（2）连接BC，过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于G，如图所示，令y=0，得﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0），OB=4，=OB•OC=×4×2=4．∴S△BOC设直线BC的解析式为y=mx+n，则有，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+2．设点D的横坐标为p，则y D=﹣p2+p+2，y G=﹣p+2，∴DG=（﹣p2+p+2）﹣（﹣p+2）=﹣p2+2p=﹣（p﹣2）2+2，=S△CDG+S△BDG∴S△CDB=DG•OH+DG•BH=DG•OB=×4DG=2DG=﹣（p﹣2）2+4．=S△BOC+S△CDB=﹣（p﹣2）2+8∴S四边形OCDB∵﹣1＜0，取最大值，∴当p=2时，S四边形OCDB此时y D=﹣×22+×2+2=3，∴点D的坐标为（2，3）；（3）①若BC为平行四边形的一边，则C、E到BF的距离相等，∴|y E|=|y C|=2，∴y E=±2．当y E=2时，解方程﹣x2+x+2=2得，x1=0，x2=3，∴点E的坐标为（3，2）；当y E=﹣2时，解方程﹣x2+x+2=﹣2得，x1=，x2=，∴点E的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；②若BC为平行四边形的一条对角线，则CE∥BF，∴y E=y C=2，∴点E的坐标为（3，2）．综上所述：满足条件的点E的坐标为（3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．6．（2016•富顺县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．（1）求直线AB和抛物线的解析式．（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设直线的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣4，0），B（0，4）代入得：，解得k=1，b=4，∴直线AB的解析式为y=x+4．设抛物线的解析式为y=ax2+4．∵将A（﹣4，0）代入得：16a+4=0，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4．（2）如图1所示，过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q．设点P的坐标为（a，﹣+4），则点Q的坐标为（a，a+4）．则PQ=﹣+4﹣（a+4）=﹣﹣a．的面积=PQ•（x B﹣x A）=×4×（﹣﹣a）=﹣a2﹣2a=﹣（a+2）∵S△ABP2+2，∴当a=﹣2时△ABP的面积最大，此时P（﹣2，3）．（3）如图2所示：延长MN交x轴与点C．∵MN∥OB，OB⊥OC，∴MN⊥OC．∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BA0=45°．∵ON∥AB，∴∠NOC=45°．∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．∴点N的坐标为（2，2）．如图3所示：过点N作NC⊥y轴，垂足为C．∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°．∵ON∥AB，∴∠NOC=45°．∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．∴点N的坐标为（﹣2，﹣2）．如图4所示：连接MN交y轴与点C．∵四边形BNOM为菱形，OB=4，∴BC=OC=2，MC=CN，MN⊥OB．∴点的纵坐标为2．∵将y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．∴点N的坐标为（2，2）．如图5所示：∵四边形OBNM为菱形，∴∠NBM=∠ABO=45°．∴四边形OBNM为正方形．∴点N的坐标为（﹣4，4）．综上所述点N的坐标为或或（﹣4，4）或（2，2）．7．（2016•泰安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，∵AC=4，∴S=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，四边形APCD∴当x=﹣=时，=，∴即：点P（，）时，S四边形APCD最大（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），∵AE2=OA2+0E2=26∵MN=AE∴MN2=AE2，∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），8．（2016•阜新）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P在第二象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P 的坐标；（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．∴，∴，∴二次函数的表达式为y=﹣x2﹣3x+4，（2）如图1，由（1）有，二次函数的表达式为y=﹣x2﹣3x+4，令y=0，得x=﹣4，或x=1，∴B（1，0）连接AC，PA，PC，∴点P是直线AC平移之后和抛物线只有一个交点时，点P到直线AC的距离最大，所以S△PAC 最大，即：S四边形AOCP最大；∵A（﹣4，0），C（0，4），∴直线AC解析式为y=x+4，设直线AC平移后的直线解析式为y=x+4+b，∴，∴x2+4x+b=0，∴△=16﹣4b=0，∴b=4，∴点P（﹣2，6），过点P作PD⊥y轴∴PD=2，OD=4，∵A（﹣4，0），C（0，4）∴OA=4，OC=4，∴CD=2，=S梯形AODP﹣S△PCD=（PD+OA）×OD﹣PD×CD=（2+4）×6﹣×2∴S四边形AOCP×2=16．（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，理由：①以AB为边时，CQ∥AB，CQ=AB过点C，平行于AB的直线l，∵C（0，4），∴直线l解析式为y=4，∴点Q在直线l上，设Q（d，4），∴CQ=|d|∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB=5，∴|d|=5，∴d=±5，∴Q（﹣5，4）或（5，4），②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，∵A（﹣4，0），B（1，0），∴线段AB中点坐标为（﹣，0），∵C（0，4），∴直线CQ解析式为y=x+4，设点Q（m，m+4），∴=，∴m=0（舍）或m=﹣3，∴Q（﹣3，﹣4），即：满足条件的点Q的坐标为Q（﹣5，4）或（5，4）或（﹣3，﹣4）．二．选择题（共11小题）9．（2013秋•房山区期末）如图，已知二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．【解答】解：（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0）．令x2﹣4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，则A（1，0），B（3，0），C（0，3），将B（3，0），C（0，3），代入y=kx+b（k≠0），得，解得：k=﹣1，b=3，BC所在直线为：y=﹣x+3；（2）设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大．∵直线BC为y=﹣x+3，∴设过D点的直线为y=﹣x+b，∴，∴x2﹣3x+3﹣b=0，∴△=9﹣4（3﹣b）=0，解得b=，∴，解得，，则点D的坐标为：（，﹣）．10．二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴的交点从右向左为A，B两点，与y轴的交点为C，顶点D．（1）求四边形ABCD的面积；（2）在第一象限内的抛物线上求一点D′，使四边形ABCD′的面积最大．【解答】解：（1）如图所示：连接OD，∵二次函数y=﹣x2+x+4，当y=0时，﹣x2+x+4=0，解得：x=4，或x=﹣2，∴A（4，0），B（﹣2，0）；当x=0时，y=4，∴C（0，4），∵二次函数y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣1）2+，∴D（1，），∴四边形ABCD的面积=△BOC的面积+△OCD的面积+△OAD的面积=×2×4+×4×1+×4×=15；（2）如图2所示：设D′（x，﹣x2+x+4），四边形ABCD′的面积为S，则四边形ABCD′的面积S=△BOC的面积+△OCD′的面积+△OAD′的面积=×2×4+×4×x+×4×（﹣x2+x+4）=﹣x2+4x+12=﹣（x﹣2）2+16，∵﹣1＜0，∴S有最大值，当x=2时，S最大，当x=2时，﹣x2+x+4=4，∴D′坐标为（2，4）．11．二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式，并求出该抛物线的顶点坐标；（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，2）分别代入y=ax2+x+c，得，解得，则该函数解析式为：y=﹣x2+x+2．因为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+．所以该抛物线的顶点坐标是（，）；（2）存在．设点D如图所示，过点D作DE⊥OC于点E，∵A（﹣1，0），对称轴是x=，∴B（4，0）．设点D的坐标为（a，﹣a2+a+2），则E点坐标为（0，﹣a2+a+2）∴EC=﹣a2+a+2﹣2=﹣a2+a，DE=aS四边形OCDB=S梯形OEDB﹣S△EDC=（a+4）（﹣a2+a+2）﹣a（﹣a2+a）即S=﹣a2+4a+4=﹣（a﹣2）2+8，当a=2时，S=8，最大当a=2时，﹣×4+×2+2=3，∴此时点D的坐标是（2，3）．12．（2015•合肥校级自主招生）已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为c．二次函数y=ax2+bx+c+7与x轴交于P和Q两点．在此二次函数的图象上求一点M，使得△PQM面积最大．【解答】解：由题意可得b=2，a=﹣4代入方程得c=﹣5．∴二次函数为y=﹣4x2+2x+2与x轴的交点为P（﹣，0），Q（1，0），当点M的横坐标为x=﹣或x=或x=时，△PQM的面积可能取最大，经比较可得x=﹣时，△PQM的面积取最大，此时y=﹣10即点M（﹣，﹣10），．13．已知二次函数的图象与坐标轴交于A（0，3）、B（﹣3，0）、c（1，0）．若点P是二次函数的图象上位于第二象限的点，过P作与y轴平行的直线与直线AB相交于点Q，则P点在何位置时，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积最大，并求最大值．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1），把A（0，3）代入得a•3•（﹣1）=3，解得a=﹣1，所以抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+m，把A（0，3），B（﹣3，0）代入得，解得，所以直线AB的解析式为y=x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则Q（t，t+3），所以PQ=﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）=﹣t2﹣3t，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积S=S△PBQ +S△PCQ=•（﹣t2﹣3t）•3=﹣t2﹣t，当t=﹣=﹣，S有最大值，最大值==，此时P点坐标为（﹣，）．即P点坐标为（﹣，）时，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积最大，最大值为．14．（2005•资阳）如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A 的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴OB=，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=，BD=，∴点B的坐标为（）．（1分）（2）将A（2，0）、B（）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得（2分）解方程组，有a=，b=，c=0．（3分）∴所求二次函数解析式是y=x2+x．（4分）（3）设存在点C（x，x2+x）（其中0＜x＜），使四边形ABCO面积最大∵△OAB面积为定值，∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．（5分）过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，（6分）则S△OBC而|CF|=y C﹣y F=x2+x﹣x=﹣x2+x，=x2+x．（7分）∴S△OBC∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为．（8分）此时，点C坐标为（），四边形ABCO的面积为．（9分）15．（2015春•青海校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣3x的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求A点和顶点C的坐标；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB 的面积最大？若存在，求出△POB的最大面积；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当y=0，则0=x2﹣3x，故x（x﹣3）=0，解得：x1=0，x2=3，故A（3，0），y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，故C（，﹣）；（2）设B（x，x2﹣3x），因为△AOB的面积等于6，所以•3•|x2﹣3x|=6，当x2﹣3x=4时，解得x1=﹣1，x2=4，则B点坐标为（4，4）；当x2﹣3x=﹣4时，方程无实数解．所以点B的坐标为（4，4）；（3）∵在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB的面积最大，∴此时P到OB的距离最大，即PO⊥OB时，∵B（4，4），∴直线OB的解析式为：y=x，∴OP的解析为：y=﹣x，则设P点坐标为：（x，﹣x），∵P点在抛物线上，∴y=x2﹣3x=﹣x，解得：x1=0（不合题意舍去），x2=2，故P（2，﹣2），∴OP=2，∴△POB的面积最大为：×OB×2=×4×2=8．16．（2012秋•文昌校级期末）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求抛物线对应的二次函数关系式；（2）在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使△DCA面积最大的点D的坐标；（3）x轴上是否存在P点，使得以A、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，，故该二次函数的解析式为：y=﹣x2+x﹣2．（2）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2．由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2．∴E点的坐标为（t，t﹣2）．∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t．∴S=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4．△DAC∴当t=2时，△DAC面积最大．∴D（2，1）．（3）假设存在这样的点P．∵A（4，0），C（0，﹣2），∴AC=2．设P（x，0）．①当AC=PC时，=2，解得，x=4（不合题意，舍去）或x=﹣4，即P1（﹣4，0）；②当AP=AC时，|x﹣4|=2，解得，x=4+2或x=4﹣2，即P2（4﹣2，0）、P3（4+2，0）；③当AP=PC时，|x﹣4|=，解得，x=，即P4（，0）．综上所述，符合条件的点P的坐标分别是：P1（﹣4，0）、P2（4﹣2，0）、P3（4+2，0）、P4（，0）．17．（2010秋•吴兴区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解答】解：（1）∵点B（3，0），C（0，﹣3）在二次函数y=x2+bx+c的图象上，∴将B、C两点的坐标代入得，解得：∴二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣3．∴Q点的坐标为（x，x﹣3），=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ∴S四边形ABPC=AB•OC+QP•OE+QP•EB=×4×3+（3x﹣x2）×3=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积．18．（2012春•上城区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C 在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？【解答】解：（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴点A的坐标是（3﹣m，0），∵∠ODA=∠OAD=45°，∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）；（2）又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2，将D，B坐标代入：a（3﹣1）2=m，a（0﹣1）2=m﹣3，得：a=1，m=4，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1，B坐标（3，4），A（﹣1，0）；（3）如图，过点Q作QM⊥AC于点M，设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），则PM=（x﹣1），QM=x2﹣2x+1，MC=（3﹣x），=S△ABC﹣S△PQM﹣S梯形BCMQ，∴S四边形ABQP=×4×4﹣•（x﹣1）•（x2﹣2x+1）﹣•（3﹣x）•（x2﹣2x+1+4）=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，所以当x=2时，四边形ABQP的面积最大为5．19．（2007•陆丰市校级模拟）如图，已知点O为坐标原点，∠AOB=30°，∠B=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括O，B点）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出点C的坐标及四边形ABCO的最大面积；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴OB=，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=cos30°=，BD=BO=，∴点B的坐标为（，）；（2）将A（2，0）、B（，）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得：，解方程组，，∴所求二次函数解析式是y=﹣x2+x；（3）设存在点C（x，﹣x2+x）（其中0＜x＜），使四边形ABCO面积最大，而△OAB面积为定值，只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，则S△OBC而|CF|=y C﹣y F=﹣x2+x﹣x=﹣x2+x，=﹣x2+x，∴S△OBC∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为．此时C点坐标为（，），故四边形ABCO的最大面积为：．三．解答题（共2小题）20．（2012春•上城区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C 在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？【解答】解：（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴点A的坐标是（3﹣m，0），∵∠ODA=∠OAD=45°，∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）；（2）又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2，将D，B坐标代入：a（3﹣1）2=m，a（0﹣1）2=m﹣3，得：a=1，m=4，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1，B坐标（3，4），A（﹣1，0）；（3）如图，过点Q作QM⊥AC于点M，设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），则PM=（x﹣1），QM=x2﹣2x+1，MC=（3﹣x），=S△ABC﹣S△PQM﹣S梯形BCMQ，∴S四边形ABQP=×4×4﹣•（x﹣1）•（x2﹣2x+1）﹣•（3﹣x）•（x2﹣2x+1+4）=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，所以当x=2时，四边形ABQP的面积最大为5．21．（2009秋•哈尔滨校级期中）用50米长木条，做如图等腰梯形ABCD框子，AD∥BC，AB=CD，∠B=∠C=60°设AB为x米，等腰梯形ABCD面积为y平方米．当x为多少时，才能使y最大？最大面积y是多少？（参考公式：二次函数y=ax2+bx+c，当x=﹣时，y最大（小）值=）【解答】解：过A作AF∥CD交BC于F，AE⊥BC于E，∵AD∥BC，AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD=CF，∠AFB=∠C=∠B=60°，∴AB=AF，∴三角形ABF是等边三角形，∴AB=BF=AF=x，∵AE⊥BC，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=x，由勾股定理得：AE=x，∵AD+DC+BC+AB=50，∴x+x+x+2AD=50，∴AD=，BC=+x=，梯形ABCD的面积y=（AD+BC）×AE=×（+）×x，即y=﹣x2+x，∵a=﹣＜0，∴y有最大值，当x=﹣=时，y的最大值是：y==，答：当x为时，才能使y最大，最大面积y是．。

二次函数的最值问题面积

二次函数的最值问题面积全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：二次函数是高中数学中非常重要的一个概念，它的图像是一个拱形或者倒置的碗形，最常见的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c。

在二次函数中，最值问题是许多学生觉得比较困难的一个问题，今天我们就来一起讨论一下关于二次函数的最值问题和与之相关的面积计算。

让我们来回顾一下二次函数的最值问题。

当我们在解题的时候，通常会遇到两种情况，一种是求二次函数的最大值，另一种是求二次函数的最小值。

对于f(x) = ax^2 + bx + c这个二次函数来说，最值问题就是求出这个函数的最大值或最小值。

而最值点一般都在抛物线的顶点处，也就是拱形或者碗形的中心点。

接下来，让我们来看一下如何求解二次函数的最值问题。

我们需要知道二次函数的顶点公式：x = -b/2a。

通过这个公式，我们可以求出二次函数的顶点坐标，进而得到最值点。

如果a大于0，则顶点是一个最小值点，如果a小于0，则顶点是一个最大值点。

通过这个简单的方法，我们就可以得到二次函数的最值点。

现在，让我们来讨论一下关于二次函数最值问题和面积的联系。

在解决二次函数的最值问题的过程中，有时候我们会遇到需要求解二次函数所围成的区域的面积的问题。

这个时候，我们需要利用计算积分的方法来求解。

通常情况下，我们可以通过二次函数与x轴所围成的图形的面积就是二次函数的定积分，即∫[a,b]f(x)dx。

通过这个公式，我们可以方便地计算出二次函数与x轴所围成的图形的面积。

二次函数的最值问题和面积计算是高中数学中非常重要的一个知识点，它不仅需要我们掌握二次函数的最值问题的解法，还需要我们了解如何通过计算面积来更深入地理解二次函数。

希望通过今天的讨论，大家对于二次函数的最值问题和面积计算有了更深入的认识。

希望大家在学习数学的过程中能够多加练习，提高自己的解题能力，做好数学知识的应用。

【字数不足，还需要再添加一些内容】第二篇示例：二次函数是高中数学中的重要内容之一，许多学生在学习过程中会遇到与二次函数有关的最值问题。

初中二次函数最大面积

初中二次函数最大面积
要求寻找初中二次函数的最大面积，我们需要先明确问题。

通常情况下，二次函数的标准形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别是常数。

如果我们要寻找二次函数的最大面积，可以考虑将二次函数表示为一个抛物线，并且要求该抛物线与x轴交于两个不同的点。

在这种情况下，最大面积可以通过确定两个交点之间的距离，然后乘以抛物线上对应点的高度来计算。

设抛物线与x轴交于两个点(x1, 0)和(x2, 0)，则抛物线上对应的高度可以由函数值y = ax^2 + bx + c得到。

因此，最大面积可以表示为：
最大面积= (x2 - x1) * max(y1, y2)
其中，y1和y2分别是抛物线上对应于x1和x2的函数值。

要找到最大面积，我们可以通过以下步骤进行求解：
1. 首先，确定抛物线与x轴的交点。

这可以通过将二次函数设置为零来解方程ax^2 + bx + c = 0。

根据二次方程的求根公式，我们可以找到两个交点的x坐标。

2. 然后，计算这两个交点对应的函数值y1和y2。

3. 最后，计算最大面积，即(x2 - x1) * max(y1, y2)。

需要注意的是，在特定的题目中，可能会有一些限制条件或额外的约束条件。

因此，在具体问题中，我们需要根据给定的信息进行相应的调整和计算。

希望以上解答能够帮助到您！如果您有任何其他问题，请随时提问。

1。

3.11二次函数的应用最大面积1

二次函数的应用（最大面积1）学习目标：能够运用二次函数的知识解决最大面积问题，进一步感受数学模型思想和数学的应用价值。

交流预习：如图在Rt △ABC 中，AC=4, BC=3, DE ∥AB,分别与AC 、BC 相交于D 、E, CH ⊥AB 于点H,交DE 于点F 、G 为AB 上任意一点，设CF=x ，△DEG 的面积为y ，限定DE 在△ABC 的内部平行移动.⑴求x 的取值范围.⑵求函数y 与自变量x 的函数关系式.⑶当DE 取何值时，△DEG 的面积最大？求出最大值.典型例题如图,在Rt △ABC 的内部做一个内接矩形DEFG ，AC=30m ，AB=40m ，设矩形DEFG 的面积为y ㎡,当EF 取何值时，y 的值最大？最大值为多少？巩固练习：1. 如图：在△ABC 中，BC=4，AB=3 2，∠B=45°，M 、N 分别为AB ，AC 边上的点，且MN ∥ BC ，设MN 为x ，△MNC 的面积为y 。

（1）试求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范；（2）试问MN 处在什么位置时，△MNC 的面积最大？并求出最大值；（3）当△MNC 的面积为98时，试问MN 的值。

2、要在底边BC=160, 高AD=120的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH, 使点H 在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，设矩形EFGH的长HG=x,宽HE=y，（1）试确定y与x之间的函数表达式.（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大?拓展延伸、如图在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿BA从点B开始向点A以2cm/秒的速度移动；点Q沿CB边从点C开始向点B以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动时间（0≤t≤6）那么（1）当t=2秒时，请你猜想下△QPB是个什么特殊三角形，并证明你的结论；（2）求：四边形PBQD的面积s与时间t的关系式。

二次函数最大面积问题

F
P( xp , yp )
yp
xp
H
C、O、B为定点
H
P(xp, yp) C、A、B为定点
化归为梯形和三角形的面积之和
火线绿版B32-例1 如图，抛物线 y 2x2 2x 4 经过B（2，0），C（0，4）两点，P为第一象
限内抛物线上一点.设四边形COBP的面积为S，求S最大值。
S四边形PCOB SPCH S梯形PBOH
Smax 2 (1)2 4 1 4 6
（0,4）
xp (m)
(Pm ,2m 2 2m 4)
yp(2m 2 2m 4)
（2,0）
一、不规则四边形最大面积问题
2、过动点作x轴（y轴)垂线化归为梯形和三角形的面积之和 S四边形PCOB S梯形PCOH SPHB
h1
yP yD
D
h2
E
S 水平距离(OB) 垂直距离(PD) SPCB SPCD SPBD
12 △PSCBP=CB

1 2
PD h1

1 2
PD h2

1 2
P×D(h1

h2 )
1 2
PD OB
抛物线中不规则三角形最大面积问题（方法3）
如图，抛物线 y x2 2x 3 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，－3），
SBCE S S HCE HBE
SBCE

1 2
3 (m2

1 OB EH
2 3m)

3
m2
2

9 2
m
当m

b 2a

二次函数的应用-——最大面积问题教学设计

二次函数的应用-——最大面积问题教学设计《二次函数的应用——面积最大问题》教学设计二次函数的应用——面积最大问题。

所用教材是山东教育出版社材九年级上册第三章第六节二次函数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。

下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。

一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

2、课时安排教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。

3.学情及学法分析学生由简单的二次函数y＝x2学习开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和图像的性质。

对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

二次函数面积最值问题

如何求解二次函数中的面积最值问题二次函数中求面积最值问题常用方法:1.补形、割形法2.“铅垂高，水平宽”面积法3.切线法4.三角函数法如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解答(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．一、补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．（下略．）二、“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，本题解答如下：解如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0）．∴点P坐标为（－，）三、切线法若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大．过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法．解如图7，直线BC的解析式是y＝x＋3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：y＝x＋b．＝．四、三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得．解如图8，作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，怍PM⊥BC于点M．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0），则F(x，x＋3)．从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解．如此深入挖掘一道题的多种解法，可使我们摆脱题海战术，提高解题能力．同时，善于总结一道题的多种解法能加快解题速度，提高解题效率，也有利于培养我们的钻研能力和创新精神．用分割面积法求二次函数动点面积最值考纲解读二次函数动点面积最值1. 二次函数在历年中考中都为重点内容，占分为40%。

二次函数的应用——最大面积问题教学设计

二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。

新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。

将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。

通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。

二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。

2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。

从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。

3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。

三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。

从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。

四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。

的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。

补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。

二次函数应用--几何图形的最大面积问题

F6
=-2x2 + 16x =-2（x-4）2 + 32
B
（0<x<6）
10 所以当x=4时花园的最大面积为32
注： 1。自变量X的取值范围为一切实数，顶点处取最值。
2。有取值范围的在端点或顶点处取最值。
引例从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单
位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时
，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
∵a＜0， ∴抛物线开口向下 C
Q 1cm/秒B
∴ 当P、Q同时运动2秒后Δ PBQ的面积y最大最大面积是 4 cm2
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6, 今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且 AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？
H
D AE
解：设花园的面积为y G C 则 y=60-x2 -（10-x）（6-x）
2a
值 y 4ac b2 ． 4a
h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）
t

b 2a

2
30 （
5）
3，
h
4ac b2 4a

4 （3025） 45．
小球运动的时间是 3s 时，小球最 h/
高.小球运动中的最大高度是 45
m4 0
h= 30t - 5t
2
m．
2 0
问题如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18.
问题如何求最值？
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值. 当x=18时，S有最大值是378.

二二次函数与面积最值

二二次函数与面积最值二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

在本文中，我们将探讨二次函数与面积最值的关系。

首先，我们来看一下二次函数的图像形状。

当a>0时，二次函数是开口向上的抛物线；当a<0时，二次函数是开口向下的抛物线。

因此，我们可以在这两种情况下分别讨论二次函数与面积最值的关系。

1.a>0的情况：当a>0时，二次函数是开口向上的抛物线。

我们来研究该抛物线与x 轴之间的面积最值。

首先，我们可以通过求导找到二次函数的极值点。

对于二次函数y=ax²+bx+c，其导数为y'=2ax+b。

令导数等于0，可以解得极值点的x坐标为x=-b/2a。

当x在(-∞，-b/2a)区间时，导数y'<0，表示函数递减。

当x在(-b/2a，+∞)区间时，导数y'>0，表示函数递增。

因此，极值点x=-b/2a 可以确定抛物线的最低点，也就是面积最值的位置。

其次，我们来看一下最低点与面积之间的关系。

面积可由定积分来计算，即∫[a, b] (ax²+bx+c)dx。

将二次函数代入，可以得到S=a/3(x³+3bx²/2+cx)∣[a, b]。

注意到最低点x=-b/2a位于[a, b]区间中心，将其代入面积公式中，可以化简得到S=a/3(b²-4ac)。

由此可知，面积的大小与系数a、b、c的值有关。

当a>0时，面积的大小与b²-4ac的正负相关，也就是与二次函数的判别式的正负相关。

因此，要使面积最大，必须使判别式最小。

综上所述，在a>0的情况下，二次函数与面积最值的关系是：要使面积最大，需要使二次函数的判别式最小。

2.a<0的情况：当a<0时，二次函数是开口向下的抛物线。

我们来研究该抛物线与x轴之间的面积最值。

同样地，我们可以通过求导找到二次函数的极值点。

二次函数求最大面积公式

二次函数求最大面积公式二次函数是一种常见的数学函数，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在二次函数中，最大面积是一个重要的概念。

本文将通过推导和分析，探讨如何利用二次函数求解最大面积问题。

我们首先考虑一个简单的问题：如何求解一个矩形的最大面积。

假设矩形的长为x，宽为y，则矩形的面积S为S = xy。

根据矩形的性质，我们知道长和宽是相互影响的，即当长增加时，宽会减小，反之亦然。

因此，要求解最大面积，我们需要找到长和宽的一个最佳的组合。

为了简化问题，我们假设矩形的长和宽相等，即x = y。

此时，矩形的面积可以表示为S = x^2。

现在，我们可以将这个问题转化为一个二次函数的问题。

根据二次函数的定义，我们可以将面积S表示为一个二次函数的形式，即S = f(x) = x^2。

接下来，我们需要确定这个二次函数的相关参数。

根据矩形的性质，我们知道长和宽必须是正数，因此x > 0。

另外，根据实际情况，我们也可以对x设置一个合适的取值范围。

为了方便计算，我们假设x的取值范围为[0, 10]，即0 ≤ x ≤ 10。

现在，我们需要找到这个二次函数的最大值。

根据二次函数的性质，当二次函数的系数a > 0时，函数的图像是一个开口向上的抛物线，且最低点对应的横坐标为最大值点。

因此，我们可以通过求解二次函数的顶点来找到最大值点。

二次函数的顶点坐标可以通过公式x = -b / (2a)来求解。

根据我们的二次函数f(x) = x^2，可以得到a = 1，b = 0，c = 0。

代入公式，可以得到x = 0。

由于我们限定了x的取值范围为[0, 10]，因此最大值点为x = 10。

现在，我们已经找到了二次函数的最大值点，即x = 10。

将x = 10代入二次函数f(x) = x^2，可以得到最大面积S = 10^2 = 100。

因此，当长和宽相等时，矩形的最大面积为100。

二次函数的最大面积问题

初四数学二次函数中的最大面积专题练习题1．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA=1，tan ∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ．抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ．①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标．②是否存在一点P ，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线c x ax y +-=232与x 轴相交于A ，B 两点，并与直线221-=x y 交于B ，C 两点，其中点C 是直线221-=x y 与y 轴的交点，连接AC ．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC 为直角三角形；（3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．3．某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：（1）设AB=x 米（x ＞0），试用含x 的代数式表示BC 的长；（2）请你判断谁的说法正确，为什么？4．如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠QGA=45º，求点Q 的坐标．5．如图，抛物线y=-x 2-2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求A 、B 、C 的坐标；（2）设点H 是第二象限内抛物线上的一点，且△HAB 的面积是6，求点H 的坐标；（3）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积．6．如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=7cm ，AC=5，点P 从B 点出发，沿BC 方向以2m/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1m/s 的速度移动．（1）若P、Q同时分别从B、C出发，那么几秒后，△PCQ的面积等于4？（2）若P、Q同时分别从B、C出发，那么几秒后，PQ的长度等于5？（3）△PCQ的面积何时最大，最大面积是多少？7．如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可a10米）：如果AB的长为x，面积为y.借用一段墙体（墙体的最大可用长度（1）求面积y与x的函数关系（写出x的取值范围）；（2）x取何值时，面积最大？面积最大是多少？8．若用40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长a m，垂直于墙的边长为xm，围成的矩形场地的面积为y m2．（1）求y与x的函数关系式．（2）矩形场地的面积能否达到210m2？请说明理由．（3）当a=15m或30m时，请分别求出这个矩形场地面积的最大值．9．如图，用长为l2 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为S m2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．10．已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A 点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？求出此时P点的坐标和△BPC的最大面积；（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP1C，那么是否存在点P，使四边形POP1C为菱形？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．13．某家禽养殖场，用总长为110m的围栏靠墙（墙长为22m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？14．有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm？请你计算．（2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长．15．如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．16．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）求该抛物线的解析式及点E的坐标；（2）若D点运动的时间为t，△CED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出△CED的面积的最大值．17．如图，在平面直角坐标系x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．18．（2015•）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2014秋•昆明校级期末）如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，如果△ABC的高线AH长8cm，底边BC长10cm，设DG=xcm，DE=ycm，（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，四边形DEFG的面积最大？最大面积是多少？20．（2015秋•保定期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A 出发，沿AB方向，以2cm/s的速度向点B运动，点Q从C出发，沿CA方向，以1cm/s 的速度向点A运动；若两点同时出发，当其中一点到达端点时，两点同时停止运动，设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2）（1）t=2时，则点P到AC的距离是 cm，S= cm2；（2）t为何值时，PQ⊥AB；（3）t为何值时，△APQ是以AQ为底边的等腰三角形；（4）求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．21．（2012•眉山）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．22．（2015秋•随州期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A （1，0）、B（0，3）及C（3，0）点，动点D从原点O开始沿OB方向以每秒1个单位长度移动，动点E从点C 开始沿CO方向以每秒1个长度单位移动，动点D、E同时出发，当动点E到达原点O时，点D、E停止运动．（1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；（2）若F（﹣1，0），求△DEF的面积S与E点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△DEF的面积最大？最大面积是多少？（3）当△DEF的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△EBN是直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．23．（2014秋•香洲区期末）已知二次函数中x和y的部分对应值如下表：x …﹣1 0 1 2 3 …y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …（1）求二次函数的解析式；（2）如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在抛物线上，是否存在一点Q，使△QBC中QC=QB？若存在请直接写出Q点的坐标．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2015秋•綦江区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3分别交x轴、y轴于A，C两点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过A，C两点，与x轴交于点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为直线AC 上一点，点E 为抛物线上一点，且D ，E 两点的横坐标都为2，点F 为x 轴上的点，若四边形ADEF 是平行四边形，请直接写出点F 的坐标；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点Q ，连接AQ ，CQ ，求△ACQ 的面积的最大值．26．如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去三个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A ．3cm 2B ．323cm 2 C ．923cm 2 D ．2723cm 227．如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为x （秒），△PBQ 的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求△PBQ 的面积的最大值．28．如图，抛物线k x x y +-=22与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3）．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）设抛物线k x x y +-=22的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大?若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）在抛物线k x x y +-=22上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．29．如图，已知抛物线经过点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN ∥y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．30．如图，在平面直角坐标系xoy x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y=ax 2+bx+c A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）①直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，以点B （0，8）为端点的射线BG ∥x 轴，点A 是射线BG 上的一个动点（点A 与点B 不重合）．在射线AG 上取AD=OB ，作线段AD 的垂直平分线，垂足为E ，且与x 轴交于点F ，过点A 作AC ⊥OA ，交射线EF 于点C ．连接OC 、CD ，设点A 的横坐标为t ．（1）用含t 的式子表示点E 的坐标为；（2）当点C 与点F 不重合时，设△OCF 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．（3）当t为何值时，∠OCD=180°？ 32．如图，抛物线2－12与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点．（1）求△AOB 的外接圆的面积；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒2个单位沿射线AC 方向运动；同时，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位沿射线BA 方向运动，当点P 到达点C 处时，两点同时停止运动。

2.4.1北师大版九年级数学下册课件第二章第四节二次函数的应用第一课时最大面积

+300
(或用公式：当 x=
-
b 2a=25
时，y
最大值=300)
∵- 2152<0 ∴ 当 x = 25m 时，y 的值最大，最大面积为 300m2
如果设AB=xm,BC如何表示，最大面积是多少？（随堂练习）
第11页，共26页。
变式练习4：如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、 G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?
((12))求当Sx取与何x的值函时数所关围系成式的及花自圃变面量积的最取大值，范最围大；值是多S少=-？4x2+24x (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
24-4x≤8 (3)由题知24-4x>0 解得 4≤x<6
A
D
x>0
∵-4<0 且对称轴是直线 x=3
B
C
∴当 4≤x<6 时，y 随 x 增大而减少
（2）设五边形APQCD的面积为Scm2 ，写出S与t的函数关系式，t为何值时S最小？求出S的最小值。
（2）由题意得
S=12×6 -
1 2
×2t(6-t)
=t2-6t+72=(t-3)2+63
∵1>0 ∴当 t=3 时 S 最小值=63
即 t=3cm 时 S 有最小值 63cm2
D
C
Q
2t cm
A t cm
解:(1)S=x(80-2x)= -2x2+80x
A
D
80-2x≤50
xm
xm
由题知80-2x≥40 解得 15≤x<40

九上数学二次函数几何图形的最大面积

A、B同时出发，那么经过3
秒，四边形APQC的面积最小.
3. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
45．
O
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小
h= 30t - 5t 2
12 34 56
t/s
球运动中的最大高度是 45 m．
典例精析
例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是
多少？
h/m
可以出，这个函数的图象是一
40
条抛物看线的一部分，这条抛物
h= 30t - 5t 2
线的顶点是这个函数的图象的最 20
高点.
也就是说，当t取顶点的横坐 O 1 2 3 4 5 6
t/s
标时，这个函数有最大值.
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一
边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ s
解:根据题意得
S=l(30-l), 200
即 S=-l2+30l (0<l<30).
100
因此，当 l b 30 15 2a 2 (1)

二次函数动点面积最值问题

二次函数最大面积例1 如图所示，等边△ABC 中，BC=10cm ，点1P ,2P 分别从B,A 同时出发，以1cm/s 的速度沿线段BA,AC 移动，当移动时间t 为何值时，△21P AP 的面积最大？并求出最大面积。

A1P 2PB C练习1如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm,点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动，如果P,Q 同时出发，分别到达B 、C 两点就停止移动。

（1）设运动开始后第t 秒，五边形APQCD 的面积是2Scm ，写出S 与t 函数关系式，并指出t 的取值范围。

（2）t 为何值时，S 最小？并求出这个最小值。

D CQA P B2 如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/S 的速度移动，点Q 从点B 开始沿着BC 边向点C 以1cm/S 的速度移动，P,Q 分别从A,B 同时出发。

求四边形APQC 的面积y （2cm ）与PQ 移动时间x （s ）的函数关系式， A 以及自变量x 的取值范围。

PB Q C3 如图正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与B,C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q,设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm 。

（1）求点P 在BC 上的运动的过程中y 的最大值。

（2）当y=41cm 时，求x 的值。

A DB P C4如图所示，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，动点D 在线段BC 上移动（不与B,C 重合），连接OD ，过点D 作DE ⊥OD,交AB 于点E ，连接OE ，记CD 的长为t 。

y （1）当t=31时，求线段DE 所在直线的函数表达式。

二次函数求面积最大值

二次函数求面积最大值二次函数求面积最大值是高中数学中的经典问题，也是数学竞赛中常考的知识点之一。

本文将分步骤阐述二次函数求面积最大值的具体过程和数学原理。

一、二次函数的标准形式首先，我们需要了解二次函数的标准形式。

一般情况下，二次函数的标准形式为：y = ax² + bx + c （a ≠ 0）其中，a、b、c分别为常数，x为自变量，y为因变量，a代表着开口向上或向下的程度，若a > 0，则开口向上，若a < 0，则开口向下。

b代表着抛物线在水平方向上的平移，c代表着抛物线的纵坐标值。

二、二次函数求解面积最大值的步骤接下来，我们来具体阐述二次函数求解面积最大值的步骤。

我们以y = -x² + 6x为例，来说明具体的求解过程。

步骤一：求解极值首先，我们需要求解二次函数的极值。

根据二次函数的标准形式，我们可以得到二次函数的导数为：y' = 2ax + b将二次函数y = -x² + 6x带入上式，可得到：y' = -2x + 6令导数y' = 0，则有：-2x + 6 = 0解得x = 3将x = 3代入原方程y = -x² + 6x中，可得到：y = -9因此，二次函数y = -x² + 6x在x = 3处达到极大值，极大值为-9。

步骤二：确定积分区间接下来，我们需要确定二次函数在哪个区间内积分。

由于二次函数的对称轴为x = -b / 2a，因此我们可以通过求解对称轴的坐标得到积分区间。

将二次函数y = -x² + 6x带入对称轴公式中，可得到：x = -6 / (-2) = 3因此，积分区间为[0, 3]。

步骤三：求解面积最大值最后，我们可以使用求定积分的方法来求解面积最大值。

将二次函数y = -x² + 6x代入定积分公式中，可得到：S = ∫[0, 3](-x² + 6x)dx= [-1 / 3 x³ + 3x²] [0, 3]= 9因此，二次函数y = -x² + 6x在[0, 3]区间内的面积最大值为9。

二次函数面积最大值秒杀技巧

二次函数面积最大值秒杀技巧嘿，朋友们！今天咱们来聊聊二次函数面积最大值这个事儿，这里面可是有不少妙法哦！
咱们先来说说为啥要搞定这个最大值。

你想想，就像你去买糖果，肯定想花最少的钱买到最多最甜的糖果对吧？在数学里，求出二次函数面积的最大值，就能让咱们在解题的时候又快又准，就像在战场上找到了最厉害的武器！
那怎么找这个最大值呢？比如说，有一个二次函数图像，就像是一条调皮的曲线在纸上跳舞。

咱们要找它所围成的面积最大值，就得先把这个图形的边界搞清楚。

比如说，给你一个抛物线和一条直线，它们相交形成了一个封闭的区域。

这时候，咱们可以设一个点的坐标，就像给这个区域里的一个小角落起个特别的名字。

然后通过这个点，把面积表示成一个关于这个点坐标的式子。

这就好比你要给一个大花园围篱笆，你得先知道从哪里开始量，量多长才能围出最大的空间。

再比如说，有时候咱们可以利用对称性。

想象一下，一个漂亮的蝴蝶，两边是不是长得差不多呀？二次函数的图像有时候也有这样的特点。

利用好这个对称，说不定就能轻松找到最大值的线索。

还有啊，如果遇到那种可以分割成几个简单图形的情况，那可就像是把一个大蛋糕切成小块，分别算出每小块的面积，再相加。

这样一来，复杂的问题是不是就变得简单多啦？
总之，解决二次函数面积最大值的问题，就像是一场刺激的探险。

咱们得灵活运用各种方法，睁大双眼，不放过任何一个线索。

只要咱们用心去琢磨，多练习，多思考，还怕找不到那个最大值吗？相信大家都能成为解决这类问题的高手，在数学的世界里畅游无阻！
所以，朋友们，别害怕面对二次函数面积最大值的难题，勇敢地去探索，去尝试，你会发现其中的乐趣和奥秘！加油！。

二次函数帮你确定最大面积

二次函数帮你确定最大面积学习了二次函数，我们经常遇到利用二次函数的性质解决生活中的最大值或最小值问题，如：求有关几何图形的最大面积问题.处理这类问题，关键是根据题意和几何图形的特点求出其面积的二次函数表达式，再通过配方成顶点式或利用最值公式求解，即对于二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)，若a ＜0，则当x ＝－ab 2时，有最大值y ＝ab ac 442-.下面举例分析，供同学们参考.例1为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图1）.若设绿化带的BC 边长为xm ，绿化带的面积为ym 2.（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？分析：由题意，y 表示的矩形的面积，因此需表示出矩形的长与宽，根据长BC=xm ，AB ＋BC ＋CD=40m ，得：宽=240x -m .解：（1）由题意和矩形的面积公式，得y ＝x ×240x -＝－12x 2+20x ，（0＜x ≤25）.（2）y ＝－12x 2＋20x ＝－12(x －20)2＋200，由于 20＜25，所以当x ＝20时，y 有最大值200.即当x ＝20时，满足条件的绿化带面积最大.点评：需注意求最大面积必须在自变量的取值范围内求.例2用长为l2m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图2，围出的苗圃是五边形ABCDE ，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∠C=∠D=∠E ．设CD=DE=xm ，五边形ABCDE 的面积为S m 2．问当x 取什么值时，S 最大?并求出S 的最大值．分析：由于五边形没有自己的面积公式，故应通过对图形的适当分割，转化为比较熟悉的三角形、特殊四边形的面积问题来解决．解：连结EC ，作DF ⊥EC ，垂足为F ．∵∠DCB=∠CDE=∠DEA ，∠EAB=∠CBA=90°，∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°． ∵DE=CD ，∴∠DEC=∠DCE=30°，∴∠CEA=∠ECB=90°． ∴四边形EABC 为矩形， ∴DE=xm ，∴AE=(6-x )m ，DF=21x ，EC=x 3．∴S=x x 364332+-(0＜x ＜6)．当4)433(236=-⨯-=x 时，312=最大S m 2．点评：当所研究的图形为不规则图形时，我们通常可以采用割补法转化为规则图形面积的和或差来计算.图125mDC B A图2例3如图3，抛物线9222-++-=n nx x y （n 为常数）经过坐标原点和x 轴上另一点C ，顶点在第一象限．（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；（2）已知A 点坐标为（2，8），在梯形OABC 内有一矩形MNPQ ，点M 、N 分别在OA 、BC 上，点Q 、P 在x 轴上．当MN 为多少时，矩形MNPQ 的面积最大？最大面积是多少？分析：确定最大面积的关键是建立矩形面积与边长间的二次函数关系式，进而需找到MQ 与MN 间的关系，用一个量表示出另一个量．解：（1）∵抛物线过（0，0）点，∴092=-n ，∴3±=n ． ∵顶点在第一象限，∴02>=-n ab 且04444222>=--=-nn ab ac ，∴3=n ．∴抛物线x x y 62+-=，顶点坐标为（3，9）．（2）由二次函数图象的对称性，易得B 点的坐标为（4，8）．作AH ⊥x 轴于H ．设M 点的坐标为（x ，y ），则有△OMQ ∽△OAH ，∴AHMQ OHOQ =，∴82y x =，∴x y 4=．由抛物线的对称性可知：QP=MN=x 26-，x x x x S MNPQ 248)26(42+-=-=， ∴当231624=--=x ，即MN=3时，18=最大S ．点评：本题中运用三角形相似寻找MQ 与MN 的关系是难点，应注意体会方法.yAMOQHB NP C x图3。