动态规划作业完整

动态规划作业

1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器，由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，其间的运输成本如图中所标的数字，试求运费最低的路线？

把A看作终点，该问题可分为4个阶段

f k(S k)表示从第K阶段点S k到终点A的最短距离

f4（B i）=20, f4（B2）=40, f4（B3）=30

f3（C i）=min[d 3（C i, B i）+ f4（B i）, d3（C i, B2）+ f4（B2）, d3（C i, B3）+ f4（B3）]=70，U3（C l）= B2 或B3

f3（C2）=40，U3（C2）= B3

f3（C3）=80，U3（C3）= B l 或B2 或B3

以D i）=80，U2（D I）=C I

f2（D2）=70，U2（D2）= C2

f i（E）=110，U i（E）= D i 或D2

所以可以得到以下最短路线,

E T D I^C I^B 2 / B3^A

E TD 2^C 2TB 3—A

2、习题4 — 2

解：1)将问题按地区分为三个阶段，三个地区的编号分别为1、2、3；

2)设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数，

Xk表示为分配给第k个地区的销售点数，S k +1 = S k —X k

Pk(Xk)表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值

fk(Sk)表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值

3)递推关系式：

fk(Sk) = max[ Pk(Xk)+ f k+i(S k —X k) ] k=3,2,1

f4(S4) = 0

4)从最后一个阶段开始向前逆推计算

第三阶段：

设将S3个销售点(S3= 0,1,2,3,4)全部分配给第三个地区时，最大利润值为：

f3(S3)= max[P3(X3)] 其中X3 = S3= 0,1,2,3,4

表1

第二阶段：

设将S2个销售点(S2= 0,1,2,3,4)分配给乙丙两个地区时，对每一个S2值，都有一种最优分配方案，使得最大盈利值为: f2(S2)= max[ P2(X2)+ f3(S2 —X2)]

其中，X2= 0,1,2,3,4

2

第一阶段：

设将S1个销售点(S1 = 4)分配给三个地区时，则最大利润值为: f1(S1)= max[ P1(X1)+ f2(4 —X1)]

其中，X1 = 0,1,2,3,4

表3

然后按计算表格的顺序反推，可知最优分配方案有两个：最大总利润为53

1)由X1* = 2, X2* = 1, X3* = 1。即得第一个地区分得2个销售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得1个销售点

2)由X1* = 3, X2* = 1, X3* = 0。即得第一个地区分得3个销售点，第二个地区分得 1 个销售点，第三个地区分得0 个销售点。

3、某施工单位有500 台挖掘设备,在超负荷施工情况下,年产值为20 万元/台,但其完好率仅为0.4,在正常负荷下,年产值为15 万元/台,完好率为0.8。在四年内合理安排两种不同负荷下施工的挖掘设备数量, 使第四年年末仍有 1 60台设备保持完好, 并使产值最高。试求出四年内使得产值最高的施工方案和产值数。

解：1)该问题分成四个阶段，k表示年度，k = 1,2,3,4

2)设Sk 表示为分配给第k 年初拥有的完好挖掘设备数量,

Uk 表示为第k 年初分配在超负荷下施工的挖掘设备数量,

Dk (Sk)={ Uk|0 < Uk < Sk }

Sk－Uk 表示为第k 年初分配在正常负荷下施工的挖掘设备数量。

状态转移方程：S k +1 = 0.4Uk +0.8(Sk —Uk), S1= 500 台

3)设vk(sk,uk) 为第k 年度的产量，则

vk = 20Uk +15(Sk —Uk)

4

故指标函数为V1,4= Vk(Sk,Uk)

k1

f k(Sk)表示由资源量Sk出发，从第k年开始到第4年结束时所生产的产量最大。

4)递推关系式：f k(Sk)= MAX{20 Uk +15(Sk —Uk)+

f k+i[0.4Uk +0.8(Sk—Uk)]} k=1,2,3,4

5)从第 4 阶段开始,向前逆推计算

当k = 4时，

S5=160, 0.4U4 +0.8(S4－U4)=160 2S4-U4=400 U4=2S4-400

f4(S4)= MAX{20 U4 +15(S4 —U4)+ f5[0.4U4 +0.8(S4 —U4)]} =MAX{5 U4 +15S4}

=25S4-2000

当k = 3时，

f3(S3)= MAX{20 U3 +15(S3 —U3)+ f4[0.4U3 +0.8(S3 —U3)]} = MAX{5U3+15S3+25(0.8S3-0.4U3)-2000} =MAX{-5U3 +35S3-2000}

故得最大解U3* = 0

所以f3(S3) = 35 S3-2000

依次类推，可求得：

U2* = 0, f2(S2) = 43S2-2000

U1* = 0, f1(S1) = 49.4S1-2000

因为S1= 500 台，故f1(S1)= 22700 台

最优策略为U1* = 0, U2* = 0, U3* = 0, U4* = 112

已知S1= 500,

S2= 0.4U1 *+0.8(S1 —U1*) = 0.8S1 = 400

S3=0.4U2 *+0.8(S2—U2*)=0.8S2=320

S4=0.4U3 *+0.8(S3—U3*)=0.8S3=256

U4=2S4-400=112 S4-U4=256-112=144

即前三年应把年初全部完好的挖掘设备投入正常负荷下施工,第