二三版兼用《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第二章)模板
运筹学胡运权 部分课后习题答案
第一章P43-1.1（1）当取A （6/5,1/5）或B （3/2,0）时，z 取最小值3。
所以该问题有无穷多最优解，所有线段AB 上的点都是最优解。
P43-1.2(1)令''4'44x x x -=，z z -='''4'4321'55243max x x x x x z +-+-=,,,,,,232142222465''4'43216''4'43215''4'4321''4'4321≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xP43-1.4(1) 图解法：A(0,9/4)，Z 1=45/4；B(1,3/2)，Z 2=35/2；C(8/5,0)，Z 3=16。
单纯形法：10 5 0 0C b X b b x1x2x3x4θ0 x39 3 4 1 0 30 x48 5 2 0 1 8/5δ10 5 0 00 x321/5 0 14/5 1 -3/5 3/210 x18/5 1 2/5 0 1/5 4δ0 1 0 -25 x23/2 0 1 5/14 -3/1410 x1 1 1 0 -1/7 2/7δ0 0 -5/14 -25/14依次相当于：原点；C；B。
P44-1.7(1)2 -1 2 0 0 0 -M -M -MC b X b b x1x2x3x4x5x6x7x8x9θ无界解。
两阶段法：阶段二：P45-1.10证明：CX (0)>=CX*，C*X*>=C*X (0) CX (0)-CX*+C*X*-C*X (0)>=0，即(C*-C)(X*-X (0))>=0。
P45-1.13设饲料i 使用x i （kg ），则543218.03.04.07.02.0m in x x x x x z ++++=s.t. 7001862354321≥++++x x x x x 305.022.05.054321≥++++x x x x x1008.022.05.054321≥++++x x x x x0,,,,54321≥x x x x x第二章P74-2.1(1)321532m ax y y y w ++=22321≤++y y y 243321≤++y y y 4334321=++y y y 无约束321,0,0y y y ≤≥P75-2.4(1),06353322232max 212121212121≥≥≤-≤+≤-≤++=y y y y y y y y y y y y w(2) (8/5,1/5)(3) 无穷多最优解。
运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）
运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）运筹学教程（第⼆版）习题解答第⼀章习题解答运筹学教程1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。
并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2≤ 82 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 21 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2st ?3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2x , x ≥ 0 1 2该问题⽆解≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2st .?3 x +4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2第⼀章习题解答3 2 1x = 1, x = 1, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，1 2x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 2该问题有⽆界解1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5x 1 + 6 x 2第⼀章习题解答唯⼀最优解， x 1 = 10, x 2 = 6, Z = 16 ≤ 82 5 ≤ x ?1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3)第⼀章习题解答运筹学教程1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
《运筹学教程》第二章习题答案
《运筹学教程》第二章习题答案1、（1）解：引入松弛变量x4≥0,x5≥0,化不等式为等式为：minz=2X1 +3X2+4X3s.t. X1+3X2+2X3+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2,X4,X5≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：minz=2X1 +3X2+4X3′-4X3〞s.t. X1+3X2+2 X3′-2 X3〞+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 ≥0(2)解：引入松弛变量x5≥0,剩余变量X6≥0，化不等式为等式为：maxz=X1 -5X2+4X3- X4s.t. X1+2X3+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2，X4,X5 ，X6≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：maxz=X1 -5X2+4X3′-4X3〞- X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥0化极大的目标函数为极小的目标函数：minz=-X1+5X2-4X3′+4X3〞+X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥02、(1)是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分任意两点的直线仍在该区域内。
(2)不是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过曲线上部的直线上的点不完全在该区域内。
(3)不是 不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过圆内部的直线上的点不完全在该区域内。
3、在以下问题中，指出一组基础变量，求出所有基础可行解以及最优解。
（1）123123123123m ax 2..2644,,0z x x x s t x x x x x x x x x =+-⎫⎪++≤⎪⎬+-≤⎪⎪≥⎭解：将上式化成标准形式，如下：1231234123512345m in 2..2644,,,,0p x x x s t x x x x x x x x x x x x x =--+⎫⎪+++=⎪⎬+-+=⎪⎪≥⎭从上式中可以得出系数矩阵为[]12345112101411A P P P P P ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦， 取基础变量为45,x x ，令非基变量123,,x x x =0，解方程组123412352644x x x x x x x x +++=+-+=得基础可行解(1)(0,0,0,6,4)T x =同理得基础解：(2)(0,6,0,0,20)T x =-，(3)(0,0,3,0,7)T x =，(4)(0,0,4,24,0)T x =-，(5)(0,1,0,5,0)Tx =，(6)1420(0,,,0,0)99Tx =，(7)(6,0,0,0,2)T x =-，(8)(4,0,0,2,0)Tx=，(9)202(,,0,0,0)33Tx =-，(10)142(,0,,0,0)33Tx =。
运筹学清华大学出版社胡运权着课后答案
�12 x1 � 3 x2 � 6 x3 � 3 x4 � 9
(1)
st
��8 ��3
x1 x1
� �
x2 x6
� 4 x3 �0
�
2 x5
� 10
�� x j � 0�, j � 1,� ,6�
min Z � 5 x1 � 2 x2 � 3 x3 � 2 x4
� x1 � 2 x2 � 3 x3 � 4 x4 � 7
运筹学教程�第二版� 习题解答
运筹学教程
1.1 用图解法求解下列线性规划问题。并指出问 题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可 行解。
min Z � 2 x1 � 3 x2 � 4 x1 � 6 x2 � 6
(1) st .�� 2 x1 � 2 x2 � 4 �� x1 , x2 � 0
Z
0
0.5
2
0
5
0
0
1
1
5
2/5
0
11/5
0
43/5
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运筹学教程
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题�并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z � 10 x1 � 5 x2 �3 x1 � 4 x2 � 9
max Z � x1 � x2 �6 x1 � 10 x2 � 120 (3) st.�� 5 � x1 � 10 �� 5 � x2 � 8
max Z � 3x1 � 2 x2 �2 x1 � x2 � 2
(2) st.��3x1 � 4 x2 � 12 �� x1, x2 � 0
运筹学习题参考答案
习题参考答案第二章 习 题1.线性规划模型为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++++0,,1800231200214002..453max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x 2. 标准形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-++-=++=++---+-0,,,,,,1002333800120035.15.1..322min 87654328325473262543254x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x 3.（1）最优解为（2,2），最优值为8.（2）根据等式约束得：213--6x x x =代入规划等价于：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+++0,3-6..62max 21212121x x x x x x t s x x 先用图解法求线性规划⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++0,3-6..2max 21212121x x x x x x t s x x 得最优解为（0,6）代入原规划可得最优解为（0,6,0）最优值为18.4.（1）以21,x x 为基变量可得基可行解（3,1,0），对应的基阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛1101 以31,x x 为基变量可得基可行解（2,0,1），对应的基阵为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111 （2）规划转化为标准形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++--0,,,55623..34min 432142132121x x x x x x x x x x t s x x 以32,x x 为基变量可得基可行解（0,1,4,0），对应的基阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛0512 5. 以432,,x x x 为基变量可得基可行解（0,2,3,9），对应的典式为：32192231412=+=+=x x x x x 非基变量1x 的检验数为21-。
6. (1) a=0,b=3,c=1,d=0;(2) 基可行解为(0,0,1,6,2) （3）最优值为3.7.（1）最优解为（1.6,0,1.2），最优值为-4.4；（2）令11-=x y ，则0≥y ，11+=y x ，在规划中用1+y 替代1x ，并化标准形式。
运筹学教程第三版清华大学出版社出版郭耀煌胡远权编著习题答案习题答案
运筹学教程(第二版)习题解答8.1 证明在9座工厂之间，不可能每座工厂只与其他3座工厂有业务联系，也不可能只有4座工厂与偶数个工厂有业务联系。
解：将有联系的工厂做一条连线。
如果仅有9座工厂只与其他3座工厂有业务联系，说明顶点次数之和为27，矛盾如果只有4座工厂与偶数个工厂有业务联系，其他5个工厂一定与奇数个工厂有业务联系，说明顶点次数之和还是奇数，矛盾。
8.2 有八种化学药品A、B、C、D、E、F、G、H 要放进贮藏室。
从安全角度考虑，下列各组药品不能贮存在同一室内：A—C，A—F，A—H，B—D，B—F，B—H，C—D，C—G，D—E，D—G，E—G，E—F，F—G，G—H，问至少需要几间贮藏室存放这些药品。
解：能贮存在同一室内的两种药品之间作一条连线。
贮存在同一室内的药品应该构成一个完全图。
ABG，CFH ，DE构成完全图。
故，存放这些药品最少需要 3 间储藏室。
8.36个人围成圆圈就座，每个人恰好只与相邻者不相识，是否可以重新就座，使每个人都与邻座认识?解：两个人认识作一条连线。
8.4判定图8-50中的两个图能否一笔画出，若能，则用图形表示其画法。
解：(a)图都是偶点，可以一笔画出。
(b)图只有两个奇点，一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
8.5求解如图8-51所示的中国邮路问题，A点是邮局8.6分别用深探法、广探法、破圈法找出图8-52所示图的一个生成树。
8.7设计如图5-53所示的锅炉房到各座楼铺设暖气管道的路线，使管道总长度最（单位：m）。
8.8分别用避圈法和破圈法求图8-54所示各图的最小树8.9 给定权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，构造—棵霍夫曼树。
8.10 如图8-55，v0是一仓库，v9是商店，求一条从v0到v9的最短路。
8.11 求图8-56中v1到各点的最短路8.12 求图8-57网络中各顶点间的最短路8.13 某设备今后五年的价格预测分别是（5，5，6，7，8），若该设备连续使用，其第j 年的维修费分别为（1，2，3，5，6），某单位今年购进一台，问如何确定更新方案可使5年里总支出最小（不管设备使用了多少年，其残值为0）解：最优解为：先使用两年，更新后再使用三年。
运筹学胡运权第02章
•极大化问题的每个约束对应于极小化问题 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题 的 定 义
a11 x1 a12 x 2 a1n x n (, )b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n (, )b2 a x a x a x (, )b m2 2 mn n m m1 1 x j 0( 0, 或符号不限) j 1 ~ n
c3 x3 c3 x3 max z c1 x1 c2 x2
对偶变量 y1 y2′
y2″
y3′
非 对 偶 形 式 的 原对 偶 问 题
例2-4
b2 y2 b3 y3 min w b1 y1 b2 y2
令各约束对应的对偶变量分别为y1、y2′、y2″、 -y3′
（2.4a） （2.4b） （2.4c）
（2.4d）
先转换成对称形式，如下：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a13 x3 b1 a x a x a x a x b 2 21 1 22 2 23 3 23 3 s.t. a21 x1 a22 x2 a23 x3 a23 x3 b 2 a x a x a x a x b3 31 1 32 2 33 3 33 3 x1 0，x2 0，x3 0，x3 0
a11 y1 a21 y2 a21 y2 a31 y3 c1 a y a y a y a y c 2 12 1 22 2 22 2 32 3 s.t. a13 y1 a23 y2 a23 y2 a33 y3 c 3 a y a y a y a y c 3 23 2 33 3 13 1 23 2 y1 0，y2 0，y2 0，y3 0
清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案
运筹学教程
第一章习题解答
1.3 对下述线性规划问题找出所有基解， 指出哪些是基可行解，并确定最优解。
max Z 3x1 x2 2x3
12x1 3x2 6x3 3x4 9
(1)
st
8 3
x1 x1
x2 x6
4x3 0
2 x5
10
x j 0（, j 1,,6）
min Z 5x1 2x2 3x3 2x4
第一章习题解答
max Z x1 x2 6x1 10x2 120 (3) st. 5 x1 10 5 x2 8
唯一最优解，x1 10, x2 6, Z 16
max Z 5x1 6x2
(4)
st.22xx11
x2 3x2
2
2
x1, x2 0
该问题有无界解
5
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X
0
对于任何0 a 1, 两点连线上的点X满足：
X aX (1) (1 a) X (2)也是可行解，且
CT X CT aX (1) CT (1 a) X (2)
C T aX (1) aCT X (2) C T X (2)
CT X (2) , 所以X也是最优解。
page 24 13 April 2021
(1)
st
x12x1x23xx23
2x4 x3
14 x4
. 2
x1, x2, x3 0, x4无约束
max Z 3x1 4x2 2x3 5x41 5x42
4x1 x2 2x3 x41 x42 2
st
x1 x2 x3 2x1 3x2
2x41 2x42 x3 x41 x42
运筹学教程
二三版兼用《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第三章)
城市
电站
1
2
3
Ⅰ
15
18
22
Ⅱ
21
25
16
第三章习题解答
习题3.12的解答
城市 城市
电站
1-1
城市 1-2
城市2
城市 3-1
城市 3-2
产量
Ⅰ
150 15
15 250 18
22
22 400
Ⅱ
140 21
第三章习题解答
表3-35
食品厂
面粉厂
1
2
3
产量
Ⅰ
3 10
2 20
Ⅱ
4 11
8 30
Ⅲ
8 11
4 20
销量
15 25 20
第三章习题解答
习题3.10的解答
食品厂 面粉厂
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 销量
1
3 15 4
8 15
2
10 5 11 20 11 25
3
20 2 8 4
20
4
0 10 0
0 10
产量
20 30 20
B3
B4 产量
A1 A2 A3 销量
3
7
6
45
2
4
3
22
4
3
8
56
3
3
2
2
第三章习题解答
习题3.9的解答
销地
产地
B1 B2 B3 B4 B5 产量A1源自33 7 6 24 0 5
A2
2 4 23 2 0 2
A3 销量
4 33 8 5 30 6 33223
第三章习题解答
3.10 某市有三个面粉厂，它们供给三个面食加工 厂所需的面粉。各面粉厂的产量、各面食加工厂加工 面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运 价，均表示于表3-35中。假定在第1，2和3面食加工厂 制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元， 试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面粉厂和面 食加工厂都属于同一个主管单位)。
运筹学胡运权二习题答案PPT课件
(4增 ) 加一个变 新量的 x6,P6 =11，c6＝7；
最优解
为 x2 ： 2,x6
1,其他 3
变量 0。为
由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等
号，故得到最优解：
y1=4/5, y2,=3/5,
y3=1, y4=0
第17页/共48页
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
问题 A
n
min Z c j x j
影子价格
j 1
n
a1 j x j b1
y1
j1
st .
n
a2 jx j
minW 2y1 y2 2y3
y1 y2 y3 1
(1)对
偶问题st：y1y1 y2y2 y3y3
2 1
y1 0, y2无约束 , y3 0
(2)y1=y3=0,y2=1 时 对 偶 问 题 的 一 个 可 行 解 ， 目 标 函数值为1，故原问题的目标函数值小于等于1。
第13页/共48页
第二章习题解答
y2
20 3
, y3
50 3
,Z
230 3
(4) 略
第24页/共48页
第二章习题解答
2.11 已知线性规划问题：
max Z 2 x1 x2 x3
st.
x1 x2 x3 6 x1 2 x2 4
x
j
0, (
j
1, ,3)
先用单纯形法求出最优解，再分析在下列条件单独变化的情况下 最优解的变化。
0
0
CB 基 b X1
X2
X3
X4
X5
2 X1 6 1
0
-1
4
清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案
0
0
0 -1/5 2/5 0
1
0 3/5 -1/5 0
0
x3
1
0
0
1
1
1 -1
cj zj
0
0
0 -1/5 -M+7/5 -M
由于上表中所有检验数都小于等于零(且非基变量检验数都 小于0)，因此已经得到唯一最优解，最优解为：
X * 25 ,9 /5 ,1 ,0 ,0 ,0 T
方法二：两阶段法
第一阶段：
4x1 x2 2x3 x4 2
(1)
stx12x1x23xx23
2x4 14 x3 x4
. 2
x1, x2, x3 0, x4无约束
minZ 2x1 2x2 3x3
(2)
st
x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
x1 0, x2 0, x3无约束
minZ 3x1 4x2 2x3 5x4
7
4 -1
1
1/3 0
0 [5/3] -1
0
5/3 0
0
5/3
-1
0 -1 -1
i
x4
x5
x6
0
10
1
0
0 1 3/2
1
00
4
0
00
0 1/3 0 3
0 -4/3 1 6/5 1 -1/3 0 9/5 0 -7/3 0
cj
0
CB
xB
b
x1
0
x1 3/5
1
0
x 2 6/5
0
0
x4
1
0
cj zj
0
4x1 x2 2x3 x41 x42 2
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y1 a1 j x j b1 jn1 y2 a2 j x j b2 st . j 1 n y3 a3 j x j b3 j 1 x j 0, ( j 1, , n)
第二章习题解答
问题B min Z c j x j
n (i 1, , m1 m) aij x j bi 1 jn ( 4) st aij x j bi (i m1 1, m1 2, , m) j 1 x j 0 ( j 1, , n1 , n), x j 无约束（j n1 1, , n）
* y2
* y3
y2
第二章习题解答
2.9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。
(1)
min Z 4 x1 12x2 18x3 x1 3 x3 3 st . 2 x2 2 x3 5 x 0, ( j 1, ,3) j
(2)
min Z 5 x1 2 x2 4 x3 3x1 x2 2 x3 4 st.6 x1 3x2 5 x3 10 x 0, ( j 1,,3) j
最优解：x1 2 / 3, x2 2, x3 0
第二章习题解答
2.10 考虑如下线性规划问题：
min Z 60x1 40x2 80x3 3x1 2 x2 x3 2 4 x x 3x 4 2 3 st 1 . 2 x1 2 x2 2 x3 3 x1 , x2 , x3 0
第二章习题解答
min Z cij xij
i 1 j 1 m n
(3)
n (i 1, , m) xij ai 1 jn st xij b j ( j 1, , n) . i 1 (i 1, , m, j 1, , n) xij 0
第二章习题解答
(1) min Z 4 x1 12x2 18x3 x1 3 x3 3 st . 2 x2 3 x3 5 x 0, ( j 1, ,3) j
最优解：x1 0, x2 3 / 2, x3 1
( 2)
min Z 5 x1 2 x2 4 x3 3 x1 x2 2 x3 4 st .6 x1 3 x2 5 x3 10 x 0, ( j 1, ,3) j
maxW ai yi b j y j m 对偶问题： yi y j m cij (i 1,, m, j 1,, n) st. yi 无限制，i 1,, n m
i 1 j 1
m
n
第二章习题解答
max Z c j x j
j 1 m
第二章习题解答
2.3 已知某求极大化线性规划问题用单纯形 法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表 所示，求表中各括弧内未知数的值。 解： l=1, k=0 , h=-1/2, a=2, c=3, b=10, e=5/4, f=-1/2, d=1/4, g=-3/4, i=-1/4, j=-1/4
(2)已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原 问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于x1,x2,x3 大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得到最优 解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
问题A min Z c j x j
第二章习题解答
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题。
min Z 2 x1 2 x2 4 x3 x1 3 x2 4 x3 2 2 x x 3 x 3 2 3 st 1 x1 4 x2 3 x3 5 x1 , x2 , 0, x3无约束
CB
0 0 0
┆ 0
Cj→ 基 X1 X2 X3b3 X12 X2
2 X3
0 X4
0 X5
0 X6
(b) 15 20
┆ 5/4
Cj－Zj
┆ X4
1 1 (a) 1 2 (c) 3 2
┆ ┆ 0 0
1 2 1 2
┆ (d)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
┆ ┆ ┆ (l) -1/4 -1/4
由于(1)和(4)是矛盾约束，故对偶问题无可行解。 所以原问题目标函数值无界。
第二章习题解答
2.7 给出线性规划问题 min Z 2 x1 4 x2 x3 x4 x1 3 x2 x4 8 2 x1 x2 6 st . x2 x3 x4 6 x x x 9 2 3 1 x j 0, ( j 1, ,4)
要求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解 为X*=(2，2，4，0)，试根据对偶理论，直接求出对偶 问题的最优解。
第二章习题解答
minW 8 y1 6 y2 6 y3 9 y4 y1 2 y2 y4 2 3 y y y y 1 1 2 3 4 (1)对偶问题： y3 y 4 1 y1 y3 1 y j 0, ( j 1, ,4)
(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题； (3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优 解。
第二章习题解答
m inW 2 y1 3 y 2 y1 2 y 2 2 2 y y 3 1 2 (1)对偶问题： st . 3 y1 y 2 5 y 3 y 6 2 1 y1 0, y 2 0
第二章习题解答
2.2 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶 问题也一定存在可行解； 答：不对！如原问题是无界解，对偶问题无可行 解。 (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题 也一定无可行解； 答：不对！道理同上。
第二章习题解答
(3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管 原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值 一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值； 答：不对！如果原问题是求极小，结论相反。 (4)任何线性规划问题具有惟一的对偶问题。 答：结论正确！
要求：(1)写出其对偶问题；(2)用对偶单纯形法 求解原问题；(3)用单纯形法求解其对偶问题；(4)对比 (2)与(3)中每步计算得到的结果。
第二章习题解答
(1) maxW 2 y1 4 y2 3 y3 3 y1 4 y2 2 y3 60 2 y y 2 y 40 对偶问题： 1 2 3 st y1 3 y2 2 y3 80 y1 , y2 , y3 0
第二章习题解答
minW b1 y1 b2 y2 bm ym m ( j 1,2,, n1 ) aij yi c j 1 im 对偶问题： ( j n1 1, n1 2,, n) st aij yi c j i 1 yi 0 (i 1,, m1 ) y 无约束（j m 1,, m） 1 i
(1) 写出其对偶问题； (2) 利用对偶问题性质证明 原问题目标函数值z≤1。
第二章习题解答
minW 2 y1 y2 2 y3 y1 y2 y3 1 y y y 2 (1)对偶问题： 1 2 3 st y1 y2 y3 1 y1 0, y2无约束, y3 0
j 1 n
影子价格 y *1 y*2 y *3
n 5a1 j x j 5b1 1 jn 1a x 1b 2j j 2 st . 5 5 j 1 n (a3 j 3a1 j ) x j b3 3b1 j 1 x j 0, ( j 1, , n)
试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标 函数值无界。
第二章习题解答
解：x1=1,x2=x3=0是原问题的可行解。原问题的对 偶问题为：
minW 2 y1 y2 y1 2 y2 1 (1) y y 1 (2) 1 2 st. (3) y1 y2 0 (4) y1 , y2 0
(2)y1=y3=0,y2=1 时对偶问题的一个可行解，目标 函数值为1，故原问题的目标函数值小于等于1。
第二章习题解答
2.6 已知线性规划问题
max Z x1 x2 5 x3 6 x4 x1 x2 x3 2 st . 2 x1 x2 x3 1 x 0, ( j 1, ,3) j
(2) 最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。 (3)由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约 束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令 x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
第二章习题解答
2.5 给出线性规划问题
max Z x1 2 x2 x3 x1 x2 x3 2 x x x 1 2 3 st 1 . 2 x1 x2 x3 2 x1 0, x2 0, x3无约束
试分别写出yi同y*i(i＝1，2，3)间的关系式。
第二章习题解答
y1 y1
y2 1 0 y3 0 1 3 0 1/ 5 y3 0 3/ 5 0 1 0 0 1 / 5 0 0 * 0 0 5 0 0 1 0 y1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 * * * 5 0 y1 y2 y3 0 0
(1)
maxW 2 y1 3 y2 5 y3 y1 2 y2 y3 2 对偶问题: 3 y1 y2 4 y3 2 st 4 y1 3 y2 3 y3 4 y1 0, y2 0, y3无限制